条件数学期望例题共59页文档
数学期望习题
9、设（X，Y）的分布律为
Y X1
2
-1 0.2
0.1
0 0.1
0
1 0.1
0.1
3 0 0.3 0.1
（1）求 E（X），E（Y）； （2）设 Z Y ，求 E（Z）；
X （3）设 Z ( X Y )2，求 E（Z）.
10、设（X，Y）的概率密度为
12 y2 , 0 y x 1
f (Байду номын сангаас, y) 0,
其他
求 E（X），E（Y），E（XY）， E( X 2 Y 2 )
11、一工厂生产的某种设备的寿命 X（以年计）服从
指数分布，概率密度为
f
(
x
)
1 4
e
x 4
,
x
0
，
0, x 0
工厂规定，出售的设备若在售出的一年之内损坏则可
以调换，若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台
设备厂方需花费 300 元，试求厂方出售一台设备净盈
数学期望习题
5、设随机变量的概率密度为 f ( x) 1 e x ， 2
x ，求 E（X）， E( X 2 )。
6、设在某时间间隔内，某电气设备用于最大负荷的
时间 X（以分计）是一个随机变量，其概率密度为
1 (1500)2
x,
0 x 1500
f
(x)
1
(1500)2
(x
3000),1500
1 4
200
12、 (a2 ab b2 )
12
13、（1）3 , 5 48
（2） 1 8
14、n[1 (1 1 )r ] n
15、3500
谢谢
习 1、B 题 2、np 答 3、-0.2 2.8 13.4 案 5、0 2
条件数学期望及其应用
实用文档文案大全条件数学期望及其应用The ways of finding the inverse matrix and it's applicationAbstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area.0前言在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具.1条件数学期望1.1条件数学期望的定义定义1设X是一个离散型随机变量，取值为},,{21?xx，分布列为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP，这时,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有???Aiii px|则称??．Aiii pxAXE|]|[为随机变量X在条件A下的条件数学期望（简称条件期望）．定义2设X是一个连续型随机变量，事件A有0)(?AP，且X在条件A 之实用文档??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf．若X在条件A下的条件数学期望．定义3设),(YX是离散型二维随机变量，其取值全体为},2,1,),,{(??jiyx ii，联合分布列为?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij，在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若???jiii px|，则???jiiii pxyYXE|]|[为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望．定义4 设),(YX是连续型二维随机变量，随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX，若??????dxyxpx YX)|(|，则称dxyxxpyYXE YX)|(]|[|??????为随机变量X在}{yY?条件下的条件数学期望．1.2条件数学期望的性质定理1条件期望具有下面的性质：（1）)|()|()|(GbEGaEGbaE???????，其中Rba?,，且假定)|(GbaE???存在；（2）)()]|([??EGEE?；（3）如果?为G可测，则???)|(GE；（4）如果?与?代数G独立，则??EGE?)|(;实用文档文案大全（5）如果1G是?代数G的子?代数，则)|(]|))|([(11GEGGEE???；（6）)(不等式Jensen如果f是R上的下凸函数，则)|)(())|((GfEGEf???；定理2条件期望的极限定理：（1）单调收敛定理：若sa n..???，则在})|({???GE?上，则)|(lim)|(GEGE nn?????．（2）Fatou引理：若saY n.,??，则在})|({???GE?上，则)|(suplim)|sup(limGEGE nn???．（3）控制收敛定理：若YsaY n,.,??可积，且Psa n或.,???，则0)|(lim????GE nn??．1.3条件数学期望的求法在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧．本文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论．方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解．例1设n???,,,21?时独立同分布随机变量．???E，记???nkk S1?，求nkSE k,,2,1,|(???．解易证jiSESE ji??),|()|(??．则niSSnESSE i,,2,1,)|()|(?????即nksanSSE k,,2,1,.,)|( ???方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的?域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和．例 2设有正态样本n XX,,1?),0(2?N，统计量???nik XT1，求)|(2TXE k．实用文档???nkk XS12，则)|(1)|(2TSEnTXE k?．作正交变换：文案大全解令??????????????????????????????nn XXXCYYYY??2121，其中C为正交阵，第一行为)1,,1(nn?，则有nT ICCYXCovEY???),(,0，即??nkk YT22与独立，k Y nkN,,2),,0(2???，从而??????????nkknkknkk YnTYXS2221212，2T 关于)(T?可测，所以?? 2222222)11(]|)[(1)|(1)|(?nnTTYnTEnTSEnTXE nkkk?????由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于?代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解．1.4全期望公式设事件n BBB,,,21?是一完备事件组，即n BBB,,,21?互不相交，nkBP k???1,0)(，且????knk B1，由全概率公式有,2,1),()()|()(1|1???????????iBPpBPBxXPxXPp knkBikknkiii k这时若??XE,则有)()|[)()())((1|11|knkkkBiiinkknkBiiiiii BPBXEBPpxBPpxpxEX kk????????????? ?实用文档文案大全如同全概率公式一样，上式可称为全期望公式．若n BBB,,,21 是一个完备事件组，则也有全期望公式)(]|[1???nkkk BPBXEEX（注意，X的密度有公式))()|()(1knkk BPBxfxf???．2条件数学期望的应用2.1条件数学期望在实际问题中的应用条件数学期望在概率论与数理统计中有重要的作用，在实际问题中也有大量应用．例如人们常说体育要从娃娃抓起．某少体校要在小学中选拔一批小学生进行重点培养，为我国篮球，排球运动准备后备力量．对一个运动员来说，他（她）的身高显然是一个非常重要的因素．于是问题产生了，在一大群各项素质（包括目前的身高）都差不多的七八岁的小朋友中，用什么办法来选拔一批将来（十年以后）身材会比较高的幼苗进行重点培养呢？科学工作者发现了小孩的足长与他（她）长大后的身高之间有密切的关系．我国的体育科研人员对16个省市的几万名青少年儿童进行了观测，建立了下述预测公式：成年身高=?k（少儿当年足长）（单位：cm）其中系数k对不同性别，不同年龄组的儿童有不同的数值，其具体数值如下表：性年7 9.218 8.735 8 8.930 8.418 9 8.572 8.075 108.2427.759你大概很想知道上述预测公式是如何建立的？理论依据是什么？其实这正是现在所讨论的条件数学期望，对n（n取定）岁的少年儿童来说，成年后的身高为X，当年足长为Y则),(YX是一个二维随机变量．一般认为他们的联合分布是正态分布．如果我们已知Y的值，可以近似地以Y的条件下X的条件数学期望实用文档文案大全来估计X的值，即用]|[YXE作X的预测值．这时]|[YXE是Y的线性函数，这就是成年身高的预测公式．例3一全自动流水线正常生产时，产品中的一等品率为1p，二等品率为2p，等外品（即次品）率为3p，1321???ppp．为保证产品质量，厂方规定当生产出一件等外品时，该流水线即停工检修一次．已知首次检修之前共生产了n件产品，求n件产品中一等品件数的数学期望．解设X表示前n件产品中一等品的件数，令}{件产品首次出现等外品第nA?．据题意是要求]|[AXE．因为在条件A下，前1?n件产品中没有等外品，这时1?n件产品中的一等品率是211ppp?，而二等品率是212ppp?，因此10,1)|(1212211|???????????????????????????????????nkppppppknAkXPp knkAk这是参数为),1(211pppn??的二项分布．即???．21110|)1(]|[pppnkpAXE nkAk????实际上我们认为在条件A下，前1?n次试验是1?n重贝努里试验，试验成功（取到一等品）的概率是211/ppp?．从直观意义看这是明显的，这也正是直接讨论条件分布的简捷之处．2.2全期望公式的应用例4在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到出现首次成功时停止．求平均需试验多少次？解设X为首次成功需做试验的次数，问题是求EX．定义????.,0,1第一次试验失第一次试验成功，Y由全期望公式实用文档文案大全)0(]0|[)1(]1|[??????YPYXEYPYXEEX，已知pYPpYP?????1)0(,)1(，在1?Y，即首次试验成功的条件下，自然有1?X，因此1]1|[??YXE．在0?Y即首次首次实验失败的条件下，从第二次实验开始可以看作重新开始，因此，EXYXE???1]0|[．第一项的1是已经试验了一次，以后的情况与从头开始一样．所以)1)(1(EXppEX????，pEX1?．原来求数学期望需要知道分布，但在上例的做法中可以不必知道分布，充分利用了随机变量的特性，并借助全期望公式，简化了计算，这是真正有概率特点的做法．例5设电力公司每月可以供应某电厂的电力服从]30,10[（单位：万度）上的均匀分布，而该工厂每月实际生产所需要的电力服从]20,10[上的均匀分布．如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每一万度电可以创造30万元利润，若工厂从电力公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径自行解决，每一万度电只有10万元利润．问该厂每月的平均利润为多大？解设电力公司每月供应电厂的电力为X（万度），工厂每月实际需要的电力为Y（万度），工厂每月的利润为T（万元）．由题设条件知????????XYXYXXYYT当当),(1030,30于是当3020??x时，有dyxydyyxXTE xx??????1020101)2010(10130]|[22224050)20(2)20(21)100(23xxxxxx?????????由式]}|[{XTEEET?实用文档文案大全4332251006730025450201)4050(201302020102????????????dxdxxx所以该工厂平均每月的利润为433万元．2.3预测与回归对于二维随机变量),(YX，如果已知其中一个随机变量Y的值，要根据这一信息对另一个随机变量X的取值作出预测，这样的问题在人们的实践中可以说是比比皆是，常称它们为“预测问题”．前面我们提议用]|[YXE作为X的预测值，这样做的依据是什么呢？一般地，我们可以选取Y的一个函数)(Yg作为X的预测值．这时预测的误差是)(YgX?，由于绝对值运算在数学上处理不方便，我们用2)]([YgX?代替它．自然应该使误差尽可能地小，但2)]([YgX?是一个随机变量，因此很自然的要求它的平均值2)]([YgXE?尽可能地小．这样的准则就称为均方误差最小准则．假设),(YX为连续型二维随机变量，密度函数为),(yxf，则dydxyxfygxyfdxdyyxfYgxYgXE YXY))|()]([)((),()]([)]([|222? ????????????????????对每个y，当]|[)(yYXEyg??时，能使dxyxfygx YX)|()]([|2?????达到最小．因此取]|[)(YXEYg?时，2)]([YgXE?达到最小，这就证明了，按照均方误差最小准则，]|[YXE是X的最佳预测．这就是选取条件数学期望作X 的预测值的理论依据．对离散型情形也可用相同的方法论证上述结论．函数]|[)(YXEYg?称为X关于Y的回归函数．一般情况下，求)(yg是比较困难的．因此，把预测问题简化，选取Y的线性函数baY?作为X的预测值．同样采用均方误差最小准则，选取常数ba,使得实用文档文案大全22][)]([baYXEbaYXE?????取最小值．我们早已知道，若a固定，aEYEXaYXEb????)(时，2][baYXE??取最小值][aY XD?.我们只需求a，使DXYXaDYaaYXD????),cov(2)(2达到最小值，即a应取为DYYXa),cov(?，我们称EXEYYDYYX??)(),cov(为X关于Y的回归直线．参考文献:[1] 中山大学数学系.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.2002.[2] 周概容.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.1984.[3] 茆试松.程依明.濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.2004. [4] 孙荣恒.应用概率论[M].科学出版社.2001.[5] 何声武.概率论与数理统计[M].经济科学出版社.1992.。
条件数学期望例题共59页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
条件数学期望例题
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
随机变量的数学期望例题和知识点总结
随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。
它反映了随机变量取值的平均水平，具有十分广泛的应用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。
一、知识点回顾数学期望，简称期望，记作 E(X)。
对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2, 3,），则数学期望 E(X) ＝Σxᵢpᵢ。
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个定义域）。
数学期望具有以下几个重要性质：1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。
2、设 X 为随机变量，C 为常数，则 E(CX) ＝ CE(X)。
3、设 X、Y 为两个随机变量，则 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)。
二、例题解析例 1：掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X 表示掷出的点数，求 E(X)。
解：骰子的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且每个点数出现的概率均为1/6。
则 E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋ 6×（1/6) ＝ 35例 2：已知离散型随机变量 X 的概率分布如下：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 02 ｜ 05 ｜ 03 ｜求 E(X)。
解：E(X) ＝ 0×02 ＋ 1×05 ＋ 2×03 ＝ 11例 3：设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜1，求 E(X)。
解：E(X) ＝∫0,1 x×2x dx ＝ 2/3例 4：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，求 E(X)。
解：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ)λ^k) ／ k!E(X) ＝Σk×（e^（λ)λ^k) ／ k! （k 从 0 到正无穷）通过计算可得 E(X) ＝λ三、应用场景数学期望在实际生活中有很多应用。
条件数学期望
F(x| y)
x
P(X xi |Yy)
xi x
p(t| y)dt x p(t, y)dt
p(y)
大家好
18
二、条件数学期望
定义：若随机变量X在Y=yj条件下的条件分 布列为 pi j ,又
xi pi j ，
i1
则称
xi pi j
i 1
为X在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望，
3、随机变量X对Y求条件期望后再求期望，等于
对这个随机变量直接求期望。
大家好
31
条件分布数学期望的性质
4.若X与Y独立，则 EXYyEX
5.条件期望有所谓平滑性：
E E X X Y y d Y y F E E X Y
6.对随机变量X，Y的函数 X,Y恒有：
E X , Y Y y E X ,y Y y
记为 E{XYyj}
大家好
19
例1设(X,Y)的联合分布律为
YX 1
2
3
-1 0.2 0.1
0
0 0.1 0
0.3
1 0.1 0.1
0.1
（ 1 ） E { Y |X 求 2 } ( 2 ) E ; { X |Y 0 }.
解题思路： （ 1）写X 出 2的 在条Y 件 的下 概率分布即 ，可 再求 按得 定； 义 （ 2）写 Y 出 0的 在 条 X 的 件概 下率分即 布可 ，求 再得 按
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小结
• 1、条件分布 • 2、条件数学期望及运算 • 3、条件数学期望性质及证明
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33
谢谢
大家好
34
条件密度
fY
X
x
y
f x,y fX x
条件数学期望例题
记 X 表示该读者遇到的印刷错误
数．令
1 Y 2
如果读者选取数学书 ， 如果读者选取历史书
则由全期望公式，得
EX EEX Y PY 1EX Y 1 PY 2EX Y 2
12 15 7 ． 222
例 2（随机变量的随机数量和的期望） 假定一工 厂设备每周出现事故次数的期望为 4．又假定在每次 事故中受伤工人数是具有相同均值 2 的独立随机变 量．再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的 事故数目相互独立．每周受伤人数的期望是多少？
条件数学期望例题
例 1 某人准备读一章数学书或者一章历史 书．如果他在读一章数学书中印刷错误数是服从 均值为 2 的 Poisson 分布，而他在读一章历史 书中的印刷错误数是服从均值为 5 的 Poisson 分布．假设该读者选取哪一本书是等可能时，求 该读者遇到的印刷错误数的期望是多少？
解：
解：
以 N 记事故次数，以 X i 记在第 i 次事故中的受伤人
数 ， i 1, 2, ， 那 么 伤 者 总 数 可 以 表 示 为
N
X i ．现在
i 1
E
N i 1
Xi
E
E
N i 1
Xi
N
．
但是
N
n
E i1 Xi N n E i1 Xi N n
n
E Xi i1
果矿工选取第 2 个门，那么 3 小时后他将回到他的矿井．但是，一旦他回到
矿井，问题就和以前一样了，而直到他到达安全地的附加时间的期望正是
EX ．因此，
EX Y 2 3 EX ．
在方程（3.7）中其它等式后面的推理是相似的．
因此，
EX 1 2 3 EX 5 EX ，
高中数学期望试题及答案
高中数学期望试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.5，那么E(X)等于多少？A. 5B. 10C. 15D. 20答案：A2. 随机变量X的期望值E(X)是2，方差Var(X)是4，求E(2X+1)。
A. 5B. 6C. 9D. 11答案：B3. 抛一枚公平的六面骰子，随机变量X表示骰子朝上的点数，求E(X)。
A. 3B. 3.5C. 4D. 5答案：B4. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=0，σ^2=1，求E(X)。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，且E(X)=5，a=2，则b等于________。
答案：86. 随机变量X的期望值E(X)是3，若随机变量Y=3X-2，则E(Y)等于________。
答案：77. 抛一枚硬币，正面朝上的概率为0.6，反面朝上的概率为0.4，随机变量X表示硬币正面朝上的次数，若抛掷两次，则E(X)等于________。
答案：1.28. 随机变量X服从泊松分布P(λ)，若E(X)=4，则λ等于________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知随机变量X服从指数分布，参数λ=2，求E(X)。
答案：E(X) = 1/λ = 1/210. 抛掷一个骰子三次，随机变量X表示三次抛掷中朝上的点数之和，求E(X)。
答案：E(X) = 3 * (1+2+3+4+5+6)/6 = 15.511. 随机变量X表示一个学生在一次考试中的得分，假设X服从正态分布N(70, 20^2)，求E(X)。
答案：E(X) = 7012. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，不放回地再抽取第二个球，随机变量X表示两次抽取中红球的个数，求E(X)。
答案：E(X) = (5/8) + (3/8) * (4/7) = 47/5613. 随机变量X表示一个工厂生产的零件重量，假设X服从正态分布N(μ, σ^2)，已知E(X)=10kg，Var(X)=4kg^2，求μ和σ。
数学期望习题
第 4 章随机变量的数字特征
§ 4.1
数学期望
15、假设在国际市场上每年对我国某种出口商品的 需求量是随机变量 X （单位吨） ， 它服从[2000， 4000] 上的均匀分布，设每售出这种商品 1 吨可为国家挣 得外汇 3 万元，但假如销售不出而积于仓库，则每 吨浪费保养费 1 万元，问应组织多少货源，才能使 国家的收益最大？
第 4 章随机变量的数字特征
§ 4.1
数学期望
习 题 答 案
1、B
2、np
3、-0.2 2.8 13.4
5、0 2
6、1500
n 7、 N
8、1.0556
1 9、 （1）2 0 （2） （3）5 15
第 4 章随机变量的数字特征
§ 4.1
数学期望
精品课件！
第 4 章随机变量的数字特征
§ 4.1
第 4 章随机变量的数字特征
§ 4.1
数学期望
9、设（X，Y）的分布律为
Y
X
-1 0 1
1 0.2 0.1 0.1
2 0.1 0 0.1
3
0 0.3 0.1
（1） 求 E（X） ，E（Y） ；
Y （2） 设 Z ，求 E（Z） ； X
（3） 设 Z ( X Y )2 ，求 E（Z）.
第 4 章随机变量的数字特征
§ 4.1
数学期望
1 x 5、设随机变量的概率密度为 f ( x ) e ， 2
， E ( X 2 )。 x ，求 E（X）
第 4 章随机变量的数字特征
§ 4.1
数学期望
6、设在某时间间隔内，某电气设备用于最大负荷的 时间 X（以分计）是一个随机变量，其概率密度为 1 0 x 1500 (1500)2 x , 1 f ( x) ( x 3000),1500 x 3000 2 (1500) 0, 其他 求 E（X）
概率论 第六章条件数学期望和特征函数
1 ,y 1− x
∈ (x, 1), x ∈ (0, 1)
2 6.8 解 由定理 2.1 知 X |{Y = 63} ∼ N (µ1 + ρ(σ1 /σ2 )(63 − µ2 ), (1 − ρ2 )σ1 ), Y |{X = 1.7} ∼ 2 2 N (µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), (1 − ρ )σ2 ) 故 2 (a)EY |{X = 1.7} = µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), Y |{X = 1.7}的标准差为 (1 − ρ2 )σ2 ,
P (Y =y,N =n) P (N =n)
=
βα 1 Γ(n+α) n!Γ(α) (β +1)n+α
f (y,n)dy
=
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) dy, Γ(α+1)
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) . Γ(α+1)
6.16 解 (a) 设 Xi 为第 i 个人的等待时间, 则第一个电话的到达时间为 X(1) = min(X1 , X2 , . . . , Xn ), 最后一个电话的到达时间为 X(n) = max(X1 , X2 , · · · , Xn ), 对 ∀x > 0 有 P (X(1) ≤ x) = = = = = = 1 − P (X(1) > x) 1 − P (X1 > x, X2 > x, · · · , Xn > x) 1 − P (X1 > x)P (X2 > x) · · · P (Xn > x) 1 − P (X1 > x)n 1 − [1 − F (x)]n 1 − exp(−nxβ ),
均匀分布数学期望练习题
均匀分布数学期望练习题
均匀分布是一种连续概率分布，其中随机变量的每个值在给定区间内
出现的概率相等。
数学期望（或均值）是随机变量取值的平均值。
对
于区间\[a, b\]上的均匀分布，其数学期望可以通过以下公式计算：
\[ E(X) = \frac{a + b}{2} \]
以下是一些关于均匀分布数学期望的练习题：
1. 假设随机变量\(X\)在区间\[1, 5\]上均匀分布，求\(X\)的数学期望。
2. 如果随机变量\(Y\)在区间\[3, 7\]上均匀分布，计算\(Y\)的数学
期望。
3. 给定随机变量\(Z\)在区间\[0, 10\]上均匀分布，求\(Z\)的数学
期望。
4. 假设随机变量\(W\)在区间\[-2, 4\]上均匀分布，计算\(W\)的数
学期望。
5. 随机变量\(U\)在区间\[5, 15\]上均匀分布，求\(U\)的数学期望。
6. 对于在区间\[-1, 3\]上均匀分布的随机变量\(V\)，计算\(V\)的
数学期望。
7. 给定随机变量\(T\)在区间\[2, 8\]上均匀分布，求\(T\)的数学期望。
8. 假设随机变量\(S\)在区间\[-3, 1\]上均匀分布，计算\(S\)的数学期望。
9. 随机变量\(P\)在区间\[0, 6\]上均匀分布，求\(P\)的数学期望。
10. 对于在区间\[-4, 2\]上均匀分布的随机变量\(Q\)，计算\(Q\)的数学期望。
通过这些练习题，可以加深对均匀分布数学期望计算方法的理解，并提高解决类似问题的能力。
条件概率、条件分布与条件数学期望
练习、
设“取出的是黄球”为事件B，“取出的是黑球”为事件C， 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不 10 10 15 5 放回的取两次，求： 则P（C）= ，（ P C）=1- ，（ P B）= 25 25 25 25 3/5 （1）第一次取到新球的概率； 5 B C， P （BC）=P（B）= 3/5 （2）第二次取到新球的概率； 25 P（BC） 1 （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 所求概率（ P B|C）= P（ C） 3
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB) A 6
P ( AB) n( AB) P B A P ( A) n( A)
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ 解1：设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
条件分布与条件数学期望
(X，Y )为一般二维随机向量
重要结论
如果 X，Y 相互独立，则 F Y | X ( y | x )= F Y ( y )。
证明
如果 X，Y 相互独立，则 F (x, y )= FX (x) FY ( y ), 进而， F (xε,y)-F (x ,y)
F Y |X(y|x)ε l 0 iF m (xε, )-F (x , ) lim F X(xε)F Y(y)-F X(x)F Y(y) ε 0 F X(xε)F Y( )-F X(x)F Y( )
.
例题 3
一个工人看管分布在一直线上的 n 台同 类型机床，相求工人两次
调整机床之间所走路程的数学期望。
设Y ：工人两次调整机床之间所走路程
X ：第一次调整的机床号码 Y | X=i (i -1)a … a 0 a … (n- i) a
P 1/n … 1/n 1/n 1/n … 1/n
条件分布函数
lim P{Yy|xXxε} ε 0
的
计算公式
F X |Y(x|y)ε l 0 iF m F (( x,,y y ε ε) )- -F F ( ( x,,y y ))
F Y |X(y|x . )ε l 0 iF m F ((x x ε ε,, y) )- -F F ( (x x,, y))
( 5 ) 全数学期望公式 E { E ( Y | X ) } = E ( Y )
(X,Y)连续 E (Y|： x) yY f|X(y|x)dy
-
全数学期望公式的证明：假设(X，Y )为二维连续型随机向量，得
E{E(Y|X)} E(Y|x)fX(x)dx {[yY f|X(y|x)d]yfX(x)} dx
若对于固定的 x ， f X ( x ) > 0，则
3.5条件数学期望
为Y＝ yj的条件下，X的条件分布列; 同理，对固定的i, pi. >0, 称
Pj|i P{Y y j | X xi }＝ pij pi , j 1,2,...
为X＝ xi的条件下，Y的条件分布列。
显然，当X与Y独立时，有pi j pi，p j i p j
总之，
(1) 条件分布列：
EX Y y EX
5.条件期望有所谓平滑性：
EX E X Y y dFY y E E X Y
6.对随机变量X，Y的函数 X , Y 恒有：
E X , Y Y y E X , y Y y
小 结
• 1、条件分布 • 2、条件数学期望及运算 • 3、条件数学期望性质及证明
3.5 条件数学期望
条件分布 条件数学期望 条件数学期望的性质
回顾上节课知识点
• 1、n维随机变量函数的数学期望及求解 • 2、最值数学期望的求解 • 3、 n维随机变量函数的数学期望的性质 及应用 • 4、相关系数及性质
1、n维随机变量函数的数学期望及求解
2、最值数学期望的求解
3、 n维随机变量函数的 数学期望的性质及应用
pij pi| j P( X xi | Y y j ) pj
(2) 条件密度函数：
p( x, y ) p( x | y ) p( y )
(3) 条件分布函数：
P( X xi | Y y ) xi x F ( x | y) x x p (t , y ) p(t | y )dt dt p ( y )
P{ X xi } pi
pij
j 1
i 1,2,...
第二节：条件概率与条件期望
N
i =1
n ） 而 E ∑ Xi | N = n = E ∑ Xi | N = n = E ∑ Xi = nE( X ) i =1 i =1 i =1
N n
N ∴ E ∑ Xi | N = N ⋅ E( X ) i =1
Xi ∈[ ti−1, ti ), 且有 0 = t0 < t1 < L < tk < t k +1 = ∞ ，
求 E[ ti −1 ,ti ) X .
Key : See paper written by Zheng Zhu-kang !
4.
设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于 100 的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学 的随机变量， 期望是10元的相互独立的随机变量， 期望是 元的相互独立的随机变量，再设一个顾客 元的相互独立的随机变量 花钱时和进入该商店的总人数独立， 花钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的 一天内，顾客们在该店所花钱的期望值为多少？ 一天内，顾客们在该店所花钱的期望值为多少？
N E ∑ X i = E [ N ⋅ E ( X )] = E ( N ) ⋅ E ( X ) i =1
由假设 E ( N ) = 100, E ( X ) = E ( X i ) = 10
N 于是 E ∑ X i = 100 × 10 = 1000 i =1
表示进入该店的顾客人数， 解：设N 表示进入该店的顾客人数， X i 表示第 i 个顾 客所花的钱数， 客所花的钱数，则 N 个顾客所花钱的总数为 ∑ X i . 则一天内顾客们在该店所花钱的期望值是
N N E ∑ X i = E E ∑ X i | N） （ i =1 i =1