波函数和薛定谔方程-力学量算符
薛定谔方程与波函数的意义
薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。
薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。
薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。
薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。
通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。
波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。
2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。
波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。
3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。
不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。
求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。
4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。
在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。
通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。
5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。
通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
量子力学的五大公设
处于态的体系，部分的处于1态，部分的处于 2态…,部分的处于n,...
求解定态问题的具体步骤如下：
（1）、列出定态Schrödinger方程
2
[ 2 V (r )] (r ) E (r )
2m
（2）、求解S—方程,写出通解
Ylm* (lˆx2 lˆy2 )Ylmd l(l 1) 2 m2 2
lx2 ly2 l(l 1) 2 m2 2
lx2
l
2 y
lx2
l
2 y
1 [l(l 2
1)
m2 ]
2
则测不准关系：
(lx )2
lx2
2
lx
l y2
(ly )2
l
2 y
2
ly
l
2 y
(lx )2 (ly )2 lx2 ly2
Lz Cn 2 Lz 0
n
2 dx2 2
2
2 2
2
E' E e2 2 2 2
2 d 2 1 2 x'2 E' 2 dx2 2
E'n
(n
1 ) ,
2
n 0,1,2,
n (x')
1 2x'2
NnHn (x')e 2
所求的解为：
En
(n
1 )
2
e2 2 2 2
,
n 0,1,2,
n[ (x
m ( )
1 eim
2
m 0,1,
Acos2
A
2
2
0
A
2
中国科学技术大学量子力学考研内部讲义一(01-06)
量子力学理论处理问题的思路① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点；④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤ 联系实际问题，应用所得结果。
有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动量算符ˆp和坐标算符ˆx 之间的关系是ˆx p i x∂=-∂，在动量表象中它们之间的关系为ˆˆx x i p ∂=∂，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。
这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。
所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。
第一部分 薛定谔方程与波函数在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。
第二章-波函数和Schrodinger-方程市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(四） 自由粒子旳波函数
自由粒子， E, p 拟定
E / h, h / p
平面单色波 y Acos 2 ( x t ) T
Acos 2 ( px Et )
hh Acos 1 ( px Et)
h
量子力学中这么旳平面波
A
cos
1
(
p
r
Et)
h
表达为指数形式：
A
exp
i
(
p•
（五）
动量空间（表象）旳波函数
波函数Ψ (r,t) 可用多种不同动量旳平面波表达，
证明。
则 Ψ可按Фp 展开
令
1
i
p
(r
)
（2）3/ 2
exp[
p•r]
展开 系数
(r,t)
c(
p,
t
)
p
(
r
)dp
1
(2)3/ 2
c(
p,
t
)
exp[i
p • r ]dpxdpydpz
c( p, t)
性质： ( x) ( x)
0
x0
x
(x
x0 )
1
2
dk
e ik ( x x0 )
(x
x0 )
1
2
e dp i
px
(
x
x0
)
x
(ax) 1 ( x)
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
作代换：px x，px x0，则
(
px
px
)
1
2
[
E
E
]t
p *
量子力学期末考试题及解答
（2） 时波函数 ；
（3） 时能量的取值几率及能量平均值。
三、表象理论
1.已知在 和 的共同表象 中，当 时，算符 的矩阵形式为
求其本征值及相应的本证函数。
解答：在 和 的共同表象 中， 的本证方程为
相应的久期方程为
于是得到 满足的代数方程
显然 。当 时，将其代回本证方程得
（3）
在 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
（4）
得到
（5）
于是有
（6）
此即能量满足的超越方程。
当 时，由于
（7）
故
（8）
最后，得到势阱的宽度为
（9）
7.设粒子处于如下势场
若 ， ，求在 处的反射系数和透射系数。
解答：具有能量 的粒子由左方入射，在两个区域中的波函数分别为
（1）
（2）
式中
（3）
利用波函数在 处的连接条件，得到
一、波函数及薛定谔方程
1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;
解答：由波函数的概率波解释可知，当 已经归一化时，坐标的取值概率密度为
（1）
将上式的两端分别对时间 求偏微商，得到
（2）
若位势为实数，即 ，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式
（3）
（4）
将上述两式代入（2）式，得到
（5）
若令
（6）
证明： （1）
用算符 作用（1）式两端，有
（2）
由上式可知 也是算符 的对应本征值 的本征态，它与 只能差一个常数，若设其为 ，则有
（3）
说明 不但是算符 的本征态，而且也是算符 的本征态。
13.证明下述两个平均值公式
量子力学的五个基本假设
量子力学的五个基本假设
量子力学五大假设是指微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述；微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程；力学量由相应的线性厄米算符表示；力学量算符之间有确定的对易关系；全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性。
量子力学的理论框架是由下列五个假设构成的：
（1）波函数假设：微观体系的运动状态被一个属于
希尔伯特空间波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。
（2）演化假设：微观体系的运动状态波函数随时间的演化满足薛定谔方程。
（3）算符假设：力学量用厄米算符表示。
（4）量子测量假设：当对一个量子体系进行某一力学量的测量时，测量结果一定为该力学量算符的本征值当中的某一个，测量结果为|k>的概率为|<k|ψ>|的平方,当测量完成后，该量子体系塌缩至|k>,（即不管再对该量子态重新测量多少次，测得的该力学量的值一定为第一次所测得的值k）。
（5）全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。
微电子学物理基础-波函数及薛定谔方程
《微电子学物理基础》Fundamental of Microelectronics Physics教学大纲一、课程性质与目的《微电子物理基础》是微电子学专业的专业选修课。
该课程在普通物理、高等数学、线性代数等基础上，使学生树立起微观粒子运动的基本图像，深刻理解微观粒子运动的表述方式、基本原理及普遍规律，掌握典型微观体系的基本特征。
通过该课程的学习，能够理解波函数的意义，力学量算符的概念，掌握晶体结构，晶格振动和能带理论。
解决一些与专业有关的问题，为今后进一步学习有关专业基础课程奠定必要的理论基础。
二、课程内容及要求：第一章经典物理学的困难1、教学基本内容1.1 经典物理学的困难2、教学基本要求了解：十九世纪末二十世纪初经典物理所遇到的困难第二章波函数及薛定谔方程1、教学基本内容2.1波函数2.2不确定关系2.3薛定谔方程2.4粒子流密度和粒子数守恒2.5定态薛定谔方程2.6一维无限势阱模型2.7一维有限势阱模型2.8一维线性谐振子2.9势垒贯穿2、教学基本要求掌握：微观粒子波函数的Schrödinger方程，定态Schrödinger方程、无限深势阱中粒子的运动、势垒贯穿、线性谐振子等具体问题的求解过程理解：微观粒子的波、粒二重性及其本质；微观粒子所遵循的态叠加原理了解：不确定关系原理第三章量子力学中的力学量1、教学基本内容3.1量子力学中的算符3.2 厄米算符的本征函数的正交性和完全性3.3 动量算符角动量算符3.4 电子在库仑场中的运动3.5 基本的对易关系两力学量同时确定的条件不确定关系2、教学基本要求掌握：力学量算符的本征值方程、本征值和本征函数的物理意义；动量、角动量等常见力学量算符的表达式，中心力场问题的求解理解：力学量与其算符表示之间的对应关系了解：力学量的不确定度概念，对易关系第四章微扰理论1、教学基本内容4.1 非简并微扰理论4.2 简并定态微扰2、教学基本要求掌握：能够用定态微扰理论求解简单的定态微扰问题理解：简并和非简并定态微扰理论求解的实质了解：微扰理论的概念第五章晶体结构1、教学基本内容5.1晶体的共性、密堆积、晶体的周期性5.2晶列、晶面、倒格子5.3晶体的对称性5.4晶格结构的分类2、教学基本要求掌握：堆积类型，晶格、原胞、布喇菲格子和复式格子、正格矢、晶体的周期性、倒格矢等物理概念，正格子和倒格子的关系理解：几种常见晶体的结构类型了解：晶体的共性，晶体的对称性，晶体结构的分类第六章晶体的结合1、教学基本内容6.1 原子的电负性6.2晶体结合的类型6.3 结合力及结合能2、教学基本要求掌握：电离能、电负性、电子亲和能等物理概念理解：掌握原子之间的相互作用势能和相互作用力及其物理性质了解：晶体的几种结合方式及各自的特点第七章晶格振动与晶体的热学性质1、教学基本内容7.1 一维晶格振动（Ⅰ）7.2 一维晶格振动（Ⅱ）7.3 三维晶格的振动2、教学基本要求掌握：格波，声子，长光、声学波，晶格振动模式密度，声子的热容量；理解：一维简单格子和复式格子中格波的求解过程、一维原子链中色散关系了解：三维晶格振动的求解、晶格热容的量子理论。
《量子力学教程》_课后答案
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当
波函数薛定谔方程
(r .t )
0e
i
(
Et
pr )
波函数Ψ是复数，模的平方可表示为
2 *
5
4 、波函数的统计解释: (1)概率密度: 玻恩假定：概率波的波函数Ψ，模的平方
| r,t|2 r,t* r,t
代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概 率，称为概率密度。
t 时刻在空间 r 附近体积 dv 内发现粒子的概率为：
为物质波能够干涉)。
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
2 2 U x, y, z,t i
2m
t
（１）式中 2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符， x2 y 2 z 2
11
（２）U x, y, z, t
表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数， （３） m 是微观粒子的质量。
薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推 理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。
1 、一般的薛定谔方程 微观粒子的运动状态用波函数
Ψ(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这 个波函数应该是适用于微观粒子的波 动方程的一个解。
10
•必须能满足德布罗意波公式的要求，
E , h
h
p
•必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理 (因
的原理可以证明它的正确性。 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
14
例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子在 空间的分布概率将
(A)增大Ｄ２倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。
波函数和薛定谔方程
b a
Ò
S
r r r J (r , t ) dS
得
dJ x ( x, t ) = J x (a, t )- J x (b, t )
J x (a, t )和 J x (b, t ) 分别表示流入和流出Vab
r d 3r r r , t d r=( ) dt 蝌 V
抖 2 y* * y y =y + y 抖 t t t
对于一维的薛定谔方程
抖 ih y ( x, t ) = 抖 t 轾 h2 2 犏 + U ( x, t ) y ( x, t ) 犏 2m x 2 臌
则对于上式，可写为
抖 r ( x, t ) + 抖 t x J x ( x, t ) = 0
有
ì ï 抖 y ih 2y i ï = - Uy ï 2 ï 抖 t 2m x h ï í ï 抖 y* ih 2 y * i * ï = + U y ï 2 ï t 2m x h ï î 抖
不稳定粒子
发生衰变、或湮灭-再生过程的 粒子，则
P (t ) =
ò
¥
么？
守恒性
归一化条件是非相对论性粒子概率意义 的自然要求，也是薛定谔方程的结果。
r d 3r r r , t d r® 0 ( ) ò dt ¥
ò
+
-
y (x, t ) dx = e- t t
2
P (t )是粒子出现在全空间的概率， t 为粒子衰变的寿命。
算符
在位形空间里，描述动量的函数不再 是一般的函数，而是微分算符
ˆx px ? p - ih ¶ ¶x
波函数与薛定谔方程
直到1926年波恩提出统计诠释，大多数物理学家接受
在已知给定的条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些 可能结果的概率 粒子的运动遵守概率定律，但概率本身还是受因果规律支配的 但争论仍在继续：
哥本哈根学派：玻尔、海森伯坚持波函数的概率或统计解释 认为它表明了自然界的最终实质 爱因斯坦不喜欢量子力学的“不完备性” 上帝不是跟宇宙玩掷骰子游戏
满足归一化条件 d 3r 1 的波函数
16
例
17
例
18
续
19
例
20
薛定谔方程引言
21
16-2 薛定谔方程
量子力学基本原理之二： 微观粒子体系的波函数ψ满足
薛定谔方程.
起源： 1926年薛定谔对德布罗意的工作了漂亮又简
洁的说明,-----德拜听后说“要真正研究波动,必须
有波动方程.” 几个星期后,薛定谔找到了这个方程.
也是这个体系的一个可能态。
c11 c2 2 cn n cn n
c1, c2, cn为任意常数 n
波函数遵从叠加原理由实验证实： 以双缝实验为例
1、子弹通过双缝的射击实验 （经典）
子弹
宏观粒子 可以跟踪
a P1
b
P2
P
P P1 P2概率叠加
H
i
t
如果知道了 U ，可列出微分方程，解得Ψ，即找到 Ψ 随时 间变化的规律。
27
定态薛定谔方程：如果粒子所处的势场 U( r ) 与时间无关(即
不显含时间), 可用分离变量法求解.
令
H i
r, t
t r
f
t
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔⽅程波函数和薛定谔⽅程⼀、波函数的统计解释、叠加原理和双缝⼲涉实验微观粒⼦具有波粒⼆象性（德布罗意假设）；德布罗意关系（将描述粒⼦和波的物理量联系在⼀起） k n h p h E ====λων物质波（微观粒⼦—实物粒⼦）引⼊波函数（概率波幅）—描述微观粒⼦运动状态对于微观粒⼦来说，如果不考虑“⾃旋”⼀类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。
⾄少在⽬前量⼦⼒学框架中，我们不能获得⽐波函数更多的物理信息。
微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述——量⼦⼒学中的⼀条基本原理该原理包含三⽅⾯内容：粒⼦的状态⽤波函数表⽰、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。
要明确“完全”的含义是什么。
按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量⼦态，若已知单粒⼦（不考虑⾃旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒⼦的位置概率分布，⽽且如动量等粒⼦的其它⼒学量的概率分布也均可通过波函数⽽完全确定。
由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的⼀切物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述。
必须强调指出，波函数给出的有关粒⼦的“信息”本质上是统计性质的。
例如，在适当条件下制备动量为p 的粒⼦，然后测量其空间位置，我们根本⽆法预⾔测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。
很⾃然，⼈们会提出这样的疑问：既然量⼦⼒学只能给出统计结果，那就只需引⼊⼀个概率分布函数（象经典统计⼒学那样），何必假定⼀个复值波函数呢？事实上，引⼊复值波函数的物理基础，乃是量⼦⼒学中的⼜⼀条基本原理——叠加原理。
这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，数学求和）。
正因如此，在双缝⼲涉实验中，我们才能看见屏上的⼲涉花纹。
实物粒⼦双缝⼲涉实验分析我们⾸先只打开⼀条狭缝，根据粒⼦的波动性，可以预⾔屏上将显⽰波长p / =λ（p 为粒⼦动量）的单缝衍射花纹。
但是，根据粒⼦的微粒性，它们将是⼀个⼀个打上去的，怎样将这两种性质的描述调和起来呢？为此，我们想象将⼊射粒⼦束强度降低，直到只⼀个粒⼦通过狭缝，这时屏上会出现很微弱的衍射花纹吗？当然不会！单个粒⼦只能作为⼀个不可分割的整体打到屏上的⼀个点，从⽽出现⼀个⼩斑点。
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析量子力学是一门对于微观世界的描述和研究的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心公式之一。
薛定谔方程的提出不仅改变了科学界对于微观世界的认知，而且对于现代科技的发展也有着深远的影响。
本文将探讨薛定谔方程的内容以及与之相关的波函数解析。
首先，我们需要了解薛定谔方程的基本形式。
薛定谔方程是一个描述粒子在量子力学中运动的方程，它的一般形式可以写作：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，ψ是波函数，t是时间，ħ是普朗克常数，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的这种形式被称为时间-相关薛定谔方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
在解析波函数之前，我们首先需要了解波函数的物理意义。
波函数的平方模的绝对值的平方在某一点上的积分值，也就是密度波，表示了在这一点上找到粒子的概率。
因此，波函数可以看作是描述粒子在空间中分布的函数。
解析波函数是指通过薛定谔方程求得波函数的具体形式。
对于简单的系统，如自由粒子、势垒和谐振子等，可以通过求解薛定谔方程的定态解来得到波函数的具体形式。
定态解是指波函数不随时间变化的解，可以表示为：ψ(r,t) = Σ C_n ψ_n(r) e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n(r)是波函数的空间部分，E_n是能量。
对于不定态解，即波函数随时间变化的解，我们可以将波函数按能量本征态（定态解）展开。
这样，就可以得到波函数的解析表达式。
波函数的具体形式与实际问题密切相关。
对于一维自由粒子，其波函数的解析表达式为ψ(x,t) = A e^(ikx-ωt)，其中A是归一化常数，k是波数，ω是角频率。
这个解析表达式描述了自由粒子在空间中传播的波动性质。
对于势垒问题，波函数的解析解也可以通过求解薛定谔方程得到。
在势垒的两侧，波函数可以分别表示为反射波和透射波。
量子力学中的概率幅分布的特点使得粒子在势垒处发生反射和透射现象。
在实际的研究中，波函数的解析解不仅提供了精确的理论描述，还为物理定律的验证和应用提供了基础。
波函数 薛定谔方程
玻尔在解释氢原子光谱时就提出了定态的概念雏形.定态也是量子力
学中最重要的概念之一，本节就从薛定谔方程出发，对定态的性质做一些
概括性的讨论.
若势能V(r)与时间无关，则可以设
Ψ(r,t)=Ψ(r)f(t)
（15- 41）
把式（15- 41）代入式（15- 40）,得到
波函数 薛定谔方程
两边同除以Ψ(r)f(t)，就可以分离变量，即
波函数 薛定谔方程
薛定谔方程描述微观粒子运动的一般方程，自然也可以描 15- 36
解，由式（15- 36）可得
（15- 37）
波函数 薛定谔方程
由式（15- 35）可得
波函数 薛定谔方程
（1）这并不是薛定谔方程的证明，薛定谔方程是量子力学的基本 假定，是对大量实验观测结果的概括，它和经典力学中的牛顿三定律一 样，是不能被证明的.
波函数 薛定谔方程
图15- 13 无限深方势阱中的波函数
波函数 薛定谔方程
图15- 14所示为 无限深方势阱中的粒 子分布密度Ψ2(x).容 易看出，当n→∞时， 粒子分布密度会趋于 均匀，即在大量粒子 数条件下，量子力学 将回到经典情况.
图15- 14 无限深方势阱中的粒子分布密度
谢谢观看
波函数 薛定谔方程
若定态波函数能够满足归一化条件，即
则在无限远处，定态波函数必然迅速趋于0，即粒子不可能出现 在无穷远处，也就是粒子被限制在有限的范围内运动，这种状态就称 为束缚态，否则就称为游离态.
波函数 薛定谔方程
在经典情况下，粒子当然也不能出现在阱外，这一点与量子 力学的解并无区别.若是经典粒子，在阱内各处的势场都为零， 因此粒子在阱内均匀分布.在量子力学情况下，容易解得粒子出 现在各处的概率并不相同，随着位置的变化而变化，即粒子分布 是不均匀的.此外，在经典情况下，粒子的能量可以取任意的有 限值，即粒子的能量是可以连续变化的，但在量子力学情况下， 粒子的能量只能取一系列分立值，即能级是量子化的.图15-13所 示为无限深方势阱中的波函数Ψ(x).
量子力学填空简答证明复习资料 (2)
填空 第一章 绪论6、玻尔的量子化条件为 n L =9德布罗意关系为 k p E==,ω 。
1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 221mv A h +=ν 。
2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系为 k p E==,ω 。
第二章 波函数和薛定谔方程1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。
4、2),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。
5、dr r r 22),,(⎰ϕθψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。
第三章 量子力学中的力学量2如两力学量算符有共同本征函数完全系，则0 。
3、设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__ψλψ=Fˆ_______。
5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。
10坐标和动量的测不准关系是_2≥∆∆x p x ___________________________。
自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒3、 设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为___在p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。
3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。
10、=]ˆ,[x p x i ； =]ˆ,ˆ[zy L L x L i ；第四章 态和力学量的表象量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符__________。
力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的第五章 微扰理论第七章 自旋与全同粒子7.为泡利算符，则=2ˆσ 3 ，=]ˆ,ˆ[y xσσz i σˆ28、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。
《量子力学教程》作业题
第二章波函数和薛定谔方程1、求一维线性谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。
21 2.52、质量为的粒子在势场中做一维束缚运动，两能量本征函数分别为：，，试精确确定的取值，并求这两个状态之间的能量差。
3、粒子在如下势场中运动，求其能级。
4、设质量为的粒子处于一维势阱中，式中。
若粒子具有一个的本征态，试确定此势阱的宽度。
第三章量子力学中的力学量1、若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则必与另一个分量对易。
2、若算符和是守恒量，证明它们的对易子[，]也是守恒量。
3、二维谐振子的哈密顿量1）求出其能级；2）给出基态波函数；3）如果，试求能级简并度。
4、二维谐振子哈密顿量为讨论：1）当时，能量本征值和简并度；2）当时，最低四个能级的本征值和简并度。
5、一维谐振子的哈密顿算符为，引入无量纲算符；μ)(x V )2exp()(21x A x βψ-=)2exp()()(222x c bx xB x βψ-++=c b 、⎪⎩⎪⎨⎧>≤∞=)0(2)0()(22x x x x V μωm ()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V0 ,0,0.000>V 4V E -=a J ˆAˆB ˆA ˆB ˆ)(21)ˆˆ(21ˆ22222122y x m P P m H yx ωω+++=21ωω=ωωω==y x ωωω==y x 21222212ˆx m m P H x ω+=x m Qω=ˆ)(21)(2ˆ222222222y x m yx mH y x ωω++∂∂+∂∂-=；；。
1）计算对易关系, ,,； 2）证明。
6、线谐振子在t=0时处于态上，其中为线性谐振子第n 个能量本征值En 对应的本征函数。
求：(1) 在Ψ(x,0)态上能量的可能取值、相应的概率及平均值； (2) 写出t>0时刻的波函数，并求其相应的能量取值几率与平均值。
7、一个质量为的粒子被限制在一维区域运动，时处于基态。
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波函数和薛定谔方程-力学量算符1．一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
[解]首先将归一化，求归一化系数A。
（1）动量的几率分布函数是注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有令代入上式得（2）动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。
讨论：①一维的傅里叶变换的系数是而不是。
②傅里叶变换式中的t可看成参变量。
因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于的情况，变换式的形式保持不变。
③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。
2．设在时，粒子的状态为求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。
[解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。
任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。
知道了几率分布函数后，就可按照求平均值。
在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取，而，粒子动量的平均值为A可由归一化条件确定故粒子动能的平均值为。
方法二：直接积分法根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有而则有及。
讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。
②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。
③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。
3．一维谐振子处在的状态，求：（1）势能的平均值；（2）动量的几率分布函数；（3）动能的平均值[解]先检验是否归一化。
是归一化的。
（1）.其中应用及（2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数其中，（3）其中由此得出结论，对于处在基态的谐振子来说，动能的平均值和势能的平均值相等。
4．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
[解]一维谐振子的波函数为式中为厄密多项式。
对于第一激发态故处在第一激发态的几率正比于欲求其最大值，必须满足即有讨论：①在处有极值，这是由于一维谐振子的波函数本来就是对原点对称的缘故，这从物理上看是很清楚的，当及时，几率，故和几率的关系大致如图示。
②假如过渡到经典情况，相当于，这时。
这在经典力学看来是完全合理的，因为从经典的观点来看，谐振子处在原点几率最大，因为处在原点能量最低。
5．设氢原子处在的态，为玻尔半径，求（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）动量几率分布函数。
[解] 先检验是否归一化。
这表明是归一化的。
（1）（2）这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。
（3）选用球坐标，且使y轴与的方向一致，则有其中令，且应用了再令则6．粒子在势能为的场中运动，证明对于能量的状态，能量由关系式决定，其中[解]势能与坐标的关系如图示，按值的不同可分为三个区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
分别应用薛定谔方程，有Ⅰ：，其中：Ⅱ：其中：Ⅲ：其中：它们的解分别为，边界条件：当；则当，；则连接条件（波函数的标准条件）在处，在处，在处，在处，在上面四个式子，由第一和第三式可得由第二和第四式可得而故其中令于是有由，得由可得讨论：①对于束缚态的问题，我们总是先按不同的要求写出薛定谔方程，求出解。
然后再利用边界条件和波函数的标准条件定解。
这种方法具有一般性。
②把Ⅰ、Ⅲ两区域的解写成指数形式，是因为能够利用边界条件把两个任何常数的问题变为只有一个任意常数的问题。
而在区域Ⅱ中没有边界条件。
又因所要求的结果具反三角函数的形式，因此把Ⅱ的解写成三角函数的形式。
原则上，写面指数或三角函数形式是任意的，若选择得当，往往可使问题的求解较为简捷。
7．粒子处在势能为的场中运动，求在能量小于的情况下决定粒子能量的关系式。
[解]对区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别有Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：其解分别为边界条件：当时，当时，；于是连接条件：当时，，，当时，，，上列四式可重写为齐次方程式为下：这个方程组要得到非零解，必须其系数行列式为零，故有解之得它与三式决定粒子的能量。
8．求三维谐振子的能级，并讨论它的简并情形。
[解]三维谐振子的哈密顿为其中如果哈密顿可以分离变量，就必然有及因此可以设定薛定谔方程的解为且则有两边均除以得：要上式两边相等，必须今、、三份分别相等，亦即故有它们分别为沿、、方向的线谐振子方程，它们的能量分别为因此三维谐振子的能量为其中为正整数。
由N确定后，由于可以有不同的组合，因此就对应于不同的状态，这就是简并。
简并的重数可以决定如下：当时，可取，故有个可能值。
当时，可取，有个可能值。
……当时，只能取0，即只有一个可能值。
当和都确定后，由于的限制，也确定了，因此并不增加不同组合的数目。
故N确定以后，、、的可能组合数目，即简并重数为讨论：①若哈密顿本身可以分离变量，总可以有及。
这个结论是具有普遍性的。
只要注意到我们在证明这个结论时并没有涉及谐振子的哈密顿的具体形式，就能够看出这一点。
②以上讨论假定了谐振子在三个方向的频率相同。
一般地说，各方向的频率是可以不同的，对此，我们也可以用完全类似的方法来讨论。
9．一粒子在三维势场中运动，求粒子的能量和波函数。
[解]我们先来证明一个一般的结论：若哈密顿可写成、、之和，即则所对应的本征能量为波函数为其中、、；、、分别满足一维薛定谔方程（1）（2）（3）把上面三式写成（1）′（2）′（3）′（1）′式乘；（2）′式乘；（3）′式乘；然后三式相加得到：即这就是我们所要证明的结论。
于是我们就把一个解三维的薛定谔方程的问题归结为求解三个一维薛定谔方程的问题。
只要求得、和以有、和，就不难求出和。
对于方向的薛定谔方程（1）′，相当于求解一维无限深势阱下粒子的能量和波函数。
利用教材§10的结论，把（10—26）、（10—27）和（10—28）式中的用a来代替，可得到（n是整数）对于y方向的薛定谔方程（2）′，同理有（m是整数）对于方向的薛定谔方程，由于，这表明粒子在方向可以自由运动，其解为平面波解，即有是连续谱因此则有下列几种可能当，时讨论：若势阱宽度仍为a和b，但区间是由，不难证明，这时E仍如上式所示，但波函数只有一种，为式中、均为整数。
10．设在附近运动的粒子受到弹性力作用，相应的势能是，已知满足对应于这个势能的薛定谔方程的波函数是，其中；是n级厄密多项式，当时，；；；（1）试由薛定谔方程计算相应于本征函数的本征能量；（2）利用公式求时的平均势能（3）求时的平均动能。
[解]（1）本征能量由定态薛定谔方程决定。
（a）求：有而代入薛定谔方程得（b）故（c）（d）同理可得依此类推可得：（2）求平均势能（a）时，（b），（c），（d）（3）求平均动能（a）（b）（c）（d）讨论：①通过本题可以看到，只要已知本征波函数和体系的哈密顿算符的形式，要求体系对应于这些本征函数的本征能量，只需代入薛定谔方程通过微分运算求出。
因此解薛定谔方程求本征函数和本征能量E的困难，事实上何求本征函数上。
一旦已知本征函数，本征能量就容易求出了。
②事实上，受到弹性力作用的体系，相当于一维谐振子，本征函数就是谐振子的本征函数，这只须取就可看出。
因此算出的能量自然就是谐振子的本征能量，这和我们直接运算得出的结果一致。
③计算结果表明，对于在弹性力作用的体系（一维谐振子）算出的势能平均值总是等于总能量的一半，不管处在哪个能级，都有相同的结论，即这从物理上看显然是非常合理的。
11．粒子在势能的捧力场中运动，求能量，的情况下，粒子的能量和状态。
[解]径向方程为当时，方程简化为在处，波函数为，则有令，则方程变为即有其中在处，令，则有其中解上面两个方程得，故边界条件：当时，为有限，故于是当时，为有限，故于是连接条件：当时，于是，故解上面两式消去和得故得此外，再注意到从上面两式用图解法求出和，从而确定粒子的能量。
由及波函数的归一化条件可以确定和，从而粒子状态的波函数就可以确定。
12．粒子在半径为a，高为d的圆筒中运动，在筒内的势能为零，在筒壁和筒外势能为无限大，求证：（1）粒子的波函数是其中是柱面坐标，为m阶贝塞尔函数的第个根。
（2）粒子的能量是[解]筒外势能为无限大，故粒子在筒内运动的薛定谔方程用圆柱坐标表示为：用分离变量法，设代入上式，可以得到则有上面第一式的解为，其中利用边界条件：当时，当时，因而再令代入上面的第二式，可再分离变量得这第一式的解为其中现在令于是第二式改写为这是一个m阶贝塞尔方程，其解为当时，诺意曼函数，故当时，，故令为m阶贝塞尔函数的第t个根，则有综合上面几个式子，得到粒子的波函数为其中C可由归一化条件决定。
粒子的能量为13．设粒子在一维无限深阱中运动，如果粒子的状态由波函数描写，求粒子能量的可能值和相应的几率。
[解] 一给无限深势阱式中a为势阱宽度。
粒子具有一定能量的状态为本征态，它满足本征方程粒子在阱内时有代入本征方程得其解为能量为任意状态，可视为一系列本征态的线性迭加，亦即只要求出各个，就可以求出能量的各个可能值及相应的几率。
方法一：本题的较简单，容易化为若干正弦函数的迭加故，能量可能值，能量可能值方法二：一般方法因为由于三角函数的正交性故即得及讨论：比较上面两种方法可以看出，如果比较简单，能够较容易地把它展开为本征函数的组合时，就可以不必利用比较麻烦的积分方法求，但方法一只有在特殊情况下才能使用。
14．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。
[解] 先把波函数归一化，求归一化系数A。
故而能量的几率分布为能量的平均值为由于故讨论：由于几率分布与成反比，可看出能级愈低，几率愈大。
当时，几率，故知粒子绝大部分可能处于这个态。
15．设两个方形势垒的形状分别是；求粒子连续贯穿两个方形势垒的贯穿系数。
[解] 现在讨论的显然是，的较小的一个情况。
按照贯穿系数的定义：其中和分别表示粒子贯穿第一个方势垒的贯穿系数和粒子贯穿第二个方势垒的贯穿系数，注意到故。