电磁场习题解答

1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。

(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a 和b （a b >），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为τ-。

解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l 半径为r （b r a <<）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得

l S D s

τ=⋅⎰

d

考虑到此问题中的电通量均为r e

即半径方向，所以电通量对圆柱体前后

两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是

l rD l τπ=2

即 r e r D πτ2=

， r e r

E

02πετ= 由此可得 a b r e e r r E U b a r r b a

ln 2d 2d 00

⎰

⎰επτ=⋅επτ=⋅=

1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的

内半径为cm 2，内外导体间电介质的击穿场强为kV/cm 200。内导体的半径为

a ，其值可以自由选定但有一最佳值。因为a 太大，内外导体的间隙就变得很

小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过介质的击穿场强。另一方面，由于

E 的最大值m E 总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。

（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。

解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为

r E πετ2=

， a

E πετ

2max = 而内外导体之间的电压为

a

b

r r r E U b

a b

a ln 2d 2d πετπετ⎰

⎰===

或 )ln(max a

b aE U =

0]1)[ln(a d d max =-+=a

b

E U 即 01ln =-a b ， cm 736.0e

==b

a V)(1047.1102736.0ln 5

5max max ⨯=⨯⨯==a

b aE U

1—3—3、两种介质分界面为平面，已知014εε=，022εε=，且分界面一侧的电场强度V /m 1001=E ，其方向与分界面的法线成045的角，求分界面另一侧的电场强度2E 的值。

解：25045sin 10001==t E ，25045cos 10001==n E

220040101εε==n n E D 根据 t t E E 21=，n n D D 21=得

2502=t E ，220002ε=n D ， 210020

22==

εn

n D E 于是： V/m)(1050)2100()250(2222222=+=+=n

t E E E

1—8、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度： （1）、2Ax =ϕ （2）、Axyz =ϕ （3）、Brz Ar +=φϕsin 2

（4）、φθϕcos sin 2Ar =

解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。

（1）、i Ax i x

Ax k z j y i x E 2)()(2-=∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕϕϕϕ

00002)2()(

εεεερA Ax x

x E z E y E x E D x z y x -=-∂∂=∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=

（2）、

)(k z j y i x E

∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕϕϕϕ )(

k z

Axyz j y Axyz i x Axyz ∂∂+∂∂+∂∂-= )(k xy j xz i yz A

++-=

0)]()()([0=-∂∂

+-∂∂+-∂∂=⋅∇=Axy z Axz y Ayz x D ερ

（3）、)1[k z

e r e r E r

∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕφϕϕϕφ φφφφe Brz Ar r e Brz Ar r r )sin (1)sin ([

22+∂∂++∂∂-=

)])sin (2

k Brz Ar z +∂∂+φ

)]cos )sin 2[(k Br e Ar e Bz Ar r

+++-=φφφ

)

cos (1)sin 2(1[0φφ

φερAr r Bz Ar r r r D ∂∂

++∂∂-=⋅∇=

)](Br z

∂∂

+

]sin )sin 4(1

[0φφεA Bz Ar r

-+-=

]sin )sin 4[0φφεA r

Bz

A -+-=

（4）、]sin 11[φ

ϕ

θθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=r e r e r e E r

)

cos sin (1)cos sin ([22φθθ

φθθAr r e Ar r e r ∂∂

+∂∂-= )]cos sin (sin 12φθφ

θφ

Ar r e ∂∂

+

θφθφθe Ar r e Ar r )cos cos (1)cos sin 2[(2+-=])sin sin (sin 1

2φφθθe Ar r -

])sin ()cos cos ()cos sin 2[(φθφφθφθe Ar e Ar e Ar r

-+-=

)](sin 1

)sin (sin 1)(1[220φθφθθθθερE r E r E r r r D r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=

)sin cos cos (sin 1)cos sin 2(1[

3

20θφθθθφθεAr r Ar r

r -∂∂+-∂∂=

)]sin (sin 1

φφ

θAr r ∂∂+

]sin cos )sin (cos sin cos cos sin 6[220θφ

θθθφφθεA A A +--

-=

1—4—2、两平行导体平板，相距为d ，板的尺寸远大于d ，一板的电位为0，另一板的电位为0V ，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即

x x 0)(ρρ=。试求两极板之间的电位分布（注：0=x 处板的电位为0）。