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形心及惯性矩
圖 A-08
解答
01.(C) 02.(B) 03.(B) 04.(C) 05.(B) 06.(B) 07.(B) 08.(A)
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§8-2 慣性矩の 觀 念 整 理
慣性矩與截面係數
1.面積一次矩(Q)：一平面內各小截面之面積與轉軸間之距離相乘，所得之代數和稱之。 2.面積二次矩(I)：一平面內各小截面之面積乘以與轉軸間距離之平方代數總和稱之。 3.慣性矩之特性： 材料之重心(形心)乃利用面積力矩法(源於力矩原理)求得。 慣性矩恒為正值，是純量而非向量。 慣性矩單位為長度之四次方。 任何截面形狀之最小慣性矩為：形心軸之慣性矩。 4.極慣性矩(J)：是指面積對其所在平面內兩互相垂直軸之慣性矩之總和。
圖 02
07.（B）如圖 03 所示，其單位 cm，試求其面積之形心( x ， y )約為： (A)(3，3) (B)(2.71，2.71) (C)(3，2.71) (D)(2.71，3)。
圖 03 08.（B）如圖 04 所示，試求其斜線面積之形心 y 約為： (A)4.75 ㎝ (B)5.0 ㎝ (C)5.25 ㎝ (D)5.5 ㎝。
。
17.（B）如圖 13 所示，斜線面積之形心之 x = y =？ (A) 0.27 r (B) 0.23r (C) 0.77 r (D) 0.73r 。
圖 13 18.（C）如圖 14 所示之圖形中，其面積形心
圖 14
y 為：
(A) 0.1cm (B) 2.1cm (C) − 0.98cm (D) − 1.38cm 。
公式＆技巧
形心求法
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畫龍點睛の範例
【範例 8-1】 設A、B、C三質點之重量分別為18N、27N、45N，其平面座標依序為（2，5） 、 （7，−5） 、 （3，−7） ，座標長度單位為公尺，試求此三質點之重心座標位置 x 及 y 。 解析： ⇒ xi 即原點至該線段之 x 方向形心距離 ⇒ y i 即原點至該線段之 y 方向形心距離
建筑力学 第五章(最终)
dA 2 y dz 2 R2 Z 2dz
于是求得
Sy
z dA
A
R
z
O
2
R2 z2 dz 2 R3 3
2R3
zc
Sy A
3 πR2
4R 3π
2
图5-6
5. 2. 3 组合图形的面积矩计算
当图形是由若干个简单图形（如矩形、圆形和三角形等）组合而成时， 这类图形称为组合图形。由于简单图形的面积及其形心位置均为已知，而且 由面积矩的定义可知，组合图形对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴 面积矩的代数和，即
5.1.2 物体重心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
设有一物体，如图5-1所示。重心 c 坐 标为(xc，yc，zc)，物体的容重为 γ，总体积 为V。将物体分割成许多微小体积 ΔVi，每 个微小体积所受的重力 PGi Vi ， 其作 用点坐标(xi，yi，zi)。整个物体所受的重力
为 PG PGi 。
n
xc
A1x1c A2x2c An xnc A1 A2 An
Ai xic
i 1 n
Ai
i 1
n
yc
A1 y1c A2 y2c An ync A1 A2 An
Ai yic
i 1 n
Ai
i 1
(5-6)
【例5-1】试求图5-2 所示 Z 形平面图形的形心。
解：将Z 形图形视为由三个矩形图形组合而成，以 c1 、c2 、c3 分别表示 这些矩形的形心。取坐标系如图5-2 所示，各矩形的面积和形心坐标为
5. 2. 2 面积矩与形心的关系
由平面图形的形心坐标公式 (5-4) 和面积矩的定义可得
yc
A
数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心
数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABc底边Bc上一点P引P∥cA交AB于；引PN∥BA交Ac于N.作点P关于N的对称点P′.试证：P′点在△ABc外接圆上.分析：由已知可得P′=P=B，NP′=NP=Nc，故点是△P′BP的外心，点N是△P′Pc的外心.有∠BP′P=∠BP=∠BAc，∠PP′c=∠PNc=∠BAc.∴∠BP′c=∠BP′P+∠P′Pc=∠BAc.从而，P′点与A，B，c共圆、即P′在△ABc外接圆上.由于P′P平分∠BP′c，显然还有P′B:P′c=BP:Pc.例2．在△ABc的边AB，Bc，cA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△cSQ的外心为顶点的三角形与△ABc相似.分析：设o1，o2，o3是△APS，△BQP，△cSQ的外心，作出六边形o1Po2Qo3S后再由外心性质可知∠Po1S=2∠A，∠Qo2P=2∠B，∠So3Q=2∠c.∴∠Po1S+∠Qo2P+∠So3Q=360°.从而又知∠o1Po2+∠o2Qo3+∠o3So1=360°将△o2Qo3绕着o3点旋转到△So3，易判断△So1≌△o2Po1，同时可得△o1o2o3≌△o1o3.∴∠o2o1o3=∠o1o3=∠o2o1===∠Po1S=∠A；同理有∠o1o2o3=∠B.故△o1o2o3∽△ABc.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD，BE，cF是△ABc的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PcF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.分析：设G为△ABc重心，直线PG与ABBc相交.从A，c，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，c′，D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，cc′=2FF′，2EE′=AA′+cc′，∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PcF.例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABc简记为△，由三中线AD，BE，cF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连Hc，HF，则△′就是△HcF.a2，b2，c2成等差数列△∽△′.若△ABc为正三角形，易证△∽△′.不妨设a≥b≥c，有cF=，BE=，AD=.将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得cF=，BE=，AD=.∴cF:BE:AD=::=a:b:c.故有△∽△′.△∽△′a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，△′中cF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴＝2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.∴=3a2=4cF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A1A2A3A4为⊙o内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为，故H1H2与A1A2关于点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与o也关于成中心对称.由o，两点，Q点就不难确定了.例6．H为△ABc的垂心，D，E，F分别是Bc，cA，AB 的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，c1，c2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=cc1=cc2.分析：只须证明AA1=BB1=cc1即可.设Bc=a，cA=b，AB=c，△ABc外接圆半径为R，⊙H的半径为r.连HA1，AH交EF于.A=A2+A12=A2+r2-H2=r2+，①又A2-H2=2-2=AH•AH1-AH2=AH2•AB-AH2=cosA•bc-AH2，②而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.③由①、②、③有A=r2+•bc-=-4R2+r2.同理，=-4R2+r2，=-4R2+r2.故有AA1=BB1=cc1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为△ABc的内心，射线AI交△ABc外接圆于A′，则有A′I=A′B=A′c.换言之，点A′必是△IBc之外心.例7．ABcD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABc，△BcD，△cDA的内心o1，o2，o3，o4.求证：o1o2o3o4为矩形.证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙o内接△ABc，⊙Q切AB，Ac于E，F且与⊙o内切.试证：EF中点P是△ABc之内心.分析：在第20届Io中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=Ac.当AB≠Ac，怎样证明呢？如图，显然EF中点P、圆心Q，Bc中点都在∠BAc平分线上.易知AQ=.∵Q•AQ=Q•QN，∴Q===.由Rt△EPQ知PQ=.∴P=PQ+Q=+=.∴P=B.利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABc这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c 相切的旁切圆半径，p表示半周.分析：设Rt△ABc中，c为斜边，先来证明一个特性：p=.∵p=•=[2-c2]=ab；=•=[c2-2]=ab.∴p=.①观察图形，可得ra=AF-Ac=p-b，rb=BG-Bc=p-a，rc=c=p.而r==p-c.∴r+ra+rb+rc=+++p=4p-=2p.由①及图形易证.例10．是△ABc边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△Ac，△Bc，△ABc内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠AcB内部的旁切圆半径.证明：•=.分析：对任意△A′B′c′，由正弦定理可知oD=oA′•=A′B′••=A′B′•，o′E=A′B′•.∴.亦即有•===.六、众心共圆这有两种情况：同一点却是不同三角形的不同的心；同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABcDFE中，AB=Bc，cD=DE，EF=FA.试证：AD，BE，cF三条对角线交于一点；AB+Bc+cD+DE+EF+FA≥A+BE+cF.分析：连接Ac，cE，EA，由已知可证AD，cF，EB是△AcE的三条内角平分线，I为△AcE的内心.从而有ID=cD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=Bc.再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有：BI+DI+FI≥2•.不难证明IE=2IP，IA=2IQ，Ic=2IS.∴BI+DI+FI≥IA+IE+Ic.∴AB+Bc+cD+DE+EF+FA=2≥+=AD+BE+cF.I就是一点两心.例12．△ABc的外心为o，AB=Ac，D是AB中点，E是△AcD的重心.证明oE丄cD.分析：设A为高亦为中线，取Ac中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设cD交A于G，G必为△ABc重心.连GE，F，F交Dc于.易证：DG:G=Dc:Dc=2:1.∴DG:G=DE:EFGE∥F.∵oD丄AB，F∥AB，∴oD丄FoD丄GE.但oG丄DEG又是△oDE之垂心.易证oE丄cD.例13．△ABc中∠c=30°，o是外心，I是内心，边Ac 上的D点与边Bc上的E点使得AD=BE=AB.求证：oI丄DE，oI=DE.分析：辅助线如图所示，作∠DAo平分线交Bc于.易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式，有∠AIB=90°+∠c=105°，∴∠DIE=360°-105°×3=45°.∵∠AB=30°+∠DAo=30°+=30°+=∠BAc=∠BAI=∠BEI.∴A∥IE.由等腰△AoD可知Do丄A，∴Do丄IE，即DF是△DIE的一条高.同理Eo是△DIE之垂心，oI丄DE.由∠DIE=∠IDo，易知oI=DE.例14．锐角△ABc中，o，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.求证：1•d垂+2•d外=3•d重.分析：这里用三角法.设△ABc外接圆半径为1，三个内角记为A，B，c.易知d外=oo1+oo2+oo3=cosA+cosB+cosc，∴2d外=2.①∵AH1=sinB•AB=sinB•=2sinB•sinc，同样可得BH2•cH3.∴3d重=△ABc三条高的和=2•②∴=2，∴HH1=cosc•BH=2•cosB•cosc.同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2③欲证结论，观察①、②、③，须证+=sinB•sinc+sinc•sinA+sinA•sinB.即可.练习题I为△ABc之内心，射线AI，BI，cI交△ABc外接圆于A′，B′，c′.则AA′+BB′+cc′＞△ABc周长.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.I为△ABc的内心.取△IBc，△IcA，△IAB的外心o1，o2，o3.求证：△o1o2o3与△ABc有公共的外心.△ABc的边Bc=，取AB，Ac中点，N，G为重心，I为内心.试证：过A，，N三点的圆与直线GI相切.锐角△ABc的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABc.已知△ABc的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.AB，Ac切⊙o于B，c，过oA与Bc的交点任作⊙o的弦EF.求证：△AEF与△ABc有公共的内心；△AEF与△ABc有一个旁心重合.。
平面图形的形心计算公式
平面图形的形心计算公式形心是一个图形中所有点的平均位置。
平面图形的形心计算公式根据具体的图形不同而不同。
在下面的文本中，我们将介绍一些常见平面图形的形心计算公式。
1.矩形：矩形是最常见的平面图形之一，其形心可以通过以下公式计算：形心的x坐标：Xc=(x1+x2)/2形心的y坐标：Yc=(y1+y2)/2其中(x1,y1)和(x2,y2)是矩形的两个对角顶点的坐标。
2.正方形：正方形是特殊的矩形，其形心位于正方形的中心，可以通过以下公式计算：形心的x和y坐标：Xc=Yc=(x1+x2)/2其中(x1,y1)和(x2,y2)是正方形的两个对角顶点的坐标。
3.圆形：圆形的形心位于圆心，可以通过以下公式计算：形心的x和y坐标：Xc=xYc=y其中(x,y)是圆心的坐标。
4.三角形：三角形的形心可以通过以下公式计算：形心的x坐标：Xc=(x1+x2+x3)/3形心的y坐标：Yc=(y1+y2+y3)/3其中(x1,y1),(x2,y2)和(x3,y3)是三角形的三个顶点的坐标。
5.多边形：多边形的形心可以通过以下公式计算：形心的 x 坐标：Xc = (x1 + x2 + ... + xn)/n形心的 y 坐标：Yc = (y1 + y2 + ... + yn)/n其中 (x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn) 是多边形的每个顶点的坐标，n 是多边形的边数。
这些是常见平面图形的形心计算公式。
请注意，这些公式假定图形的边界已知，并且图形是简单的，即没有洞或内部结构。
对于复杂的图形，形心的计算可能需要更复杂的方法。
形心计算公式网络教程
形心计算公式网络教程在数学中，形心是一个几何学概念，它代表了一个形状的重心或质心。
形心通常被用来计算一个形状的重心位置，这对于工程、物理学和其他领域的计算非常重要。
在本教程中，我们将介绍如何使用形心计算公式来计算不同形状的质心位置。
1. 点的形心计算公式。
首先，让我们从最简单的形状开始，即点。
一个点的形心就是它本身，因为一个点的质心就是它的位置。
因此，点的形心计算公式可以表示为：形心 = 点的位置。
这是一个非常简单的计算公式，因为一个点的形心就是它自己的位置。
2. 直线的形心计算公式。
接下来，让我们来看一下直线的形心计算公式。
一个直线通常由两个端点组成，我们可以使用这两个端点的位置来计算直线的形心。
直线的形心计算公式可以表示为：形心 = (端点1的位置 + 端点2的位置) / 2。
这个公式的含义是，直线的形心就是两个端点位置的平均值。
这是因为直线可以看作是两个端点之间所有点的平均位置。
3. 三角形的形心计算公式。
现在让我们来看一下三角形的形心计算公式。
三角形是一个常见的几何形状，它的形心位置可以通过三个顶点的位置来计算。
三角形的形心计算公式可以表示为：形心 = (顶点1的位置 + 顶点2的位置 + 顶点3的位置) / 3。
这个公式的含义是，三角形的形心就是三个顶点位置的平均值。
这与直线的形心计算公式类似，只是这里有三个顶点而不是两个。
4. 多边形的形心计算公式。
对于更复杂的形状，比如多边形，我们可以使用类似的方法来计算它的形心。
多边形的形心计算公式可以表示为：形心 = (各顶点的位置之和) / 顶点数。
这个公式的含义是，多边形的形心就是所有顶点位置的平均值。
这与三角形的形心计算公式类似，只是这里有更多的顶点。
5. 圆的形心计算公式。
最后，让我们来看一下圆的形心计算公式。
圆是一个特殊的形状，它的形心位置可以通过圆心的位置来计算。
圆的形心计算公式可以表示为：形心 = 圆心的位置。
这个公式的含义是，圆的形心就是它的圆心位置。
材料力学形心位置确定课件
其中，(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) 是图 形各点的坐标，n 是 图形的顶点数。
图表：通过在坐标系 中绘制图形，可以直 观地显示形心的位置 。例如，对于矩形、 三角形等简单图形， 可以通过作图软件计 算并绘制出其形心的 位置。
立体图形形心位置的相关公式与图表
• 公式：对于三维图形，形心位置的坐标可以通过对图形各点坐标的加权平均来计算。假设三维空间中有一个点集 {P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), ..., Pn(xn, yn, zn)}，那么形心坐标 (xc, yc, zc) 可以通过以下公式计算
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组合截面对形心的位置可以通过将各部分 形心位置加总得到。如果各部分形心位置 不在同一直线上，则需要通过坐标系转换 和线性代数的方法进行计算。
思考题及答案解析
问题5
举例说明形心在材料力学中的应用。
• 答案
形心在材料力学中有着广泛的应用，如组合 截面对形心的计算、截面应力的计算等。例 如，在组合截面对形心的计算中，可以通过 对各部分形心位置的计算，得到组合截面对 形心的位置，从而得到截面的内力和应力。
06
复习与思考题
本章重点回顾
理解截面内力和截 面应力的概念和计 算方法
掌握组合截面对形 心的计算方法
掌握形心的定义和 计算方法
熟悉静矩、惯性矩 、极惯性矩、惯性 积的计算和意义
理解形心在材料力 学中的重要性及应 用
思考题及答案解析
问题1
什么是形心？其重要性是什么？
• 答案
形心是指截面的几何中心，即截面上各点到截面几何中心点 的距离相等。形心在材料力学中有着重要的应用，如组合截 面对形心的计算、截面应力的计算等。
三角形的形心外心与内心
三角形的形心外心与内心在几何中，三角形是最基本的图形之一。
而三角形的形心、外心和内心则是三角形内含的一些特殊点。
一、形心（Centroid）形心，也叫重心，是一个三角形内的一个点，它由三条中线的交点确定。
所谓中线，是指三角形的每个顶点与对边中点之间的连线。
形心被称为“重心”的原因，是因为如果将一个三角形剪成三个小三角形，并将这三个小三角形分别用端点处的针插在一个纸板上，那么这个纸板会在重心处保持平衡。
形心的坐标可以通过三角形的顶点坐标求得。
设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则形心的坐标为[(x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3]。
二、外心（Circumcenter）外心，又称为外接圆圆心，是一个三角形外接圆的圆心。
所谓外接圆，是指一个圆刚好与三角形的三条边相切。
外心是三角形的三条垂直平分线的交点。
垂直平分线是指过三角形的边上的中点，并与相应边垂直的线。
求外心的坐标稍微复杂一些，需要使用一些数学方法。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则外心的坐标可以通过以下公式计算得到：x = [(x1^2 + y1^2)(y2 - y3) + (x2^2 + y2^2)(y3 - y1) + (x3^2 +y3^2)(y1 - y2)] / [2(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))]y = [(x1^2 + y1^2)(x3 - x2) + (x2^2 + y2^2)(x1 - x3) + (x3^2 +y3^2)(x2 - x1)] / [2(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))]三、内心（Incenter）内心是一个三角形内切圆的圆心，所谓内切圆是指一个圆刚好与三角形的三条边相切。
工程力学 第三章 重心和形心
例2 试求如图所示图形的形心。已知R＝ 100mm，r2＝30mm，r3＝17mm。
《工程力学》
(1)、半径为R的半圆面：
A1＝πR2/2＝π×(100mm)2/2＝15700mm2 y1＝4R/(3π)＝4×100mm/(3π)＝42.4mm (2)、半径为r2的半圆面 A2＝π(r2)2/2＝π×(30mm)2/2＝1400mm2 y2＝－4r2/(3π)＝－4×30mm/(3π)＝－12.7mm (3)、被挖掉的半径为r3的圆面： A3＝－π(r3)2＝－π(17mm)2＝910mm2 y3＝0 (4)、求图形的形心坐标。由式形心公式可求得
《工程力学》
第三章 重心和形心
第十讲 重心和形心
《工程力学》
第十讲
重心和形心
目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。
教学重点：分割法和负面积法计算形心。 教学难点：对计算形心公式的理解。
《工程力学》
§3-4 重心和形心
一、重心的概念：
1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的， 必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为 物体的重心。 无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心 的位置保持不变。
《工程力学》
式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体 的重心、质心和形心的位置重合。
《工程力学》
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：
令式中的∑Ai.xi＝A.xc＝Sy；
∑Ai.yi＝A.yc＝Sx 则Sy、Sx分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一 次矩。
《工程力学》
《工程力学》
二、 重心座标的公式：
三角形的五心(PPT)3-3
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
糖，“一部分貌似并不产生海藻糖，或者是是因糖量太低我们检测不到。”他还说到：“我们知道，水熊会分泌一种‘保护剂’，但那东西具体是什么还是 个未解之谜。” 在-℃和℃的条件下均可存活分钟，低温-℃能活上几天，-℃的环境中起码能存活年。它能够承受的电离辐射的剂量，是人类致死剂量的数百 倍。能抗住的压力大约是目前最深海沟水压的倍，在同等压力下人可能会被压到变形。 [] 胞囊形式 在包囊中渡过困难时期并不算是隐生的一种。 在苔藓 (Moss and lichen)和干草(Hay)间生活的，特别是淡水生的种类能够通过这种胞囊的形式渡过困难时期。在这种
可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
3答案
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2
2
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心
有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
平面几何四心讲义
））））））））三角形四心竞赛讲义一、“四心”分类谈论 (1)1、外心 .................................................................................................................................................................................................................................................................. 1 2、内心 .................................................................................................................................................................................................................................................................. 2 3、垂心 .................................................................................................................................................................................................................................................................. 3 4、重心 .................................................................................................................................................................................................................................................................. 5 5、外心与内心 ................................................................................................................................................................................................................................................. 6 6、重心与内心 ................................................................................................................................................................................................................................................. 7 7、外心与垂心 ................................................................................................................................................................................................................................................. 7 8、外心与重心 ................................................................................................................................................................................................................................................. 7 9、垂心与内心 ................................................................................................................................................................................................................................................. 8 10、垂心、重心、外心 .............................................................................................................................................................................................................................. 8 旁心 .. (8)二、“四心”的联想 (8)1、由内心、重心性质产生的联想 .................................................................................................................................................................................................... 8 2、重心的巧用 ................................................................................................................................................................................................................................................. 9 3、三角形“四心”与一组面积公式 . (11)三角形各心间的联系 ........................................................................................................................................................................................................................................... 13 与三角形的心有关的几何命题的证明 .. (14)三角形的内心、外心、垂心及重心 ( 以下简称“四心” ) 是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。
常见形状几何形心甄选.
常见形状几何形心
一些简单几何形状的均质物体的重心（形心），都可由积分公式(3-24)求得。
表3-2列出了几种常用物体的重心（形心），可供查用。
工程中常用的型钢（如工字钢、角钢、槽钢等）的截面的形心，可从机械设计手册中查得。
名称图形形心坐标线长、面积、体积
在三中线交点面积
三角形
在上、下底边中线连线上面积梯形
弧长圆弧
面积扇形
面积弓形
面积
抛物线
面
面积
抛物线
面
面积
半球形
体
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平面几何四心讲义
三角形四心竞赛讲义一、“四心”分类讨论 (1)1、外心 ...................................................................................................................................................................... 1 2、内心 ...................................................................................................................................................................... 2 3、垂心 ...................................................................................................................................................................... 3 4、重心 ...................................................................................................................................................................... 5 5、外心与内心 .......................................................................................................................................................... 6 6、重心与内心 .......................................................................................................................................................... 6 7、外心与垂心 .......................................................................................................................................................... 7 8、外心与重心 .......................................................................................................................................................... 7 9、垂心与内心 .......................................................................................................................................................... 7 10、垂心、重心、外心 ............................................................................................................................................ 8 旁心 ............................................................................................................................................................................ 8 二、“四心”的联想 ...................................................................................................................................................... 8 1、由内心、重心性质产生的联想 .......................................................................................................................... 8 2、重心的巧用 .......................................................................................................................................................... 9 3、三角形“四心”与一组面积公式 .................................................................................................................... 10 三角形各心间的联系 .................................................................................................................................................. 13 与三角形的心有关的几何命题的证明 . (13)三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。
《型心计算公式》PPT课件
过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性
积和惯性矩有四种答案(已知b>a)：
（A）Ixy＞０ (C) Ixy=０
（B） Ixy<０ （D） Ix=Iy
A
y
bO
x
正确答案是 (C)
Ba
D
思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点
的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的:
(1)惯性积Ixy＝＿＿ (2)惯性矩Ix＝＿＿ 、 Iy＿＿＿。
附录 截面的几何性质
§ -1 截面的静矩和形心位置
设任意形状截面如图所示。
y dA
1. 静矩（或一次矩）
C
yy
S y
xd A
A
Sx
ydA
A
O
x
x
(常用单位： m3 或mm3 。值：可为正、负或 0 。）x
2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）
x Ax d A A
n
S x Ai yi i1
(Ai 和xi , yi分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）
5. 组合截面的形心坐标公式
n
将 S y Ai xi i1
n
S x Ai yi i1
代入 S y A x Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
n
Ai xi
x
i 1 n
(1) 主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。
(2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。
(3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的 形心重合时。
(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。
(5)确定主惯性轴的位置