离散时间随机过程
(优选)离散时间随机信号和随机过程
mx
0
x
x
2
exp
x2
2 2
dx
2
2 x
x
0
mx
2
x
2
exp
x2
2 2
dx
2-
2
2
练习 求正态分布的随机变量的均值和方差。
pxx
1
2
exp
x m2
2 2
mx
x
1
2
exp
ห้องสมุดไป่ตู้
x m2
2 2
dx
m
2 x
x m2
1
2
exp
x m2
2 2
dx
2
5.3 离散随机过程
（1）离散随机过程 由无限多个随机变量构成的一个时间序列
xn n
构成一个随机过程.
仅仅知道一个时刻的统计特性是不够的 还应该知道不同时刻随机变量之间的关 系,引入联合概率分布函数和联合概率密 度函数.
随机过程理论的应用：信道容量分析 •
53
随机变量xn，xm的联合概率分布函数， 描述了他们之间的互相依存关系：
p （X xn，xm n，n，Xm，m）=pxn+k，xm（k Xn+k，n+k，Xm+k，m+k）
意义： 反映了随机变量的波动与离散的程度.
（4）物理意义
设随机变量是电压或电流，则
均方值 E[x2 ] 是在单位电阻上消耗的总的平
均功率;
方差
2 x
是交流成分在单位电阻上消耗的
平均功率；
均值的平方是直流成分在单位电阻上消耗
的平均功率.
.
总平均功率等于交流成分的平均功率
离散时间随机过程的功率谱密度
设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称
为广义平稳随机序列，具有零均值。 X(n)可以看
作对连续时间随机过程进行采样得nTs
X(n)自相关函数为:
RX (m) E[X (nT)X (nT mT )]
简写为： RX (m) E[X (n)X (n m)]
)
(3)
lim E
N
X (t) Xˆ (t) Xˆ (t)
0
(4)
lim E
N
X (t) Xˆ (t) X (t)
0
(5)
lim E
N
X
(t
)
Xˆ
(t
2
)
0
X
(t)
lim
N
N n
N
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
17
连续时间 平稳随机过程
X (t)
采样 X (n) X (nT )
离散时间
X
(t)
lim
N
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
平稳随机过程
X (n)
自相关函数
Rc ( )
FT 功率谱密度
Sc ()
自相关函数
R(m)
DFT
功率谱密度
S ( )
2020/8/6
18
三 功率谱密度的采样定理
若平稳连续时间实随机过程 Xc (t)，其自相关函数
和功率谱密度分别记为Rc ( )和Sc()，对 Xc (t)采样后所 得离散时间随机过程 X (n) X (nTs )， X (n) 的自相关函 数和功率谱密度分别记为R(m)和 S()，则有
随机过程的概念及分类方法
随机过程的概念及分类方法随机过程的概念及分类方法随机过程是描述随机现象的数学模型。
它可以看作是一个随机函数，它的输出值依赖于时间和样本空间中的随机变量。
随机过程的研究可追溯到19世纪末20世纪初，当时数学家们开始研究大量的样本统计规律。
随机过程在经济学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
随机过程的分类方法主要有以下几种：1. 马氏性质：马氏性质是指在一个随机过程中，给定过去的状态和未来的状态，当前的状态与过去的状态是独立的。
如果一个随机过程满足马氏性质，那么它被称为马氏过程。
常见的马氏过程有马尔可夫链、泊松过程等。
2. 独立增量：独立增量是指在一个随机过程中，任意两个时间点上的增量是独立的。
如果一个随机过程满足独立增量性质，那么它被称为独立增量过程。
常见的独立增量过程有布朗运动和泊松过程。
3. 平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间上是不变的。
如果一个随机过程满足平稳性质，那么它被称为平稳过程。
常见的平稳过程有伊索和无记忆过程。
4. 高斯过程：高斯过程是指随机过程中的任意有限个随机变量满足多维高斯分布。
高斯过程在概率论和统计学中有着重要的应用，常见的高斯过程有布朗运动和高斯白噪声过程。
5. 跳跃过程：跳跃过程是指随机过程中存在不连续的跳跃现象。
跳跃过程在金融学和通信工程中有着重要的应用，常见的跳跃过程有泊松过程和利维过程。
除了以上的分类方法，随机过程还可以按照时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
连续时间随机过程是指随机变量的索引集为连续集合，如实数集；离散时间随机过程是指随机变量的索引集为离散集合，如整数集。
另外，在实际应用中，为了更好地描述随机过程的行为，人们还可以使用数学方法对随机过程进行建模。
常见的建模方法有马尔可夫模型、自回归模型、移动平均模型等。
总结起来，随机过程是描述随机现象的数学模型，可以分为马氏过程、独立增量过程、平稳过程、高斯过程和跳跃过程等。
此外，随机过程还可根据时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
第2章 离散时间平稳随机过程-gxs1
结论：如果离散时间随机过程是广义平稳的，则 它的自相关矩阵 R 一定是Toeplitz矩阵；反之
如果自相关矩阵 R为Toeplitz矩阵，则该离散时间 随机过程一定是广义平稳的。
2018/3/5
36
性质3 平稳离散时间随机过程的相关矩阵R是非负定的， 且几乎总是正定的。
证明：设 a M 1 为任意非零向量，二次型
aH Ra aH E u n uH n a
E aHu n uH n a
E aHu n aHu n H E aHu n 2 0
故 R 总是非负定的。当且仅当观测向量的每个随机
= 1 cosm
2
9
当 k l n时，可以定义 方差
2 n var u n E u n
平均功率
2
Pn E un
2
n r n, n
c n, n
如果随机过程 u n 均值为零，即 n 0时，则有
r n1, n2 c n1, n2 , P n
2n
2018/3/5
10
对于两个不同的随机过程u n 和v n ，可以定义 互相关函数
2 E un
2
c0
2
P E un
r0
2018/3/5
14
对于两个平稳随机过程u n 和 v n ，有 互相关函数 互协方差函数 ruv m E u n v n m
cuv m E u n u v n m v
其中， u 和 v分别是平稳随机过程u n 和v n 的均值。
2018/3/5
15
平稳随机过程中相关函数的性质 性质1 原点处自相关函数值最大
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
高等数学中的随机过程相关知识点详解
高等数学中的随机过程相关知识点详解近年来，随机过程被越来越多的人所关注和使用。
作为高等数学的一个分支，随机过程具有广泛的应用领域，包括金融、医学、生物学等等。
在本文中，将详细解析高等数学中的随机过程相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、概率论基础在进行随机过程的学习之前，我们需要了解一些概率论的基础知识。
概率论是确定不确定性的一种科学方法，它研究的是随机事件的发生规律和概率计算方法。
在概率论中，有一些基本概念和公式，包括概率、条件概率、概率分布、随机变量等等。
1.1 概率概率是指一个事件发生的可能性大小。
通常用P来表示，它的取值范围是0到1。
当P=0时，表示这个事件不可能发生；当P=1时，表示这个事件一定会发生。
例如，掷一枚硬币正面朝上的概率为1/2，或者说P=0.5。
1.2 条件概率条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。
通常用P(A|B)来表示，表示在B发生的情况下，A发生的概率。
例如，从一副牌中摸两张牌，第一张是红桃，第二张是黑桃的概率为P(第二张是黑桃|第一张是红桃)=26/51。
1.3 概率分布概率分布是指所有可能事件发生的概率分布，它是概率论的基础。
在不同的情况下，概率分布也是不同的。
例如，在离散型随机变量中，概率分布通常以概率质量函数的形式给出；而在连续性随机变量中，概率分布通常以概率密度函数的形式给出。
1.4 随机变量随机变量是一种随机事件的数学描述。
它通常用大写字母表示，如X、Y、Z等等。
根据其取值的类型，随机变量可以分为离散型和连续型。
离散型随机变量只能取到有限或可数个值，如掷硬币、扔骰子等等；而连续型随机变量可以取到任意实数值，如身高、体重等等。
二、随机过程的基本概念2.1 随机过程的定义随机过程是一种描述随机事件随时间变化的方法。
它可以看作是有限维随机变量序列的无限集合，其中每个随机变量代表系统在某个时刻的状态。
随机过程的定义包括两个方面：空间（状态集合）和时间（时刻集合）。
离散时间随机过程的功率谱密度
其中
B(
z)
C
( (
z z
1 1
)( )(
z z
M M
) )
B(
z
1
)
C
( (
z z
1
1
1
)( )(
z z
1
M
1
) )
1
M
26020/7/19
包含了单位 圆之内的全 部 包零 含点 了和单极位 点 圆之外的全 部零点和极 点6
例 设 RX (m) a m , a 1 ，求SX (z) 和SX ()
1
解 SX (z)
amzm amzm
m
m0
az z (1 a2 )z 1 az z a (z a)(1 az)
(1 a2 )
a1 a
(1 az1)(1 az) (a1 a) (z1 z)
将 z e jT 代人上式，即可求得
SX
()
a 1
a 1 a
a
2 cosT
27020/7/19
)
，则
lim E
N
X (t) Xˆ (t) X (mT )
RX
(t
mTs
)
n
RX
(nTs
mTs
)
sin(ct n ct n
)
0
这说明，[X (t) Xˆ (t)] 正交 X (mT)
又
合，
Xˆ
(t)
N n
N
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
[X (t) Xˆ (t)] 正交
13
证明 第一步：
RX ( ) 是确知函数，维纳-辛钦定理：RX ( ) SX () SX () 带宽有限，RX ( ) 是带限确定信号，由香农 采样定理可知
随机过程的定义及其分类
随机过程的定义及其分类随机过程是一组随机变量的集合，代表了在时间序列上发生的事件或现象。
在数学中，随机过程可以用来描述许多现实世界中的问题，如股票价格、传染病传播等。
本文将介绍随机过程的定义及其分类。
一、随机过程的定义随机过程是一个随时间而变的随机变量集合。
具体来说，它包含了一列随机变量 $\{X_t | t \in T\}$，其中 $T$ 通常表示时间或时间的子集，每个 $X_t$ 是一个随机变量。
随机过程的每个$\{X_t\}$ 表示一个随机事件在时间 $t$ 的状态。
例如，在股票市场中，$X_t$ 可以表示在时间 $t$ 股票的价格。
二、随机过程的分类随机过程可以按照多个特性进行分类，下面介绍常见的几种分类方法。
1. 离散时间随机过程和连续时间随机过程离散时间随机过程和连续时间随机过程是相对于时间而言的。
离散时间随机过程是在固定的时间间隔内进行观察，并且在每个时间点上都有一个随机变量，例如掷硬币。
连续时间随机过程是在时间轴上连续观察，并且每个时间点上有一个随机变量，并按照一定的碎形原理进行处理。
2. 马尔可夫过程和非马尔可夫过程马尔可夫过程顾名思义，是取决于当前状态的一个随机过程。
当前状态是系统的“记忆”，这使得估计下一状态将非常容易。
非马尔可夫过程则是指未满足前述条件的随机过程。
3. 定常随机过程和非定常随机过程定常随机过程是指在时间上的统计特性不随时间变化，例如期望，方差等。
一个例子是一年中某地的降雨量。
非定常随机过程则是指在时间上的统计特性会随时间发生变化的随机过程。
4. 平稳过程和非平稳过程平稳过程要求在整个时间轴内随机过程的统计特性都不会随时间变化。
具体来说，需要满足一个随机过程的统计特性(如均值、相关性等)与当前时间和当前位置的时间无关。
非平稳随机过程则是指未满足前述条件的随机过程。
结论本文介绍了随机过程的定义以及常见的分类方法，包括离散时间随机过程和连续时间随机过程、马尔可夫过程和非马尔可夫过程、定常随机过程和非定常随机过程、平稳过程和非平稳过程。
随机过程 通俗易懂
随机过程通俗易懂随机过程是现代数学的一个重要分支，它的研究对象是一些具有随机性质的变量序列。
在实际生活中，我们经常遇到许多随机现象，如天气变化、股票价格波动、彩票开奖等等，这些都可以看做是随机过程的例子。
本文将从随机过程的定义、分类和应用方面进行简单介绍。
一、随机过程的定义随机过程是一个含有随机变量的序列，它可以用数学公式表示为X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时间t时随机变量的取值。
随机过程可以用概率统计的方法进行研究，其中最重要的是随机过程的平均值和方差。
一般来说，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两种。
二、随机过程的分类1. 离散时间随机过程在离散时间随机过程中，时间是按照一定时间步长间隔离散化的。
典型的离散时间随机过程包括二项分布、泊松分布和马尔可夫链等。
其中，马尔可夫链是最具有代表性的离散时间随机过程，它具有“无记忆性”和“马尔可夫性质”，在概率论的研究、金融市场分析等方面有广泛的应用。
2. 连续时间随机过程在连续时间随机过程中，时间是连续的，可以看成是一个时间轴上的曲线。
典型的连续时间随机过程有布朗运动、随机游走等。
其中，布朗运动是最具有代表性的连续时间随机过程之一，它是自然界中许多现象的基础模型，如气体分子的运动、股票价格的波动等。
在金融市场、信号处理等领域也有广泛的应用。
三、随机过程的应用随机过程在各个领域中都有重要的应用，其中最典型的应用领域包括金融市场、信号处理和通信系统等。
1. 金融市场金融市场中充斥着大量的随机性，如股票价格、汇率等都具有随机行为。
通过研究随机过程，可以为投资者提供更精准的预测和决策依据。
同时，也可以设计更好的金融衍生品，如期权、期货等，来降低市场风险。
2. 信号处理信号处理中的信号通常具有多变的随机性质，如噪声、失真等。
随机过程可以用来建立信号模型，在信号处理中具有广泛的应用，如图像处理、语音识别等。
3. 通信系统通信系统中的信息传输受到了许多随机因素的干扰，如噪声、多径效应等。
数学中的随机过程
数学中的随机过程一、引言在数学领域中，随机过程是研究随机事件随时间的演变规律的数学模型。
它既具有随机性，又具有确定性，广泛应用于概率论、统计学和其他相关领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类及其在现实生活中的应用。
二、随机过程的定义随机过程是一类随机变量的集合，表示随机事件随时间变化的模型。
随机过程通常用X(t)表示，其中t是时间参数，X(t)是在某一时刻t的取值。
随机过程可以分为离散和连续两种类型。
三、离散时间随机过程离散时间随机过程是指在一系列离散时间点上定义的随机变量序列。
常见的离散时间随机过程有伯努利过程、泊松过程等。
1. 伯努利过程伯努利过程是最简单的离散时间随机过程，它是一种只有两个取值的随机过程。
以掷硬币为例，假设正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，掷硬币的结果序列就是伯努利过程。
2. 泊松过程泊松过程描述了随机事件在时间上的独立出现，并且满足平稳性和无记忆性。
在实际应用中，泊松过程可以用来模拟各种随机事件的发生，如电话呼叫到达、交通事故发生等。
四、连续时间随机过程连续时间随机过程是指在连续时间区间上定义的随机变量。
其中最常见的连续时间随机过程是布朗运动和随机行走。
1. 布朗运动布朗运动是一种连续的、无界变差的随机过程，其特点是随机变量在任意时间间隔上的累积值符合正态分布。
布朗运动经常用来模拟金融市场的波动、温度变化等。
2. 随机行走随机行走是一种描述随机变量在空间上随机移动的随机过程。
它的最简单形式是一维随机行走，即随机变量只能在一维空间上左右移动。
随机行走在金融市场中的应用较广，可以用来模拟股票价格的变化。
五、随机过程的应用随机过程在现实生活中有着广泛的应用，以下两个领域是典型的例子。
1. 通信网络随机过程在通信网络中扮演着重要的角色。
例如，通过对网络中的数据流量建模，可以使用随机过程来优化网络的传输效率和资源分配。
2. 金融领域在金融领域中，随机过程被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。
几类重要的随机过程
几类重要的随机过程随机过程指的是一组随机变量的演化过程，其中每个随机变量表示在不同的时间点上观察到的随机现象。
随机过程可以分为多个类别，下面将介绍一些重要的随机过程。
1. 马尔可夫链(Markov Chains)：马尔可夫链是一种最简单的随机过程，其中未来状态只取决于当前状态，与过去的状态无关。
马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，如金融、自然语言处理和遗传算法等。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即转移概率只与当前状态有关。
3. 布朗运动(Brownian Motion)：布朗运动，也称为随机游走或维纳过程，是一种连续时间的连续空间随机过程。
它是以随机步长进行连续时间的随机游走，具有随机漂移和随机扩散的特性。
布朗运动在物理学、金融学和数学建模等领域中得到广泛应用。
4. 马尔科夫过程(Markov Processes)：马尔科夫过程是在一定时间间隔内演化的离散时间随机过程。
它是马尔可夫链的连续时间版本，未来状态只取决于当前状态。
马尔科夫过程包括分段常数过程、均值回归过程和随机游走等。
5. 随机差分方程(Stochastic Difference Equations)：随机差分方程是一种描述离散时间的随机变量的过程。
它是差分方程的随机扩展，用于建模具有随机性质的动态系统，如经济学中的时间序列模型和信号处理中的随机信号模型。
6. 随机微分方程(Stochastic Differential Equations)：随机微分方程是一类描述连续时间的随机变量的过程。
它是微分方程的随机扩展，包括随机常微分方程和随机偏微分方程。
随机微分方程在物理学、金融学和工程学等领域中广泛应用。
7. 随机最优控制(Random Optimal Control)：随机最优控制是一种考虑不确定性的最优控制方法。
它将最优控制理论与随机过程理论相结合，用于处理具有不确定性和随机性的控制系统，如经济学中的投资组合优化和工程学中的机器人路径规划。
离散时间随机过程的功率谱密度分解
S X z
m
m R ( m ) z X
(e jT ) S X () 式中 z e jT , S X
RX ( m ) 为 S X z 的逆z变换
RX (m)
1
式中，D为在 S X z 的收敛域内环绕z平面原点逆 时针旋转的一条闭合围线。
2018/10/25
10
连续时间 确知信号
S (t )
采样 S (n) S (nT )
c sin(c (t nTs )) s(t ) s(nTs ) c (t nTs ) n
香农采样定理
离散时间 确知信号
S ( n)
2018/10/25
11
连续时间 平稳随机过程
lim 是均方意义下的极限（均方极限）：
1 2 f c c
2018/10/25 2
2
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
序列 RX (m) 的傅里叶变换存在的充要条件是 满足绝对可和条件：即
m
RX ( m )
定义 X (n) 的功率谱密度为序列 RX (m) 的傅 里叶变换，并记为 S X ( )
2018/10/25
S X ( )
RX (m)
在 m0时
1 2q
q
q
S X ( )e jmT d
q
1 E[ X (n)] RX (0) 2q
S
q
X
( )d
2018/10/25
4
3 谱分解 ① z变换定义
在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离 散时间随机过程的功率谱密度定义为 RX ( m )的z变 换，并记为S X z ，即
通信系统中的随机过程建模与分析
通信系统中的随机过程建模与分析随着物联网技术的快速发展，通信系统的需求逐渐增加，对通信系统中的随机过程建模与分析也提出了更高的要求。
随机过程是一个随时间变化的随机变量集合，通信系统中常用到的随机过程有噪声、干扰、信道等。
本文将介绍随机过程的概念和分类，以及通信系统中的应用。
随机过程的概念随机过程是一个随时间变化的随机变量序列或集合，可用于描述随时间变化而产生的随机现象。
例如，天气、股价、信道等都可以看作是随时间变化的随机变量。
随机过程通常记作{X(t),t∈T}，其中t表示时间，T表示时间轴。
随机过程的分类随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两类。
离散时间随机过程在离散的时间点出现随机变量，比如抛硬币模拟、班级考试成绩分布等都可以看做是离散时间随机过程。
离散时间随机过程的特点是时间轴T是一个离散集合，随机变量的取值也是离散的。
连续时间随机过程在时间轴上的取值是连续的，比如随机游走、交通流量分布等都可以看作是连续时间随机过程。
连续时间随机过程的特点是时间轴T是一个连续集合，随机变量的取值也是连续的。
通信系统中的应用通信系统中需要对随机过程进行建模和分析，以便于对系统性能进行分析和优化。
通信系统中常见的随机过程包括噪声、干扰、信道等。
噪声是在通信信号传输过程中引入的随机变量，比如热噪声、量化噪声等。
通信系统可以通过对噪声的建模和分析，降低噪声对信号的影响，提高信号传输质量。
干扰是指在通信信号传输过程中其他无关信号对信号传输的干扰。
比如，相邻基站之间信号的干扰。
对干扰的建模和分析可以帮助通信系统更好地设计信号传输方案，提高信号的传输质量。
信道是通信信号经过传输介质传输过程中产生的信号失真、延时等现象。
通信系统中需要对信道进行建模和分析，以便于设计合理的信号传输方案，降低信道对信号传输质量的影响。
结论随机过程建模和分析是通信系统设计和优化的重要工具。
随着通信系统发展的不断进步，对随机过程的建模和分析也提出了更高的要求，需要对随机过程的概念和分类有深入的了解，并将其应用到具体的通信系统设计中。
第2章 离散时间平稳随机过程
p(u1, ,uM ; n1, , nM ) = p(u1; n1) p(uM ; nM )
UEST则C 何称子述随机过程在这些时刻是相互统计独立的。 8
对随机过程的数字特征对随机过程进行描述，最常 用的数字特征是随机过程的一阶和二阶统计量。
均值函数
μ(n) = E{u(n)} = ∫ up(u;n)du
第2章 离散时间平稳随机过程
UESTC 何子述
1
•本章将介绍离散时间随机过程的基本概念、 数字特征及其重要性质
•离散时间随机过程自相关矩阵的定义及质 •离散时间随机过程功率谱的定义及性质 •平稳离散时间随机过程的常用参数模型 •离散时间随机过程高阶统计量的有关知识。
UESTC 何子述
2
2.1 离散时间平稳随机过程基础
数，其幅度取值可以是连续型的或是离散型的；而离
散型随机变量仅强调幅度取离散值。如下图所示 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
1
0
x(t)
0
0
0
T 2T 3T 4T 5T 6T
t
(a) 连续时间离散型随机信号
UESTC 何子述
4
1
x(n)
1
2
3
4
5
6
7
n
(b) 离散时间离散型随机信号
离散时间随机过程 x(n)的每个样本函数 xi (n)都是
ω 0
。
通过正交解调的方法，得到窄带随机过程的复数表
示——随机过程的复包络， 用 u(n)表示
UESTC 何子述
6
其中
u(n) = uI (n)+ juQ (n) uI (n) = a(n)cos ⎡⎣ϕ(n)⎤⎦
离散时间随机过程的功率谱密度
R(m)
自相关 函数
DFT
S ( )
功率谱 密度
功率谱密度的采样定理
功率谱密度的采样定理
❖ 证明：
功率谱密度的采样定理
连续时间
采样
离散时间
平稳随机 X (t)
X (n) 平稳随机
过程
过程
自相关 函数
Rc ( )
FT
功率谱 密度
Sc ()
R(m)
自相关 函数
DFT
S ( )
功率谱 密度
4 白噪声 SECTION 《随机信号分析》教学组
小结
1
小结
2
小结
3
4
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的相关函数
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
奈奎斯特频率
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
性质
离散时间随机过程的功率谱密度
❖ 例7. ❖ 解：
确定时间 确知信号
S(t)
离散时间 确知信号
S(n)
平稳随机过程的采样定理
连续时间
平稳随机 X (t)
过程
离散时间
X (n) 平稳随机
过程
自相关 函数
Rc ( )
FT
功率谱 密度
Sc ()
R(m)
自相关 函数
DFT
S ( )
功率谱 密度
平稳随机过程的采样定理
理想白噪声
定义
理想白噪声
自相关函数
理想白噪声
自相关系数
连续随机过程和离散随机过程
连续随机过程和离散随机过程
首先，让我们来看看连续随机过程。
连续随机过程是指在连续时间范围内随机变量的演化。
这种过程通常用随机变量的连续函数来描述，比如布朗运动就是一个典型的连续随机过程。
这种过程在金融领域、通信领域以及物理学中都有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，股票价格的变化可以被描述为连续随机过程，而在通信领域中，信道的噪声也可以被建模为连续随机过程。
接下来，我们来看看离散随机过程。
离散随机过程是指在离散时间范围内随机变量的演化。
这种过程通常用随机变量的序列来描述，比如马尔可夫链就是一个典型的离散随机过程。
这种过程在排队论、信道编码等领域有着重要的应用。
例如，在排队论中，顾客到达和离开的过程可以被建模为离散随机过程，而在通信领域中，信道的状态转移也可以被描述为离散随机过程。
总的来说，连续随机过程和离散随机过程都是描述随机变量演化的重要工具，它们在不同的领域和应用中都有着广泛的应用。
对于理解和分析随机系统的行为，深入理解这两种随机过程是非常重要的。
离散时间随机过程建模实验报告
离散时间随机过程建模实验报告实验报告姓名：实验名称：离散时间随机过程建模学号：课程名称：统计信号处理基础班级：实验室名称：组号：实验日期：2012.10.10一、实验目的、要求本实验的目的是在了解了Matlab编程语言的编程和调试的基础上，利用Matlab本身自带的函数来验证随机信号建模，并掌握子函数的编写方法。
计算机根据理论模型生成随机数，学生需要根据观测的数据编程来计算随机过程的参数。
本实验主要是为了让学生在充分理解不同的随机过程建模的理论方法的基础上，用计算机来认识理论和仿真模型之间的差异。
要求包括以下几个部分：1．要求独立完成实验的内容所要求的各项功能，编制完整的Matlab程序，并在程序中注释说明各段程序的功能。
2．要填写完整的实验报告，报告应包含程序、图形和结论。
要求记录在实验过程中碰到的问题，以及解决的方法和途径。
3．实验报告是现场用Word 填写并打印完成。
个人或组必须在报告上署名。
二、实验环境验所要求的设备： 每组包含完整的计算机 1 台；可共用的打印机1台，A4纸张若干；计算机上安装的软件包括： Matlab 6.5以上（应包含Signal Processing Toolbox, Filter Design Toolbox ）； Word 2000以上；三、实验原理实验内容包括2个，实验1．本实验主要是采用FIR 最小二乘逆滤波器来实现反卷积。
假定观测的数据()y n 是由信号()x n 通过脉冲响应为2cos(0.2[25])exp{0.01[25]};050()0;n n n g n ⎧---≤≤=⎨⎩其它的滤波器而生成的。
如果从()y n 中恢复的信号()x n是一组脉冲序列，101()()()kk x n x k n n δ==-∑ 其中()k x k n 和的取值为a. 根据上面的关系，画出观测数据()()()y n x n g n =*，并看看是否能通过()y n 的峰值来确定()x n 的幅度和位置。
随机变量和随机过程
随机变量和随机过程随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是随机试验结果的数值化表达。
在统计学中，随机变量是指可以取不同值的变量，并且取值的概率是事先已知的。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
1. 离散型随机变量离散型随机变量的取值有限或可数。
它的概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
离散型随机变量的概率质量函数满足以下条件：- 对于任意离散点k，有P(X=k)>=0；- 所有离散点的概率之和等于1，即∑P(X=k)=1。
2. 连续型随机变量连续型随机变量的取值在某一区间内连续变化。
它的概率分布可以通过概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
对于连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)满足以下条件：- 对于任意实数x，有f(x)>=0；- 在它的取值区间内，概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx=1。
随机过程是一类重要的随机模型，它可以用来描述由随机变量构成的随机现象的演化过程。
随机过程可以用数学方式定义为一个参数化空间上的一族随机变量的集合。
它的演化可以是离散的，也可以是连续的。
1. 离散时间离散状态的随机过程离散时间离散状态的随机过程也称为马尔可夫链（Markov Chain）。
在离散时间点上，随机过程的状态只能取有限个或可数个值。
马尔可夫链具有以下特点：- 当前状态的概率只与前一个状态有关，与历史状态无关；- 状态转移的概率具有确定性。
2. 连续时间离散状态的随机过程连续时间离散状态的随机过程称为连续时间马尔可夫链。
它在连续时间上定义了一系列的随机变量，并且这些随机变量只能取有限个或可数个值。
连续时间马尔可夫链具有以下特点：- 当前状态的概率只与前一个状态有关，与历史状态无关；- 状态转移的概率具有确定性；- 增加了时间维度，使得状态的转移可以在任意时间点发生。
马尔可夫链简介
马尔可夫链马尔可夫链，因安德烈•马尔可夫（A.A.Markov，185 6－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
原理简介马尔可夫链是随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间n的状态。
如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数，则P(X_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n) = P(X_{n+1}=x|X_n).这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
理论发展马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
物理马尔可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编码技术，如算术编码（著名的LZMA数据压缩算法就使用了马尔可夫链与类似于算术编码的区间编码）。
马尔可夫链也有众多的生物学应用，特别是人口过程，可以帮助模拟生物人口过程的建模。
隐蔽马尔可夫模型还被用于生物信息学，用以编码区域或基因预测。
马尔可夫链最近的应用是在地理统计学（geostatistics）中。
其中，马尔可夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟。
这一应用类似于“克里金”地理统计学（Kriging geostatistics），被称为是“马尔可夫链地理统计学”。
这一马尔可夫链地理统计学方法仍在发展过程中。
详细说明马尔可夫链，因安德烈·马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
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离散时间随机过程
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离散时间随机过程
离散时间随机过程
1. 对于离散的时间 t=0, 1, 2, 3, …的每一个t对应一个随机变量 把随机变量序列 2. 所有 我们
叫做离散时间的随机过程。 的取值集合 S，我们称之为状态空间。
3. 食堂问题中，状态空间就是{A, B, C}。
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离散时间随机过程
1. 对有限状态的马氏链，不可约蕴含了所有状态都是常返的。 2. 但对于可数状态的马氏链，不可约不能蕴含所有状态是常返的。比如
醉鬼回家问题中，如果醉鬼往家方向的概率小于往相反方向的概率，
那么他永远也回不到家了。也就是“家”所对应的状态非常返。
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离散时间随机过程
马氏链的遍历极限
若马氏链 的状态空间 S 为有限集(不妨设 ) ，
离散时间随机过程
1. 状态空间可以是可数的。 2. 醉鬼回家问题：醉鬼从酒馆中出来，跌跌撞撞地在街上走。他的家在 街的右端；每一步他随机地向右或向左走，当然向右或向左的概率可
能有微弱的差别。每一步向右或向左与上一步的方向无关。
3. 如果街道右端没有尽头，则此时的状态空间就是可数的。
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离散时间随机过程
状态 j, 同时状态 j 可达状态 i.
2. 定义：马氏链 互通。 称为不可约马氏链，如果其所有状态之间
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离散时间随机过程
常返性
马氏链 的状态 y 称为常返的，如果概率为 1 地发生如
下事件：从状态 y 出发，有限时间内离开状态 y，此后又回到状态 y,
如此无限重复。
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离散时间随机过程
不可约和常返性的关系
离散时间随机过程
1. 对于一个固定 列，称为该随机过程的一条轨道，我们把 时间t的状态。 就是一个状态序 的取值叫做该条轨道在
2. 在前面的食堂问题中， 对应于某个特定的同学。
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离散时间随机过程
离散时间随机过程的统计描述
1. 称 的联合分布为 的一个有限维分布。
2. 我们用
的全部有限维分布刻画它的统计特性。
2. 一般来说，不变分布未必存在。若不变分布存在且唯一，则它是以下
代数方程组的唯一非负解：
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离散时间随机过程
可达
1. 定义：马氏链 个指标序列 的状态 i 称为可达状态 使得 j, 如果存在一
2. 用转移概率矩阵来刻画 i 可达 j:
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离散时间随机过程
互通，不可约
1. 定义：马氏链 的状态 i 和状态 j 互通, 如果状态 i 可达
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离散时间随机过程
联合分布的计算
1. 采用条件概率公式，可得
2. 即使只有两个状态{0,1}, 要描述上述联合分布需要的参数个数是
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离散时间随机过程
联合分布的计算
1. 极端情况，如果 互相独立
2. 如果只有两个状态{0,1}，上述公式只需要一个独立的参数就可以描
述，过于简单！
3. 一个折中就是引入下面的马氏性。
时齐马氏链的性质
命题：时齐马氏链由转移概率矩阵和初分布完全确定。 设转移概率矩阵为 P=(pij)，初始分布： ，则
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离散时间随机过程
时齐马氏链的性质
定义绝对概率
则
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离散时间随机过程
马氏链的不变分布
1. 状态空间 S 上的一个概率分布 矩阵 P 的不变概率分布(简称不变分布)，如果 称为转移概率 。
且它的转移概率矩阵互通常返，则它存在唯一不变概率分布
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离散时间随机过程
马氏链的遍历极限
若马氏链 的状态空间 S 为有限集(不妨设 ) ，
且转移矩阵的每个元素为正，则它存在唯一不变概率分布
且满足如下(幂指数)遍历性
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离散时间随机过程
平均返回时间
令 为 中首次出现状态 i 的时间，那么
就是状态 i 平均返回时间。
时齐马氏链
如果马氏链的转移矩阵与出发时刻无关，则称此马氏链是时齐的，即 P(n,n+1)=( pi,j(n,n+1) )=(pi,j(0,1) )=P(0,1), 简单记为 P。
1. 通常不特别说明, 马氏链就指时齐马氏链。
2. 前面的食堂问题是一个时齐马氏链，时齐性是我们加入的假设。
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离散时间随机过程
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离散时间随机过程
马氏链的遍历极限
定理：对于互通常返马氏链，平均返回时间满足如下关系：
其中不变分布为
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离散 随机过程 且满足 称为有限状态马氏链，若 只有有限个取值
2. 这种特殊的 “无记忆性”称之为马氏性。
3. 矩阵 P(n,n+1)=( pi,j(n,n+1) )称为从 n 出发的转移概率矩阵。
马尔可夫 1856—1922
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离散时间随机过程