2012届高考数学复习 第95课时 第十三章 导数-导数的概念及运算名师精品教案

第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算

课题：导数的概念及运算 一．复习目标：

理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点：

1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习：

1．函数2

2

(21)y x =+的导数是 （ C ）

()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x +

2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ）

()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f ()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f

3．曲线2

4y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ）

()A (1,3)

()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4)

4．若函数2

()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ）

5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为

34

π

，则(2)f '-=1-，[(

2)]f '-=0．

6．曲线2122y x =-

与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4

π． 四．例题分析：

例1．（1）设函数2

()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-；

（2）设函数32

()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值．

（3）设函数()(2)n

f x x a =-，求()f x '．

解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2

()18225f x x x '=++ （2）∵32()25f x x x x =-++，∴2

()341f x x x '=-+

由()0f x '=得：2

03410x x -+=，解得：01x =或013

x =

（3）0(22)(2)()lim n n

x x a x x a f x x

∆→-+∆--'=∆

112

210

lim[(2)24(2)2()]n n n n

n n n n x C x a C x x a C x ---∆→=-⋅+∆-++∆12(2)n n x a -=-

例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离2

12

S gt =

其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)

lim

t S t S V t

∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ）

（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s

（B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s

（D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；

若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．

小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t t

S t S ∆-∆+)

1()1(中的△t 可正可负

例3．（1）曲线C ：3

2

y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程；

（2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程．

解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴⎩

⎨⎧=+++=439271

d c b a d

∵2

32y ax bx c '=++ /

(0)f c = /

(3)276f a b c =++

∴12762

c a b c =⎧⎨

++=-⎩， 可求出1

1,1,,13d c a b ===-=

∴曲线C ：3

2113

y x x x =-

+++ （2）设切点为3000(,2)P x x x -，则斜率2

00()23k f x x '==-，过切点的切线方程为：

3200002(23)()y x x x x x -+=--，

∵过点(1,1)A ，∴32

000012(23)(1)x x x x -+=--

解得：01x =或01

2

x =-，当01x =时，切点为(1,1)，切线方程为：20x y +-= 当012x =-时，切点为17

(,)28

--，切线方程为：5410x y --=

例4．设函数1

()1,0f x x x

=-

>(1)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >； (2)点00(,)P x y （0

=-，两边平方得：22121211a a b b

+-=+- 即：1

11111

()()2()a b a

b a b -+=-，

∵0a b <<，∴110a b -≠，∴11

2,2a b ab a b

+=+=

2ab a b ⇒=+>∴1ab >

（2）当01x <<时，11

()11f x x x

=-

=-，00201()(01)f x x x '=-<<

曲线()y f x =在点P 处的切线方程为：0020

1

()y y x x x -=-

-， 即：0

200

2x x y x x -=-

+ ∴切线与与x 轴，y 轴正向的交点为2

000

2(2,0),(0,

)x x x x -- ∴所求三角形的面积为2200000021

1()(2)(2)22

x A x x x x x -=

-⋅=-