数列应用题中的递推关系

数列应用题中的递推关系

以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。

一、等差、等比数列问题

等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。

例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。

分析：设11月n 日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。

略解：由题意，11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列a n ，a 1=20,d 1=50,11月n 日新感染者人数a n =50n —30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n ,b 1=50n-60,d 2=—30，b n =(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b 30-n =20(30-n)-30=-20n+570. 故共感染者人数为：2

)30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=8670，化简得：n 2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。

二、a n - a n-1=f(n),f(n)为等差或等比数列

有的应用题中的数列递推关系，a n 与a n-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。

例2、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件。若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1）千元时多

卖出n b 2

件，（n ∈N *）。 （1）试写出销售量s 与n 的函数关系式；

（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ,则s n-1表示广告费为(n-1)元时的销量，由题意，s n ——s n-1=n b 2，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差n b 2构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：

解法一、直接列式：由题，s=b+

2b +22b +32

b +…+n b 2=b(2-n 21) （广告费为1千元时，s=b+2b ；2千元时，s=b+2b +22b ；…n 千元时s=b+2b +22b +32b +…+n b 2） 解法二、（累差叠加法）设s 0表示广告费为0千元时的销售量， 由题：⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=--n n n b

s s b s s b s s 222121201 ，相加得S n -S 0=2b +22b +32b +…+n b 2, 即s=b+

2b +22b +32

b +…+n b 2=b(2-n 21)。 （2）b=4000时，s=4000(2-n 21),设获利为t,则有t=s ·10-1000n=40000(2-n 21)-1000n 欲使T n 最大，则：⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n T T T T ，得⎩

⎨⎧≤≥55n n ，故n=5,此时s=7875。 即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。

三、a n = C ·a n-1+B ，其中B 、C 为非零常数且C ≠1

例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg2=0.3）。

分析：设经过n 年后，该项目的资金为a n 万元，则容易得到前后两年a n 和a n-1之间的递推关系：a n =a n-1（1+25%）-200（n ≥2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：

解：由题，a n =a n-1（1+25%）-200（n ≥2），即a n =

45a n-1-200，设a n +λ=45（a n-1+λ），展开得a n =45a n-1+41λ，41λ=-200，λ=-800，∴a n -800=4

5（a n-1-800），即{a n -800}成一个等比数列，a 1=1000(1+25%)-200=1050, a 1-800=250，∴a n -800=250（45）n-1，a n =250（4

5）n-1+800，令a n ≥4000，得（4

5）n ≥16，解得n ≥12,即至少要过12年才能达到目标。 四、二个（或多个）不同数列之间的递推关系

有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题，要正确处分没数列间的相互联系，整体考虑。

例4、甲乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml ，同时从甲乙两个容器中取出100ml 溶液，将近倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a 1==10%,b 1=20%,经（n-1）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为a n 、b n ，

（1）试用a n-1、b n-1表示a n 、b n ；

（2）求证数列 {a n -b n }是等比数列，并求出a n 、b n 的通项。

分析：该问题涉及到两个不同的数列a n 和b n ，且这两者相互之间又有制约关系，所以不能单独地考虑某一个数列，而应该把两个数列相互联系起来。

解：（1）由题意

a n =11115154500100400----+=+n n n n

b a b a ； b n =11115

154500100400----+=+n n n n a b a b （2）a n -b n =

115353---n n b a =5

3（1-n a 1--n b ）（n ≥2），∴{a n -b n }是等比数列。又a 1-b 1=-10%, ∴a n -bn=-10%()53n-1.......（1） 又∵n a n b +=1-n a 1-+n b =...= a 1+b 1=30%， (2)

联立（1）、（2）得n a =-()53

n-1·5%+15%；n b =()5

3n-1·5%+15%。