二重积分1ppt课件
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二重积分的概念与性质ppt课件
(1,0),(1,1), (2,0).
课后习题
解 在 D 内有 1 x y 2 e,
y
故 0 ln(x y) 1,
于是 ln(x y) ln(x y)2,
1
x y2
D
o
12x
x y1
因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .
D
D
20/24
练
机动
1. 习比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d xd y ； I3 xy dxdy
x y 1
1 x1 1 y1
[提示] 被积函数相同，则比较区域D的大小. y
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o
1x
由性质 6 知 e d (x2 y2 ) ea2 ,
D
abπ e d (x2 y2 ) abπ ea2 .
D
19/24
例3 比较积分 ln(x y)d 与[ln(x y)]2d
D
D
的大小,其中 D 是三角形闭区域 ,三顶点各为
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y) 在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
2.【对二重积分定义的说明】
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点
？ 不能 用 i 0 代替 0
10/24
D
D
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
解Ⅰ 积分域D 的边界为圆周
《二重积分的计算》PPT课件
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
0
x
0 1 xe x2 dx 1 (1 e1 )
0
2
注：当积分区域D是一矩形且: a x b , c y d
f ( x, y) g( x) h( y) 时，则二重积分
b
d
f ( x, y)dxdy (a g( x)dx) (c h( y)dy)
rk
rk
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(2)“常代变”
（ k , k）
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k rk cosk , k rk sink
k
rk
rk
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
(3)“近似和”
n
f ( x, y)dx
0
1 y
1
1 y2
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例6. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
y 4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
1
高等数学 上下册9_1 二重积分的概念和性质-PPT课件
i 1 n
应当指出， （1）的极限存在时，二重积分才存在， 这时也称 f ( x, y ) 在 D 上是可积的.与定积分的存在定理 类似， 可以证明： 当被积函数 f ( x, y ) 在区域 D 上连续时， （1）的极限必存在，即在区域 D 上连续的函数是可积 的.当然，这个极限的存在与区域 D 的分割方法以及点 (i ,i ) 的取法无关.
f ( x, y )dxdy
D
其中 dxdy 称为直角坐标系中的面积元素 .
根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是曲顶柱 体的变高 f ( x, y ) 在区域 D 上的二重积分
V f ( x, y )ds
D
二重积分的几何意义是明显的，当被积函数
f ( x, y ) 0 时， f ( x, y )ds 表示曲顶柱体 的体积；当
D D D
性质 ３
如果将积分区域 D 分为两个区域 D1 和
D2 ,则在 D 上的二重积分等在 D1 和 D2 上二重积分的和,
即
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds .
D D1 D2
这一性质表示二重积分对于积分区域的可加性.
性质 4 如果在区域D 上 , f ( x, y ) 1 ,则二重积分在 数值上等于区域D 面积的值,即
f ( x, y)ds ，即
D
f ( , )s f ( x, y )ds lim
D 0 i 1 i i
n
i
，
(1)
其中 f ( x, y ) 称为被积函数， f ( x, y )ds 称为被积表达 式， ds 称为面积元素， x 和 y 称为积分变量，D 称为积 分区域， f (i ,i )s i 称为积分和式.
应当指出， （1）的极限存在时，二重积分才存在， 这时也称 f ( x, y ) 在 D 上是可积的.与定积分的存在定理 类似， 可以证明： 当被积函数 f ( x, y ) 在区域 D 上连续时， （1）的极限必存在，即在区域 D 上连续的函数是可积 的.当然，这个极限的存在与区域 D 的分割方法以及点 (i ,i ) 的取法无关.
f ( x, y )dxdy
D
其中 dxdy 称为直角坐标系中的面积元素 .
根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是曲顶柱 体的变高 f ( x, y ) 在区域 D 上的二重积分
V f ( x, y )ds
D
二重积分的几何意义是明显的，当被积函数
f ( x, y ) 0 时， f ( x, y )ds 表示曲顶柱体 的体积；当
D D D
性质 ３
如果将积分区域 D 分为两个区域 D1 和
D2 ,则在 D 上的二重积分等在 D1 和 D2 上二重积分的和,
即
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds .
D D1 D2
这一性质表示二重积分对于积分区域的可加性.
性质 4 如果在区域D 上 , f ( x, y ) 1 ,则二重积分在 数值上等于区域D 面积的值,即
f ( x, y)ds ，即
D
f ( , )s f ( x, y )ds lim
D 0 i 1 i i
n
i
，
(1)
其中 f ( x, y ) 称为被积函数， f ( x, y )ds 称为被积表达 式， ds 称为面积元素， x 和 y 称为积分变量，D 称为积 分区域， f (i ,i )s i 称为积分和式.
高等数学二重积分概念.ppt
x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
O
二重积分不存在 .
D 1x
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三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
引例2中平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
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二重积分存在定理: (证明略)
定理1 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理2 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在 D : 0 x 1
4 证明: 解 利用题中 x , y 位置的对称性, 有
其中D 为
y 1
D
O 1x
1 2
D (sin
x2
cos
y2 ) d
D (sin
y2
cos
x2)d
1 2
D (sin
x2
cos
x2)d
D (sin
y2
cos
y2)d
D (sin x2 cos x2 )d
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
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补充题
1. 估计 I
D
d
x2
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.
二重积分计算1
y2x y 2xx2
原 式 0 1d1 2 y y 1 y2f(x ,y)d.x
例 3改 变 积 分 0 2adx2 2a a x xx2f(x,y)dy(a0)
的 次 序 .
解：
2a
y 2ax
a
y 2axx2 xaa2y2
a 2a
= 原式
D
a 1(x)
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d［.x Y－型］ c 1(y)
D
在积分中要正确选择积分次序与正确给出积分
限，且定积分中的各种技巧在这里仍然适用。
练习一：将二重积分化成二次积分 If(x,y)dxdy
D: 由四条直线 : x=3，x=5, y
sin ydxd y1dyysin ydx o
Dy
y 0 y2
x
1
0(siynysiny)dy
1si1n
二次积分中的第一次积分要易于计算， 且最终形成只是关于第二个变量的函数。
(练习)将二重积分化成二次积分 If(x,y)dxdy
一、 先对x积分
D
y
b
o
D
ax
b
a
I dya f(x,y)dx
2 先对 y 积分（从下到上）
y
1
xydxdy
dx
x
xydy
D
x
x
xdx ydy
x
1 1(x3 x5)dx 1
20
24
D
3 先对 x 积分（从左到右）
0
1x
xydxdy d y
D
高等数学-二重积分的计算PPT课件
二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、无界区域上的反常二重积分
1
一、利用直角坐标计算二重积分
在直角坐标系下用平行于坐 y 标轴的直线网来划分区域D，
则
o
故二重积分可写为
D
x
2
（1）如果积分区域为： ［X－型］
y 2( x)
D
y 1( x)
a
b
y 2( x)
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
28
例 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
二、计算广义二重积分
D
(
x
2
d
y2)p
,其中 D
{( x,
y) |
x2
y2
形式的二次积分为
0
0
______________________.
5、 将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化
为
极
坐
标
形
式
的
二
次
0
x2
积 分 为 _______________, 其 值 为
_______________.
6、 x 2 y 2 2 d =______,其中 D: x 2 y 2 3.
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、无界区域上的反常二重积分
1
一、利用直角坐标计算二重积分
在直角坐标系下用平行于坐 y 标轴的直线网来划分区域D，
则
o
故二重积分可写为
D
x
2
（1）如果积分区域为： ［X－型］
y 2( x)
D
y 1( x)
a
b
y 2( x)
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
28
例 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
二、计算广义二重积分
D
(
x
2
d
y2)p
,其中 D
{( x,
y) |
x2
y2
形式的二次积分为
0
0
______________________.
5、 将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化
为
极
坐
标
形
式
的
二
次
0
x2
积 分 为 _______________, 其 值 为
_______________.
6、 x 2 y 2 2 d =______,其中 D: x 2 y 2 3.
数学二重积分-PPT精选文档18页
在x轴上方的曲线弧.
y
解 L:xyabcsiontts,(t从0到）
B
xydy acotsbsitn bcotd st
L
0
ab2
cos3
t
2 ab
2
3
0
3
2019/11/21
Ax
12
例3 计算 y 2dx ,其中L 为： L (1) 半径为 a , 圆心为原点的上半圆周(逆时针方向)；
P2xQ3yR
ds
2019/11/21
14x2 9y2
17
谢谢！
x
处切线向量的方向角.
类似,空间两类曲线积分之间的关系:
P Q d R x d y d [ P c zo Q c so R c s] o ds s
其中,,为空间有向曲线弧上点M(x, y,z)处切向量的方向角
2019/11/21
16
例6 设 为曲线xt,yt2,zt3上相应于 t 从 0 到 1 的曲线弧.
i 1
i1
令为最大弧长，则
n
w l i0m i 1[P (i, i)xiQ (i, i)yi]
P(x,y)d xQ (x,y)dy
2019/11/21L
4
定义 设L为 xoy 面的从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，
函数P(x,y)Q ,(x,y)在L上有界. 用点把L任意分割成n个有向
0 i1
P(i
,i
)xi存在,则称此极限值为函数
P(x,
y)在有向曲
线L上对坐标 x 的曲线积分. 记作: P(x, y)dx P(x,y)Q ,(x,y)
高等数学二重积分详解ppt课件
S(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x)
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，
得
V
b
S(x)dx
b
[
2 (x)
f (x, y)dy]dx
a
a 1 ( x)
4
于是，得二重积分的计算公式：
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
a 1 ( x)
c
D
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
5
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓
先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
y
y 2(x)
区间[a,b]是x的取值范围。 D
2
(8,4)
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
12
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
例4 交换下列二重积分的积分次序：
0
2 x
2
2x
I dx 2 f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
2 0
0
0
解：这是先对y后对x的积分，积分区域为
高等数学(微积分)课件-87二重积分
二重积分的奇偶性
总结词
二重积分的奇偶性是指，对于可积函数$f(x,y)$，如果将函数中的$x$或$y$替换为其相 反数，则二重积分的结果可能会发生变化。
详细描述
设函数$f(x,y)$在有界闭区域$Omega$上可积，如果对于任意的$(x,y) in Omega$，都有$f(-x,y) = f(x,y)$ 或$f(x,-y) = f(x,y)$，则称$f(x,y)$为偶函数或奇函数。根据奇偶性，我们可以得到$int_{Omega} f(-x,y) dOmega = int_{Omega} f(x,y) dOmega$或$int_{Omega} f(x,-y) dOmega = -int_{Omega} f(x,y) dOmega$。
二重积分的几何意义
二重积分表示的是曲面z=f(x,y)与平面交线所围成的 区域D的体积。
当f(x,y)>0时，二重积分表示区域D在xoy平面上的 投影区域的面积乘以f(x,y)的高度。
当f(x,y)<0时，二重积分表示区域D在xoy平面上的 投影区域的面积乘以|f(x,y)|的高度。
02
二重积分的计算方法
03
2. 根据变量替换关系，将二重积分转化为新 的变量下的形式。
04
3. 对新的二重积分进行计算，得到结果。
03
二重积分的几何应用
曲面的面积计算
总结词
二重积分在计算曲面的面积时，可以将曲面转Байду номын сангаас 为平面区域，通过计算该区域的面积得到曲面的 面积。
总结词
在计算曲面的面积时，需要先确定曲面的函数表 达式和其在平面上的投影区域，然后利用二重积 分计算投影区域的面积，最后乘以 $sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}$ 得到曲面的面积。
二重积分的计算 PPT资料共24页
D
:
1
x
y
xD 1 Nhomakorabeax 2
x2d
y2
D
12dx1 xxx y2 2dy
2
1
x2 y
x
1
dx
2
(x3 x)dx 1
9. 4
x
小结
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
Df(x, ya bA )(x d )dx x a b d [ 1 ( 2 (x y xf))( .) y d x]d yx
练习与巩固
1、求 (x2y)dx ， 其 d 中 D y是 由 抛 物 线 yx2和
D
xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
2、计算 Dx y2 2d.其D 中 由 yx,y1 x,x2
围成．
例 1求 (x2y)dx， d 其 中 y D 是 由 抛 物 线
D
yx2和 xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
00
10
积 分 次 序 .
y
解：R1
:
0 0
y x
1 2
y
1 y 3 R2 : 0 x 3 y
3
x3y
积分区域如图
1 x 2y
R
:
0 1 2
x
x
y
2
3
x
o
2
3x
原式 0 dx 1x 2
f (x, y)dy
.
2x
(2)在（a,b）内任取一点x,通过此点作x轴的垂线和
二重积分概念课件-PPT课件
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0, 总存在直线网 T, 使得 S ( T ) s ( T ) . P P
( 2 )
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义 1, 有 I I I . P 0, 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别 P P 存在直线网 T 1 与 T 2 , 使得
P ; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i (iii) i 上含有 P 的边界点.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为 (这 ( T ) sP (T ), 则有 s P R
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
于是由(3)可得
P
sT () I, S () T I .
P
从而对直线网 T 有 S () TsT () . P P
S () TsT () . P P
2
P
P
2
充分性 设对任给的 0, 存在某直线网 T, 使得
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 如果存在一矩形 R , 使得 P R.
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
第二十一章二重积分
第二十一章 重积分§1二重积分概念1.把重积分Dxyd s 蝌作为积分和的极限，计算这个积分值，其中[0,1][0,1]D =?并用直线网,(,1,2,1)i ix y i j n n n===-分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为其节点。
证明：22n 24i=1j=111(1)1lim lim 44n xx Di j n n xydxdy n n n n +=鬃==邋蝌2.证明：若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，则(,)f x y 在D 上有界。
证明：假设(,)f x y 在D 上可积，但在D 上无界。
则对D 的任一分割T={}n 12s ,s ,s ,(,)f x y 必在某个小区间k s 上无界。
当i k ¹时，任取i i p 蝧，令G=(),(,),i i i kDf p I f x y dxdy ¹s =å蝌由于(,)f x y 在k s 上无界，即存在k k p 蝧使得1()k kI Gf p ++>s 。
从而1()())()()()2 1.(*)nii i i k k k ki k i i ki kf p f p f p f p f p =构s =s +s 硈-s >+邋?另一方面，由于(,)f x y 在D 上可积，取1e =，故存在0d >，对任意D 的分割n {}T 12=s ,s ,s 当T <δ时，i 1i=11*f x y D nT I ¹-<ååni i i i 的任一分f(p σ)都满足f(p )σ而（）式与此矛盾，所以，(,)在上有界3.证明二重积分中值定理（性质7）。
证明：函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上存在最大值M 与最小值m ，且对D 中一切(,)x y 点，有(,).m f x y M ＃ 有性质6知，,(,)D D DmS f x y d MS ££蝌σ即1(,)DDm f x y d M S ＃蝌σ有介值定理存在()D Îξ,η使得(,).()Df x y d f D S =蝌σξ,η4：若(,)f x y 为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则(,)0Df x y d >蝌σ证明：由已知，存在000(,)p x y D Î，使00(,)0f x y >则存在0>δ，对一切1(,)p x y D Î，其中10,(())D P D =?δ，有001(,)(,)02f x y f x y >> 而(,)f x y 在有界闭域D 上非负连续，则有111001(,)(,)(,)(,)02D D D D Df x y d f x y d f x y d f x y S -=+?蝌蝌蝌σσσ 其中（1D S 表示为1D 的面积）5.若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域'D D Ì上有'(,)0D f x y d=蝌σ 则在D 上(,)0.f x y º证明：用反证法：假设在D 内存在一点000(,)p x y 使00(,)0f x y ¹，不妨设00(,)0f x y >。
二重积分的计算(1)-高等数学PPT
D 8 y2
2
0 d y f ( x, y)d x
2y
y x2 y2 8
2
yLeabharlann 1 2x2 D1 D2
o 22 2 x
12
例 7
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
2a
y 2ax
a
y 2ax x2 x a a2 y2
a 2a
= 原式
a
a a2 y2
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
a
2a
dy
0
a
a2 y2
f ( x, y)dx
2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
2a
13
例 8
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx .
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
RD
8 (R2
x2 ) dx
16
R3
0
3
0
16
0
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2dx
00
D
e1 y2
y3 dy
1 y 2 de y2
1 (1 2).
0
3
06
6e
10
2
0 d y f ( x, y)d x
2y
y x2 y2 8
2
yLeabharlann 1 2x2 D1 D2
o 22 2 x
12
例 7
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
2a
y 2ax
a
y 2ax x2 x a a2 y2
a 2a
= 原式
a
a a2 y2
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
a
2a
dy
0
a
a2 y2
f ( x, y)dx
2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
2a
13
例 8
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx .
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
RD
8 (R2
x2 ) dx
16
R3
0
3
0
16
0
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2dx
00
D
e1 y2
y3 dy
1 y 2 de y2
1 (1 2).
0
3
06
6e
10
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解: 求被积函数 f(x,y)x24y29在区域 上可能的最值
f x
2x
0
f
8y 0
y
(0,0)是驻点，f(0,0)=9，在边界上：
f( x ,y ) x 2 4 ( 4 x 2 ) 9 2 3 x 5 2 ( 2 x 2 ) 13 f(x,y)25
fmax25 ， fmin9
• 画出积分区域D • （2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分
区域D的积分限 c y d , 1 (y ) x 2 (y ),
• （3） 写出结果 a bd 1 x 2 (( x x ))f(x ,y)d yc dd 1 y 2 ((y y ))f(x ,y)d.x
.
16
1
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
.
I=
x(y) f(x,y)dx
x(y)
.
I f(x,y)dxdy
D
9
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
而 lnx(y)0
故由二重积分的性质得 I1 I2 I3
.
6
二.二重积分的算法
在区间[a,b]上任意取一个点 x 0
作平行于yoz面的平面x= x 0
这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间
[1(x0), 2(x0)] 为底，曲线 zf(x0,y)
为曲边的曲边梯形,其面积为
2(x0)
A(x0) f (x0, y)dy
1(x0)
该曲顶柱体的体积为
VabA(x)dxab12((xxf))(x,y)dydx
.
7
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
I=
x(y) f(x,y)dx
x(y)
.
I f(x,y)dxdy
D
8
二重积分计算的两种积分顺序
D
y
b
o
D
ax
b
a
I dy a f(x,y)dx
y
b
y
b
D
o ax
a
b
y
I dy b f(x,y)dx
y
b
x y 1
ab
.
o
D
. .
b
a(y)
I dy b f(x,y)dx
ax
.
.
14
二 先对 y 积分
y
b
o
y
b
o
y
.
b
o
I f(x,y)dxdy
D
D ax
b
a
x
I dx a f(x,y)dy
c
x(y)
.
I f(x,y)dxdy
D
D: y1(x)y1(x)
0
a
x bx
I=
y(x) f(x, y)dy
y(x)
10
6. 二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
D ax
a
b
I dxbx f(x,y)dy
a
xy 1
ab .
D
. .
ax
.
x a b( )
I dx a f(x,y)dy
.
15
举例说明如何交换二次积分的次序
• （据其1）积对分于限给a 定 x 的 二b ,重积1 ( 分x ) abdy x12((xx)2 )( fx () x,y),dy, 先根
1dd
D
D
5.估值不等式
设M与m分别是函数Z=f(x,y)在D上的最大值与最小值， 是D的面积
mf(x,y)dM
D
6.中值定理
若f(x,y）在闭区域 上连续， 是D的面积，则在D内至少存在一点( ,)使得
f(x,y)df(,.)
4
D
例1：估计二重积分 I(x24y29)d的值，D是圆域 x2y2 4 D
2 先对 y 积分（从下到上）
xydxdy d x
x
xydy
x
D
x
xdx ydy
x
1 1(x3 x5)dx 1
20
24
3 先对 x 积分（从左到右）
y
1
D
0
xydxdy d y
D
y
y
xy dx
1 24
. .
.
.
.
1x
13
例4：将二重积分化成二次积分
I f(x,y)dxdy
一 先对x积分
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
.
I f(x,y)dxdy
D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I=
y(x) f(x, y)dy
y(x)
11
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
2.对区域的有限可加性
若区域D 分为D1，D2两个部分区域 ,则：
f(x ,y )d f(x ,y )d f(x ,y )d
D
D 1
D 2
3.若在区域D上总有 f(x,y)(x,y) ，则有不等式
f(x,y)d (x,y)d
D
D
f(x,y)df(x,y). d
3
D
D
4.若在区域D上有 f(x,y)1 （ 为区域D的面积）
于是有：3 6 9 4 I 24 5 1 00
.
5
例2：比较积分 I1 lnx(y)d，I2(xy)2d , I3(xy)d 的大小
D
D
D
其中D是由直线
x0,y0,xy1 和
2
xy 1
所围成的
解：因为积分域D在直线想x+y=1的下方，所以对于任意点 (x,y)D
均有
1 x y 1 2
从而有 xy(xy)20
二重积分
.
1
学习内容：
• 一.二重积分的性质 • 二.二重积分的算法 • 三.二重积分与极坐标 • 四.二重积分的应用
.
2
一.二重积分的性质
1.线性性质（其中: 是常数）
[f( x ,y ) g ( x ,y ) ] d f( x ,y ) d g ( x ,y ) ] d
D
D
D
1
o1 x
y
例1 将 dy f (x, y)dx交换积分次序 。
解：由
00
1
y
dy
0
0
f (x, y)dx 得积分区域
D：
0xy 0 y 1
令 0x ，xy ， 0 y ，y 1 ，画出 D的示意图如图。
y
0x1
因为 D： xy1 ，所以 yx
1
y
11
0dy0 f (x, y)dx 0dxx f(x,y)dy
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
.
I f(x,y)dxdy
D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I =
b
dx
y(x) f(x, y)dy
a
y(x)
12
例3：用两种顺序计算 x d yxdy, D:yx与yx 所 围 区
D
1 画出区域 D 图形