特殊四边形解题技巧
中考数学四边形求解题技巧
中考数学四边形求解题技巧中考数学中，四边形是一个非常重要的知识点，也是考试中常出现的题型之一。
四边形题目涉及到求解角度、边长、面积等方面的知识，掌握一些解题技巧能够有效提高解题速度和准确性。
下面我将介绍一些中考数学四边形求解题的技巧。
1. 利用图形性质分析题目在解决四边形问题时，首先要观察给出的图形，分析各个角的大小关系以及边长的关系。
根据图形的特点，我们可以推导出一些性质，这些性质可以帮助我们解决问题。
例如，互补角的性质：如果两个角的和等于90度，则它们是互补角。
利用这个性质，我们可以求解出两个互补角中的一个。
2. 利用角的性质在解四边形题时，经常需要求解各个角的大小。
对于平行四边形和矩形来说，对角线之间的夹角都是相等的；对于菱形来说，它的所有内角都是直角；对于等腰梯形来说，它的两个底角是相等的。
利用这些角的特点，我们可以通过已知条件求解出其他角的大小。
同时，还需要掌握计算角度的方法，如180度减去一个角的度数可以求出另一个角的度数。
3. 利用截线性质在解四边形问题时，有时会用到线段的截线性质。
截线性质是指当一条直线截断两条平行线时，所得截线与平行线之间的对应角是相等的。
利用这个性质，我们可以推导出两条平行线之间的一些角的大小关系，然后通过已知条件求解其他角的大小。
4. 利用边长的性质在解决四边形问题时，有时需要求解各个边的长度。
根据已知条件和图形的特点，我们可以列方程，然后求解出未知边长。
例如，如果题目已知一个矩形的长和宽之比为3:2，并且矩形的周长为40，我们可以设矩形的长为3x，宽为2x，列出方程3x + 2x + 3x + 2x = 40，然后解方程求解出x 的值，进而求解出长和宽的值。
5. 利用面积的性质在解决四边形问题时，有时需要求解图形的面积。
对于矩形、正方形、菱形来说，我们可以利用边长或对角线的性质求解出面积。
例如，对于矩形来说，我们可以用长和宽的乘积求解出面积；对于菱形来说，我们可以用对角线的乘积除以2求解出面积。
特殊平行四边形动点问题解题技巧
特殊平行四边形动点问题解题技巧《特殊平行四边形动点问题解题技巧：和动点斗志斗勇的日子》嘿，大家好呀！今天咱就来唠唠特殊平行四边形动点问题解题技巧这档子事儿。
咱就说，遇到这种动点问题啊，就像是和一个调皮的小精灵在玩捉迷藏。
它一会儿在这儿，一会儿又跑那儿去了，让人是又好气又好笑。
但咱可不能被它给吓住，得和它斗智斗勇才行。
首先呢，咱得有双“火眼金睛”，能快速地找出题目中的关键信息。
比如这个动点的运动轨迹是啥呀，是沿着边跑，还是在对角线上蹦跶。
这就像是找到了小精灵的行动路线，心里就有底了。
然后呢，咱得学会“以静制动”。
别管它怎么动，咱就把它当成静止的来分析。
比如说，在某个时刻，它在这个位置，那这个时候的图形有啥特点，跟其他条件一结合，能得出啥结论。
嘿，就这么一分析，好像那小精灵也不那么调皮了。
还有啊，要多画画图。
有时候光靠脑子想是不行滴，得动手画出来。
看着那图形在笔下一点点呈现，感觉就像在掌控整个局面一样。
而且呀，多画几种不同时刻的图，说不定就能找到规律，那小精灵的小把戏也就不攻自破啦。
再说说解题的时候，那可得思路清晰啊。
把各种条件、结论像串珠子一样串起来，可不能乱了套。
这就好比在给小精灵设陷阱，让它乖乖地掉进咱的圈套里。
咱还得有点“大胆假设”的精神。
碰到难题别退缩，大胆地去猜测一下，说不定还就猜中了呢。
就算没猜中，那也没啥损失呀，就当给大脑做个热身运动了。
总之，面对特殊平行四边形动点问题，咱可不能怕。
就把它当成一场有趣的挑战，和那个调皮的小精灵好好过过招。
只要咱掌握了这些解题技巧，再加上一点点细心、耐心和恒心，那小精灵最后还不得乖乖就范。
所以呀，大家都别怕，大胆地去和动点战斗吧！让我们在解题的海洋里畅游，享受那份攻克难题后的喜悦和成就感！加油哦，朋友们！。
第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册
《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。
初中数学几何模型的60种解题技巧
初中数学作为学生学习的基础课程之一，其中的几何模型在数学解题中占据着重要的地位。
掌握几何模型的解题技巧不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以提高他们的解题效率。
本文将介绍初中数学几何模型的60种解题技巧，希望能为学生们的学习提供帮助。
1. 角度概念的运用：在几何模型的解题过程中，学生可以通过具体的角度概念来解答问题，例如利用垂直角、平行线、内角和为180度等概念来解题。
2. 图形相似的判断：判断两个图形是否相似是解题的基础，学生可以利用边长比例、角度比例等方法来确定图形的相似性。
3. 平行线相关性质的应用：平行线的性质在几何模型的解题中经常会出现，学生可以通过平行线与角度的关系来解答问题。
4. 圆的相关性质的利用：圆的性质在几何模型中也是常见的，学生需要掌握圆的直径、半径、圆心角等概念，以便解题。
5. 三角形的分类和性质的运用：学生需要掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型三角形的性质，并根据题目的要求来进行合理的运用。
6. 应用解题：在学习几何模型的解题过程中，学生需要结合实际的应用场景，将抽象的几何原理与具体的问题相结合来解答问题。
7. 连线问题的求解：对于一些多边形的连线问题，学生可以通过几何模型的知识来进行合理的求解。
8. 几何图形的对称性：对称图形在几何模型中也是常见的，学生可以通过对称性来解答与对称图形相关的问题。
9. 正多边形的性质：正多边形的性质是几何模型解题中的重要内容，学生需要掌握正多边形的内角和为180度、外角的性质等知识。
10. 形状的变换：在几何模型的解题中，学生需要掌握形状的平移、旋转、翻转等变换操作，以便解答形状变换后的问题。
11. 圆的面积和周长的求解：学生需要掌握圆的面积和周长的相关公式，并结合题目要求来进行求解。
12. 三角形的面积和周长的求解：学生需要掌握不同类型三角形的面积和周长的求解方法，并灵活运用到不同的题目中。
13. 平行四边形的面积和周长的求解：平行四边形的面积和周长的求解也是初中数学几何模型解题的重要内容，学生需要掌握相关公式及其应用。
初中数学中的平行四边形解题技巧详解
初中数学中的平行四边形解题技巧详解平行四边形是初中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
在解题过程中，我们需要掌握一些基本的解题技巧。
本文将详细介绍初中数学中平行四边形的解题方法及技巧。
一、平行四边形的基本性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
在解题过程中，我们首先需要掌握平行四边形的基本性质。
1. 两对对边分别平行：平行四边形的两对对边分别平行，这是平行四边形的最基本的性质。
2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
这意味着平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。
3. 同底三角形面积相等：若两个三角形有一个共同的底，且底上的高相等，则这两个三角形的面积相等。
利用这一性质，我们可以简化解题过程。
二、平行四边形解题技巧1. 判断平行四边形的条件：在解题过程中，首先要判断给定的四边形是否为平行四边形。
我们可以通过观察边的长度和夹角的关系来判断是否为平行四边形。
2. 利用平行四边形的性质：在解题过程中，我们可以利用平行四边形的性质简化问题。
例如，判断一条线段是否平行于另一条线段，可以利用平行四边形的对角线互相平分的性质。
3. 利用同底三角形的性质：在解题过程中，若需要比较两个三角形的面积，我们可以利用平行四边形的同底三角形面积相等的性质简化问题。
比如，如果需要判断两个三角形的面积大小，我们可以找到它们的共同底，并比较高的长度。
4. 应用平行四边形的周长公式：在解题过程中，如果已知平行四边形的一些边长，我们可以利用平行四边形的周长公式求解未知边长。
5. 运用平行四边形的扩充性质：平行四边形具有很多扩充性质，例如，平行四边形的对角线相等、平行四边形的同位角相等等。
在解题过程中，我们可以利用这些扩充性质进行推理和求解。
三、实例分析为了更好地理解平行四边形的解题技巧，下面我们通过一些实例进行详细分析。
例题1：已知平行四边形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm，求平行四边形的周长和对角线长度。
圆与四边形题解题技巧
圆与四边形题解题技巧
解题技巧可以根据具体的圆与四边形题目而有所不同。
以下是一些常见类型的圆与四边形题目及相应的解题技巧：
1. 圆的面积和周长：对于给定半径或直径的圆，计算其面积和周长时，需要熟记相关公式。
圆的面积公式为A = πr²（或A = πd²/4），周长公式为C = 2πr（或C = πd）。
2. 外接四边形问题：当一个四边形的四个顶点恰好位于一个圆的圆周上时，该四边形称为外接四边形。
解决这类问题时，可以利用外接四边形的特点，如对角线互相垂直、对角线互相平分等。
还可以应用勾股定理和半周长公式来求解。
3. 内切四边形问题：当一个四边形的每条边都切到一个圆的圆周上时，该四边形称为内切四边形。
对于内切四边形，可以利用圆的切线性质和角的性质来解决问题。
例如，内切四边形的相邻两个内角的和等于180度。
4. 面积比较问题：如果给出了一个圆和一个四边形的面积，可以通过比较它们的大小来求解。
圆和四边形的面积比较时，可以利用相关公式进行计算，然后比较它们的数值大小。
5. 位置关系问题：有时需要判断一个四边形是否能够包含一个圆，或者一个圆是否能够包含一个四边形。
对于这类问题，通常需要考虑到圆与四边形的半径、直径、对角线等参数，并结合形状特点进行分析。
总而言之，解决圆与四边形的题目需要对圆的基本性质和四边形的性质有一定的理解，并且熟练掌握相关的公式和技巧。
在解题过程中，关注图形的特殊性质，善于利用几何知识和运用逻辑推理思维是解决这类问题的关键。
不断练习和思考，加深对圆与四边形的理解，可以提高解题的效率和准确性。
四边形角格点问题解题技巧详解与方法详解
四边形角格点问题解题技巧详解与方法详解嘿，咱今儿就来唠唠四边形角格点问题！这可是个有趣又有点头疼的玩意儿呢。
你想想啊，四边形就像个四四方方的小天地，可这角格点问题就像是在这个小天地里藏了不少小秘密，等着我们去揭开。
比如说，遇到一个四边形，它的角上有点特别的情况，那咱就得好好琢磨琢磨了。
咱得先观察观察，看看这些角之间有啥关系，是不是有啥规律可循。
这就好比你找宝藏，得先留意周围的线索呀！然后呢，咱可以试着画画辅助线。
这辅助线可神奇了，就像给你打开了一扇通往解题新世界的门。
它能把那些看似杂乱无章的角啊边啊给联系起来，让你一下子豁然开朗。
再来说说具体的解题技巧。
咱可以从一些特殊的角度入手，比如直角啦、平角啦。
你想想，这些特殊的角就像是一把钥匙，说不定就能打开解题的大门呢！还有啊，利用三角形的内角和定理也是个好办法。
把四边形分割成几个三角形，那问题不就变得简单多了嘛。
还有哦，有时候咱得学会换个角度看问题。
就像你走路，有时候直走不通，那咱就绕个弯呗。
解题也是一样，别死磕一个方法，多试试几种，说不定就柳暗花明又一村了呢。
咱举个例子哈，有个四边形，它的几个角都怪怪的。
这时候咱就可以根据已知条件，慢慢分析，一步一步来。
就像走迷宫，只要方向对了，总能走出去的。
哎呀，这四边形角格点问题啊，真的是需要我们细心加耐心。
可别嫌麻烦，当你解开一道难题的时候，那成就感，啧啧，别提多棒了！总之呢，面对四边形角格点问题，咱不能怕，得鼓起勇气去挑战。
多观察，多思考，多尝试不同的方法。
就像那句话说的，办法总比困难多嘛！相信自己，咱一定能把这些难题都拿下！这就是我给大家分享的四边形角格点问题解题技巧和方法，大家可得好好记住哦！。
第25讲 特殊四边形-正方形与梯形(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
∴ = Р = 6 − 2 = 4, ⊥ ，
1
∴ = 2 ，
由勾股定理得： = 2 + 2 = 4 2，
∴ = 2 2，
故选：B．
考点一 正方形的性质与判定
题型03 根据正方形的性质求面积
【例3】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发
又∵点又是正方形1 1 1 的一个顶点，∴∠A1OC1=90°，
∴∠AOE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°，∴∠AOE =∠FOB，
∠ = ∠
在△ AOE 和△ BOF 中，
，
=
∠ = ∠
∴△ AOE≌△ BOF（ASA）
，
1
∴S1=S 四边形 EOFB=S△ EOB+S△ BOF= S△ EOB+S△ AOE=S△ AOB=4 2 ．
中考数学一轮复习
第25讲 特殊四边形-正方形与梯形
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
考情分析
知识建构
03
考点精讲
第一部分
考情分析
考点要求
新课标要求
正方形的性 ➢ 探索并证明正方形的性质定理.
质与判定
四边形之间
➢ 探索并证明正方形的判定定理.
命题预测
正方形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也
是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都
∴∠BAC=∠DAC，
故答案为：=．
考点一 正方形的性质与判定
题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
四边形求解技巧
四边形求解技巧四边形是一个具有四条边的几何图形，常见的四边形有矩形、正方形、菱形和梯形等。
在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化问题和提高解题效率。
以下是一些常见的四边形求解技巧。
1. 利用四边形的对称性：在有关对称性的问题中，我们可以利用四边形的对称性来简化计算。
例如，在矩形和正方形中，对角线相等，对边平行且相等。
在菱形中，对角线相等，对边平行且相等。
如果一个四边形具有对称轴，我们可以根据对称性质来推导出其他边和角的关系，从而简化问题。
2. 利用四边形的角的性质：根据四边形内角和为360度的性质，我们可以得到以下推论：- 矩形和正方形中，对角线是相等的；- 矩形和菱形中，相对的角是相等的；- 矩形、菱形和正方形中，对边相等。
3. 利用四边形的边的性质：根据四边形的边的性质，我们可以得到以下推论：- 正方形中，所有边相等；- 矩形中，对边相等；- 菱形中，对边相等。
4. 利用四边形的对角线：对于矩形和正方形，对角线相等，我们可以利用对角线的性质来简化计算。
例如，在矩形中，如果对角线相交于点M，则M是对角线的中点。
5. 利用四边形的相似性：如果两个四边形具有相似性质，即对应的角相等，对应的边成比例，我们可以利用相似性质来求解问题。
例如，在相似的矩形中，我们可以利用比例关系来确定相应的长度。
6. 利用平行线性质：如果在四边形中，有两组对边分别平行，我们可以利用平行线性质来简化计算。
例如，在梯形中，底边平行且相等，我们可以利用平行线的性质来推导出其他边和角的关系。
7. 利用垂直线性质：如果在四边形中，有两组对边相互垂直，我们可以利用垂直线性质来简化计算。
例如，在矩形中，对边相互垂直，我们可以利用垂直线的性质来推导出其他边和角的关系。
8. 利用外接圆和内切圆：四边形可以内接于一个圆或外接于一个圆。
如果我们能找到这个圆，我们可以利用圆的性质来求解问题。
对于矩形和正方形，外接圆和内切圆的圆心是相等的。
9. 利用面积公式：根据四边形的性质，我们可以计算四边形的面积。
四边形解题技巧
四边形解题技巧一、平行四边形应用举例平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明．1．求角的度数例1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC 的度数．例2 （2007·河北）如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=______．2．求线段的长例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A =120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长．例4 (2006·河北)如图，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为( )A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和43．求周长例5 (2006·日照)如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF= 45°，且2，求ABCD的周长．AE+AF=24．求第三边的取值范围例6 (2006·双柏)如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是( )A．10<m<12 B．2<m<22 C．l<m<ll D．5<m<65．综合计算题例7 如图,ABCD的周长为210 ，BC的长为35，AE⊥BC于E，AF⊥DC，垂足为36DC延长线上的点F，AE=3．求：(1)∠D的度数；(2)AF的长．6．探索题例8 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于点F，∠AD C的平分线DG交边AB于点G，且DG与CF交于点E．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．二、添作中位线，妙证几何题三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．例9 如图，在△ABC中，AB<AC，点D在AC上，且有CD=AB，E、F分别是AD和BC的中点，连结EF并延长与BA的延长线相交于点G，求证：AE=AG．例10 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N．求证：∠OMN=∠ONM.例11 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。
高效利用初中数学解题技巧解决平行四边形问题
高效利用初中数学解题技巧解决平行四边形问题在初中数学中，平行四边形是一个常见的几何形状。
解决平行四边形相关问题时，掌握一些高效的解题技巧可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍一些有用的技巧和方法，帮助读者更好地应对平行四边形问题。
一、平行四边形的特征在解决平行四边形问题之前，我们首先要了解平行四边形的特征。
平行四边形具有以下几个重要性质：1. 对边相等：平行四边形的对边是相等的，即两组对边分别相等。
2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形。
3. 内角和为180度：平行四边形的内角和等于180度。
了解平行四边形的特征对于解决问题非常重要，它们将为我们提供解题的线索和方向。
二、计算平行四边形的面积解决平行四边形的问题，常常需要计算它的面积。
对于一个已知的平行四边形，可以通过两种方法来计算它的面积。
1. 方法一：通过底和高计算如果我们已知平行四边形的底和高，可以使用以下公式来计算其面积：面积 = 底 ×高。
其中，底是平行四边形的一条边，高是从底到对边的垂直距离。
2. 方法二：通过对角线计算如果我们已知平行四边形的两条对角线的长度，可以使用以下公式来计算其面积：面积 = 0.5 ×对角线1 ×对角线2。
其中，对角线1和对角线2分别是两条对角线的长度。
这两种方法可以根据问题的具体情况选择使用，但无论使用哪种方法，都要确保数据的准确性。
三、解决平行四边形的问题1. 求解边长在某些问题中，我们需要求解平行四边形的边长。
如果已知平行四边形的底和高，我们可以直接使用底 ×高的公式来计算边长。
另外，如果我们已知平行四边形的两组对边分别相等，也可以通过这个特征来求解边长，依据“对边相等”性质，我们可以设未知边长为x，然后建立方程求解。
2. 求解面积已知平行四边形的底和高时，我们可以使用底 ×高的公式来求解面积。
特殊平行四边形的旋转问题
特殊平行四边形中的图形旋转问题专题探究【专题解读】旋转是图形的一种重要变换。
在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果。
图形的旋转变换，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力。
知识要点:1.旋转的定义:把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转.2.旋转的三个要素:旋转中心、旋转角、旋转方向.3.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角;(3)旋转前、后的图形全等.温馨提示:1.旋转可以得到相等的角、边,所以为证明三角形全等提供了有力的条件.2.旋转可以将分散的边、角集中于一点或集中于同一个三角形.同理,旋转也可以将集中的条件分散.规律技巧：:1.确定旋转中心的方法:两组对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.2.旋转出等腰三角形;旋转90°出现等腰直角三角形；旋转60°出现等边三角形.3.图形绕原点旋转90°，旋转前后对应点的坐标之间的关系:横变纵,纵变横,符号看象限.即:点P(a,b) 绕原点顺时针旋转90°P1(b,－a)；点P(a,b) 绕原点逆时针旋转90°P2(－b,a).【专题综述】与旋转有关的计算问题,常见的是计算角度、计算线段的长度、计算图形的周长与面积以及旋转前后坐标系内点的坐标变换等。
下面结合近几年部分省市的中考试题，对和旋转有关的问题进行分类探究。
一，特殊平行四边形在平面直角坐标系中的旋转二、利用旋转求线段的长度三、利用旋转求角度四、利用旋转求面积五、利用旋转判断线段的关系一，特殊平行四边形在平面直角坐标系中的旋转（一）与菱形有关的旋转【例】如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）【考点】L8：菱形的性质；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′＝105°，由菱形的性质，易证得△AOB是等边三角形，即可得OB′＝OB＝OA＝2，∠AOB＝60°，继而可求得∠AOB′＝45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案．【解答】解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，根据题意得：∠BOB′＝105°，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∠AOB＝∠AOC＝∠ABC＝×120°＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴OB＝OA＝2，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝105°﹣60°＝45°，OB′＝OB＝2，∴OE＝B′E＝OB′•sin45°＝2×＝，∴点B′的坐标为：（，﹣）．【点评】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法．跟踪练习1、如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为__________．【答案】（-1，-1）【解析】∵菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),∴D点坐标为(1,1)∵每秒旋转45°,则第60秒时,得45°×60=2700°,2700°÷360=7.5周,∴OD旋转了7周半,菱形的对角线交点D的坐标为(-1,-1),故答案为:(-1,-1)2、如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点逆时针旋转75°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）【考点】L8：菱形的性质；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称．【分析】连接OB，OB'，过点B'作B'D⊥x轴，由题意可证△AOB是等边三角形，可得OB＝OA＝2，∠BOD ＝120°，根据旋转的性质可得B'O＝BO＝2，∠B'OD＝45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案．【解答】解：如图：连接OB，OB'，过点B'作B'D⊥x轴，∵四边形ABCO是菱形，且∠B＝120°，OA＝2，∴∠AOC＝120°，∠BAO＝60°，AO＝AB＝2∴△BOA是等边三角形∴AO＝BO＝2，∠AOB＝60°∴∠DOB＝120°∵将菱形OABC绕原点逆时针旋转75°至OA′B′C′的位置∴∠BOB'＝75°，BO＝B'O＝2∴∠B'OD＝45°，且B'D⊥DO∴sin∠B'DO＝∴B'D＝，∴DO＝＝∴点B'坐标（﹣，）故选：B．【点评】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法．（二）与矩形有关的旋转【例】如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的一顶点为坐标原点O，边OA、OC分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，1）；矩形OA′B′C′是由矩形OABC旋转而来的，∠C′OA＝150°．（1）旋转中心是哪一个点？（2）逆时针旋转了多少度？（3）请分别求出点A′和点C′的坐标．【考点】D5：坐标与图形性质；R2：旋转的性质．【专题】11：计算题．【分析】（1）由矩形OA′B′C′是由矩形OABC旋转而来，根据旋转的定义可判断旋转中心；（2）先计算出∠C′OC，然后根据旋转的性质可得到旋转角的度数；（3）作A′D⊥OA于D，C′E⊥y轴于E，如图，根据旋转的性质得OC′＝OC＝1，OA′＝OA＝2，∠A′OA＝∠C′OC＝60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△A′OD中可计算出OD ＝OA′＝1，A′D ＝OD ＝，于是得到A′（1，），在Rt△COC′中可计算出OE ＝OC ′＝，C′H ＝OE ＝，于是可得到C′（﹣，）．【解答】解：（1）旋转中心是O点；（2）∠C′OC＝∠C′OA﹣∠COA＝150°﹣90°＝60°，所以逆时针旋转了60度；（3）作A′D⊥OA于D，C′E⊥y轴于E，如图，∵点B的坐标为（2，1），∴OA＝2，AB＝OC＝1，∵矩形OA′B′C′是由矩形OABC绕点O逆时针旋转60°得到，∴OC′＝OC＝1，OA′＝OA＝2，∠A′OA＝∠C′OC＝60°，在Rt△A′OD中，OD ＝OA′＝1，A′D ＝OD ＝，∴A′（1，）；在Rt△COC′中，OE ＝OC ′＝，C′H ＝OE ＝，∴C ′（﹣，）．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了坐标与图形性质和含30度的直角三角形三边的关系．跟踪练习：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为【解析】如图，过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得x=±35（负数舍去），则NO =95，NC1=125，故点C的对应点C1的坐标为：（-91255，）．（三）与正方形有关的旋转【例】如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为__________．【答案】（-1，33） 【解析】如图，连接AM ， ∵将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30得到正方形ABCD,∴AD=AB ＇=1,∠BAB ＇=30°,∴∠B ＇AD=60°,在Rt △ADM 和Rt △AB ＇M 中,∴Rt △ADM ≌R △AB ＇M(HL),∴∠DAM=∠B ＇AM=∠B ＇AD=30°∴DM =AD ·tan ∠DAM =1×33=33，∴点M 的坐标为（-1，33），故答案为：（-1，33）．跟踪练习1．如图，正方形OABC 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°，得到正方形OA ′B ′C ′，则点C ′的坐标为（ ）【解析】∵点A 的坐标为(2,0),∴正方形OABC 的边长为2,∵正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°,得到正方形OA ＇B ＇C ＇,∴.点C ＇在第一象限的平分线上,点C ＇的横坐标为2×=,纵坐标为2×=,点C ＇的坐标为(,)。
四边形的性质与角度的求解
未来学习
四边形其他性质、 角度知识
应用
解决几何问题、 建筑设计
● 04
第4章 不规则四边形的角度 求解
不规则四边形的角度性质
内角和求解
不规则四边形的内角和可 以通过补角定理求解 将四边形划分成三角形， 得出内角和为180度
对角线性质
不规则四边形的对角线互 相垂直平分 对角线长度相等，夹角相 等
实际例题分 析
推理与演算
技巧总结
多角度思考
难点问题解 决
角度关系分析
不规则四边形的应用场景
实际建模
建筑设计
科学研究
天体观测
工程解决
交通规划
不规则四边形的求解方法
方法一
根据对角线垂直平分性质 利用角平分线求解
方法二
使用辅助线构造等腰三角 形 利用等角关系得出角度
方法三
利用内外角和定理 结合补角求解
01 对角线长度
矩形对角线相等，正方形对角线相等且垂直
02 对角交点
矩形对角线交点为中点，正方形对角线交点 为顶点
03 对角特性
对角线相互垂直
矩形与正方形的面积
矩形面积公式
矩形面积长*宽
正方形面积公式
正方形面积=边长*边长
面积计算方法比较
正方形是特殊矩形，面积 计算公式相似
总结
重点
矩形与正方形的 性质
内错角
相等
总结
平行四边形是具有特殊性质的四边形，其内角和 为360度，角度关系有助于解决几何问题。面积 公式简单易懂，通过掌握平行四边形的性质，可 以更快解决相关问题。
● 03
第3章 矩形、正方形的性质
矩形与正方形的 定义
矩形是一种四边形， 其相对边相等且内角 均为直角；正方形是 一种特殊的矩形，四 条边相等且内角均为 直角。矩形与正方形 在几何学中具有重要 意义，同时也有着不 同的特性和区别。
中考数学题型二 创新作图题
结论,观察新图形的对称性,找出新图形的对称中心或对称轴,再对比
题图,从而解决问题.
3.涉及面积问题时,常用到的结论有过对角线的交点的任意一条直线
将特殊四边形的面积平分、等底等高的两个三角形的面积相等等.
前往
方法
高分
方法 类型3 利用正多边形的性质作图 (5年1考)
例3 如图,已知正六边形ABCDEF,请仅用无刻度的直尺,分别按下列 要求画图. (1)在图(1)中,画出一个以BC为边的矩形; (2)在图(2)中,在AF上画出点M,使得AM=14AF.
答图(2)
前往
方法
高分
方法 类型3 利用正多边形的性质作图 (5年1考)
解题通法
正多边形中作图的关键点
在正多边形中作图,要充分利用正多边形的对称性.
(1)当边数为偶数时,以正六边形为例,如图(1).
①正六边形的对称轴的一种作法如图(1)所示,直线MN即为其对称轴.依
此可类推其他边数为偶数的正多边形的对称轴的作法.
高分
方法 类型2 利用特殊四边形的性质作图 (5年1考)
1.理解题意
2.问题分析 (1)
前往
方法
高分
方法 类型2 利用特殊四边形的性质作图 (5年1考)
(2)
3.参考答案 (1)如答图(1),点F即为所求. (2)如答图(2),点P即为所求(作法不唯一).
答图(1)
前往
方法
高分
答图(2)
方法 类型2 利用特殊四边形的性质作图 (5年1考)
题型
题型二 创新作图题
内容一览 题型概述
方法
类型1 利用三角形的性质作图 类型2 利用特殊四边形的性质作图 类型3 利用正多边形的性质作图 类型4 利用圆的性质作图 类型5 利用网格的性质作图
北师大版九年级数学上册知识点附常见题型解题技巧
北师大版九年级数学上册知识点附常见题型解题技巧第一章特殊平行四边形1、菱形的性质与判定①菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
②菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
③菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2、矩形的性质与判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
②矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）③矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
④推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、正方形的性质与判定①正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
②正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）③正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
④正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系⑤梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
⑥等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
夹在两条平行线间的平行线段相等。
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1、认识一元二次方程只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax 2 +bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
把ax 2 +bx+c=0 （a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
理解高中数学中的四边形问题的解题技巧
理解高中数学中的四边形问题的解题技巧高中数学中的四边形问题是一类常见的数学问题，它涉及到对四边形的特性和性质进行分析、计算和解答。
在解题过程中，我们可以运用一些技巧来帮助我们更好地理解及解决这类问题。
本文将介绍一些理解高中数学中的四边形问题的解题技巧。
1. 理解四边形的基本概念在解答四边形问题前，首先应确保对四边形的基本概念有清晰的理解。
四边形是一个有四条边和四个角的图形。
常见的四边形包括矩形、正方形、平行四边形、菱形等。
对于每种四边形，其独特的性质和特点需要被熟知。
2. 关注四边形的已知条件在解决四边形问题时，需要仔细审题并注意已知条件。
已知条件提供了相关的信息，可以帮助我们推断和确定未知的问题。
例如，已知一个四边形的两对边平行，那么可以推断出它是一个平行四边形。
3. 运用四边形的性质四边形有很多性质和定理，熟悉并运用这些性质能够在解题中起到重要的作用。
一些常见的四边形性质包括：(1) 矩形的对边相等且相邻边垂直；(2) 正方形是矩形的特例，具有矩形的所有性质；(3) 平行四边形的对边平行且相等；(4) 菱形的对角线相等且垂直；(5) 梯形的一对相邻边平行。
通过运用这些性质，可以简化解题过程，并帮助我们快速得出结论。
4. 运用四边形的面积计算公式解决四边形问题时，有时需要计算四边形的面积。
不同类型的四边形有不同的面积计算公式。
例如，矩形的面积可以通过长度乘宽得到，而三角形的面积可以通过底边乘以高的一半得到。
熟悉这些计算公式可以帮助我们更快速地解答问题，并验证答案的正确性。
5. 运用四边形的相似性质相似性质在解决四边形问题中也是常被运用的。
如果两个四边形相似，它们对应的角度相等，对应的边长成比例。
通过利用这种相似性质，我们可以快速得到未知长度、角度等的值。
6. 综合运用解题技巧在解决四边形问题时，常常需要综合运用多个解题技巧。
通过将已知条件和四边形的性质结合，我们可以建立数学模型并解答问题。
总结起来，理解高中数学中的四边形问题的解题技巧包括：理解四边形的基本概念、关注四边形的已知条件、运用四边形的性质、计算四边形的面积、运用四边形的相似性质以及综合运用不同的解题技巧。
人教版八年级下册四边形解题技巧
四边形解题技巧一、平行四边形应用举例平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明．1．求角的度数例1 如图，ABCD 中．AD =2AB ，点E 、A 、B 、F 在一条直线上，且EA ＝AB ＝BF ，求∠DOC 的度数． 例2 如图，若ABCD 与EBCF 关于BC 所在直线对称，∠ABE =90°，则∠F =______．2．求线段的长例3 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，∠A =120°，∠B ＝60°，∠BCD ＝∠150°，求AD 的长．例4 如图，在DABCD 中，AD ＝5，AB =3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE 、EC 的长度分别为( ) A ．2和3 B ．3和2 C ．4和1 D ．1和43．求周长例5 如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF = 45°，且AE +AF =22，求ABCD 的周长．4．求第三边的取值范围例6 如图，在ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点0，如果AC =12，BD =10，AB =m ，那么m 的取值范围是( )A ．10<m <12B ．2<m <22C ．l <m <llD ．5<m <65．综合计算题例7 如图,ABCD 的周长为26310 ，BC 的长为35，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC ，垂足为DC 延长线上的点F ，AE =3．求：(1)∠D 的度数；(2)AF 的长．6．探索题例8 如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于点F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于点G ，且DG 与CF 交于点E ．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形，并说明理由．二、添作中位线，妙证几何题三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．例9 如图，在△ABC 中，AB <AC ，点D 在AC 上，且有CD =AB ，E 、F 分别是AD 和BC 的中点，连结EF 并延长与BA 的延长线相交于点G ，求证：AE =AG ．例10 如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC =BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于M 、N ．求证：∠OMN =∠ONM .例11 如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：AC AF 31=. 例12 如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，求证：CEGD ABG s S 四边形=∆.三、巧算与矩形有关的面积题解答这类问题可考虑用未知数表示某些线段，构造方程来求解．例13 如图，矩形ABCD 的面积为S ，E 是AB 的四等分点，F 是BC 的三等分点，G 是CD 的中点，则△EFG 的面积为______．例14 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，且ABE s ∆ABCD ADF s s 矩形31==∆，则CEF AEF s s ∆∆等于( )四、折叠问题近几年一些省市的中考题中出现了很多有关矩形纸片折叠的问题．由于这类问题的实践性强，需要同学们通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形利用勾股定理来求解．以下面例题加以说明．例15 矩形纸片ABCD 中．AD =4 cm ，AB =10 cm ，按如图所示的方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE =______cm ．例16 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED '=60°，则∠AED 的大小是( )A ．60°B ．50°C ．75°D ．55°例17 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？五、路在何方我们知道如果直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、P 为直线m 上的两点(如图)，容易根据平行线之间的距离处处相等及同底等高的两个三角形面积相等的知识，得到两对面积相等的三角形，即△ABC 和△ABP 面积相等；△CPA 和△CPB 面积相等，还有一对面积相等的三角形，你知道吗？我们进一步看：如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么无论点P 移动到任何位置，总有△ABP 与△ABC 的面积相等，理由：因为平行线间的距离相等，所以无论点P 在m 上怎么移动，总有△ABP 与△ABC 的同底等高，因此，它们的面积总相等．例18 如左图，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如右图所示形状，但承包土地与开始荒地的分界小路(图中折线CDE )还保留着，为了便于通行，张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，请你用有关数学知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．(1)写出设计方案，并在图中画出相应的图形；(2)说明方案设计理由．六、聚焦阅读理解题阅读综合理解题主要考查同学们对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查同学们运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．解决这类综合问题的关键是合理运用所学知识来理解题目，从而做到正确解题。
几何60种解题技巧
几何60种解题技巧一、三角形相关1. 找全等三角形- 看边边边（SSS）：如果三个边都对应相等，那就直接喊“全等啦”，就像三条腿一样长的凳子肯定是一样的嘛。
- 边角边（SAS）：两边和它们的夹角相等，这就好比两个人胳膊一样长，夹着的角度也一样，那他们的姿势就一样，三角形也就全等啦。
- 角边角（ASA）和角角边（AAS）：有两个角相等，再加上一条边，这就像两个人长得有点像（角相等），再有个部位一样（边相等），那就是全等的。
2. 三角形内角和- 三角形内角和是180度这个得牢记。
如果给了两个角，求第三个角，直接用180度减去那两个角就行，就像从一个大蛋糕（180度）里切走两块（已知的两个角），剩下的就是第三个角啦。
3. 等腰三角形- 等腰三角形两腰相等，底角也相等。
如果知道是等腰三角形，又给了一个角，要分清楚这个角是顶角还是底角哦。
如果是底角，那另一个底角也一样；如果是顶角，就用180度减去顶角再除以2就得到底角啦，就像平分两个一样的东西。
4. 等边三角形- 等边三角形三边相等，三个角都是60度。
看到等边三角形就像看到三个一模一样的小士兵，啥都一样。
二、四边形相关1. 平行四边形- 平行四边形对边平行且相等。
如果要证明是平行四边形，可以找对边平行或者对边相等。
就像两列火车轨道，平行而且长度一样。
- 平行四边形对角线互相平分。
如果给了平行四边形的对角线相关的条件，就可以利用这个性质，就像把一个平行四边形从中间切开，两边分得的线段是一样长的。
2. 矩形- 矩形是特殊的平行四边形，四个角都是直角。
如果知道是矩形，就可以用直角这个性质，比如在计算边长或者角度关系的时候。
3. 菱形- 菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。
看到菱形就想到四条边像四个等长的小棍，对角线像交叉的十字剑，还互相垂直平分呢。
4. 正方形- 正方形是最特殊的四边形，既是矩形又是菱形，四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。
解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
请关注我 谢谢你4 解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一 特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，P ，Q 分别是AC ，AD 上的动点，连接DP ，PQ ，则DP ＋PQ 的最小值为________．第1题图 第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD 的边长为6，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD 中，点P 是线段BC 上一动点，且PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AB ＝6，BC ＝8，则PE ＋PF 的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD 的周长为40，面积为25，P 是对角线BD 上一点，分别作P 点到直线AB 、AD 的垂线段PE 、PF ，则PE ＋PF 等于________．变式题(1)图 变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD 的边长为1，E 为对角线BD 上一点且BE ＝BC ，点P 为线段CE 上一动点，且PM ⊥BE 于M ，PN ⊥BC 于N ，则PM ＋PN 的值为________．◆类型二 正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DP ⊥AB 于P .若四边形ABCD 的面积是18，则DP 的长是__________．5．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，∠EAF ＝45°.求证：S △AEF。
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四边形解题技巧一、平行四边形应用举例平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明．1．求角的度数例1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC 的度数．例2 （2007·河北）如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=______．2．求线段的长例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A =120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长．例4 (2006·河北)如图，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为( )A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和43．求周长例5 (2006·日照)如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF= 45°，且AE+AF=22，求ABCD的周长．4．求第三边的取值范围例6 (2006·双柏)如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，如果AC=12，BD=10，AB=m ，那么m 的取值范围是( )A ．10<m<12B ．2<m<22C ．l<m<llD ．5<m<65．综合计算题例7 如图,ABCD 的周长为26310 ，BC 的长为35，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC ，垂足为DC 延长线上的点F ，AE=3．求：(1)∠D 的度数；(2)AF 的长．6．探索题例8 如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于点F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于点G ，且DG 与CF 交于点E ．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形，并说明理由．二、添作中位线，妙证几何题三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．例9 如图，在△ABC 中，AB<AC ，点D 在AC 上，且有CD=AB ，E 、F 分别是AD 和BC 的中点，连结EF 并延长与BA 的延长线相交于点G ，求证：AE=AG ．例10 如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC=BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于M 、N ．求证：∠OMN=∠ONM.例11 如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：AC AF 31=.例12 如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，求证：CEGD ABG s S 四边形=∆.三、巧算与矩形有关的面积题解答这类问题可考虑用未知数表示某些线段，构造方程来求解．例13 如图，矩形ABCD 的面积为S ，E 是AB 的四等分点，F 是BC 的三等分点，G 是CD 的中点，则△EFG 的面积为______．例14 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，且ABE s ∆ABCD ADF s s 矩形31==∆，则CEFAEF s s ∆∆等于( )四、折叠问题近几年一些省市的中考题中出现了很多有关矩形纸片折叠的问题．由于这类问题的实践性强，需要同学们通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形利用勾股定理来求解．以下面例题加以说明．例15 矩形纸片ABCD 中．AD=4 cm ，AB=10 cm ，按如图所示的方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE=______cm ．例16 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=60°，则∠AED 的大小是( )A．60°B．50°C．75°D．55°例17 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是多少五、路在何方我们知道如果直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点(如图)，容易根据平行线之间的距离处处相等及同底等高的两个三角形面积相等的知识，得到两对面积相等的三角形，即△ABC和△ABP面积相等；△CPA和△CPB面积相等，还有一对面积相等的三角形，你知道吗我们进一步看：如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到任何位置，总有△ABP与△ABC的面积相等，理由：因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上怎么移动，总有△ABP与△ABC 的同底等高，因此，它们的面积总相等．例18 如左图，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如右图所示形状，但承包土地与开始荒地的分界小路(图中折线CDE)还保留着，为了便于通行，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，请你用有关数学知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．(1)写出设计方案，并在图中画出相应的图形；(2)说明方案设计理由．六、聚焦阅读理解题阅读综合理解题主要考查同学们对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查同学们运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．解决这类综合问题的关键是合理运用所学知识来理解题目，从而做到正确解题。
例19 阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图⑴所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．(1)依照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2)如图⑵，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图⑵中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)如图⑶，若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图⑶中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以说明．图⑴图⑵图⑶七、“Face to Face”中点四边形顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．这个中点四边形有许多重要性质，在中考试题中也屡见不鲜，中点四边形的四个结论如下：1．任意四边形的中点四边形是平行四边形已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．2．对角线相等的四边形的中点四边形是菱形已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC=BD.求证：四边形EFGH是菱形．3．对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是矩形．4．对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形因为四边形的两条对角线垂直，所以这个四边形的中点四边形是矩形，又因为这个四边形的．两条对角线相等，所以这个四边形的中点四边形是菱形．既是矩形又是菱形的图形就是正方形．中点四边形的这四个结论应结合以下特例灵活掌握：菱形的中点四边形为矩形，矩形的中点四边形为菱形，正方形的中点四边形为正方形．例20 顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形四边中点得到的图形是( )A.等腰梯形 B ．直角梯形 C ．菱形 D ．矩形例21 （2007·牡丹江）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，BC=5，AC 、BD 相交于0点，且∠BOC=60°，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是( )A ．24 C ．16八、“智力魔方”——一七巧板七巧板是由正方形按如图所示的方法制作成的（沿实线剪开），其中有五块都是等腰直角三角形，一块正方形，一块平行四边形，七巧板是一种数学玩具，有很强的益智性与趣味性，深受人们的喜爱．在近几年的中考试题中，就出现了一些与七巧板有关的拼图和计算题，值得关注．例22 七巧板是我们祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法．如图(1)，整幅七巧板是由正方形ABCD 分割成七小块（其中：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形）组成．如图(2)，是由七巧板拼成的一个梯形，若正方形ABCD 的边长为12 cm ，则梯形MNGH 的周长是______cm ．（结果保留根号）例23 用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板(如图(1))，将它拼成“小天鹅”图案(如图(2))，其中阴影部分的面积为( )A ．83B ．167C ．21D ．43九、四边形“联姻”直角坐标系中考中常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目有利于同学们把“数”与“形”联系起来思考，提高同学们综合运用知识的能力．例24 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，0为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D 处，求点D的坐标．例25 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、D的坐标分别是(O，O)、(5，O)和(2，3)．求：(1)顶点C的坐标；(2)对角线AC、BD的交点E的坐标．例26 已知菱形ABCD的边长为5，∠BAD是锐角，把它放在平面直角坐标系之中，并且使AD边在y轴上，点A在点D的下方，这时点C的坐标为(4，10)．(1)求出顶点A的坐标；(2)画出符合题意的图形．例27 一个正方形的两个顶点O和A的坐标分别是(O，0)和(4，O)，请写出另外两个顶点的坐标．十、“天堑”变“通途”梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，对梯形进行割补、拼接，使“天堑”变“通途”，从而转化为三角形、平行四边形问题，使看似不可能的问题得到解决，一般而言，梯形中常用的辅助线主要有以下几种．1．平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解.例28 如图，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2 cm，BC=7 cm，AB=4 cm，求CD的取值范围．规律总结：通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到一个三角形中去，从而为解题创造必要条件，这种方法很重要，需切实掌握．2．延长两腰交于一点将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题．例29 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，试说明梯形ABCD是等腰梯形．规律总结：延长两腰交于一点，可把梯形问题转化为三角形问题解决．3．平移一条对角线从梯形一底的一个顶点向梯形外作对角线的平行线，与另一底的延长线相交，构成平行四边形和特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）．例30 (2007·天津)在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5 cm，BD=12 cm，则梯形中位线的长等于( )cm cm cm cm4．作高线从梯形一底的一个顶点（或两个顶点）向另一底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角梯形）转化成矩形和直角三角形．例31 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=45°，AD=3，梯形的高为2，求梯形ABCD 的面积．。