一阶电路的全响应和三要素方法

注意：三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或高阶电路是不适用 的。
例1：如图所示电路原已稳定，t=0时开关S闭合， 试求电感电压uL。
2
1
2 1
R1
R3
S R2
IS
3A t=0 2
u L
1H
L
i 3A 2
L
L
（a）
（b）
解（1）求初始值：作t=0–等效电路如图（b）所示。则有：
i（L 0）
i（L 0）
U0e
全响应=零状态响应+零输入响应
二、一阶电路的三要素法
稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的三要素，通过三要素可以直 接写出一阶电路的全响应。这种方法称为三要素法。
若全响应变量用f(t)表示，则全响应可按下式求出： t
f (t) f () [ f (0 ) f ()]e
三要素的计算： 1.初始值f(0+)。 （1）求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-) （2）根据换路定律，求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+), 即 f(0+)。
3. 一阶电路的零状态响应
零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。 其形式为 ：
t
f (t) f ()(1 e )
式中， f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应
全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生
的响应。其两种分解为：
f (t)
t
f (0 )e
t
f ()(1 e
)
t
f (t) f (0 ) f () e f ()
(暂态响应)
(稳态响应)
5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ 三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流
电源作用下的电路响应。全响应表达式为：
f (t)
f () [ f（0）
可得：
+ 20 V 4kΩ
iC（0+） + 20 V
iC (0 ) 2.5m
－
－
(c)
（2）求稳态值uC(∞)、iC(∞) 。作t=∞时稳态等效电路如图（d）所 示，则有：
4kΩ
2kΩ
uC
()
4
4
4
20
10V
iC () 0
+ 20 V 4kΩ
－
iC（∞ ） + uC（∞ ）
－
(d)
（3）求时间常数τ。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：
R 2 4 4 4k 44
RC 4 103 2 106 8 103 s
(4) 根据全响应表达式可得出电容的电压、电流响应分别为：
uC (t) 10 (20 10)e125t 10(1 e125t )V
iC (t) 2.5e125t m
小结
1.换路定理
在电路理论中， 通常把电路状态的改变（如通电、断电、短 路、电信号突变、电路参数的变化等）, 统称为换路。换路前后瞬 间，电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。即：
下图给出了U＞U0时，uC随时间变化的曲线。
uC 稳态分量
U
-t
uC U [U0 U ]e
U0
全响应
上式的全响应还可以写成：
0 U0－U
暂态分量
t
t
t
uC Us (1 e ) U0e
t
上式中 U s (1 是e电容)初始值电压为零时的零状态响应,
是电
容初始值电压为Ut0时的零输入响应。 故又有 ：
t
f ()]e
计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(∞)，分别用t=0+时的电路 和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电 压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短
路。时间常数τ中的电阻R，是动态元件两端电路的戴维南等效电路
电阻。
4kΩ +
2kΩ iC
uC (0 ) uC (0 ) 20V
20 V
S（t=0） +
－
4kΩ
2μ F uC
－
(a)
4kΩ
2kΩ
+ 20 V
－
(b)
+ uC（0－）
－
作t=0+等效电路如图（c）所示。列出网孔电流方程：
8i(0 ) 4iC (0 ) 20
4kΩ i（0+） 2kΩ
4i(0 ) 6iC (0 ) 20
R2
R 2
所以，全响应为：
u（C t）
u（C ）
[u（C 0）
u（C ）]e
t
（d）
4e2tV
uL uL
例2：如图（a）所示电路，在t=0时开关S闭合，S
闭合前电路已达稳态。求t≥0时uC(t) 和iC (t) 。
解：（1）求初始值uC(0+) 。作t=0—时的等 效电路如图（b）所示。则有：
iL(0 ) iL (0 ) uC (0 ) uC (0 )
利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。
2.一阶电路的零输入响应
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产 生的响应。其形式为：
t
f (t) f (0 )e 式中，f(0+)是响应的初始值，τ是电路的时间常数。
§ 7-6 一阶电路的全响应和三要素方法
全响应：当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时, 电路中所产生的响应。
S(t＝0) R
一、全响应的两种分解
如图有 ：
RC
duC dt
uC
U
+ U
－
+ C uC
－
则全响应为 ：
-t
uC U [U0 U ]e
式中 ： U0 u（C 0）
可见，电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量之和。即： 全响应=稳态分量+暂态分量
2.稳态值 f(∞)。作换路后t=∞时的稳态等效电路，求取稳态下响应电流 或电压的稳态值 i(∞)或u(∞), 即f(∞) 。作t=∞电路时,电容相当于开路;电感 相当于短路。
3.时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能元件C或L, 由储 能元件两端看进去, 用戴维南等效电路求得的等效内阻。
1
2
2
3
2V
作t≥0时的பைடு நூலகம்路如图（c）所示，则有：
u（L 0）
i（L 0
）（
R1R2 R1 R2
R3）
4V
（2）求稳态值：
画t=∞时的等效电路, 如图 (d)所示。
R1 R3
R2
2A
u（L ） 0
（c）
（3）求时间常数：
R1
R3
等效电阻为：
R
R1R2 R1 R2
R3
2
时间常数为： L 1 0.5s