离心率的取值范围的求法

离心率的取值范围的求法

舒云水

求椭圆、双曲线的离心率的取值范围，是高考的一个热点，也是一个难点，难在关于 a 、b 、c 的不等式的建立，下面从三个方面谈不等式的建立

一、 根据已知条件建立不等式

例1 已知1F 、2F 分别是双曲线22

221(0x y a a b

-=>，0)b >的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围 ﹒ 解析：由已知条件易求21b AF a

=，2

212112tan 22b AF b a AF F F F c ac ∠===，由于2ABF ∆为锐角三角形，故只需2AF B ∠为锐角即可，则有

2

21tan 2b AF F ac

∠=tan 451︒<=，整理得：22b ac <，所以2220c a ac --<，两边同时除以2a 得：2120e e --<

，求得：11e -<<(1,)e ∈+∞，

故(1,1e ∈+﹒

点评：根据2AF B ∠为锐角知21AF F ∠45︒<，通过tan 21AF F ∠45︒<＝１建立a 、b 、c 的不等式，本题不等式的建立思路比较明确自然，难度不大﹒

二、 根据相关线段的取值范围建立不等式

例2 已知双曲线22221(0x y a a b

-=>，0)b >的左、右焦点分别为1F

（－ｃ,0)，2(,0)F c ﹒若双曲线上存在点P 使

c a F PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ﹒ 解析：依题意及正弦定理得112

<=c

a PF PF ，因此点P 位于双曲线的右支上，且点P 不与21F F 共线，所以有

c a a PF PF =+222，即c a PF a =+122﹒ 又a

c a c a PF a -<-=2122，得2)1(2<-e ，即1221+<<-e ﹒ 又),1(+∞∈e ，故)21,1(+∈e ﹒

点评：本题难度比较大，不等式的建立比较隐蔽，利用隐含条件P 建立不等式是解决本题的关键

三、 根据变量x ，y 的取值范围建立不等式

例3. 椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的两个焦点为1F （－ｃ,0)，2(,0)F c ，M 是椭圆上一点，满足021=⋅F F ，则离心率e 的取值范围是 .

解析：设点M 的坐标为),(y x ，则),(1y c x F +=，),(2y c x F -=﹒由021=⋅F F ，得0222=-+c y x ，即222x c y -=﹒ （※）

又由点M 在椭圆上得⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=22221a x b y ，代入（※）得222221x c a x b -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，所以⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=22

222c a a x ﹒ ∵220a x ≤≤，∴222220a c a a ≤⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-≤，即12022≤-≤c a ，11202≤-≤e ，解得122≤≤e ，又∵10<

2<≤e ﹒

点评：根据已知条件得出等量关系⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=22222c a a x ，再根据变量x 的取值范围220a x ≤≤建立不等式222220a c a a ≤⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-≤是解决本题的两个关键点﹒