自控原理第四章书后习题答案

4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹

1、()()()()

54*

++=s s s K s H s G

解：（1）3个开环极点为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。 （2）实轴上的根轨迹（-4，0），（-∞，-5）

（3）30

30

54011

-=----=

--=

∑∑==m

n z

p n i m

j j

i

σ

()() ,,3

3

1212ππ

π

π

ϕ±±

=+=

-+=

k m

n k a

(4) 分离点：

1110d 45

d d ++=++ d=-1.47, d=-4.53(舍) （5）与虚轴的交点：

在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：

()

020********

=++--=+++*=*

K j j K s s s

j s ωωωω

整理得： 0203

=-ωω；092

=-*

ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092

==*

ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。

2、()()()()

11.02

*++=s s s K s H s G 解：（1）开环极点有3个，分别为：p 1=p 2=-0，p 3=-1，开环零点为z=-0.1 （2）实轴上的根轨迹为：[-1 -0.1] (3) 渐进线有两条，

45.01

31

.010011

-=-+--=

--=

∑∑==m

n z

p n i m

j j

i

σ

()() ,2

3,2

1

31212ππ

π

π

ϕ±

±

=-+=

-+=

k m

n k a (4) 分离点：

1111d 10.1

d d d ++=++ d=0, d=--0.4(舍), d=0.25(舍)

分离角：()() ,2

3,2

2

1212ππ

π

π

ϕ±

±

=+=

+=

k l

k d 最后，精确地画出根轨迹。

4-3 已知系统的开环传递函数为()()()

2

*

1+=s s K s H s G ① 绘制系统的根轨迹图；

② 确定实轴上的分离点及K *的值； ③ 确定使系统稳定的K *值范围。

解：①，首先，由开环环函数可知，n=3，m=0；p 1=0，p 2=p 3=-1。

其次，一连几天实轴上的根轨迹与根轨迹草图。

根据根轨迹草图，需计算闭环根轨迹的渐近线与汇合点，以及与虚轴的交点。 渐近线为：

3

2

031101

1

-=---=

--=

∑∑==m

n z

p n

i m

j j

i σ ()() ππ

π

πϕ±±=-+=-+=

,3

31212k m

n k a

②汇合点为：

()1=s N ，()()()s s s s s s s D ++=++=23211 ()0'=s N ；()()()113143'

2++=++=s s s s s D

()()()()()()01131432''=++=++=-s s s s s N s D s N s D

3/11-=s ；12-=s (不合题意舍去)

[s ]

与虚轴的交点

首先，写出闭环系统的牲方程，02*

2

3

=+++K s s s ，然后，令s =j ω，并代入特征方程得：

⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-020

2

*3

ωωωK j j 解得：01=ω，12=ω，1±=ω；21222

*=⨯==ωK

所绘根轨迹如下图所示。

4-5 设负反馈系统的开环传递函数为()()(0.011)(0.021)

K

G s H s s s s =

++，

① 作出系统准确的根轨迹；②确定使系统临界稳定的开环增益c K ； ③ 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。 解：（1）作出系统准确的根轨迹：

10050()()(100)(50)

K G s H s s s s ⨯⨯=

++；*

10050K K =⨯⨯

1). 开环极点：1230;100;50P P P ==-=- 2). 实轴上根轨迹 [0，-50]，[-100，-∞]

3）渐进线：a σ=(-150)/3=－50 a ϕ=(2k+1)* 1800/3=±600，1800 4）分离点：

111

010050

d d d ++=++ 21233005000021.1378.82d d d d ++==-=-（舍去）

5）与虚轴交点：

D(s)= 0.0002s 3+0.03s 2+s+K=0

图4-5