高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4

参数方程

目标点击：

1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；

2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；

3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.

基础知识点击：

1、曲线的参数方程

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，⎩⎨

⎧==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.

2、求曲线的参数方程

求曲线参数方程一般程序：

(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数；

(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程

相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题

(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程

(ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是

⎩

⎨⎧+=+=αα

s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)

为直线上任意一点.

(ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a

b

k =的直线的参数方程是

⎩⎨⎧+=+=bt

y y at

x x 00 （t 为参数）

（2）圆的参数方程

(ⅰ)圆222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==ϕ

ϕ

sin cos r y r x (ϕ为参数)ϕ的几何意义为“圆心角”

(ⅱ)圆22020)()(r y y x x =-+-的参数方程是

⎩

⎨⎧+=+=ϕϕ

s i n c o s 00r y y r x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“圆心角”

（3）椭圆的参数方程

(ⅰ)椭圆122

22=+b y a x (0>>b a ) 的参数方程为⎩

⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）

(ⅱ)椭圆1)()(2

2

0220=-+-b

y y a x x (0>>b a )的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕϕ

s i n

c o s 00b y y a x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”

(4)双曲线的参数方程

(ⅰ)双曲线122

22=-b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕbtg y a x sec （ϕ为参数）

(ⅱ)双曲线1)()(2

2

0220=---b

y y a x x 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕ

ϕ

b t g y y a x x 00s e

c （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”

（5） 抛物线的参数方程

px y 22= (p>0) 的参数方程为

⎩⎨⎧==pt

y pt x 222

（t 为参数） 其中t 的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜

率的倒数（顶点除外）.

考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，

从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质. 题型一般为选择题、填空题.

一、 参数方程的概念

一）目标点击：

1、理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；

2、熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；

3、能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；

4、能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题；

二）概念理解：

1、例题回放： 问题1：（请你翻开黄岗习题册P122,阅读例题）

已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ，过点P 1(1,0) 作圆C 的任意弦， 交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹方程. 书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M 点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？

设M(y x ,) ，由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=++=222112k k

y k k x ，消去k,得41)23(22=+-y x ，因M 与 P 1不重合，所以M 点的轨迹方程为4

1

)23(22=+-y x （1≠x ）

解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程0),(=y x F ,而是通过引入第三个变量k （直线的斜率），间接地求出了x 与y 的关系式，从而求得M 点的

轨迹方程.实际上方程⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=

++=222112k k y k k x （1）和41)23(22=+-y x （1≠x ）（2）都表示

同一个曲线，都是M 点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.

方程组（1）是曲线的参数方程，变数k 是参数，方程（2）是曲线的普通方程. 由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.

问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律， 得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意 义是什么？参数的取值范围？

通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：

1）形如⎩

⎨⎧==)()

(t g y t f x 的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置(y x ,)

和时间t 的对应关系.

2）我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如⎩⎨⎧==)

()

(t g y t f x 的方程组表示

质点的运动规律.

3)参数t 的取值范围是由t 的物理意义限制的. 2、曲线的参数方程与曲线C 的关系

在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程⎩

⎨⎧==)()

(t g y t f x t D ∈ （*）与曲线

C 满足以下条件：

（1）对于集合D 中的每个t 0，通过方程组（*）所确定的点（)(),(00t g t f ） 都在曲线C 上；