甘怡群《心理与行为科学统计》笔记和习题详解(第5~10章)【圣才出品】
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来公式中的σ。公式如下：
（二）取样分布 1．含义 取样分布是指从同一总体中可以抽取出很多个样本，总体中可抽取的所有可能的特定容 量分布的统计量（包括平均数，两平均数之差，方差，标准差，相关系数，回归系数，百分 比率等等）所形成的统计分布。 2．取样分布与总体分布的区别 取样分布是参数或统计量的集合，而总体分布和样本分布则是原始分数的集合。 （三）样本均值分布 1．含义 样本均值的分布是取样分布的一个特例。它是指总体中可抽取的所有可能的特定容量 （n）的随机样本的均值的集合。样本均值的分布包含所有可能的样本；由于属于取样分布， 在样本均值的分布中，值不是分数，而是统计量（样本均值）。 2．建构一个样本均值分布的步骤 首先，从总体中随机抽取得到一个包含 n 个分数的样本，计算出它的均值并把它记下 来；然后选择另一个随机样本，也计算出均值；重复前两个步骤，便得到所有可能的随机样 本，它们的均值就形成了样本均值的分布。 3．样本均值分布的特点 （1）样本均值的分布形状上接近正态分布，尤其当总体是正态分布，或者样本量较大
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第 5 章 概率和样本：样本均值的分布
5.1 复习笔记
一、样本均值的分布 （一）取样方法 1．简单随机取样 简单随机抽样是最基本的一种随机取样方法，具体操作是可以将总体中的每一个个体都 编上号码并抽签，或者利用随机数字表。这种抽样只适用于总体数目较少且总体的个体之间 差异程度较小的情况。 2．等距抽样 当总体的数目非常大时，可以使用等距抽样，也是将每个个体编号，并且将已编好号码 的个体排成顺序，然后每隔若干个抽取一个。一旦定下取样间隔和起点之后，每一个个体就 没有相等的机会被抽取到，而是只有每隔一定的间隔的个体才能被抽取。但是这个方法使得 被抽取的个体均匀地分配在总体当中，而不会发生聚堆的现象。但是，不适合总体排列具有 周期性的情况。 3．分层随机抽样 当总体内的个体差异比较大时，必须考虑到总体的这种信息再进行随机抽取。在抽样时 先根据差异分成不同的层次，然后再在每个层次中随机抽取。在进行分层随机抽样时，每一 层中抽取的样本数目可以不同，更恰当的方法是应当考虑总体的比例。 4．阶段抽样 当总体容量很大时，直接以总体中的所有个体为对象进行抽样，在实际调查或研究中存在很
当得到所有可能的样本时，它们的均值就完全与总体均值相等。因此所有样本均值的平均称
为 X 的期望值，应该等于总体均值。
（4）与正态分布的标准差类似，样本均值分布中用标准误（SE）来描述。它是指样本
均值分布的标准差。它反映了样本均值和总体均值之间平均差异的大小。
X 的标准误= X = X 与μ的标准距离
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（30 以上）时，样本均值的分布几乎可以看做是完全的正态分布。
（2）取样是为了对总体进行最好的估计。因此当从总体中抽取出一个样本，它的均值
应该是趋近于总体均值，它可以代表这个总体。
（3）无偏估计时，样本均值等于总体均值，这也是正态情况下样本均值分布的均值。
一个样本均值可能大于或小于总体均值。
（2）标准误则提供了一个衡量取样误差的方法。它衡量了样本均值与总体均值之间平
Hale Waihona Puke Baidu
均起来的差异，这样就可以知道样本能在多大程度上代表总体。
（3）可以把标准差看成是标准误的特例。标准误的公式：
，如果是一个单个
分数，即 n=1，那么
，即标准误等于标准差。
二、样本均值分布与概率
n
（五）标准差、标准误和取样误差
1．标准差
标准差是总体中的概念，指的是总体中一个分数与总体均值的标准距离，即 X-μ。衡量
的是次数分布的变异性。
2．标准误
标准误是样本均值分布中的概念，是指一个样本均值和其相应的总体均值之间的标准距
离，即 X -μ。衡量的是样本均值分布的变异性。
3．取样误差
（1）取样误差描述了样本和总体所得到的统计量与参数之间的偏差（或误差）。任何
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（一）样本均值分布中概率的计算 1．由样本平均数计算 z 分数 除了能用 z 分数来描述单个的分数，还可以描述选取的一个样本在样本均值分布中的位
置。由于要考查的是样本而不是单个的分数，因此 X 代替了原来公式中的 X； X 代替了原
σ是指与均值的一个标准差或标准距离，而下标 X 是指测量的是样本均值的分布的标准
差。因此，标准误就测量了 X 与μ之间平均起来能预期到的误差。
（四）中心极限定律
1．标准误的定义公式
X的标准误
X
n
2．影响样本均值标准误的两个因素
（1）样本容量对样本均值标准误的影响
样本越大，就能越准确地代表总体。当样本完全等于总体时，对总体的估计就完全没有
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大困难。此时，对于这种大范围的调查研究一般采取阶段抽样方法，如两阶段随机抽样。首 先将总体分成 M 个部分，每一部分是一“集团”（“群”），第一步从 M 个集团中随机抽取 m 个作为第一阶段的样本，第二步是分别从所选取的 m 个“集团”中抽取 n 个个体构成第二 阶段样本。
偏差。
（2）总体的方差对标准误的影响
当总体方差较大时，总体本身包含的分数比较分散，离总体均值较远的极端值比较多，
因此从中抽取样本，也会包含较多极端值，难以较好地对总体均值进行估计；当总体方差较
小时，抽取的样本分数都比较靠近总体均值，能更好地估计总体均值。因此总体方差越大，
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标准误就越大。
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3．中心极限定律
对于任何均值为μ，标准差为σ的总体，样本容量为 n 的样本均值的分布，随着 n 趋近
无穷大时，会趋近均值为μ，标准差为 的正态分布。因此，当 n 足够大时（30 或以上），
n
近似地有 X ～ N（ ， ）。中心极限定律综合了样本均值的形状、均值和方差这三个特征。
（二）取样分布 1．含义 取样分布是指从同一总体中可以抽取出很多个样本，总体中可抽取的所有可能的特定容 量分布的统计量（包括平均数，两平均数之差，方差，标准差，相关系数，回归系数，百分 比率等等）所形成的统计分布。 2．取样分布与总体分布的区别 取样分布是参数或统计量的集合，而总体分布和样本分布则是原始分数的集合。 （三）样本均值分布 1．含义 样本均值的分布是取样分布的一个特例。它是指总体中可抽取的所有可能的特定容量 （n）的随机样本的均值的集合。样本均值的分布包含所有可能的样本；由于属于取样分布， 在样本均值的分布中，值不是分数，而是统计量（样本均值）。 2．建构一个样本均值分布的步骤 首先，从总体中随机抽取得到一个包含 n 个分数的样本，计算出它的均值并把它记下 来；然后选择另一个随机样本，也计算出均值；重复前两个步骤，便得到所有可能的随机样 本，它们的均值就形成了样本均值的分布。 3．样本均值分布的特点 （1）样本均值的分布形状上接近正态分布，尤其当总体是正态分布，或者样本量较大
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第 5 章 概率和样本：样本均值的分布
5.1 复习笔记
一、样本均值的分布 （一）取样方法 1．简单随机取样 简单随机抽样是最基本的一种随机取样方法，具体操作是可以将总体中的每一个个体都 编上号码并抽签，或者利用随机数字表。这种抽样只适用于总体数目较少且总体的个体之间 差异程度较小的情况。 2．等距抽样 当总体的数目非常大时，可以使用等距抽样，也是将每个个体编号，并且将已编好号码 的个体排成顺序，然后每隔若干个抽取一个。一旦定下取样间隔和起点之后，每一个个体就 没有相等的机会被抽取到，而是只有每隔一定的间隔的个体才能被抽取。但是这个方法使得 被抽取的个体均匀地分配在总体当中，而不会发生聚堆的现象。但是，不适合总体排列具有 周期性的情况。 3．分层随机抽样 当总体内的个体差异比较大时，必须考虑到总体的这种信息再进行随机抽取。在抽样时 先根据差异分成不同的层次，然后再在每个层次中随机抽取。在进行分层随机抽样时，每一 层中抽取的样本数目可以不同，更恰当的方法是应当考虑总体的比例。 4．阶段抽样 当总体容量很大时，直接以总体中的所有个体为对象进行抽样，在实际调查或研究中存在很
当得到所有可能的样本时，它们的均值就完全与总体均值相等。因此所有样本均值的平均称
为 X 的期望值，应该等于总体均值。
（4）与正态分布的标准差类似，样本均值分布中用标准误（SE）来描述。它是指样本
均值分布的标准差。它反映了样本均值和总体均值之间平均差异的大小。
X 的标准误= X = X 与μ的标准距离
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（2）取样是为了对总体进行最好的估计。因此当从总体中抽取出一个样本，它的均值
应该是趋近于总体均值，它可以代表这个总体。
（3）无偏估计时，样本均值等于总体均值，这也是正态情况下样本均值分布的均值。
一个样本均值可能大于或小于总体均值。
（2）标准误则提供了一个衡量取样误差的方法。它衡量了样本均值与总体均值之间平
Hale Waihona Puke Baidu
均起来的差异，这样就可以知道样本能在多大程度上代表总体。
（3）可以把标准差看成是标准误的特例。标准误的公式：
，如果是一个单个
分数，即 n=1，那么
，即标准误等于标准差。
二、样本均值分布与概率
n
（五）标准差、标准误和取样误差
1．标准差
标准差是总体中的概念，指的是总体中一个分数与总体均值的标准距离，即 X-μ。衡量
的是次数分布的变异性。
2．标准误
标准误是样本均值分布中的概念，是指一个样本均值和其相应的总体均值之间的标准距
离，即 X -μ。衡量的是样本均值分布的变异性。
3．取样误差
（1）取样误差描述了样本和总体所得到的统计量与参数之间的偏差（或误差）。任何
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σ是指与均值的一个标准差或标准距离，而下标 X 是指测量的是样本均值的分布的标准
差。因此，标准误就测量了 X 与μ之间平均起来能预期到的误差。
（四）中心极限定律
1．标准误的定义公式
X的标准误
X
n
2．影响样本均值标准误的两个因素
（1）样本容量对样本均值标准误的影响
样本越大，就能越准确地代表总体。当样本完全等于总体时，对总体的估计就完全没有
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大困难。此时，对于这种大范围的调查研究一般采取阶段抽样方法，如两阶段随机抽样。首 先将总体分成 M 个部分，每一部分是一“集团”（“群”），第一步从 M 个集团中随机抽取 m 个作为第一阶段的样本，第二步是分别从所选取的 m 个“集团”中抽取 n 个个体构成第二 阶段样本。
偏差。
（2）总体的方差对标准误的影响
当总体方差较大时，总体本身包含的分数比较分散，离总体均值较远的极端值比较多，
因此从中抽取样本，也会包含较多极端值，难以较好地对总体均值进行估计；当总体方差较
小时，抽取的样本分数都比较靠近总体均值，能更好地估计总体均值。因此总体方差越大，
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3．中心极限定律
对于任何均值为μ，标准差为σ的总体，样本容量为 n 的样本均值的分布，随着 n 趋近
无穷大时，会趋近均值为μ，标准差为 的正态分布。因此，当 n 足够大时（30 或以上），
n
近似地有 X ～ N（ ， ）。中心极限定律综合了样本均值的形状、均值和方差这三个特征。