专题04 二次函数与特殊图形的存在性问题(连云港26题无锡27题淮安28题等)(解析版)
专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题
专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题特殊四边形指：平行四边形、矩形、菱形、正方形预备知识：（一）、平行四边形的性质和判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形性质：①平行四边形两组对边分别;②平行四边形的两组对角分别;邻角③平行四边形的对角线:判定：①两组对边分别的四边形是平行四边形；②两组对边分别的四边形是平行四边形：③一组对边的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；提醒：虽然两组对角分别相等的四边形是平行四边形，但不能直接使用，还是要进行证明的（二）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
性质：具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①四个角都是直角；②对角线相等；③是轴对称图形，也是中心对称图形判定：①有一个角是直角的平行四边形：②对角线相等的平行四边形：③有三个角是直角的四边形：④对角线相等且互相平分的四边形（三）、菱形的性质和判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①四边相等：② 对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角：③是轴对称图形，也是中心对春的形判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.③四边相等的四边形是菱形.提醒：菱形的面积等于底乘以高，也等于对角线乘积的一半。
其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半。
（四）、正方形的性质和判定定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
性质：（1）它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等；两组对角相等、邻角互补：对角线互相平分（2）具有矩形的一切性质：四个角都是直角；对角线相等（3）具有菱形的一切性质：四条边相等：对角线互相垂直：每条对角线平分一组对角判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形：（3）对角线互相垂直的矩形是正方形：（4）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（先证菱形）；（5）对角线相等的菱形是正方形主要题型：（1）三定点一动点（容易题型，基本不考）：（2）两定点两动点；（3）一定点三动点金华真题：无题型一、两定点，两动点（方法：两圆一中垂）1 3例1、（2015/5/2 FI/ZZNWG）如图，抛物线广一—x?+二x+2与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点C,过点C作x轴的平行线交抛物线于点B,点D在线段OA上，且BD=BA,点P的坐标是（0, 3）,点Q从点D出发，沿D-B-C-O方向运动，点Q在线段DB上以每秒个单位的速度运动，当点Q在线段BC, CO上时，则以每秒1个单位的速度运动，到点0停止。
中考数学复习专题：二次函数中特殊图形的存在性问题的分析方法
二次函数中特殊图形的存在性教学目标1．学会二次函数中特殊图形的存在性问题的分析方法2．掌握三角形与四边形的存在性问题的解法重、难点三角形与四边形的存在性问题的解法知识梳理1．两点之间的距离公式如图所示，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在平面直角坐标系中，那么AB＝．2．中点坐标公式如图，点A（x1，y1），B（x2，y2），点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（，）．3．“两线一圆”模型如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形．这样的点C的集合如下图所示（分别过点A，B作线段AB的垂线，并以AB为直径画圆，除点A，B以外的点都可以与点A，B构成直角三角形，这个模型简称“两线一圆”）．4．平行四边行顶点坐标关系如图，四边形ABCD为平行四边形，顶点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．①因为平行四边行的对角线互相平分，所以点O为AC和BD的中点，根据中点坐标公式可以得出：＝，＝，即x1＋x3＝x2＋x4，y1＋y3＝y2＋y4；②因为BC可以看做AD平移得到的，所以点A的对应点为点B，点D的对应点为点C，根据平移的坐标关系可以得出：x2－x1＝ x3－x4，y2－y1＝y3－y4．一、直角三角形的存在问题知识点讲解1：直角三角形的存在问题例 1. 如图，已知直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．同步练习：1. 如图，抛物线y＝－x2－ x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．知识点讲解2：平行四边形的存在问题例 1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2， 0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．例2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．同步练习1. 如图，抛物线y＝x2＋x－与x轴相交于A，B两点，顶点为P．（1）求点A，B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．课后练习如图，抛物线与x轴交于A（5，0），B（－1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y＝2x于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y＝2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．2.如图，P是抛物线y＝﹣x2＋x＋2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB 周长的最大值为．3.如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式：（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点M的坐标．4.如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标．（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．。
专题 二次函数与特殊三角形存在性问题(学生版)
专题28二次函数与特殊三角形存在性问题题型一等腰三角形存在性问题问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝1522x--经过点A，且与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；3．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．4．抛物线y ＝ax 2+bx +3过点A （﹣1，0），点B （3，0），顶点为C ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）如图，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若△DAC 是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝23391644x x -++，分别交x 轴于A 与B 点，交y 轴于点C ，顶点为D ，连接AD ．如图，连接BD ，把∠DAB 沿x 轴平移到∠D ′A ′B ′，在平移过程中把∠D ′A ′B ′绕点A ′旋转，使∠D ′A ′B ′的一边始终过点D 点，另一边交直线DB 于R ，是否存在这样的R 点，使△DRA ′为等腰三角形，若存在，求出BR 的长；若不存在，说明理由．题型二等边三角形存在性问题6．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．8．如图1，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y＝﹣x2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B'，当△OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；题型三等腰直角三角形存在性问题11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C，点D为顶点，直线CD与x轴交于点E，以DE为腰作等腰Rt△DEF，若点F落在y轴上时a的值为．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．14．抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．15．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．题型四直角三角形存在性问题16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x﹣2相交于A（﹣2，0），B（m，﹣6）两点，且抛物线经过点C（5，0）．点P是直线下方的抛物线上异于A、B的动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△PBE为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，求点P的坐标及PMAM的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，直线y＝2x﹣10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为45 2．①求点D的坐标；②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．19．在平面直角坐标系中，抛物线21642y x x =-+的顶点A 在直线y ＝kx ﹣2上．（1）求直线的函数表达式；（2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为A ′，与直线的另一交点为B ′，与x 轴的右交点为C （点C 不与点A ′重合），连接B ′C 、A ′C ．在平移过程中，当△A ′B ′C 是以A ′B ′为一条直角边的直角三角形时，求出所有满足条件的点A ′的坐标．20．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+4ax+4a﹣5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求a的值及P的坐标；（2）如图，点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．。
2023年中考数学压轴题专题04 二次函数与相似问题-【含答案】
专题4二次函数与相似问题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
相似三角形常见的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．【例1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【例2】．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】．（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【例4】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．1．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，若点D是抛物线上在第四象限的点，连接DA并延长，交y轴于点P，过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点，过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020秋•长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m 值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E 两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021秋•邹城市期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A，直线y＝x+2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．5．（2021秋•攸县期末）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6．（2022•禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；＝S△ABC，直接写出点D （3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA的坐标．7．（2022•祥云县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，3），点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME垂直x轴于点E，交线段BC于点D，MN∥x轴，交y轴于点N．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；（3）连结OD，AC，抛物线上是否存在点M，使得以C，O，D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2022•松江区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022•平江县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC ，记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC，求S最大值点P的坐标及S的最大值；和S△AOC（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•莱州市一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+c经过点A（4，3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，﹣2）且垂直于y轴的直线，连接PO．（1）求抛物线的表达式，并求出顶点B的坐标；（2）试证明：经过点O的⊙P与直线l相切；（3）如图②，已知点C的坐标为（1，2），是否存在点P，使得以点P，O及（2）中的切点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC 与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2022•丰南区二模）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．（1）直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；（2）点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022•莱芜区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A和点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出线段FP的长度；若不存在，请说明理由．15．（2022•临清市三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．（1）求抛物线解析式；（2）设点F横坐标为m，①用含有m的代数式表示点E的横坐标为（直接填空）；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；（3）过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F 的坐标．16．（2022•成都模拟）如图①，已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k交x轴于A，B两点，交y轴于点C，P是抛物线上的动点，且满足OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，直线y＝x+b经过点P且与直线BC交于点E，设点P的横坐标为t，当线段PE 的长度随着t的增大而减小时，求t的取值范围；（3）如图②，过点A作BC的平行线m，与抛物线交于另一点D．点P在直线m上方，点Q在线段AD 上，若△CPQ与△AOC相似，且点P与点O是对应点，求点P的坐标．17．（2022•东莞市校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点（x1，y1），（x2，y2）（x1＜k＜x2），当x1+x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；（3）点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18．（2022•碑林区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若C（0，2）．（1）请直接写出A、B的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．【例1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标，然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC，再由二次函数的最值性质，求出答案；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．【解析】（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝2，∴C点坐标为（2，0），∵PD⊥x轴，PE∥x轴，∴∠ACO＝∠DEP，∴Rt△DPE∽Rt△AOC，∴，∴PE＝PD，∴PD+PE＝PD，设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，﹣a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+，∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+，∵﹣＜0，∴当a＝时，PD+PE有最大值为；（3）①当△AOC∽△APD时，∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，∴点D的坐标为（2，0）；∵PD⊥x轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；②当△AOC∽△DAP时，此时∠APG＝∠ACO，过点A作AG⊥PD于点G，∴△APG∽△ACO，∴，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），则，解得：m＝，∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．【例2】（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0，2），令y＝0可得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出图象W的解析式；（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出b值．综上即可得出结论；（3）先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°，分别画图可得结论．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，2），当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，﹣x+b＝﹣x2+x+2，x2﹣2x+b﹣2＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，∴b＝3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，x2﹣x﹣4＝0，∴x1＝，x2＝，∴P（，0）；如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y＝x+2，∴x+2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍），∴P（1+，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）．【例3】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．【解析】（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四边形CC'QP是平行四边形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6；（3）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①当＝时，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②当＝时，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．【例4】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．【分析】（1）把点B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x＝列方程，两个方程组成方程组可解答；（2）当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形；（3）分种情况：①当PC∥x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；②②如图3，△PCM ∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论．【解析】（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，∵C（0，4），D是OD的中点，∴E（0，1），当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，2x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝，x2＝（舍），∴P（，1），∴OD≠PD，∴△POD不可能是等边三角形；（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，分两种情况：①如图2，△CMP∽△BMH，∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，∴tan∠OBC＝tan∠PCM，∴＝＝＝＝2，∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），∵PH＝PM+MH，∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，解得：t1＝0，t2＝1，∴P（1，4）；②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠EPC，∴△PEC∽△COB，∴＝，∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝，∴P（，）；综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．1．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，解方程组即可求得答案；（2）根据题意，当S1＝S2+5，即S△ABD＝S△ABC+5，设D（x，y），表示出△ABD和△ABC的面积，列方程求解即可；（3）分情况讨论，列出三角形相似的三种情况，画出相应图形，设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），运用相似三角形性质，建立方程求解即可．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），∵S1＝S2+5，∴S1+S△AEB＝S2+S△AEB+5，＝S△ABC+5，即S△ABD∵A（4，0），B（﹣1，0），∴AB＝5，设D（x，y），∴×5×y＝×5×4+5，∴y＝6，∴﹣x2+3x+4＝6，解得：x1＝1，x2＝2，∴D1（1，6），D2（2，6）；（3）设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），①如图2，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；②如图3，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝﹣1，经检验，m＝﹣1是原方程的解，∴M（﹣1，4）；③如图4，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；④如图5，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝7，经检验，m＝7是原方程的解，∴M（7，4）；综上所述，点M的坐标为（，4）或（﹣1，4）或（，4）或（7，4）．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，若点D是抛物线上在第四象限的点，连接DA并延长，交y轴于点P，过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点，过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）在抛物线解析式中，令y＝0则可求得A、B的坐标；（2）证明△AOP∽△AED，根据相似三角形面积的比等于对应边的比的平方列比例式可得AE＝2，从而得点D的横坐标为3，代入抛物线的解析式可得点D的坐标；（3）如图2所示，若以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似，有两种情况，但是∠QAM与∠QAN不可能相等，所以最后只存在一种情况：△AQM∽△NQA，列比例式可得结论．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣3x+＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴A（1，0），B（5，0）；（2）∵DE⊥x轴，∴∠AED＝90°，∴∠AOP＝∠AED＝90°，∵∠OAP＝∠DAE，∴△AOP∽△AED，∴＝＝，∴＝，∵OA＝1，∴AE＝2，∴OE＝3，当x＝3时，y＝﹣3×3+＝﹣2，∴D（3，﹣2）；（3）如图2，设Q（0，m），当x＝0时，y＝，∴F（0，），∵点Q是线段OF上的动点，∴0≤m≤，当y＝m时，x2﹣3x+＝m，x2﹣6x+5﹣2m＝0，x＝3，∴x1＝3+，x2＝3﹣，∴QM＝3﹣，QN＝3+，在Rt△AOQ中，由勾股定理得：AQ＝，∵∠AQM＝∠AQN，∴当△AQM和△AQN相似只存在一种情况：△AQM∽△NQA，∴，∴AQ2＝NQ•QM，即1+m2＝（3+）（3﹣），解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍），∴Q（0，﹣1+）．3．（2020秋•长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m 值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E 两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，表示PH的长，根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，进而分两种情况讨论即可得出结论．【解析】（1）把点B（6，0）和点C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+n，由点B（6，0）和C（0，﹣3）得：，解得：，∴直线BC的解析式为，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点H，∵点P的坐标为（m，），PH∥y轴，∴点H的坐标为（m，），∴PH＝y H﹣y P＝﹣（）＝﹣，x B﹣x C＝6﹣0＝6，＝PH×6＝（﹣）×6＝﹣＝，∵S△PBC解得：m1＝1，m2＝5，∴m值为1或5；（3）如图2，∵∠CDE＝∠BDM，△CDE与△BDM相似，∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，设M（x，0），①当∠CED＝∠BDM＝90°，∴CE∥AB，∵C（0，﹣3），∴点E的纵坐标为﹣3，∵点E在抛物线上，∴x2﹣x﹣3＝﹣3．∴x＝0（舍）或x＝5，∴M（5，0）；②当∠DCE＝∠DMB＝90°，∵OB＝6，OC＝3，∴BC＝＝3，由（2）知直线BC的关系式为y＝x﹣3，∴OM＝x，BM＝6﹣x，DM＝3﹣x，由（2）同理得ED＝﹣+3x，∵DM∥OC，∴，即，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝﹣x，∵△ECD∽△BMD，∴，即＝，∴＝x（3﹣x）2，x（6﹣x）（1﹣x）＝0，x1＝0（舍），x2＝6（舍），x3＝1，∴M（1，0）；综上所述：点M的坐标为（5，0）或（1，0）．4．（2021秋•邹城市期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A，直线y＝x+2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将抛物线配方后可得顶点A的坐标，将抛物线和一次函数的解析式联立方程组，解出可得B 和C的坐标；（2）先根据两点的距离计算AB、BC、AC的长，根据勾股定理的逆定理可得：∠ABC＝90°，最后根据两边的比相等且夹角为90度得两三角形相似；（3）存在，设M（x，0），则P（x，x2+2x），表示OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，分两种情况：有＝或＝，根据比例式代入可得对应x的值，计算点P的坐标即可．【解答】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴顶点A（﹣1，﹣1）；由，解得：或∴B（﹣2，0），C（1，3）；（2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），∴AB＝＝，BC＝＝3，AC＝＝2，∴AB2+BC2＝AC2，＝＝，∴∠ABC＝90°，∵OD＝1，CD＝3，∴＝，∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，∴△ODC∽△ABC；（3）存在这样的P点，设M（x，0），则P（x，x2+2x），∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，当以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似时，有＝或＝，由（2）知：AB＝，CB＝3，①当＝时，则＝，当P在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0，∴，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，当P在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0，∴＝，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，②当＝时，则＝3，同理代入可得：x＝﹣5或x＝1（舍），综上所述，存在这样的点P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．5．（2021秋•攸县期末）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），即可求解；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解；③四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），故点P（，1），而PN＝＝≠MN，即可求解；（2）分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况，分别求解即可．【解析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），当x＝时，y＝﹣2x+4＝3，故点N（，3）；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线RB的表达式为：y＝4x+4，当x＝时，y＝6，故点Q（，6）；③不存在，理由：设点P（x，﹣2x+4），则点D（x，﹣2x2+2x+4），MN＝﹣3＝，四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），故点P（，1），而PN＝＝≠MN，故不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为：（1，2），此时点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，4），①当∠DBP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则∠BAO＝∠BDP＝α，tan∠BAO＝＝2＝tanα，则sinα＝，PA＝，PB＝AB﹣PA＝2﹣＝，则PD＝＝，故点D（1，）；②当∠BDP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则BD∥x轴，则点B、D关于抛物线的对称轴对称，故点D（1，4），综上，点D的坐标为：（1，4）或（1，），将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c并解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．6．（2022•禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；＝S△ABC，直接写出点D （3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA的坐标．。
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。
2020年二次函数与特殊图形的存在性问题(解析版)
二次函数与特殊图形的存在性问题1．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；（2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1＝﹣﹣x+2，即可求P；（3）S＝（GM+BF）×MF＝（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣+8t﹣8＝﹣（t﹣）2+；（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝x+2，直线AQ的解析式y＝﹣（x+2）+2，求出点K（0，），H（﹣，），由勾股定理可得OK2＝，OH2＝+，HK2＝+，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可．【解答】解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得，∴，∴y＝﹣﹣x+2；（2）∵△PAM≌△PBM，∴PA＝PB，MA＝MB，∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，∵AB＝2，∴点P的纵坐标是1，∴1＝﹣﹣x+2，∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，∴P（﹣1﹣，1）或P（﹣1+，1）；（3）CM＝t﹣2，MG＝CM＝2t﹣4，MD＝4﹣（BC+CM）＝4﹣（2+t﹣2）＝4﹣t，MF＝MD＝4﹣t，∴BF＝4﹣4+t＝t，∴S＝（GM+BF）×MF＝（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣+8t﹣8＝﹣（t﹣）2+；当t＝时，S最大值为；（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝x+2，直线AQ的解析式y＝﹣（x+2）+2，∴K（0，），H（﹣，），∴OK2＝，OH2＝+，HK2＝+，①当OK＝OH时，＝+，∴3m2+12m+8＝0，∴m＝﹣2+或m＝﹣2﹣；②当OH＝HK时，+＝+，∴m2+4m+8＝0，∴m无解；③当OK＝HK时，＝+，∴m2+4m﹣8＝0，∴m＝﹣2+2或m＝﹣2﹣2；综上所述：Q（﹣2+2，0）或Q（﹣2﹣2，0）或Q（﹣2+，0）或Q（﹣2﹣，0）【点评】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键．2．如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N 的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．【分析】（1）由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c，求得y2＝﹣+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）不符合题意；（3）由y1≤y2，得﹣2≤x≤2，设M（t，），N（t，），且﹣2≤t≤2，易求直线AF 的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S1＝，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝2﹣，所以S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．【解答】解：由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c得，解得，∴y2＝﹣+x+2，∴B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，k BE•k AB＝﹣1，∴k BE＝﹣1，直线BE解析式为y＝﹣x+5联立，解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，∴E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，联立，解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，∴E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）由AE⊥BE得k BE•k AE＝﹣1，即，，，（m﹣2）2（m﹣6）（m+2）＝﹣16（m+2）（m﹣2），（m+2）（m﹣2）[（m﹣2）（m﹣6）+16]＝0，∴m+2＝0或m﹣2＝0，或（m﹣2）（m﹣6）+16＝0（无解）解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），∴点E的坐标E（6，﹣1）或E（10，﹣13）；（3）∵y1≤y2，∴﹣2≤x≤2，设M（t，），N（t，），且﹣2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，则Q（﹣），S1＝QM•|y F﹣y A|＝设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝PN•|x A﹣x B|＝2﹣S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键．3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）作CK⊥x轴，垂足为K．首先证明△BAO≌△ACK，从而可得到OA＝CK，OB＝AK，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的+S△DEH求解即可；距离，最后，依据△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，先证明△BPG≌△ABO，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可，当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可．【解答】解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上，∴x2+bx﹣＝1，解得：b＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣x+﹣）﹣＝（x﹣）2﹣（2）作CK⊥x轴，垂足为K．∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC．又∵∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠CAK＝90°．又∵∠CAK+∠ACK＝90°，∴∠BAO＝∠ACK．在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，∴△BAO≌△ACK．∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．∴A（1，0），B（0，2）．∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2＝m2﹣m﹣，解得m＝﹣3（舍去）或m＝．∴AB＝＝．+S△DEH＝×2+××＝9.5∴△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．∵△APB为等腰直角三角形，∴PB＝AB，∠PBA＝90°．∴∠PBG+∠BAO＝90°．又∵∠PBG+∠BPG＝90°，∴∠BAO＝∠BPG．在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，∴△BPG≌△ABO．∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，∴P（﹣2，1）．当x＝﹣2时，y≠1，∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．同理可知：△PAF≌△ABO，∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，∴P（﹣1，﹣1）．当x＝﹣1时，y＝﹣1，∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．4．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，即可求解；＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；（2）S四边形ADCP（3）分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×y P+×OC×|x P|﹣×CO×OD 则S＝S四边形ADCP＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；（3）存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况（△M1N1O）：设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），则点N1（，）；N2的情况（△M2N2O）：同理可得：点N2（，）；②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）；综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）由平行四边形OABC的性质求点B坐标，根据抛物线经过点B、C、D用待定系数法求解析式．（2）由OE平分∠AOC易证得∠COE＝∠AOE＝∠OEC，故有CE＝OC，求得点E坐标，进而求得直线OE解析式．求抛物线对称轴为直线x＝7，即求得点F坐标．作点E关于x轴的对称点点E'，由于点P在x轴上运动，故有PE＝PE'，所以当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小．用待定系数法求直线E'F解析式，即求得E'F与x轴交点P的坐标．（3）设AH与OE相交于点G，且G的横坐标为t，即能用t表示OG、AG的长，由AH⊥OE于点G，根据勾股定理可得AG2+OG2＝OA2，把t代入解方程即求得t的值即求得点G坐标．待定系数法求直线AG解析式，令y＝3时求x的值即为点H坐标．故可得HE＝9﹣5＝4，且点H、E关于直线x＝7对称．由于以点M，N，H，E为顶点的平行四边形中，H、E固定，以HE为平行四边形的边或对角线进行分类讨论．①以HE为边时，可得MN∥HE，且MN＝HE，故可得点M横坐标为3或11，代入抛物线解析式即求得纵坐标．②以HE为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得点M在抛物线对称轴上，求顶点即可．【解答】解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）∴BC＝OA＝6，BC∥x轴∴x B＝x C+6＝10，y B＝y C＝3，即B（10，3）设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P∵C（4，3）∴OC＝∵BC∥OA∴∠OEC＝∠AOE∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE∴CE＝OC＝5∴x E＝x C+5＝9，即E（9，3）∴直线OE解析式为y＝x∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣＝7∴F（7，）∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上∴E'（9，﹣3），PE＝PE'∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小设直线E'F解析式为y＝kx+h∴解得：∴直线E'F：y＝﹣x+21当﹣x+21＝0时，解得：x＝∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）．（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．设AH与OE相交于点G（t，t），如图2，∵AH⊥OE于点G，A（6，0）∴∠AGO＝90°∴AG2+OG2＝OA2∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62∴解得：t1＝0（舍去），t2＝∴G（，）设直线AG解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AG：y＝﹣3x+18当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5∴H（5，3）∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2，则HE∥MN，MN＝HE＝4∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上∴x M＝7+4或7﹣4，即x M＝11或3当x＝3时，y M＝﹣×9+×3﹣＝∴M（3，）或（11，）②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3则HE、MN互相平分∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点∴y M＝﹣×49+×7﹣＝4∴M（7，4）综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．【点评】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的图象与性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形性质，轴对称求最短路径，解二元一次方程，勾股定理，解一元二次方程．其中第（2）题由轴对称求最短路径和第（3）题已知平行四边形的两顶点固定、求另两个顶点位置，都是函数与几何综合题里的常考题型．6．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF＝3PE．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x＝列出关于a、c的方程组求解即可；（2）设P（3a，a），则PC＝3a，PB＝a，然后再证明∠FPC＝∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到＝，＝，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．【解答】解：（1）当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x＝，得，解得，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y＝x．∵点P是直线m上任意一点，∴设P（3a，a），则PC＝|3a|，PB＝|a|．又∵PF＝3PE，设PB＝n，PC＝3n，PE＝m，PF＝3m，则CF＝＝3，BE＝，∴＝＝＝3，∵∠PCF＝∠PBE＝90°，∴△PCF∽△PBE，∴∠FPC＝∠EPB．∵∠CPE+∠EPB＝90°，∴∠FPC+∠CPE＝90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE＝6﹣a．∵CF＝3BE＝18﹣3a，∴OF＝20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴＝，＝，∴Q x+6＝0+a，Q y+2＝20﹣3a+0，∴Q x＝a﹣6，Q y＝18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝4或a＝8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE＝a﹣6．∵CF＝3BE＝3a﹣18，∴OF＝3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴＝，＝，∴Q x+6＝0+a，Q y+2＝20﹣3a+0，∴Q x＝a﹣6，Q y＝18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝8或a＝4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式，即可求解；＝×DQ×BC，即可求解；（2）S△ACQ（3）分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，则点A（1，4）；（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，点P（1，4﹣t），则点D（，4﹣t），设点Q（，4﹣），S△ACQ＝×DQ×BC＝﹣t2+t，∵﹣＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；（3）设点P（1，m），点M（x，y），①当EC是菱形一条边时，当点M在点P右方时，点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M，则1+3＝x，m﹣3＝y，而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，解得：y＝m﹣3＝，故点M（4，）；当点M在点P左方时，同理可得：点M（﹣2，3+）；②当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，则x+1＝3，y+m＝3，而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+m2，解得：m＝1，故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，故点M（2，2）；综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．8.如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；（2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示；②设G（1，2），可得PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，分别求出Q的坐标即可；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N 作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF 为等腰直角三角形，得到MN 2=2NF 2，若四边形MNED 为正方形，得到NE 2=MN 2，求出b 的值，进而确定出MN 的长，即为正方形边长．【解答】解：（1）设y=a （x ﹣1）2+4（a ≠0），把C （0，3）代入抛物线解析式得：a +4=3，即a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4=﹣x 2+2x +3；（2）由B （3，0），C （0，3），得到直线BC 解析式为y=﹣x +3，∵S △OBC =S △QBC ，∴PQ ∥BC ，①过P 作PQ ∥BC ，交抛物线于点Q ，如图1所示，∵P （1，4），∴直线PQ 解析式为y=﹣x +5，联立得：，解得：或，即Q （2，3）；②设G （1，2），∴PG=GH=2，过H 作直线Q 2Q 3∥BC ，交x 轴于点H ，则直线Q 2Q 3解析式为y=﹣x +1，联立得：，解得：或，∴Q 2（，），Q 3（，）；（3）存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形，如图2所示，过M 作MF ∥y 轴，过N 作NF ∥x 轴，过N 作NH ∥y 轴，则有△MNF 与△NEH 都为等腰直角三角形，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设直线MN 解析式为y=﹣x +b ，联立得：，消去y 得：x 2﹣3x +b ﹣3=0，∴NF 2=|x 1﹣x 2|2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=21﹣4b ，∵△MNF 为等腰直角三角形，∴MN 2=2NF 2=42﹣8b ，∵NH 2=（b ﹣3）2，∴NF 2=（b ﹣3）2，若四边形MNED 为正方形，则有NE 2=MN 2，∴42﹣8b=（b 2﹣6b +9），整理得：b 2+10b ﹣75=0，解得：b=﹣15或b=5，∵正方形边长为MN=，∴MN=9或．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
二次函数与几何综合类存在性问题课件
03
注意答案的完整性和规 范性；
04
在解答过程中，注意逻 辑的严密性和推理的准 确性。
02
二次函数与几何综合类存在
性问题的类型
以二次函数为背景的存在性问题
总结词
这类问题主要考察二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，以及这些 性质在几何图形中的应用。
详细描述
这类问题通常会给出二次函数的一般形式，如$f(x) = ax^2 + bx + c$，然后要 求求解满足某些条件的点或线。例如，求函数$f(x) = x^2 - 2x$在$x$轴上的交 点，或求函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴等。
3. 将代数结果和几何结果相互印证，得出最终结论。
04
二次函数与几何综合类存在
性问题的实例分析
实例一
总结词
利用抛物线的性质和点到直线距离公式，求出最小值。
详细描述
设抛物线方程为 $y = ax^2 + bx + c$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将抛线上的点 $(x, y)$ 到直线的距离表示为 $d = frac{|ax^2 + bx + c - mx - n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用抛物线的 性质和极值定理，求出 $d$ 的最小值。
实例三
总结词
利用双曲线的性质和点到直线距离公 式，求出最小值。
详细描述
设双曲线方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将双曲线上的点 $(x, y)$ 到直线的 距离表示为 $d = frac{|mx - y + n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用双曲线的性质和极值定理 ，求出 $d$ 的最小值。
二次函数中特殊四边形存在性问题专题训练
二次函数中特殊四边形存在性问题专题训练1、如图，已知抛物线243y x x =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，•抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（1-，0）．（1）、求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）、在平面直角坐标系xoy 中是否存在点P ，与A 、B 、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；2、如图，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为D(−1,−4),与y 轴交于点C(0,−3)，与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧)。
(1)、求抛物线的解析式；(2)、连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；(3)、若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由。
3、如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC（1）、点G是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线BC于点E，作GF⊥BC于点F，点M、N是线段BC上两个动点，且MN＝EF，连接DM、GN．当△GEF的周长最大时，求DM+MN+NG的最小值；（2）、如图2，连接BD，点P是线段BD的中点，点Q是线段BC上一动点，连接DQ，将△DPQ沿PQ翻折，且线段D′P的中点恰好落在线段BQ上，将△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△A′OC′，点T为坐标平面内一点，当以点Q、A′、C′、T为顶点的四边形是平行四边形时，求点T的坐标．4、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3）．（1）、求抛物线的解析式；（2）、如图1，点E是抛物线上（x轴下方）的一个动点，过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，试判断在点E运动过程中，以点O，B，E，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．（3）、如图2，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM交x轴于点M，当点E在抛物线上B，D之间运动时，连接EA交DM于点N，连接BE并延长交DM于点P，猜想在点E的运动过程中，MN+MP的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．5、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）、求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）、P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）、点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）、求抛物线的解析式；（2）、若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△MAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）、若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．7、如图，抛物线与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．322++-=x x y8、如图，已知二次函数y =-x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A （-4，0）和点B ，交y 轴于点C （0，4）．（1）、求这个二次函数的表达式；（2）、若点P 在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP 面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）、在平面直角坐标系内，是否存在点Q ，使A ，B ，C ，Q 四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．9、在平面直角坐标系中，抛物线2+3y ax bx =+与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点，D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 和点D 关于x 轴对称,点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.10、如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）．（1）、求抛物线解析式及顶点坐标；（2）、设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①、当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②、是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．()0≠a11、如图，在平面直角坐标系xOy中．抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）、点A的坐标为抛物线的对称轴为（2）、经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．且AD＝5AC．①、求直线l的函数表达式（其中k、b用含m的式子表示）；②、设P是抛物线的对称轴上的一点．点Q在抛物线上．以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点p的坐标，若不能，请说明理由．12、如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1)、求l2的解析式；(2) 、求证：点D一定在l2上；(3) 、□ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值13、将抛物线c1：2y=+x轴翻折，得到抛物线c2，如图所示．（1）、请直接写出抛物线c2的表达式；（2）、现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①、当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②、在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．14、已知：二次函数y = x 2 + bx + 8的图象与x轴交于点A（– 2，0）．（1）、求二次函数y = x 2 + bx + 8的图象与x轴的另一个交点B及顶点M的坐标；（2）、点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿水平方向向右运动，同时点Q从点M出发，以每秒2个单位的速度沿竖直方向向下运动，当点P运动到原点O时，P、Q同时停止运动. 点C、点D分别为点P、点Q关于原点的对称点，设四边形PQCD的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系表达式（不必写出t的取值范围）；（3）、在（2）的运动过程中，四边形PQCD能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.15、已知：抛物线1C：622-+-=bxxy与抛物线2C关于原点对称，抛物线1C与x轴分别交于A（1,0），B（m,0）,顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N．（1）、求m的值；（2）、求抛物线2C的解析式；（3）、若抛物线1C与抛物线2C同时以每秒1个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动，此时记A，B，C，D，M，N在某一时刻的新位置分别为'''''',,,,,NMDCBA，当点'A与点'D重合时运动停止．在运动过程中，四边形''''NCMB能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t（秒）的值，若不能，说明理由．。
中考数学复习考点知识讲解与练习27 二次函数-存在性问题
中考数学复习考点知识讲解与练习 专题27 二次函数-存在性问题存在性问题是判断事物是否存在的问题，其知识点较广，综合性强，解题方法较灵活，对学生解决问题能力要求高，中考题中往往出现在压轴题中，其解题的一般思路是：假设存在--推理论证--得出结论---合理就存在在，反之不存在。
存在性的问题有点、面、线段、图形的存在等等。
解题方法多以设参数--表示点坐标--表示线段长--表示面积---建立方程等方法解决问题。
1．如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．2．如图,二次函数 2 2y ax bx =++经过点()1,0A -和点()4,0B ,与y 轴交于点C ．()1求抛物线的解析式;()2D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D ,使若存在23ABC ABD S S ∆∆=,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数283y ax x c =++的图像与y 轴交于点B (0，4)，与x 轴交于点A (－1，0)和点D ． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点和点D 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△BOP 的面积等于52？如果存在，请求出点P 的坐标？如果不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知BAC ∆的面积是6．（1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使ABP ABC S S ∆∆=．存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB OC <）是方程210160x x -+=的两个根，且A 点坐标为(60)-，． （1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE . 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．6．关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根.()1求k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数？若存在，求k ；若不存在，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.8．如图是二次函数()2y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．（1）直接写出m 、k 的值；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于,A D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是()2,0，B 点坐标是()8,6． （1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得CBD ∆的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标，若C 点不存在，请说明理由．10．如图是二次函数c bx x y ++=2的图象，其顶点坐标为M （1，－4）． （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；11．如图，二次函数y＝﹣14x2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．（1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO平分∠BAC；（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P使得AP＝BP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（本题满分10分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与轴的交点A，B的坐标；（2）（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；13．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积． （3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.14．如图，二次函数2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于c 顶点，已知(1,0)A ，(0,3)C -.（1）求此二次函数的解析式及B 点坐标.（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出P 的坐标.（3）根据图象直接写出33x -<<时，y 的取值范围.15．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴相交于C D 、两点（点C 在点D 的左边），与y 轴交于点B ，点A 在二次函数的图像上，且AB ∥x 轴．问线段BC 上是否存在点P ，使△POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知二次函数：2(21)2(0)y ax a x a =+++<． （1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使75PCA ︒∠=？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．17．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过坐标原点，与x 轴的另一个交点为A (－2，0)．（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线上是否存在一点P ，使△AOP 的面积为3，若存在请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．18．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （3，0），B （2，﹣3），并且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式； （2）作出二次函数的大致图象；（3）在对称轴x=1上是否存在一点P ，使△PAB 中PA=PB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．19．如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于AB 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）写出AB 、两点的坐标；（2）二次函数()22:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ．①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．20．如图，已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点． （1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan ∠ABQ ＝3，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得△QBP ∽△COA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝12x 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得△CBD 的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标；若C 点不存在，请说明理由．22．已知：如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，0）和C （0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，求线段AB 的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P ，使△ABP 的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数22y x 2mx m 1=-+-.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．24．如图，二次函数214y x bx c =-++的图象经过点()4,0A ，()4,4B --，且与y 轴交于点C ．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．25．如图，二次函数24y ax x c =-+的图象经过坐标原点，与x 轴交于点()4,0A -．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P ，满足6AOP S =，试求出点P 的坐标．26．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()2,0且与直线334y x =-+相交于B 、C 两点，点B 在x 轴上，点C 在y 轴上．()1求二次函数的解析式．()2如果(),P x y 是线段BC 上的动点，O 为坐标原点，试求POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． ()3是否存在这样的点P ，使PO AO =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象过点E （2，3），对称轴为1x =，它的图象与x 轴交于两点（1x ，0），B （2x ，0），且12x x <，221210x x +=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知二次函数y ＝﹣x 2+x +m ．（1）如图，二次函数的图象过点A （3，0），与y 轴交于点B ，求直线AB 和二次函数图象的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与A ，B 两点重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点D ，是否存在一点P 使线段PD 的长有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．29．下图是二次函数2()y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．()1求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；()2在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； ()3将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线(1)y x b b =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．30．如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B ．(1)求m 的值与一次函数的解析式；(2)抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △ABC ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．31．二次函数2y ax bx c =++过()1,0A -、()3,0B 两点，与y 轴正半轴交于C ，OC OB =（1）求二次函数解析式；（2）抛物线对称轴上是否存在点D ，使得三角形ACD 为等腰三角形，若存在，直接写出D 坐标，若不存在，请说明理由．（3）在直线BC 上方的抛物线上有点P ，作PQ BC ⊥于点Q ，求PQ 最大值．32．如图，二次函数与一次函数交于顶点(4,1)A --和点(2,3)B -两点，一次函数与y 轴交于点C .（1）求二次函数1y 和一次函数2y 的解析式；（2）y 轴上存在点P 使PAB ∆的面积为9，求点P 的坐标.33．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．34．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(1，0)，B(0，3)，(1)求该函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由．。
《二次函数专题提优》：特殊三角形存在性问题
《二次函数专题提优》：特殊三角形存在性问题（一）、直角三角形存在性问题：1、在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y =ax 2+bx +2过点A （-2，0），B （2，2），与y 轴交于点C ． （1）、求抛物线y =ax 2+bx +2的函数表达式；（2）、若点D 在抛物线y =ax 2+bx +2的对称轴上，求△ACD 的周长的最小值；（3）、在抛物线y =ax 2+bx +2的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是直角三角形？若存在直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．2、如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y ＝﹣94x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． （1）、求抛物线的函数解析式；（2）、点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ．①、求S 关于m 的函数表达式； ②、当S 最大时，在抛物线y ＝﹣94x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形， 请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图所示，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （21，25）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）、求抛物线的解析式；（2）、是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）、求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．4、如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线2x 41y 交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2． （1）、求这条直线的函数关系式及点B 的坐标；（2）、在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）、过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？（二）、等腰三角形存在性问题：5、如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）、求抛物线的解析式；（2）、已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）、将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．6、如图所示，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）、求抛物线的函数表达式；（2）、在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）、在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）、求抛物线的函数表达式；（2）、在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）、在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8、已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）、求抛物线的函数关系式；（2）、设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）、在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图1，抛物线与4x 31x 31-y 2++=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ， 连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）、如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +1010CQ 的最小值； （2）、将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =√33x 2-2√33x -√3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上． （1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM+MN+NK 的最小值； （3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线y =√33x 2-2√33x -√3沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ．在新抛物线y ′的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知二次函数y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＜0）的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）、①线段BC的长为；②点A的坐标为（用a的代数式表示）．（2）、设M是抛物线的对称轴上的一点，以点A、C、M为顶点的三角形能否成为以AC为斜边且有一个锐角是30°的直角三角形？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．（3）、若a＝﹣，点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？（三）、等腰直角三角形的存在性问题：11、如图,抛物线bxaxy+=2经过A(4,0),B(1,3)两点，点B. C关于抛物线的对称轴l对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)、求抛物线的解析式；(2)、若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形?若存在，请求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由。
中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213222y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)写出点A 、B 、C 的坐标；(2)过动点(0,)H m 作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数213222y x x =-++的图象相交于点D ，E ．①若0m >，以DE 为直径作Q ，当Q 与x 轴相切时，求m 的值；①直线l 上是否存在一点F ，使得ACF △是等腰直角三角形？若存在，请直接写出．．．．m 的值：若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B 与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的表达式．(2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标．(3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x -，且经过1,0A ，()0,3C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线y mx n =+经过B ，C 两点，求直线BC 的函数表达式；(3)在抛物线的对称轴=1x -上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标； (4)设点P 为抛物线的对称轴=1x -上的一个动点，求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标． 4．已知：如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交线段AB 、x 轴于点D 、E ．设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长；①连接PA 、PB ，是否存在点P ，使得BPA △的面积最大？若存在，请求出BPA △的最大面积；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点P 为x 轴上方抛物线上的一个的动点，点F 为y 轴上的动点，是否存在这样的点P 和点F ，使得以BP 为腰的等腰直角PBF △？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,02,0A B -，两点，与y 轴交于点C ，直线y x m =+经过点B ，与y 轴交于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)将BOD 在直线DB 上平移，平移后的三角形记为PMN ，直线MP 交抛物线于Q ，当1PQ =时，求点P 的坐标．6．如图，二次函数2142y x bx =+-的图象与x 轴相交于点()2,0A -，B ，其顶点是C ．(1)b =______；(2)若点D 是第三象限抛物线上的一点，连接BD ，且1tan 2OBD ∠=．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(),0k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知PCQ △是直角三角形，求点P 的坐标．7．在平面直角坐标系中，抛物线212C y mx x =++：和222C y nx x =++：的开口都向下1C ，2C 与y 轴相交于点A ，过点A 作x 轴的平行线与1C 相交于点B ，与2C 相交于点C ，点C 在线段AB 上（点C 不与点B 重合）．(1)点A 的坐标是________；(2)如图，抛物线1C 的顶点为P ，AC 的中点为Q ．若12m =-，45PQB ∠=︒求n 的值；(3)直线1x =与1C 相交于点D ，与2C 相交于点E ，当四边形CDBE 是轴对称图形时，求n 关于m 的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围．8．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于两点(10)A -，和(40)B ，，与y 轴交于点C ，连接AC BC ，．(1)求抛物线的解析式；(2)N 是抛物线对称轴上一点，当三角形BCN 为等腰三角形时，求N 点的坐标．(3)点D 是ABC 边上一点，连接OD ，将线段OD 以O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，得到线段OE ，若点E 落在抛物线上，求出此时点E 的坐标；(4)点M 在线段AB 上（与A ，B 不重合），点N 在线段BC 上（与B ，C 不重合），是否存在以C ，M ，N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线23y ax bx =++经过()2,0A -，()4,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y 轴上是否存在点M ，使ACM △为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点(),0P t 为线段AB 上一动点（不与,A B 重合），过P 作y 轴的平行线，记该直线右侧与ABC 围成的图形面积为S ，试确定S 与t 的函数关系式．10．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为()3,0，与y 轴交于点()0,3C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)连接AC ，BC ，求ACB ∠的正切值；(3)点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD △与CAB △相似时，求点P 的坐标．11．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG 的内心为I ，连接AI 、OI ，请直接写出AIO ∠的度数和CI 长度的最小值．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A 、B ，交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．(1)顶点D 的坐标为 ；(2)过点C 作CF x ∥轴交抛物线于点F ，点P 在抛物线上PCF ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)点G 是一次函数y x =-图像上一点，点Q 是抛物线2=23y x x --上一点，BGQ 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q 的横坐标为 ．13．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0B ，与y 轴交于点C ，点E 在直线BC 上，过点E 作ED x ⊥轴于点()1,0D ，将BDE △沿DE 所在直线翻折，使点B 恰好落在抛物线上的点A 处．(1)求抛物线的解析式； (2)连接AC ，求ACE △的面积；(3)抛物线上是否存在一点P ，使CBA PAB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 14．综合与探究如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2338y x bx =-++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，点A 的坐标为()20-，，抛物线上有一动点P ，点P 在第一象限，过点P 作y 轴的平行线分别交x 轴和直线BC 于点D 和点E ．(1)求抛物线及直线BC 的函数关系式； (2)当点E 为线段DP 的中点时，求点E 的坐标；(3)如图2，作射线OP ，交直线BC 于点F ，当OBF 是等腰三角形时，求点F 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象经过点()()()104002A B C -，，，，，，点D 是点C 关于原点的对称点，连接BD ，点E 是x 轴上的一个动点，设点E 的坐标为()0m ，，过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ，当四边形CDQP 是平行四边形时，求m 的值； (3)是否存在点P ，使BDP △是不以BD 为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(4,0)，(1,0)-和()0,2 (2)①2912m =-；①存在，m 的值为4-，-2，-1或32．(1)22y x x =-++ (2)()1,2(3)存在，点Q 的坐标为1010,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或(1,1)3．(1)223y x x =--+ (2)BC 的函数表达式为3y x(3)()1,2M -(4)P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭4．(1)21262y x x =-++；(2)①2132PD m m =-+，①存在，最大值为272；(3)存在，()0,6P 或()4,6或321,321或 113,1135．(1)22y x x =-++ (2)()1,1或()1,1--或()3,3或()3,3--6．(1)1- (2)3k ≤-(3)53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．(1)()0,2 (2)1n =-(3)当直线CB 是对称轴时()210n m m =---<<；当直线DE 是对称轴时111212n m m ⎛⎫=--<<- ⎪+⎝⎭；当BFE ∠的平分线所在直线为对称轴时()110n m m=-<<8．(1)213222y x x =-++(2)符合条件的N 点的坐标为23255⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32552⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或302⎛⎫⎪⎝⎭，； (3)141212 00E ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，或()202E ，； (4)点N 的坐标为：(21)，或4855⎛⎫ ⎪⎝⎭，或52 34⎛⎫⎪⎝⎭，．9．(1)233384y x x =-++(2)符合条件的点M 的坐标有：50,6⎛⎫⎪⎝⎭()0,313+ ()0,3- ()0,313-(3)22336(04)8336(20)4t t t S t t t ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪--+-<<⎪⎩10．(1)243y x x =-+ ()2,1D - (2)12(3)(22)，或12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)223y x x =-++(2)点P 坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()0,1或()0,3或70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PAM △为直角三角形(3)135AIO ∠=︒，CI 最小值为310322-12．(1)(1,4)-；(2)532(,)39P -或720(,)39-；(3)103(1,)22--或315(,)24-或103(1,)22+-．13．(1)2142y x x =-- (2)3(3)()6,8或()2,4-14．(1)抛物线解析式为233384y x x =-++；直线BC 的解析式为334y x =-+(2)点E 的坐标为322⎛⎫⎪⎝⎭，(3)41255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或322⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．(1)213222y x x =-++(2)2(3)()10-，或()818-，或()32，。
中考数学压轴17专题——二次函数与特殊四边形存在性问题
中考数学压轴17专题——二次函数与特殊四边形存在性问题
专题01 线段周长面积最大值
专题02 将军饮马求最小值1-对称
专题03 将军饮马求最小值2-平移
专题04 胡不归求最小值
专题05 阿氏圆求最小值
专题06 费马点求最小值
专题07 线段之差最值问题
专题08 存在性-等腰三角形
专题09 存在性-直角三角形
专题10 存在性-等边三角形
专题11 存在性-等腰直角三角形
专题12 存在性-相似三角形
专题13 存在性-面积等量问题
专题14 存在性-平行四边形
专题15 存在性-矩形
专题16 存在性-菱形
专题17 存在性-正方形。
挑战2023年中考数学压轴题专题04 二次函数与相似问题-(含答案解析)
专题4二次函数与相似问题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。
相似三角形常见的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据,一般分三步：寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验．如果已知∠A＝∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分和两种情况列方程．应用判定定理“两角法”解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理“三边法”解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．【例1】（2022•贵港）如图,已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0,3）和B（,﹣）两点,直线AB与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；（3）若以A,P,D为顶点的三角形与△AOC相似,请直接写出所有满足条件的点P,点D的坐标．【例2】．（2022•衡阳）如图,已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点,将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图象W”,图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点,请结合图象,直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点,过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使△CMN与△OBC相似？若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【例3】．（2022•桂林）如图,抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于C点,抛物线的对称轴l与x轴交于点N,长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A,B,C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M,当△CPM和△QBN相似时,求点Q的坐标．【例4】（2022•玉林）如图,已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A,B（2,0）（A在B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴是直线x＝,P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点,则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M,垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与△BMH相似,求点P的坐标．1．（2020秋•兴城市期末）如图,抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4,0）,B（﹣1,0）两点,与y轴交于点C,D为第一象限抛物线上的动点,连接AC,BC,DA,DB,DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,设△ADE的面积为S1,△BCE的面积为S2,当S1＝S2+5时,求点D的坐标；（3）如图2,过点C作CF∥x轴,点M是直线CF上的一点,MN⊥CF交抛物线于点N,是否存在以C,M,N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）．（1）求A,B两点的坐标；（2）如图1,若点D是抛物线上在第四象限的点,连接DA并延长,交y轴于点P,过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2,抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点,过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M,N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q,A,M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．3．（2020秋•长垣市期末）如图1,抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6,0）和点C（0,﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点,其横坐标为m,连接PB、PC,当△PBC的面积为时,求m值；（3）如图2,点M是线段OB上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D,E两点,是否存在以C,D,E为顶点的三角形与△BDM相似,若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．4．（2021秋•邹城市期末）如图,已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A,直线y＝x+2与抛物线交于B,C两点．（1）求A,B,C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D,求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点,使以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出这样的P点坐标；若不存在,请说明理由．5．（2021秋•攸县期末）如图,已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQ﹣BQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在,求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．6．（2022•禹城市模拟）如图,抛物线经过A（4,0）,B（1,0）,C（0,﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC,直接写出点D 的坐标．7．（2022•祥云县模拟）如图,已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1,0）,B（3,0）,交y轴于点C（0,3）,点M 是该抛物线上第一象限内的一个动点,ME垂直x轴于点E,交线段BC于点D,MN∥x轴,交y轴于点N．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若四边形MNOE是正方形,求该正方形的边长；（3）连结OD,AC,抛物线上是否存在点M,使得以C,O,D为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,请求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．8．（2022•松江区校级模拟）如图,抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3,0）,C（0,﹣3）,D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接BC,CD,DB,求∠CBD的正切值；（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点,连接BE,直线BE与对称轴交于点M,在（2）的条件下,点P是抛物线对称轴上的一点,是否存在点P使△CDB和△BMP相似,若存在,求点P坐标,若不存在,请说明理由．9．（2022•平江县一模）如图,抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣2,0）和点B（8,0）,与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点,连接PB,PC,设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC和S△AOC,记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC,求S最大值点P的坐标及S的最大值；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求点M的坐标；若不存在,请说明理由．10．（2022•莱州市一模）如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y＝x2+c经过点A（4,3）,顶点为点B,点P 为抛物线上的一个动点,l是过点（0,﹣2）且垂直于y轴的直线,连接PO．（1）求抛物线的表达式,并求出顶点B的坐标；（2）试证明：经过点O的⊙P与直线l相切；（3）如图②,已知点C的坐标为（1,2）,是否存在点P,使得以点P,O及（2）中的切点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．11．（2022•巩义市模拟）已知,二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）,与y轴交于C点,点A的坐标为（﹣1,0）,且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4 时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P,使△PCC'与△POB相似,且PC与PO是对应边？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．12．（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中,抛物线经过点A（﹣2,0）,B（﹣3,3）及原点O,顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中,当﹣3＜t＜0时,求△PBO的面积S与t的函数关系式,并求S的最大值；②在图2中,若点P在该抛物线上,点E在该抛物线的对称轴上,且以A,O,P,E为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标；③在图3中,若P是y轴左侧该抛物线上的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P使得以点P,M,A 为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．13．（2022•丰南区二模）如图①、②,在平面直角坐标系中,一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合,现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点）,按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．（1）直接写出C′的坐标,并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；（2）点P在第四象限的抛物线上,求△C′OP的最大面积；（3）如图③,⊙G是以AB为直径的圆,过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F,抛物线上是否存在一点M,使得△BOF与△AOM相似？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．14．（2022•莱芜区三模）如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A和点C（0,﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1,平移线段AC,点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上,点C的对应点E落在直线AB 上,直接写出四边形ACED的形状,并求出此时点D的坐标；（3）如图2,在（2）的条件下,连接CD,交x轴于点M,点P为直线CD下方抛物线上一个动点,过点P作PF ⊥x轴,交CD于点F,连接PC,是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与△COM相似？若存在,求出线段FP的长度；若不存在,请说明理由．15．（2022•临清市三模）如图,抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D坐标为（1,4）,且与x轴相交于A,B两点（点A 在点B的左侧,与y轴相交于点C,点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动,点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称,作矩形EFGH,其中点G,H都在x轴上．（1）求抛物线解析式；（2）设点F横坐标为m,①用含有m的代数式表示点E的横坐标为（直接填空）；②当矩形EFGH为正方形时,求点G的坐标；③连接AD,当EG与AD垂直时,求点G的坐标；（3）过顶点D作DM⊥x轴于点M,过点F作FP⊥AD于点P,直接写出△DFP与△DAM相似时,点F的坐标．16．（2022•成都模拟）如图①,已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k交x轴于A,B两点,交y轴于点C,P是抛物线上的动点,且满足OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限,直线y＝x+b经过点P且与直线BC交于点E,设点P的横坐标为t,当线段PE的长度随着t的增大而减小时,求t的取值范围；（3）如图②,过点A作BC的平行线m,与抛物线交于另一点D．点P在直线m上方,点Q在线段AD上,若△CPQ与△AOC相似,且点P与点O是对应点,求点P的坐标．17．（2022•东莞市校级一模）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A,右交点为B,与y轴的交点为C,对称轴为直线l,对于抛物线上的两点（x1,y1）,（x2,y2）（x1＜k＜x2）,当x1+x2＝2时,y1﹣y2＝0恒成立．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点,过点M作MN⊥AC于点N,求线段MN的最大值,并求出此时点M的坐标；（3）点P是直线l右侧抛物线上的一点,PQ⊥l于点Q,AP交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PQF与△ACO相似？若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．18．（2022•碑林区校级模拟）如图,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝8,AC＝4,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,若C（0,2）．（1）请直接写出A、B的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）l为抛物线对称轴,P是直线l右侧抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等,求满足条件的点P,点E的坐标．【例1】（2022•贵港）如图,已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0,3）和B（,﹣）两点,直线AB 与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；（3）若以A,P,D为顶点的三角形与△AOC相似,请直接写出所有满足条件的点P,点D的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法,即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标,然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC,再由二次函数的最值性质,求出答案；（3）根据题意,可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别求出两种情况的点的坐标,即可得到答案．【解析】（1）将A（0,3）和B（,﹣）代入y＝﹣x2+bx+c,,解得,∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n,把A（0,3）和B（,﹣）代入, ,解得,∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3,当y＝0时,﹣x+3＝0,解得：x＝2,∴C点坐标为（2,0）,∵PD⊥x轴,PE∥x轴,∴∠ACO＝∠DEP,∴Rt△DPE∽Rt△AOC,∴,∴PE＝PD,∴PD+PE＝PD,设点P的坐标为（a,﹣a2+2a+3）,则D点坐标为（a,﹣a+3）,∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+,∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+,∵﹣＜0,∴当a＝时,PD+PE有最大值为；（3）①当△AOC∽△APD时,∵PD⊥x轴,∠DP A＝90°,∴点P纵坐标是3,横坐标x＞0,即﹣x2+2x+3＝3,解得x＝2,∴点D的坐标为（2,0）；∵PD⊥x轴,∴点P的横坐标为2,∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3,∴点P的坐标为（2,3）,点D的坐标为（2,0）；②当△AOC∽△DAP时,此时∠APG＝∠ACO,过点A作AG⊥PD于点G,∴△APG∽△ACO,∴,设点P的坐标为（m,﹣m2+2m+3）,则D点坐标为（m,﹣m+3）,则,解得：m＝,∴D点坐标为（,1）,P点坐标为（,）,综上,点P的坐标为（2,3）,点D的坐标为（2,0）或P点坐标为（,）,D点坐标为（,1）．【例2】（2022•衡阳）如图,已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点,将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图象W”,图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点,请结合图象,直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点,过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使△CMN与△OBC相似？若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0,2）,令y＝0可得点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出图象W的解析式；（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时,直线y＝﹣x+b 与新图象恰好有三个不同的交点,①当直线y＝﹣x+b经过点C（0,2）时,利用一次函数图象上点的坐标特征,即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时,联立一次函数解析式和抛物线解析式,利用根的判别式Δ＝0,即可求出b值．综上即可得出结论；（3）先确定△BOC是等腰直角三角形,分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°,分别画图可得结论．【解析】（1）当x＝0时,y＝﹣2,∴C（0,2）,当y＝0时,x2﹣x﹣2＝0,（x﹣2）（x+1）＝0,∴x1＝2,x2＝﹣1,∴A（﹣1,0）,B（2,0）,设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2）,把C（0,2）代入得：﹣2a＝2,∴a＝﹣1,∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2,∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时,存在两种情况：①当直线y＝﹣x+b过点C时,与图象W有三个交点,此时b＝2；②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时,如图1,﹣x+b＝﹣x2+x+2,x2﹣2x+b﹣2＝0,Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0,∴b＝3,综上,b的值是2或3；（3）∵OB＝OC＝2,∠BOC＝90°,∴△BOC是等腰直角三角形,如图2,CN∥OB,△CNM∽△BOC,∵PN∥y轴,∴P（1,0）；如图3,CN∥OB,△CNM∽△BOC,当y＝2时,x2﹣x﹣2＝2,x2﹣x﹣4＝0,∴x1＝,x2＝,∴P（,0）；如图4,当∠MCN＝90°时,△OBC∽△CMN,∴CN的解析式为：y＝x+2,∴x+2＝x2﹣x﹣2,∴x1＝1+,x2＝1﹣（舍）,∴P（1+,0）,综上,点P的坐标为（1,0）或（,0）或（1+,0）．【例3】（2022•桂林）如图,抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于C点,抛物线的对称轴l与x轴交于点N,长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A,B,C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M,当△CPM和△QBN相似时,求点Q的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1,0）,B（4,0）,C（0,4）；（2）将C（0,4）向下平移至C',使CC'＝PQ,连接BC'交抛物线的对称轴l于Q,可知四边形CC'QP 是平行四边形,及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ,而B,Q,C'共线,故此时CP+PQ+BQ最小,最小值为BC'+PQ的值,由勾股定理可得BC'＝5,即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝,设Q（,t）,则P（,t+1）,M（0,t+1）,N （,0）,知BN＝,QN＝t,PM＝,CM＝|t﹣3|,①当＝时,＝,可解得Q（,）或（,）；②当＝时,＝,得Q（,）．【解析】（1）在y＝﹣x2+3x+4中,令x＝0得y＝4,令y＝0得x＝﹣1或x＝4,∴A（﹣1,0）,B（4,0）,C（0,4）；（2）将C（0,4）向下平移至C',使CC'＝PQ,连接BC'交抛物线的对称轴l于Q,如图：∵CC'＝PQ,CC'∥PQ,∴四边形CC'QP是平行四边形,∴CP＝C'Q,∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ,∵B,Q,C'共线,∴此时CP+PQ+BQ最小,最小值为BC'+PQ的值,∵C（0,4）,CC'＝PQ＝1,∴C'（0,3）,∵B（4,0）,∴BC'＝＝5,∴BC'+PQ＝5+1＝6,∴CP+PQ+BQ最小值为6；（3）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝,设Q（,t）,则P（,t+1）,M（0,t+1）,N（,0）,∵B（4,0）,C（0,4）；∴BN＝,QN＝t,PM＝,CM＝|t﹣3|,∵∠CMP＝∠QNB＝90°,∴△CPM和△QBN相似,只需＝或＝,①当＝时,＝,解得t＝或t＝,∴Q（,）或（,）；②当＝时,＝,解得t＝或t＝（舍去）,∴Q（,）,综上所述,Q的坐标是（,）或（,）或（,）．【例4】（2022•玉林）如图,已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A,B（2,0）（A在B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴是直线x＝,P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点,则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M,垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与△BMH 相似,求点P的坐标．【分析】（1）把点B（2,0）代入y＝﹣2x2+bx+c中,再由对称轴是直线x＝列方程,两个方程组成方程组可解答；（2）当△POD是等边三角形时,点P在OD的垂直平分线上,所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P,计算OD≠PD,可知△POD不可能是等边三角形；（3）分种情况：①当PC∥x轴时,△CPM∽△BHM时,根据PH的长列方程可解答；②②如图3,△PCM∽△BHM,过点P作PE⊥y轴于E,证明△PEC∽△COB,可得结论．【解析】（1）由题意得：,解得：,∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）△POD不可能是等边三角形,理由如下：如图1,取OD的中点E,过点E作EP∥x轴,交抛物线于点P,连接PD,PO,∵C（0,4）,D是OD的中点,∴E（0,1）,当y＝1时,﹣2x2+2x+4＝1,2x2﹣2x﹣3＝0,解得：x1＝,x2＝（舍）,∴P（,1）,∴OD≠PD,∴△POD不可能是等边三角形；（3）设点P的坐标为（t,﹣2t2+2t+4）,则OH＝t,BH＝2﹣t,分两种情况：①如图2,△CMP∽△BMH,∴∠PCM＝∠OBC,∠BHM＝∠CPM＝90°,∴tan∠OBC＝tan∠PCM,∴＝＝＝＝2,∴PM＝2PC＝2t,MH＝2BH＝2（2﹣t）,∵PH＝PM+MH,∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4,解得：t1＝0,t2＝1,∴P（1,4）；②如图3,△PCM∽△BHM,则∠PCM＝∠BHM＝90°,过点P作PE⊥y轴于E,∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°,∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°,∴∠BCO＝∠EPC,∴△PEC∽△COB,∴＝,∴＝,解得：t1＝0（舍）,t2＝,∴P（,）；综上,点P的坐标为（1,4）或（,）．1．（2020秋•兴城市期末）如图,抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4,0）,B（﹣1,0）两点,与y轴交于点C,D为第一象限抛物线上的动点,连接AC,BC,DA,DB,DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,设△ADE的面积为S1,△BCE的面积为S2,当S1＝S2+5时,求点D的坐标；（3）如图2,过点C作CF∥x轴,点M是直线CF上的一点,MN⊥CF交抛物线于点N,是否存在以C,M,N 为顶点的三角形与△BCO相似？若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A（4,0）,B（﹣1,0）代入y＝ax2+bx+4,解方程组即可求得答案；（2）根据题意,当S1＝S2+5,即S△ABD＝S△ABC+5,设D（x,y）,表示出△ABD和△ABC的面积,列方程求解即可；（3）分情况讨论,列出三角形相似的三种情况,画出相应图形,设M（m,4）,则N（m,﹣m2+3m+4）,运用相似三角形性质,建立方程求解即可．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4,0）,B（﹣1,0）两点,∴,解得：,∴y＝﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C,令x＝0,则y＝4,∴C（0,4）,∵S1＝S2+5,∴S1+S△AEB＝S2+S△AEB+5,即S△ABD＝S△ABC+5,∵A（4,0）,B（﹣1,0）,∴AB＝5,设D（x,y）,∴×5×y＝×5×4+5,∴y＝6,∴﹣x2+3x+4＝6,解得：x1＝1,x2＝2,∴D1（1,6）,D2（2,6）；（3）设M（m,4）,则N（m,﹣m2+3m+4）,①如图2,△BOC∽△NMC,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝,经检验,m＝是原方程的解,∴M（,4）；②如图3,△BOC∽△CMN,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝﹣1,经检验,m＝﹣1是原方程的解,∴M（﹣1,4）；③如图4,△BOC∽△NMC,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝,经检验,m＝是原方程的解,∴M（,4）；④如图5,△BOC∽△CMN,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝7,经检验,m＝7是原方程的解,∴M（7,4）；综上所述,点M的坐标为（,4）或（﹣1,4）或（,4）或（7,4）．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）．（1）求A,B两点的坐标；（2）如图1,若点D是抛物线上在第四象限的点,连接DA并延长,交y轴于点P,过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2,抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点,过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M,N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q,A,M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）在抛物线解析式中,令y＝0则可求得A、B的坐标；（2）证明△AOP∽△AED,根据相似三角形面积的比等于对应边的比的平方列比例式可得AE＝2,从而得点D的横坐标为3,代入抛物线的解析式可得点D的坐标；（3）如图2所示,若以Q,A,M为顶点的三角形与△QNA相似,有两种情况,但是∠QAM与∠QAN不可能相等,所以最后只存在一种情况：△AQM∽△NQA,列比例式可得结论．【解析】（1）当y＝0时,x2﹣3x+＝0,解得：x1＝1,x2＝5,∴A（1,0）,B（5,0）；（2）∵DE⊥x轴,∴∠AED＝90°,∴∠AOP＝∠AED＝90°,∵∠OAP＝∠DAE,∴△AOP∽△AED,∴＝＝,∴＝,∵OA＝1,∴AE＝2,∴OE＝3,当x＝3时,y＝﹣3×3+＝﹣2,∴D（3,﹣2）；（3）如图2,设Q（0,m）,当x＝0时,y＝,∴F（0,）,∵点Q是线段OF上的动点,∴0≤m≤,当y＝m时,x2﹣3x+＝m,x2﹣6x+5﹣2m＝0,x＝3,∴x1＝3+,x2＝3﹣,∴QM＝3﹣,QN＝3+,在Rt△AOQ中,由勾股定理得：AQ＝,∵∠AQM＝∠AQN,∴当△AQM和△AQN相似只存在一种情况：△AQM∽△NQA,∴,∴AQ2＝NQ•QM,即1+m2＝（3+）（3﹣）,解得：m1＝﹣1+,m2＝﹣1﹣（舍）,∴Q（0,﹣1+）．3．（2020秋•长垣市期末）如图1,抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6,0）和点C（0,﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点,其横坐标为m,连接PB、PC,当△PBC的面积为时,求m值；（3）如图2,点M是线段OB上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D,E 两点,是否存在以C,D,E为顶点的三角形与△BDM相似,若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点,其横坐标为m,表示PH的长,根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°,进而分两种情况讨论即可得出结论．【解析】（1）把点B（6,0）和点C（0,﹣3）代入得：,解得：,∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+n,由点B（6,0）和C（0,﹣3）得：,解得：,∴直线BC的解析式为,如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点H,∵点P的坐标为（m,）,PH∥y轴,∴点H的坐标为（m,）,∴PH＝y H﹣y P＝﹣（）＝﹣,x B﹣x C＝6﹣0＝6,∵S△PBC＝PH×6＝（﹣）×6＝﹣＝,解得：m1＝1,m2＝5,∴m值为1或5；（3）如图2,∵∠CDE＝∠BDM,△CDE与△BDM相似,∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°,设M（x,0）,①当∠CED＝∠BDM＝90°,∴CE∥AB,∵C（0,﹣3）,∴点E的纵坐标为﹣3,∵点E在抛物线上,∴x2﹣x﹣3＝﹣3．∴x＝0（舍）或x＝5,∴M（5,0）；②当∠DCE＝∠DMB＝90°,∵OB＝6,OC＝3,∴BC＝＝3,由（2）知直线BC的关系式为y＝x﹣3,∴OM＝x,BM＝6﹣x,DM＝3﹣x,由（2）同理得ED＝﹣+3x,∵DM∥OC,∴,即,∴CD＝,∴BD＝BC﹣CD＝﹣x,∵△ECD∽△BMD,∴,即＝,∴＝x（3﹣x）2,x（6﹣x）（1﹣x）＝0,x1＝0（舍）,x2＝6（舍）,x3＝1,∴M（1,0）；综上所述：点M的坐标为（5,0）或（1,0）．4．（2021秋•邹城市期末）如图,已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A,直线y＝x+2与抛物线交于B,C两点．（1）求A,B,C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D,求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点,使以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出这样的P点坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）将抛物线配方后可得顶点A的坐标,将抛物线和一次函数的解析式联立方程组,解出可得B和C的坐标；（2）先根据两点的距离计算AB、BC、AC的长,根据勾股定理的逆定理可得：∠ABC＝90°,最后根据两边的比相等且夹角为90度得两三角形相似；（3）存在,设M（x,0）,则P（x,x2+2x）,表示OM＝|x|,PM＝|x2+2x|,分两种情况：有＝或＝,根据比例式代入可得对应x的值,计算点P的坐标即可．【解答】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1,∴顶点A（﹣1,﹣1）；由,解得：或∴B（﹣2,0）,C（1,3）；（2）证明：∵A（﹣1,﹣1）,B（﹣2,0）,C（1,3）,∴AB＝＝,BC＝＝3,AC＝＝2,∴AB2+BC2＝AC2,＝＝,∴∠ABC＝90°,∵OD＝1,CD＝3,∴＝,∴,∠ABC＝∠ODC＝90°,∴△ODC∽△ABC；（3）存在这样的P点,设M（x,0）,则P（x,x2+2x）,∴OM＝|x|,PM＝|x2+2x|,当以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似时,有＝或＝,由（2）知：AB＝,CB＝3,①当＝时,则＝,当P在第二象限时,x＜0,x2+2x＞0,∴,解得：x1＝0（舍）,x2＝﹣,当P在第三象限时,x＜0,x2+2x＜0,∴＝,解得：x1＝0（舍）,x2＝﹣,②当＝时,则＝3,同理代入可得：x＝﹣5或x＝1（舍）,综上所述,存在这样的点P,坐标为（﹣,﹣）或（﹣,）或（﹣5,15）．5．（2021秋•攸县期末）如图,已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQ﹣BQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在,求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．【分析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝,故点M（,）,即可求解；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1,0）,则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,即可求解；③四边形MNPD为菱形,首先PD＝MN,即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝,解得：x＝或（舍去）,故点P（,1）,而PN＝＝≠MN,即可求解；（2）分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况,分别求解即可．【解析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝,故点M（,）,当x＝时,y＝﹣2x+4＝3,故点N（,3）；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1,0）,则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线RB的表达式为：y＝4x+4,当x＝时,y＝6,故点Q（,6）；③不存在,理由：设点P（x,﹣2x+4）,则点D（x,﹣2x2+2x+4）,MN＝﹣3＝,四边形MNPD为菱形,首先PD＝MN,即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝,解得：x＝或（舍去）,故点P（,1）,而PN＝＝≠MN,故不存在点P,使四边形MNPD为菱形；（2）当点P的横坐标为1时,则其坐标为：（1,2）,此时点A、B的坐标分别为：（2,0）、（0,4）,①当∠DBP为直角时,以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似,则∠BAO＝∠BDP＝α,tan∠BAO＝＝2＝tanα,则sinα＝,P A＝,PB＝AB﹣P A＝2﹣＝,则PD＝＝,故点D（1,）；②当∠BDP为直角时,以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似,则BD∥x轴,则点B、D关于抛物线的对称轴对称,故点D（1,4）,综上,点D的坐标为：（1,4）或（1,）,将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c并解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．6．（2022•禹城市模拟）如图,抛物线经过A（4,0）,B（1,0）,C（0,﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC,直接写出点D的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）设P（t,﹣t2+t﹣2）,则M（t,0）,1＜t＜4,分两种情况讨论：①当∠P AM＝∠OAC时,tan。
专题04 二次函数与特殊图形的存在性问题(连云港26题无锡27题淮安28题等)(解析版)
2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）专题4二次函数与特殊图形的存在性问题【真题再现】1．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，求解即可；（3）求出m＝﹣k2﹣k√k2+1，在△AHM中，tanα=HMAH=m−k=k+√k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2，即可求解．【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，解得：x＝1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA=√22+1=√5，①当OA＝AB时，即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；②当OA＝OB时，4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在，理由：①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，则AN＝AH＝﹣k，AB=√k2+1，NB＝AB﹣AN，由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，即：（1﹣m）2＝m2+（√k2+1+k）2，解得：m＝﹣k2﹣k√k2+1，在△AHM中，tanα=HMAH=m−k=k+√k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2，解得：k=±√3，此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，故k =−√3；②当点B 在x 轴下方时，同理可得：tan α=HMAH =m−k =k +√k 2+1=tan ∠BEC =BKEK =−（k +2）， 解得：k =−4−√73或−4+√73， 此时k +2＜0，k ＜﹣2，故舍去−4+√73， 故k 的值为：−√3或−4−√73．2．（2019年连云港26题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L 1：y ＝x 2+bx +c 过点C （0，﹣3），与抛物线L 2：y =−12x 2−32x +2的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L 1、L 2上的动点．（1）求抛物线L 1对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L 1上另一个动点，且CA 平分∠PCR ．若OQ ∥PR ，求出点Q 的坐标．【分析】（1）先求出A 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；（2）设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），分两种情况讨论：AC 为平行四边形的一条边，AC 为平行四边形的一条对角线，用x 表示出Q 点坐标，再把Q 点坐标代入抛物线L 2：y =−12x 2−32x +2中，列出方程求得解便可；（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L 1不存在点R 使得CA 平分∠PCR ，当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方，过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ，过点P 作PH ⊥TR 于点H ，设点P 坐标为（x 1，x 12−2x 1−3），点R 坐标为（x 2，x 22−2x 2−3），证明△PSC ∽△RTC ，由相似比得到x 1+x 2＝4，进而得tan ∠PRH 的值，过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，设点Q 坐标为（m ，−12m 2−32m +2），由tan ∠QOK ＝tan ∠PRH ，移出m 的方程，求得m 便可．【解析】（1）将x＝2代入y=−12x2−32x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得{−3=22+2b+c −3=0+0+c ，解得{b=−2c=−3，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，x2﹣2x﹣3），将Q（x+2，x2﹣2x﹣3）代入y=−12x2−32x+2，得x2﹣2x﹣3=−12（x+2）2−32（x+2）+2，解得x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y=−12x2−32x+2，得y=−12x2−32x+2，得x2﹣2x﹣3=−12（x﹣2）2−32（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x=−4 3，此时点P的坐标为（3，0）或（−43，139）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y=−12x2−32x+2，得﹣x2+2x﹣3═−12（2﹣x）2−32（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x ＝0时，点P 与点C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P 的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P 的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（−43，139）或（﹣3，12）；（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L 1不存在点R 使得CA 平分∠PCR ， 当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方， 过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ， 过点P 作PH ⊥TR 于点H ，则有∠PSC ＝∠RTC ＝90°， 由CA 平分∠PCR ，得∠PCA ＝∠RCA ，则∠PCS ＝∠RCT ， ∴△PSC ∽△RTC ， ∴PS CS=RT CT，设点P 坐标为（x 1，x 12−2x 1−3），点R 坐标为（x 2，x 22−2x 2−3）， 所以有x 1x 12−2x 1−3−(−3)=x 2−3−(x 22−2x 2−3)，整理得，x 1+x 2＝4，在Rt △PRH 中，tan ∠PRH =PH RH =x 12−2x 1−3−(x 22−2x 2−3)x 1−x 2=x 1+x 2−2=2过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，设点Q 坐标为（m ，−12m 2−32m +2）， 若OQ ∥PR ，则需∠QOK ＝∠PRH ， 所以tan ∠QOK ＝tan ∠PRH ＝2， 所以2m =−12m 2−32m +2， 解得，m =−7±√652，所以点Q 坐标为（−7+√652，﹣7+√65）或（−7−√652，﹣7−√65）．3．（2019年无锡27题）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +c （a ＜0）的图象与它的对称轴相交于点A ，与y轴相交于点C （0，﹣2），其对称轴与x 轴相交于点B（1）若直线BC 与二次函数的图象的另一个交点D 在第一象限内，且BD =√2，求这个二次函数的表达式；（2）已知P 在y 轴上，且△POA 为等腰三角形，若符合条件的点P 恰好有2个，试直接写出a 的值．【分析】（1）先求得对称轴方程，进而得B 点坐标，过D 作DH ⊥x 轴于点H ，由B ，C 的坐标得∠OBC ＝45°，进而求得DH ，BH ，便可得D 点坐标，再由待定系数法求得解析式；（2）先求出A 点的坐标，再分两种情况：A 点在x 轴上时，△OP A 为等腰直角三角形，符合条件的点P 恰好有2个；A 点不在x 轴上，∠AOB ＝30°，△OP A 为等边三角形或顶角为120°的等腰三角形，符合条件的点P 恰好有2个．据此求得a ．【解析】（1）过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，如图1，∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax +c ， ∴对称轴为x =−−4a2a=2， ∴B （2，0）， ∵C （0，﹣2）， ∴OB ＝OC ＝2，∴∠OBC ＝∠DBH ＝45°， ∵BH =√2， ∴BH ＝DH ＝1，∴OH ＝OB +BH ＝2+1＝3， ∴D （3，1），把C （0，﹣2），D （3，1）代入y ＝ax 2﹣4ax +c 中得， {c =−29a −12a +c =1， ∴{a =−1c =−2， ∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+4x ﹣2；（2）∵y ＝ax 2﹣4ax +c 过C （0，﹣2）， ∴c ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣4ax +c ＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣2， ∴A （2，﹣4a ﹣2），∵P 在y 轴上，且△POA 为等腰三角形，若符合条件的点P 恰好有2个，∴①当抛物线的顶点A 在x 轴上时，∠POA ＝90°，则OP ＝OA ，这样的P 点只有2个，正、负半轴各一个，如图2，此时A（﹣2，0），∴﹣4a﹣2＝0，解得a=−1 2；②当抛物线的顶点A不在x轴上时，∠AOB＝30°时，则△OP A为等边三角形或∠AOP＝120°的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图3，∴AB＝OB•tan30°＝2×√33=2√33，∴|﹣4a﹣2|=2√3 3，∴a=−12−16√3或−12+16√3．综上，a=−12或−12−16√3或−12+16√3．4．（2017年淮安28题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=−13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A 出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝13，c＝4；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（−32，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a=−13代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC＝5﹣t，依据勾股定理可求得AC＝5，CQ2＝t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2＝AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△P AG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=45t，AG=35t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD＝EQ=45t，MD＝PE＝3+25t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到RH=12QO=12t，RH∥OQ，NR=12AP=12t，则RH＝NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a=−13代入得：y=−13x2+13x+4，∴b=13，c＝4．（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：连结QC．∵在点P 、Q 运动过程中，∠P AQ 、∠PQA 始终为锐角， ∴当△APQ 是直角三角形时，则∠APQ ＝90°． 将x ＝0代入抛物线的解析式得：y ＝4， ∴C （0，4）． ∵AP ＝OQ ＝t ， ∴PC ＝5﹣t ，∵在Rt △AOC 中，依据勾股定理得：AC ＝5，在Rt △COQ 中，依据勾股定理可知：CQ 2＝t 2+16，在Rt △CPQ 中依据勾股定理可知：PQ 2＝CQ 2﹣CP 2，在Rt △APQ 中，AQ 2﹣AP 2＝PQ 2， ∴CQ 2﹣CP 2＝AQ 2﹣AP 2，即（3+t ）2﹣t 2＝t 2+16﹣（5﹣t ）2，解得：t ＝4.5． ∵由题意可知：0≤t ≤4，∴t ＝4.5不合题意，即△APQ 不可能是直角三角形． （3）如图所示：过点P 作DE ∥x 轴，分别过点M 、Q 作MD ⊥DE 、QE ⊥DE ，垂足分别为D 、E ，MD 交x 轴与点F ，过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为点G ，则PG ∥y 轴，∠E ＝∠D ＝90°． ∵PG ∥y 轴， ∴△P AG ∽△ACO ， ∴PG OC=AG OA=AP AC，即PG 4=AG 3=t5，∴PG=45t，AG=35t，∴PE＝GQ＝GO+OQ＝AO﹣AG+OQ＝3−35t+t＝3+25t，DF＝GP=45t．∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，∴∠DMP+∠DPM＝∠EPQ+∠DPM＝90°，∴∠DMP＝∠EPQ．又∵∠D＝∠E，PM＝PQ，∴△MDP≌△PEQ，∴PD＝EQ=45t，MD＝PE＝3+25t，∴FM＝MD﹣DF＝3+25t−45t＝3−25t，OF＝FG+GO＝PD+OA﹣AG＝3+45t−35t＝3+15t，∴M（﹣3−15t，﹣3+25t）．∵点M在x轴下方的抛物线上，∴﹣3+25t=−13×（﹣3−15t）2+13×（﹣3−15t）+4，解得：t=−65±5√2052．∵0≤t≤4，∴t=−65+5√2052．（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC于点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，∴RH=12QO=12t，RH∥OQ．∵A（﹣3，0），N（−32，0），∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点，∴NR =12AP =12t ， ∴RH ＝NR ， ∴∠RNH ＝∠RHN ． ∵RH ∥OQ ， ∴∠RHN ＝∠HNO ，∴∠RNH ＝∠HNO ，即NH 是∠QNQ ′的平分线．设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把点A （﹣3，0）、C （0，4）代入得：{−3m +n =0n =4，解得：m =43，n ＝4，∴直线AC 的表示为y =43x +4．同理可得直线BC 的表达式为y ＝﹣x +4．设直线NR 的函数表达式为y =43x +s ，将点N 的坐标代入得：43×（−32）+s ＝0，解得：s ＝2，∴直线NR 的表述表达式为y =43x +2．将直线NR 和直线BC 的表达式联立得：{y =43x +2y =−x +4，解得：x =67，y =227，∴Q ′（67，227）．5．（2017年宿迁25题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接AC 、BC ． （1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式； （2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．【分析】（1）由已知抛物线可求得A 、B 坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C 的坐标，利用待定系数法可求得曲线N 的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC 与AB 的垂直平分线的交点，即直线y ＝x 与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q （x ，0），当BC 为平行四边形的边时，则有BQ ∥PC 且BQ ＝PC ，从而可用x 表示出P 点的坐标，代入抛物线解析式可得到x 的方程，可求得Q 点坐标，当BC 为平行四边形的对角线时，由B 、C 的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P 点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x 的方程，可求得P 点坐标． 【解析】（1）在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，令y ＝0可得x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或x ＝3， ∴A （﹣1，0），B （3，0）， 令x ＝0可得y ＝﹣3，又抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折后得到曲线N ， ∴C （0，3），设曲线N 的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把A 、B 、C 的坐标代入可得{a −b +c =09a +3b +c =0c =3，解得{a =−1b =2c =3，∴曲线N 所在抛物线相应的函数表达式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）设△ABC 外接圆的圆心为M ，则点M 为线段BC 、线段AB 垂直平分线的交点， ∵B （3，0），C （0，3），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y ＝x ，又线段AB的垂直平分线为曲线N的对称轴，即x＝1，∴M（1，1），∴MB=√(1−3)2+12=√5，即△ABC外接圆的半径为√5；（3）设Q（t，0），则BQ＝|t﹣3|①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，∴P点纵坐标为3，即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，当点P在曲线M上时，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝3可解得x＝1+√7或x＝1−√7，∴PC＝1+√7或PC=√7−1，当x＝1+√7时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝1+√7，解得t＝4+√7，当x＝1−√7时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ＝3﹣t，∴3﹣t=√7−1，解得t＝4−√7，∴Q点坐标为（4+√7，0）或（4−√7，0）；当点P在曲线N上时，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3可求得x＝0（舍去）或x＝2，∴PC＝2，此时Q点在B点的右侧，则BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝2，解得t＝5，∴Q点坐标为（5，0）；②当BC为平行四边形的对角线时，∵B （3，0），C （0，3），∴线段BC 的中点为（32，32），设P （x ，y ），∴x +t ＝3，y +0＝3，解得x ＝3﹣t ，y ＝3， ∴P （3﹣t ，3），当点P 在曲线M 上时，则有3＝（3﹣t ）2﹣2（3﹣t ）﹣3，解得t ＝2+√7或t ＝2−√7， ∴Q 点坐标为（2+√7，0）或（2−√7，0）；当点P 在曲线N 上时，则有3＝﹣（3﹣t ）2+2（3﹣t ）+3，解得t ＝3（Q 、B 重合，舍去）或t ＝1， ∴Q 点坐标为（1，0）；综上可知Q 点的坐标为（4+√7，0）或（4−√7，0）或（5，0）或（2+√7，0）或（2−√7，0）或（1，0）．6．（2017年常州27题）如图，在平面直角坐标系xOy ，已知二次函数y =−12x 2+bx 的图象过点A （4，0），顶点为B ，连接AB 、BO ． （1）求二次函数的表达式；（2）若C 是BO 的中点，点Q 在线段AB 上，设点B 关于直线CQ 的对称点为B '，当△OCB '为等边三角形时，求BQ 的长度；（3）若点D 在线段BO 上，OD ＝2DB ，点E 、F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）先求出OB 和AB 的长，根据勾股定理的逆定理证明∠ABO ＝90°，由对称计算∠QCB ＝60°，利用特殊的三角函数列式可得BQ 的长； （3）因为D 在OB 上，所以F 分两种情况： i ）当F 在边OA 上时，ii ）当点F 在AB 上时，当F在边OA上时，分三种情况：①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，则E、F在OA上，②如图3，作辅助线，构建△OFD≌△EDF ≌△FGE，③如图4，将△DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，当点F在OB上时，过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，依次求出点E的坐标即可．ii）当点F在AB上时，分两种情况：画出图形可得结论．【解析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：−12×42+4b＝0，解得b＝2，∴二次函数的表达式为y=−12x2+2x．（2）∵y=−12x2+2x=−12（x﹣2）2+2，∴B（2，2），抛物线的对称轴为x＝2．如图1所示：由两点间的距离公式得：OB=√22+22=2√2，BA=√(4−2)2+(2−0)2=2√2．∵C是OB的中点，∴OC＝BC=√2．∵△OB′C为等边三角形，∴∠OCB′＝60°．又∵点B与点B′关于CQ对称，∴∠B′CQ＝∠BCQ＝60°．∵OA＝4，OB＝2√2，AB＝2√2，∴OB2+AB2＝OA2∴∠OBA＝90°．在Rt△CBQ中，∠CBQ＝90°，∠BCQ＝60°，BC=√2，∴tan60°=BQ BC，∴BQ=√3CB=√3×√2=√6．（3）分两种情况： i ）当F 在边OA 上时，①如图2，过D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，∵△DOF ≌△DEF ，且E 在线段OA 上， ∴OF ＝FE ，由（2）得：OB ＝2√2，∵点D 在线段BO 上，OD ＝2DB ， ∴OD =23OB =4√23， ∵∠BOA ＝45°， ∴cos45°=OF OD， ∴OF ＝OD •cos45°=4√23×√22=43， 则OE ＝2OF =83，∴点E 的坐标为（83，0）；②如图3，过D 作DF ⊥x 轴于F ，过D 作DE ∥x 轴，交AB 于E ，连接EF ，过E 作EG ⊥x 轴于G ，∴△BDE ∽△BOA ，∴BD OB=DE OA=13，∵OA ＝4， ∴DE =43， ∵DE ∥OA ，∴∠OFD ＝∠FDE ＝90°， ∵DE ＝OF =43，DF ＝DF ， ∴△OFD ≌△EDF ， 同理可得：△EDF ≌△FGE ， ∴△OFD ≌△EDF ≌△FGE ，∴OG ＝OF +FG ＝OF +DE =43+43=83，EG ＝DF ＝OD •sin45°=43， ∴E 的坐标为（83，43）；③如图4，将△DOF 沿边DF 翻折，使得O 恰好落在AB 边上，记为点E ， 过B 作BM ⊥x 轴于M ，过E 作EN ⊥BM 于N ，由翻折的性质得：△DOF ≌△DEF ， ∴OD ＝DE =4√23， ∵BD =12OD =2√23， ∴在Rt △DBE 中，由勾股定理得：BE =√DE 2−BD 2=2√63， 则BN ＝NE ＝BE •cos45°=2√63×√22=2√33， OM +NE ＝2+2√33，BM ﹣BN ＝2−2√33，∴点E 的坐标为：（2+2√33，2−2√33）； ii ）当点F 在AB 上时，①过D 作DF ∥x 轴，交AB 于F ，连接OF 与DA ， ∵DF ∥x 轴， ∴△BDF ∽△BOA ， ∴BD BO=BF BA，由抛物线的对称性得：OB ＝BA ， ∴BD ＝BF ，则∠BDF ＝∠BFD ，∠ODF ＝∠AFD ， ∴OD ＝OB ﹣BD ＝BA ﹣BF ＝AF ， 则△DOF ≌△DAF ，∴E 和A 重合，则点E 的坐标为（4，0）；②如图6，由①可知：当E 与O 重合时，△DOF 与△DEF 重合，此时点E （0，0）；综上所述，点E 的坐标为：（83，0）或（83，43）或（2+2√33，2−2√33）或（4，0）或（0，0）．【专项突破】 【题组一】1．（2020•张家港市模拟）如图，二次函效y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点坐标为（4，0），与y 轴交于点C （0，4）点D 为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式及A 点坐标；（2）若△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标； （3）若△BCD 是锐角三角形，请写出点D 的横坐标m 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令y ＝0，求A 的坐标；（2）设D 点板坐标为3，代入函数解析式可得纵坐标，分别论∠BCD ＝90°，∠CBD ＝90°的情況，作出图形进行求解；（3）当BC 为斜边构成Rt △BCD 时，以BC 中点O 为圆心，以BC 直径画圆，与抛物线交于D 和D '，此时△BCD 和△BCD '就是以BC 为斜边的直角三角形，利用两点间的距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m 的取值范围． 【解答】（1）解：将B （4，0），C （0，4）代入y ＝x 2+bx +c 得{16+4b +c =0c =4解得{b =−5c =4所以抛物的解析式为y ＝x 2﹣5x +4令y ＝0，得x 2﹣5x +4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4 ∴A 点的坐标为（1，0）（2）解：设D 点坐标为a ，则坐标为a 2﹣5a +4 ①当∠BCD ＝90°时，如下图所示，连结BC，过C点作CD⊥BC与抛物交于点D，过D作DE⊥y轴于点E，由B、C坐标可知，OB＝OC＝4∴△OBC为等要真角三角形，∴∠OCB＝∠OBC＝45°又∵∠BCD＝90°，∴∠ECD+∠OCB＝90°∴∠ECD＝45°，∴△CDE为等要真角三角形，∴DE＝CE＝a∴OE＝OC+CE＝a+4由D、E织坐标相等，可得a2﹣5a+4＝a+4解得a1＝6，a2＝0，当a＝0时，D点坐标为（0，4），与C重含，不符含思意，舍去当a＝6时，D点坐标为（6，10）②当∠CBD＝90°时，如下图所示，连按BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G ∠COB＝∠OBF＝∠BFC＝90°，四边形OBFC为形，又∵OC＝OB，∴四边形OBFC为正方形，∠CBF＝45°∠CBD＝90°，∴∠CBF+∠DBG＝90°∴∠DBG＝45°，∴△DBG为等腰直角三角形，∴DG＝BGD点横坐标为a∴DG＝4﹣a而BG＝﹣（a2﹣5a+4）∴﹣（a2﹣5a+4）＝4﹣a解得a1＝2，a2＝4当a＝4时，D点坐标为（4，0），与B重含，不符含题意，舍去当a＝2时，D点坐标为（2，﹣2）上所述，D点坐标为（6，10）或（2，﹣2）（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与物线交于D和D’BC为O'的直径∠BDC＝∠BD'C＝90°∵BC=√OB2+OC2=4√2∴D到O'的距离为O'的半径r=12BC=2√2D点横坐标为m，纵坐标为m2﹣5m+4，O'坐标为（2，2），∴DO′=√(m−2)2+(m2−5m+4−2)2由图象易得m＝0或4为方程的解，则方程方边必有因式m （m一4）采用因式分解法进行降次解方程m（m﹣4）（m2﹣6m+6）＝0m＝0或m﹣4＝0或m2﹣6m+6＝0，解得m1=0，m2=4，m3=3+√3，m4=3−√3当m＝0时，D点坐标为（0，4），与C点重合，舍去；当m＝4时，D点坐标为（4，0），与B点重合，舍去；当m=3+√3时，D点横坐标3+√3当m=3−√3时，D点横坐标为3−√3结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+√3＜m＜6或3−√3＜m＜2．2．（2020•宝应县一模）如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x 轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0．（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．【分析】（1）根据题意和图形，可以求得BF，CE的长度，再根据点B坐标为（m，0），从而可以用含m的式子表示表示出点E、F的坐标；（2）根据题意，可知分三种情况，然后分别求出m的值即可解答本题；（3）根据（1）中的结果，可以用含m的式子表示出点A和点E的坐标，然后根据抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，从而可以求得a、h的值，再根据三角形相似，可以求得m的值，本题得以解决．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE，在Rt△ABF中，BF=√AF2−AB2=√102−82=6，∴FC＝4，设DE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5，∴CE＝8﹣x＝3，∵点B的坐标为（m，0），∴点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）；（2）分三种情形讨论：若AO＝AF，∵AB⊥OF，BF＝6，∴OB＝BF＝6，∴m＝﹣6；若OF＝AF，则m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4；若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64，∴（m﹣6）2＝m2+64，得m=−7 3；由上可得，m ＝﹣6或﹣4或−73；（3）由（1）知A （m ，8），E （m ﹣10，3）， ∵抛物线y ＝a （x ﹣m +6）2+h 经过A 、E 两点， ∴{a(m −m +6)2+ℎ=8a(m −10−m +6)2+ℎ=3， 解得，{a =14ℎ=−1，∴该抛物线的解析式为y =14（x ﹣m +6）2﹣1， ∴点M 的坐标为（m ﹣6，﹣1）， 设对称轴交AD 于G ， ∴G （m ﹣6，8），∴AG ＝6，GM ＝8﹣（﹣1）＝9，∵∠OAB +∠BAM ＝90°，∠BAM +∠MAG ＝90°， ∴∠OAB ＝∠MAG ， 又∵∠ABO ＝∠MGA ＝90°， ∴△AOB ∽△AMG ， ∴OB MG =AB AG ，即−m 9=86，解得，m ＝﹣12，由上可得，a =14，h ＝﹣1，m ＝﹣12．3．（2019秋•邗江区校级期末）如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点． （1）试求抛物线解析式；（2）点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）把已知点A 、B 代入抛物线y ＝ax 2+bx +4中即可求解；（2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点D 的坐标，再根据三角形全等证明∠PBC ＝∠DBC ，最后求出直线BP 解析式即可求出P 点坐标； （3）根据平行四边形的判定即可写出点M 的坐标． 【解答】解：如图：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点． ∴{a −b +4=016a +4b +4=0， 解得{a =−1b =3．∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +4． （2）存在．理由如下：y ＝﹣x 2+3x +4＝﹣（x ﹣1.5）2+6.25． ∵点D （3，m ）在第一象限的抛物线上， ∴m ＝4， ∴D （3，4）， ∵C （0，4） ∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°． 连接CD ，∴CD ∥x 轴， ∴∠DCB ＝∠OBC ＝45°， ∴∠DCB ＝∠OCB ，在y 轴上取点G ，使CG ＝CD ＝3， 再延长BG 交抛物线于点P ，在△DCB 和△GCB 中， {CB =CB∠DCB =∠OCB CG =CD， ∴△DCB ≌△GCB （SAS ） ∴∠DBC ＝∠GBC ．设直线BP 解析式为y BP ＝kx +b （k ≠0），把G （0，1），B （4，0）代入，得 k =−14，b ＝1，∴BP 解析式为y BP =−14x +1． y BP =−14x +1，y ＝﹣x 2+3x +4， 当y ＝y BP 时，−14x +1＝﹣x 2+3x +4， 解得x 1=−34，x 2＝4（舍去）， ∴y =1916， ∴P （−34，1916）．（3）设点N （1.5，n ），当BC 、MN 为平行四边形对角线时， 由BC 、MN 互相平分，M （2.5，4﹣n ）， 代入y ＝﹣x 2+3x +4，得4﹣n ＝﹣6.25+7.5+4，解得n ＝1.25， ∴M （2.5，2.75）；当BM 、NC 为平行四边形对角线时， 由BM 、NC 互相平分，M （﹣2.5，4+n ）， 代入y ＝﹣x 2+3x +4，得4+n ＝﹣6.25﹣7.5+4，解得n ＝﹣13.75， ∴M （﹣2.5，﹣13.75）；当MC 、BN 为平行四边形对角线时， 由MC 、BN 互相平分，M （5.5，n ﹣4）， 代入y ＝﹣x 2+3x +4，得n ﹣4＝﹣30.25+16.5+4，解得n ＝﹣5.75， ∴M （5.5，﹣9.75）．综上所述，点M 的坐标为：M 1（2.5，2.75），M 2（﹣2.5，﹣13.75），M 3（5.5，﹣9.75）．4．（2019秋•亭湖区校级期末）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A （﹣1，0）．过点A 作直线y ＝x +c 与抛物线交于点D ，动点P 在直线y ＝x +c 上，从点A 出发，以每秒√2个单位长度的速度向点D 运动，过点P 作直线PQ ∥y 轴，与抛物线交于点Q ，设运动时间为t （s ）． （1）直接写出b ，c 的值及点D 的坐标；（2）点E 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE 的面积为6时，求出点E 的坐标；（3）在线段PQ 最长的条件下，点M 在直线PQ 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点D 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N 的坐标．【分析】（1）将点A 的坐标分别代入抛物线和直线的表达式即可求解； （2）求出直线CE 的表达式为：y ＝（2﹣m ）x +3，则点H （32−m，0），△CBE 的面积=12BH ×（x C ﹣y E ）=12×（3−32−m）（3+m 2﹣2m ﹣3）＝6，即可求解； （3）PQ ＝﹣t 2+4t ﹣t ＝﹣t 2+3t ，故PQ 有最大值，点P （12，32），①当∠DMN 为直角时，（Ⅰ）当点M 在x 轴上方时，如图2，证明△DGM ≌△MHN （AAS ），则GD ＝MH ，NH ＝GM ，即可求解（Ⅱ）当点M 在x 轴下方时，同理可得：△MEN ≌△DHM （AAS ），即可求解；②当∠DNM 为直角时，同理可解． 【解答】解：（1）将点A 的坐标代入y ＝﹣x 2+bx +3得：0＝﹣1﹣b +3，解得：b ＝2，将点A 的坐标代入y ＝x +c 并解得：c ＝1，故抛物线和直线的表达式分别为：y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝x +1； 联立上述两式得：{y =−x 2+2x +3y =x +1，解得：{x =2y =3，故点D （2，3）；（2）如图1，设直线CE 交x 轴于点H ，设点E （m ，﹣m 2+2m +3），而点C （0，3），将点E 、C 坐标代入一次函数表达式y ＝sx +t 得：{−m 2+2m +3=ms +t t =3，解得：{s =−m +2t =3， 故直线CE 的表达式为：y ＝（2﹣m ）x +3， 令y ＝0，则x =32−m ，故点H （32−m，0），△CBE 的面积=12BH ×（x C ﹣y E ）=12×（3−32−m ）（3+m 2﹣2m ﹣3）＝6， 解得：m ＝2，故点E （2，3）；（3）点C 、E 的纵坐标相同，故CD ∥x 轴，t 秒时，AP =√2t ，则点P 在x 轴和y 轴方向移动的距离均为t ，故点P （t ﹣1，t ）， 当x ＝t ﹣1时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣t 2+4t ，故点Q （t ﹣1，﹣t 2+4t ）， 则PQ ＝﹣t 2+4t ﹣t ＝﹣t 2+3t ，∵﹣1＜0，故PQ 有最大值，此时，t =32，则点P （12，32），故直线PQ 表达式为：x =12；设点M （12，m ），点N （n ，0），而点D （2，3）；①当∠DMN 为直角时，（Ⅰ）当点M 在x 轴上方时，如图2，设直线PQ 交x 轴于点H ，交CD 于点G ，∵∠DMG +∠GDM ＝90°，∠DMG +∠HMN ＝90°， ∴∠HMN ＝∠GDM ，MN ＝MD ，∠DGM ＝∠MHN ＝90°， ∴△DGM ≌△MHN （AAS ）， ∴GD ＝MH ，NH ＝GM ，即：{m =2−123−m =n −12，解得：{m =32n =2， 故点N （2，0）；（Ⅱ）当点M 在x 轴下方时，如图3，过点M 作x 轴的平行线交过点与y 轴的平行线于点H ，交过点N 与y 轴的平行线于点E ， 同理可得：△MEN ≌△DHM （AAS ）， 故：NE ＝MH ，EM ＝DH ，即{1−m =2−1212−n =3−m ，解得：{m =−32n =−4， 故点N （﹣4，0）； ②当∠DNM 为直角时，（Ⅰ）当点N 在x 轴左侧时，如图4，过点N 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点H ，交过点M 与x 轴的平行线于点R ，同理可得：△DHN ≌△NRM （AAS ）， ∴RM ＝NH ，即3=12−n ，解得：n ＝﹣2.5； （Ⅱ）当点N 在x 轴右侧时，如图5，过点N 作y 轴的平行线交过点M 与x 轴的平行线于点H ，交过点D 与x 轴的平行线于点G ，同理可得：△MHN≌△NGD（AAS），∴MH＝GN，即n−12=3，解得：n＝3.5，综上，N的坐标为：（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2.5，0）或（3.5，0）．【题组二】5．（2019秋•崇川区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3＝a （0﹣4）2﹣1， a =14；∴抛物线的表达式为：y =14x 2﹣2x +3；（2）相交．证明：连接CE ，则CE ⊥BD ，14（x ﹣4）2﹣1＝0时，x 1＝2，x 2＝6．A （0，3），B （2，0），C （6，0）， 对称轴x ＝4，∴OB ＝2，AB =√13，BC ＝4， ∵AB ⊥BD ，∴∠OAB +∠OBA ＝90°，∠OBA +∠EBC ＝90°， ∴△AOB ∽△BEC ， ∴AB BC=OB CE，即√134=2CE，解得CE =8√1313， ∵8√1313＞2， 故抛物线的对称轴l 与⊙C 相交．6．（2019•徐州一模）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 的正半轴交于点C ．（1）求二次函数y ＝ax 2+bx +3的表达式．（2）点Q （m ，0）是线段OB 上一点，过点Q 作y 轴的平行线，与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ，连结CN ，将△CMN 沿CN 翻折，M 的对应点为D ．探究：是否存在点Q ，使得四边形MNDC 是菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 在二次函数图象上，且以E 为圆心的圆与直线BC 相切与点F ，且EF =65，请直接写出点E的坐标．【分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，由点B ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的函数表达式，由点Q 的坐标可得出点M ，N 的坐标，进而可得出MN 的长度，结合点C 的坐标可得出MC 的长度，由菱形的性质可得出MN ＝MC ，进而可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值（取正值），进而可得出点Q 的坐标；（3）过点E 作EP ∥直线BC ，交y 轴于点P ，这样的点P 有两个，记为P 1，P 2，利用面积法可求出点O 到直线BC 的距离，结合EF =65可得出点P 1为线段OC 的中点，进而可得出点P 1的坐标，由CP 1＝CP 2可得出点P 2的坐标，结合BC 的解析式可求出直线EP 的函数表达式，联立直线EP 和抛物线的函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +3，得： {a −b +3=016a +4b +3=0，解得：{a =−34b =94， ∴二次函数的表达式为y =−34x 2+94x +3． （2）当x ＝0时，y =−34x 2+94x +3＝3， ∴点C 的坐标为（0，3）．设直线BC 的函数表达式为y ＝kx +c （k ≠0）， 将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx +c ，得：{4k +c =0c =3，解得：{k =−34c =3，∴直线BC 的函数表达式为y =−34x +3． ∵点Q 的坐标为（m ，0），∴点M 的坐标为（m ，−34m +3），点N 的坐标为（m ，−34m 2+94m +3）， ∴NM =−34m 2+94m +3﹣（−34m +3）=−34m 2+3m ． ∵四边形MNDC 是菱形， ∴MN ＝MC ．∵点C 的坐标为（0，3），∴CM =√(m −0)2+(−34m +3−3)2=54m ， ∴−34m 2+3m =54m ，解得：m 1＝0（舍去），m 2=73， ∴点Q 的坐标为（73，0）．∴存在点Q （73，0），使得四边形MNDC 是菱形．（3）过点E 作EP ∥直线BC ，交y 轴于点P ，这样的点P 有两个，记为P 1，P 2，如图2所示．∵OB ＝4，OC ＝3， ∴BC =√OB 2+OC 2=5，∴点O 到直线BC 的距离为OB⋅OC BC=125．∵以E 为圆心的圆与直线BC 相切与点F ，且EF =65， ∴点E 到直线BC 的距离为65，∴点P 1为线段OC 的中点， ∴点P 1的坐标为（0，32）．∵CP 1＝CP 2，∴点P 2的坐标为（0，92）．∵直线BC 的函数表达式为y =−34x +3，∴直线EP 的函数表达式为y =−34x +32或y =−34x +92．联立直线EP 和抛物线的函数表达式成方程组，得：{y =−34x +32y =−34x 2+94x +3或{y =−34x +92y =−34x 2+94x +3， 解得：{x 1=2−√6y 1=3√64，{x 2=2+√6y 2=−3√64，{x 3=2−√2y 3=3+3√24，{x 4=2+√2y 4=3−3√24，∴点E 的坐标为（2−√6，3√64），（2+√6，−3√64），（2−√2，3+3√24）或（2+√2，3−3√24）．7．（2019•亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =−14x 2+bx +c 的图象与y 轴交于点A （0，8），与x 轴交于B 、C 两点，其中点C 的坐标为（4，0）．点P （m ，n ）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D 的坐标为（0，4），连接BD ． （1）求该二次函数的表达式及点B 的坐标；（2）连接OP ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，当以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBD 相似时，求m 的值； （3）连接BP ，以BD 、BP 为邻边作▱BDEP ，直线PE 交y 轴于点T ． ①当点E 落在该二次函数图象上时，求点E 的坐标；②在点P 从点A 到点B 运动过程中（点P 与点A 不重合），直接写出点T 运动的路径长．【分析】（1）直接将A ，C 两点代入即可求（2）可设P （m ，−14m 2﹣m +8），由∠OQP ＝∠BOD ＝90°，则分两种情况：△POQ ∽△OBD 和△POQ ∽△OBD 分别求出PQ 与OQ 的关系即可（3）作平行四边形，实质是将B 、P 向右平移8个单位，再向上平移4个单位即可得到点E 和点D ，点E 在二次函数上，代入即可求m 的值，从而求得点E 的坐标． 【解答】解：（1）把A （0，8），C （4，0）代入y =−14x 2+bx +c 得 {c =8−4+4b +c =0，解得{b =−1c =8 ∴该二次函数的表达为y =−14x 2﹣x +8当y ＝0时，−14x 2﹣x +8＝0，解得x 1＝﹣8，x 2＝4 ∴点B 的坐标为（﹣8，0）（2）设P （m ，−14m 2﹣m +8），由∠OQP ＝∠BOD ＝90°，分两种情况： 当△POQ ∽△OBD 时，PQ OQ=BO OD=84=2∴PQ ＝2OQ即−14m 2﹣m +8＝2×（﹣m ），解得m ＝﹣4，或m ＝8（舍去） 当△POQ ∽△OBD 时，OQ PQ=BO DO=84=2∴OQ ＝2PQ即﹣m ＝2×（−14m 2﹣m +8），解m ＝﹣1−√33 或m ＝﹣1+√33（舍去） 综上所述，m 的值为﹣4或﹣1−√33 （3）①∵四边形BDEP 为平行四边形，∴PE ∥BD ，PE ＝BD∵点B 向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ∴点P 向右平移8个单位，再向上平衡4个单位得到点E ∵点P （m ，−14m 2﹣m +8）， ∴点E （m +8，−14m 2﹣m +12）， ∵点E 落在二次函数的图象上∴−14（m +8）2﹣（m +8）+8=−14m 2﹣m +12 解得m ＝﹣7 ∴点E 的坐标为（1，274）②∵点P （m ，−14m 2﹣m +8）， ∴点E （m +8，−14m 2﹣m +12）， ∵PE ∥BD∴直线PE 与BD 的斜率相同k =48=12 ∴直线PE 的解析式为：y =12x +b 点P 在直线上，则有−14m 2﹣m +8=12m +b 整理得，b =−14（m +3）2+414 即T 的纵坐标最大值为414当点P 与点B 重合时，点T 的纵坐标为4， 则点T 在y 轴的运动的路径为414−4+414−8=172． 8．（2019秋•灌云县期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，﹣2），C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、。
二次函数综合题专题
3
8
.∴
3
4
3
8
3
2
3
l＝yN－yM＝ t－ －(＝ t2－
1
2
7 1
2 2
4＝ ，即此时点M的坐标为( , ).
10
3
2
3
14
3
20
3
2
3
7 2
2
3
2
2
3
7
2
3
2
2
3
t＋4)＝－ t2＋ t－ ＝－ (t- ) ＋ .∵ － ＜0，∴ 当t＝ 时，l最大＝ ，yM＝ t2－
10
3
t＋
1. (2019·贺州中考)如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为
(2) 当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值．
(3) 设此抛物线在点C与点P之间的部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之
差为h.
① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
② 当h＝9时，直接写出△BCP的面积．
(1) 将C(0，－3)代入y＝(x－1)2＋k，得k＝－4，∴ y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(x－2)2＋2
2
2
2.∵ － 2 ＜0，∴ 当x＝2时，PD长的最大值为2 2，此时点P的坐标为(2，－6)．
02
PART 02
第二部分
面积问题
类型2
面积问题
例2 (2019·通辽中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶
点为M(1，9)，经过抛物线上的两点A(－3，－7)和B(3，m)
(2) 首先求出AB的长，结合题意，即可得出点C，D的坐标，再代入抛物线对应的函数解析式中进行验证即可．
部编数学九年级上册专题04二次函数的图象和性质之七大题型(解析版)含答案
专题04二次函数的图象和性质之七大题型二次函数的识别【变式训练】利用二次函数的定义求参数【答案】1【分析】根据二次函数的定义可得22m =，求出m 的值即可．【详解】解：Q 函数21m y x x =+-是二次函数，22m \=，解得：1m =，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：函数2y ax bx c =++（0a ¹，a b c ，，为常数）叫二次函数．【变式训练】把【变式训练】画二次函数(1)抛物线的开口方向为______(2)抛物线的对称轴是直线______(3)若将抛物线()2112y x =-+______．【答案】(1)函数图象见解析，向下由函数图象可知抛物线的开口方向为向下（2）解：∵抛物线解析式为∴抛物线对称轴为直线=x 故答案为：=1x -；【变式训练】1．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）已知二次函数243y x x =-+．（3）如图，∵ABP V 的面积为2，而(1,0A ∴1222P y ´´=，∴2P y =或2P y =-，当2P y =时，则243x x -+(3)结合图像直接写出3y >时，自变量x 的取值范围是___________；(4)当03x <<时，y 的取值范围是___________．【答案】(1)243y xx =-+(2)见详解(3)0x <或4x >(4)1<3y -£【分析】（1）利用待定系数法将点()3,0A 和点()4,3B 代入表达式求解即可；（2）根据二次函数表达式243y xx =-+得到()0,3，()1,0，()2,1-，()3,0，()4,35个点，然后用平滑的曲线连起来即可；（3）根据（2）中画出的图像求解即可；（4）根据（2）中画出的图像即可求出y 的取值范围．【详解】（1）∵二次函数23y ax bx =++的图像经过点()3,0A 和点()4,3B 所以将点()3,0A 和点()4,3B 代入得：933016433a b a b ++=ìí++=î，解得：14a b =ìí=-î，∴二次函数的表达式为243y x x =-+．（2）如图，描出()0,3，()1,0，()2,1-，()3,0，()4,35个点，并用平滑的曲线连起来，（3）由（2）的图像可得，当3y >时，0x <或4x >，故答案为：0x <或4x >；（4）由（2）中图像可得，当03x <<时，二次函数【变式训练】D ．点A 的坐标是()0,3，点B 的坐标是()4,3【答案】D 【分析】利用当1x =和3时，0y =，得出抛物线的对称轴是直线2x =，根据表格求得解析式，判断C 选项，根据平移的规律得出解析式，判断B 选项，再利用0x =时，3y =，结合对称轴，即可得出A 、B 点坐标．【详解】Q 当1x =和3时，0y =，\抛物线的对称轴是直线2x =，故A 选项错误；设抛物线解析式为()()13y a x x =--，将()1,8-代入得，()()81113a =----，解得：1a =，\抛物线解析式为()()13y x x =--()224321x x x =-+=--，向右平移一个单位的抛物线解析式为：()()2221131y x x =---=--，令0x =，8y =，即抛物线经过点()0,8，故B 选项错误又Q 抛物线解析式为：()221y x =--2x \<时，y 随x 增大而减小；2x >时，y 随x 增大而大，故C 选项错误；0x =Q 时，3y =，则点()0,3A ，Q 点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，B \点坐标()4,3，故D 正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，由表格数据获取信息是解题的关键．二次函数图象的平移例题：（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）将抛物线22y x =-向上平移3个单位长度，所得抛物线【变式训练】待定系数法求二次函数解析式例题：（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）一抛物线以()19-，为顶点，且经过点()23，，求该抛物线的解析式及抛物线与y 轴的交点坐标．【答案】抛物线的解析式为212(1)9y x =--，抛物线与y 轴的交点坐标为()0,3【分析】设顶点式再代入()23，计算即可．【详解】∵抛物线以()19-，为顶点，∴设抛物线的解析式为2(1)9y a x =--，将()2,3代入2(1)9y a x =--，得39a =-，解得12a =，∴抛物线的解析式为212(1)9y x =--，令0x =，则3y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为()0,3．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式训练】1．（2023上·广西梧州·九年级统考期末）如图，抛物线()260y ax bx a =++¹与x 轴交于点()2,0A 和点()6,0B -，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在一点出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)212y x =-(1)求这个二次函数的表达式；V的面积为S，点(2)设PBC(3)点P在运动过程中，能否使理由．（3）解：由（2）得S =-故当32m =时，S 有最大值所以S 的整数值为1，2；当1S =时，得1352m +=一、单选题1．（2023上·广西河池·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．31y x =-B ．32y x =+C ．()222y x x =--D ．()4y x x =-【答案】D 【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可，注意C D 、两项化简完后再判断．【详解】解：A 、31y x =-是一次函数，不符合题意；B 、32y x =+中，x 的次数是3，不是二次函数，不符合题意；C 、()222y x x =--可化为44y x =-+是一次函数，不符合题意；D 、()4y x x =-可化为24y x x =-，是二次函数，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如2y ax bx c =++（a b c 、、是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数，熟练掌握其定义是解决此题的关键．2．（2023上·福建莆田·九年级统考期末）下列各点，在二次函数222y x x =+-的图象上的是（ ）A ．()1,1B ．()2,3C ．()0,2D ．()1,5--【答案】A【分析】将选项A ，B ，C ，D 中的点横坐标代入222y x x =+-，计算出纵坐标，从而可判断点是否在二次函数222y x x =+-的图象上．【详解】解：∵222y x x =+-，当1x =时，2121y =+-=，当2x =时，24228y =´+-=，当0x =时，=2y -，当=1x -时，2121y =--=-，∴ B ，C ，D 不符合题意；A 符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特点，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本题的关键．3．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）二次函数()237y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．()3,7-B ．()3,7C ．()3,7-D ．()3,7--当=1x -时，y 有最小值4-，B 选项正确；当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大，当1x <-时，y 的值随x 值的增大而减小，C 选项正确；根据平移的规律，2y x =的图像向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得：()214y x =-+，D 选项错误；故选：D ．【点睛】本次考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图像和几何变换，掌握以上知识是解题的关键．Q，£m n\点P应在线段QQ¢01t \££，故答案为：01t ££【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键．三、解答题(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．【答案】(1)3-，1，0，绘图见解析(2)抛物线的对称轴为直线2x =，顶点坐标为【分析】（1）将0,2,3x x x ===（2）根据（1）中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．【详解】（1）解：∵2=+4y x x --（2）解：由图象得，该抛物线的对称轴为直线x(),0A a ，()3,4C 两点．(1)求a 的值及抛物线的解析式；(2)若点P 是位于直线AC 上方的抛物线上的一个动点，求APC △面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】(1)1a =-，234y x x =-++(2)APC △的面积最大值为8，此时点P 的坐标为()1,6【分析】（1）将(),0A a 代入直线1y x =+可得a 的值，再将A ，C 两点代入抛物线2y x bx c =-++即可解答；（2）过点P 作PE x ^轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ x ^轴交x 轴于点Q ，设出点P 的坐标，利用F APC APF PC S S S =+△△△即可解答．【详解】（1）解：将(),0A a 代入1y x =+并解得1a =-，∴点A 的坐标为()1,0-，将()1,0A -，()3,4C 代入2y x bx c =-++，得10934b c b c --+=ìí-++=î，解得34b c =ìí=î，∴抛物线的解析式为234y x x =-++；（2）如图，过点P 作PE x ^轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ x ^轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为(2,m m -则点F 的坐标为(,1m m +(234PF m m m \=-++-(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是抛物线上的一点，当(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点形是平行四边形？若存在，求出点【答案】(1)抛物线的解析式为：【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．15．（2023上·山东泰安(1)求抛物线及直线BC 的函数表达式；(2)点F 是直线BC 上方抛物线上一点，是否存在点最大面积；(3)连接AC ，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点为直角顶点的Rt PEQ △，且满足tan EQP Ð设点F 的坐标为,m æ-çè∴2142FQ m m =-++-∴211422FBC S m æ=´-+çèV 24m m=-+如图2，设P 点坐标为同理可证得：MQE V ∽∴2QM ME QE EN PN EP===∵1PN m =-，EN =-【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、直角三角形存在性问题，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程．。
压轴题：二次函数与特殊图形的存在性问题(连云港26题无锡27题淮安28题等)(解析版)
二次函数与特殊图形的存在性问题1．如图，二次函效y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点坐标为（4，0），与y 轴交于点C （0，4）点D 为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式及A 点坐标；（2）若△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标； （3）若△BCD 是锐角三角形，请写出点D 的横坐标m 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令y ＝0，求A 的坐标；（2）设D 点板坐标为3，代入函数解析式可得纵坐标，分别论∠BCD ＝90°，∠CBD ＝90°的情況，作出图形进行求解；（3）当BC 为斜边构成Rt △BCD 时，以BC 中点O 为圆心，以BC 直径画圆，与抛物线交于D 和D '，此时△BCD 和△BCD '就是以BC 为斜边的直角三角形，利用两点间的距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m 的取值范围． 【解答】（1）解：将B （4，0），C （0，4）代入y ＝x 2+bx +c 得{16+4b +c =0c =4解得{b =−5c =4所以抛物的解析式为y ＝x 2﹣5x +4令y ＝0，得x 2﹣5x +4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4 ∴A 点的坐标为（1，0）（2）解：设D 点坐标为a ，则坐标为a 2﹣5a +4 ①当∠BCD ＝90°时，如下图所示，连结BC，过C点作CD⊥BC与抛物交于点D，过D作DE⊥y轴于点E，由B、C坐标可知，OB＝OC＝4∴△OBC为等要真角三角形，∴∠OCB＝∠OBC＝45°又∵∠BCD＝90°，∴∠ECD+∠OCB＝90°∴∠ECD＝45°，∴△CDE为等要真角三角形，∴DE＝CE＝a∴OE＝OC+CE＝a+4由D、E织坐标相等，可得a2﹣5a+4＝a+4解得a1＝6，a2＝0，当a＝0时，D点坐标为（0，4），与C重含，不符含思意，舍去当a＝6时，D点坐标为（6，10）②当∠CBD＝90°时，如下图所示，连按BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G ∠COB＝∠OBF＝∠BFC＝90°，四边形OBFC为形，又∵OC＝OB，∴四边形OBFC为正方形，∠CBF＝45°∠CBD＝90°，∴∠CBF+∠DBG＝90°∴∠DBG＝45°，∴△DBG为等腰直角三角形，∴DG＝BGD点横坐标为a∴DG＝4﹣a而BG＝﹣（a2﹣5a+4）∴﹣（a2﹣5a+4）＝4﹣a解得a1＝2，a2＝4当a＝4时，D点坐标为（4，0），与B重含，不符含题意，舍去当a＝2时，D点坐标为（2，﹣2）上所述，D点坐标为（6，10）或（2，﹣2）（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与物线交于D和D’BC为O'的直径∠BDC＝∠BD'C＝90°∵BC=√OB2+OC2=4√2∴D到O'的距离为O'的半径r=12BC=2√2D点横坐标为m，纵坐标为m2﹣5m+4，O'坐标为（2，2），∴DO′=√(m−2)2+(m2−5m+4−2)2由图象易得m＝0或4为方程的解，则方程方边必有因式m （m一4）采用因式分解法进行降次解方程m（m﹣4）（m2﹣6m+6）＝0m＝0或m﹣4＝0或m2﹣6m+6＝0，解得m1=0，m2=4，m3=3+√3，m4=3−√3当m＝0时，D点坐标为（0，4），与C点重合，舍去；当m＝4时，D点坐标为（4，0），与B点重合，舍去；当m=3+√3时，D点横坐标3+√3当m=3−√3时，D点横坐标为3−√3结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+√3＜m＜6或3−√3＜m＜2．2. 如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【分析】（1）把已知点A、B代入抛物线y＝ax2+bx+4中即可求解；（2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点D 的坐标，再根据三角形全等证明∠PBC ＝∠DBC ，最后求出直线BP 解析式即可求出P 点坐标； （3）根据平行四边形的判定即可写出点M 的坐标． 【解答】解：如图：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点． ∴{a −b +4=016a +4b +4=0， 解得{a =−1b =3．∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +4． （2）存在．理由如下：y ＝﹣x 2+3x +4＝﹣（x ﹣1.5）2+6.25． ∵点D （3，m ）在第一象限的抛物线上， ∴m ＝4， ∴D （3，4）， ∵C （0，4） ∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°． 连接CD ，∴CD ∥x 轴， ∴∠DCB ＝∠OBC ＝45°， ∴∠DCB ＝∠OCB ，在y 轴上取点G ，使CG ＝CD ＝3， 再延长BG 交抛物线于点P ， 在△DCB 和△GCB 中， {CB =CB∠DCB =∠OCB CG =CD， ∴△DCB ≌△GCB （SAS ） ∴∠DBC ＝∠GBC ．设直线BP 解析式为y BP ＝kx +b （k ≠0），把G （0，1），B （4，0）代入，得 k =−14，b ＝1，∴BP解析式为y BP=−14x+1．y BP=−14x+1，y＝﹣x2+3x+4，当y＝y BP时，−14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1=−34，x2＝4（舍去），∴y=19 16，∴P（−34，1916）．（3）设点N（1.5，n），当BC、MN为平行四边形对角线时，由BC、MN互相平分，M（2.5，4﹣n），代入y＝﹣x2+3x+4，得4﹣n＝﹣6.25+7.5+4，解得n＝1.25，∴M（2.5，2.75）；当BM、NC为平行四边形对角线时，由BM、NC互相平分，M（﹣2.5，4+n），代入y＝﹣x2+3x+4，得4+n＝﹣6.25﹣7.5+4，解得n＝﹣13.75，∴M（﹣2.5，﹣13.75）；当MC、BN为平行四边形对角线时，由MC、BN互相平分，M（5.5，n﹣4），代入y＝﹣x2+3x+4，得n﹣4＝﹣30.25+16.5+4，解得n＝﹣5.75，∴M（5.5，﹣9.75）．综上所述，点M的坐标为：M1（2.5，2.75），M2（﹣2.5，﹣13.75），M3（5.5，﹣9.75）．3. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=−13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A 的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝13，c＝4；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（−32，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a=−13代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC＝5﹣t，依据勾股定理可求得AC＝5，CQ2＝t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2＝AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△P AG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=45t，AG=35t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD＝EQ=45t，MD＝PE＝3+25t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到RH=12QO=12t，RH∥OQ，NR=12AP=12t，则RH＝NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a=−13代入得：y=−13x2+13x+4，∴b=13，c＝4．（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：连结QC．∵在点P、Q运动过程中，∠P AQ、∠PQA始终为锐角，∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°．将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4）．∵AP＝OQ＝t，∴PC＝5﹣t，∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2＝t2+16，在Rt △CPQ中依据勾股定理可知：PQ2＝CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2＝PQ2，∴CQ2﹣CP2＝AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2＝t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t＝4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P 作DE ∥x 轴，分别过点M 、Q 作MD ⊥DE 、QE ⊥DE ，垂足分别为D 、E ，MD 交x 轴与点F ，过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为点G ，则PG ∥y 轴，∠E ＝∠D ＝90°． ∵PG ∥y 轴， ∴△P AG ∽△ACO ， ∴PG OC=AG OA=AP AC，即PG 4=AG 3=t5，∴PG =45t ，AG =35t ，∴PE ＝GQ ＝GO +OQ ＝AO ﹣AG +OQ ＝3−35t +t ＝3+25t ，DF ＝GP =45t ． ∵∠MPQ ＝90°，∠D ＝90°，∴∠DMP +∠DPM ＝∠EPQ +∠DPM ＝90°， ∴∠DMP ＝∠EPQ ． 又∵∠D ＝∠E ，PM ＝PQ ， ∴△MDP ≌△PEQ ，∴PD ＝EQ =45t ，MD ＝PE ＝3+25t ，∴FM ＝MD ﹣DF ＝3+25t −45t ＝3−25t ，OF ＝FG +GO ＝PD +OA ﹣AG ＝3+45t −35t ＝3+15t ， ∴M （﹣3−15t ，﹣3+25t ）． ∵点M 在x 轴下方的抛物线上，∴﹣3+25t =−13×（﹣3−15t ）2+13×（﹣3−15t ）+4，解得：t =−65±5√2052． ∵0≤t ≤4， ∴t =−65+5√2052． （4）如图所示：连结OP ，取OP 的中点R ，连结RH ，NR ，延长NR 交线段BC 于点Q ′．∵点H 为PQ 的中点，点R 为OP 的中点， ∴RH =12QO =12t ，RH ∥OQ ． ∵A （﹣3，0），N （−32，0）， ∴点N 为OA 的中点． 又∵R 为OP 的中点， ∴NR =12AP =12t ， ∴RH ＝NR ， ∴∠RNH ＝∠RHN ． ∵RH ∥OQ ， ∴∠RHN ＝∠HNO ，∴∠RNH ＝∠HNO ，即NH 是∠QNQ ′的平分线．设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把点A （﹣3，0）、C （0，4）代入得：{−3m +n =0n =4，解得：m =43，n ＝4，∴直线AC 的表示为y =43x +4．同理可得直线BC 的表达式为y ＝﹣x +4．设直线NR 的函数表达式为y =43x +s ，将点N 的坐标代入得：43×（−32）+s ＝0，解得：s ＝2，∴直线NR 的表述表达式为y =43x +2．将直线NR 和直线BC 的表达式联立得：{y =43x +2y =−x +4，解得：x =67，y =227，∴Q ′（67，227）．4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．【分析】（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y＝x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC且BQ＝PC，从而可用x表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标．【解析】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0可得y＝﹣3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，∴C（0，3），设曲线N 的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把A 、B 、C 的坐标代入可得{a −b +c =09a +3b +c =0c =3，解得{a =−1b =2c =3，∴曲线N 所在抛物线相应的函数表达式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）设△ABC 外接圆的圆心为M ，则点M 为线段BC 、线段AB 垂直平分线的交点， ∵B （3，0），C （0，3），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y ＝x ，又线段AB 的垂直平分线为曲线N 的对称轴，即x ＝1， ∴M （1，1），∴MB =√(1−3)2+12=√5， 即△ABC 外接圆的半径为√5；（3）设Q （t ，0），则BQ ＝|t ﹣3|①当BC 为平行四边形的边时，如图1，则有BQ ∥PC ， ∴P 点纵坐标为3，即过C 点与x 轴平行的直线与曲线M 和曲线N 的交点即为点P ，x 轴上对应的即为点Q ， 当点P 在曲线M 上时，在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，令y ＝3可解得x ＝1+√7或x ＝1−√7， ∴PC ＝1+√7或PC =√7−1，当x ＝1+√7时，可知点Q 在点B 的右侧，可得BQ ＝t ﹣3， ∴t ﹣3＝1+√7，解得t ＝4+√7，当x ＝1−√7时，可知点Q 在点B 的左侧，可得BQ ＝3﹣t ，∴3﹣t =√7−1，解得t ＝4−√7，∴Q 点坐标为（4+√7，0）或（4−√7，0）；当点P 在曲线N 上时，在y ＝﹣x 2+2x +3中，令y ＝3可求得x ＝0（舍去）或x ＝2， ∴PC ＝2，此时Q 点在B 点的右侧，则BQ ＝t ﹣3， ∴t ﹣3＝2，解得t ＝5， ∴Q 点坐标为（5，0）；②当BC 为平行四边形的对角线时， ∵B （3，0），C （0，3），∴线段BC 的中点为（32，32），设P （x ，y ），∴x +t ＝3，y +0＝3，解得x ＝3﹣t ，y ＝3， ∴P （3﹣t ，3），当点P 在曲线M 上时，则有3＝（3﹣t ）2﹣2（3﹣t ）﹣3，解得t ＝2+√7或t ＝2−√7， ∴Q 点坐标为（2+√7，0）或（2−√7，0）；当点P 在曲线N 上时，则有3＝﹣（3﹣t ）2+2（3﹣t ）+3，解得t ＝3（Q 、B 重合，舍去）或t ＝1， ∴Q 点坐标为（1，0）；综上可知Q 点的坐标为（4+√7，0）或（4−√7，0）或（5，0）或（2+√7，0）或（2−√7，0）或（1，0）．5. 如图，在平面直角坐标系xOy ，已知二次函数y =−12x 2+bx 的图象过点A （4，0），顶点为B ，连接AB 、BO ．（1）求二次函数的表达式；（2）若C 是BO 的中点，点Q 在线段AB 上，设点B 关于直线CQ 的对称点为B '，当△OCB '为等边三角形时，求BQ 的长度；（3）若点D 在线段BO 上，OD ＝2DB ，点E 、F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）先求出OB和AB的长，根据勾股定理的逆定理证明∠ABO＝90°，由对称计算∠QCB＝60°，利用特殊的三角函数列式可得BQ的长；（3）因为D在OB上，所以F分两种情况：i）当F在边OA上时，ii）当点F在AB上时，当F在边OA上时，分三种情况：①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，则E、F在OA上，②如图3，作辅助线，构建△OFD≌△EDF ≌△FGE，③如图4，将△DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，当点F在OB上时，过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，依次求出点E的坐标即可．ii）当点F在AB上时，分两种情况：画出图形可得结论．【解析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：−12×42+4b＝0，解得b＝2，∴二次函数的表达式为y=−12x2+2x．（2）∵y=−12x2+2x=−12（x﹣2）2+2，∴B（2，2），抛物线的对称轴为x＝2．如图1所示：由两点间的距离公式得：OB=√22+22=2√2，BA=√(4−2)2+(2−0)2=2√2．∵C是OB的中点，∴OC＝BC=√2．∵△OB′C为等边三角形，∴∠OCB′＝60°．又∵点B与点B′关于CQ对称，∴∠B′CQ＝∠BCQ＝60°．∵OA＝4，OB＝2√2，AB＝2√2，∴OB2+AB2＝OA2∴∠OBA＝90°．在Rt△CBQ中，∠CBQ＝90°，∠BCQ＝60°，BC=√2，∴tan60°=BQ BC，∴BQ=√3CB=√3×√2=√6．（3）分两种情况：i）当F在边OA上时，①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，∵△DOF≌△DEF，且E在线段OA上，∴OF＝FE，由（2）得：OB＝2√2，∵点D在线段BO上，OD＝2DB，∴OD=23OB=4√23，∵∠BOA＝45°，∴cos45°=OF OD，∴OF＝OD•cos45°=4√23×√22=43，则OE ＝2OF =83， ∴点E 的坐标为（83，0）；②如图3，过D 作DF ⊥x 轴于F ，过D 作DE ∥x 轴，交AB 于E ，连接EF ，过E 作EG ⊥x 轴于G ，∴△BDE ∽△BOA ， ∴BD OB=DE OA=13，∵OA ＝4， ∴DE =43， ∵DE ∥OA ，∴∠OFD ＝∠FDE ＝90°， ∵DE ＝OF =43，DF ＝DF ， ∴△OFD ≌△EDF ， 同理可得：△EDF ≌△FGE ， ∴△OFD ≌△EDF ≌△FGE ，∴OG ＝OF +FG ＝OF +DE =43+43=83，EG ＝DF ＝OD •sin45°=43， ∴E 的坐标为（83，43）；③如图4，将△DOF 沿边DF 翻折，使得O 恰好落在AB 边上，记为点E ， 过B 作BM ⊥x 轴于M ，过E 作EN ⊥BM 于N ，由翻折的性质得：△DOF ≌△DEF ， ∴OD ＝DE =4√23， ∵BD =12OD =2√23， ∴在Rt △DBE 中，由勾股定理得：BE =√DE 2−BD 2=2√63， 则BN ＝NE ＝BE •cos45°=2√63×√22=2√33， OM +NE ＝2+2√33，BM ﹣BN ＝2−2√33， ∴点E 的坐标为：（2+2√33，2−2√33）； ii ）当点F 在AB 上时，①过D 作DF ∥x 轴，交AB 于F ，连接OF 与DA ， ∵DF ∥x 轴， ∴△BDF ∽△BOA ， ∴BD BO=BF BA，由抛物线的对称性得：OB ＝BA ， ∴BD ＝BF ，则∠BDF ＝∠BFD ，∠ODF ＝∠AFD ，∴OD＝OB﹣BD＝BA﹣BF＝AF，则△DOF≌△DAF，∴E和A重合，则点E的坐标为（4，0）；②如图6，由①可知：当E与O重合时，△DOF与△DEF重合，此时点E（0，0）；综上所述，点E的坐标为：（83，0）或（83，43）或（2+2√33，2−2√33）或（4，0）或（0，0）．6. 如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，求解即可；（3）求出m＝﹣k2﹣k√k2+1，在△AHM中，tanα=HMAH=m−k=k+√k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2，即可求解．【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，解得：x＝1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA=√22+1=√5，①当OA＝AB时，即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；②当OA＝OB时，4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在，理由：①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，则AN＝AH＝﹣k，AB=√k2+1，NB＝AB﹣AN，由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，即：（1﹣m）2＝m2+（√k2+1+k）2，解得：m＝﹣k2﹣k√k2+1，在△AHM中，tanα=HMAH=m−k=k+√k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2，解得：k=±√3，此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，故k=−√3；②当点B在x轴下方时，同理可得：tan α=HM AH =m −k =k +√k 2+1=tan ∠BEC =BKEK=−（k +2）， 解得：k =−4−√73或−4+√73， 此时k +2＜0，k ＜﹣2，故舍去−4+√73， 故k 的值为：−√3或−4−√73．7. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L 1：y ＝x 2+bx +c 过点C （0，﹣3），与抛物线L 2：y =−12x 2−32x +2的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L 1、L 2上的动点． （1）求抛物线L 1对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L 1上另一个动点，且CA 平分∠PCR ．若OQ ∥PR ，求出点Q 的坐标．【分析】（1）先求出A 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；（2）设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），分两种情况讨论：AC 为平行四边形的一条边，AC 为平行四边形的一条对角线，用x 表示出Q 点坐标，再把Q 点坐标代入抛物线L 2：y =−12x 2−32x +2中，列出方程求得解便可；（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L 1不存在点R 使得CA 平分∠PCR ，当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方，过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ，过点P 作PH ⊥TR 于点H ，设点P 坐标为（x 1，x 12−2x 1−3），点R 坐标为（x 2，x 22−2x 2−3），证明△PSC ∽△RTC ，由相似比得到x 1+x 2＝4，进而得tan ∠PRH 的值，过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，设点Q 坐标为（m ，−12m 2−32m +2），由tan ∠QOK ＝tan ∠PRH ，移出m 的方程，求得m 便可． 【解析】（1）将x ＝2代入y =−12x 2−32x +2，得y ＝﹣3，故点A 的坐标为（2，﹣3）， 将A （2，﹣3），C （0，﹣3）代入y ＝x 2+bx +c ，得{−3=22+2b+c −3=0+0+c ，解得{b=−2c=−3，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，x2﹣2x﹣3），将Q（x+2，x2﹣2x﹣3）代入y=−12x2−32x+2，得x2﹣2x﹣3=−12（x+2）2−32（x+2）+2，解得x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y=−12x2−32x+2，得y=−12x2−32x+2，得x2﹣2x﹣3=−12（x﹣2）2−32（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x=−4 3，此时点P的坐标为（3，0）或（−43，139）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y=−12x2−32x+2，得﹣x2+2x﹣3═−12（2﹣x）2−32（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P 的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（−43，139）或（﹣3，12）；（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L 1不存在点R 使得CA 平分∠PCR ， 当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方， 过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ， 过点P 作PH ⊥TR 于点H ，则有∠PSC ＝∠RTC ＝90°， 由CA 平分∠PCR ，得∠PCA ＝∠RCA ，则∠PCS ＝∠RCT ， ∴△PSC ∽△RTC ， ∴PS CS=RT CT，设点P 坐标为（x 1，x 12−2x 1−3），点R 坐标为（x 2，x 22−2x 2−3）， 所以有x 1x 12−2x 1−3−(−3)=x 2−3−(x 22−2x 2−3)，整理得，x 1+x 2＝4，在Rt △PRH 中，tan ∠PRH =PH RH =x 12−2x 1−3−(x 22−2x 2−3)x 1−x 2=x 1+x 2−2=2 过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，设点Q 坐标为（m ，−12m 2−32m +2）， 若OQ ∥PR ，则需∠QOK ＝∠PRH ， 所以tan ∠QOK ＝tan ∠PRH ＝2， 所以2m =−12m 2−32m +2， 解得，m =−7±√652， 所以点Q 坐标为（−7+√652，﹣7+√65）或（−7−√652，﹣7−√65）．8. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为D．探究：是否存在点Q，使得四边形MNDC是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF=65，请直接写出点E的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，由点Q的坐标可得出点M，N的坐标，进而可得出MN的长度，结合点C的坐标可得出MC的长度，由菱形的性质可得出MN＝MC，进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值（取正值），进而可得出点Q的坐标；（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，利用面积法可求出点O 到直线BC 的距离，结合EF =65可得出点P 1为线段OC 的中点，进而可得出点P 1的坐标，由CP 1＝CP 2可得出点P 2的坐标，结合BC 的解析式可求出直线EP 的函数表达式，联立直线EP 和抛物线的函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +3，得： {a −b +3=016a +4b +3=0，解得：{a =−34b =94， ∴二次函数的表达式为y =−34x 2+94x +3． （2）当x ＝0时，y =−34x 2+94x +3＝3， ∴点C 的坐标为（0，3）．设直线BC 的函数表达式为y ＝kx +c （k ≠0）， 将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx +c ，得：{4k +c =0c =3，解得：{k =−34c =3，∴直线BC 的函数表达式为y =−34x +3． ∵点Q 的坐标为（m ，0），∴点M 的坐标为（m ，−34m +3），点N 的坐标为（m ，−34m 2+94m +3）， ∴NM =−34m 2+94m +3﹣（−34m +3）=−34m 2+3m ． ∵四边形MNDC 是菱形， ∴MN ＝MC ．∵点C 的坐标为（0，3），∴CM =√(m −0)2+(−34m +3−3)2=54m ， ∴−34m 2+3m =54m ，解得：m 1＝0（舍去），m 2=73， ∴点Q 的坐标为（73，0）．∴存在点Q （73，0），使得四边形MNDC 是菱形．（3）过点E 作EP ∥直线BC ，交y 轴于点P ，这样的点P 有两个，记为P 1，P 2，如图2所示．∵OB ＝4，OC ＝3， ∴BC =√OB 2+OC 2=5， ∴点O 到直线BC 的距离为OB⋅OC BC=125．∵以E 为圆心的圆与直线BC 相切与点F ，且EF =65， ∴点E 到直线BC 的距离为65，∴点P 1为线段OC 的中点， ∴点P 1的坐标为（0，32）．∵CP 1＝CP 2，∴点P 2的坐标为（0，92）．∵直线BC 的函数表达式为y =−34x +3，∴直线EP 的函数表达式为y =−34x +32或y =−34x +92．联立直线EP 和抛物线的函数表达式成方程组，得：{y =−34x +32y =−34x 2+94x +3或{y =−34x +92y =−34x 2+94x +3， 解得：{x 1=2−√6y 1=3√64，{x 2=2+√6y 2=−3√64，{x 3=2−√2y 3=3+3√24，{x 4=2+√2y 4=3−3√24，∴点E 的坐标为（2−√6，3√64），（2+√6，−3√64），（2−√2，3+3√24）或（2+√2，3−3√24）．9. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =−14x 2+bx +c 的图象与y 轴交于点A （0，8），与x 轴交于B 、C 两点，其中点C 的坐标为（4，0）．点P （m ，n ）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D 的坐标为（0，4），连接BD ．（1）求该二次函数的表达式及点B 的坐标；（2）连接OP ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，当以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBD 相似时，求m 的值；（3）连接BP ，以BD 、BP 为邻边作▱BDEP ，直线PE 交y 轴于点T ． ①当点E 落在该二次函数图象上时，求点E 的坐标；②在点P 从点A 到点B 运动过程中（点P 与点A 不重合），直接写出点T 运动的路径长．【分析】（1）直接将A ，C 两点代入即可求（2）可设P （m ，−14m 2﹣m +8），由∠OQP ＝∠BOD ＝90°，则分两种情况：△POQ ∽△OBD 和△POQ ∽△OBD 分别求出PQ 与OQ 的关系即可（3）作平行四边形，实质是将B 、P 向右平移8个单位，再向上平移4个单位即可得到点E 和点D ，点E 在二次函数上，代入即可求m 的值，从而求得点E 的坐标． 【解答】解：（1）把A （0，8），C （4，0）代入y =−14x 2+bx +c 得 {c =8−4+4b +c =0，解得{b =−1c =8 ∴该二次函数的表达为y =−14x 2﹣x +8当y ＝0时，−14x 2﹣x +8＝0，解得x 1＝﹣8，x 2＝4 ∴点B 的坐标为（﹣8，0）（2）设P （m ，−14m 2﹣m +8），由∠OQP ＝∠BOD ＝90°，分两种情况：当△POQ ∽△OBD 时，PQOQ=BO OD=84=2∴PQ ＝2OQ即−14m 2﹣m +8＝2×（﹣m ），解得m ＝﹣4，或m ＝8（舍去） 当△POQ ∽△OBD 时，OQ PQ=BO DO=84=2∴OQ ＝2PQ即﹣m ＝2×（−14m 2﹣m +8），解m ＝﹣1−√33 或m ＝﹣1+√33（舍去） 综上所述，m 的值为﹣4或﹣1−√33 （3）①∵四边形BDEP 为平行四边形， ∴PE ∥BD ，PE ＝BD∵点B 向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ∴点P 向右平移8个单位，再向上平衡4个单位得到点E ∵点P （m ，−14m 2﹣m +8）， ∴点E （m +8，−14m 2﹣m +12）， ∵点E 落在二次函数的图象上∴−14（m +8）2﹣（m +8）+8=−14m 2﹣m +12 解得m ＝﹣7 ∴点E 的坐标为（1，274）②∵点P （m ，−14m 2﹣m +8）， ∴点E （m +8，−14m 2﹣m +12）， ∵PE ∥BD∴直线PE 与BD 的斜率相同k =48=12 ∴直线PE 的解析式为：y =12x +b 点P 在直线上，则有−14m 2﹣m +8=12m +b 整理得，b =−14（m +3）2+414即T 的纵坐标最大值为414当点P 与点B 重合时，点T 的纵坐标为4， 则点T 在y 轴的运动的路径为414−4+414−8=172． 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，﹣2），C （1，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．【分析】（1）将A ，B ，C 三点代入y ＝ax 2+bx +c 解方程组即可；（2）如图1，过点M 作y 轴的平行线交AB 于点D ，M 点的横坐标为m ，且点M 在第三象限的抛物线上，设M 点的坐标为（m ，m 2+m ﹣2），﹣2＜m ＜0，求出直线AB 的解析式，则点D 的坐标为（m ，﹣m ﹣2），即可求出MD 的长度，进一步求出△MAB 的面积S 关于m 的函数关系式，由函数的思想即可求出其最大值；（3）设P （x ，x 2+x ﹣2），分情况讨论，①当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ ＝OB ，则Q （x ，﹣x ），可列出关于x 的方程，即可求出点Q 的坐标；②当BO 为对角线时，OQ ∥BP ，A 与P 应该重合，OP ＝2，四边形PBQO 为平行四边形，则BQ ＝OP ＝2，Q 横坐标为2，即可写出点Q 的坐标．【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y ＝ax 2+bx +c ， 将A （﹣2，0），B （0，﹣2），C （1，0）三点代入， 得，{4a −2b +c =0c =−2a +b +c =0，解得，{a=1b=1c=−2，∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2；（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，把A（﹣2，0）代入，得，k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，∵MD∥y轴，∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB=12MD•OA=12×2（m2﹣2m）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∵﹣2＜m＜0，∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；（3）设P（x，x2+x﹣2），①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y＝﹣x，则Q（x，﹣x），由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，即|﹣x2﹣2x+2|＝2，当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，∴Q（﹣2，2）；当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+√5，x2＝﹣1−√5，∴Q（﹣1+√5，1−√5）或（﹣1−√5，1+√5）；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，代入y＝﹣x，得Q（2，﹣2），综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+√5，1−√5）或（﹣1−√5，1+√5）或（2，﹣2）．11.如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和C（4，0）与y轴交于点A．（1）a＝−13，b＝13；（2）点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动，同时，点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动，当点M到达B点时，两点停止运动．t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形？（3）点P是第一象限抛物线上的一点，若BP恰好平分∠ABC，请直接写出此时点P的坐标．【分析】（1）根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出a ，b 的值；（2）利用相似三角形的性质可求出点M 的坐标，结合点B ，N 的坐标可得出BM ，BN ，MN 的长度，分BM ＝BN ，BM ＝MN ，BN ＝MN 三种情况，找出关于m 的方程，解之即可得出t 的值；（3）设BP 交y 轴于点F ，设点F 的坐标为（0，m ），则AF ＝4﹣m ，利用面积法可求出m 值，进而可得出点F 的坐标，由点B ，F 的坐标，利用待定系数法可求出直线BP 的解析式，联立直线BP 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）将点B （﹣3，0），C （4，0）代入y ＝ax 2+bx +4，得： {9a −3b +4=016a +4b +4=0， 解得：{a =−13b =13． 故答案为：−13，13．（2）当x ＝0时，y ＝ax 2+bx +4＝4， ∴点A 的坐标为（0，4）．过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，如图1所示．在Rt △AOB 中，OB ＝3，OA ＝4，∠AOB ＝90°， ∴AB =√OA 2+OB 2=5． ∵ME ∥BN ， ∴△AME ∽△ABN ， ∴ME BN=AE AO=AM AB ，∴ME =35t ，AE =45t ，∴点M 的坐标为（−35t ，4−45t ）．∵点B 的坐标为（﹣3，0），点N 的坐标为（t ﹣3，0），∴BM ＝5﹣t ，BN ＝t ，MN =√[t −3−(−35t)]2+[0−(4−45t)]2=√165t 2−16t +25． 分三种情况考虑：①当BM ＝BN 时，5﹣t ＝t ， 解得：t =52；②当BM ＝MN 时，5﹣t =√165t 2−16t +25， 整理，得：115t 2﹣6t ＝0，解得：t 1＝0（舍去），t 2=3011； ③当BN ＝MN 时，t =√165t 2−16t +25， 整理，得：115t 2﹣16t +25＝0，解得：t 1＝5（舍去），t 2=2511． 综上所述：当t 为52，2511或3011时，以B 、M 、N 为顶点的三角形是等腰三角形．（3）设BP 交y 轴于点F ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，如图2所示．设点F 的坐标为（0，m ），则AF ＝4﹣m ． ∵BP 平分∠ABC ， ∴FG ＝FO ＝m ．∵S △ABF =12AB •FG =12AF •BO ，即12×5m =12×3×（4﹣m ），∴m =32，∴点F 的坐标为（0，32）．设直线BP 的解析式为y ＝kx +c （k ≠0）， 将B （﹣3，0），F （0，32）代入y ＝kx +c ，得：{−3k +c =0c =32，解得：{k =12c =32， ∴直线BP 的解析式为y =12x +32．联立直线BP 和抛物线的解析式成方程组，得：{y =12x +32y =−13x 2+13x +4， 解得：{x 1=−3y 1=0，{x 2=52y 2=114， ∴点P 的坐标为（52，114）．12. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2的对称轴是直线x ＝1，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣2，0），点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ． （1）求抛物线解析式；（2）若点P 在第一象限内，当OD ＝4PE 时： ①求点D 、P 、E 的坐标； ②求四边形POBE 的面积．（3）在（2）的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2的对称轴是直线x ＝1，A （﹣2，0）在抛物线上，x =−b2a =1，解得：a =14，b =−12，即可求解；（2）设D （m ，0），则E （m ，12m ﹣2），P （m ，14m 2−12m ﹣2），OD ＝4PE ，m ＝4（14m 2−12m ﹣2−12m +2），即可求解；（3）分BD 为对角线、BD 为边，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2的对称轴是直线x ＝1，A （﹣2，0）在抛物线上，∴x =−b2a=1，解得：a =14，b =−12，抛物线解析式为y =14x 2−12x ﹣2；（2）令y =14x 2−12x ﹣2＝0，（x ﹣4）（x +2）＝0，解得：x 1＝﹣2，x 2＝4， 当x ＝0时，y ＝﹣2，由B （4，0），C （0，﹣2），得，直线BC 的表达式为：y =12x ﹣2 设D （m ，0），∵DP ∥y 轴，∴E （m ，12m ﹣2），P （m ，14m 2−12m ﹣2），∵OD ＝4PE ，∴m ＝4（14m 2−12m ﹣2−12m +2），∴m ＝5，m ＝0（舍去），∴D （5，0），P （5，74），E （5，12），∴四边形POBE 的面积＝S △OPD ﹣S △EBD =12×5×74−12×1×12=338；（3）存在，设M （n ，12n ﹣2），①以BD 为对角线，如图1，∵四边形BNDM 是菱形， ∴MN 垂直平分BD ，∴n ＝4+12， ∴M （92，14），∵M ，N 关于x 轴对称， ∴N （92，−14）；②以BD 为边，如图2，∵四边形BDMN 是菱形， ∴MN ∥BD ，MN ＝BD ＝MD ＝1， 过M 作MH ⊥x 轴于H ， ∴MH 2+DH 2＝DM 2，即（12n ﹣2）2+（n ﹣5）2＝12，∴n 1＝4（不合题意），n 2＝5.6， ∴N （4.6，45），同理（12n ﹣2）2+（4﹣n ）2＝1，∴n 1＝4+2√55（不合题意，舍去），n 2＝4−2√55， ∴N （5−2√55，−√55）， ③以BD 为边，如图3，过M 作MH ⊥x 轴于H ， ∴MH 2+BH 2＝BM 2，即（12n ﹣2）2+（n ﹣4）2＝12，∴n 1＝4+2√55，n 2＝4−2√55（不合题意，舍去）， ∴N （5+2√55，√55），综上所述，点N 坐标为：（92，−14）或 （235，45）或（5−2√55，−√55）或 （5+2√55，√55）． 13. 已知二次函数y =18x 2+bx +c （b 、c 为常数）的图象经过点（0，﹣1）和点A （4，1）． （1）求b 、c 的值；（2）如图1，点C （10，m ）在抛物线上，点M 是y 轴上的一个动点，过点M 平行于x 轴的直线l 平分∠AMC ，求点M 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P 是抛物线上的一动点，以P 为圆心、PM 为半径的圆与x 轴相交于E 、F 两点，若△PEF 的面积为2√6，请直接写出点P 的坐标．【分析】（1）把A （4，1）和（0，﹣1）代入y =18x 2+bx +c ，即可求解； （2）证明△CMD ∽△AME ，则CD AE=MD ME∴232−n n−1=104，即可求解；（3）设点P （m ，n ），n =18m 2﹣2，则m 2＝8n +8…①，点E （a ，0），则点F （2m ﹣a ，0）；S =12×EF ×n ＝2√6，解得：a ＝m −2√6n⋯②；PM ＝PE ，即m 2+（n ﹣4）2＝（m ﹣a ）2+n 2，化简得：a （a ﹣2m ）＝16﹣8n ，将②代入上式得：﹣（m +2√6n ）（m −2√6n）＝16﹣8n ，即可求解． 【解答】解：（1）把A （4，1）和（0，﹣1）代入y =18x 2+bx +c 得， b ＝0，c ＝﹣1；（2）C(10，232)，设M （0，n ）．过点C 作CD ⊥l ，过点A 作AE ⊥l ．则△CMD ∽△AME ， ∴CD AE=MD ME∴232−n n−1=104，解得：n ＝4， ∴M （0，4）；（3）设点P （m ，n ），n =18m 2﹣1，则m 2＝8n +8…①， 点E （a ，0），则点F （2m ﹣a ，0）； S =12×EF ×n ＝2√6， 解得：a ＝m −2√6n ⋯②； PM ＝PE ，即m 2+（n ﹣4）2＝（m ﹣a ）2+n 2，化简得：a （a ﹣2m ）＝16﹣8n ，将②代入上式得： ﹣（m +2√6n ）（m −2√6n ）＝16﹣8n ， 即m 2−24n 2=8n ﹣16，将①代入上式并解得：24n2=24，解得：n＝±1，则m＝4或﹣4或0，故：P（4，1）或（﹣4，1）或（0，﹣1）．14．已知抛物线l1：y1＝ax2﹣2的顶点为P，交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），且sin∠ABP=√55．（1）求抛物线l1的函数解析式；（2）过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1：4两个部分，求直线AC的解析式；（3）在（2）的情况下，将抛物线l1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线l2，点M为抛物线l2上一点，当点M的横坐标为何值时，△BDM为直角三角形？【分析】（1）求抛物线l1的顶点P（0，﹣2）得OP＝2，由sin∠ABP=OPBP=√55求得BP的长，进而求得OB即点B坐标，代入抛物线l1的解析式即求得a的值．（2）求点A坐标为（﹣4，0），设直线AC解析式为y＝kx+b，把点A代入得b＝4k，所以能用k表示点D坐标，进而用k表示△AOD和△BOD的面积．把直线AC解析式与抛物线l1解析式联立方程，即y相等时得到一个关于x的一元二次方程，解即为点A、C横坐标，利用韦达定理求出点C横坐标（用k表示），进而可用k表示C的纵坐标，再得到用k表示的△ABC面积．当k＞0时，显然S△AOD：S四边形OBCD＝1：4，即S△AOD=15S△ABC，故得到关于k的方程，求解即得k的值．当k＜0，则得到的方程与k＞0时相同，求得的k不满足题意．综合即求得直线AC的解析式．（3）由于不确定点B、D、M哪个为直角顶点，故需分三种情况讨论．设点M横坐标为m，①若∠BDM ＝90°，过M作MN⊥y轴于点N，可证△BDO∽△DMN，用m表示MN、DN的长，代入相似三角形对应边成比例即列得方程求m的值．②若∠DBM＝90°，过点M作MQ⊥x轴于点Q，可证△BMQ∽△DBO，用m表示BQ、MQ的长，代入相似三角形对应边成比例即列得方程求m的值．③若∠BMD＝90°，则点M在以BD为直径的圆除点B、D外的圆周上，但显然以AB为直径的圆与抛物线l2无交点，故此情况不存在满足的m．【解答】解：（1）当x＝0时，y1＝ax2﹣2＝﹣2。
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（3）求出 m ＝﹣k 2﹣k √k 2 + 1，在△AHM 中，tan α= AH = −k =k +√k 2 + 1 =tan ∠BEC = EK =k +2，即2020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）专题 4 二次函数与特殊图形的存在性问题【真题再现】1．（2019 年盐城 27 题）如图所示，二次函数 y ＝k （x ﹣1）2+2 的图象与一次函数 y ＝kx ﹣k +2 的图象交于 A 、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、y 轴交于 C 、D 两点，其中 k ＜0．（1）求 A 、B 两点的横坐标；（△2）若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值；（3）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E ，是否存在实数 k ，使得∠ODC ＝2∠BEC ，若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k （x ﹣1）2+2＝kx ﹣k +2，即可求解； （2）分 OA ＝AB 、OA ＝OB 两种情况，求解即可；HMm BK在△AHM中，tanα=AH =−k=k+√k2+1=tan∠BEC=EK=k+2，可求解．【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，解得：x＝1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA=√22+1=√5，①当OA＝AB时，即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；②当OA＝OB时，4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在，理由：①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点△H，将AHB的图形放大见右侧图形，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，则AN＝AH＝﹣k，AB=√k2+1，NB＝AB﹣AN，由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，即：（1﹣m）2＝m2+（√k2+1+k）2，解得：m＝﹣k2﹣k√k2+1，HM m BK解得：k=±√3，此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，同理可得：tanα=AH=−k=k+√k2+1=tan∠BEC=EK=−（k+2），解得：k=−4−√7−4+√7，故k的值为：−√3或−4−√72．（2019年连云港26题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝x2+b x+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y=−1x2−3x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线L2：y=−2x2−2x+2中，列出方程求−m2−m+2），由tan∠QOK＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．故k=−√3；②当点B在x轴下方时，HM m BK33−4+√7此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去3，3．122动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边13得解便可；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH ⊥TR于点H，设点P坐标为（x1，x12−2x1−3），点R坐标为（x2，x22−2x2−3），证明△PSC∽△RTC，由相似比得到x1+x2＝4，进而得tan∠PRH的值，过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，1322【解析】（1）将 x ＝2 代入 y = − 2x 2− 2x +2，得 y ＝﹣3，故点 A 的坐标为（2，﹣3）， {−3 = 2 + 2b + c，解得{ c = −3 ，将 Q （x +2，x 2﹣2x ﹣3）代入 y = − 2x 2− 2x +2，得 x 2﹣2x ﹣3= − 2（x +2）2− 2（x +2）+2，将 Q （x ﹣2，x 2﹣2x ﹣3）代入 y = − 2x 2− 2x +2，得 y = − 2x 2− 2x +2，得x 2﹣2x ﹣3= − 2（x ﹣2）2− 2（x ﹣2）+2，解得，x ＝3，或 x = − 3，将 Q （2﹣x ，﹣x 2+2x ﹣3）代入 y = − 2x2− 2x +2，得 ﹣x 2+2x ﹣3═− 2（2﹣x ）2− 2（2﹣x ）+2，1 3将 A （2，﹣3），C （0，﹣3）代入 y ＝x 2+b x +c ，得2 −3 = 0 + 0 + cb = −2∴抛物线 L 1：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图，设点 P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），第一种情况：AC 为平行四边形的一条边，①当点 Q 在点 P 右侧时，则点 Q 的坐标为（x +2，x 2﹣2x ﹣3），1 31 3解得 x ＝0 或 x ＝﹣1，因为 x ＝0 时，点 P 与 C 重合，不符合题意，所以舍去，此时点 P 的坐标为（﹣1，0）；②当点 Q 在点 P 左侧时，则点 Q 的坐标为（x ﹣2，x 2﹣2x ﹣3），1 31 31 344 13 此时点 P 的坐标为（3，0）或（− 3， 9）；第二种情况：当 AC 为平行四边形的一条对角线时，由 AC 的中点坐标为（1，﹣3），得 PQ 的中点坐标为（1，﹣3），故点 Q 的坐标为（2﹣x ，﹣x 2+2x ﹣3），1 31 3解得，x ＝0 或 x ＝﹣3，综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（−3，139）或（﹣3，12）；CS=x12−2x1−3−(−3)=x2在△Rt PRH中，tan∠PRH=RH=x1−x2=x1+x2−2=2过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，−2m2−2m+2），所以2m=−2m2−2m+2，解得，m=−7±√65因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），4（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，∴△PSC∽△RTC，∴PS RTCT，设点P坐标为（x1，x12−2x1−3），点R坐标为（x2，x22−2x2−3），所以有x1整理得，x1+x2＝4，−3−(x22−2x2−3)，PH x12−2x1−3−(x22−2x2−3)13若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，132，所以点Q坐标为（−7+√65−7−√652，﹣7+√65）或（2，﹣7−√65）．3．（2019年无锡27题）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y 轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD=√2，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．【分析】（1）先求得对称轴方程，进而得B点坐标，过D作DH⊥x轴于点H，由B，C的坐标得∠OBC ＝45°，进而求得DH，BH，便可得D点坐标，再由待定系数法求得解析式；（2）先求出A点的坐标，再分两种情况：A点在x轴上时，△OP A为等腰直角三角形，符合条件的点P 恰好有2个；A点不在x轴上，∠AOB＝△30°，OP A为等边三角形或顶角为120°的等腰三角形，符合条件的点P恰好有2个．据此求得a．【解析】（1）过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，∴对称轴为 x = − = 2，2a{，∴{，∵二次函数 y ＝ax 2﹣4ax +c ，−4a∴B （2，0），∵C （0，﹣2），∴OB ＝OC ＝2，∴∠OBC ＝∠DBH ＝45°，∵BH = √2，∴BH ＝DH ＝1，∴OH ＝OB +BH ＝2+1＝3，∴D （3，1），把 C （0，﹣2），D （3，1）代入 y ＝ax 2﹣4ax +c 中得，c = −29a − 12a + c = 1a = −1 c = −2∴二次函数的解析式为 y ＝﹣x 2+4x ﹣2；（2）∵y ＝ax 2﹣4ax +c 过 C （0，﹣2），∴c ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣4ax +c ＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣2，∴A （2，﹣4a ﹣2），∵P 在 y 轴上，且△POA 为等腰三角形，若符合条件的点 P 恰好有 2 个，∴①当抛物线的顶点 A 在 x 轴上时，∠POA ＝90°，则 OP ＝OA ，这样的 P 点只有 2 个，正、负半轴各一个，如图 2，解得 a = − 2；∴AB ＝OB •tan30°＝2× 3 = 3 ，∴|﹣4a ﹣2|= 3 ，∴a = − 2 − 6 √3或− 2 + 6 √3．综上，a = − 2或− 2 − 6 √3或− 2 + 6 √3． 4．（2017 年淮安 28 题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 y = − 1x 2+b x +c 的图象与坐标轴交此时 A （﹣2，0），∴﹣4a ﹣2＝0，1②当抛物线的顶点 A 不在 x 轴上时，∠AOB ＝△30°时，则 OP A 为等边三角形或∠AOP ＝120°的等腰三角形，这样的 P 点也只有两个，如图 3，√ 3 2√32√31 1 1 11 1 1 1 13于 A ，B ，C 三点，其中点 A 的坐标为（﹣3，0），点 B 的坐标为（4，0），连接 AC ，BC ．动点 P 从点 A出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒．连接 PQ ．（1）填空：b ＝13，c ＝ 4 ；（4）如图②，点 N 的坐标为（− 2，0），线段 PQ 的中点为 H ，连接 NH ，当点 Q 关于直线 NH 的对称【分析】（1）设抛物线的解析式为 y ＝a （x +3）（x ﹣4）．将 a = − 3代入可得到抛物线的解析式，从而可F ，过点 P 作 PG ⊥x 轴，垂足为点，首先证明△G P AG ∽△ACO ，依据相似三角形的性质可得到 PG = 5t ，AG = 5t ，然后可求得 PE 、DF 的长，然后再证明△MDP ≌PEQ ，从而得到 PD ＝EQ = 5t ，MD ＝PE ＝3+ 5t ，位线定理得到 RH = 2QO = 2t ，RH ∥OQ ，NR = 2AP = 2t ，则 RH ＝NR ，接下来，依据等腰三角形的性质 【解析】（1）设抛物线的解析式为 y ＝a （x +3）（x ﹣4）．将 a = − 3代入得：y = − 3x 2+ 3x +4，∴b = 3，c ＝4．（2）在点 P ，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 △M ，使PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t ；若不存在，请说明理由；3点 Q ′恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q ′的坐标．1确定出 b 、c 的值；（2）连结 QC ．先求得点 C 的坐标，则 PC ＝5﹣t ，依据勾股定理可求得 AC ＝5，CQ 2＝t 2+16，接下来，依据 CQ 2﹣CP 2＝AQ 2﹣AP 2 列方程求解即可；（3）过点 P 作 DE ∥x 轴，分别过点 M 、Q 作 MD ⊥DE 、QE ⊥DE ，垂足分别为 D 、E ，MD 交 x 轴与点43 4 2然后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点 M 的坐标，然后将点 M 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP ，取 OP 的中点 R ，连结 RH ，NR ，延长 NR 交线段 BC 与点 Q ′．首先依据三角形的中1 1 1 1和平行线的性质证明 NH 是∠QNQ ′的平分线，然后求得直线 N R 和 BC 的解析式，最后求得直线 N R 和BC 的交点坐标即可．1 1 11（2）在点 P 、Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形．理由如下：连结 QC ．OC =∵在点P、Q运动过程中，∠P AQ、∠PQA始终为锐角，∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°．将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4）．∵AP＝OQ＝t，∴PC＝5﹣t，∵在△Rt AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，在△Rt COQ中，依据勾股定理可知：CQ2＝t2+16，在Rt △CPQ中依据勾股定理可知：PQ2＝CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2＝PQ2，∴CQ2﹣CP2＝AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2＝t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t＝4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E＝∠D＝90°．∵PG∥y轴，∴△P AG∽△ACO，∴PG AGOA=APPGAC，即4=AG t3=5，10/82∴PG=5t，AG=5t，∴PE＝GQ＝GO+OQ＝AO﹣AG+OQ＝3−5t+t＝3+5t，DF＝GP=5t．∴PD＝EQ=5t，MD＝PE＝3+5t，∴FM＝MD﹣DF＝3+5t−5t＝3−5t，OF＝FG+GO＝PD+OA﹣AG＝3+5t−5t＝3+5t，∴M（﹣3−5t，﹣3+5t）．∴﹣3+5t=−3×（﹣3−5t）2+3×（﹣3−5t）+4，解得：t=−65±5√2052．∴t=−65+5√205∴RH=2QO=2t，RH∥OQ．∵A（﹣3，0），N（−2，0），43324∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，∴∠DMP+∠DPM＝∠EPQ+∠DPM＝90°，∴∠DMP＝∠EPQ．又∵∠D＝∠E，PM＝PQ，∴△MDP≌△PEQ，42242431 12∵点M在x轴下方的抛物线上，21111∵0≤t≤4，2．（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC于点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，113∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点，∴NR = 2AP= 2t ，设直线 AC 的解析式为 y ＝mx +n ，把点 A （﹣3，0）、C （0，4）代入得：{ ，解得：m = 3，n ＝4，∴直线 AC 的表示为 y = 3x+4． 设直线 NR 的函数表达式为 y = 3x +s ，将点 N 的坐标代入得： ×（− 2）+s ＝0，解得：s ＝2，∴直线 NR 的表述表达式为 y = 3x +2． y = x + 2 4，解得：x = 7，y = 7 ，7 ）．1 1∴RH ＝NR ，∴∠RNH ＝∠RHN ．∵RH ∥OQ ，∴∠RHN ＝∠HNO ，∴∠RNH ＝∠HNO ，即 NH 是∠QN Q ′的平分线．−3m + n = 0n = 444同理可得直线 BC 的表达式为 y ＝﹣x +4．4 4 3 34将直线 NR 和直线 BC 的表达式联立得：{ 3 y = −x + 46 226 22∴Q ′（ ， 75．（2017 年宿迁 25 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝x 2﹣2x ﹣3 交 x 轴于 A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M ，将该抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折，翻折后所得曲线记作 N ，曲线 N 交 y 轴于点 C ，连接 AC 、BC ．（1）求曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式；（△2）求 ABC 外接圆的半径；（3）点 P 为曲线 M 或曲线 N 上的一动点，点 Q 为 x 轴上的一个动点，若以点 B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标．【分析】（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y＝x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC且BQ＝PC，从而可用x表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C 的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x 的方程，可求得P点坐标．【解析】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0可得y＝﹣3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，∴C（0，3），设曲线N的解析式为y＝ax2+bx+c，a−b+c=0a=−1把A、B、C的坐标代入可得{9a+3b+c=0，解得{b=2，c=3c=3∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（△2）设ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，又线段AB的垂直平分线为曲线N的对称轴，即x＝1，∴M（1，1），∴MB=√(1−3)2+12=√5，即△ABC外接圆的半径为√5；（3）设Q（t，0），则BQ＝|t﹣3|①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，∴P点纵坐标为3，即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，当点P在曲线M上时，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝3可解得x＝1+√7或x＝1−√7，∴PC＝1+√7或PC=√7−1，当x＝1+√7时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝1+√7，解得t＝4+√7，当x＝1−√7时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ＝3﹣t，∴3﹣t=√7−1，解得t＝4−√7，∴Q点坐标为（4+√7，0）或（4−√7，0）；当点P在曲线N上时，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3可求得x＝0（舍去）或x＝2，∴PC＝2，此时Q点在B点的右侧，则BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝2，解得t＝5，∴Q点坐标为（5，0）；②当BC为平行四边形的对角线时，6．（2017 年常州 27 题）如图，在平面直角坐标系 xOy ，已知二次函数 y = − 1x 2+bx 的图象过点 A （4， ∵B （3，0），C （0，3），3 3∴线段 BC 的中点为（ ， ），设 P （x ，y ），2 2∴x +t ＝3，y +0＝3，解得 x ＝3﹣t ，y ＝3，∴P （3﹣t ，3），当点 P 在曲线 M 上时，则有 3＝（3﹣t ）2﹣2（3﹣t ）﹣3，解得 t ＝2+√7或 t ＝2−√7，∴Q 点坐标为（2+√7，0）或（2−√7，0）；当点 P 在曲线 N 上时，则有 3＝﹣（3﹣t ）2+2（3﹣t ）+3，解得 t ＝3（Q 、B 重合，舍去）或 t ＝1，∴Q 点坐标为（1，0）；综上可知 Q 点的坐标为（4+√7，0）或（4−√7，0）或（5，0）或（2+√7，0）或（2−√7，0）或（1，0）．20），顶点为 B ，连接 AB 、BO ．（1）求二次函数的表达式；（2）若 C 是 BO 的中点，点 Q 在线段 AB 上，设点 B 关于直线 CQ 的对称点为 B △'，当 OCB'为等边三角形时，求 BQ 的长度；（3）若点 D 在线段 BO 上，OD ＝2DB ，点 E 、F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）先求出 OB 和 AB 的长，根据勾股定理的逆定理证明∠ABO ＝90°，由对称计算∠QCB ＝60°，利用特殊的三角函数列式可得 BQ 的长；（3）因为 D 在 OB 上，所以 F 分两种情况：i ）当 F 在边 OA 上时，ii ）当点 F 在 AB 上时，【解析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：−2×42+4b＝0，解得b＝2，∴二次函数的表达式为y=−2x2+2x．（2）∵y=−2x2+2x=−2（x﹣2）2+2，∴tan60°=BC ，当F在边OA上时，分三种情况：①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，则E、F在OA上，②如图△3，作辅助线，构建OFD≌△EDF ≌△FGE，③如图△4，将DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，当点F在OB上时，过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，依次求出点E的坐标即可．ii）当点F在AB上时，分两种情况：画出图形可得结论．1111∴B（2，2），抛物线的对称轴为x＝2．如图1所示：由两点间的距离公式得：OB=√22+22=2√2，BA=√(4−2)2+(2−0)2=2√2．∵C是OB的中点，∴OC＝BC=√2．∵△OB′C为等边三角形，∴∠OCB′＝60°．又∵点B与点B′关于CQ对称，∴∠B′CQ＝∠BCQ＝60°．∵OA＝4，OB＝2√2，AB＝2√2，∴OB2+AB2＝OA2∴∠OBA＝90°．在△Rt CBQ中，∠CBQ＝90°，∠BCQ＝60°，BC=√2，BQ∴BQ=√3CB=√3×√2=√6．∴OD=3OB=3，∴cos45°=OD，∴OF＝OD•cos45°=3×2=3，8（3）分两种情况：i）当F在边OA上时，①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，∵△DOF≌△DEF，且E在线段OA上，∴OF＝FE，由（2）得：OB＝2√2，∵点D在线段BO上，OD＝2DB，24√2∵∠BOA＝45°，OF4√2√24则OE＝2OF=3，8∴点E的坐标为（，0）；3②如图3，过D作DF⊥x轴于F，过D作DE∥x轴，交AB于E，连接EF，过E作EG⊥x轴于G，∴△BDE∽△BOA，OB=∴DE=3，∵DE＝OF=3，DF＝DF，∴OG＝OF+FG＝OF+DE=3+3=3，EG＝DF＝OD•sin45°=3，∴OD＝DE=3，∵BD=2OD=3，∴在△Rt DBE中，由勾股定理得：BE=√DE2−BD2=3，则BN＝NE＝BE•cos45°=3×2=3，OM+NE＝2+3，BM﹣BN＝2−3，∴BD DE1OA=3，∵OA＝4，4∵DE∥OA，∴∠OFD＝∠FDE＝90°，4∴△OFD≌△EDF，同理可得：△EDF≌△FGE，∴△OFD≌△EDF≌△FGE，448484∴E的坐标为（，）；33③如图△4，将DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，过B作BM⊥x轴于M，过E作EN⊥BM于N，由翻折的性质得：△DOF≌△DEF，4√212√22√62√6√22√32√32√3∴点E的坐标为：（2+3，2−3）；BO=2√32√3，0）或（，2√32√3ii）当点F在AB上时，①过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，∵DF∥x轴，∴△BDF∽△BOA，∴BD BFBA，由抛物线的对称性得：OB＝BA，∴BD＝BF，则∠BDF＝∠BFD，∠ODF＝∠AFD，∴OD＝OB﹣BD＝BA﹣BF＝AF，则△DOF≌△DAF，∴E和A重合，则点E的坐标为（4，0）；②如图6，由①可知：当E与O重合时，△DOF与△DEF重合，此时点E（0，0）；884综上所述，点E的坐标为：（333）或（2+3，2−3）或（4，0）或（0，0）．【解答】（1）解：将 B （4，0），C （0，4）代入 y ＝x 2+b x +c 得{ 解得{【专项突破】【题组一】1．（2020•张家港市模拟）如图，二次函效 y ＝x 2+bx +c 的图象与 x 轴交于 A ，B 两点，B 点坐标为（4，0），与 y 轴交于点 C （0，4）点 D 为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式及 A 点坐标；（△2）若 BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点 D 的坐标；（△3）若 BCD 是锐角三角形，请写出点 D 的横坐标 m 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令 y ＝0，求 A 的坐标；（2）设 D 点板坐标为 3，代入函数解析式可得纵坐标，分别论∠BCD ＝90°，∠CBD ＝90°的情況，作出图形进行求解；（3）当 BC 为斜边构成 △Rt BCD 时，以 BC 中点 O 为圆心，以 BC 直径画圆，与抛物线交于 D 和 D'，此时△BCD 和△BCD'就是以 BC 为斜边的直角三角形，利用两点间的距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到 m 的取值范围．16 + 4b + c = 0 c = 4b = −5c = 4所以抛物的解析式为 y ＝x 2﹣5x +4令 y ＝0，得 x 2﹣5x +4＝0，解得 x 1＝1，x 2＝4∴A 点的坐标为（1，0）（2）解：设 D 点坐标为 a ，则坐标为 a 2﹣5a +4①当∠BCD ＝90°时，如下图所示，连结BC，过C点作CD⊥BC与抛物交于点D，过D作DE⊥y轴于点E，由B、C坐标可知，OB＝OC＝4∴△OBC为等要真角三角形，∴∠OCB＝∠OBC＝45°又∵∠BCD＝90°，∴∠ECD+∠OCB＝90°∴∠ECD＝45°，∴△CDE为等要真角三角形，∴DE＝CE＝a∴OE＝OC+CE＝a+4由D、E织坐标相等，可得a2﹣5a+4＝a+4解得a1＝6，a2＝0，当a＝0时，D点坐标为（0，4），与C重含，不符含思意，舍去当a＝6时，D点坐标为（6，10）②当∠CBD＝90°时，如下图所示，连按BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G ∠COB＝∠OBF＝∠BFC＝90°，四边形OBFC为形，又∵OC＝OB，∴四边形OBFC为正方形，∠CBF＝45°∠CBD＝90°，∴∠CBF+∠DBG＝90°∴∠DBG＝45°，∴△DBG为等腰直角三角形，∴DG＝BGD点横坐标为a∴DG＝4﹣a而BG＝﹣（a2﹣5a+4）∴﹣（a2﹣5a+4）＝4﹣a解得a1＝2，a2＝4当a＝4时，D点坐标为（4，0），与B重含，不符含题意，舍去当a＝2时，D点坐标为（2，﹣2）上所述，D点坐标为（6，10）或（2，﹣2）（3）当BC为斜边构成△Rt BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与物线交于D和D’BC为O'的直径∴D 到 O'的距离为 O'的半径r = 2 BC = 2√2∠BDC ＝∠BD'C ＝90°∵BC = √OB 2 + OC 2 = 4√21D 点横坐标为 m ，纵坐标为 m 2﹣5m +4，O'坐标为（2，2），∴DO ′ = √(m − 2)2 + (m 2 − 5m + 4 − 2)2由图象易得 m ＝0 或 4 为方程的解，则方程方边必有因式 m（m 一 4）采用因式分解法进行降次解方程m （m ﹣4）（m 2﹣6m +6）＝0m ＝0 或 m ﹣4＝0 或 m 2﹣6m +6＝0，解得m 1 = 0，m 2 = 4，m 3 = 3 + √3，m 4 = 3 − √3当 m ＝0 时，D 点坐标为（0，4），与 C 点重合， 舍去；当 m ＝4 时，D 点坐标为（4，0），与 B 点重合，舍去；当m = 3 + √3时，D 点横坐标3 + √3当m = 3 − √3时，D 点横坐标为3 − √3结合（△2）中 BCD 形成直角三角形的情况，可得△BCD 为锐角三角形时，D 点横坐标 m 的取值范围为3 + √3＜m ＜6或3 − √3＜m ＜2．2．（2020•宝应县一模）如图 1，矩形 ABCD 的一边 BC 在直角坐标系中 x 轴上，折叠边 AD ，使点 D 落在 x轴上点 F 处，折痕为 AE ，已知 AB ＝8，AD ＝10，并设点 B 坐标为（m ，0），其中 m ＜0．（1）求点 E 、F 的坐标（用含 m 的式子表示）；（2）连接 △OA ，若 OAF 是等腰三角形，求 m 的值；（3）如图 2，设抛物线 y ＝a （x ﹣m +6）2+h 经过 A 、E 两点，其顶点为 M ，连接 AM ，若∠O AM ＝90°，求 a 、h 、m 的值．【分析】（1）根据题意和图形，可以求得 BF ，CE 的长度，再根据点 B 坐标为（m ，0），从而可以用含a ∴（m ﹣6）2＝m 2+64，得 m = − 3；m 的式子表示表示出点 E 、F 的坐标；（2）根据题意，可知分三种情况，然后分别求出 m 的值即可解答本题；（3）根据（1）中的结果，可以用含 m 的式子表示出点 A 和点 E 的坐标，然后根据抛物线 y ＝ （x ﹣m +6）2+h 经过 A 、E 两点，从而可以求得 a 、h 的值，再根据三角形相似，可以求得 m 的值，本题得以解决．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，AB ＝8，AD ＝10，∴AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝8，∠D ＝∠DCB ＝∠ABC ＝90°，由折叠对称性：AF ＝AD ＝10，FE ＝DE ，在 △Rt ABF 中，BF = √AF 2 − AB 2 = √102 − 82 =6，∴FC ＝4，设 DE ＝x ，则 CE ＝8﹣x ，在 △Rt ECF 中，42+（8﹣x ）2＝x 2，得 x ＝5，∴CE ＝8﹣x ＝3，∵点 B 的坐标为（m ，0），∴点 E 的坐标为（m ﹣10，3），点 F 的坐标为（m ﹣6，0）；（2）分三种情形讨论：若 AO ＝AF ，∵AB ⊥OF ，BF ＝6，∴OB ＝BF ＝6，∴m ＝﹣6；若 OF ＝AF ，则 m ﹣6＝﹣10，得 m ＝﹣4；若 AO ＝OF ，在 △Rt AOB 中，AO 2＝OB 2+AB 2＝m 2+64，7由上可得，m ＝﹣6 或﹣4 或− 3；解得，{ a = 4 ， ∴该抛物线的解析式为 y = 4（x ﹣m +6）2﹣1， 由上可得，a = 4，h ＝﹣1，m ＝﹣12．7（3）由（1）知 A （m ，8），E （m ﹣10，3），∵抛物线 y ＝a （x ﹣m +6）2+h 经过 A 、E 两点，a(m − m + 6)2 + ℎ = 8∴{ ，a(m − 10 − m + 6)2 + ℎ = 31 ℎ = −11∴点 M 的坐标为（m ﹣6，﹣1），设对称轴交 AD 于 G ，∴G （m ﹣6，8），∴AG ＝6，GM ＝8﹣（﹣1）＝9，∵∠OAB +∠BAM ＝90°，∠BAM +∠MAG ＝90°，∴∠OAB ＝∠MAG ，又∵∠ABO ＝∠MGA ＝90°，∴△AOB ∽△AMG ，∴ OBMG = AB AG，即 −m 9 8 = ，6解得，m ＝﹣12，13．（2019 秋•邗江区校级期末）如图①抛物线 y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点 D （3，m ）在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 N 在抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，当以 M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 M 的坐标．∴{，解得{a=−1．【分析】（1）把已知点A、B代入抛物线y＝ax2+bx+4中即可求解；（2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点D的坐标，再根据三角形全等证明∠PBC＝∠DBC，最后求出直线BP解析式即可求出P点坐标；（3）根据平行四边形的判定即可写出点M的坐标．【解答】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．a−b+4=016a+4b+4=0b=3∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣1.5）2+6.25．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，k = − 4，b ＝1，∴BP 解析式为 y BP = − 4x+1． y BP = − 4x +1，y ＝﹣x 2+3x +4，当 y ＝y BP 时，− 4x+1＝﹣x 2+3x +4， 解得 x 1= − 4，x 2＝4（舍去）， ∴y = 16，在△DCB 和△GCB 中，CB = CB{∠DCB = ∠OCB ， CG = CD∴△DCB ≌△GCB （SAS ）∴∠DBC ＝∠GBC ．设直线 BP 解析式为 y BP ＝kx +b （k ≠0），把 G （0，1），B （4，0）代入，得11113193 19 ∴P （− 4，16）．（3）设点 N （1.5，n ），当 BC 、MN 为平行四边形对角线时，由 BC 、MN 互相平分，M （2.5，4﹣n ），代入 y ＝﹣x 2+3x +4，得 4﹣n ＝﹣6.25+7.5+4，解得 n ＝1.25，∴M （2.5，2.75）；当 BM 、NC 为平行四边形对角线时，由 BM 、NC 互相平分，M （﹣2.5，4+n ），代入 y ＝﹣x 2+3x +4，得 4+n ＝﹣6.25﹣7.5+4，解得 n ＝﹣13.75，∴M （﹣2.5，﹣13.75）；当 MC 、BN 为平行四边形对角线时，由 MC 、BN 互相平分，M （5.5，n ﹣4），代入 y ＝﹣x 2+3x +4，t 1 2m ， ），△0 CBE 的面积= 2BH ×（x C ﹣y E ） = 1×（3 2 2m ）（3+m ﹣2m ﹣3）＝6，即可求解；3得 n ﹣4＝﹣30.25+16.5+4，解得 n ＝﹣5.75，∴M （5.5，﹣9.75）．综上所述，点 M 的坐标为：M 1（2.5，2.75），M 2（﹣2.5，﹣13.75），M 3（5.5，﹣9.75）．4．（2019 秋•亭湖区校级期末）如图，抛物线 y ＝﹣x 2+b x +3 与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 C ，其中点 A （﹣1，0）．过点 A 作直线 y ＝x +c 与抛物线交于点 D ，动点 P 在直线 y ＝x +c 上，从点 A 出发，以每秒√2个单位长度的速度向点 D 运动，过点 P 作直线 PQ ∥y 轴，与抛物线交于点 Q ，设运动时间为 （s ）．（1）直接写出 b ，c 的值及点 D 的坐标；（2）点 E 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE 的面积为 6 时，求出点 E 的坐标；（3）在线段 PQ 最长的条件下，点 M 在直线 PQ 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 D 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点 N 的坐标．【分析】（1）将点 A 的坐标分别代入抛物线和直线的表达式即可求解；3 （2）求出直线 CE 的表达式为：y ＝（2﹣m ）x +3，则点 H （21 3（3）PQ ＝﹣t 2+4t ﹣t ＝﹣t 2+3t ，故 PQ 有最大值，点 P （ ， ），①当∠D MN 为直角时，（Ⅰ）当点 M2 2在 x 轴上方时，如图 △2，证明 DGM ≌△MHN （AAS ），则 GD ＝MH ，NH ＝GM ，即可求解（Ⅱ）当点M在 x 轴下方时，同理可得：△MEN ≌△DHM （AAS ），即可求解；②当∠D NM 为直角时，同理可解．【解答】解：（1）将点 A 的坐标代入 y ＝﹣x 2+bx +3 得：0＝﹣1﹣b +3，，解得：{ s= −m + 2，△CBE 的面积= 2BH ×（x C ﹣y E ）= 2 ×（3− 2−m ）（3+m 2﹣2m ﹣3）＝6，解得：b ＝2，将点 A 的坐标代入 y ＝x +c 并解得：c ＝1，故抛物线和直线的表达式分别为：y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝x +1；y = −x 2 + 2x + 3x = 2联立上述两式得：{y = x + 1，解得：{y = 3，故点 D （2，3）；（2）如图 1，设直线 CE 交 x 轴于点 H ，设点 E （m ，﹣m 2+2m +3），而点 C （0，3），将点 E 、C 坐标代入一次函数表达式 y ＝sx +t 得：{−m 2+ 2m + 3 = ms + tt = 3t = 3故直线 CE 的表达式为：y ＝（2﹣m ）x +3，33 令 y ＝0，则 x = 2−m ，故点 H （2−m ，0），1 1 3解得：m ＝2，故点 E （2，3）；（3）点 C 、E 的纵坐标相同，故 CD ∥x 轴，t 秒时，AP = √2t ，则点 P 在 x 轴和 y 轴方向移动的距离均为 t ，故点 P （t ﹣1，t ），当 x ＝t ﹣1 时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣t 2+4t ，故点 Q （t ﹣1，﹣t 2+4t ），则 PQ ＝﹣t 2+4t ﹣t ＝﹣t 2+3t ，31 3 ∵﹣1＜0，故 PQ 有最大值，此时，t = 2，则点 P （2，2），故直线PQ表达式为：x=2；m=2−1m=33−m=n−1，解得：{2n=22，11设点M（，m），点N（n，0），而点D（2，3）；2①当∠D MN为直角时，（Ⅰ）当点M在x轴上方时，如图2，设直线PQ交x轴于点H，交CD于点G，∵∠DMG+∠GDM＝90°，∠DMG+∠HMN＝90°，∴∠HMN＝∠GDM，MN＝MD，∠DGM＝∠MHN＝90°，∴△DGM≌△MHN（AAS），∴GD＝MH，NH＝GM，即：{2故点N（2，0）；（Ⅱ）当点M在x轴下方时，如图3，1 − m =2 − 3即{1 2 ∴RM ＝NH ，即 3= 2 −n ，解得：n ＝﹣2.5；过点 M 作 x 轴的平行线交过点与 y 轴的平行线于点 H ，交过点 N 与 y 轴的平行线于点 E ，同理可得：△MEN ≌△DHM （AAS ），故：NE ＝MH ，EM ＝DH ，1，解得：{m = − 2， 2 − n = 3 − m n = −4故点 N （﹣4，0）；②当∠D NM 为直角时，（Ⅰ）当点 N 在 x 轴左侧时，如图 4，过点 N 作 y 轴的平行线交过点 C 与 x 轴的平行线于点 H ，交过点 M 与 x 轴的平行线于点 R ，同理可得：△DHN ≌△NRM （AAS ），1（Ⅱ）当点 N 在 x 轴右侧时，如图 5，过点 N 作 y 轴的平行线交过点 M 与 x 轴的平行线于点 H ，交过点 D 与 x 轴的平行线于点 G ，∴MH＝GN，即n−2=3，解得：n＝3.5，4同理可得：△MHN≌△NGD（AAS），1综上，N的坐标为：（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2.5，0）或（3.5，0）．【题组二】5．（2019秋•崇川区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），a=4；∴抛物线的表达式为：y=4x2﹣2x+3；证明：连接CE，则CE⊥BD，（x﹣4）2﹣1＝0时，x1＝2，x2＝6．√138√13=CE（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF=5，请直接写出点E ∴3＝a（0﹣4）2﹣1，11（2）相交．14A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x＝4，∴OB＝2，AB=√13，BC＝4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，∴△AOB∽△BEC，∴ABBC=OB2CE，即4，解得CE=13，∵8√1313＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．6．（2019•徐州一模）如图，已知二次函数y＝ax2+b x+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y 的正半轴交于点C．（1）求二次函数y＝ax2+b x+3的表达式．（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连结△CN，将CMN沿CN翻折，M的对应点为D．探究：是否存在点Q，使得四边形MNDC是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6到直线 BC 的距离，结合 EF = 5可得出点 P 1 为线段 OC 的中点，进而可得出点 P 1 的坐标，由 CP 1＝CP 2a = − {，解得：{ 9 ，b =∴二次函数的表达式为 y = − 4x 2+ 4x +3． （2）当 x ＝0 时，y = − 4x2+ 4x +3＝3，4k + c = 0 k = − { ，解得：{ 4， c = 3的坐标．【分析】（1）根据点 A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，由点 B ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线 BC 的函数表达式，由点 Q 的坐标可得出点 M ，N 的坐标，进而可得出 MN 的长度，结合点 C 的坐标可得出 MC 的长度，由菱形的性质可得出 MN ＝MC ，进而可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值（取正值），进而可得出点 Q 的坐标；（3）过点 E 作 EP ∥直线 BC ，交 y 轴于点 P ，这样的点 P 有两个，记为 P 1，P 2，利用面积法可求出点 O6可得出点 P 2 的坐标，结合 BC 的解析式可求出直线 EP 的函数表达式，联立直线 EP 和抛物线的函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点 P 的坐标．【解答】解：（1）将 A （﹣1，0），B （4，0）代入 y ＝ax 2+b x +3，得：3a −b + 3 = 04 16a + 4b + 3 = 043 93 9∴点 C 的坐标为（0，3）．设直线 BC 的函数表达式为 y ＝kx +c （k ≠0），将 B （4，0），C （0，3）代入 y ＝kx +c ，得：3c = 3∴直线BC的函数表达式为y=−4x+3．∴点M的坐标为（m，−4m+3），点N的坐标为（m，−4m2+4m+3），∴NM=−4m2+4m+3﹣（−4m+3）=−4m2+3m．∴CM=√(m−0)2+(−4m+3−3)2=4m，∴−4m2+3m=4m，解得：m1＝0（舍去），m2=3，3∵点Q的坐标为（m，0），3393933∵四边形MNDC是菱形，∴MN＝MC．∵点C的坐标为（0，3），353577∴点Q的坐标为（，0）．37∴存在点Q（，0），使得四边形MNDC是菱形．3（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，如图2所示．∵OB＝4，OC＝3，∴BC=√OB2+OC2=5，∴点 O 到直线 BC 的距离为OB⋅OC∵以 E 为圆心的圆与直线 BC 相切与点 F ，且 EF = 5，∴点 P 1 的坐标为（0， ）．∴点 P 2 的坐标为（0， ）．∵直线 BC 的函数表达式为 y = − 4x+3， ∴直线 EP 的函数表达式为 y = − 4x + 2或 y = − 4x + 2． y = − x + y = − x +联立直线 EP 和抛物线的函数表达式成方程组，得：{ 或{ ，3√ 6，{ 3√ 6 ，{ 3√ 2，{ 3√ 2，∴点 E 的坐标为（2−√6， ），（2+√6，− 4 ），（2−√2，3+ 4 ）或（2+√2，3− 4 ）．4 7．（2019•亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = − 4x 2+b x +c 的图象与 y 轴交于点 A （0，+ x + 3 y = − + y 2 = − y 3 = 3 + y 4 = 3 −BC=12 5．66∴点 E 到直线 BC 的距离为 ，5∴点 P 1 为线段 OC 的中点，3 2∵CP 1＝CP 2，9 233 3 3 93 3 3 94 2 4 2y = − 3 x 2 9 3 x 2 9 x + 34 4 4 4x 1 = 2 − √6x 2 = 2 + √6 x 3 = 2 − √2 x 4 = 2 + √2 解得：{ y 1 = 44 4 43√6 3√ 6 3√ 2 3√ 218），与 x 轴交于 B 、C 两点，其中点 C 的坐标为（4，0）．点 P （m ，n ）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点 D 的坐标为（0，4），连接 BD ．（1）求该二次函数的表达式及点 B 的坐标；（2）连接 OP ，过点 P 作 PQ ⊥x 轴于点 Q ，当以 O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBD 相似时，求 m 的值；（3）连接 BP ，以 BD 、BP 为邻边作 BDEP ，直线 PE 交 y 轴于点 T ．①当点 E 落在该二次函数图象上时，求点 E 的坐标；②在点 P 从点 A 到点 B 运动过程中（点 P 与点 A 不重合），直接写出点 T 运动的路径长．（2）可设P（m，−4m2﹣m+8），由∠OQP＝∠BOD＝°，则分两种情况：△90POQ∽△OBD和△POQ【解答】解：（1）把A（0，8），C（4，0）代入y=−4x2+b x+c得{，解得{∴该二次函数的表达为y=−4x2﹣x+8当y＝0时，−4x2﹣x+8＝0，解得x1＝﹣8，x2＝4（2）设P（m，−4m2﹣m+8），由∠OQP＝∠BOD＝90°，分两种情况：OQ=即−4m2﹣m+8＝2×（﹣m），解得m＝﹣4，或m＝8（舍去）DO=即﹣m＝2×（−4m2﹣m+8），解m＝﹣1−√33或m＝﹣1+√33（舍去）【分析】（1）直接将A，C两点代入即可求1∽△OBD分别求出PQ与OQ的关系即可（3）作平行四边形，实质是将B、P向右平移8个单位，再向上平移4个单位即可得到点E和点D，点E在二次函数上，代入即可求m的值，从而求得点E的坐标．1c=8b=−1−4+4b+c=0c=811∴点B的坐标为（﹣8，0）1当△POQ∽△OBD时，PQ BOOD=84=2∴PQ＝2OQ1OQ 当△POQ∽△OBD时，PQ =BO84=2∴OQ＝2PQ1综上所述，m的值为﹣4或﹣1−√33（3）①∵四边形BDEP为平行四边形，∵点 P （m ，− 4m 2﹣m +8），∴点 E （m +8，− 4m 2﹣m +12）， ∴− 4（m +8）2﹣（m +8）+8= − 4m 2﹣m +12②∵点 P （m ，− m 2﹣m +8），∴点 E （m +8，− 4m 2﹣m +12），∴直线 PE 与 BD 的斜率相同 k = 8 = 2∴直线 PE 的解析式为：y = 2 x+b 点 P 在直线上，则有− 4m 2﹣m +8= 2m+b 整理得，b = − 4（m +3）2+ 4 则点 T 在 y 轴的运动的路径为41 −8=42 ．∴PE ∥BD ，PE ＝BD∵点 B 向右平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 D∴点 P 向右平移 8 个单位，再向上平衡 4 个单位得到点 E11∵点 E 落在二次函数的图象上1 1解得 m ＝﹣727 ∴点 E 的坐标为（1，4）1 41∵PE ∥BD4 111 11 41即 T 的纵坐标最大值为414当点 P 与点 B 重合时，点 T 的纵坐标为 4，4 −4+ 41 178．（2019 秋•灌云县期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，﹣2），C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 △m ， AMB 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值．（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P 、Q 、B 、。