压缩映射原理在求极限中的应用
数列极限存在的压缩映射原理
数列极限存在的压缩映射原理1. 引言：极限的奇妙世界说到数列极限，大家一定有过这样的感受：一开始看这些数学概念，脑子里就像搅拌机，嗡嗡作响，听得头晕眼花。
但其实，数列极限就像一条神秘的河流，慢慢地流淌，带着我们走向更深的数学世界。
今天呢，我们就来聊聊一个很有趣的概念——压缩映射原理。
这听起来好像很高大上，其实就像是给数列穿上了一件华丽的外衣，既美观又实用。
我们一起捋一捋这些概念，把它们变得通俗易懂，让大家一听就明白。
2. 压缩映射原理是什么？2.1. 定义解密好吧，咱们先从压缩映射说起。
简单来说，压缩映射就是一种把空间缩小的函数。
想象一下，你在海边玩沙子，猛一捏沙子，沙子就变得更紧致，更小巧。
这种“缩小”的过程在数学上就是压缩映射。
数学家们发现，只要这个映射有个好习惯——也就是“压缩”，那么在某种条件下，就能保证每个数列都有极限存在。
是不是听起来很神奇呢？2.2. 直观理解为了让大家更好地理解，我们可以把压缩映射想象成一个精明的裁缝。
他用缝纫机把大布料裁剪成更小的样子，裁缝不仅要注意裁得均匀，还得确保每片布料都是合乎设计的。
就像数学里的压缩映射，它通过一个函数把点的距离缩小，保证了每个点都能朝着某个目标点靠近。
这种现象就像是一群小朋友在操场上玩捉迷藏，他们都在寻找那个藏得最好的小伙伴。
最终，他们总能找到彼此，聚在一起，形成一个温馨的小团体，这就是极限的存在！3. 极限存在的条件3.1. 一致性要求那么，压缩映射要想保证数列的极限存在，还需要满足一些条件。
这些条件就像是过五关斩六将的考验，只有符合条件，才能顺利通过。
首先，映射需要是“完全连续”的，这就像是一条顺畅的公路，没有坑坑洼洼，行驶起来才会安全顺畅。
如果映射中出现了大的波动，数列就可能像骑自行车在碎石路上，摔得鼻青脸肿。
3.2. 收敛的希望其次，压缩映射还得有“收敛”的性质。
这就像是一个喝水的老虎，越喝越渴，越想喝水，最终在某个时刻，终于找到了自己的水源。
单调有界定理和压缩映射定理在求解递推数列极限中的应用
, 证 xn ＋６( n ＝ １, ２, ３������)
������)可以定义 数 列 { , 如 果 函 数 y ＝ f( １, ２, ３, xn } x)为 增 函 ( ) , : 数, 是方程 的根 则下列命题成立 x０ x ＝f x ( )若 x１ ＞ x０ , ������) ; 则 xn ＞ x０ ( １ n ＝ １, ２, ３, ( )若 x１ ＜ x０ , ������) ; 则 xn ＜ x０ ( ２ n ＝ １, ２, ３, ( )若 x１ ＝ x０ , ������) ; 则 xn ＝ x０ ( ３ n ＝ １, ２, ３, ( )若 x２ ＞ x１ , 则{ ４ xn }为增数列 ;
; 若 x１ ＞ x０ , 则 xn ＞ x０ ( 若 x１ 和 x０ 的大小 , n ＝ １, ２, ３������) ; 则xn ＜x０ ( 其次看 { 是单调增数 x１ ＜x０ , n ＝１, ２, ３������) xn } 列还是单调减数列 , 若 x２ ＞ x１ , 则{ 若 x２ ＜ xn }为 增 数 列 , , { } . 则 为减 数 列 这x１ xn } . 此得到了 { 为单调有界数列 xn 第 三步 , 设l 对 xn＋１ ＝ f( 两边取极限 , 得 i m xn ＝ x, xn ) , 到 x ＝ f( 解方程求 x. x) 总结完做题步骤后 , 我们讲一个例子 . 例 １㊀ 设 x１ ＝ １ ０, xn＋１ ＝ 明l 并求l i m xn 存在 , i m xn .
周刊
单调有界定理和压缩映射定理在求解 递推数列极限中的应用
摘㊀要: 本文总结了求解递推数列极限的两个方法 的优劣 . 关键词 : 递推数列 : 单调有界定理 ; 压缩映射定理
压缩映射原理的性质和应用
压缩映射原理的性质和应用摘要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用,由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。
主要内容如下:第一章,是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。
第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理,通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理,还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。
第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。
第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。
虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。
第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法,在概率度量空间上讨论压缩映射原理,依次讨论了含随机数的压缩映射原理,在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等.关键词:压缩映射;不动点；概率度量空间；非线性微分方程ABSTRACTIn this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point， so there are many different forms， this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space。
不动点和压缩影射的原理及其应用
不动点和压缩影射的原理及其应用
摘要：学习了数学分析中一些不动点问题的解题方法和递推数列的极限，将不动点和压缩映像原理运用到求一些极限问题中，使我们更容易去解决关于数列极限存在性和如何快速求出极限的值。
关键词：不动点压缩影射递推数列应用
自从波兰数学家巴拿赫在1992年提出了有关压缩映像在完备的度量空间必然存在唯一的不动点的一些理论。
而后，许多数学工作者投入的大量的时间来研究，并取得了一些丰硕的成果。
今天，不动点和压缩映像原理在我们日常生活中运用十分广泛。
不动点原理在数学分析，常微方程，积分方程等很多地方都有它的应用。
而压缩映像可以用于证明一些简单的隐函数存在定理，特别是在求一些递推数列中。
然而在不少数学分析教材中一般不介绍它，这给我们带来许多问题的困扰。
建议老师将它放在微分中值定理和数列柯西收敛准则后学习，这样可以让学生更进一步了解泛函分析。
1 不动点和压缩映像定义及原理
定义1 设X为一个非空集合，映射T是X到X的一个映射，如果存在x*X使得Tx*=x*
则称x *是T的一个不动点。
定义2 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数c ，0<c<1,使得对所有的x ,yX ,p(Tx ,Ty）<=c p(x ,y) ,则T是压缩映射。
（几何上的意思就是点x和y 经过T映射后，它们的像的距离缩小了，没有超过p(x，y）的c倍
(c<1).[]1。
压缩映射法求数列极限
压缩映射法求数列极限压缩映射法的概念是一种数学工具，它常常被应用于求解数列的极限问题。
通过不断压缩并映射数列中的元素，我们能够找到数列的极限值。
在数学中，数列是一串按照特定规律排列的数字。
求解数列的极限，则是要找到这个数列在无限项情况下的趋势或终极结果。
压缩映射法就是一种帮助我们求解数列极限的工具。
压缩映射法的基本思想是，将数列中的元素通过一个函数映射到另一个数列中，并通过不断迭代这个过程，逐步逼近数列的极限值。
具体步骤如下：1. 第一步是选择一个合适的映射函数。
这个函数应该能够将数列中的每个元素映射到另一个数列中，并且能够保持数列的递增或递减特性。
2. 接下来，我们需要对数列中的元素进行压缩。
这就是将选择的映射函数应用到数列的每个元素上，得到一个新的数列。
3. 然后，我们需要分析这个新的数列的特性。
我们可以观察数列的增减情况、极限值的趋势等等。
4. 根据前一步的分析，我们可以调整映射函数的选择或者调整压缩步骤的策略。
目的是逼近数列的极限值。
5. 通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐接近数列的极限值。
举个例子来说明压缩映射法的应用。
考虑数列 {an} = {1/n}，我们希望求解这个数列的极限值。
首先，我们选择映射函数 f(x) = 1/(x+1)，然后将数列中的每个元素映射到新的数列 {bn} = {f(an)} = {1/(n+1)} 上。
接下来，我们观察新数列的特性。
可以发现新数列 {bn} 也是递减的，并且极限值为 0。
然后，我们可以进一步调整映射函数的选择，比如选择 f(x) = 1/(2x+1)，再次将数列中的每个元素映射到新的数列上。
通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐逼近数列的极限值。
在这个例子中，我们发现数列的极限值是 0。
压缩映射法在数列极限的求解中具有广泛的应用。
通过选择合适的映射函数和采取适当的压缩步骤，我们能够更好地理解数列的性质，并找到数列的极限值。
这种方法在数学领域中的数列问题求解中是非常有用的，同时也提供了一种思路和工具，用于解决其他相关的数学问题。
求极限的4种特殊方法
究函数极限点的有效方法。
压缩映射原理:设称f(x)是［a切上的一个压缩映射，且 x° € ［a, b］, = y(x”)，对 Vne N，有x” € ［a, b］，则称 f(x)在
当”=时勺=吋坯由于％=亍 1 »«„=— 3" . 是，舸％=陋a”=齐 3" =1
［a, b］上存在唯一的不动点c,且辄x”=c pi 例 3设召=%x”厂出•(0<a<l) , n = l,2,2曲 2
析和研究，对该区长2储层特征有了进一步的认识和了解，为今后油田开发生产提供理论基础。
关键词：长2储层；碎屑;成岩作用
中图分类号:TE325.TE34
文献标识码：A
文章编号：2096-4390 (2019)15-0062-02
1储层碎屑成分特征 根据青平川油田永坪区及邻区共61块样品的薄片资料分 析:该区长2储层主要为灰色细粒~中粒长石砂岩，其次为岩屑 长石砂岩。石英、长石以及岩屑具体数据如表1所示。长石含量 普遍较高，反应了其成分成熟度低的特点。碎屑颗粒分选性好， 磨圆度为次棱状,接触类型为点~线、线性接触，以孔隙式和压 嵌式胶结，砂岩结构成熟度较高,沉积时期水动力条件较强。
无穷小量伴随极限而存在，因此可利用无穷小量求数列极 造数列递推公式的重要方法。
限，如若lni—mx”=a，则X“可作“变量”替换:令x”=a + a”，其中
(1)若数列的递推公式形如:x” = px”T +gx”_2，且已知九、
3”｝是一个无穷小数列,反之也成立。
其中这P、q为常数且卩工0,9工0,"：=2, 3, ■-，则有
例1设a〉0，求极限值.in
f(x)| = X< < 1 °
压缩映射原理的几个应用
压缩映射原理的几个应用定义设 H 是一个非空集，称之为距离空间，如果在 H 上定义一个双变量的实值函数ρ(x,y) ，且满足下述三个条件：(1) ρ(x,y)≥0 ，且ρ(x,y)=0 当且仅当 x=y ；(2) ρ(x,y)=ρ(y,x) ，满足交换律；(3) ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) ，满足三角不等式，称作ρ为 H 上的一个距离，以ρ为距离的距离空间 H 记作 (H,ρ) .定义距离空间 (H,ρ) 上的点列 {xn} 叫做收敛到 x0 的是指：当 n→∞时，有ρ(xn,x0)→0 ，记作 limn→∞xn=x0 ，或简单记作 xn →x0 .定义度量空间 (H,ρ) 中的一个子集 E 称为闭集，是指：∀{xn}⊂E ，若 xn→x0 则 x0∈E .定义度量空间 (H,ρ) 上的点列 {xn} 叫做基本列，是指ρ(xm,xn)→0(m,n→∞) 。
若对∀ε>0 ， \existN(ε) 使得 m,n≥N(ε)⇒ρ(xm,xn)<ε .如果空间中所有基本列都是收敛列，那么就称该空间完备。
定义设 T:(H,ρ)→(Y,r) 是一个映射，称它是连续的，如果对于 H 中任意点 x0和点列 {xn} ，有ρ(xn,x0)→0⇒r(Txn,Tx0)→0 (n →∞) .命题映射 T:(H,ρ)→(Y,r) 连续，当且仅当∀ε>0, ∀x0∈H, 以及 \existδ=δ(x0,ε)>0 ，对于任意的 x∈H ，有ρ(x,x0)<δ⇒r(Tx,Tx0)<ε证明必要性，利用反证法证明，假设存在 x0∈H 以及ε>0 ，使得对任意的 n∈N ，存在 xn 使得ρ(xn,x0)<1/n 但 r(Txn,Tx0)≥ε，即有 limn→∞ρ(xn,x0)=0 但是 limn→∞r(Txn,Tx0)≠0 ，与连续矛盾，所以必要性成立。
充分性，设题目中条件成立，且 limn→∞ρ(xn,x0)=0 ，那么对于任意ε>0 存在 N ，当 n>N 时，有ρ(xn,x0)<δ，从而 r(Txn,Tx0)<ε，于是可得到映射 T 连续。
压缩映射原理在求数列极限中的应用
压缩映射原理在求数列极限中的应用1 压缩映射原理在求数列极限中的应用压缩映射原理是一种以压缩方式在数值模拟和分析方面发挥巨大作用的原理。
它是基于数学中的积分和微分方法，采用简易压缩运算，综合得到极限值。
压缩映射原理在求数列极限中应用比较广泛，因为数列极限是数学中常用的概念。
压缩映射原理在求数列极限中是一种高效率的方法，它能够实现快速求解数列极限的操作，且求解结果更准确、有效，从而节约时间。
2 压缩映射原理的基本原理压缩映射原理的基本原理就是运用积分和微分的基本概念，以简单的压缩操作获得极限值。
压缩映射原理中，积分求出极限点的数值，而微分则比较两个极限点之间的变化，以此来达到求解数列极限的目的。
3 压缩映射原理在求解数列极限中的应用压缩映射原理在求解数列极限中，其应用是很重要的。
因为这可以避免计算量大、精度低的误差而能够快速求出数列极限，也可以较好地发挥微分计算和积分估算的作用。
这可以将求解难度减轻，从而达到数学计算上的最优效果。
4 压缩映射原理的几大优点压缩映射原理在求数列极限中应用十分广泛，它的几大优点也是因此而产生的。
其几大优点有：1、准确性高：压缩映射原理能够准确求出数列极限，这也是它应用非常广泛的主要原因之一。
2、快速性高：压缩映射原理的特点是快速求解，它能够将求解过程快速地完成，从而节省计算量和工作量。
3、方便性高：使用压缩映射原理进行数列极限的求解，计算速度迅速，而且工作量也不大。
5 结论压缩映射原理在求数列极限中的应用非常重要，它的应用可以显著提高数列极限求解的效率。
其优点是准确性高、快速性高、方便性高，值得广泛应用。
浅谈Banach压缩映射定理的应用
∴只有 a0 > -
7 4
的任一常数
,不妨设
a0
=
0
由压缩映射定理可知存在唯一一点 x0 ,使得 x0 = 2 + x0 则 x0 2 = 2 + x0 ] x0 = 2
∴nli→m∞an
=
lim
n →∞
2 + an - 1 = 2
即 :数列{an}的极限为 2 。
解二 (利用单调有界原理) :
记 an = 2 + 2 + ……+ 2 ,易见数列 {an } 是递增的 ,现 用数学归纳法来证明{an}有上界 。
因为设 f (x) 映 [ a ,b ]为自身 ,所以当 xn ∈[ a ,b ]时 ,由式 (2) 知 xn + 1 ∈[ a ,b ] 。由 x1 ∈[ a ,b ] ,故一切 n ,恒有 xn ∈[ a ,b ] 。事实
上 ,若 x1 ≤f (x1 )
,则 x2
=
1 2
[ x1
+ f (x1 ) ] ≤x1
ΠX ∈Rn ,X = (x1 ,x2 , …,xn ) T , ‖X ‖2 = x21 + …+ x2n 令 BX = ( E - A) X + b ,b = (b1 ,b2 , …,bn) T ,则易证 B 为 Rn →
Rn 的映射 ,下证 B 为压缩映射 ΠX ∈Rn ,则
d (BX ,BY) = d[ ( E - A) X + b , ( E - A) Y+ b ] = ‖( E - A) X - ( E - A) Y‖2 = ‖( E - A) (X - Y) ‖2 ≤‖E - A ‖2 ·‖X - Y‖2 =αd (X , Y) ∴X = BX ] X = ( E - A) X + b 又由 X = ( E - A) X + b Ζ AX = b ∴对任一组固定的 b1 ,b2 , …,bn 必有唯一的一组解 x1 ,x2 , …,xn 。 压缩映射定理在数学分析中运用范围很广泛 ,不仅在存在 唯一性定理的证明中是有力的工具 ,而且它也很广泛地运用在 求极限的问题上 。
压缩映射原理在数列极限中的应用
２叭５年第４６期考 试 周刊
压 缩 映 射 原 理 在 数 列 极 限 中 的 应 用
李 红 英
（遵 义 师 范 学 院 数 学 与 计 算 科 学 院 ，贵 州 遵 义 ５６３００２）
… ），我 们 可 以让 淀 义在 ［２，＋。。），从 而 由微 分 中值 定 理 得 ＶＸ，
摘 要 ：压 缩 映射 原 理 是 泛 函分 析 中最 基 本 的存 在 性 定理 ．本 文通 过 对 考 研 中数 列极 限 的典 型例 题 的 解 析 ，归 纳 总 结 出适 合 压缩 映射 原 理 求 极 限数 列 的 一般 形 式 。展 示 压 缩 映射 原 理 在 解 决 递 推 数 学 列 极 限 中的优 越 性 ．
１
例 ｌ：已 知数 列 （ａＨ｝满 足 条 件 ：ａｔ＞０，ａ ＝２＋ （ｎ＝ｌ，２，３， Ｖ ａ
… ），求 数 列 ｆａｌ的极 限 ．
分 析 ：这 个 题 目条 件 很 简 练 ，若 考 虑 利 用 单 调 有 界 定 理 来
完 成ห้องสมุดไป่ตู้，其 有 界 性 显 然 成 立 ，但 单 凋 性 验 证 起 来 比较 麻 烦 ．事 实
关 键 词 ：压 缩 映 射 原 理 极 限 递 推 数 列
压缩 映 射 原 理 是 著 名 的波 兰 数 学 家Ｓｔｅｆａｎ Ｂａｎａｃｈ在 １９２２ 年 提 出 的 ，它 是 整 个 分 析 科 学 中最 常 的存 在 性 理 论 ，应 用 非 常 广 泛 。如 隐 函 数 存 在 性 定 理 、微 分 方 程 解 的存 在 唯 一 性 ．这 里 我 们 主 要 研 究 压 缩 映 射 原 理 在 数 列 极 限 中 的应 用 ．许 多 参 考 资 料 都 讲 过 这 个 方 面 的 应 用 ，如 文 献 ［１—３］．在 前 人 的基 础 上 ．笔 者 结 合 自己 的 教 学 体 会 ，系统 归 纳 总结 了 压缩 映 射 原 理 在一 类 递 推 数 列 极 限 中 的应 用 ，进 一 步 展 示 其 优越 性．
压缩映像原理在递推数列极限中的应用
2007年 3 月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar． 2007文章编号：1007-9831（2007）02-0019-03压缩映像原理在递推数列极限中的应用吴秉会1，魏连锁2（1. 齐齐哈尔大学 教务处，黑龙江 齐齐哈尔 161006； 2. 齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）摘要：结合递推数列的特点，将压缩映像原理运用到数列极限问题中去，使关于数列极限存在性和求解问题得到更快、更简易的解决． 关键词：不动点；递推数列；压缩映像原理中图分类号：O177.91 文献标识码：A波兰数学家Banach 在1922年提出的压缩映像原理是对前人用逐次逼近法求解各类方程的方法的概括，在方程解的存在性、希尔伯特空间规范正交系存在性、隐函数存在定理等诸多方面有着广泛的应用．在此，我们将压缩映像原理应用到数列极限中，利用不动点来求得数列的极限．１ 概念和定理Banach 不动点原理——压缩映像原理[1]是建立在完备的度量空间基础上的，由实数集R 的完备性及闭集F 的完备性，有如下的定义和定理： 定义1 f 为R R →（或闭集F F →）的的映像，如果∃10<<k 使得|| |)()(|y x k y f x f −<−，x ，R ∈y （或x ，F y ∈）则称f 是一个压缩映像．定理1 f 为R R →（或闭集F F →）的压缩映像，则对R 0∈∀x （或F x ∈∀0），迭代数列)(1n n x f x =+" ,2 ,1 ,0=n 必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．定义2f 是→] ,[b a ] ,[b a 的映像，若满足|| |)()(|y x y f x f −<−，y x ≠∀，x ，] ,[b a y ∈，则称f为] ,[b a 到] ,[b a 的广义压缩映像．定理2[2]f 是→] ,[b a ] ,[b a 的广义压缩映像，则对] ,[0b a x ∈∀，迭代数列)(1n n x f x =+，" ,2 ,1 ,0=n ，必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．在实际应用中可通过如下定理来确定f 是否为（广义）压缩映射． 定理3)(x f 是一元可微函数，则有：i）若)(x f 在R 上可微，且当∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，则f 是一个压缩映像．ii）若)(x f 在] ,[b a 上可微，且当∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，则f 是一个广义压缩映像．证明 i ）因为)(x f 是一元可微函数，)(x f 在R ] ,[⊂y x 满足拉格朗日中值定理条件，则有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，所以|| |)()(|y x k y f x f −<−，则由定义1可得f 是一个压缩映像．ii）同理，)(x f 在] ,[] ,[b a y x ⊂上亦满足拉格朗日中值定理条件，于是有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，所以|| |)()(|y x y f x f −<−，则由定义2，可得f 是一个广义压缩映像．２ 应用收稿日期：2006-12-16作者简介：吴秉会（1978-），男，黑龙江齐齐哈尔人，助教．E-mail：wbh760776@以下各例均取材于部分高校研究生入学试题，并进行了一定的推广，使其更具一般性．例1[3]给定常数1>k ，设k u =1，1−+=n n u k u ，=n 2，3，… ，证明|}{|n u 有极限，并求出极限．证明 令x k x f +=)(，0≥x ，显然)(1−=n n u f u ，2≥n ．又1)2/(1|)2/(1||)(|'<≤+=k x k x f ，故依定理3 i）知)(x f 为) ,0[) ,0[∞+→∞+的压缩映射，由定理1，}{n u 必收敛于)(x f 在) ,0[∞+中的唯一不动点，即A u n n =∞→lim ，满足A k A +=，解得2/)411(k A +±=，由于0>n u ，" ,2 ,1=n ，有0lim >=∞→A u n n ，从而2/)411(lim k u n n ++=∞→．由以上例题可以看出，在解决递推数列的极限问题时，可先依题意构造出一个（广义）压缩映射f ，应用（广义）压缩映射原理判定其是否有极限A ，若存在则由)(A f A =得到A ，即为所求数列极限．但在构造函数f 时，需注意x 的定义域X 的选取，要使X u n ⊂}{，" ,2 ,1=n ．并且，由于数列的前有限项的值对数列极限无影响，从而对X 的要求可以减弱为X u n ⊂}{，" ,1 ,+=m m n ，N ∈m 为一有限数．在压缩映像条件常数r （1|)(|'≤≤r x f ）难以寻求时，用广义压缩映像原理．例2 a a =1，2/)/(1n n n a A a a +=+)0 , ; ,2 ,1(>=A a n "，证明}{n a 收敛，并求n n a ∞→lim ．证明 令2/)/()(x A x x f +=，0>≥a x ，则)(1n n a f a =+（" ,2 ,1=n ），A x A x x f +−=2/)/()(2A ≥，可视)(x f 为) ,[) ,[∞+→∞+A A 的映像，因为2/1|2/)/1(||)(|2'<−=x A x f ，) ,[∞+∈A x ，则由定理3 i）知)(x f 为压缩映像，再由定理1数列}{n a 收敛，设C a n n =∞→lim ，由0>n a 有0>C ，则2/)/(C A C C +=，解得A C =．例3 给定Z ,π ,00∈≠k k a a ，设 n n a a sin 1=+（" ,2 ,1 ,0=n ），求n n a ∞→lim ．解 令x x f sin )(=，]1 ,0(∈x ，则)(1n n a f a =+（πk a ≠），]1 ,0(sin 01∈=a a ，从而)1 ,0(∈i a （,2=i " ,3 ），又 1|cos ||)(|'<=x x f ，)1 ,0(∈∀x ，则由定理3 ii）知f 为广义压缩映像，由定理2知n a 必收敛于f 在]1 ,0[中唯一不动点，设A a n n =∞→lim ，有A A sin =，]1 ,0[∈A ，所以0=A ，即0lim =∞→n n a ．在例2中，有限项a a =1是否在) ,[∞+A 内对极限问题无影响，故可视)(x f 为) ,[) ,(∞+→∞+A A 的映像，进而运用定理3，同样情况出现在例３中的0a ，0a 是否在]1 ,0[内对极限问题及区间]1 ,0[的选取无影响．众所周知，单调有界定理是研究序列极限存在性的有力工具，但对于某些问题应用单调有界定理证明较繁琐，此时，不妨用压缩映像原理一试．例4 给定1≥k 常数，设11=x ，)1/(2+=k k x ，)/(1n n x k k x +=+，求n n x ∞→lim ．分析 假设极限存在，值为A ，则)/(A k k A +=，2/)4(2k k k A +±−=（舍去负值）．再研究n x 与A 的大小关系：若A x n <，则A A k k x k k x n n =+>+=+)/()/(1；若A x n >，则A A k k x k k x n n =+<+=+)/()/(1， 即n x 在A 左右来回跳动，又由于)42/(22/)42(2/)4(11222k k k k k k k k k A +++=+−+=++−−=− 0>，即A x >=11，从而得到A x x x x n >+"" , , , , ,12531，, ,42x x A x x n <+"" , , ,226．至此可看出此问题应用单调有界原理比较繁琐，若用压缩映射原理将很容易解得此题．解 令)/()(x k k x f +=，]1 ,0[∈x ，则)(1n n x f x =+，" ,2 ,1=n ，1|/||)/(||)(|22'≤<+=k k x k k x f ，)1 ,0(∈x ，即1|)(|'<x f ，从而由定理3得到)(x f 是]1 ,0[]1 ,0[→的广义压缩映像，再由定理2可得}{n x 收敛于f 在]1 ,0[中的唯一不动点，设A x n n =∞→lim ，则)/()(A k k A f A +==，由0>n x 解得，)4(2k k k A ++−=/2． 参考文献：[1] 张恭庆，林源渠．泛函分析讲义（上册）[M]．北京：北京大学出版社，1998． [2] 宋国柱．分析中的基本定理和典型方法[M]．北京：科学出版社，2004． [3] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993．第2期 吴秉会等：压缩映像原理在递推数列极限中的应用 21 Application of contraction mapping principle to recursion sequence of numberWU Bing-hui 1，WEI Lian-suo 2（1. Office of Dean，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China； 2. School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China） Abstract：Combining the features of recursion sequence of number, applied the contraction mapping principle to the limit of sequence of number, arriving at a more prompt and easier approach to existence of limit of sequence of number and its solution.Key words：fixed point；recursion sequence of number；contraction mapping principle管式炉在粗苯生产系统的应用杜红宝1 粗苯工艺流程简介黑化集团公司焦化厂现有2座半焦炉（型号58－Ⅱ一座，JN43-80一座半），年设计能力为75万t焦炭及与其配套的化产回收系统．粗苯系统是化产回收的重要生产系统，年设计生产粗苯一万t．粗苯系统分洗涤和蒸馏2部分． （1）洗涤部分：从硫铵系统来的 45～55℃的煤气进入终冷塔，用循环水直接冷却到20～30℃，煤气中 的萘同时被水洗下来，然后煤气再进入洗苯塔，用洗油与煤气逆流喷洒，吸收煤气中的苯，使煤气中的苯含量达到2 g/Nm3以下后送往化肥厂及焦炉回炉加热．（2）蒸馏部分：洗油在洗苯塔内洗苯后变成富油，再用富油泵送经苯分缩器、贫富油换热器后，经管式炉加热到160～180℃再送到脱苯塔，富油在脱苯塔内被直接蒸汽蒸吹，从脱苯塔顶蒸出的苯汽经分缩器、苯冷凝冷却器后得到液态粗苯产品，脱苯塔底的热贫油经贫富油换热器、贫油冷却器回到循环油槽，供洗苯塔洗苯用．2 粗苯管式炉蒸馏工艺的优点（1）提高粗苯回收率 在粗苯蒸馏系统中，由于富油在管式炉内被加热的温度高，可达160～180℃（蒸汽预热富油一般只有145℃），进入脱苯塔后，则塔底贫油温度也相应提高，贫油中各组分的蒸汽压增大，从而使粗苯的蒸出率也增加，贫油含苯降低，粗苯管式炉蒸馏工艺可使贫油含苯降到0.5％以下（蒸汽预热富油蒸馏工艺贫油含苯一般在0.8％左右）．在粗苯洗涤系统中，用洗 油吸收煤气中的苯族烃是物理吸收过程，服从亨利定律和道尔顿定律，贫油含苯量越低，则洗苯塔后含苯量也越低，苯的回收率越高．（2）不受蒸汽压力波动影响，生产稳定．（3）降低蒸汽耗量．（4）减少酚水量．3 粗苯管式炉加热富油脱苯工艺生产运行情况经过管式炉热负荷计算，得知管式炉需提供热量为1608万kJ/h，又根据对国内济南钢铁厂等8个厂家考察，选择1 674万kJ/h 型号为5.815 mw-245 mpa-φ140/φ114．粗苯管式炉2003年12月29日投产，同蒸汽加热富油脱苯工艺比，近几年主要技术指标情况如表1．由表可以看出，粗苯管式炉投产后，运行稳定，主要技术指标完成的很好，但由于我厂入管式炉的蒸汽本身就是过热蒸汽温度200℃左右，致使出管式炉的过热蒸汽超出规定范围，解决办法是进一步计算后，减少管式炉内蒸汽管根数（换热面积）．表1 主要技术指标同期 富油流量t/h富油出管式炉温度/℃过热蒸汽温度/℃贫油含苯/（％）洗苯塔前煤气含苯g/Nm3洗苯塔后煤气含苯g/Nm3苯回收率/（%）煤气耗量Nm3/t粗苯蒸汽耗量t/t粗苯2003 60 富油出预热器温度 145—— 0.8 38.58 2.0 94.8 — 5.52004 60 165 480 0.5 38.38 1.64 95.7 590 1.52005 60 168 485 0.45 41.55 1.16 97.2 595 1.52006上半年60 168 484 0.46 40.15 1.17 97.1 593 1.54 经济效益焦炉结焦时间按18 h计算，洗苯塔后含苯降低按0.5 g/Nm3计算，则全年可增收粗苯154 t粗苯，增收77万元；年节约蒸汽4.4万t，节约费用308万元；年消耗煤气660万Nm3， 消耗费用330万元．则每年综合增效为55万元． 黑化集团公司焦化厂于2003年12月将粗苯蒸汽加热富油脱苯工艺改为管式炉加热富油脱苯工艺，经过几年的生产实践检验，此装置运行稳定、良好，达到了改造的目的——富油温度由原来的145℃提高到168℃，贫油含苯由原来的0.8％降到0.5％，塔后含苯由原来的2.0 kg/Nm3降到1.5 kg/Nm3，蒸汽单耗1.5 t/t粗苯．问题是过热蒸汽温度偏高些，需进一步改进． 参考文献：[1] 库咸熙．炼焦化学产品回收与加工[M]．北京：冶金工业出版社，1983．[2] 焦化设计参考资料编写组．焦化设计参考资料[M]．北京：冶金工业出版社，1982．（作者单位：黑化集团公司 焦化厂技术科，黑龙江 齐齐哈尔161041）。
单调有界定理和压缩映射定理在求解递推数列极限中的应用
单调有界定理和压缩映射定理在求解递
推数列极限中的应用
求解递推数列极限是数学中一个重要的问题，它可以帮助我们更好地理解数学知识，并且可以
用来解决实际问题。
在求解递推数列极限中，单调有界定理和压缩映射定理是两个重要的定理，它们可以帮助我们更好地求解递推数列极限。
单调有界定理是一个重要的定理，它可以帮助我们求解递推数列极限。
它的主要思想是：如果
一个递推数列是单调的，并且它的值都在一个有界的区间内，那么这个递推数列的极限存在，
并且它的极限值就是这个区间的上界或下界。
压缩映射定理也是一个重要的定理，它可以帮助我们求解递推数列极限。
它的主要思想是：如
果一个递推数列的每一项都可以通过一个压缩映射函数映射到另一个递推数列，那么这两个递
推数列的极限是相等的。
因此，单调有界定理和压缩映射定理在求解递推数列极限中都有重要的作用。
它们可以帮助我
们更好地理解数学知识，并且可以用来解决实际问题。
压缩映射原理及其应用
压缩映射原理及其应用压缩映射原理被普遍应用于处理判别极限存在性和唯一解的问题上。
他的定义为： 设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在01α<<，对,x y X ∀∈都有()(),,Tx Ty x y ραρ≤，则称T 是X 上的一个压缩映射。
而如果一个映射是压缩映射，他必有唯一解，称为不动点。
定义为：设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在x X ∈使得x Tx =，则称x 是T 上的一个不动点。
利用压缩映射的方法可以简便的求解出级数的极限，下面引入一道例题加以说明。
例1 设10a >，131,1,2,34n n n a a n a +=+=+，证明数列{}n a 有极限，并求其值。
在高等数学中我们解决级数极限存在与否的问题时一般用两种方法，一是递推法求出通项公式进而求极限；二是利用单调有界数列收敛定理判别。
如例1，递推法要写处递推公式并找到1n a +与n a 之间的关系，这种方法不一定适用于所有题型；而单调有界定理需要写非常多的解析式。
利用压缩映射原理可以更快速的证明其存在极限且求出极限值。
首先构造映射x Tx =，将131,1,2,34n n n a a n a +=+=+构建成映射形式即：n a x =，()1n a f x +=，显然()0,x ∈+∞()314x f x x =++，()()21214f x r x '=<<+， 根据拉格朗日中值定理可以得出：()()()()1111n n n n n n n n a a f a f a f a a r a a ξ+---'-=-≤-≤-， 推广到一般性可以得到：1212121111n n p n n p k n p n k n r r r a a r a a a a a a r r++-+-+--≤-=-≤---∑， 应用柯西准则可以知{}n a 收敛，设lim n n a A →∞=，显然0A >，在()1n n a f a +=两边令n →∞，得到()314A A f A A==++，解得2A =±，因为0A >，所以2A =，，从而lim 2n n a →∞=。
压缩映像原理数列极限考研
压缩映像原理数列极限考研首先，数列是数学中的一种有序数的排列，通常用 {an} 表示，其中的每个数 an 称为该数列的第 n 项。
数列的极限是指当 n 趋近于无穷时，数列的项逐渐趋于一些常数 L。
即 lim(n->∞) an = L。
如果一个数列存在极限，那么该数列称为收敛数列；否则，称为发散数列。
压缩映像原理数列极限是通过映像原理的基本思想进行证明的，该原理的表述如下：设 {an} 和 {bn} 是两个数列，满足an ≤ bn，且两者的极限都存在，即 lim(n->∞) an = L，lim(n->∞) bn = M。
如果对于任意的 n，都有a(n+1) ≤ b(n+1)，那么有L ≤ M。
基于压缩映像原理，可以推出以下结论：1. 如果一个数列 {an} 满足a(n+1) ≤ k * an，其中 k 是一个小于 1 的正数，那么该数列是收敛数列。
证明：设 bn = k^n * a0，其中 a0 是数列 {an} 的首项。
根据压缩映像原理，a(n+1) ≤ k * an 可以得到bn ≤ k^(n+1) * a0。
即 bn 是一个递减且有下界的数列，根据单调有界原理，它存在极限。
而 bn 的极限也即数列 {an} 的极限。
2. 如果一个数列 {an} 满足a(n+1) ≥ k * an，其中 k 是一个大于 1 的正数，那么该数列是发散数列。
证明：设 bn = k^n * a0，其中 a0 是数列 {an} 的首项。
根据压缩映像原理，a(n+1) ≥ k * an 可以得到bn ≥ k^(n+1) * a0。
即 bn 是一个递增且无上界的数列，根据单调有界原理，它发散。
3. 如果 {an} 是一个数列，且存在 a、b 和 c 三个常数，使得 aₙ ≤ aₙ₊₁ ≤ bₙ₊₁ ≤ bₙ ≤ cₙ，对于任意的 n，那么如果 aₙ 的极限存在（记为 A），cₙ 的极限存在（记为 C），那么 bₙ 的极限也存在且等于 A = C。
压缩映像原理在数列极限中的应用
压缩映像原理在数列极限中的应用作者：杨柳来源：《山西农经》 2017年第10期(陕西国际商贸学院陕西咸阳712046)摘要：波兰数学家巴拿赫于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach 不动点定理，这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程近似解、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论，另外，在递推形式的数列极限问题中也有广泛的应用。
关键词：不动点定理；数列极限；应用文章编号：1004-7026（2017）10-0127-02 中国图书分类号：G634.6 文献标志码：A巴拿赫不动点原理———压缩映像原理，是建立在完备的距离空间上到自身的压缩映射，存在唯一的不动点。
数学分析中很多定理都是建立在压缩映像原理的基础上。
压缩映像原理实质上是算子方程Tx=x 的求解问题，是关于具体问题解的存在唯一性定理，它提供了线性方程解的最佳逼近，给出了解的构造方式，在数学的众多领域都有着重要的地位和作用。
对一个方程而言，只要我们找到相应的一个迭代公式，就能够解出这个方程，当然还会考虑到这个迭代公式的收敛性、收敛速度、解的稳定性等问题。
在迭代的过程中需要迭代序列是收敛序列。
例如在数值计算中，求解多元方程组，可以构造Jacobi 迭代的序列，Gauss-Seide 迭代序列等，不同的迭代序列的收敛速度不同，一旦收敛，即可求得在一定误差范围内的近似解[1]。
求解方程f(x)的根，可令g(x)=f(x)-x，即把方程问题转化为求g(x)的不动点问题。
数学分析中隐函数定理，微分方程中Picard 定理(微分方程解的存在唯一性定理)都是压缩映像原理的具体形式，均是构造出一个映像，证明此映像是收敛的。
“压缩映像”原理由例1 和例2 可以看出，在解决递推数列的极限的问题时，可以先构造一个压缩映射f，由压缩映射原理可以判定递推数列的极限是否存在，若存在，设极限为A，则有A=f(A)，从方程中解得A，即为所求极限。
不动点和压缩影射的原理及其应用（5篇）
不动点和压缩影射的原理及其应用（5篇）第一篇：不动点和压缩影射的原理及其应用不动点和压缩影射的原理及其应用摘要：学习了数学分析中一些不动点问题的解题方法和递推数列的极限，将不动点和压缩映像原理运用到求一些极限问题中，使我们更容易去解决关于数列极限存在性和如何快速求出极限的值。
关键词：不动点压缩影射递推数列应用自从波兰数学家巴拿赫在1992年提出了有关压缩映像在完备的度量空间必然存在唯一的不动点的一些理论。
而后，许多数学工作者投入的大量的时间来研究，并取得了一些丰硕的成果。
今天，不动点和压缩映像原理在我们日常生活中运用十分广泛。
不动点原理在数学分析，常微方程，积分方程等很多地方都有它的应用。
而压缩映像可以用于证明一些简单的隐函数存在定理，特别是在求一些递推数列中。
然而在不少数学分析教材中一般不介绍它，这给我们带来许多问题的困扰。
建议老师将它放在微分中值定理和数列柯西收敛准则后学习，这样可以让学生更进一步了解泛函分析。
1不动点和压缩映像定义及原理定义1设X为一个非空集合，映射T是X到X的一个映射，如果存在x*X使得Tx*=x*则称x *是T的一个不动点。
定义2设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数c，0第二篇：管理学原理简答精华压缩1、计划工作程序：①估量机会②确定目标③确定前提条件④确定可供选择的方案⑤评价各种方案⑥选择方案⑦制订派生计划⑧用预算形式使计划数字化。
2、内部提升制优缺点：优点：1.由于对机构中的人员有较充实可靠的资料，可了解候选人的优缺点，以判断是否适合新的工作。
2.组织内成员对组织的历史和现状比较了解，能较快地胜任工作。
3.可激励组织成员的进取心，努力充实提高本身的知识和技能。
4.工作有变换机会，可提高组织成员的兴趣和士气，使其有一个良好的工作情绪。
5.可使过去对组织成员的训练投资获得回收，并判断其效益如何。
缺点：1.所能提供的人员有限，尤其是关键的管理者，当组织内有大量空缺职位时，往往会发生“表黄不接”的情况。
压缩映射原理在求极限中的应用
压缩映射原理在求极限中的应用张烁摘要：压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决数学极限中的优越性.关键词：压缩映射原理极限压缩映射原理是著名的波兰数学家Stefan Banach 在1922 年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性. 这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用. 在前人的基础上，结合自己的学习体会，归纳总结了压缩映射原理在求数列极限中的应用，进一步展示其优越性.1 压缩映射定义1 若X 是度量空间, T 是x 到x 中的映射, 如果存在一个数α，0< α<1, 使得对所有的x , y ∈ x ,d( Tx , Ty ) ≤α d( x , y) ,则称T 是X 上的一个压缩映射, α称为压缩常数。
定义 2 设X 为一非空集, T ∶X → X 是一个映射, 如果有x 3∈ X 使得T x 3=x 3 , 则称x 3为映射T 的一个不动点。
定理 1 (压缩映射定理)设X 是完备的度量空间T 是X 上的压缩映射，那么T 只有且只有一个不动点(就是说，方程Tx=x ，有且只有一个解) .证明任取x0 ∈ X , 令x1 = Tx 0 , x2 = Tx 1 , ⋯⋯, x n+1 =Tx n , ⋯.我们先证明{ x n } 是基本列.ρ( x2 , x1 ) = ρ( T x 1, Tx 0 ) ≤αρ( x1, x0 ) = αρ( Tx 0 , x0 ) ,ρ( x3 , x2 ) = ρ ( T x 2 , Tx 1 ) ≤αρ( x2 , x1 ) = α 2ρ ( Tx 0 , x0 ) .一般, 由归纳法可得ρ( x n+1 , x n ) ≤αnρ( Tx 0 , x0 ) ( n = 1 , 2 , ⋯) , 于是, 对于任意的正整数P , 有ρ( x n+ p , x n )≤ρ(x n+ p , x n+ p- 1 ) +ρ( x n+ p- 1 , x n+ p - 2 ) + ⋯,ρ( x n+1 , x n ) ≤ (αn+ p- 1 +αn+ p- 2+⋯+αn )ρ( Tx 0 , x0 ) = αn ( 1 - αp ) ρ ( Tx 0, x0)/(1 - α) ≤ αn /(1 -α)ρ( Tx 0 , x0 )。
压缩映射原理求数列极限
压缩映射原理：从数列极限看未来压缩映射原理是数学中的一项重要原理，是求解数列极限的一种
有效工具。
那么，在生活中，我们又该如何应用这个原理呢？
首先，让我们来理解一下什么是压缩映射原理。
在简单的说法就是，一个函数在一定条件下能够使原本无穷的数列收敛到一个有限的值。
这个原理的应用极为广泛，从传统的数学分析到现代的计算机程
序都有着重要意义。
这里我们可以以一个生动的例子来解释压缩映射原理的应用。
假
设某个人每天随机选择一只股票买入，无论是涨还是跌他都会坚持买
入100元。
显然，这个人的投资风险极大。
但是，如果我们将每次买
入的金额进行适当的缩小，那么这个人的投资风险就可以得到一定的
降低。
这个过程中，我们可以将每次的投资结果映射到0-1之间的数列中。
如果这个数列始终显示趋势下跌，那么买入金额就必须减少；反
之则可以适当加大投资金额。
通过不断的缩放和调整，这个人的投资
风险就可以得到有效的控制，同时也可以在投资市场上获得更好的收益。
从这个例子中，我们可以看出，压缩映射原理可以有效地控制风险，同时也可以使得收益最大化。
在现代社会中，面对不断变化的市场，这个原理的应用也越来越广泛。
无论是金融投资，还是科技创新，压缩映射原理都是我们掌握未来的一个有效工具。
从数列极限的角度看，压缩映射原理可以提供一种简单且有效的
求解方法。
在现实生活中，我们可以将这个原理应用到不同的领域中，探索出更多的创新点和发展机遇。
压缩映射原理的几个应用
·自然科学研究·
压缩映射原理的几个应用
徐丽君林宗兵
（攀枝花学院计算机学院，四川攀枝花617000）
摘要本文介绍Banach 空间的压缩映射原理的应用，它有助于证明微分方程、代数方程、积分方程等问题
中许多关于存在唯一性的定理。
本文给出了它在隐函数存在性，微分方程解的存在唯一性，求方程的近似解
和求数列的极限几个方面的重要应用，
使初学者对压缩映射原理有更进一步的了解。
关键词
压缩映射；不动点；压缩映射原理；应用作者简介徐丽君（1964—），女，四川仁寿人，攀枝花学院副教授。
主要研究方向：微分方程定性理论研究。
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9第29卷第1期
攀枝花学院学报2012年2月Vol．29．No．1Journal of Panzhihua University Feb．2012
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9第29卷攀枝花学院学报第1期
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9第29卷徐丽君林宗兵：压缩映射原理的几个应用第1期
01第29卷攀枝花学院学报第1期
参考文献
［1］刘炳初.泛函分析［
M ］.北京：科学出版社，2007.［2］卢玉峰.泛函分析［
M ］.北京：科学出版社，2008.［3］陈纪修，等.数学分析［
M ］.北京：高等教育出版社，2006.［4］陈传璋，等.数学分析［
M ］.北京：高等教育出版社，2004.［5］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［
M ］.北京：高等教育出版社，2006.［6］汪斌.n 阶线性微分方程解的存在与唯一性［
D ］.武汉：华中师范大学，2007.〔责任编辑：付丽萍〕
101第29卷徐丽君林宗兵：压缩映射原理的几个应用第1期。
压缩映像原理在求序列极限上的应用
压缩映像原理在求序列极限上的应用
孙一丹;孙永涛
【期刊名称】《商丘职业技术学院学报》
【年(卷),期】2012(011)002
【摘要】对压缩映像原理进行探讨,发现压缩映像原理在研究递推形式序列的极限时是一个很有力的工具.因此,利用压缩的数列一定收敛,并且它的极限值是一个压缩映射的不动点,给出利用压缩映像原理求递推形式序列极限的求法.
【总页数】3页(P5-7)
【作者】孙一丹;孙永涛
【作者单位】商丘职业技术学院,河南商丘476000;商丘职业技术学院,河南商丘476000
【正文语种】中文
【中图分类】O159
【相关文献】
1.压缩映像原理在递推数列极限中的应用妹 [J], 吴秉会;魏连锁
2.压缩映像原理在判别数列极限存在中的应用 [J], 李萍
3.等价无穷小在极限中的应用——利用“搭桥”法求极限 [J], 李丽红;施泱
4.区间套定理在求极限上的应用 [J], 刘俊杰
5.压缩映像原理在数列极限中的应用 [J], 杨柳[1]
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压缩映射原理在求极限中的应用
张烁
摘要：压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决数学极限中的优越性.
关键词：压缩映射原理极限
压缩映射原理是著名的波兰数学家Stefan Banach在1922年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性.这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用.在前人的基础上，结合自己的学习体会，归纳总结了压缩映射原理在求数列极限中的应用，进一步展示其优越性.
1 压缩映射
定义1 若X是度量空间, T 是x 到x 中的映射, 如果存在一个数α，0< α<1, 使得对所有的x , y∈x ,
d( Tx , Ty ) ≤αd( x , y) ,
则称T 是X 上的一个压缩映射,α称为压缩常数。
定义2设X 为一非空集, T ∶X →X 是一个映射, 如果有x 3 ∈X 使得T x 3= x 3 , 则称x 3为映射T 的一个不动点。
定理1 （压缩映射定理）设X是完备的度量空间T是X上的压缩映射，那
么T只有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x，有且只有一个解）.
证明任取x0∈X , 令x1= Tx 0, x2 = Tx 1, ⋯⋯, x n+1=
Tx n, ⋯.我们先证明{ x n } 是基本列.
ρ( x2, x1 ) = ρ( T x 1, Tx 0 ) ≤αρ( x1, x0 ) = αρ( Tx 0 , x0 ) ,
ρ( x3, x2 ) = ρ( T x 2, Tx 1 ) ≤αρ( x2 , x1 ) = α2ρ( Tx 0 , x0 ) .
一般, 由归纳法可得ρ( x n+1, x n ) ≤αnρ( Tx 0, x0 ) ( n = 1 , 2 , ⋯) , 于是,
对于任意的正整数P , 有
ρ( x n+ p , x n )≤ρ(x n+ p , x n+ p- 1 ) +ρ( x n+ p- 1 , x n+ p - 2 ) + ⋯,ρ( x n+1 , x n ) ≤
(αn+ p- 1 +αn+ p- 2 +⋯+αn )ρ( Tx 0 , x0 ) = αn ( 1 - αp ) ρ( Tx 0, x0）/(1 - α) ≤
αn /（1 -α）ρ( Tx 0, x0 )。
因为0 ≤α≤1 , 当n →∞,ρ( x n+ p, x n ) →0 , 即{ x n } 是基本列。
由于X 是
完备空间, 存在x n∈X , 使得x n→x n。
再由T 的连续性, 在( 1) 中, 令n
→∞, 就得到x n= Tx n .
再证唯一性。
如y n也是T的一个不动点, 即y n=Ty n,则有
ρ( x n，y n) = ρ( Tx n, Ty n) ≤αρ( x n，y n).
由于0≤α< 1 , 做ρ( x n, y n) = 0 , 即x n=y n .
推论设X是完备距离空间, TX→X 。
如果存在常数α( 0 ≤α< 1)及正整n0 ,使对任何x , y∈X 都有ρ( T n0 x , T n0y) ≤αρ( x , y) , 则T 存在唯一的不动点(其中T no可
以归纳定义如下: T2 x=T（Tx），T3 ( x) = T ( ( T2x) , ⋯) .
定理1′对数列{ x n},若存在常数h :0 <h< 1,使对一切n∈N,有|x n+ p-x n|≤h|x n- x n- 1 |, 则{ x n } 收敛。
证明n , p ∈N, 有
|x n+p-x n| ≤|x k - x k+1|≤h k- 1·| x1 - x0|=|x1- x0|·（h n-h n+p）/（1-h）
≤| x1-x0| ·h n/(1-h )→0 , 所以{ x n } 为基本列, 从而{ x n } 收敛。
若递推公式由一元可微函数x n= f ( x n- 1 ) 给出, 则可通过f 的导数f ′来考察。
若存在实数h , 使得|f ′(x) |≤r < 1 , 则应用微分中值定理, 可知{ x n } 满足压
缩映射的条件
|x n+1-x n|=|f ( x n ) - f ( x n- 1 )|=|f ′(ζ)|| x n - x n- 1|≤h|x n - x n- 1 | .
2 压缩映射原理在求数列极限中的应用
例设 c > 0 , x n+1=c（1+x n）/（c+x n）( c >1为常数）.
解构造函数f ( x) = x（1+x）/（c+x）
显然，f ( x) 在( 0 , + ∞) 连续可导。
因x n> 0 ,
当x > 0 时f ′( x) =[ c（1+x）/(c+x)}’=c(c-1)/(c+x)2
且由c > 1 知f ′( x)c(c -1)/(c+x)2≤c(c-1)/c2=1-1/c< 1 , 故x n+1 = f ( x n ) 为压缩映射。
由定理1’知{ x n }收敛.
数学分析中很多问题的解决都得益于把已知条件往解决方法原理的条件上“凑”，这种“凑”是一种技巧、策略，它是解决数学分析中问题的常见策略，数列极限的求解方法多种多样，每种方法都有其条件要求和适用范围，需要灵活运用.压缩映射原理也不例外，在应用是时一定要注意条件的验证，同时要注意其使用范围.
参考文献：
[1]徐新亚，夏海峰.数学分析选讲[M].上海：同济大学出版社，2008（8）：9-17.
[2]陈守信.数学分析选讲[M].北京：机械工业出版社，2009（9）：1-8.
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006
（4）：32-60.
[4]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义（上册）[M].北京：北京大学出版社，2006（12）：4-8.。