高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结

合集下载

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

高中数学椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2(5)离心率公式：在21PF F ∆中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()βαβαsin sin sin ++=e二、椭圆其他结论1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=若已知切线斜率K ，切线方程为222b k a kx y +±=2、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+= 3、椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，则椭圆的焦点角形的面积为2tan221θb S PF F =∆4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短ab 226、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）基础知识及常用结论

圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）基础知识及常⽤结论圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-椭圆⼀、椭圆定义定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离⼼率.（定值=e ）定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）⼆、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 ep ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b ④注解：1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+2准线⽅程：2a x c= （a ⽅除以c ）3椭圆的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过椭圆上00x y (,)点的切线⽅程，⽤00x y (,)等效代替椭圆⽅程得到.等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b+=4、焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b焦三⾓形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF θ=∠的⼀半.则焦三⾓形的⾯积为：2S b 2tanθ=证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理：222m n 2mn 4c cos θ+-?=22224a 4b m n 4b ()=-=+-即：22mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+.即：2122b mn PF PF 1||||cos θ==+故：12F PF 1S m n 2sin θ=??△2212b b 211sin sin cos cos θθθθ=?=++⼜：22221222sin cossin tan cos cosθθθθθθ==+ 所以：椭圆的焦点三⾓形的⾯积为122F PF S b 2tan θ=. 三、椭圆的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①1F2FOxyPmn切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓. 焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓.弦切⾓是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.2若000P x y (,)在椭圆2222x y 1a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线，切点为12P P ,，则点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线.切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b+=（称为极线定理）3弦指椭圆内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c=-去除准焦距2bp c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==- 4中点弦AB 的⽅程：在椭圆中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，弦AB 称为中点弦，则中点弦的⽅程就是2200002222x x y y x y a b a b+=+，是直线⽅程.弦中点M 的轨迹⽅程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y (,)的弦AB ，其中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b+=+，仍为椭圆.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-双曲线⼀、双曲线定义⼆、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 e p ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b ④注解：1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，则：222a b c +=2准线⽅程2a x c=± （a ⽅除以c ）准焦距p ：焦点到准线的距离：2b pc = （b ⽅除以c ）3通径等于2 e p ，切线⽅程⽤代替双曲线的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过双曲线上000P x y (,)点的切线⽅程，⽤000P x y (,)等效代替双曲线⽅程得到，等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b-=4焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b焦三⾓形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF γ=∠的⼀半.双曲线2222x y 1a b-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶点任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三⾓形满⾜：2122b PF PF 1cos γ=- 其⾯积为；122F PF S b co 2t γ=.证明：设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=在12F PF ?中，由余弦定理得：222121212PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，即：222m n 2mn 4c cos γ+-?=22224a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222m n 2mn m n 4b cos ()γ+-?=-+即：22mn 2mn 4b cos γ-?=，即：22b mn 1(cos )γ=-即：22b mn 1cos γ=-，即：2122bPF PF 1cos γ=-那么，焦点三⾓形的⾯积为：12F PF 1S mn 2sin γ?=?212b 21sin cos γγ=?-2222b 22b 122sin cossin cos sinγγγγγ==?-2b 2cot γ= 故：122F PF S b 2cot γ= 同时：12F PF 12P P 1S F F y c y 2?=?=?，故：2p b y c 2cot γ=±? 双曲线的焦点三⾓形的⾯积为：122F PF S b co 2t γ=.三、双曲线的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓.焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓. 弦切⾓是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.如图，12F PF ?是焦点三⾓形，12F PF ∠为焦周⾓，PT 为双曲线的切线. 则PT 平分12F PF ∠.2若000P x y (,)在双曲线2222x y 1a b-=外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P 作双曲选的两条切线，切点为1P 、2P ，则点0P 和切点弦12P P 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b-=（称为极线定理）3弦指双曲线内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c =去除准焦距2b p c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==4中点弦AB 的⽅程：在双曲线中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，称弦AB 为中点弦，则中点弦的⽅程就是：2200002222x x y y x y aba b-=-，它是直线⽅程. 弦中点M 的轨迹⽅程：在双曲线中，过双曲线外⼀点000P x y (,)的弦AB ，其AB 中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b-=-，仍为双曲线.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-抛物线⼀、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离12⼆、抛物线性质焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②焦弦切线成直⾓，切点就是两端点③端点投影在准线，连结焦点垂直线④焦弦垂直极焦线⑤，切线是⾓平分线⑥直⾓梯形对⾓线，交点就是本原点⑦焦弦三⾓计⾯积，半个p ⽅除正弦⑧注解：1抛物线的焦点和准线是⼀对极点和极线.抛物线⽅程：2y 2px =，焦点(,)p F 02，准线p p x 2=-(抛物线的顶点(,)O 00到定点(,)p F 02和定直线p p x 2=-距离相等) 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A 和B ，则AB 称为焦弦.弦中点(,)M M M x y ，A B M x x x 2+=，A B M y yy 2+= 焦弦⽅程：()p y k x 2=-，k 为斜率. 2焦点三⾓形两边OA 和OB 的点乘积为定值，且夹⾓是钝⾓. 证明：焦弦AB 满⾜的条件()2y 2pxp y k x 2?=??=- ()22p k x 2px 2-=? ()22222k p k x k 2px 04-++=由韦达定理得：2A B px x 4=2A B py y 22p p 2==-=-?=-，即：2A B p x x 4=，2A B y y p =- ①且：2A A B B A B A B 3OA OB x y x y x x y y p 04(,)(,)?=?=+=-<. 故：焦点三⾓形两边之点乘积为定值.3即：焦弦两端点的切线互相垂直. 证明：如图，由抛物线⽅程：2y 2px =得到导数：yy p '=，即：py y'=故：AEA p k y =，BE Bp k y = 于是：2AE BEA B A Bp p p k k y y y y ?=?=将①式2A B y y p =-代⼊上式得：AE BE k k 1?=-即：AE BE ⊥，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 4即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 证明：坐标B p C y 2(,)-,A p D y 2(,)-则：B CF p y (,)=-，A DF p y (,)=- 于是：2A B CF DF p y y ?=+将①式2A B y y p =-代⼊上式得：CF DF 0?= 故：CF DF ⊥即：焦弦端点A B ,在准线的投影点D C ,，则CF DF ⊥，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形.5若焦弦AB 对应的极点E ，则EF 为极焦线，于是EF AB ⊥⽤向量⽅法可证.由于M 是AB 的中点，AEB ?为直⾓三⾓形，计算可得E 是DC 的中点，故：ED EF EC == 由向量法可证EF AB 0?=即：焦弦AB 与极焦线EF 互相垂直. 6即：切线平分焦弦的倾⾓(或倾⾓的外⾓) 如图：因为ADE ?和AFE ?都是直⾓三⾓形，且由定义知：AF AD =，AE AE =故ADE AFE ??≌，则对应⾓相等. 即：AE 是DAF ∠的⾓平分线同理，BE 是CBF ∠的⾓平分线 7即：直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点即：A O C ,,三点共线；B O D ,,三点共线. ⽤向量法证明：OA CO //，OB DO //证明：坐标2A A y A y 2p (,)，2B B y B y 2p (,)，B p C y 2(,)-，A pD y 2(,)-向量：2A A y OA y 2p (,)=，B pCO y 2(,)=-各分量之⽐：2A2x A 2xy OA y 2p p p CO 2()()==，2y A AB A B y OA y y y y y CO ()()==--将①式2A B y y p =-代⼊上式得：22yA A2A By OA y y y y p CO ()()==- 故：y x xyOA OA OACO CO CO()()()()==，即：OA CO // 同理：OB DO //.直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点. 8即：焦弦三⾓形的⾯积为：sin 2 AOBp S 2α= （α为焦弦的倾⾓）证明：AB AF BF =+A B A B p p x x x x p 22=+ ++=++M p2x 2()=+2EM = 如图：GF 2OF p == 则：2EF GF 1pEM sin sinsin sin αααα==?= E于是：22pAB sin α= 故：AOB1S OF AB 2sin α?=221p 2p p 222sin sin sin ααα==附：圆锥曲线必背----极坐标圆锥曲线的极坐标以准焦距p 和离⼼率e 来表⽰常量，以极径ρ和极⾓θ来表⽰变量.0ρ≥，[,)o 0360θ∈以焦点(,)F 0θ为极点(原点O )，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建⽴极坐标系.故准线是到极点距离为准焦距p 、且垂直于极轴的直线L . 极坐标系与直⾓坐标系的换算关系是：ρ=，arctan y xθ= 或者：cos x ρθ=，sin y ρθ= 特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，⽽直⾓坐标系中以对称点为原点得到标准⽅程. 如图，O 为极点，L 为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之⽐为定值(定值e )的点的轨迹为圆锥曲线. 所以，对极坐标系，请记住：⑴极坐标系的极点O 是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；⑵曲线上的点(,)Pρθ到焦点F的距离是ρ，到准线的距离是cospρθ+，根据定义：cosepρρθ=+即：cosep eρθρ+=，即：cosep eρρθ=-，即：1eρθ=-①这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.⑶对应不同的e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向右.将极轴旋转o180，α和θ分别对应变换前后的极⾓，即转⾓为o180θα=+，则极坐标⽅程变换前⽅程为：cosep1eρα=-变换后⽅程为：cosep1eρθ=+②此时的极坐标系下，此时有：⑵对应不同的e，呈现不同的曲线对双曲线，只是左边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向左.⑴将极轴顺时针旋转o90，即：o 90θα=+，则情况如图.圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρθ=- ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且极点O 对应于椭圆下⽅的焦点，双曲线上⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴上边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向上. ⑵如果将极轴逆时针旋转o 90，即：o 90θα=-，则情况如图. 圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρα=+ ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且对应于椭圆上⽅的焦点，双曲线下⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴下边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向下.⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：=cos ep1e ρθ- ①即：cos e ep ρρθ-=，即：cos ep e ρρθ=+即：(cos )(cos )(cos )2222222ep e e p e 2e p ρρθρθρθ=+=++ ②将222x y ρ=+，cos x ρθ=代⼊②式得：2222222x y e p e x 2e px +=++即：()2222221e x 2e px y e p --+= ③当e 1≠时有：()[()]()()22222222222222--++=+---- 即：()()()22222 2222222e p e e p 1e x y e p 11e 1e 1e --+=+=--- 即：()()22222222222e px y 1e1e p e p1e 1e --+=-- ④⑴当e 1<时，令()22222e p a 1e =-，2222e p b 1e=-，22e p c 1e=-则：()222222222e p e p a b 1e 1e-=---[()]()()2222e p e p 11e 1e 1e =--=--⽽：()()2422222222e p e p c a b 1e 1e ===--- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab-+= ⑤这是标准的椭圆⽅程. ⑵当e 1>时，令()222 22e p a e 1=-，2222e p b e 1=-，22e p c e 1=-则：()222222222e p e p a b e 1e 1+=+--[()]()()2242e p e p 1e 1e 1e 1=+-=-- ⽽：()()2422222222e p e p c a b e 1e 1===+-- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab+-= ⑥这是标准的双曲线⽅程.⑶当e 1=时，由③式()2222221e x 2e px y e p --+=得：222px y p -+=即：()22p y 2px p 2p x 2=+=+ 即：()2p y 2p x 2=+ ⑦这是标准的抛物线⽅程.。

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结在高中数学中，椭圆与双曲线是解析几何部分的重要内容，它们具有独特的性质和广泛的应用。

下面让我们一起来详细了解一下这两个重要的数学概念。

一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点轨迹。

1、椭圆的标准方程当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\），＼（c\）为半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。

当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。

2、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（2）范围：对于\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。

（3）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

3、椭圆的焦半径设椭圆上一点\（P(x_0, y_0)＼），焦点为\（F_1\）、＼（F_2\），则\（｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0\），＼（｜PF_2| ＝ a ex_0\）。

4、椭圆的切线方程若点\（P(x_0, y_0)＼）在椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）上，则过点\（P\）的切线方程为\（＼frac{x_0x}｛a^2} ＋＼frac{y_0y}｛b^2} ＝ 1\）。

椭圆与双曲线知识点总结

椭圆与双曲线知识点总结（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。

定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二) 双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x=±③离心率为5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。

高三快速记忆椭圆双曲线知识点

高三快速记忆椭圆双曲线知识点椭圆和双曲线，作为解析几何中的重要内容，对于高三学生来说是必不可少的知识点。

但是由于考试压力和时间的限制，我们需要快速而有效地记忆，并能够在解题过程中准确地运用。

在本文中，我将为大家介绍一些高效记忆和运用椭圆双曲线知识点的方法。

首先，我们来看看椭圆的基本性质。

椭圆是一个有两个焦点的闭合曲线，我们可以通过焦点的位置关系来确定椭圆的形状。

记住一个简单的规律可以帮助我们快速记忆：当椭圆的两焦点水平时，曲线是垂直的；当椭圆的两焦点垂直时，曲线是水平的。

同时，我们还需要了解椭圆的离心率和半长轴、半短轴的关系。

离心率e的大小可以用来描述椭圆的扁长程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆形；e越接近于1，椭圆越扁长。

而半长轴和半短轴的长度可以决定椭圆的大小。

在解题过程中，我们可以根据这些性质来推导出一些关键的结论，如椭圆的标准方程、离心率和半长轴、半短轴的关系等。

接下来，我们转向双曲线的知识点。

双曲线也是有两个焦点的闭合曲线，但与椭圆不同的是，双曲线的两焦点的距离大于曲线的长度。

记住以下规律可以帮助我们更好地理解和运用双曲线的知识：当双曲线的两焦点水平时，曲线是纵向的；当双曲线的两焦点垂直时，曲线是横向的。

与椭圆不同的是，双曲线有两条渐近线，它们可以与曲线无限逼近但永远不相交。

根据双曲线的标准方程，我们可以推导出离心率与焦点的关系，以及焦点与顶点之间的距离与焦距之间的关系。

这些结论在解题过程中经常会被用到，因此我们需要牢记。

除了上述基本性质外，椭圆和双曲线还有一些重要的性质和定理。

例如，椭圆的半短轴和半长轴的长度之和等于两焦点之间的距离；双曲线的两焦点和焦距的关系等。

熟悉这些性质和定理可以大大地简化解题的过程，并且有助于我们更好地理解椭圆和双曲线。

在考试前复习时，我们可以通过一些练习题来检验自己的掌握程度。

选择一些经典且代表性的习题，熟练运用椭圆和双曲线的知识进行解答。

在解题过程中，我们要尽量用图形的方式来理解和分析问题，这样可以更直观地把握问题的关键点，并且减少计算的复杂性。

椭圆与双曲线知识点总结

椭圆与双曲线知识点总结椭圆和双曲线都是曲线，是数学上的重要概念。

它们在很多地方都有着广泛的应用，特别是在几何学中，它们被广泛使用。

椭圆和双曲线都有一些比较共同的性质，也有一些明显的不同之处。

本文将从一般的基本性质、定义、方程式、参数方程式以及其他应用等方面，总结椭圆与双曲线知识点。

一、椭圆和双曲线的概念椭圆是一种椭圆形状的曲线，它是由两条对称的抛物线连接而成，抛物线的焦点位于椭圆的两个端点上。

椭圆曲线的弦长度相等，它的两个焦点到椭圆上任一点的距离之和是一定值，而两个焦点之间的距离是一定的。

双曲线是一种双曲线形状的曲线，它是由两条相交的抛物线连接而成的，抛物线的焦点位于双曲线的两个端点上。

双曲线的弦长度不相等，它的两个焦点到双曲线上任一点的距离之和是一定值，而两个焦点之间的距离也是一定的。

二、椭圆和双曲线的定义根据椭圆的性质，一般定义椭圆为：椭圆是一种椭圆形状的曲线，它是由两条对称的抛物线连接而成，抛物线的焦点位于椭圆的两个端点上，它的两个焦点到椭圆上任一点的距离之和是一定值，而两个焦点之间的距离是一定的。

双曲线的定义是：双曲线是一种双曲线形状的曲线，它是由两条相交的抛物线连接而成的，抛物线的焦点位于双曲线的两个端点上，它的两个焦点到双曲线上任一点的距离之和是一定值，而两个焦点之间的距离也是一定的。

三、椭圆和双曲线的方程式椭圆的方程式一般可以表示为：$$x=a\cos t,y=b\sin t$$其中，a和b分别为椭圆的长短轴，t为参数。

双曲线的方程式一般可以表示为：$$x=a\cosht,y=b\sinh t$$其中，a和b分别为双曲线的长短轴，t为参数。

四、椭圆和双曲线的参数方程式椭圆的参数方程式可以表示为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$双曲线的参数方程式可以表示为：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$五、椭圆和双曲线的性质1.椭圆的长短轴之和是一定值，即$a+b=C$；2.椭圆的长短轴之积也是一定值，即$ab=A$；3.椭圆的弦长度是一定值，即$2\pi a=L$；4.双曲线的长短轴之和是一定值，即$a+b=D$；5.双曲线的长短轴之积也是一定值，即$ab=B$；6.双曲线的弦长度是一定值，即$2\pi a\cosh t=M$；7.椭圆和双曲线都具有对称性，可以通过旋转或对称变换来实现。

高考数学中的椭圆与双曲线相关知识点详解

高考数学中的椭圆与双曲线相关知识点详解椭圆和双曲线是高中数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题和代数问题中都有广泛的应用。

在高考数学中，椭圆和双曲线都是重点考查的内容，因此对于这两个概念，学生需要掌握其相关知识点。

一、椭圆的定义与特征椭圆是平面上一点集合，其到两个不同定点的距离之和等于常数，这两个定点叫做椭圆的焦点。

椭圆上任意一点到这两个定点的距离之和等于椭圆上任意一点到其所在直线的垂足的距离之和。

根据椭圆的定义，我们可以得出以下特征：1. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a；2. 椭圆的两个直径的长度之和为常数2a；3. 椭圆的两条焦弦的长度之和为常数2a；4. 椭圆的中心点位于两个焦点的中垂线上，中心到两个焦点的距离之和等于常数2a。

二、双曲线的定义与特征双曲线是平面上一点集合，其到两个不同定点的距离之差等于常数。

这两个定点叫做双曲线的焦点。

在双曲线上任意一点到这两个定点的距离之差等于椭圆上任意一点到其所在直线的垂足的距离之差。

双曲线的定义可以得出以下特征：1. 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2a；2. 双曲线的两个直径的长度之差为常数2a；3. 双曲线的两条焦弦的长度之差为常数2a。

三、椭圆和双曲线的方程椭圆和双曲线都可以用方程表示。

以椭圆为例，如果椭圆的中心点为（h，k），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，那么椭圆的标准方程为：（x-h）²/a² + (y-k)²/b² = 1而双曲线的标准方程为：（x-h）²/a² - (y-k)²/b² = 1其中，a和b分别代表长轴的长度和短轴的长度。

当a²> b²时，方程表示的是椭圆；当a² < b²时，方程表示的是双曲线；当a² = b²时，方程表示的是圆。

四、椭圆和双曲线的参数方程椭圆和双曲线的参数方程也可以帮助我们更好地了解它们的特征。

椭圆双曲线知识点总结

椭圆双曲线知识点总结一、椭圆的定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a(a>0)的动点P的轨迹。

F1和F2分别称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴。

如果椭圆的长轴在x轴上，则称为横轴椭圆；如果长轴在y轴上，则称为纵轴椭圆。

椭圆的离心率e的定义为e=c/a，其中c为椭圆的焦距。

椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a为椭圆长轴的长度，b为椭圆短轴的长度。

二、椭圆的性质1. 椭圆的离心率e满足0<e<1.2. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a.3. 椭圆的对称轴是椭圆的长轴和短轴。

4. 椭圆的离心角性质：对任意一点P(x,y)在椭圆上，有PF1+PF2=2a，其中F1和F2为椭圆的焦点。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x=a*cos(t),y=b*sin(t)，其中t为参数，a为椭圆长轴的长度，b为椭圆短轴的长度。

四、椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程为r=a*(1-e^2)/(1+e*cosθ)，其中e为椭圆的离心率，a为椭圆的长轴的长度，θ为极角。

五、椭圆的焦点椭圆的焦点是椭圆上离心率所确定的点，满足焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a。

椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c为椭圆的焦距，满足c^2=a^2-b^2。

六、椭圆的直线椭圆的长轴及短轴分别称为主轴和次轴。

椭圆的直线包括主轴、次轴、对称轴和四条渐近线。

主轴通过椭圆的两个焦点，次轴是与主轴垂直的直线。

对称轴是过长轴中点的直线，与次轴垂直。

椭圆有四条渐近线，它们的交点是椭圆的中心，方程为y=±(b/a)*x。

七、双曲线的定义双曲线是指平面上到两个定点F1和F2的距离之差为常数2a(a>0)的动点P的轨迹。

F1和F2分别称为双曲线的焦点，2a称为双曲线的实轴。

如果双曲线的实轴在x轴上，则称为右开口双曲线；如果实轴在y轴上，则称为左开口双曲线。

高中椭圆与双曲线的经典性质总结

椭圆--（必背的经典结论）1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.椭圆--（会推导的经典结论）1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.13. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线--（必背的经典结论）1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

高三数学椭圆双曲线知识点

高三数学椭圆双曲线知识点椭圆和双曲线是高中数学中重要的曲线类型，对于高三学生来说，掌握椭圆和双曲线的基本知识点是必不可少的。

本文将详细介绍椭圆和双曲线的定义、性质和相关的解题方法。

一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和与两个定点到一条定直线的距离之差的绝对值等于常数的轨迹。

可以用以下方程表示：$\frac{{x^2}}{{a^2}}+\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$（a>b>0）其中，a为椭圆的长半轴，b为短半轴。

椭圆有以下性质：1. 椭圆的离心率e满足0<e<1，且e的取值越小，椭圆越扁平。

2. 椭圆的焦点到准线的距离等于短半轴的长度。

3. 椭圆的长轴与短轴之间的关系为2a=2b。

二、椭圆的方程与基本图形1. 标准方程当椭圆的中心为原点（0,0）时，椭圆的方程为$\frac{{x^2}}{{a^2}}+\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$。

2. 图形特征椭圆是一个封闭曲线，具有关于x轴和y轴对称的性质。

它在x轴和y轴上都有两个顶点，分别是(±a,0)和(0,±b)，其中a为长半轴的长度，b为短半轴的长度。

三、双曲线的定义与性质双曲线是平面上一点到两个定点的距离之差与两个定点到一条定直线的距离之和的绝对值等于常数的轨迹。

可以用以下方程表示：$\frac{{x^2}}{{a^2}}-\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$（a>0，b>0）其中，a为双曲线的长半轴，b为短半轴。

双曲线有以下性质：1. 双曲线的离心率e满足e>1，且e的取值越大，双曲线越扁平。

2. 双曲线的焦点到准线的距离等于短半轴的长度。

3. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。

四、双曲线的方程与基本图形1. 标准方程当双曲线的中心为原点（0,0）时，双曲线的方程为$\frac{{x^2}}{{a^2}}-\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$。

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结椭圆与双曲线是高中数学中的重要知识点，它们在几何和代数中有广泛的应用。

掌握了椭圆与双曲线的基本概念、性质和公式，不仅可以解决各种数学问题，还能帮助我们更好地理解数学的本质和应用。

本文将对高中数学中的椭圆与双曲线知识点进行总结。

一、椭圆的基本概念与性质椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个定点称为椭圆的焦点，而常数称为椭圆的焦距。

椭圆还有一个重要的参数称为长轴，它是椭圆的两个焦点之间的距离。

椭圆具有以下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且越接近0，椭圆越扁平；2. 椭圆的长轴与短轴之间的比值称为椭圆的离心率，离心率等于1的椭圆称为圆；3. 椭圆的对称轴与长短轴相交的点称为椭圆的顶点；4. 椭圆的周长公式为C = 4aE(e)，其中a为长轴的一半，E(e)为离心率e的椭圆的第一类椭圆积分；5. 椭圆的面积公式为S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。

二、双曲线的基本概念与性质双曲线是平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

这两个定点称为双曲线的焦点，常数称为双曲线的差距。

双曲线还有一个重要的参数称为长轴，它是双曲线的两个焦点之间的距离。

双曲线具有以下性质：1. 双曲线的离心率大于1，离心率越大，双曲线越扁平；2. 双曲线的离心率等于1的时候，双曲线为抛物线；3. 双曲线的对称轴与长轴、短轴相交的点称为双曲线的顶点；4. 双曲线的渐近线是与双曲线无交点的直线，斜率大小由离心率决定；5. 双曲线的面积公式为S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。

三、椭圆与双曲线的方程与图像1. 椭圆的方程形式为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心；2. 双曲线的方程形式为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1（双曲线的开口朝向x 轴）或者(x-h)²/b² - (y-k)²/a² = 1（双曲线的开口朝向y轴），其中(h,k)为双曲线的中心。

椭圆和双曲线知识点总结

椭圆和双曲线知识点总结椭圆和双曲线是解析几何学中重要的曲线类型，它们具有广泛的应用领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。

对于学习者来说，掌握椭圆和双曲线的基本概念和性质非常重要。

本文将对椭圆和双曲线的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这两种曲线。

1. 椭圆椭圆是一种闭合的曲线，由平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点构成。

其中，距离之和等于常数的直线被称为准线，椭圆的准线经过椭圆的中心点。

椭圆有以下几个重要的性质：1.1 焦点和准线：椭圆的焦点是椭圆的两个定点，准线是距离之和等于常数的直线。

1.2 主轴：通过椭圆的两个焦点和中心点可以确定一条直线，称为主轴。

主轴上的两个点，分别与椭圆上的两个焦点重合。

1.3 长轴和短轴：主轴上的两个端点与椭圆上的焦点相连，分别与椭圆上的两个准线相交，形成的线段分别被称为椭圆的长轴和短轴。

1.4 离心率：椭圆的离心率是一个表示椭圆形状的数值，它等于焦点到准线的距离与椭圆长轴的比值。

离心率小于1的椭圆被称为椭圆，离心率等于1的特殊椭圆称为圆。

1.5 方程：椭圆方程的一般形式为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心点坐标，a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。

2. 双曲线双曲线也是一种闭合的曲线，其定义方式与椭圆类似，但是距离之差等于常数。

双曲线的准线与焦点之间的关系与椭圆相反。

双曲线有以下几个重要的性质：2.1 焦点和准线：双曲线的焦点是双曲线的两个定点，准线是距离之差等于常数的直线。

2.2 主轴：通过双曲线的两个焦点可以确定一条直线，称为主轴。

主轴上的两个点，分别与双曲线上的两个焦点重合。

2.3 长轴和短轴：主轴上的两个端点与双曲线上的焦点相连，形成的线段分别被称为双曲线的长轴和短轴。

2.4 离心率：双曲线的离心率也是一个表示双曲线形状的数值，它等于焦点到准线的距离与双曲线的长轴的比值。

2.5 方程：双曲线方程的一般形式为(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为双曲线的中心点坐标，a和b分别为双曲线长轴和短轴的长度。

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线和抛物线是解析几何中常见的二次曲线，它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。

以下是这三种曲线的知识点汇总：1. 椭圆的定义与标准方程椭圆是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合。

椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴。

2. 椭圆的性质- 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是一个常数。

- 椭圆的长轴和短轴互相垂直，且长轴是椭圆上最长的直径。

- 椭圆的面积为 $\pi \times a \times b$。

3. 双曲线的定义与标准方程双曲线是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的集合。

双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（水平开口）或 $\frac{y^2}{b^2} -\frac{x^2}{a^2} = 1$（垂直开口），其中 $a$ 和 $b$ 分别是双曲线的实半轴和虚半轴。

4. 双曲线的性质- 双曲线的焦点到双曲线上任意一点的距离之差是一个常数。

- 双曲线的两个分支分别位于两个焦点的两侧。

- 双曲线的面积无法用简单的公式表示，但可以通过积分计算。

5. 抛物线的定义与标准方程抛物线是平面上所有点到一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点的集合。

抛物线的标准方程为 $y^2 = 4ax$（水平开口）或 $x^2 = 4ay$（垂直开口），其中 $a$ 是抛物线的参数。

6. 抛物线的性质- 抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。

- 抛物线是对称的，且对称轴是抛物线的顶点所在的直线。

- 抛物线的面积可以通过积分计算，公式为 $\frac{1}{4} \times a \times \text{弧长}$。

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。

定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。