数列应用题中的递推关系
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数列应用题中的递推关系
以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型,要正确快速地求解这类问题,需要在理解题意的基础上,正确处理数列中的递推关系。
一、等差、等比数列问题
等差、等比数列是数列中的基础,若能转化成一个等差、等比数列问题,则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例1、流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感,据资料记载,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,以后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数。
分析:设11月n 日这一天新感染者最多,则由题意可知从11月1日到n 日,每天新感染者人数构成一等差数列;从n+1日到30日,每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
略解:由题意,11月1日到n 日,每天新感染者人数构成一等差数列a n ,a 1=20,d 1=50,11月n 日新感染者人数a n =50n —30;从n+1日到30日,每天新感染者人数构成等差数列b n ,b 1=50n-60,d 2=—30,b n =(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b 30-n =20(30-n)-30=-20n+570. 故共感染者人数为:2
)30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=8670,化简得:n 2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍),即11月12日这一天感染者人数最多,为570人。
二、a n - a n-1=f(n),f(n)为等差或等比数列
有的应用题中的数列递推关系,a n 与a n-1的差(或商)不是一个常数,但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列,这在一定程度上增加了递推的难度。
例2、某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下,可卖出b 件。若作广告宣传,广告费为n 千元时比广告费为(n-1)千元时多
卖出n b 2
件,(n ∈N *)。 (1)试写出销售量s 与n 的函数关系式;
(2)当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告,才能获利最大?
分析:对于(1)中的函数关系,设广告费为n 千元时的销量为s n ,则s n-1表示广告费为(n-1)元时的销量,由题意,s n ——s n-1=n b 2,可知数列{s n }不成等差也不成等比数列,但是两者的差n b 2构成等比数列,对于这类问题一般有以下两种方法求解:
解法一、直接列式:由题,s=b+
2b +22b +32
b +…+n b 2=b(2-n 21) (广告费为1千元时,s=b+2b ;2千元时,s=b+2b +22b ;…n 千元时s=b+2b +22b +32b +…+n b 2) 解法二、(累差叠加法)设s 0表示广告费为0千元时的销售量, 由题:⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=--n n n b
s s b s s b s s 222121201 ,相加得S n -S 0=2b +22b +32b +…+n b 2, 即s=b+
2b +22b +32
b +…+n b 2=b(2-n 21)。 (2)b=4000时,s=4000(2-n 21),设获利为t,则有t=s ·10-1000n=40000(2-n 21)-1000n 欲使T n 最大,则:⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n T T T T ,得⎩
⎨⎧≤≥55n n ,故n=5,此时s=7875。 即该厂家应生产7875件产品,做5千元的广告,能使获利最大。
三、a n = C ·a n-1+B ,其中B 、C 为非零常数且C ≠1
例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,问经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(lg2=0.3)。
分析:设经过n 年后,该项目的资金为a n 万元,则容易得到前后两年a n 和a n-1之间的递推关系:a n =a n-1(1+25%)-200(n ≥2),对于这类问题的具体求解,一般可利用“待定系数法”:
解:由题,a n =a n-1(1+25%)-200(n ≥2),即a n =
45a n-1-200,设a n +λ=45(a n-1+λ),展开得a n =45a n-1+41λ,41λ=-200,λ=-800,∴a n -800=4
5(a n-1-800),即{a n -800}成一个等比数列,a 1=1000(1+25%)-200=1050, a 1-800=250,∴a n -800=250(45)n-1,a n =250(4
5)n-1+800,令a n ≥4000,得(4
5)n ≥16,解得n ≥12,即至少要过12年才能达到目标。 四、二个(或多个)不同数列之间的递推关系
有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系,对于该类问题,要正确处分没数列间的相互联系,整体考虑。
例4、甲乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml ,同时从甲乙两个容器中取出100ml 溶液,将近倒入对方的容器搅匀,这称为是一次调和,记a 1==10%,b 1=20%,经(n-1)次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为a n 、b n ,
(1)试用a n-1、b n-1表示a n 、b n ;
(2)求证数列 {a n -b n }是等比数列,并求出a n 、b n 的通项。
分析:该问题涉及到两个不同的数列a n 和b n ,且这两者相互之间又有制约关系,所以不能单独地考虑某一个数列,而应该把两个数列相互联系起来。
解:(1)由题意
a n =11115154500100400----+=+n n n n
b a b a ; b n =11115
154500100400----+=+n n n n a b a b (2)a n -b n =
115353---n n b a =5
3(1-n a 1--n b )(n ≥2),∴{a n -b n }是等比数列。又a 1-b 1=-10%, ∴a n -bn=-10%()53n-1.......(1) 又∵n a n b +=1-n a 1-+n b =...= a 1+b 1=30%, (2)
联立(1)、(2)得n a =-()53
n-1·5%+15%;n b =()5
3n-1·5%+15%。