一元一次不等式组的竞赛题巧解举例

一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例

一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。

一、 巧用不等式的性质

例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ）

A.0＜a ＜1

B. a ＞1

C.－1＜a ＜0

D. a ＜－1

分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a

两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。故选D

点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。

例2 已知6＜a ＜10，

2

a ≤

b ≤a 2，b a

c +=，则c 的取值范围是 。 分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得23a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30

点评：本题应用不等式的基本性质，在2

a ≤

b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示

c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。

二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围

例3 若关于x 的不等式组

⎪⎩⎪⎨⎧+++②m ＜x ①x ＞x 0

1456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。

分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。

由②得 m x ＜-。

因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。

点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。 若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理

解。 例4 若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是4

9x ＞

，则不等式 的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。 分析：原不等式可化为a b x ＜b a 342--)(。

因为4

9x ＞，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=---②b a a b ①b ＜a 49

23402

由②得 b a 7

8=，代入①得 b ＜0， 所以04784b ＞b a ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-)(。 由a b x ＞b a 234--)( 得b

a a

b x ＞

423--。 把b a 78=代入b a a b x ＞423--得 41-x ＞。 点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断b a -2＜0，从数值上判断4

9234=--b a a b ，从而确定b a 与的关系及b 的符号。 不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。

三、 利用不等式求代数式的最大值

例5 设7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，又

159721=+++x x x ，则321x x x ++的最大值是 。

分析：7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，

所以在7321x x x x ,,,, 这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，

159=21762111111721+=+++++++

≥+++x x x x x x x x ）（）（）（ ，

7

5191≤x ，所以1x 的最大值为19。 当1x 取最大值时，15919732=++++x x x ，

140≥1565212222+=+++++++x x x x x )()()( ，

6

5202≤x ，所以2x 的最大值为20。 当1x 、2x 都取最大值时，

120=10542133333743+=+++++++

≥+++x x x x x x x x ）（）（）（ ， 所以223≤x ， 所以3x 的最大值为22。

所以321x x x ++的最大值是19+20+22=61。

点评：本题根据已知条件先分别确定1x 、2x 、3x 的最大值，再求出321x x x ++的最大值。其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于1x 、2x 、3x 的不等式。 例6 在满足32≤+y x ，00≥≥y x ，的条件下，y x +2 能达到的最大值是 。 分析：将y x 2+转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。

∵32≤+y x ，∴y x 23-≤，y x 462-≤。

∴632+-≤+y y x 。

∵，0≥y ∴03≤-y ，∴663≤+-y 。

即6632≤+-≤+y y x

故y x +2 能达到的最大值是6。

点评：由字母的取值范围可以确定含字母的代数式的取值范围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。

例７ 若整数c b a 、、满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<+<<+

b a

c 4112

5352

32611 试确定c b a 、、的大小关系

分析：利用不等式的性质，原不等式组可化为

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++<++<<++

c b a c 4152

7382

53617， 所以c b c a 32

761738<>,， 即c c b c c a <<>>7

6,1617。 所以a c b <<。

点评：本题根据已知不等式组中各不等式的特点，对各不等式进行变形，使它们都含有c b a ++，利用不等式的传递性，得到c b a 、、的大小关系。