离心率的取值范围的求法

求离心率取值范围的八种方法-求离心率的方法总结

例１在给定椭圆中，焦点且垂直于长轴的弦长：过
为，焦点到相应准线的距离不小于１则该椭圆的离．
心率的取值范围是（
Ａ．（，）１
）
Ｂ（）．０，
解析：ｚ一２Ｃ
解析：设Ｆ一目由Ｉ — ｌ：２ｌ，ＰＦ１ｌＰＦ２１ａ，ＰＦ】一ｌ
・
５・４
数学教育研究
２１０１年第４期
４ｊＰＦ
得Ｉ警ｌ警．目：Ｆ＝＇ｌ＇一ＰＰ一．Ｆ２一ｓ
１７９
焦点Ｆ作双曲线在第一，象限的渐近线的垂线ｚ若ｚ三．与曲线Ｃ的两支各有一个交点．双曲线离心率的取求值范围．
２１年第４期０１
数学教育研究
・３５・
求离心率取值范围的八种方法
方海兵（安徽省太和县第八中学２６０）３６０
离，是圆锥曲线的一个重要性质，近几年高ｌｆ率在
．・．
考中频繁出现，求离心率的取值范围又是较为复杂而的一种，面介绍八种求离心率的方法，大家参考．下供
＜２
．

’ ．．
２ｅ＜５． √ 。Ｐ．＜。 ‘ ＜√ ．ｌ＜ ‘ 选Ｂ．故．
，
又・．・
一１．ａ－Ｃ ≥ ・２・ ≥ ２２．ｂ ≥ ．

求离心率的范围问题整理分类

求离心率的范围问题求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

离心率及范围计算

离心率及范围计算离心率是一种描述椭圆形的形状和偏心程度的量，它是地球轨道力学中非常重要的一个参数。

在物理学、工程学和天体力学中都有广泛的应用。

离心率的计算公式如下：e=(r_a-r_p)/(r_a+r_p)其中，e是离心率，r_a是椭圆的远地距离，r_p是椭圆的近地距离。

离心率的取值范围在0到1之间。

当离心率为0时，代表一个圆形轨道，对应于圆心在椭圆焦点上的圆。

当离心率接近于1时，轨道是一个非常扁平的椭圆，对应于椭圆焦点之间的一个狭长的椭圆。

离心率的计算可以通过多种方法进行。

以下将介绍两种常用的计算方法。

第一种方法是使用轨道的速度和半径来计算离心率。

假设v是轨道上其中一点的速度，r是该点到轨道中心的距离。

根据机械能守恒定律，有以下公式：v^2=GM(2/r-1/a)其中，G是万有引力常数，M是中心物体的质量，a是轨道的半长轴。

通过解以上方程，可以得到a。

同时，根据质心定理，有以下公式：r_p=a(1-e)r_a=a(1+e)将这两个方程代入离心率的计算公式中，可以得到离心率e。

第二种方法是使用轨道的半长轴和半短轴来计算离心率。

假设a是轨道的半长轴，b是轨道的半短轴，则有以下公式：e = sqrt(1 - (b^2 / a^2))通过测量半长轴和半短轴的长度，可以计算出离心率e。

离心率的计算在航天工程和天体力学中具有重要的应用。

例如，在航天探测器的轨道设计中，离心率的取值会影响探测器对地面目标的覆盖范围和传输时间。

此外，离心率还可以用来描述天体运动的稳定性和周期性。

总结起来，离心率是一种重要的参数，用于描述椭圆形的形状和偏心程度。

它的计算可以通过测量轨道的速度、半径或者半长轴和半短轴来进行。

离心率的取值范围在0到1之间，对应于不同形状和偏心程度的轨道。

离心率的计算在航天工程和天体力学中具有广泛的应用。

离心率e的取值范围 -回复

离心率e的取值范围-回复离心率e是描述椭圆轨道的一个重要参数，用来度量椭圆形状的“挤扁”程度。

在天文学中，离心率的取值范围非常广泛，从0到1都有可能出现，甚至可以超过1。

首先，让我们从基本概念开始，解释离心率e的意义和如何计算。

离心率e是一个无单位的数值，在0到1之间，它用来衡量椭圆轨道的形状。

当e=0时，轨道是一个圆形，表示所有点距离中心点的距离都相等。

当e=1时，是一个特殊的椭圆，被称为抛物线轨道，表示一个非常狭长的椭圆，其中一半径无限大，轨道上的物体会趋近于无穷远。

当e大于1时，轨道变成一条叫做双曲线的曲线，其中一部分也趋近于无穷远。

离心率的计算方法是根据轨道上两个焦点之间的距离与纵轴长度的比值。

我们可以用以下公式来表示：e = √(1 - b²/a²)其中，a和b分别是椭圆轨道的长半轴和短半轴的长度。

根据这个公式，我们可以计算出任意椭圆轨道的离心率。

接下来，让我们来讨论一下离心率e的取值范围及其在不同天体运动中的应用。

1. 离心率e=0：当离心率为0时，轨道是一个完美的圆形。

这种情况在人造卫星的轨道或者地球绕太阳公转的轨道中是比较常见的。

例如，国际空间站绕地球的轨道就非常接近圆形，其离心率接近于0。

2. 离心率0<e<1：当离心率介于0和1之间时，轨道是一个椭圆形。

这种情况在太阳系中的行星和一些天体之间的相互作用中出现。

例如，地球绕太阳公转的轨道就是一个接近于椭圆的形状，其离心率大约为0.0167。

3. 离心率e=1：当离心率等于1时，轨道是一个特殊的椭圆，称为抛物线轨道。

这种轨道形状非常狭长，其中一半径趋近于无穷大。

抛物线轨道在一些宇宙探测器的飞行中被广泛应用，例如，旅行到近地行星或彗星的探测器会利用抛物线轨道来调整速度和方向。

4. 离心率e>1：当离心率大于1时，轨道变成一条双曲线。

这种轨道在一些天文现象中会出现，例如，彗星绕太阳的轨道就是一条双曲线。

求离心率的范围问题

求离心率的范围问题求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

离心率问题的7种题型15种方法(教师版)

目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。

离心率取值范围问题的求解方法

线ｚ：３ｚ一４ｙ— Ｏ交椭圆Ｅ于Ａ，Ｂ两点。若ｌＡＦｌ＋ｌＢＦｌ一４，点Ｍ到直线￡的距离不小
ａｚ
３
一十ｎ，３Ｐ２— ５ｇ一２＞Ｏ，所以８＞２或ｅ＜
‘
于了４则椭圆Ｅ的离心率的取值范围是（）。
ＩｐＩ
一ｅ得：—
一ｅ。由焦半径公式得：
高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，利用
南一的离心率ｅ的取值范围是‘
＋１。
又＞ｌ，所以 ∈（１，＋１）。
一
一
，则
：：：一
“１＿组
≤ 一，即一。
ｅ－２ｅ～１≥ ０，解得１＜ｅ≤ １＋。
曲线的几何性质，利用题设指定条件等。
一
借助定义求离心率
由圆锥曲线的统一定义知，圆锥曲线的
立竿见影：若双曲线一一１（＞ｏ，
、
倒９已知双曲线ＬＣ２一ｙ２—１（“＞。，
左、右焦点分别为Ｆ．、Ｆ，如果椭圆上存在点６＞ｏ）的左，右焦点分别为Ｆｌ（Ｏ），Ｆ２（
Ｐ，使Ｆ·ＰＦｚ一９０￣求离心率的取值范围。
解析：由椭圆定义，有２ａ — ｌＰＦｆ＋ＩＰＦ。ｌ，平方后得：

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。

例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。

解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。

变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。

解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。

因此，选C。

变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。

变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。

设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。

设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。

其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。

求离心率范围的六种方法

求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。

离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。

因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。

笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。

一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。

解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。

所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-，即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ，即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。

三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。

离心率的五种求法

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26 D. 332变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23 B. 26 C. 23 D 2变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( )A. 2B.3 C. 2 D.332变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（）A3 B26 C 36 D 33 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法

高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法高中数学常见题型解法归纳——离心率取值范围的常见求法求圆锥曲线离心率的取值范围是高考中的一个热点和难点。

对于椭圆、双曲线和抛物线，我们需要清楚它们的离心率取值范围，并且自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集。

求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：方法一：利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系。

先求出曲线的变量，然后利用它们的范围建立离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。

例如，对于椭圆的左右焦点分别为$(\pm c,0)$，如果椭圆上存在点$P(x,y)$，使得$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1,F_2$为焦点，$2a$为长轴长度，则求离心率的取值范围为$\frac{c}{a}<e<1$。

方法二：直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式。

根据已知中的不等关系，得到关于离心率的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。

例如，已知双曲线的右焦点为$(c,0)$，若过点$P(2\cos\theta,\sin\theta)$且倾斜角为$\alpha$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\sec\alpha$。

方法三：利用函数的思想分析解答。

根据题意，建立关于离心率的函数表达式，再利用函数来分析离心率函数的值域，即得离心率的取值范围。

例如，设$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\frac{a}{b}$。

需要注意的是，对于椭圆的离心率、双曲线的离心率和抛物线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解。

离心率的求值或取值范围问题

离心率的求值或取值范围问题【方法技巧】方法1 定义法解题模板：第一步根据题目条件求出,a c 的值第二步代入公式ce a=，求出离心率e . 方法2 方程法解题模板：第一步设出相关未知量；第二步根据题目条件列出关于,,a b c 的方程；第三步化简，求解方程，得到离心率.方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，第三步解不等式，确定离心率的范围.方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步通过确定函数的定义域；第三步利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【应用举例】【例题1】若椭圆经过原点，且焦点分别为12(0,1),(0,3)F F ，则其离心率为（）A ．34 B ．23 C ．12 D ．14【答案】C 【解析】试题分析：根据椭圆定义，原点到两焦距之和为2a=1＋2，焦距为2c=2，所以离心率为12. 考点：椭圆的定义. 【难度】较易【例题2】点P （-3，1,过点P 且方向为a =（2，-5）的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则此椭圆离心率为（）【答案】A 【解析】试题分析：因为给定点P （-3，1根据光线的方向为a =（2，-5）y=-2与入射光线的斜率互为相反数可知焦点的坐标为（1，0），因此可知 A 考点：本试题考查了椭圆性质的知识点。

点评：解决该试题的关键是利用椭圆的反射原理得到直线斜率的特点，结合平面反射光线与入射光线的斜率互为相反数，得到c 的值，同时得到a,b,c 的关系式，进而得到结论，属于基础题。

高二文科数学离心率的五种求法(精)

离心率的五种求法椭圆的离心率0<e<1，双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=c来解决。

ax2例1：已知双曲线2-y2=1（a>0）的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为a（） 3233 B. C. D. 2322223ac-132解：抛物线y=-6x的准线是x=，即双曲线的右准线x===，则2c2-3c-2=0，解得2cc2A.c=2，a=，e=c2，故选D =a3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(3,0)，则其离心率为（）3211 B. C. D. 4324解：由F1(1,0)、F2(3,0)知 2c=3-1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=3，∴a=2，c=1，c1所以离心率e==.故选C. a2A.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（） A. 36 B. C. D 2 222c3=，因此选C a2解：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆2+2=1（a>b>0）的左准线上，过点P且方向为=(2,-5)的光线，ab经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A 112BCD 32325(x+3)，关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y+5=0，则2解：由题意知，入射光线为y-1=-⎧a2c⎪=3c=1a=e==解得，，则，故选A ⎨ca3⎪-5c+5=0⎩二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若ab边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） +1 D. +1 2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为-，由焦半径公式2PF1=-exp-a， A. 4+2 B. 3-1 C.2c⎛c⎫c⎛⎫⎛c⎫即c=-⨯ -⎪-a，得⎪-2 ⎪-2=0，解得 a⎝2⎭⎝a⎭⎝a⎭ce==1+（1-3舍去），故选D ax2y2变式练习1：设双曲线2-2=1（0<a<b）的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线ab的距离为3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2B.C. 2D. 2 3解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得aba2+b2=c， 422242又c=a+b, ∴4ab=3c,两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得3e-16e+16=0， 2() c2a2+b2b2422=1+>2e=4，∴e=2，故选A 得e=4或e=，又0<a<b ，∴e=2=，∴223aaa22变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，则双曲线的离心率为（）∠F1MF2=1200，A B 6 C D 323解：如图所示，不妨设M(0,b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，则MF1=MF2=c2+b2，又F1F2=2c，在∆F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2= MF1+MF2-F1F22MF1⋅MF2222,b2-c211c2+b2+c2+b2-4c2即-=，∴， =-22222b+c22c+b()()-a213222∵b=c-a，∴2，∴，∴，∴，故选B e==-3a=2ce=22222c-a222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。