最新微积分疑难分析讲座第一讲幻灯片课件
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微积分疑难分析讲座
初等
函数极限的性质Fra bibliotek局局 部部 有保 界号 性性
四复
则合
运 算
运
算
闭区间连续函数性质
有界性定理 介值定理
最值定理
零点定理
二、“函数”这一部分应重点掌握什么？
1 .正 确 理 解 函 数 的 概 念 ：
定义：设 X 和 Y 为两个非空实数集,如果存在 某一确定的法则 f，使得对于 X 中的每一x， 在Y 中都有惟一的 y 与它对应，则称 f 为定 义在 X上的函数，记为 f : XY
教材P.60,例2: (ai 0,i 1,2,…,m)
limn
n
a1n
a2n
…am n
max
a1,a2,…,am
,
a ,b ,c 0 ,lim n a n b n c n m a x a ,b ,c n
f(x)maxn
1xn
x2 2
n
y
y x2 2
y x
1,
x, x2 2
x 0
x 2 x 0
x 2 x 0
x
3 .熟 悉 几 个 重 要 的 非 初 等 函 数 .
1, x 0
sgn
x
0,
x0
1, x 0
取整函数y[x]
符 号 函 数 x sgn x | x |
狄 里 克 莱 (D ir ic h le t)函 数 D (x ) 1 0 ,,x x为 为 有 无 理 理 数 数
时，你就会感到这本书变薄了。
一、第一章的知识结构与框架是什么？
第一章 知识框图
无穷小的运算与比较
反 函
复 合 函
四 种 性
数数态
微积分第一课.ppt
生活中无处没有数学
（1）黄金分割造就了美
近年来，在研究黄金分割与人体关系时， 发现了人体结构中有14个“黄金点” （物体短段与长段之比值为 0.618）， 12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数” （两物体间的比例关系为 0.618）。 黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割 点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点； (3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点； (5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分 割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上 这分割点；(9)眉间点：发际－颏底间 距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下 点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之 分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距 上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟 正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中 2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水 平线左1/3与右2/3之分割点；(14) 右 口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分 割点。
公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子•天下 篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其 半，万世不竭”，
魏晋时期的数学家刘徽。他的“割圆术”开创了圆周 率研究的新纪元。 “割之弥细，所失弥少。割之又 割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”
二． 微积分的创立
有四种主要类型的科学问题： 1.第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函 数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬 时变化率问题的研究成为当务之急； 2.第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线 问题变得不可回避； 3.第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开 太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小 值问题也急待解决； 4.第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢 径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、 体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计 算被重新研究。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
微积分第一章第一节课件
微积分的重要性
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
微积分入门专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件
（定积分对于积分区间含有可加性）
第19页
性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
b a.
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则 b a
f
(
x)dx
0.
(a b)
证 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,, n)
n
xi 0, f (i )xi 0,
i 1
max{x1, x2 ,, xn }
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
f ( )(b a).
积分中值公式几何解释：
(a b)
y
在区间[a, b]上至少存在一
个点 ，使得以区间[a, b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( )
o a b x 的一个矩形的面积。
F( x) d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
证 F ( x) 0 b( x) f (t)dt a(x) 0
b( x)
a( x)
0 f (t)dt 0 f (t)dt,
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
பைடு நூலகம்
b
a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx.
阐明： | f ( x)|在区间[a, b]上的可积性是显然.
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
微积分ppt
其中 , 为任意常数.
积分举例 例4 求积分
x 1 dx.
3
x2
解 先将 x 1 展开, 然后再利用积分公式及运算法
3
则, 得
3 1 x3 3x 2 3x 1 dx x 3 2 dx 2 x2 dx x x x x2 1 3x 3ln x C. 2 x
也是 f ( x) 的原函数.其中 C 为任意常数; 并且 f ( x) 的 原函数一定可写成 F ( x) C 的形式.
2.不定积分 由上面的讨论, 可得到如下定义. 定义 在区间 I上, 函数 f ( x) 的带有任意常数的原函数,
称为 f ( x) 在区间 I 上的不定积分, 记作
即 f x dx F x C, 其中 F ( x) 是 f ( x) 的原函数.
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
3.基本积分公式
1 0dx C.
dx 3 ln x C x dx arcsin x C. 5 1 x2
1 x 2 x C 1 . dx 1 dx arctan x C. 4 2 1 x
cos x sin x.
又如,
1 ln x 1 x 2 , 1 x2
故,
1 1 x
2 ln x 1 x . 的原函数为 2
我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 导函 数是唯一的, 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,
线过 1, 2 代入曲线方程得 C 1, 故所求曲线的方程为
y x 1.
积分举例 例4 求积分
x 1 dx.
3
x2
解 先将 x 1 展开, 然后再利用积分公式及运算法
3
则, 得
3 1 x3 3x 2 3x 1 dx x 3 2 dx 2 x2 dx x x x x2 1 3x 3ln x C. 2 x
也是 f ( x) 的原函数.其中 C 为任意常数; 并且 f ( x) 的 原函数一定可写成 F ( x) C 的形式.
2.不定积分 由上面的讨论, 可得到如下定义. 定义 在区间 I上, 函数 f ( x) 的带有任意常数的原函数,
称为 f ( x) 在区间 I 上的不定积分, 记作
即 f x dx F x C, 其中 F ( x) 是 f ( x) 的原函数.
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
3.基本积分公式
1 0dx C.
dx 3 ln x C x dx arcsin x C. 5 1 x2
1 x 2 x C 1 . dx 1 dx arctan x C. 4 2 1 x
cos x sin x.
又如,
1 ln x 1 x 2 , 1 x2
故,
1 1 x
2 ln x 1 x . 的原函数为 2
我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 导函 数是唯一的, 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,
线过 1, 2 代入曲线方程得 C 1, 故所求曲线的方程为
y x 1.
大学微积分课件第一讲
பைடு நூலகம்
微积分的意义和应用举例
1 解决变化问题
2 优化问题
微积分可以帮助我们理解 和解决与变化相关的问题， 如速度、加速度、积分面 积等。
微积分可以应用于优化问 题，通过求导和查找最值 点来获得最佳解答。
3 物理和工程应用
微积分在物理学和工程学 中有广泛的应用，如力学、 电磁学、流体力学等领域。
微积分的发展历程和价值
2
无穷小量具有相对较小的数值，但在某
处仍有定义，可以通过无穷小量来描述
变化的趋势。
3
概念
无穷小量是微积分中用于描述极小变化 的数学概念，广泛应用于计算微分和解 决实际问题。
应用
无穷小量在物理、经济、生物等领域中 的应用广泛，用于描述变化的微小差异 和近似计算。
导数的概念及计算方法
概念
导数是描述函数变化率的数学工 具，表示函数在某一点上的斜率 或切线的倾斜程度。
微积分是自然科学和工程技术中不可或缺的数学工具，为探索和解决问题提 供了重要的理论和计算方法。
文献资料和参考书籍
文献资料
微积分领域有许多经典的文献资料可以深入学习和 研究，包括牛顿、莱布尼茨等大师的著作。
参考书籍
在学习微积分过程中，有许多优秀的教材和参考书 籍可供选择，如《微积分原理》等。
大学微积分课件第一讲
微积分是数学的重要分支，掌握微积分的概念与方法对于解决实际问题和深 入理解数学的发展至关重要。
导论微积分的概念和作用
微积分是研究变化和积分的数学分支，不仅在数学领域有着重要应用，还在 自然科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
微积分中的基本概念
变量和函数的定义
理解变量和函数的概念是学习微积分的基础， 它们是描述数学关系和变化过程的工具。
微积分的意义和应用举例
1 解决变化问题
2 优化问题
微积分可以帮助我们理解 和解决与变化相关的问题， 如速度、加速度、积分面 积等。
微积分可以应用于优化问 题，通过求导和查找最值 点来获得最佳解答。
3 物理和工程应用
微积分在物理学和工程学 中有广泛的应用，如力学、 电磁学、流体力学等领域。
微积分的发展历程和价值
2
无穷小量具有相对较小的数值，但在某
处仍有定义，可以通过无穷小量来描述
变化的趋势。
3
概念
无穷小量是微积分中用于描述极小变化 的数学概念，广泛应用于计算微分和解 决实际问题。
应用
无穷小量在物理、经济、生物等领域中 的应用广泛，用于描述变化的微小差异 和近似计算。
导数的概念及计算方法
概念
导数是描述函数变化率的数学工 具，表示函数在某一点上的斜率 或切线的倾斜程度。
微积分是自然科学和工程技术中不可或缺的数学工具，为探索和解决问题提 供了重要的理论和计算方法。
文献资料和参考书籍
文献资料
微积分领域有许多经典的文献资料可以深入学习和 研究，包括牛顿、莱布尼茨等大师的著作。
参考书籍
在学习微积分过程中，有许多优秀的教材和参考书 籍可供选择，如《微积分原理》等。
大学微积分课件第一讲
微积分是数学的重要分支，掌握微积分的概念与方法对于解决实际问题和深 入理解数学的发展至关重要。
导论微积分的概念和作用
微积分是研究变化和积分的数学分支，不仅在数学领域有着重要应用，还在 自然科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
微积分中的基本概念
变量和函数的定义
理解变量和函数的概念是学习微积分的基础， 它们是描述数学关系和变化过程的工具。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
第一讲PPT微积分 (1)
第二型积分的定义
1.实际背景： “变力沿曲线做功”
考虑变力F P 作用下质点沿曲线C从A运动到B所做的功.
1）将C任意分成n段S1,S2, ,Sn;
2）在Si i 1, 2, , n 上做的功近似为Wi F Pi S i , Pi Si;
其中 S i是以 S i的长度为模，以C在Pi点切线为方向的向量;
还称第二型曲线积分为变力A沿曲线C给定方向所做的功.
iii当曲线C在x轴 y轴, z轴 上投影为一个点时，
即
P
P
,
P
2
时，有
C
Pdx
0
C
Qdy
0,
C
Rdz
0
.~第二型曲线曲面积分~
第二型积分的分类
2）设S是空间一有向曲面，其方向nP ,P S为给定S上
一法向，A( P ) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)是S上连续
2） A P B P d A P d B P d ;
3）若=1 2 , 则 A P d = A P d + A P d ;
1
2
4）若e P A P , P , 则 A P d =0;
其中e 的方向为d的方向; P
5）设P , e P =cosP , cos P , cos P , A P P( P ), Q( P ), R( P) d =dcosP，dcos P，dcos P
A Pi
i， = max
di
i 1, 2,
,n
,
di是
的
i
直径，都存在且相等，则称此极限值为A Pi 在上给定方向
e 下的第二型积分，记为 P
n
1.实际背景： “变力沿曲线做功”
考虑变力F P 作用下质点沿曲线C从A运动到B所做的功.
1）将C任意分成n段S1,S2, ,Sn;
2）在Si i 1, 2, , n 上做的功近似为Wi F Pi S i , Pi Si;
其中 S i是以 S i的长度为模，以C在Pi点切线为方向的向量;
还称第二型曲线积分为变力A沿曲线C给定方向所做的功.
iii当曲线C在x轴 y轴, z轴 上投影为一个点时，
即
P
P
,
P
2
时，有
C
Pdx
0
C
Qdy
0,
C
Rdz
0
.~第二型曲线曲面积分~
第二型积分的分类
2）设S是空间一有向曲面，其方向nP ,P S为给定S上
一法向，A( P ) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)是S上连续
2） A P B P d A P d B P d ;
3）若=1 2 , 则 A P d = A P d + A P d ;
1
2
4）若e P A P , P , 则 A P d =0;
其中e 的方向为d的方向; P
5）设P , e P =cosP , cos P , cos P , A P P( P ), Q( P ), R( P) d =dcosP，dcos P，dcos P
A Pi
i， = max
di
i 1, 2,
,n
,
di是
的
i
直径，都存在且相等，则称此极限值为A Pi 在上给定方向
e 下的第二型积分，记为 P
n
微积分讲解ppt课件
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为
x 1
1
x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)． 性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数
微积分(一)第一节课件
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (a ) { x a x a }.
例1
(1) y ( x 1)
2
100
由y u
u
100
, u x 1 复合而成。
2
sin 2 (3 x )
2
(2) y 2
由 y 2 , u v , v sin w , w 3x 复合而成
(3) y arcsin
2
2
1 4x
由 y u , u arcsin v , v w , w 1 4 x 复合而成
y
y f (x)
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 )
f ( x2 )
o
o
I
x
I
x
(3) 奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
无限区间
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b]
[a ,) { x a x }
《微积分导学讲解》PPT课件
“初等”数学与“高等”数学之分完全是按照惯例形成的。 可以指出习惯上称为“初等数学”的这门中学课程所固有的两 个特征。 第一个特征在于其所研究的对象是不变的量（常量）或 孤立不变的规则几何图形；第二个特征表现在其研究方法上。 初等代数与初等几何是各自依照互不相关的独立路径构筑起来 的，使我们既不能把几何问题用代数术语陈述出来，也不能通 过计算用代数方法来解决几何问题。 16世纪，由于工业革命的直接推动，对于运动的研究成 了当时自然科学的中心问题，这些问题和以往的数学问题有着 原则性的区别。要解决它们 ，初等数学以不够用了，需要创 立全新的概念与方法，创立出研究现象中各个量之间的变化的 新数学。变量与函数的新概念应时而生，导致了初等数学阶段 向微积分阶段的过渡。
3/20
随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识到： 没有数学，就难于创造出当代的科学成就。科学技术 发展越快越高，对数学的需求就越多。
如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科学 各学科数学化的趋势、社会科学各部门定量化的要求， 使许多学科都在直接或间接地，或先或后地经历了一 场数学化的进程（在基础科学和工程建设研究方面， 在管理机能和军事指挥方面，在经济计划方面，甚至 在人类思维方面，我们都可以看到强大的数学化进 程）。
8/20
第四阶段：现代数学阶段
这个时期始于19世纪中叶。这个时期是以代数、几何、 数学分析中的深刻变化为特征。几何、代数、数学分析变得更 为抽象。 可以说在现代的数学中，“数”、“形”的概念已发展到 很高的境地。比如，非数之“数”的众多代数结构，像群、环、 域等；无形之“形”的一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、 流形等。 在人类智能活动的研究领域里也有数学的身影。产生于19 世纪末，现在已经得到广泛发展的新学科——数理逻辑，用数 学的方法研究命题的结构、研究推理的过程。 随着科学技术的发展，使各数学基础学科之间、数学和 物理、经济等其它学科之间相互交叉和渗透，形成了许多边缘 学科和综合性学科。集合论、计算数学、电子计算机等的出现 和发展，构成了现在丰富多彩、渗透到各个科学技术部门的现 代数学。 9/20
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x n : 1 ,1 , 1 ,1 , 1 ,1 ,,( 1 ) n ,
在 点 a 的 任 何 邻 域 之 外 只 有 数 列 { x n } 的 有 限 多 个 点 .
数列极限的概念
lim
n
xn
a
0 , N N , n : n N |x n a | .
任 给 一 个 a的 邻 域 (a,a)， 总 存 在
l i m [ g ( x ) ( x ) ] 0 ,l i m f ( x ) l i m x 不 .
x
x x
三 、 第 一 章 求 极 限 有 哪 些 基 本 方 法 ？
x l n i m x 0 D ( x n ) x l n i m x 0 D ( x n ) x li m x 0 D ( x )不 .
函数极限的概念
f(x )在 U (x 0 )有 定 义 ， x li m x 0f(x ) A
0 , 0 , x : 0 |x x 0 | , |f ( x ) A | .
正 整 数 N ， 使 得 从 xN1项 起 ， 数 列 对 应 的 点
全 部 落 入 (a,a)中 .
在 点 a 的 任 何 邻 域 之 外 数 列 { x n } 只 有 有 限 多 个 点 .
lki m x2k1lki m x2ka
{ x n } 的 子 列 {x n k} 都 有 l k i m x n k a
A
A
A
o x0 x 0 x0
x
函数极限的概念
f(x )在 U (x 0 )有 定 义 ， x li m x 0f(x ) A
0 , 0 , x : 0 |x x 0 | , |f ( x ) A | .
f(x 0 0 ) f(x 0 0 ) A x n x 0 ,x n U ( x 0 ) ,都 有 l n i m f( x n ) A
函数极限的概念
f(x )在 U (x 0)有 定 义 ， x li m x 0f(x )A
0 , 0 , x : 0 |x x 0 | , |f ( x ) A | .
0 , 0 , x U ( x 0 ,) ,A f ( x ) A
y
yf(x)
f(x)A无 穷 小或 f(x)A无 穷 小(xx0)
x li m x 0f(x ) A x n x 0 ,x n U (x 0 ) ,都 有 l n i m f(x n ) A
1, x为有理数 D(x)0, x为无理数
x0( , ),
lim D (x)?
x x0
取 x n ( 有 理 数 ) x 0 :x ln i m x 0D (x n ) 1 , 取 x n ( 无 理 数 ) x 0 :x l n i m x 0 D (x n ) 0 .
x x0,x x0 ,x x0 , f (x) A
x ,x ,x ,
无 穷 大 量 ： f ( x ) ,f ( x ) ,f ( x ) ,
limf(x)
x
M 0 , X 0 , x :x X ,f( x ) M
二 、 极 限 的 性 质 及 运 算 法 则 要 注 意 什 么 问 题 ？
微积分疑难分析讲座第一讲
全国硕士研究生入学统一考试 高等数学试卷
科类 微积分 线性代数 概率统计 合计
满分
82
34
34
15 0
题型 选择题 填空题 解答题 合计
满分 32 24
94
15 0
一、怎样理解数列极限的“ , N ”定义与
函数极限的“ , ”定义
数列极限的概念
lim
n
xn
a
0 , N N , n : n N |x n a | .
x 0 1 c o s x
1 c o s x
1cosx0 f(x )0f(0 ),x U (0 )
f在 x0取 得 极 小 值 .
[2000研]x:(x) f(x) g(x)，
lim[g(x)(x)]0, 则lim f(x)( ).
x
x
(A)且等于零; (B)不一定等于零;
(C)必不;
0 , N N , n : n N a x n a .
任 给 一 个 a 的 邻 域 (a ,a ) ， 总 存 在 正 整 数 N ，
使 得 从 x N 1 项 起 ， 数 列 对 应 的 点 全 部 落 入 (a ,a ) 中 .
在 点 a 的 任 何 邻 域 之 内 有 数 列 { x n00研]x:(x) f (x) g(x)，
lim[g(x)(x)]0,则lim f (x)( ).
x
x
(A)且等于零; (B)不一定等于零;
(C)必不;
(D)不一定.
(x)f(x)g(x)1 ,
lim [g (x )(x ) ] 0 ,lim f(x ) 1 ,
x
x
(x)f(x)g(x)x,
(1) 局部有界性; (2)(2) 局部保号性; (3) 不等式性质; (4) 四则运算法则; (5) 复合运算法则.
f (x) g(x)
lim f (x) lim g(x)
xx0
xx0
lim f(x ) ,lim g (x ) lim (f g ) lim f lim g
x x 0
x x 0
x x 0
x x 0 x x 0
[1990研]设f(x)在x0的某个邻域连续，
且f(0)0,lim f(x) 2,则在x0处f(x)( ). x01cosx
(A)不可导;
(B)可导,且f(0)0;
(C)取得极大值; (D)取得极小值
[分 析 ]
lim f(x ) 2 U ( 0 ) , f(x ) 0 ,( 局 部 保 号 性 )
(D)不一定.
lim [g(x)(x)]0
x
lim g(x)lim (x)0 lim g(x)lim (x)
x
x
x
x
由 夹 逼 准 则 知 limf(x). x
lim f,lim g lim (f g ) lim f lim g
x x 0 x x 0
x x 0
x x 0 x x 0