【学案】 函数的表示方法
中等教育数学(基础模块上)3.1.2 函数的表示方法 (二)(学案)
(3) f(a)与 f(－a)相等吗？有怎样的关系？
(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？
如果有问题，赶紧记下来，做为质疑的问题，你的问题越多，你的收获越多！ 1
高 一
年级
数学
学科
导学案
使用时间：
2014 年
主编：
李晓霏
审核:
职高二备课组
【探究学习三】 例 3 作出函数 y=|x|+1 的图像。
【知识拓展】作出下列函数的图像 1、y=-x
3
2、y= x 1
思考：函数图象的图像特征？
1 3、y= 2 x +1
【探究学习四】 例 4
作出下列函数 f(x)=
1, x 1,0 的图象。 2, x 0,1
(三)、总结提升
(四)、课后作业 思考:函数的图像特征？ 1、y=-3x+4 3、y=|x|
作出下列函数图像 2、y=2x -5 4、y= x
2
如果有问题，赶紧记下来，做为质疑的问题，你的问题越多，你的收获越多！
2
3 2
（2）函数值 y 随 x 的增大有怎样的变化？
（3）f(a)与 f(－a)相等吗？有怎样的关系？
（4）函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？
1 【探究学习二】 例 2 作函数 y＝ 2 的图象． x
1 (1) 函数 y＝ 2 的定义域、值域是什么？ x
(2) 在第一象限中， 函数值 y 随 x 的增大有怎样的变化？在第二象限中呢？
高 一
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数学
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导学案
使用时间：
2014 年
主编：
李晓霏
审核:
职高二备课组
第01课函数的概念及其表示(学案)(原卷版)
第01课 函数的概念及其表示-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案 考试要求：1. 了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3. 了解简单的分段函数，并能简单应用.一、【考点逐点突破】【考点1】概念：一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.【典例】下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )【考点2】同一个函数：(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.【典例】(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0 D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x【考点3】函数的表示方法：解析法、图象法和列表法.【典例】将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各作一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x (x 属于正整数集)的函数关系.【考点4】分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.【典例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( ) A ．－12B ．2C ．4D ．11【考点5】 分式型函数定义域，分母不为零的实数集合.【典例】函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2] 【考点6】偶次方根型函数定义域，被开方式非负的实数集合.【典例】函数f (x )＝3x x －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．[1，2]【考点7】f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.【典例】函数f (x )＝3－x lg x 的定义域是( )A.(0，3)B.(0，1)∪(1，3)C.(0，3]D.(0，1)∪(1，3]【考点8】若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.【典例】函数f (x )＝(x ＋1)02－x的定义域为________. 【考点9】抽象函数定义域【典例】“若函数f (x ＋1)的定义域为[0，2]”，则函数f (x －1)的定义域为________. 【考点10】已知函数定义域求参数的范围【典例】若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．【考点11】换元法求函数解析式 【典例】已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________． 【考点12】用待定系数法求函数的解析式【典例】已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.【考点13】用解方程组的方法求函数的解析式【典例】已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.【考点14】用配凑法求函数的解析式【典例】已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，则f (x )＝__________. 【考点15】求分段函数的函数值【典例】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2），若f (m )＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－m ＝________． 【考点16】分段函数与方程问题【典例】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3【考点17】分段函数与不等式问题【典例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ≥1，11－x，x <1，则不等式f (x )≤1的解集为( ) A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]∪(1,2]C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[1,2]【考点18】分段函数求参数问题【典例】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________． 【考点19】求初等函数在特定区间上的值域【典例】求函数y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0，3)的值域【考点20】用分离常数法求值域【典例】求函数y ＝2x ＋1x －3的值域 【考点21】用换元法求值域【典例】y ＝2x －x －1【考点22】用单调性求值域【典例】y ＝x ＋1＋x －1【考点23】函数的新定义问题【典例】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为“n 阶整点函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③C ．①④D ．④二、【考点教材拓广】【典例1】【教材第73页第15题】如图所示, 一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2 km , 从点P 沿海岸正东12 km 处有一个城镇.（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h , 步行的速度是5 km/h,t (单位: h ）表示他从小岛到城镇的时间, x （单位: km ）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离. 请将t 表示为x 的函数.（2）如果将船停在距点P4 km 处, 那么从小岛到城镇要多长时间 (精确到 1 h )?【典例2】【教材第74页第16题】给定数集 A =R,B =(−∞,0], 方程u 2+2v =0，(1) 任给 u ∈A , 对应关系f 使方程(1)的解v 与u 对应, 判断 v =f (u ) 是否为函数;(2) 任给 v ∈B , 对应关系g 使方程(1)的解u 与v 对应, 判断 u =g (v ) 是否为函数.【典例3】【教材第74页第17题】探究是否存在函数f (x ),g (x ) 满足条件:(1) 定义域相同, 值域相同，但对应关系不同;(2) 值域相同，对应关系相同，但定义域不同.【典例4】【教材第74页第18题】在一个展现人脑智力的综艺节目中, 一位参加节目的少年能将圆周率 π 准确地记忆到小数点后面 200 位, 更神奇的是, 当主持人说出小数点后面的位数时, 这位少年都能准确地说出该数位上的数字. 如果记圆周率π小数点后第n 位上的数字为y , 那么你认为y 是n 的函数吗? 如果是, 请写出函数的定义域、值域与对应关系; 如果不是, 请说明理由.三、【考点真题回归】【典例1】【2022·北京卷】函数f (x )＝1x ＋1－x 的定义域是________.【典例2】【2018·高考全国卷Ⅰ】设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【典例3】【2023·扬州调研】已知g (x )＝f (2x －1)＋1，且g (x )的定义域为(1，4]，值域为[3，＋∞)，设函数f (x )的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝( )A.∅B.[4，7]C.[2，7]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52【典例4】【2023·长沙调考】(多选)下列说法中正确的是( )A.式子y ＝x －1＋－x －1可表示自变量为x 、因变量为y 的函数B.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个C.若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1 D.f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数【典例5】【2023·长春检测】函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为________.【典例6】【2023·百校联盟联考】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________.【典例7】【2023·重庆质检】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________． 【典例8】【2023·安徽江淮十校联考】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( )A.12B.34 C ．1 D ．2。
人教B版高中数学必修一【学案8】函数的表示方法
学案八 函数的表示方法一、三维目标：知识与技能：进一步理解函数的概念；使学生掌握函数的三种表示方法;使学生掌握分段函数及其简单应用。
过程与方法：通过实例，使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系，并初步感知处理函数问题的方法。
情感态度与价值观：通过学习，让学生体会到生活离不开数学，激发学习兴趣，培养学生学数学用数学的意识。
二、学习重、难点：重点：函数的表示方法，根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。
难点：函数三种表示方法的选择及分段函数的表达和性质。
学法指导：在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P38--P43，通过对教材中的例题的研究，完成学习目标 。
学习过程：1、函数的三种表示方法（1）列表法：__________________________________________________。
举例： 如：人口普查表（见课本P38） 优点：___________________________________________________________________. （2）解析法：___________________________________________________________。
举例：___________________________________________________________。
优点： ⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（3）图象法：__________________________________________________________。
优点：___________________________________________________________。
说出函数y=f(x)与其图像间的关系：__________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________. 这是“数形结合”思想和方法的依据。
函数的几种表示方法
DCBA1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法【教学目标】1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高125135140156138172167158169用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。
高中数学第三章函数函数及其表示方法第1课时函数的概念学案新人教B版必修第一册
3.1 函数的概念与性质 3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔 对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二 同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三 常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔 从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔 判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2 求函数的定义域[教材P87例题1]例2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3 同一函数例3 下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔 判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4 求函数的值域[经典例题]状元随笔 求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4 求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4 求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章 函数3．1 函数的概念与性质3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0} R {y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1 解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B (2)①是函数②不是函数例2 【解析】 (1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2 解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3 【解析】 函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】 D跟踪训练3 解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一 因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二 设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4 解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。
函数的概念与图象,函数的表示方法,函数的单调性(一) (学案)机构绝密资料
精锐教育学科教师辅导学案学员编号： 年 级：高一 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 T 函数的概念与图象（4） T函数的表示方法T函数的单调性（一）授课日期及时段教学内容函数的概念与图象（4）[学习目标]1．会运用描点法作出一些简单函数的图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解；2．通过对函数图象的描绘和研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力． [知识要点]1．函数图象的概念将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()()0,0x f x ．当自变量取遍函数定义域Ａ中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为()(){},,x f x x A ∈即()(){},,x y y f x x A =∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．2．函数图象的画法画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线．在画图过程中，一定要注意函数的定义域和值域．3．会作图，会读（用）图[例题讲解]例1．画出下列函数的图象，并求值域：(1)y =13-x ，∈x [1，2]； (2)y = (1-)x,∈x {0,1,2,3}； (3)y =x ； 变题：1y x =-； (4)y =2x 22--x例2．直线y =3与函数y =|x 2-6x |图象的交点个数为 （ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个例3.下图中的A. B. C. D 四个图象中，用哪三个分别描述下列三件事最合适，并请你为剩下的一个图象写出一件事。
离开家的距离(m) 离开家的距离(m)时间（min ） 时间（min ） A B离开家的距离(m) 离开家的距离(m)时间（min ） 时间（min ）C D(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停下来想了一会还是返回家取了作业本再上学； (2) 我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3) 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间加快了速度。
函数的表示法学案(新课标)
函数的表示法学案
1．学习目标：掌握函数的表示方法；
通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理解，同时为
今后学习数形结合打好基础。
2．自学内容：通读教材19页至21页，约用10分钟。
3．思考并回答以下问题：
(1)函数常用哪些方法来表示？
(2)函数的各种表示方法各有什么优缺点？
4．知识点小结：
5．例题思考：
例1：某种笔记本每个5元,买x(x {1,2,3,4,})个笔记本的钱数记为y(元).试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象.
例2：国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:
1.信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,
信函质量超过20g,但不超过40g付邮资160分,依此类推;
2.信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,
但不超过200g付邮资(A+200)分,(A为质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A+400)分,依此类推.
设一封x g(0<x≤200)的信函应付的邮资为y(单位:分),试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象.。
北师大版高中数学必修一函数的表示方法学案
函数的表示法【要点导学】1、函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.2、分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数. 3、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）方程法 ；（4）配凑法等.4、作函数图象的一般步骤：（1）确定函数定义域；（2）化简或变形函数表达式（一般来说可化简成常见函数或其复合函数）；（3）利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有：平移变换、对称变换和翻折变换等.【范例精析】例1 （1）已知)(x f 是一次函数, 且14))((-=x x f f ,求)(x f 的解析式 ； （ 2）已知x x x f 2)1(+=+,求)(x f ； （3）已知)(x f 满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f 思路剖析 根据题设条件的特点，灵活采用相应的方法求解. 解题示范 （1）（待定系数法）设0,)(≠+=k b kx x f ， 则 14)(-=++x b b kx k ，即14)1(2-=++x b k x k .比较系数，得⎩⎨⎧-=+=1)1(42b k k ，解得，⎪⎩⎪⎨⎧-==312b k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k .∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f .（2）法1（换元法）：令t =1+x （ t ≥1），则2)1(-=t x ,∴1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴1)(2-=x x f （x ≥1）法2（配凑法）：∵1)1(2)1(2-+=+=+x x x x f ，又 ∵1+x ≥1， ∴1)(2-=x x f (x ≥1).（3）（方程法）∵x xf x f 3)1()(2=+ ---①，将①中x 换成x1，得 x x f x f 3)()1(2=+---②，①×2-②，得 xx x f 36)(3-=，∴xx x f 12)(-=.回顾反思 求函数解析式的方法：（1）待定系数法：适用于已知函数的类型，求函数的解析式；（2）换元法或配凑法：适用于已知复合函数))((x g f 的表达式，求)(x f 的解析式，但运用时要注意正确确定中间变量)(x g t =的取值范围；（3）方程法：只已知关于)(x f 及)1(xf 的一个条件要求)(x f ，可通过条件再寻找关于)(x f 及)1(x f 的另一个方程，利用解方程组求出)(x f .请思考：若本题中把x1换成x -，你能求)(x f 的解析式吗？（4）由实际问题求函数解析式时， 常根据实际意义（如面积、距离等）确定函数解析式，并注明符合实际问题的定义域.例2 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A .设x 表示P 点的行程，y 表示P A 的长，求y 关于x 的函数关系式.思路剖析 视P 点所处的正方形边的位置分别计算PA 的长.解题示范 如图 ，当P 在AB 边上运动，即10≤≤x 时, P A =x ； 当P 在BC 边上运动，即21≤<x 时， P A =2)1(1-+x ＝222+-x x ；当P 在CD 边上运动，即32≤<x 时，P A =2)3(1x -+＝1062+-x x ；当P 在DA 边上运动，即43≤<x 时， P A =4-x .DA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+-=x x x x x x y 41062222 )43()32()21()10(≤<≤<≤<≤≤x x x x 回顾反思 由于y 表示的是线段PA 的长度，而x 表示的是P 点从A 点出发后所走的路程，从而计算PA 长度的方式应随着P 点所在正方形边的位置的变化而改变，因此计算PA 时需对P 点的位置进行分类讨论， 故y 不可能用关于x 的一个表达式来表示，应用分段函数来表示.例3 作出函数（1）y =|122--x x |；（2）y =|x |2-2|x |-1的图象.思路剖析 找出所作图象的函数与常见函数间的联系，利用函数的图象变换作图.解题示范 （1） 当122--x x ≥0时， y =122--x x当122--x x <0时，y =-（122--x x ) 作图步骤：①作出函数y =122--x x 的图象②将上述图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方（原在x 轴上方的部分保留不变），即得y =|x 2-2x -1|的图象（如图）. （2）当x ≥0时 y =122--x x 当x <0时 y =122-+x x即 y =(-x )2-2(-x )-1 作图步骤：①作出y =122--x x 的图象；②保留所得图象在y 轴右方的部分，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分的图象翻折到y 轴的左方（翻折过程中保留y 轴右方的图象），即得y =|x |2-2|x |-1的图象 （如图）.回顾反思 1、常见的图象变换有：（1）平移变换：用于研究函数)(x f y =的图象与b a x f y ++=)(的图象之间的联系： ①将函数)(x f y =的图象向左（或向右）平移|k |个单位（k >0向左,k <0向右）得)(k x f y +=图象；P②将函数)(x f y =的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）得k x f y +=)(图象.（2）对称变换： 用于研究函数的图象)(x f y =与)(x f y -=、)(x f y -=及)(x f y --=的图象之间的联系：①函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于x 轴对称； ②函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于y 轴对称； ③函数)(x f y =的图象与)(x f y --=的图象关于原点对称.（3）翻折变换：用于研究函数)(x f y =的图象与|)(|x f y =与|)(|x f y =的图象之间的联系：①将)(x f y =的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分以x 轴为对称轴向上翻折即得|)(|x f y =的图象；②将)(x f y =的图象在y 轴右方的部分保留不变，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分向左翻折即得|)(|x f y =的图象.2、并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x )=⎩⎨⎧.x 0x 1是无理数，是有理数，，,我们就作不出它的图象.例4 对于任意的实数x ，规定y 取4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值. （1）求y 与x 的函数关系式，并画出此函数的图象. （2）x 为何值时，y 最大？最大值是多少？思路剖析 所谓y 是4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值，是对于同一个x 值而言的，从图象上反映应是三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象中处于最下方的那一个.解题示范 （1）在同一坐标系中作出三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象.设函数y ＝)5(21x -的图象分别与函数 ABy ＝x +1，y ＝4-x 的图象交于A 、B 两点，由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1)5(21x y x y 解得A (1, 2)； 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y －4)5(21解得B (3, 1). ∴y 与x 的函数关系式是⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤+=3431)5(2111x xx x x x y ，其图象为实线部分.（2）由图象可知，当x = 1时, y 最大，其最大值为m ax y = 2 .回顾反思 求解此题的数学思想方法称为数形结合思想. 数形结合思想是数学中的重要思想方法之一，它在求解数学问题时有着广泛的应用，它在解题中的独到之处在于以形助数，利用形的直观性寻找到解题的突破口.例5 已知函数 3222)(a b x a ax x f -++= .（1） 当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负，求a , b 的值及f (x )的表达式； （2） 设)16(2)1(4)(4)(-+++-=k x k x f kx F ，k 为何值时，函数F (x )的值恒为负值？思路剖析 利用不等式与方程的关系以及数形结合的思想求解. 解题示范 （1）显然0≠a .当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负,∴-2,6是方程02322＝a b x a ax -++的两个根，∴ ⎩⎨⎧=-++=-+-0263602243232a b a a a b a a 解得 a = - 4 ，b = - 8 ∴48164)(2++-=x x x f（2） 24)16(2)1(4)48164(4)(22-+=-+++++--=x kx k x k x x kx F 欲使函数F (x )的值恒为负值，显然0≠k,故 ⎩⎨⎧<+=∆<08160k k ，解得 k < - 2∴当k < - 2时，函数F (x )的值恒为负值.回顾反思 1、 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系： 设)(x f =c bx ax ++2(0≠a )，则（1）方程c bx ax ++2＝0的两根即为)(x f =c bx ax ++2的图象与x 轴两交点的横坐标；（2）不等式c bx ax ++2>0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴上方部分的横坐标x 的取值范围 ；不等式c bx ax ++2<0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴下方部分的横坐标x 的取值范围 ；（3）若不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或，则21,x x 是方程c bx ax ++2＝0的两个根；若21,x x ）（21x x < 是方程c bx ax ++2＝0的两个根，则不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或.2、 设)(x f =c bx ax ++2(0≠a ),由二次函数的图象可直观地得到：当⎩⎨⎧<->0402ac b a 时，0)(>x f 恒成立；当⎩⎨⎧<-<0402ac b a 时，0)(<x f 恒成立，反之也成立. 【能力训练】一、 选择题1、已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 （ ）A 、11+xB 、x x +1C 、1+x xD 、x +12、在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %),0,(b a b a ≠>， 则x 与y 的函数关系式是 （ ） A 、x b c a c y --= B 、x c b ac y --= C 、x c b c a y --= D 、x ac cb y --=3、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离d ，横轴表示出发后的时间t ，则下列四个图形中较符合该生走法的是 （ ）A 、B 、C 、D 、4、函数2)1(+=x y -2的图象可由函数2x y =的图象经过（ ）得到.A 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位5、函数1)1(2-+-=x y 的图象与函数1)1(2+-=x y 的图象关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、以上都不对二、填空题6、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，则_______)]}1([{=-f f f .7、已知f (x )=x x 22+，则f (2x +1)= .8、已知x x x f 2)1(+=-，则___________)(=x f .9、将长为a 的铁丝折成矩形，设矩形的长为x ，则面积y 关于x 的函数关系式是 _______ ，其定义域是 ______.10、已知f (x )=⎩⎨⎧>-≤+)0(2)0(12x x x x ,若f (x )=10，则x = .三、解答题11、（1）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )；（2）设二次函数f (x )满足f (x +2)= f (2-x )，且方程f (x )=0的两实根的平方和为10，)(x f 的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式.12、已知[]221)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x ≠0)， 求)21(f .13、(1) 已知12)(3)(+=-+x x f x f ，求)(x f .(2)设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )].14、作出下列函数的图象：(1)⎩⎨⎧---=14)(22x x x f )20()02(≤<≤≤-x x ； (2)322-+=x x y ；(3)xx x y -+=||)21(015、讨论函数273++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系. 【素质提高】16、已知函数f (x )满足f (a b )= f (a )+ f (b )且f (2)=p ，f (3)= q ，则f (36)= .17、讨论关于x 的方程)(|34|2R a a x x ∈=+-的实数解的个数.18、设函数f (x )=x 2-4x -4的定义域为[t -2, t -1]，对任意t ∈R ，求函数f (x )的最小值ϕ(t )的解析式，并画出)(t ϕ的图象.2.2 函数的表示法1、C2、B3、D4、C5、C6、1+π7、3842++x x 8、)1(342-≥++x x x 9、y = 221x ax -,定义域是(0, 2a ) 10、－3 11、（1）f (x )=2x +7； （2）f (x )=x 2-4x +312、15 13、(1)41)(+-=x x f (2) f [g (x )]=296246-+-x x x 14、略 15、273++=x x y 的图象可由xy 1=的图象先向左平移两个单位，再向上平移三个单位得到 16、2(p +q ) 17、当)0,(-∞∈a 时，没有解；当0=a 或),1(+∞∈a 时，两解；当1=a 时，三解；当)1,0(∈a 时，四解18、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤-<+-=)4(88)43(8)3(16)(22t t t t t t t t ϕ ，图略。
江苏省涟水中学高一数学必修一教学案8函数的表示方法
§8 函数的表示法一、教学目标二、教学重难点三、新课导航1．问题展示(1)函数的表示方法1)列表法：___________________________________________________注：优点：不需要计算就可以直接看出自变量对应的函数值局限性：只能表示自变量取较少的有限值得对应关系2）图像法：________________________________________________________ 注：优点;能直观形象地表示出函数的变化情况缺点;只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。
3）解析法：________________________________________________________注：解析法表示函数关系，便于用解析式研究函数的性质。
（2）分段函数;在定义域内不同部分上有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数。
注;1）分段函数的图象由几个部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的可以是一些孤立的点或几段线段；2)分段函数虽由几个部分构成，但它代表的是一个函数，是一个整体。
2.基础测评1）已知f(x ）为一次函数，2f(2)-3f(1)=5，2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=_________;2)已知函数则f(x)=__________________.四、合作探究活动1、购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y 表示成x })4,3,2,1{(∈x 的函数，并指出该函数的值域。
活动2、画出函数x x f =)(的图像，并求)1(),1(),3(),3(f f f f --的值。
思考;1)作3+=x y 的图象 2)作23-++=x x y 的图象活动3、某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价7元收费，超过3 km 以外的路程按2.4元/km 收费。
苏教版数学高一必修1学案 2.1.2函数的表示方法
2．1．2函数的表示方法1．在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数．2．理解同一函数可以用不同的方法表示．1．函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．1．列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．这种方法常应用到实际生产和生活中．2．图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势．气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．3．用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．【做一做1－1】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了0．5 h，然后以80km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是__________．答案：③【做一做1－2】某种杯子每只0．5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．解：(1)列表法：(2)图象法(如下图)．(3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数而不是几个函数．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |x ＞0}．分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实．【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：解：图象如图． 解析式为：0.80,020,1.60,2040,2.40,4060,3.20,6080,4.00,80100.m m M m m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩1．如何求函数解析式？剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想．对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x 与腰长y 之间的函数关系是y ＝6－12x ，其中x ∈(0,6)．2．如何理解分段函数？剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是分段函数．(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同．(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的图象为(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式．函数y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0<x <11，－44，x ≥11不能写成y ＝22－6x,0＜x ＜11或y ＝－44，x ≥11．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．题型一 求函数解析式【例1】(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x 2)；(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋1()f x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )； (4)已知一次函数f (x )满足f ［f (x )］＝4x －1，求f (x )．分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x ”而言，“f ”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系．要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设x ＋4＝t ≥4，否则就不能正确确定f (x )的定义域．解：(1)方法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入得f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2， ∴f (t )＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6． 方法二(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6．(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． ∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． 方法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4， 则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16． ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． (3)(方程法)∵x ∈R ，且x ≠0， 由2f (x )＋1()f x＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x换成x ，得12()f x＋f (x )＝2x ．②①×2－②，得3f (x )＝4x －2x ，即f (x )＝4x 3－23x．(4)(待定系数法)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ［f (x )］＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1．∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．反思：对于已知f ［g (x )］的表达式，求f (x )的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g (x )＝t ，解出用t 表示x 的表达式，代入求得f (x )的解析式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t 的取值范围．若题目中已知函数f (x )的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f (x )是一次函数，故可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．题型二 分段函数的图象与应用【例2】试作出函数y ＝|x －1|和y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象．分析：y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1.解：y ＝|x －1|的图象如图(1)． y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象如图(2)．反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号．(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号．(2)带两个或两个以上绝对值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图．如本题(2)，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋2＝0，得x ＝－2．－2和1把数轴分成三部分(如下图所示)．【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因f (1)＝12－4×1＋6＝3，所以原不等式可化为f (x )＞3．作出原函数的图象，如下图所示．再作出直线y ＝3，其交点坐标分别为(－3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确．题型三 实际应用问题【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，f (x )的值越大，表示接受的能力越强，x 表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5； f (20)＝－3×20＋107＝47，所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．(3)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0．1x 2＋2．6x ＋43＝－0．1(x －13)2＋43＋16．9，f (x )ma x ＝f (10)＝59．令55≤f (x )≤59，解得6≤x ≤10．所以6≤x ≤10时，f (x )∈［55,59］，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；当16＜x ≤30时，f (x )＝－3x ＋107．令f (x )≥55，解得x ≤523，即在这段时间里，学生只有43分钟接受能力维持在55以上．综上所述，开讲后学生共有4＋6＋43＝343分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．反思：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意．如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解．1设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为__________． 解析：因为f (2)＝22＋2－2＝4，所以1f (2)＝14，1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1()4f ＝1－21()4＝1516． 答案：15162某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费______元．解析：把收费y 元看成所走路程x km 的函数， 当0＜x ≤3时，应交6元；当3＜x ≤10时，应交6＋(x －3)×0.5＝4.5＋0.5x (元)；当x ＞10时，应交4.5＋0．5×10＋(x －10)×0．8＝1.5＋0.8x (元)． ∴当x ＝12时，y ＝1.5＋0．8×12＝11.1(元)． 答案：11.13某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是__________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式， 由题意，得当0＜x ≤100时，y ＝0.5x ，当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ．答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，10＋0.4x ，x >100已知函数h (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，1()163h =＝16，h (1)＝8，求h (x )及其定义域．分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式． 解：设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)，则h (x )＝k 1x ＋k 2x．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 13＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8.解得123,5k k ⎧⎨⎩＝，＝．所以h (x )＝3x ＋5x，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．5已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >0，1，x ＝0，－1x，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)的值．分析：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0各段上的图象，合在一起得函数的图象． 解：(1)如图所示．(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1．。
高中数学2.3函数的概念及其表示方法(学案)
2.3函数的概念及其表示方法（学案） 姓名【概念与方法】1.函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()f x 与之对应，则称:f A B →为从集合A 到B 的一个函数。
记作()y f x =。
2. 函数的三要素：定义域、值域和对应关系．对应法则是核心，定义域是灵魂3. 相等函数：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数为同一个函数.4.函数的三种表示法：①解析法；②列表法；③图象法.5. 分段函数6. 复合函数:【题组一：函数的概念】1.下列函数中哪个与函数y x =(0)x ≥是同一个函数 （ ）A ．y=(x )2B ．y=xx 2C ．y=33xD ．y=2x 2.}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个D.3个3.已知函数y=f(x)的定义域为[－１，５]，在同一坐标系下，函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数为 （ ）（A ）0个 （B ）1个（C ）至多1个 （D ）至少1个4.右图中，是函数的图象的是（ ）【题组二：分段函数】5（2013年高考福建卷（文））已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f ________ 6．已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为 7.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤ ；则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 8.定义在R 上的函数()f x 满足)2(2)(3+=x f x f ，(1)2f =，则)5(f 等于【题组三：求函数的解析式】9.若xx x f 1)(-=，则不等式0)1(>+x f 的解集是 10.（2013年高考安徽（文））定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-,则当10x -≤≤时,()f x =________________.11.若)(,)1()2(,32)(x g x f x g x x f 则-=++=的表达式为g(x)=12.已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为13.若331)1(xx x x f -=-，则函数)1(-x f =___ ____.14.已知12)(3)(+=-+x x f x f ，求)(x f .15.已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；2.3函数的概念及其表示方法（作业） 姓名 1.下列函数中，与函数y x =相同的函数是 （ ） A.2x y x = B.2()y x = C.lg10x y = D.2log 2x y = 2.与函数y ＝10lg(2x －1)的图象相同的函数是 ( )A ．y ＝12x －1B ．y ＝2x －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12C ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1 D ．y ＝12x －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12 3.下列各函数解析式中，满足)(21)1(x f x f =+的是 ( ） A. 2x B.21+x C. x -2 D.x 21log 4.（2013年高考浙江卷（文））已知函数f(x)=x-1 若f(a)=3,则实数a= ____________. 5.已知32)121(+=-x x f ，且 6)(=m f ，则m 等于 （ ）A. -1/4B.1/4C.3/2D.-3/26.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =， 则(3)f -等于 （ ）A ．2B ．3C ．6D ．97.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为 ( ) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x2 8.已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x )=9.函数)(x f 满足关系式x xf x f 3)1(2)(=+，)(x f 的表达式为 10.422,(4)()log (1),(4)x x f x x x -⎧≤=⎨-+>⎩ ,若f (a )= 18,则f (a+6)= _ 11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ≤02cos x 0<x <π，若))43((πf f 的值为____ ____． 12.设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，13.已知(1)2f x x x =+)5(f 、()f x 及2()f x ；。
高中数学 第5章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一
5.2 函数的表示方法学习目标核心素养1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ 2．(一题两空)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，那么f (x )的定义域为，值域为．{x |x ≠0} {y |y >－1} [定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}， 当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．]3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y ＝f (x )．[解] 列表法：笔记本数x 1 2 345钱数y5 10 15 20 25解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 图象法：求函数解析式(1)f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，那么f (x )＝． (2)f (x ＋1)＝x ＋2x ，那么f (x )＝．(3)f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，那么f (x )＝．(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，假设f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，那么f (x )的解析式为．(5)假设f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，那么f (x )＝．[思路点拨] (1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．(1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1 (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0(5)x 2＋4 [(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)， 那么x ＝t －1，x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，那么⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4．]求函数解析式的常用方法1待定系数法：函数f x 的函数类型，求f x的解析式时，可根据类型设出其解析式，将条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.2换元法：令t ＝g x ，注明t 的X 围，再求出f t 的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f x ，一定要注意t 的X 围即为fx 中x 的X 围.3配凑法：f g x的解析式，要求f x 时，可从f g x的解析式中拼凑出“gx 〞，即用g x 来表示，再将解析式两边的g x 用x 代替即可.4代入法：y ＝f x的解析式求y ＝fg x 的解析式时，可直接用新自变量g x 替换y ＝f x 中的x .[跟进训练]1．(1)f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，那么f (x )＝．(2)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，那么f (x )＝．(1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)[(1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x．(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，那么x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．]分段函数[例2] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．[思路点拨] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， －2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34．1．(变结论)本例条件不变，假设f (a )＝3，某某数a 的值．[解] ①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0．所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3． 因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)， 所以a ＝1符合题意．③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意． 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2．2．(变结论)本例条件不变，假设f (m )>m (m ≤－2或m ≥2)，某某数m 的取值X 围． [解] 假设f (m )>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋1>m 或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1>m ，即m ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >1，所以m ≤－2或m ≥2．所以m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的X 围，代入相应的解析式求值．2．分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用X 围；也可先判断每一段上的函数值的X 围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值X 围的并集即可． 求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．方程组法求解析式1．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②[提示] 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1．法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1．3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？[提示] 能求A ，B ．仍可以采用上述两种方法． 两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2．[例3] 求解析式．(1)f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．[思路点拨] 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．[解] (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x．(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x．方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[跟进训练]2．f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，那么f (x )的解析式为． f (x )＝－23x －x 3 [因为f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，用1x 替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x ， 代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3．]1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]2．函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，那么f(10)＝．20[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]3．f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，那么f(x)＝．3x －2 [设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2．]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)假设f (x 0)＝8，求x 0的值． [解] (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4． (2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)； 当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4．∴x 0＝4．。
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 第1课时 函数的表示法学案(含解析)新人教A版必修第
3．1.2 函数的表示法第1课时函数的表示法[目标] 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．[重点] 函数解析式的求法及函数图象的画法．[难点] 求函数解析式的两种通法．知识点函数的表示法[填一填]函数有解析法、列表法、图象法三种表示法．(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．[答一答]1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．函数的三种表示方法各有什么优点？提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象．提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：类型一列表法表示函数[例1]已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.[分析]这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．[解析]由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1.[答案]1 1列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算.[变式训练1](1)在例1中，函数f(x)的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f(1)＝2；若f(x)＝1，则x＝2或3.(2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g (f (2))＝1；f (g (2))＝3.解析：(2)∵f (2)＝3，g (2)＝2，∴g (f (2))＝g (3)＝1，f (g (2))＝f (2)＝3.类型二 图象法表示函数[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[分析] 列表⇒描点⇒用平滑曲线连成图象⇒观察图象 求得值域. [解] (1)列表：x 0 12 1 32 2 y12345描点，作出图象(如图)．当x ∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)列表：x 2 3 4 5 … y1231225…描点，作出图象(如图)．当x ∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．(3)列表：x －2 －1 0 1 2 y－138描点，作出图象(如图)，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数图象应注意：(1)在定义域内作图，即树立定义域优先的意识；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.[变式训练2]作出下列函数图象，并求其值域．(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．由图象可知，y∈[－5,3)．类型三 解析法表示函数[例3] 求函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )； (3)已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． [解] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4.解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法1：(配凑法)因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)． 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法2：(换元法) 令x ＋1＝t (t ≥1)． 则x ＝(t －1)2(t ≥1)． 所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)．所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．求函数解析式的方法：(1)代入法：已知f (x )的解析式，求f [g (x )]的解析式常用代入法.(2)配凑法：已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式时，可先从f [g (x )]的解析式中拼凑出“g (x )”，即把“g (x )”作为整体，再将解析式的两边的g (x )用x 代替即可求得f (x )的解析式.(3)换元法：已知f [g (x )]的解析式，要求f (x )的解析式时，可令t ＝g (x )，利用t 表示出x ，然后代入f [g (x )]中，最后把t 换为x 即可.注意换元后新元的范围.(4)待定系数法：已知f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据函数类型先设出函数解析式，再代入关系式，利用恒等式求出待定系数即可.[变式训练3] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x 2，求f (x )；(2)已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，求g (x )的表达式．解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t1－⎝⎛⎭⎫1t 2＝tt 2－1(t ≠0)， 故f (x )＝x x 2－1(x ≠0)．(2)由g (x )为一次函数， 设g (x )＝ax ＋b (a >0)，∵f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，∴(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，从而a 2＝4,2ab ＝－20，b 2＝25，解得a ＝2，b ＝－5， 故g (x )＝2x －5(x ∈R )．1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为( D ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x ＋1解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，f (x )＝－x ＋1.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图所示的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))＝( B )x 1 2 3 f (x )23A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由函数图象可知g (2)＝1，由表格可知f (1)＝2，故f (g (2))＝2. 3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式为f (x )＝3x ＋2. 解析：解法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，∴f (x )＝3x ＋2.解法二：∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.4．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是y ＝80x 2＋800x,_x ∈(0，＋∞)．解析：由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0，化简为：y ＝80x 2＋800x ，x ∈(0，＋∞)．5．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．解：用列表法表示如下：x/台1234 5y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000 用图象法表示，如图所示．用解析法表示为y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．——本课须掌握的三大问题1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．。
高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法一学案含解析北师大版必
学习资料2.2 函数的表示法(一）内容标准学科素养1。
掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点．2。
在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数．3。
能利用函数图像求函数的值域，并确定函数值的变化趋势。
加强逻辑推理提升数学运算增强直观想象授课提示：对应学生用书第20页［基础认识]知识点函数的表示法错误!某同学计划买x(x∈{1，2，3,4，5})支2B铅笔,每支铅笔的价格为0。
5元，共需y元，于是y与x之间建立起了一个函数关系．（1)函数的定义域是什么？提示:{1，2,3,4，5｝．(2)y与x有何关系？提示:y＝0.5 x。
（3）试用表格表示y与x之间的关系．提示：表格如下:支数(x）1234 5钱数(y）0。
51 1.52 2.5知识梳理函数的表示方法错误!思考：1。
任何一个函数都能用解析法表示吗？提示：不一定．如一年内每天的气温与日期间的关系，每日股票的价格同开盘时间的关系等等，都不能用解析法表示．2．你能说一下三种表示法各自的优缺点吗？提示：表示法优点缺点解析法简明、全面概括了变量间的关系；利用解析式可以求任一点处的函数值不够形象、直观而且并非所有的函数都有解析式列表法不需计算可以直接看出自变量对应的函仅能表示自变量取较少的有限的对应关数值系图像法能形象直观地表示函数的变化情况只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大3。
如何判断一个图形是否可以作为函数的图像？提示：任取一条垂直于x轴的直线l，在定义域上移动此直线，若直线l与图形只有一个交点，则是函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则不是函数的图像．[自我检测］1．下列各图像中,不可能是函数y＝f(x)的图像的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：判断一个图像是否是函数图像，其关键是分析是否满足定义域内的任意一个x，都有唯一确定的y与之对应．故①②可能是函数图像．③④一定不是y＝f（x)的图像．答案：B2．下列用图表给出的函数关系中，当x＝6时，对应的函数值y＝（）x 0＜x≤11＜x≤55＜x≤10x＞10y 123 4A.2 B．解析：5＜x≤10时,y＝3，∴x＝6时，y＝3.答案：B3．已知f(x）是正比例函数且过点(1,1)，则f(x）＝________.解析:设f(x）＝kx（k≠0）,由题意可知f(1)＝k＝1，∴f（x)＝x.答案:x授课提示:对应学生用书第21页探究一函数的三种表示方法［例1]下列式子或表格:①y＝2x,其中x∈｛0,1，2，3｝，y∈{0，2，4｝；②x2＋y2＝2；③y＝x－2＋1－x；④x 1234 5y 9089888595其中表示y是x［思路点拨]解答本题的关键是分析所给式子或表格是否满足函数的定义．[解析］①不表示y是x的函数，因为当x＝3时，y没有值与其对应;②不表示y是x的函数，因为当x＝1时,y＝±1，即y有两个值与x的值对应;③不表示y是x的函数，因为原表达式中x∈∅；④能表示y是x的函数,因为该表格既满足函数概念中的确定性也满足唯一性．[答案]④方法技巧函数表示法的注意事项:(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．（2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．跟踪探究1。
高中数学学案：《函数的表示方法1》必修一
2．求函数的解析式有哪些方法？
【我的疑问】
备注
第1页共4页
【自主探究】
例1购买某种饮料 听，所需钱数为 元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将 表示成 的函数，并指出该函数的值域.
例2求下列函数的解析式：
（1）已知 是二次函数，且 ， ，求 ；
（2）已知 ，求 ；
（3）已知 ，求 .
5、解：
6、解：
备注
第4页共4页
备注
第2页共4页
【课堂检测】
1、1 n mile(海里)约合1852 m，根据这一关系，写出米数 关于海里数 的函数解析式.
（2） ；
（3） .
4、已知 ，则 ， 。
5、设函数 满足 ，求 ， 。
【回标反馈】
备注
第页共4页
【巩固练习】
完成伴你学P26自我检测第1－6题
1、解：
2、解：
3、解：
4、解：
高中数学函数及其表示教案
高中数学函数及其表示教案
教学对象：高中学生
教学目标：
1.了解函数的概念和性质；
2.掌握函数的表示方法；
3.能够应用函数解决实际问题。
教学步骤：
一、引入（10分钟）
通过一个生活实例引入函数的概念，让学生了解函数是什么，并探讨函数的性质。
二、讲解（20分钟）
1.函数的定义和符号表示；
2.函数的性质（奇偶性、单调性等）；
3.函数的表示方法（映射法则、方程法则、图象法则）。
三、练习（30分钟）
1.完成课本上的相关习题；
2.结合生活实际问题，应用函数解决问题。
四、总结（10分钟）
总结今天所学知识，强化重点，澄清疑惑。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固所学知识。
教学辅助手段：
1.幻灯片；
2.黑板；
3.教材。
教学反馈：
1.听取学生对函数概念和性质的理解；
2.检查学生完成的习题。
教学延伸：
1.探讨更多函数的相关性质；
2.引导学生分析更复杂的函数问题。
教学检测：
出一个综合性考试，测试学生对函数概念和表示方法的掌握程度。
1.2.2函数的表示法2学案
1.2.2《函数的表示方法》导学案【使用说明】1、认真阅读课本，提前预习，明确基本概念，完成课前导学与自测部分， 要求：人人参与并独立完成；2、课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分；3、针对学生在预习环节可能解决不了的问题，课堂上教师进行点拨指导。
【学习目标】1.进一步理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；2.在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法；【课前导学与自测】预习教材第20-22页，找出疑惑之处，完成新知学习分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着 ，这样的函数通常叫做 。
我市出租汽车收费标准如下：在3km 以内(含3km)路程按起步价8元收费，超过3km 以外的路程按1.6元/km 收费．试写出收费额关于路程的函数解析式，并画出函数图象．【精讲点拨】例1．作出下列各函数的图象，并指出函数的定义域和值域：（提示：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。
）（1）1(01)()(1)x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩； （2）222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧+≥=⎨--<⎩例2．将函数1y x =-表示成分段函数的形式，并画出图象，并根据图象指出函数的定义域和值域。
变式1：函数y=|x-2|(x ＋1)。
变式2：f (x )＝ | x ＋1|＋| x －2|。
【巩固练习】1．设函数22(2)()2(2)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则(4)f -= ，若0()8f x =，则0x = 。
2．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则{[(1)]}f f f -= 。
3.国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g 时付邮资80分；超过20g 不超过40g 时付邮资160分；依次类推，写出每封xg(100x 0≤<)的信与所付邮资y 之间的函数解析式，并画出这个函数的图象。
编号9学案函数的表示方法
1.2.2函数的表示法课时：1 编写人：李美琴、李瑞娟审核人：编号：09一、学习目标1.通过具体实例，了解分段函数定义.理解一个分段函数不管分成几段只是一个函数.2.会求分段函数的函数值及会画出分段函数的图像,并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力.3.了解映射的概念，方向性及唯一性.4.了解映射是一种特殊的对应，而函数是一种特殊的映射.二、问题导学探究一分段函数问题1 学习本节中的例5，并思考：函数：||()y x x R=∈与函数,0,,0x xyx x≥⎧=⎨-<⎩在表达方式上有何区别？这个函数图像为什么是由两条射线组成的？问题2阅读例6注意：○1本题中自变量的范围是怎样得到的？○2自变量的范围为什么分成四个区间？○3区间端点是怎样确定的？○4每段上的函数解析式是怎样求出的？○5画图象时应注意什么？问题3通过例5、例6归纳什么是分段函数？这类函数的解析式和图像有什么特点？怎样作分段函数的图象？分段函数是一个函数吗？探究二映射问题4阅读课本22页，回答：①函数是“两个非空数集间的一种确定的对应关系”，如果将数集扩展到任何集合，会得到什么？②映射是函数概念的推广，函数是映射概念的特殊情形请认真比较函数与映射的概念，我们会发现这两个概念之间的关系.③通过学习课本中的例7，同学们认为判断一个对应关系是否为映射的关键是什么？④解决课本例7后面的“思考”问题.问题5映射是的推广，是一种特殊的映射，即是非空数集到非空数集的映射.三、达标检测必做题1. 课本23页练习3,4.2. 作出函数1,01,,1x y x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩的图像.，并指出其定义域，值域.3.已知函数232,1,(),1,x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若f(f(0))=4a,这实数a 的值为（ ） A.2 B.1 C.3 D.44.已知函数*8,0,()(1)7,,x f x f x x N =⎧=⎨-+∈⎩则(1)f 等于 . 5.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5千米以内（含5千米），票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米按5千米计算）， 如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象.6.若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有（ ）①A 中的任一元素在B 中必须有唯一元素与之对应；②B 中的多个元素可以在A 中有相同的元素与之对应；③B 中的元素可以在A 中没有元素与之对应；④A 中的所有元素在B 中对应的元素的全体就是集合B.7.设A={|04x x ≤≤}，B={|02y y ≤≤}，下列对应关系： ①1:;2f x x →②:f x ③21:;2f x x →④:2.f x x → 其中能称为集合A 到集合B 的映射的个数是（ ）A.0B. 1C.2D.3 8.在映射:f A B →中，A=B={（,x y ）|,x y R ∈}，且:(,)(,),f x y x y x y →-+则与A 中的元素（-1,2）对应的B 中的元素为选做题1.设函数22,2,()2,2,x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则f(-4)= ;又知0()8f x =,则0x = . 2.从集合{1,2}到{5,6}的不同映射有（ ）个.3．已知集合A=Z ，{|21,}B x x n n Z ==+∈,C=R ,且从A 到B 的映射是:21,f x y x →=-从B 到C 的映射是1:31f x y x →=+，则从A 到C 的映射是 . .。
人教新课标版数学高一必修1学案 函数的表示法(二)
1.2.2 函数的表示法(二)自主学习1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题． 2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是非空数集．对点讲练分段函数的求值问题【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值； (2)若f (a .)＝3，求a . 的值．分析 本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以要对x 的可能范围逐段进行讨论． 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a .≤－1时，f (a .)＝a .＋2，又f (a .)＝3，∴a .＝1(舍去)；当－1<a .<2时，f (a .)＝a .2，又f (a .)＝3，∴a .＝±3，其中负值舍去，∴a .＝3；当a .≥2时，f (a .)＝2a .，又f (a .)＝3， ∴a .＝32(舍去)．综上所述，a .＝ 3.规律方法 对于f (a .)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a . 所在范围有关，因此要对a .进行讨论．由此我们可以看到： (1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x (x <0)，若f (a .)>a .，则实数a .的取值范围是________．答案 a .<－1解析 当a .≥0时，f (a .)＝12a .－1，解12a .－1>a .，得a .<－2与a .≥0矛盾，当a .<0时，f (a .)＝1a ，解1a>a .，得a .<－1.∴a .<－1.分段函数的图象及应用【例2】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 化简f (x )的解析式 →化简f (x )的解析式 →把f (x )表示为分段函数形式→画出f (x )的图象→求f (x )的值域 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1| (x <1)－x ＋3 (x ≥1)，使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是______________________． 答案 (－∞，－2]∪[0,2] 解析在同一坐标系中分别作出f (x )及y ＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2]．映射概念及运用【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？（1）A={x|x 为正实数}，B={y|y ∈R[}，f ：x →y=±x（2）A=R ，B={0，1},对应关系f ：x,→y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；0， x<0；（3）A=Z ，B=Q ，对应关系f ：x →y=1x；（4）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f:a →b=()21a -解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应，∴不是映射．(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，任意一个负数都有唯一的元素0和它对应， ∴是映射．(3)集合A 中的0在集合B 中没有元素和它对应，故不是映射． (4)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射．规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A 中的 每一个元素”；(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可． 变式迁移3 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A=R ，B=R,f:x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{a.|a.＝n ，n ∈N ＋}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b ＝1n ，n ∈N ＋，f ：a.→b ＝1a；(3)A=[)0,+∞,B=R ，f:x→y 2＝x ；(4)A ＝{x|x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x|x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，主要利用映射的定义：(1)集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)； (2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)与A 中元素对应的元素构成的集合是集合B 的子集．课时作业一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝N *，f ：a .→b ＝(a .＋1)2D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 答案 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ． f:x→y ＝12x B. f:x→y ＝13xC. f:x→y ＝14xD. f:x→y ＝16x答案 A由f:x →y ＝12x ，集合A 中的元素6对应3∉{y |0≤y ≤2}，故选项A 不是映射．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 由题意知f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]等于( )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2 答案 B解析 当x <0时，g (x )＝－x 2<0， ∴f [g (x )]＝－x 2. 二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．答案 π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤2，∴x <0. 综上可知x ≤1. 三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x <3)的图象． 解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)．∵点(1,1)、(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2 (x <1)． 同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a .(x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a .<0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a .＋2＝1，a .＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).【探究驿站】9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1， 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)，若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1， 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3， 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。
【平煤高中学案必修一】10.函数的表示法(2)
§1.2.2 函数的表示法（2）学习目标：1.熟悉函数图象的画法，学会利用图象解决问题，树立应用数形结合的思想.2.熟悉简单的解析式的求法，能利用解析式解决一些简单问题，增加学习数学的兴趣.知识要点：1.函数图象的画法：2.解析式的用途： 典型例题：1.画出函数x y =的图像。
2.已知函数24,02,042,4x x y x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩. (1)求(((5)))f f f 的值；（2）画出函数的图象.3.已知函数()f x 的图像如下（图像是直线的一部分与抛物线的一部分组成），根据图像写出解析式.4.（1）已知函数()f x 满足2)3(2+-=-x x x f ,则()f x = .（2）已知一次函数()f x 满足[]()43f f x x =+，求()f x = .（3）已知二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且图象在y 轴上的截距为0，最小值为－1，则()f x = .5. 已知函数2(1)()2(11)(1)xx f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，则1{[()]}2f f f -=______6.2,4,02()(2)2,2x x f x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩-≤≤=>已知函数则 ；若00,()8f x x ==则 .当堂检测：1.函数()1f x x =-的图象是( )2. 设函数f （x ）＝22(2)2(2)x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋＜，则(1)f -＝ .3. 设22, (1)(), (12)2, (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x =，则x =（ ）A. 1B. C. 32D.4. 若1()1xf x x=-， 则)(x f = .5.函数()f x 在[1,2]-上的图象如图所示，求()f x 的解析式.小结：。
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函数的表示方法
一、教学目标
１．总结函数三种表示方法．
２．了解三种表示方法的优缺点．
３．会根据具体情况选择适当方法．
4．利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力．
二、重点难点：
重点:
１．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点．
２．能按具体情况选用适当方法．
难点
函数表示方法的应用．
三、合作探究
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的方法表示了一些函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？
这就是我们这节课要研究的内容．
从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
四、精讲精练
例：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
１．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t•（时）变化的函数
解析式，并画出函数图象．
２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
解：１．由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0．05米，•这样的规律可以表示为： y=0．05t+10（0≤t≤7）
这个函数的图象如下图所示：
２．再过2小时的水位高度，就是
t=5+2=7时，y=0．05t+10的函数值，从解
析式容易算出：y=0．05×7+10=10．35
从函数图象也能得出这个值数．
2小时后，预计水位高10．35米．
就上面的例子中提几个问题大家思考：
１．函数自变量t的取值范围：0≤t≤7是如何确定的？
２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？
３．函数的三种表示方法之间是否可以转化？
１．从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况，•且估计这种上涨情况还会持续2小时，所以自变量t的取值范围取0≤t≤7，超出了这个范围，•情况将难以预计．
２．2小时后水位高通过解析式求准确，通过图象估算直接、方便．•就这个题目来说，2小时后水位高本身就是一种估算，但为了准确而言，•我认为还是通过解析式求出较好．
３．从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化，因为题目中只给出了列表法，而我们通过分析求出解析式并画出了图象，所以我认为可以相互转化．
练习：
１．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数．
２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数．
3、甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．
五、课堂小结
通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决
相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化，为下面学习数形结合的函数
做好了准备．
六．作业P108 8、9、10。