曲线积分和曲面积分习题与答案

第十章 曲线积分和曲面积分

（A ）

1、计算下列对弧长的曲线积分 1）ds y x n L

)(22+⎰，其中：)20(sin ,cos :π≤≤==t t a y t a x L

2）,xds L

⎰其中围成及为由2

x y x y L == 3）

,2yzds x T

⎰其中T 为折线ABCD ，这里A ，B ，C ，D 依次为点（0，0，0）

，（0，0，2），（1，0，2），（1，3，2） 4）

,)(22ds y x L

+⎰

其中L ：)20(),cos (sin ),sin (cos π≤≤-=+=t t t t a y t t t a x

2 、计算下列对坐标的曲线积分 1）,)(22dx y x L

-⎰

其中L 是2x y =上从（0，0）到（2，4）的一段弧

2）

,xydx L

⎰其中L 是222)(a y a x =+-及x 轴围成的在第一象限内的区域的整个边界

（逆时针向） 3）

,ydz dy dx T

+-⎰其中T 为有向闭折线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1，0，0）

，（0，1，0），（0，0，1） 4）

dy xy y dx xy x L

)2()2(22-+-⎰

，其中L 是2x y =上从点（-1，1）到（1，1）的一

段弧

3、利用格林公式，计算下列曲线积分 1）

,)635()42(dy x y dx y x L

-+++-⎰其中L 为三顶点分别为（0，0）

，（3，0）和（3，2）的三角形正向边界 2）

,)2sin ()sin 2cos (222dy ye x x dx e y x xy x y x x x L -+-+⎰

其中L 为正向星形线

)0(3

23

23

2

>=+a a y x

3）

,)3sin 21()cos 2(2223dy y x x y dx x y xy L

+-+-⎰

其中L 为抛物线22y x π=上由

（0，0）到（)1,2

π的一段弧

4、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某个),(y x u 的全微分，并求这样的

),(y x u

1）dy y x dx y x )2()2(+++

2）dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(2

2

-++

5 、计算下列对面积的曲面积分 1）

⎰⎰∑

++

,)342(ds z y x 其中∑为平面14

32=++z

y x 在第一卦限中的部分 2）⎰⎰

∑

++,)(ds xz yz xy 其中∑为锥面22y x z +=

被柱面ax y x 222=+所截得的有限

部分

6 、计算下列对坐标的曲面积分 1）⎰⎰

∑

,2

2zdxdy y x 其中∑是球面2222R z y x =++的下半部分的下侧 2）

⎰⎰∑

++,yzdzdx xydydz xzdxdy 其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 围成区

域的整个边界曲面的外侧

7 、利用高斯公式计算曲面积分 1）⎰⎰

∑

++,3

33dxdy z dzdx y dydz x 其中∑为球面2222a z y x =++的外侧 2）

⎰⎰

∑

++,zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为界于3,0==z z 之间的圆柱体92

2≤+y x 的整个表面的外侧

8 、 求下列向量的散度

1）k xy z j xz y i yz x A )()()(2

22+++++=ϖ 2）k xz j xy i e A xy

)cos()cos(2

++=ϖ

9、求下列向量场A 的旋度

1）k x y j z x i y z A )2()3()32(-+-+-=ϖ

2）j y x z i y z A )cos ()sin (--+=ϖ

(B)

1、一段铁丝成半圆形22x a y -=，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求

其质量. 2、 把

xdy ydx x L

-⎰

2化为对弧长的曲线积分，其中L 为2x y =从点A （-1，1）到B （1，

1）的弧段. 3、把

xzdz yzdy xyzdx ++⎰

Γ

化成对弧长的曲线积分，其中Γ为曲线

32,,t z t y t x ===0()1≤≤t 一段弧.

4、求心形线t a t a y t a t a x 2sin sin 2,2cos cos 2-=-=所围图形的面积.

5、求

dy y xy x ye dx y xy x e y x x L

)322()23(22222-++++++⎰，其中：L 为21x y -=从A （1，0）到B （0，1）.

6、 把

⎰⎰∑

++Rdxdy Qdzdx Pdydz 化为对面积的曲面积分，其中

1）∑是平面632=+-z y x 在第二卦限部分上侧

2）∑是222y x a z --=上侧

7 、

,2)()(22 zdxdy dzdx zx y dydz yz x +-+-⎰⎰∑

其中∑为锥面)0(12

2≥+-=z y x z 的上侧. 8、

dz y x dy x z dx z y )()()(222222-+-+-⎰

Γ

，其中Γ为柱面122=+y x 与平面

1=++z y x 的交线，从z 轴正向看Γ为逆时针方向.