2019-2020学年广东省云浮市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年广东省云浮市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{1,3,6,9}B =，则A B =（ ）A ．{1,3}B ．{1,3,6}C ．∅D ．{3,6}【答案】A【解析】根据集合的交集运算,即可得解. 【详解】集合{0,1,2,3,4,5}A =,{1,3,6,9}B = 由集合的交集运算可得{1,3}A B ⋂= 故选:A 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2．函数()()lg 2f x x +的定义域是（ ） A ．(]2,5- B ．()2,5-C ．(]2,5D ．()2,5【答案】A【解析】使解析式有意义，因此必须有50x -≥且20x +>． 【详解】由()()lg 2f x x =+，得5020x x -≥⎧⎨+>⎩，即52x x ≤⎧⎨>-⎩，所以(]2,5x ∈-.故选：A. 【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围． 3．512π=（ ） A ．70° B ．75°C ．80°D ．85°【答案】B【解析】利用1801rad π⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭，进行转化求解. 【详解】因为1801rad π⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭，故512π=51807512ππ⎛⎫⨯︒=︒ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查弧度转化角度，公式为：1801rad π⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭. 4．若函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．1【答案】C【解析】根据幂函数定义可知2221m m --=,解方程即可求得m 的值. 【详解】因为函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数,所以2221m m --=,解得1m =-或3m =. 故选:C 【点睛】本题考查了幂函数的定义,属于基础题.5．设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M 则（ ） A ．3|,2M k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭B ．3|,22k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭C ．|,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭D ．|2,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】根据角的表示方法及终边在y 轴的负半轴上,即可得解. 【详解】根据角的表示方法可知,终边在y 轴的负半轴上的角可以表示为22k παπ=-+,k ∈Z ,故选:D 【点睛】本题考查了角的表示方法,终边在y 轴的负半轴上角的表示形式,属于基础题. 6．圆心角为60°，弧长为2的扇形的面积为（ ）A ．130B ．30πC ．3πD ．6π【答案】D【解析】根据弧长公式，求得半径，结合扇形的面积公式即可求得. 【详解】由弧长公式l r θ=，得半径6r π=.故扇形的面积公式162S lr π==. 故选：D. 【点睛】本题考查弧长公式与扇形的面积公式，属基础题. 7．cos350sin 70sin170sin 20-=（ ） A ．3-B ．3C ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos30-=-==． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 8．函数()()32ln f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A 、B ，再根据函数值的正负情况，即可判断. 【详解】由题意，3()(2)ln ()f x x x x f x -=-+-=-，即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以排除A ，B ；当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x >，排除D 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 9．若α为第二象限角，下列结论错误的是（ ） A ．sin cos αα> B ．sin tan αα> C ．cos tan 0αα+< D ．sin cos 0αα+>【答案】D【解析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角,所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α< A,B,C 对,D 不一定正确. 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数在第二象限的符号,属于基础题.10．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8 B ．9C ．10D ．14【答案】C【解析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-,ln 4x e x =+的实根,则( ) A ．123x x x <+ B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<【答案】C【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x<<；对于()3log2x x+=-,由()3log2y x=+与y x=-的图像,如图所示,可得210x-<<；对于ln4xe x=+,由4xy e=-与lny x=的图像,如图所示,可得()30,1x∈或()31,2x∈故231x x x<<【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想12．已知函数2()ln(1)f x x x=+，若(0,)x∈+∞时，不等式2(1)()0f x f mx++-恒成立，则实数m的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根据分子有理化,可判断()f x为奇函数.由解析式判断出单调性,即可将不等式化简,求得m的最大值.【详解】依题意知函数()f x的定义域为R,()()()2222211()ln1ln ln11x x x xf x x x x xx x++⎫⎫-=-+==--+⎪⎪⎭⎭+-即()()f x f x -=-,所以()f x 为奇函数.由解析式可知()f x 为减函数.所以不等式()0ff mx +-≤可化为()ff mx ≤,mx ≥,即在(0,)+∞上m ≤.1=>, 所以1,m m 的最大值是1.故选:B 【点睛】本题考查了对数函数的运算性质,对数函数奇偶性及单调性的判断.根据奇偶性及单调性解不等式求参数,属于中档题.二、填空题13．已知tan 4α=-，则tan2α=_________. 【答案】815【解析】根据正切二倍角公式,代入即可求解. 【详解】由正切的二倍角公式,代入即可求解.22tan tan21tan ααα=-.()()22481514⨯-==-- 故答案为: 815【点睛】本题考查了正切函数而倍加公式的简单应用,属于基础题. 14．已知函数26,0,()log (),0,x x f x x x +⎧=⎨-<⎩，若()5f a =，则a =______.【答案】32-【解析】根据分段函数,代入自变量即可求解. 【详解】函数26,0,()log (),0,x x f x x x +⎧=⎨-<⎩ 所以当0a ≥时,()66f a a =+≥,即()5f a =无解; 当0a <,2()log ()5f a a =-=,即32a -=,解得32a =- 综上可知,32a =- 故答案为:32- 【点睛】本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题. 152032(3)log 6427π+-+-=__________.【答案】1【解析】根据指数幂运算及对数的性质,化简即可求解. 【详解】根据指数幂运算及对数的性质,化简可得2032(3)log 6427π-+-()2633231log 23=-++-31691=++-=.故答案为:1 【点睛】本题考查了指数幂运算及对数的性质应用,属于基础题.16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.【答案】10【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数()()lg g x f x x =-的零点个数等价于函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解. 【详解】解：由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-, 所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象, 由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点, 又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10， 故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题17．已知集合{2A x x a =≤-或}3x a >+，050x B x x ⎧⎫-<⎧⎪⎪=⎨⎨⎬->⎩⎪⎪⎩⎭. （1）当1a =时，求A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1x x ≤-或}0x >；（2）(,3][7,)-∞-+∞. 【解析】（1）先写1a =时集合A 与B ，再计算并集即可； （2）先判断B A ⊆，再列关系求参数范围即可. 【详解】（1）集合B 中因为050x x -<⎧⎨->⎩，所以05x <<，即{}05B x x =<<，当1a =时，{2A x x a =≤-或}3x a >+， 所以{1A B x x ⋃=≤-或}0x >. （2）因为AB B =，所以B A ⊆，由（1）知{}05B x x =<<，则30a +≤或25a -≥，即3a ≤-或7a ≥， 所以实数a 的取值范围为(,3][7,)-∞-+∞.【点睛】本题考查了集合的并集运算，利用子集关系求参数，属于基础题. 18．已知角θ的终边经过点()2,3P -,求下列各式的值. (1)2sin 3cos sin θθθ-;(2)()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)23-(2)413- 【解析】（1）由三角函数定义可得3tan 2θ=-,对于原式分子分母同除cos θ,进而求解即可；（2）由三角函数定义可得sin θ==利用诱导公式化简,进而代入求解即可 【详解】解:(1)由角θ的终边经过点()2,3P -,可知3tan 2θ=-, 则322sin 2tan 2233cos sin 3tan 332θθθθθ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===---⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)因为sin 13θ==-, 所以()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222sin cos sin 2θθθ=++- 2sin 12θ=+-9411313=-=- 【点睛】本题考查利用诱导公式化简,考查分式齐次式化简求值,考查已知终边上一点求三角函数值19．已知函数()2cos()02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图象过点.（1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值､最小值及对应的x 的值； （2）把()y f x =的图象向右平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间.【答案】（1）()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，12()4x k k =-∈Z 时，max ()2f x =，32()4x k k =+∈Z 时，min ()2f x =-；（2）372,2()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】（1）先将点代入得到ϕ值，即得到解析式，再利用余弦函数特征得到结果即可； （2）先按照平移变换函数()g x 解析式，再利用余弦函数特征得到递减区间. 【详解】（1）代入点(，得2cos(0)ϕ+=cos 2ϕ=. 因为02πϕ<<，所以4πϕ=，()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当24x k πππ+=，即12()4x k k =-∈Z 时，max ()2f x =；当24x k ππππ+=+，即32()4x k k =+∈Z 时，min ()2f x =-.（2）由（1）知()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3()2cos (1)2cos 44g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 当322()4k x k k πππππ≤-≤+∈Z 时，()g x 单调递减， 所以3722()44k x k k +≤≤+∈Z ，所以()g x 的单调递减区间为372,2()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】本题考查了余弦函数图像的综合应用，属于中档题.20．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系． 21．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+06,||2πωϕ⎛⎫<<<⎪⎝⎭，()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且481225f B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，5cos 13C =，求cos A . 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）3365或1665【解析】（1）根据对称轴和对称中心,可表示出周期.由06ω<<即可求得ω的值.再由对称轴即可求得ϕ的值,进而求得()f x 的解析式; （2）根据481225f B π⎛⎫+=⎪⎝⎭,代入解析式,结合同角三角函数关系式,即可求得sin ,cos B B 的值.再根据5cos 13C =求得sin C ,结合诱导公式及余弦的和角公式即可求得cos A . 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T , ∵()f x 的图象的一条对称轴是3x π=,一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭, ∴7(21)1234Tk ππ-=⨯-,*k N ∈, ∴21T k π=-,*k N ∈,∴221k ππω=-,*k N ∈, ∴42k ω=-,*k N ∈ ∵06ω<<,∴2ω= ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=,∴232k ϕππ+=+π,k Z ∈, ∴6k πϕπ=-+,k Z ∈.∵||2ϕπ<, ∴6πϕ=- ∴6πϕ=-∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）由（1）知482sin 21225f B B π⎛⎫+== ⎪⎝⎭, 所以24sin 225B =,即12sin cos 25B B =.① 因为,,A BC 是ABC ∆的三个内角,0B π<<,所以sin 0B >,cos 0B >. 又因为22sin cos 1B B +=,②联立①②,得4sin ,53cos 5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin ,54cos .5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当4sin 5B =,3cos 5B =时, 3541233cos cos()cos cos sin sin 51351365A B C B C B B =-+=-+=-⨯+⨯=；当3sin 5B =,cos 45B =时,4531216cos cos()cos cos sin sin 51351365A B C B C B B =-+=-+=-⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求三角函数解析式.由同角三角函数关系式及余弦的和角公式求三角函数值,属于基础题.22．已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）设0a >，函数2()cos2cos 3g x x a x a =+-+，如果总存在1],[x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x 都成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）[ln 2,)+∞【解析】（1）根据定义任取,12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,利用作差()()12f x f x -,变形后即可判断符号,即可证明函数的单调性.（2）根据定义可判断()f x 和()g x 的奇偶性.由不等式在区间上的恒成立,可知存在1[,](0)x a a a ∈->,对任意2x R ∈都有()()12f x g x .根据解析式及单调性,分别求得()f x 的最大值和()g x 的最大值,即可得不等式()25()33a a f a e e -=+≥.再利用换元法,构造对勾函数形式,即可解不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）证明：任取,12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,则()()12f x f x -()()()11221212121222222222113333x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e ----⎡⎤⎛⎫++⎡⎤=-=-+-=-+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦ ()()()()21121212121212122212(11333x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e ee e e ++++⎡⎤-⎫=-+=--=--⎢⎥⎪⎭⎣⎦因为12,(0,)x x ∈+∞,12x x <,所以121x x e e <<,120x x e e -<,121x x e +>,所以()()12f x f x <,即当120x x <<时,总有()()12f x f x <,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）由2e 2e ()()3x xf x f x -+-==,得()f x 是R 上的偶函数,同理,()g x 也是R 上的偶函数.总存在1[,](0)x a a a ∈->,对任意2x R ∈都有()()12f x g x ,即函数()y f x =在[,]a a -上的最大值不小于()y g x =,x ∈R 的最大值.由（1）知()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以当[,]x a a ∈-时,()f x 的最大值为()f a ,22211()2cos cos 2cos 3483a a g x x a x a x a ⎛⎫=+--=+--- ⎪⎝⎭.因为1cos 1x -≤≤,0a >,所以当cos 1x =时,()g x 的最大值为53. 所以()25()33a a f a e e -=+≥. 令1(0)at e a =>>,则152t t +, 令1()(1)h t t t t=+>,易知()h t 在(1,)+∞上单调递增,又5(2)2h =,所以2t ≥,即2a e ≥, 所以ln 2a ≥,即实数a 的取值范围是[ln 2,)+∞. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由存在性与恒成立问题,解不等式求参数的取值范围,综合性强,对思维能力要求较高,属于难题.。