第八章动态规划原理与最优控制
OR8
解： 把对每一个部位派出 巡逻队数量的决策，看成 是一个阶段，可归结成4 个阶段的决策问题。
2 3 4
A 18 14 10
B 38 35Biblioteka 31C 24 22 21D 34 31 25
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--第8章 动态规划--
一、建立模型
（1）阶段变量：k=1, 2, 3, 4 （2）状态变量：xk——第k阶段可用于分配的巡逻队数量； （3）决策变量：uk——第k阶段派出的巡逻队数量； 允许决策集合D(xk)={2, 3, 4} （4）状态转移律：xk+1=xk－uk ； （5）阶段指标函数：vk(uk)——预期损失函数，如表示； （6）基本方程：fk ( xk )= min{vk(uk)+ fk+1(xk+1)} （7）边界条件：f5 ( x5 )=0
3+ 3 3+ 4
=6，u3 * (C3) = C3D1
3）k=2， f2(x2)=min{v2(x2，u2) + f3(x3)}， B1C1+ f3(C1) f2(x2=B1)= min B1C2+ f3(C2) B1C3+ f3(C3) B2C1+ f3(C1) f2(x2=B2)= min B2C2+ f3(C2) B2C3+ f3(C3) = min = min 7+4 5+7 6+6 3+4 2+7 4+6 =7， u2 * (B2) = B2C1 =11，u2 * (B1) = B1C1
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--第8章 动态规划--
（3）决策（decision）：指在某阶段从给定的状态出发，决策者从面 临的若干种不同的方案中所做出的选择。 决策变量uk(xk) ∈Dk(xk)——允许决策集合， uk(xk)取值范围。 要点： ① 决策变量是对活动过程控制的手段； ② 决策变量取值可以是连续型的，也可以是离散型的； ③ 允许决策集合相当于可行域。 （4）策略（policy）与子策略（subpolicy）：各阶段决策组成的序列 总体称为策略；从某一阶段开始到过程最终的决策序列称为子策 略。 n 阶段策略可记为 {u1(x1), u2(x2) , … , un(xn)}， 子策略可记为 {uk(xk), uk+1(xk+1) , … , un(xn)}。 （5）状态转移律：状态参数变化的规律。从第k阶段的某一状态值xk 出发，当决策变量uk的取值确定之后，下一阶段的状态值xk+1按 某种规律T(xk , uk)确定。 第k+1阶段状态是第k阶段状态xk和变量uk的函数 xk+1 = T(xk , uk)， 又称状态转移方程。
动态规划1(qh)
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
2
D2
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
E
F
动态规划的函数方程（DP）
建立DP函数方程是指确定过 程的阶段及阶段数，规定状态变 量和决策变量的取法，给出各阶 段的状态集合，允许决策集合， 状态转移方程和指标函数等。
在上面的计算过程中，利用了第 k阶段与第k+1阶段的关系：
f3(C1)=MIN r(C1,D1)+ f4(D1) r(C1,D2)+ f4(D2)
=MIN（3+6，3+5）=8 最短路线： C1——D2——E2——F 最优解： d3*(C1)= D2
4 A3
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
2
D2
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
E
F
d1
r (S 1,d 1 (S 1))+ f2(S 2) f 1(S 1) d 1 (S 1)
S1
B1
B2
A
15
14
14
B2
4 A3
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
动态规划与最优控制模型
第四章 最优控制模型（管理、决策方面应用，因此可说管理决策模型）§1 最优控制的问题提法： §1.1 最优控制问题举例 §1.2 最优控制数学模型一、例，详见最优控制课听课笔记第一节； 二、问题的数学描述――最优控制模型.寻找U )t (*u ∈（开，闭）[]f f 0t ,t ,t 可以固定或自由，使得： [][])t ( u J min )t (*u J Uu∈= (){()()0t ),t ( x g 0 t ),t ( x g ,R )t (x )t (x M x )t (x x )t ( x t ),t ( u ),t (x f dt (t) x d :t .s f f 2f f1f f f f 00≤=∈=∈==其中： n R )t (x ∈ ，且1C )t (x ∈ （一个连续可微）， R U )t (u m ≤∈，[] t ,u (t), x f：向量值函数，且)( f ⋅ 对t ),t ( u ),t ( x 连续，对t ),t ( x 连续可微. []()()()[]。
都可微 t (t), x 对 t (t), u (t), x L ,t ),t ( x,dt t ),t ( u ),t ( x L t ),t ( x )t ( u J f f tt f f fϕ+ϕ=⎰最优控制问题的求解方法：1． 古典变分法：U 开集；2． 极大值原理：U 闭集；现代变分法，把古典变分法看作特例 3． 动态规划：便于数值计算，并有通用算法； 发展了变分法，结果要充分条件.§2 最优控制模型的动态规划解法 §2.1 动态规划方法概述§2.2 生产——库存——销售管理系统的解法§2.1 动态规划方法概述某一类管理问题的数学模型（状态方程）是一个差分方程：()⎩⎨⎧∈==+M )(k x x )0( x k ),k ( u ),k ( x f )1k ( x f 0 使 ()∑-==1N 0i i ),i ( u ),i ( x L J 达到最小. 此为一个N 阶决策问题：动态规划法是求这一决策问题的有效办法，具有明显优点：（ⅰ）将一个N 阶决策问题转化为多次一步决策问题，即数学上的嵌入原理——将求一条极值曲线问题，嵌入到求一族极值曲线的更广泛的类似问题中；（ⅱ）大大简化了计算量；（ⅲ）具有局部优，就是整体优的最优性原理：可广泛应用于运输系统、生产库存管理系统、生产计划制定及最优投资分配问题、最优价格制定问题.下面以最短路问题举例说明这种方法： 一、最短路问题（最小时间问题）1．问题：若有一辆汽车以S 城出发经过若干城市到达F 城，如图：3 ,2 ,1i ,Q ,P i i =，是一些可以通过的城镇.·P 1 6 ·P 2 1 ·P 3 4 4 1 2 4S · ·F 5 6 3 ·Q 1 7 · Q 2 2 ·Q 3图中两点间的数字：可以表示两城镇之间的距离（单位10公里），也可以表示行驶两城镇所用时间（应综合考虑：距离远近，路面好坏，是否拥挤等情况）.于是：汽车从S 到F 可经多种途径选择到达F . 问题是：从多种途径选择方案中，决定一种使S 到F 所走路线最短.或者若图中数字表示时间，则决定一种路径使从S 到F 所用时间最短.2．方法：Ⅰ决策树法（穷举法）：决策树法是最容易想到的一种方法，但运算量很大——即把所有可能选择的路途所用的时间都求出来，然后取最小值，即有最优策略（最优决策）.即： {}3 ,2 ,1i F Q SP min F *Q *SP i i i i == 因此有：1 P 3 4 F 15P 26 1 Q 3 3 F 14P 1 62 P34 F 164 Q 22 Q3 3 F 15S1 P 3 4 F 145 P 24 1 Q 3 3 F 13Q 1 7 2 P 3 4 F 18Q 22 Q3 3 F 17因此，最终得出：{}3 ,2 ,1i F Q SP min F P P SQ i i 321== 困难：这样共有8条线路可选择，每条线路要作3次运算.第1次：22211Q Q /P Q /P S →→→；第2次：3322Q /P Q /P →； 第3次：F Q P 33→或因此，共需24次运算：2438＝⨯次，若阶段更多，则计算量更大. 2．“走一步瞧一步”（瞎子爬山？）法：第一步：从S 到1P 或1Q ：显然 5SQ 4SP 11=<=，因此取决策1SP ；第二步：从1P 到2P 或2Q ：显然 2121Q P 6P P ==，因此取2121Q Q ,P P 均可，但从2P 到3P 或3Q 距离为1，而2Q 到32P P 距离为2，因此，第2步决策为2P ，因此取21P P ；第三步：2P 到3P 或2P 到3Q ，均有1Q P P P 3232==，但3Q 到F 的距离为3，因此第3步取路线32Q P .因此使用这种方法得到的决策为：143164F Q P SP 321=+++= 显然不是“最优决策”，同时还有：14F P P SQ 321=问题出现在“局部优不能代替整体优”的问题. 3．动态规划：即可把每一步决策都看成一个状态的转移，而每一种状态的转移又影响到下一阶段的状态，因此又是动态的，故称为动态规划法.将上述问题分为四个阶段的多阶决策问题，故可将问题分为四阶段问题来考虑：第一阶段问题：11Q /P S →； 第二阶段问题：2211Q /P Q /P →； 第三阶段问题：3322Q /P Q /P →； 第四阶段问题：F Q /P 33→ 解题方法从最后一个阶段开始：1° 分别计算33Q ,P 到F 的最小代价，此处花费代价为时间，记为J ，用[][]33Q J ,P J 分别表示3P 或3Q 到F 的代价，则显然有：[][]3Q *J 4P *J 33==2° 由后往前，考虑倒数第二阶段（即第三阶段），再把第三阶段和第四阶段联合作为一个子问题来考虑，若从2P 出发到F ，则有两种可能：[][]431Q *J 2J F Q P 541P *J 1J F P P 332332=+=+==+=+=∴ 线路F Q P 32最短，且[]4P *J 2=，故将线路F Q P 32记成P 2④Q 3.类似以2Q 出发到F ，则有两种可能：[][]532Q J 2J F Q Q 642P J 2J F P Q 332332=+=+==+=+=∴ 线路F Q Q 32最短，则[]5Q *J J 2==，故将线路F Q Q 32记成2Q ⑤3Q .3° 再由2、3、4这三个阶段构成的子问题：若从1P 出发到F 有两种可能：[][]1156Q *J 6J F Q P 61046P *J 6J F P P 221221=+=+==+=+=∴ 有线路F P P 21最短，且[]10P *J 1=，故将F P P 21记成：1P ⑩2P若从1Q 出发到F 有两种可能：[][]1257Q *J 7J F Q Q 844P *J 4J F P Q 221221=+=+==+=+=∴ 有线路F P Q 21最短，则[]8Q *J 1=，故将F P Q 21记成：1Q ⑧2P4° 把由1、2、3、4阶段作为子问题来考虑：从S 出发到F 有两种可能：[][]1385Q *J 5J F SQ 14104P *J 4J F SP 1111=+=+==+=+=且且故： F SQ 1最短，且[]13S *J = 5° 因此有最优策略：F SQ 1即： []13S *J F Q P SQ F SQ 3211==，除“二决一”比较之外，且运算只用了10次，而穷举法则算了24次，上次这种动态规划的办法：是将把一个四阶段决策问题化为四个互相嵌入子问题，逐一进行简化的计算方法，即数学上嵌入定理. 3．最优性原理“最优策略的一部分也是最优策略”例如：上例中知：F Q P SQ 321是最优决策，则F Q P Q 321也一定是从Q 1出发到F 的最优决策：证明［反证法］：设SQ 1P 2Q 3F 是最优决策，则Q 1P 2Q 3F 不是最优决策，则必存在另一个最优决策，不妨设为Q 1Q 2Q 3F 为最优决策.因而，SQ 1Q 2Q 3F 是整体最优决策，因而与SQ 1P 2.)1N (*u , ),1(*- 是N 阶决策问题的最优策略序列，那么：)1N (*u , ),1(*u - 也是一个最优策略序列，其初始状态为：())0(*u ),0(x f )1(x =证明：同最短路4． 多阶决策问题的一般想法：设某系统的状态方程为：()⎩⎨⎧==+0x )0(x )i (u ),i (x f )1i (x目标函数为：()∑-==1N 0i N i ),i (u ),i (x L J ，NJ表示控制N 步时的目标函数值.最优控制问题，即：求最优决策序列{}{})1N (u , ),0(*u )i (*u -= ，使N J 取最小(大)值.为简化假定为定常状态，即L 不明显还有时间变量i因而有：()⎩⎨⎧==+0x )0( x )i (u ),i (x f )1i ( x()∑-==1N 0i N )i (u ),i ( x L J对目标函数(3)逐次应用(1)式有：()()()()()()()()()()())1N (u ),2N (u ,u(1) ,)0(u ),0(x f f f L ,u(1) ,)0(u ),0(x f L )0(u ),0(x L ,)1N ( u ),1N ( x L )1(u ),1(x L )0(u ),0(x L J N --+++=--+++=因此，可以由上式看出：N J 只依赖于)1N (u , ),1(u ),0(x - 因而可写成：())1N (u , ),1(u ),0(x J J N N -=又若用某种方法求出了最优决策)1N (*u , ),0(*u - ，则N J 的最小值只依赖于初始值)0(x ，记为() )0( x *J N ，它可用下式来定义：()())1N (u , ),1(u ),0( x J min)0(x *J N )1N (u ,),1(u ),0(u N -=-初始值是可变化的，因此：() )0( x *J N 表示初始状态为)0(x 时，控制N 步的目标函数最小值.5．动态规划的基本方程：动态规划的基本方程，给出N 阶决策问题的目标函数最优值与它的子问题)1N (阶决策问题-目标函数最优值之间的递推关系式，它是用动态规划解一切多阶决策问题的基础.设)0(*u 已求出，则求序列{})1N (*u , ),2(*u ),1(*u - 的问题，构成一个以() )0(u ),0( x f )1( x =为初始条件的1N -阶决策问题，若记这一子问题的目标函数最小值为：() )1(x *J 1N -；又若记() )0( x *J N 为N 阶决策问题最小值，则我们可以导出() )0( x *J N 与() )1(x *J 1N -之间的关系：()()() (k)u (k), x L ) )1(u ),0(x ( L min u(k) x(k),L min )0(x *J 1-N 1k 1)-u(N -u(0)1-N 0k )1N (u ,),1(u ),0(u N ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑==- 由于则第一项：()())0(u ),0(x L min )0(u ),0(x L min)0(u )1N (u , ),0(u =-第二项： ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑-=-1N 1k )1N (u , u(1) ),0(u )k ( u ),k ( x L min 并不明显依赖)0(u ，()())2N (u ),2N (x f )1N (x )0(u ),0(x f )1(x --=-=但由状态方程：可知：实际上第二项仍依赖于)1N (u , ),1(u ),0(u - ，因此，第二项可写成：()()(){})1( x J min (k)u (k), x L min min (k)u (k),x L min *1N )0(u 1-N 1k )1N (u ,),1(u )0(u 1-N 0k )1N (u ,),0(u ---=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∑此给出了())1(x J *1N -与())0(x J*N 之间的递推关系.它是动态规划的基本方程.类似有动态规划更一般的基本方程：(**) 因此依据基本递推方程的递推关系：可以把一个多阶决策问题化为若干个子问题，而在决策的每一个阶段中只须对一个变量进行最优化决策即可.例如：()(){})1N (u ),1N (x L min )1N (x J )1N (u *1--=-- 是对一个单变量)1N (u -的优化问题，当())1N (x J *1-求出后，由基本递推方程(**)式可得：()()(){})1N (x J )2N (u ),2N (x L min )2N (xJ *1)2N (u *2-+--=--这又是对)2N (u -的最优化决策问题，因而把原来N 阶决策问题化成一系列对单变量的最优化决策问题，从而使问题简化.§2.2 生产库存——库存管理决策问题的解设某工厂生产某种产品，四个季度定货量为：生产费用与产品平方成正比，即比例系数为0.005，)( u 005.0)x (C 2元= 库存费每件每季为：1.0元. 第i 季度库存量为：)i (x 件； 第i 季度生产量为：)i (u 件； 第i 季度销售量为：定货量=)i (s 因此有：下季度库存是 ：)i (S )i (u )i (x )1i (x －本季销售量本季生产量本季度库存量是+=+且要求年初、年终都没有存货即销售已空.x （0）＝x （5）＝0最优管理问题：求每季度的最优生产量)4(u ),3(u ),2(u ),1(u ，使之能正好完成订货计划且使生产费与库存费总和最小.即：求 {})i (*u 使[][][]∑=+=≤41i 240)i (x )i (u005.0)i (u J )i (*u J （1）⎪⎩⎪⎨⎧===+=+ (4) 0x(5)(3) 0x(0)(2) ,4 1,2,3is(i)-u(i)x(i)1)x(i t .s解：使用动态规划的办法：1． 先由最后一个季度考虑起：)4(x )4(u 005.0J 21+=由（2） 0 x(5))4)4(s )4(u )4(x )14(x =-+=+及（得 ２００u(4)－(4)－1x(4)0+=得 )4(x 1200)4(*u -=代入（1）[]())4(x 005.0)4(x 117200)4(x )4(x 1200005.0)4(x J 22*4+-=+-= 2． 再考虑3－4两个季度，由基本递推方程知：()()[]{}(){}{})4(x 005.0)4(x 117200)3(x )3(u005.0min )4(x J )3(x )3(u 005.0min )4(x J )3(u ),3(x L min )3(x J 22)3(u *12)3(u *1)3(u *2+-++=++=+=其中 500)3(u )3(x )3(s )3(u )3(x )4(x -+=-+= 代入上式 即有：()()(){}22)3(u *2500)3(u )3(x 005.0500)3(u )3(x 117200)3(x )3(u 005.0min )3(x J -++-+-++=而)3(u 应使上式取最小值，因此有： {}0)3(u /=∂∙∂即：{}0)3(x 01.016)3(u 02.0)3(u =+-=∂∙∂即有： )3(x 5.0800)3(*u -= 为使0)3(*u ≥，必须有1600)3(x ≤，把)3(*u 代入())3(x J *2()()())3(x 0025.0)3(x 77550500)3(*u )3(x 005.0500)3(*u )3(x 117200)3(x )3(*u 005.0)3(x J 22*2+-=-++-+-++=3．再考虑2-3-4，由递推基本方程知：()()(){}{})3(x 0025.0)3(x 77550)2(x )2(u005.0min )3(x J )2(u ),2(x L min )2(x J 22)2(u *2)2(u *3+-++=+=其中 700)2(u )2(x )3(x -+= 代入上式 ())2(x J *3()()(){}22)2(u *3700)2(u )2(x 0025.0700)2(u )2(x 77550)2(x )2(u 005.0min )2(x J --+---++= 令 ()0)2(u /)2(x J *3=∂∂ 得(){}()0700)2(x 005.07)2(u 015.0)2(u )2(u )2(x J *3=-+-=∂∙∂=∂∂得 )2(x 31700)2(*u -= 再代 ())2(x J *3 得 ())2(x 3005.0)2(x 6000,10)2(x J 2*3+-= 4．再考虑1－2―3―4季度，由递推基本方程知：()()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++=+=)2(x 3005.0)2(x 6000,10)1(x )1(u 005.0min )2(x J )1(u ),1(x L min )1(x J 22)1(u *3)1(u *4 又由于 600)1(u 600)1(u 0)1(s )1(u )1(x )2(x -=-+=-+=并代入上式 ())1(x J *4得：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--++=22*4600)1(u 3005.0600)1(u 6000,10)1(x )1(u 005.0min )1(x J 令 ()0)1(u )1(x J *4=∂∂ 得()0600)1(u 301.06)1(u 01.0=-+- 得 600)1(*u =得 ()800,11)1(x J *4=（即四个季度总和的生产费用库存费） 于是：由)1(x ),1(*u 代入 )1(s )1(u )1(x )2(x -+=可得 )2(x ，由)2(x 可得 )2(x 31700)2(*u -= 于是由600)1(*u0)1(x == 及方程 )i (s )i (u )i (x )1i (x -+=+ 及 )4(x 1200)4(*u )3(x 5.0800)3(*u )2(x 31700)2(*u -=-=-=可得900)4(*u ,800)3(*u ,700)2(*u ,600)1(*u 0)5(x ,300)4(x ,0)3(x ,0)2(x ,0)1(x =========即有以上最优决策序列：{})i (*u 若不按以上最优决策，按每季销售量生产1200)4(s )4(u 500)3(s )3(u 700)2(s )2(u ,100)1(s )1(u ========则显然总有存为总量0，但总费用： ()∑=+=4124700,12)i (x )i (u005.0J 要多用900元.。
最优控制问题的动态规划法
最优控制问题的动态规划法动态规划法是一种常用的最优控制问题求解方法。
它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的最优解，最终得到整体问题的最优解。
本文将介绍最优控制问题的动态规划法及其应用。
一、概述最优控制问题是指在给定控制目标和约束条件下，通过选择一组最优控制策略来实现最优控制目标。
动态规划法通过将问题分解为若干个阶段，并定义状态和决策变量，来描述问题的动态过程。
并且，动态规划法在求解过程中通过存储子问题的最优解，避免了重复计算，提高了计算效率。
二、最优控制问题的数学模型最优控制问题通常可以表示为一个关于状态和控制的动态系统。
假设系统的状态为$x(t)$，控制输入为$u(t)$，动态系统可以表示为：$$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))$$其中，$\dot{x}(t)$表示状态$x(t)$的变化率，$f$为状态方程。
此外，系统还有一个终止时间$T$，以及初始状态$x(0)$。
最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得系统在给定时间$T$内，从初始状态$x(0)$演化到最终状态$x(T)$，同时使得性能指标$J(x,u)$最小化。
性能指标通常表示为一个积分的形式：$$J(x,u) = \int_0^T L(x(t), u(t)) dt + \Phi(x(T))$$其中，$L$表示运动代价函数，$\Phi$表示终端代价函数。
三、最优控制问题的动态规划求解最优控制问题的动态规划求解包括两个主要步骤：状态方程的离散化和动态规划递推。
1. 状态方程的离散化将状态方程离散化可以得到状态转移方程。
一般来说，可以使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法）对状态方程进行离散化。
通过选择适当的时间步长，可以平衡计算精度和计算效率。
2. 动态规划递推动态规划递推是最优控制问题的关键步骤。
假设状态函数$V(t,x)$表示从时刻$t$起，状态为$x$时的最优性能指标。
动态规划递推过程通常可以描述为以下几个步骤：（1）递推起点：确定最终时刻$T$时的值函数$V(T,x)$，通常可以根据终端代价函数$\Phi$直接得到。
动态规划原理
动态规划原理
动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。
它通过将问题分解成较小的子问题，并通过寻找子问题的最优解来解决整体问题。
动态规划的核心思想是将整体问题拆分成多个重叠子问题，在解决子问题的过程中记录下每个子问题的解。
这样一来，当我们需要求解更大规模的子问题时，可以直接利用已经计算出的子问题解，避免重复计算，提高算法效率。
其中，动态规划的关键步骤包括定义状态、设计状态转移方程和确定边界条件。
首先，我们需要确定问题的状态。
状态可以理解为问题的属性，它描述了问题在不同阶段、不同状态下的特征。
在动态规划中，我们将问题的状态表示成一个或多个变量，用于描述问题的特征。
接着，我们需要设计状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的联系和转移规律。
它通过将问题的解与子问题的解联系起来，建立起子问题与整体问题的关系。
通过推导状态转移方程，我们可以由已知的子问题解计算出更大规模的问题解。
最后，我们需要确定边界条件。
边界条件表示问题的终止条件，它是最小规模子问题的解。
边界条件是问题求解的起点，也是递归求解过程的出口。
通过依次求解子问题，并利用已经计算过的子问题解，动态规
划可以高效地解决复杂问题，并得到全局最优解。
因此，它在解决优化问题、序列问题、最短路径问题等方面有着广泛的应用。
动态规划在最优控制中的应用
动态规划在最优控制中的应用在控制工程领域，如何实现系统的最优控制一直是一个关键且具有挑战性的问题。
动态规划作为一种有效的数学工具，为解决这类问题提供了强大的支持。
要理解动态规划在最优控制中的应用，首先得明白什么是最优控制。
简单来说，最优控制就是在满足一定约束条件的情况下，找到一种控制策略，使得某个性能指标达到最优值。
比如说，在一个生产过程中，我们希望在保证质量的前提下，以最小的成本、最短的时间生产出最多的产品，这就需要找到最优的控制策略来调整生产线上的各种参数。
那么动态规划又是如何发挥作用的呢？动态规划的核心思想是将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐步求解这些子问题来得到原问题的最优解。
举个简单的例子，假设我们要从 A 地前往 B 地，途中经过多个中间地点。
我们有多种交通方式可以选择，比如步行、骑车、坐公交或者打车。
每种交通方式都有不同的花费和所需时间。
我们的目标是在给定的预算和时间限制内，找到最快到达 B 地的路径。
这就可以看作一个最优控制问题。
使用动态规划来解决这个问题时，我们会从最后的目的地 B 开始倒推。
对于每个中间地点，我们会计算从该地点到 B 地的最优路径和成本。
然后逐步向前推进，直到起点 A。
通过这种方式，我们可以在每一步都做出最优的决策，最终得到从 A 地到 B 地的最优路径。
在实际的工程应用中，动态规划常用于解决诸如资源分配、生产调度、库存管理等问题。
以资源分配为例，假设有一定数量的资源需要分配给多个项目，每个项目对资源的需求不同，产生的效益也不同。
通过动态规划，我们可以确定如何分配资源，以使总效益达到最大。
在动态规划的求解过程中，一个重要的概念是贝尔曼最优性原理。
它指出，一个最优策略具有这样的性质：无论初始状态和初始决策如何，对于第一个决策所产生的新状态，后续的决策必须构成针对新状态的最优策略。
这就像我们前面提到的旅行例子，无论我们在哪个中间地点，后续的决策都应该是基于当前位置到达目的地的最优选择。
最优控制问题的动态规划算法
最优控制问题的动态规划算法动态规划（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策问题的优化方法，对于最优控制问题而言，动态规划算法是一种有效的求解方法。
本文将介绍最优控制问题以及如何使用动态规划算法解决该类问题。
一、最优控制问题简介最优控制问题是在给定系统的一些约束条件下，通过对系统进行控制使得某个性能指标达到最优的问题。
该问题可以形式化地表示为数学模型，通常由状态方程、性能指标和约束条件组成。
二、动态规划算法原理动态规划算法采用自底向上的方法，通过建立递推关系，将原问题分解为若干个子问题，并以自底向上的顺序求解子问题的最优解，最终得到原问题的最优解。
三、最优控制问题的动态规划算法步骤1. 确定阶段数和状态变量：将最优控制问题划分为多个阶段，并定义每个阶段的状态变量。
状态变量可以是系统的状态、控制量或其他相关变量。
2. 建立状态转移方程：根据最优控制问题的约束条件和性能指标，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程表示了系统在不同阶段之间的演化过程。
3. 定义性能指标：根据最优控制问题的要求，定义系统的性能指标。
性能指标可以是系统的能量消耗、最大收益或其他相关指标。
4. 确定边界条件：确定最优控制问题的边界条件，即初始状态和终止状态。
5. 递推求解最优解：采用动态规划算法的核心步骤，即按照递推关系将问题分解为若干个子问题，并求解子问题的最优解。
6. 反推最优解：根据子问题的最优解，反向推导出原问题的最优解。
四、最优控制问题的应用举例以经典的倒立摆问题为例，倒立摆的目标是通过对摆的控制使其保持垂直。
假设倒立摆由质量为m的杆和质量为M的滑块组成。
其动态方程可以表示为：（这里给出具体的动态方程式，包含各个参数和变量）通过建立状态方程和性能指标，我们可以将倒立摆问题转化为最优控制问题。
然后利用动态规划算法求解。
五、总结最优控制问题是一类常见的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用价值。
最优控制与最优化问题中的动态规划方法
最优控制与最优化问题中的动态规划方法动态规划方法是一种在最优控制和最优化问题中常用的方法。
它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划方法的基本原理和应用，以及其在最优控制和最优化问题中的具体应用案例。
一、动态规划方法的基本原理动态规划方法的基本原理是将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
具体来说，动态规划方法有以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
2. 确定状态转移方程：根据问题的特点和约束条件，确定状态之间的转移关系。
3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况下的解。
4. 递推求解：利用状态转移方程和边界条件，递推求解问题的最优解。
二、动态规划方法在最优控制中的应用动态规划方法在最优控制中有广泛的应用。
最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得系统在给定的约束条件下达到最优性能。
动态规划方法可以用来求解最优控制问题的控制策略。
以倒立摆控制为例，倒立摆是一种常见的控制系统，其目标是使摆杆保持竖直位置。
动态规划方法可以将倒立摆控制问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的控制动作。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个控制过程的最优策略。
三、动态规划方法在最优化问题中的应用动态规划方法在最优化问题中也有广泛的应用。
最优化问题的目标是找到一组变量的最优取值，使得目标函数达到最小或最大值。
动态规划方法可以用来求解最优化问题的最优解。
以旅行商问题为例，旅行商问题是一个经典的最优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过所有城市并且总路程最短。
动态规划方法可以将旅行商问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的下一个城市。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个旅行路径的最优解。
四、动态规划方法的优缺点动态规划方法有以下几个优点：1. 可以求解复杂的最优控制和最优化问题，具有较高的求解效率。
简述动态规划的最优性原理及应用
简述动态规划的最优性原理及应用1. 动态规划的最优性原理动态规划是一种求解最优化问题的方法，它通过将问题分解为更小的子问题，并通过保存中间结果来减少重复计算的次数。
1.1 最优子结构性质动态规划的最优性原理基于最优子结构性质。
最优子结构性质指的是一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
当一个问题满足最优子结构性质时，我们可以用递归的方式将问题分解为更小的子问题，然后通过解决这些子问题来得到原问题的最优解。
1.2 重叠子问题性质动态规划的最优性原理还依赖于重叠子问题性质。
重叠子问题性质指的是在求解一个问题时，我们会多次遇到相同的子问题。
通过保存中间结果，我们可以避免对相同的子问题重复计算，从而提高算法的效率。
2. 动态规划的应用动态规划的最优性原理可以应用于解决各种不同的问题，包括最长公共子序列、背包问题、图的最短路径等。
2.1 最长公共子序列最长公共子序列问题是指在两个序列中找到一个最长的公共子序列，该子序列不需要在原序列中是连续的。
通过动态规划的最优性原理，我们可以将最长公共子序列问题分解为更小的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的最优解。
2.2 背包问题背包问题是指在给定的容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品的总价值最大。
通过动态规划的最优性原理，我们可以将背包问题分解为更小的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的最优解。
2.3 图的最短路径图的最短路径问题是指在一个带有加权边的有向图中，找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
通过动态规划的最优性原理，我们可以将图的最短路径问题分解为更小的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的最优解。
3. 动态规划的实现步骤使用动态规划求解问题的一般步骤如下：1.定义状态：明确问题所求解的状态是什么，一般用函数或数组表示。
2.确定状态转移方程：通过分析问题的最优子结构，构建状态转移方程，表示当前状态与前一个状态之间的关系。
3.初始化边界条件：根据问题的实际情况，初始化边界条件，来解决最小规模的子问题。
动态规划在最优控制问题中的应用
动态规划在最优控制问题中的应用在现代科学与工程领域中，最优控制问题是一个至关重要的研究方向，它旨在寻找在一定条件下能够使系统性能达到最优的控制策略。
而动态规划作为一种强大的数学工具，在解决最优控制问题方面发挥着关键作用。
动态规划的基本思想可以用一个简单的例子来理解。
假设你要从 A 点走到 B 点，途中有多个阶段，每个阶段都有不同的选择，比如向左走、向右走或者向前走。
动态规划的方法就是从终点 B 开始倒推，计算在每个阶段采取不同选择所得到的最优结果，最终找到从 A 点到 B点的最优路径。
在最优控制问题中，我们通常需要考虑系统的状态、控制输入以及性能指标。
系统的状态描述了系统在不同时刻的特征，控制输入则是我们可以施加的影响，而性能指标则用于衡量控制策略的优劣。
动态规划通过将整个控制过程分解为一系列子问题，并逐步求解这些子问题，从而找到最优的控制策略。
例如，在工业生产中，我们希望通过控制生产线上的机器速度、温度等参数，以最小化生产成本或最大化生产效率。
这就是一个典型的最优控制问题。
利用动态规划，我们可以将生产过程划分为多个阶段，每个阶段考虑当前的状态和可能的控制输入，计算出在该阶段采取不同控制策略所带来的成本或效率变化，然后逐步向前推进，最终找到整个生产过程的最优控制策略。
动态规划在最优控制问题中的应用具有诸多优势。
首先，它能够处理复杂的多阶段决策问题，将一个大规模的问题分解为一系列较小的子问题，从而降低了求解的难度。
其次，动态规划能够保证得到的解是全局最优解，而不是局部最优解。
这在很多实际问题中是非常重要的，因为局部最优解往往不能满足我们的实际需求。
然而，动态规划在应用中也面临一些挑战。
一个主要的问题是“维数灾难”。
当系统的状态空间和控制输入空间较大时，动态规划需要计算和存储大量的数据，这可能导致计算量和存储空间的急剧增加，甚至使得问题无法求解。
为了克服这个问题，研究人员提出了许多改进的方法，如近似动态规划、并行计算等。
动态规划的最优化原理有哪些内容
动态规划的最优化原理有哪些内容
动态规划的最优化原理包括以下内容：
1. 最优子结构性质：如果一个问题的最优解包含了其子问题的最优解，则称该问题具有最优子结构性质。
简单来说，就是问题的最优解由子问题的最优解构成。
2. 重叠子问题性质：在求解一个动态规划问题时，需解决很多相同或相似的子问题。
为了避免重复计算，可以使用备忘录或者动态规划表来存储已经计算过的子问题的解，以便之后需要时直接查表获取。
3. 无后效性：即一个状态的值一旦确定，就不受之后决策的影响。
在动态规划的状态转移方程中，只关心当前状态和之前的状态，不关心状态之后的发展。
4. 状态转移方程：动态规划的核心就是确定状态转移方程。
通过分析问题的特点，找到问题当前状态和之前状态之间的关系，从而推导出状态转移方程，进而解决整个问题。
动态规划的最优化原理是动态规划算法能够高效解决问题的基础，通过把问题划分为子问题，求解并保存子问题的解，最终得到原问题的最优解。
运筹学动态规划
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
最优控制.动态规划(1)
B1
9 5 4
C1
1 5
D1
4 2
E1
3 5 4 1
B3
8
3 5 7
C2
B2
S 4 ( B1 ) C1 S 4 ( B2 ) C1 S 4 ( B3 ) C 2 S 5 ( A) B2
4 6 4 4 2
D2
6 9 7
E2
1
2
5
F
C3
D3
所以，最短路线为 A B2 C1 D1 E2 F
W1 ( E2 ) 2
d ( D1 , E1 ) W ( E1 ) 4 1 W2 ( D1 ) min min 4, S 2 ( D1 ) E2 d ( D , E ) W ( E ) 2 2 1 2 2 d ( D2 , E1 ) W ( E1 ) 6 1 W2 ( D2 ) min min 7, S 2 ( D2 ) E1 9 2 d ( D2 , E2 ) W ( E2 ) d ( D3 , E1 ) W ( E1 ) 9 1 W2 ( D3 ) min min 7, S 2 ( D3 ) E2 d ( D , E ) W ( E ) 5 2 3 2 2
至此求出了A到E的最短时间为9，最优路线 为 AB1C2 D2 E 。在图中用粗线表示。这里，为 决定最优路线进行了10次加法，比穷举法的18次 少了8次。当段数n更多时，节省计算将会更多。
(5)
( 6)
C1
1
D1
5
E
4
由B1到E的 最短时间
( 6)
2
1
B1
动态规划与离散系统最优控制minimizer
结论：总结动态规划在非线 性离散系统最优控制中的优
势和局限性
动态规划在离散系统最优控制minimizer中的优化效果分析
实例分析：一个 简单的离散系统 模型
优化效果：通过 动态规划算法， 实现系统性能的 最优控制
对比分析：动态 规划与其他控制 方法的优劣比较
应用场景：动态规 划在离散系统最优 控制中的实际应用 和效果评估
添加标题
动态规划算法：通过将问题分解为子问题，并求解子问题的最优解，逐步推导得到原问题的最优解。
添加标题 添加标题
离散系统最优控制的动态规划实现：将离散系统最优控制问题转化为动态规划问题，通过状 态转移方程和代价函数描述系统状态和最优控制策略，利用动态规划算法求解最优控制策略。
动态规划在离散系统最优控制中的应用：动态规划算法广泛应用于离散系统最优控制问题， 如生产调度、路径规划、库存管理等。通过动态规划算法，可以找到离散系统最优控制问题 的最优解，提高系统的性能和效率。
动态规划在离散系统最优控制中的应用 具有广泛的实际意义，例如在机器人路 径规划、智能交通系统、电力系统优化 等领域都有重要的应用价值。
离散系统最优控制minimizer的动态规划实现
添加标题
离散系统最优控制问题：在给定离散时间系统的状态下，寻找最优的控制策略，使得系统状态在满 足一定约束条件下达到预期目标。
应用场景：动态规划在处理复杂系统时更常见，如机器学习、人工智能等领域；离散系统最 优控制ห้องสมุดไป่ตู้在工程和金融领域应用广泛。
05
动态规划与离散系统最 优控制的实例分析
线性离散系统最优控制minimizer的动态规划实现
线性离散系统最 优控制问题的数 学模型
动态规划的基本 原理和算法步骤
最优控制动态规划法
uk
xk
k+1 xk+1
uN-1
xN-1
N
xN
图1 多段决策过程示意图 当然，如果对每一段的决策都是按照使某种性 能指标为最优的原则作出的，那么这就是一个多段 最优决策过程。
容易理解，在多段决策过程中，每一段(如第 k+1段)的输出状态(xk+1)都仅仅与该段的决策(uk)及 该段的初始状态(xk)有关。而与其前面各段的决策 及状态的转移规律无关。这种性质称为无后效性。
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
A
4
4 8
2
3
5
2
4 2B
Q1
Q2
Q3
第三段：P3、Q3的前站是P2、Q2。在这一段也
不论其先后的情况如何，只需对从P2或Q2到B进行最 优决策。从P2到B有两条路线：P2P3B，历时为6； P2Q3B，历时为4，取最短历时4，标注在P2旁。从Q2 到B也有两条路线：Q2P3B，历时为7；Q2Q3B，历时 为5，取最短历时5，标注在Q2旁。比较P2与Q2的最 优值，可知这一段的最优路线是P2Q3B。
段作出相应的“决策”(或控制)uk后，才能确定该段 输
入状态与输出状态间的关系，即从xk变化到xk+1的状 态转移规律。在选择好每一段的“决策”(或控制) uk 以后，那么整个过程的状态转移规律从x0经xk一直到 xN也就被完全确定。全部“决策”的总体，称为 “策
略”。
u0
u1
x0
1 x1
2 x2
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
A
4
4 8
最优控制(动态求解)
06
最优控制在现实生活中的应 用
经济问题
投资组合优化
通过最优控制理论，投资者可以 确定最佳的投资组合策略，以最 大化收益或最小化风险。
生产调度
在生产过程中，企业可以使用最 优控制理论来优化生产调度，以 提高生产效率并降低成本。
商业决策
商业决策者可以使用最优控制理 论来制定最佳的商业策略，例如 定价、库存管理和营销策略。
内点法
内点法是一种基于梯度下降的求解方法，通过迭代逼近最优解，适用 于大规模的优化问题。
最优控制的线性规划问题
最优控制问题可以转化为线性规划问 题，通过建立状态方程、目标函数和 约束条件，利用线性规划求解方法找 到最优控制策略。
在实际应用中，最优控制的线性规划 问题广泛应用于生产调度、物流优化、 金融投资等领域。
03
其中，V(x)表示状态x的价值函数，R(x,a)表示在状态x采取 行动a的即时奖励，p(x′∣x,a)表示从状态x采取行动a转移到 状态x′的概率。
递归求解方法
01
02
03
递归求解方法是动态规划的常用求解 方法，通过递归地求解子问题来得到 原问题的最优解。
递归求解方法的基本步骤是：将原问 题分解为若干个子问题，分别求解每 个子问题的最优解，然后利用子问题 的最优解来求解原问题的最优解。
03
状态方程的解可以给出系统在 任意时刻的状态，是进行最优 控制的基础。
性能指标函数
01
性能指标函数用于衡量控制策略的效果，通常表示为系统状态 和控制输入的函数。
02
性能指标函数的目标是最小化或最大化，例如控制能量、时间、
误差等。
性能指标函数的选取应根据具体问题的需求来确定，不同的性
03
动态规划原理与最优控制
动态规划原理与最优控制动态规划和最优控制是两个重要的数学方法，广泛应用于各种优化问题的求解。
动态规划主要用于处理具有重复子问题的最优化问题，而最优控制则是研究如何在连续时间和状态下选择和调整控制变量以实现最佳控制。
动态规划的基本原理是将大问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，然后根据子问题的解推导出大问题的最优解。
动态规划可以通过建立一个递归的状态转移方程来描述问题的最优解。
通过记忆化或者自底向上的方式，可以高效地求解出最优解。
最优控制是研究如何选择和调整控制变量以在给定的约束条件下实现最优控制目标。
最优控制的目标可以是最小化或最大化一些性能指标，例如最小时间、最小成本、最大收益等。
最优控制问题可以描述成一个变分问题，通过求解变分问题的极值来得到最优控制策略。
动态规划和最优控制之间有许多相似之处。
首先，它们都涉及到对系统状态的建模和描述，以及对控制变量的选择和调整。
其次，它们都是通过求解优化问题来寻找最优解。
最后，它们都可以通过离散化状态和控制变量来转化成动态规划问题。
因此，动态规划和最优控制可以相互参考和借鉴。
动态规划和最优控制在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在运输、资源分配、排产等问题中，可以使用动态规划来求解最优方案。
在机器人导航、飞行器控制、自动驾驶等问题中，可以使用最优控制来实现最佳控制策略。
此外，动态规划和最优控制也在经济学、管理科学、生物学等领域有重要的应用。
总之，动态规划和最优控制是两个重要的数学方法，它们可以帮助我们解决各种优化问题。
动态规划主要用于求解具有重复子问题的最优化问题，而最优控制则研究如何在连续时间和状态下选择和调整控制变量以实现最佳控制。
动态规划和最优控制在实际应用中具有广泛的应用，可以帮助我们优化系统设计和控制策略，提高效率和性能。
动态规划在最优控制中的应用探讨
动态规划在最优控制中的应用探讨在当今科技飞速发展的时代，最优控制问题在各个领域中都具有至关重要的地位。
从工业生产中的流程优化，到交通运输中的路径规划，再到金融领域的投资策略制定，都离不开对最优控制的深入研究。
而动态规划作为一种强大的数学工具，为解决最优控制问题提供了行之有效的方法。
动态规划的核心思想在于将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐步求解这些子问题来获得原问题的最优解。
这种分而治之的策略，使得原本看似难以处理的大规模问题变得可操作。
在最优控制中，动态规划的应用具有显著的优势。
首先，它能够有效地处理具有时变特性的问题。
例如，在自动驾驶领域，车辆需要根据实时变化的路况和交通信息，动态地调整行驶速度和方向，以实现最快到达目的地且能耗最低的目标。
通过将整个行驶过程划分为多个时间阶段，并在每个阶段基于当前的状态和约束条件做出最优决策，动态规划可以为车辆提供最佳的控制策略。
其次，动态规划在处理具有不确定性的最优控制问题时表现出色。
在实际应用中，许多系统往往受到各种随机因素的影响，如环境的变化、测量误差等。
动态规划可以通过对不确定性的建模和分析，为决策者提供在不同概率场景下的最优行动方案，从而提高系统的鲁棒性和适应性。
让我们通过一个具体的例子来深入理解动态规划在最优控制中的应用。
假设我们有一个工厂的生产流程优化问题。
工厂需要在一定的时间内生产一定数量的产品，每个生产阶段都有不同的生产方式可供选择，每种生产方式具有不同的成本和产出效率。
同时，工厂还面临着原材料供应的限制和市场需求的变化等因素的影响。
我们可以将整个生产过程划分为若干个阶段，每个阶段根据当前的库存水平、市场需求和原材料供应情况，选择最优的生产方式。
通过建立动态规划模型，我们可以计算出在每个阶段的最优决策，从而实现整个生产过程的总成本最小化和产出最大化。
在应用动态规划解决最优控制问题时，需要明确问题的阶段、状态、决策和目标函数。
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31
已知始端固定
即
x(t 0 ) x 0
u * (t )
求最优控制
使目标泛函
J [ x(t f ),t f ] [ x(t ),u(t ),t ]dt
tf
取极小值
t0
N[ x(t f ), t f ] 0
（ 3）
32
由最优性原理推导出极大值原理
H [ x * (t ), u * (t ), * (t ), t ] H [ x(t ), u(t ), (t ), t ]
j k
17
根据最优性定理
如果 N 级决策是最优的 则以在前 j – 1 决策上形成的 N – j 级决策是最优决策
x( j ) 为初态的
从这点出发，形成了逆向递推的最优化方法，这种 方法被称为动态规划
18
根据最优性定理
利用动态规划方法形成递推公式
u( j)
VN j [ x( j )] min{L[ x( j ), u ( j ), j ] VN ( j 1) [ x( j 1)]}
求最优控制 u 使目标泛函为
J x (3) [ x (k ) u (k )]
2 2 2 k 0
2
最小
23
解：由递推公式
u(k )
J *[ x(k )] min {x 2 (k ) u 2 (k ) J *[ x(k 1)]}
K=3时
J *[ x(3)] x 2 (3)
上和最优控制函数有关的轨线， x(t0 ) 给定。
33
显然
（ 6）
V [ x(t f ), t f ] [ x(t f ), t f ]
所有
( x(t f ), t f ) 都满足
N[ x(t f ), t f ] 0
假设 V 存在，连续
并且具有连续的一阶和二阶偏导数
34
推导动态规划的Hamilton-Jacobi方程
28
21 2 J * [ x(0)] x (0) 13 8 2 J * [ x(1)] x (1) 5 3 2 J * [ x(2)] x (2) 2 J * [ x(3)] x 2 (3)
29
7.3
动态规划
连续动态规划
在连续系统最优控制中的应用
可用于连续系统的优化问题 对于连续系统
2 2
求解可得
最优目标函数为
3 u * (1) x(1) 5
3 3 3 8 2 2 2 J *[ x(1)] x (1) [ x(1)] [ x(1) x(1)] x (1) 5 2 5 5
2
26
K=0时
J * [ x(0)] min {x 2 (0) u 2 (0) J * [ x(1)]}
J = 7 + 5 = 12
J * [X1(1) ] = 10 , J *[X2(1) ] = 8
10
④
第一级
J = 4 + 10 = 14 J* = 5 + 8 = 13
路线 S — X1(1) — F
S — X2(1) — F
即
J * [S] = 13
11
∴最优决策为
S — X2(1) — X1(2) — X2(3) — F
2
27
求解的结果
8 u * (0) x(0) 13 3 u * (1) x(1) 5 1 u * (2) x(2) 2
5 x * (1) x(0) u (0) x(0) 13 2 x * (2) x(1) u (1) x(0) 13 1 x * (3) x(2) u (2) x(0) 13
j k 1
L[ x( j ),u( j ), j ]}
N
min
u(k )
N min {L[ x(k ), u (k ), k ] L[ x( j ), u ( j ), j ]} j k 1 u ( k 1),,u ( N ) N L[ x(k ), u (k ), k ] min L[ x( j ), u ( j ), j ] u ( k 1),,u ( N ) j k 1 L[ x(k ), u (k ), k ] J *[ x(k 1), k 1]
min
u(k )
min
u(k ) u(k )
J *[ x( N ), N ] min {L[ x( N ), u ( N ), N ]}
22
例 1
设离散系统的状态方程为
x(k 1) x(k ) u (k ) k 0,1, , N 1
已知 x(0) x0
确定了一个从后向前的递推过程 基于最优性原理的动态规划方法
成为解决最优控制问题的有力工具
5
动态规划原理
求从S — F 点路程最短的方法
6
•枚举法
① ② ③ ④ ⑤
⑥
⑦ ⑧
S — X1(1) — X1(2) — X1(3) — F S — X1(1) — X2(2) — X1(3) — F S — X1(1) — X2(2) — X2(3) — F S — X1(1) — X1(2) — X2(3) — F S — X2(1) — X1(2) — X1(3) — F S — X2(1) — X1(2) — X2(3) — F S — X2(1) — X2(2) — X1(3) — F S — X2(1) — X2(2) — X2(3) — F
动态规划
求解最优控制问题的有效方法之一 二十世纪五十年代由 Bellman 提出 动态规划与极小值原理在数学上是等效的
从不同的角度发展了古典变分学
1
最优性原理
多级决策过程的最优策略具 有这种性质。不论初始状态和初 始决策为何，其余的决策对于由 初始决策所形成的状态来说，必 定也是一个最优策略。
2
主要内容
x(k ) X R , k 0,1,2,, N
n
u (k ) U R , k 0,1,2,, N 1
m
20
令：
J *[ x(k ), k}] J [ x *(k ), u *(k ), k ]
u ( k ),u ( k 1), ,u ( N 1) j k
k 0,1, , N 1
使目标泛函
J L[ x(k ), u (k ), k ]
k 0
N 1
取极小值
16
动态规划的目的
使 J 最小 即 min J
将以 x( j ) 为初态的 N-j(=k) 级最优决策
* N
J [ x(k ), k )] min{ L[ x( j ), u( j ), j ]}
4+6+1+4=15 4+6+2+4=16 4+6+2+3=15 4+6+1+3=14 5+4+1+4=14 5+4+1+3=13 5+7+2+4=18 5+7+2+3=17
7
可能解数量为 2(n-1)
n = 4, 为 23 = 8 种.
加法次数为：(n-1)* 2(n-1)
n = 4, 为 (4-1) * 23 = 24 次.
②
倒数第二级：
J =1+J* [X1(3) ] = 5 J* =1+J*[X2(3) ] =4 J =2+J*[X1(3) ] = 6 J * =2+J*[X2(3) ] = 5
9
路线 X1(2) — X1(3) — F
X1(2) — X2(3) — F X2(2) — X1(3) — F X2(2) — X2(3) — F
若n = 10, 则可能解数为： 2(10-1) = 29 = 512 种.
加法 (10-1) * 29 = 9 * 29 = 9 * 512 = 4608 次.
8
• 动态规划法
①
从最后一级开始：
J [X1(3) ] =4 J [X2(3) ] =3 ,J*[X1(3) ] =4 ,J *[X2(3) ] =3
1 1 3 2 2 2 J *[ x(2)] x (2) [ x(2)] [ x(2) x(2)] x (2) 2 2 2 25
2
K=1时
J * [ x(1)] min {x 2 (1) u 2 (1) J * [ x( 2)]}
u (1)
min
u (1)
3 {x (1) u (1) [ x(1) u (1)]2 } 2
min
{ L[ x( j ), u ( j ), j ]}
N
21
J *[ x(k ), k}]
u ( k ),u ( k 1),,u ( N )
min
{ L[ x( j ), u ( j ), j ]}
j k
N
u ( k ),u ( k 1),,u ( N )
min
{L[ x(k ), u (k ), k ]
u (0)
min
u (0)
8 2 {x (0) u (0) [ x(0) u (0)] } 5