数学中考压轴题旋转问题(经典)
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题及详细答案
2
10
P'D= 3 O'D= 9 ，∴ DH=O'H﹣O'D= 6 3 ，O'H+P'D= 27 ，∴ P'（ 27 ，6 3 ）．
10
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5
55
【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含 30 度角的直角三 角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键．
（2）∵ ∠ FAE＝45°，∠ ACB＝45°，∴ ∠ FAC＋∠ CAE＝45°，∠ CAE＋∠ AEC＝45°，∴ ∠ FAC
＝∠ AEC．
又∵ ∠ ACF＝∠ ECA＝135°，∴ △ ACF∽ △ ECA，∴ AC CF ，∴ 4 2 CF ，∴ CF＝
EC CA
4 42
8，即 b＝8．
【答案】（1）△ OFC 是能成为等腰直角三角形，（2）OE=OF．（3）PE：PF=1：3． 【解析】 【小题 1】由题意可知，①当 F 为 BC 的中点时，由 AB=BC=5，可以推出 CF 和 OF 的长 度，即可推出 BF 的长度，②当 B 与 F 重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出 OF 的长度，即可推出 BF 的长度； 【小题 2】连接 OB，由已知条件推出△ OEB≌ △ OFC，即可推出 OE=OF； 【小题 3】过点 P 做 PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△ PNF∽ △ PME，△ APM∽ △ PNC， 继而推出 PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出 PA：AC=PE：PF=1： 4．
中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)含答案解析
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
【答案】（1）1302α︒-（2）见解析（3）30α=︒【解析】解：（1）1302α︒-。
（2）△ABE 为等边三角形。
证明如下：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ， ∴BC=BD ，∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°，∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°，∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ， ∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°，∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
（1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2α︒-∠=。
中考数学《旋转》专题练习含答案解析
旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB ﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=45度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE 绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。
中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)及详细答案
在△ DAG 与△ DCG 中， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DG=DG， ∴ △ DAG≌ △ DCG． ∴ AG=CG． 在△ DMG 与△ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． 在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG． ∴ AG=EG ∴ EG=CG． （3）（1）中的结论仍然成立．
4．如图（1）所示，将一个腰长为 2 等腰直角△ BCD 和直角边长为 2、宽为 1 的直角△ CED 拼在一起．现将△ CED 绕点 C 顺时针旋转至△ CE’D’，旋转角为 a． （1）如图（2），旋转角 a=30°时，点 D′到 CD 边的距离 D’A=______．求证：四边形 ACED′ 为矩形； （2）如图（1），△ CED 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，在 BC 上如何取点 G，使得 GD’=E’D；并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin( －90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得 AF∥ BE，所以∠ FAE=∠ BEA，由折叠的性质得 ∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA,所以∠ BAE=∠ FEA，故有 AB∥ FE，因此四边形 ABEF 是平行四 边形，又 BE=EF,因此可得结论； (2)根据点 M 在线段 BE 上和 EC 上两种情况证明∠ ENG＝90°－ ，利用菱形的性质得到
最新九年级数学中考复习：旋转综合压轴题(角度问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（角度问题）1．如图① ，在①ABC 中，AB =AC =4，①BAC =90°，AD ①BC ，垂足为D ．(1)S △ABD = ．（直接写出结果）(2)如图①，将①ABD 绕点D 按顺时针方向旋转得到①A′B′D ，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ 的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ 是正方形．2．如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．3．如图1，在Rt △ABC 中，①A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =3，AB =7，请直接写出△PMN 面积的最大值．4．如图1，①ABC 为等腰直角三角形，①BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，AD ＝AE ，连接DE ，取BC 边的中点O ，连接DO 并延长到点F ，使OF ＝OD ，连接CF ． （1）请判断①CEF 的形状，并说明理由；（2）将（1）中①ADE 绕点A 旋转，连接CE ，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；（3）若AB ＝6，AD ＝4，将①ADE 由图1位置绕点A 旋转，当点B ，E ，D 三点共线时，请直接写出①CEF 的面积．5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是AB 外一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ，BC 与DE 交于点F ，且AB BD ⊥．（1）如图1，若CB =6CE =，求DE 的长；（2）如图2，若点H 、G 分别为线段CF 、AE 的中点，连接HG ，求证：12HG BF =；（3）如图3，在（2）的条件下，若CE =4CF =，将BDF 绕点F 顺时针旋转角3(060)αα︒<≤︒，得到B D F ''，连接B G '，取B G '中点Q ，连接BQ ，当线段BQ 最小时，请直接写出BQB '的面积．6．如图1，矩形ABCD 中，15,20AB BC ==，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转，得到矩形BEFG ．（1）当点E 落在BD 上时，则线段DE 的长度等于________； （2）如图2，当点E 落在AC 上时，求BCE 的面积；（3）如图3，连接AE CE AG CG 、、、，判断线段AE 与CG 的位置关系且说明理由，并求22CE AG +的值；（4）在旋转过程中，请直接写出BCE ABG S S +△△的最大值．7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A -，点(0,3),B ABO 绕点B 顺时针旋转，得A BO ''△，点A O 、旋转后的对应点为A O ''、，记旋转角为α．（1）如图①，90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当1OM =时，点N 的坐标为_____； （2）90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当O M BN '+取得最小值时，在图①中画出点M 的位置，并求出点N 的坐标．（3）如图①，P 为AB 上一点，且:2:1PA PB =，连接PO PA ''、，在ABO 绕点B 顺时针旋转一周的过程中，PO A ''的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．8．如图1，①ABC 和①DEC 均为等腰三角形，且①ACB =①DCE =90°，连接BE ，AD ，两条线段所在的直线交于点P .（1）线段BE 与AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由． （2）若已知BC =12，DC =5，①DEC 绕点C 顺时针旋转， ①如图2，当点D 恰好落在BC 的延长线上时，求AP 的长；①在旋转一周的过程中，设①P AB 的面积为S ，求S 的最值．9．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．()1如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：13MN AC =； ()2如图2，将EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边'DE 、'DF 分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接GP ，当DGP 的面积等于10．如图1，一副直角三角板满足AB=BC ，AC=DE ，①ABC=①DEF=90°，①EDF=30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ． 探究一：在旋转过程中， （1）如图2，当1CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若2CEEA=且AC=30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．11．如图1，在①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD①DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；①如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．12．已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝BE＝2．以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度(0≤α≤90°)，连结AE，CG（如图）．(1)求证：①ABE①①CBG．(2)当点E在BD上时，求CG的长．(3)当90∠时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积．（参考数据：AEB=︒sin28︒≈，sin62︒≈tan28︒≈tan62︒≈）13．如图，矩形ABCD 中，5,6,==AB BC BCG 为等边三角形．点E ，F 分别为,AD BC 边上的动点，且EF AB ∥，P 为EF 上一动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60︒至BM ，连接,,,PA PC PM GM ．(1)求证：=GM PC ；(2)当,,PB PC PE 三条线段的和最小时，求PF 的长；(3)若点E 以每秒2个单位的速度由A 点向D 点运动，点P 以每秒1个单位的速度由E 点向F 点运动．E ，P 两点同时出发，点E 到达点D 时停止，点P 到达点F 时停止，设点P 的运动时间为t 秒． ①求t 为何值时，AEP △与CFP 相似； ①求BMP 的面积S 的最小值．14．如图1，在Rt ABC 中，90,5∠=︒==C AC BC ，点D 是边BC 上的一点，且BD =，过点D 做BC 边的垂线，交AB 边于点E ，将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，记旋转角为()0360αα︒≤<︒．(1)【问题发现】当0α=︒时，AECD的值为________，直线,AE CD 相交形成的较小角的度数为________； (2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明； (3)【问题解决】当BDE 旋转至A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出ACD △的面积．15．在中Rt ABC △中．90ABC ∠=︒，AB BC =，点E 在射线CB 上运动．连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接CF ．(1)如图1，点E在点B的左侧运动；①当2BE=，BC=EAB∠=_________°；①猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．=，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出(3)点E在射线CB上运动，BC=，设BE xy与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．16．如图，在①ABC中，AB＝，①A＝45°，AC＝C作直线平行AB，将①ABC绕点A顺时针旋转得到①AB C''（点B，C的对应点分别为B'，C'），射线AB'，AC'分别交直线l于点P、Q．(1)如图1，求BC的长；(2)如图2，当点C为PQ中点时，求tan①APQ；(3)如图3，当点P，Q分别在线段AB'，AC'上时，试探究四边形PQC B''的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．17．已知Rt△ABC中，AC＝BC，①C＝90°，D为AB边的中点，①EDF＝90°，①EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．(1)如图1，当①EDF 绕D 点旋转到DE ①AC 于E 时，易证S △DEF ＋S △CEF 与S △ABC 的数量关系为__________；(2)如图2，当①EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的数量关系，不需证明．18．面直角坐标系中，O 为原点，点(12,0)A ，点(0,5)B ，线段AB 的中点为点C ．将ABO 绕着点B 逆时针旋转，点O 对应点为1O ，点A 的对应点为1A ．(1)如图①，当点1O 恰好落在AB 上时， ①此时1CO 的长为__________；①点P 是线段OA 上的动点，旋转后的对应点为1P ，连接11,BP PO ，试求11BP PO +最小时点P 的坐标； (2)如图①，连接11,CA CO ，则在旋转过程中，11CAO △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．19．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3sin 5A =．点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD AB ⊥交折线AC ，CB 于点D ，连结BD ，将DBP 绕点D 逆时针旋转90︒得到DEF ．设点P 的运动时间为t （秒）．(1)用含t 的代数式表示线段PD 的长． (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长． (3)当点F 在ABC 内部时，求t 的取值范围．(4)当线段DP 将ABC 的面积分成1:2 的两部分时，直接写出t 的值．20．如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，AB BC =，AO 是BC 边上的中线，点D 是AO 上一点，DE EO ⊥，E 是垂足，DEO 可绕着点O 旋转，点F 是点E 关于点O 的对称点，连接AD 和CF ．(1)问题发现：如图2，当1ADDO=时，则下列结论正确的是_______．（填序号）①BE CF =；①点F 是OC 的中点：①AO 是BAC ∠的角平分线；①AD ．(2)数学思考：将图2中DEO 绕点O 旋转，如图3，则AD 和CF 具有怎样的数量关系？请给出证明过程；(3)拓展应用：在图1中，若ADx DO=，将DEO 绕着点O 旋转． ①则AD =_______CF ；①若4AB =，1x =，在DEO 旋转过程中，如图4，当点D 落在AB 上时，连结BE ，EC ，求四边形ABEC 的面积．答案21．(1)4(2)四边形APDQ 的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当45α=︒时，四边形APDQ 是正方形．22．(1)AE BD =，AE BD ⊥； (2)结论仍成立23．(1)PM =PN ，PM ①PN ． (2)△PMN 是等腰直角三角形． (3)S △PMN 最大=25224．（1） ①CEF 是等腰直角三角形；（2）成立，（3）18-18+25．（1）（3）8 26．(1)10；(2)42；(3) AE ①CG 221250CE AG =+；(4)30027．（1）（-3，4）；（2）N （-3，92）；（3）最大值为283，最小值为8328．（1）BE =AD ，BE 与AD 互相垂直，（2）①AP =8413；①最小47，最大72 29．（2）顺时针或逆时针旋转60.30．探究一：（1）EP=EQ ；证明见解析；（2）1:2，（3）EP ：EQ=1：m ，①0＜（1）当50cm 2；当75cm 2．（2）50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．31．(1)①ADF =45°，AD (2)①成立，；①1≤S △ADF ≤4.32．(3)3145S π=33．(3)①73；①34．，45︒；(2)无变化(3)121235．(1)①30；①AC +CF CE ；(2)CA -CF；(3)当点E 在点B 左侧运动时，y =21322x +；当点E 在点B 右侧运动时，y 32+．36．(3)存在；21-37．(1)S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC(2)上述结论S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC 成立(3)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC38．(1)①1.5 ①20,07⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)存在最大值，最大值为6939．(1)3t (2)258 (3)355374t ≤≤40．(1)①①①(2)AD =，①465。
中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及答案解析
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图所示，(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF 形成的锐角β．【答案】（1）DF=BE且DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α【解析】【分析】（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF＝AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BAE＝∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF＝90°，所以DF⊥BE；（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF＝kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF＝90°，所以DF⊥BE；（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF＝180°，所以DF与BE的夹角β＝180°﹣α．【详解】（1）DF与BE互相垂直且相等．证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G在正方形ABCD和等腰直角△AEF中AD＝AB，AF＝AE，∠BAD＝∠EAF＝90°∴∠FAD ＝∠EAB ∴△FAD ≌△EAB ∴∠AFD ＝∠AEB ，DF ＝BE ∵∠AFD+∠AFG ＝180°， ∴∠AEG+∠AFG ＝180°， ∵∠EAF ＝90°，∴∠EGF ＝180°﹣90°＝90°， ∴DF ⊥BE（2）数量关系改变，位置关系不变．DF ＝kBE ，DF ⊥BE ． 延长DF 交EB 于点H ，∵AD ＝kAB ，AF ＝kAE ∴AD k AB =，AFk AE= ∴AD AFAB AE= ∵∠BAD ＝∠EAF ＝a ∴∠FAD ＝∠EAB ∴△FAD ∽△EAB∴DF AFk BE AE == ∴DF ＝kBE∵△FAD ∽△EAB ， ∴∠AFD ＝∠AEB ， ∵∠AFD+∠AFH ＝180°， ∴∠AEH+∠AFH ＝180°， ∵∠EAF ＝90°，∴∠EHF ＝180°﹣90°＝90°， ∴DF ⊥BE（3）不改变．DF ＝kBE ，β＝180°﹣a ． 延长DF 交EB 的延长线于点H ，∵AD ＝kAB ，AF ＝kAE ∴AD k AB =，AFk AE = ∴AD AFAB AE= ∵∠BAD ＝∠EAF ＝a ∴∠FAD ＝∠EAB ∴△FAD ∽△EAB∴DF AFk BE AE == ∴DF ＝kBE由△FAD ∽△EAB 得∠AFD ＝∠AEB ∵∠AFD+∠AFH ＝180° ∴∠AEB+∠AFH ＝180°∵四边形AEHF 的内角和为360°， ∴∠EAF+∠EHF ＝180° ∵∠EAF ＝α，∠EHF ＝β ∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a 【点睛】本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在．2．如图1，在□ABCD 中，AB =6，∠B = (60°<≤90°). 点E 在BC 上，连接AE ，把△ABE 沿AE 折叠，使点B 与AD 上的点F 重合，连接EF . (1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)如图2，点M 是BC 上的动点，连接AM ，把线段AM 绕点M 顺时针旋转得到线段MN ，连接FN ，求FN 的最小值(用含的代数式表示).【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，∴∠BAE=∠FEA，∴AB∥FE，∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF，∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B∴∠1＝∠2又AM＝NM，AB＝MG∴△ABM≌△MGN∴∠B＝∠3，NG＝BM∵MG＝AB＝BE∴EG＝AB＝NG∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF∴∠FEC＝∠B=∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN.同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°综上所述，∠FEN＝－90°∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3)当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值.3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD．点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．（1）PM与BE的数量关系是，BE与MN的数量关系是．（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中BE与MN的数量关系结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB ＝6．CE ＝2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B 、E 、D 三点在一条直线上时，求MN 的长度． 【答案】（1）1,22PM BE BE MN ==；（2）成立，理由见解析；（3）MN ＝17﹣1或17+1 【解析】 【分析】（1）如图1中，只要证明PMN 的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；（2）如图2中，结论仍然成立，连接AD 、延长BE 交AD 于点H .由ECB DCA ≅，推出BE AD =，DAC EBC ∠=∠，即可推出BH AD ⊥，由M 、N 、P 分别AE 、BD 、AB 的中点，推出//PM BE ，12PM BE =，//PN AD ，12PN AD =，推出PM PN =，90MPN ∠=︒，可得22222BE PM MN MN ==⨯=； （3）有两种情形分别求解即可. 【详解】 （1）如图1中，∵AM ＝ME ，AP ＝PB ，∴PM ∥BE ，12PM BE =， ∵BN ＝DN ，AP ＝PB ，∴PN ∥AD ，12PN AD =， ∵AC ＝BC ，CD ＝CE ， ∴AD ＝BE ， ∴PM ＝PN ， ∵∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∴∵PM ∥BC ，PN ∥AC ， ∴PM ⊥PN ，∴△PMN 的等腰直角三角形， ∴2MN PM =，∴122MN BE =⋅， ∴2BE MN =，故答案为12PM BE =，2BE MN =． （2）如图2中，结论仍然成立．理由：连接AD 、延长BE 交AD 于点H ． ∵△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD ＝CE ，CA ＝CB ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∵∠ACB ﹣∠ACE ＝∠DCE ﹣∠ACE ， ∴∠ACD ＝∠ECB ， ∴△ECB ≌△DCA ， ∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ， ∵∠AHB ＝180°﹣（∠HAB +∠ABH ） ＝180°﹣（45°+∠HAC +∠ABH ） ＝∠180°﹣（45°+∠HBC +∠ABH ） ＝180°﹣90° ＝90°， ∴BH ⊥AD ，∵M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点，∴PM ∥BE ，12PM BE =，PN ∥AD ，12PN AD =， ∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°，∴22222BE PM MN MN ==⨯=． （3）①如图3中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()22226234BG BC CG =-=-=，∴342BE BG GE =-=-， ∴21712MN BE ==-． ②如图4中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===，当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()22226234BG BC CG =-=-=∴342BE BG GE =+=， ∴21712MN BE ==． 综上所述，MN 17﹣117． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.4．在Rt △ABC 中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，将三角板绕点O 旋转，三角板的两直角边分别交AB ，BC 或其延长线于E ，F 两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长）；若不能，请说明理由；（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证明；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图③），当AP:AC=1:4时，PE和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．【答案】（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，（2）OE=OF．（3）PE：PF=1：3．【解析】【小题1】由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF 的长度，即可推出BF的长度；【小题2】连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；【小题3】过点P做PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，继而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC=PE：PF=1：4．5．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED 拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．【答案】1【解析】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．（3）分两种情况讨论即可．详解：（1）D’A=1．理由如下：过D′作D′N⊥CD于N．∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= 12CD′=1．由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，∴四边形ACED’为平行四边形．又∵∠DCE=90°，∴四边形ACED’为矩形；（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．∵∠DCE=∠D’CE’=90°，∴∠DCE’=∠D’CG．又∵D’C= DC，CG=CE’，∴△DCE’≌△D’CG，∴GD’=E’D．（3）分两种情况讨论：①如图1．∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．6．如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．（1）求证：△ACF≌△CBE；（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE．若AB=42，∠CBE=30°，求DE的长．【答案】（1）答案见解析；（226+【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF2DE，EF=CE+BE，进而得到DE的长．试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△ACF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBE（AAS）；（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△CAF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAF（AAS）；∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵BE CFEBD FCDBD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF=2DE，∴EF=CE+CF =CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB=42，∴BC=4．又∵∠CBE=30°，∴CE=12BC=2，BE=3CE=23，∴EF=CE+BE=2+23，∴DE=2EF=2232+=2+6．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．7．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN∥AC，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为. (3)不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则，，∴.又∵.∴．∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.8．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPQ=45°．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；（2）∵△APP′是等腰直角三角形，∴22，∠APP′=45°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴，在△PP′B中，，，，∵）2+（2=）2，∴PP′2+PB2=P′B2，∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理的综合运用，有一定难度，关键是明确旋转的不变性．。
中考数学压轴题旋转问题带答案
中考数学压轴题旋转问题带答案中考数学压轴题旋转问题带答案This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020旋转问题考查三⾓形全等、相似、勾股定理、特殊三⾓形和四边形的性质与判定等。
旋转性质----对应线段、对应⾓的⼤⼩不变，对应线段的夹⾓等于旋转⾓。
注意旋转过程中三⾓形与整个图形的特殊位置。
⼀、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中⼼顺时针旋转点M ，以B点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直⾓三⾓形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最⼤⾯积2、（2009年河南）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转⾓为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC 是直⾓梯形，此时AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解：（1）①当四边形EDBC 是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，⽽∠A=30°，AB NM （第1题）根据三⾓形的外⾓性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；②当四边形EDBC是直⾓梯形时，∠ODA=90°，⽽∠A=30°，根据三⾓形的内⾓和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC‖ED，∵CE‖AB，∴四边形EDBC是平⾏四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30度，∴AB=4，AC=2 ，∴AO= = ．在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．⼜∵四边形EDBC是平⾏四边形，∴四边形EDBC是菱形．3、（2009年北京市）在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意⼀点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意⼀点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出⾃变量x的取值范围.提⽰：（1）运⽤三⾓形全等，（2）按CP=CE=4将x取值分为两段分类讨论；发现并利⽤好EC、EF相等且垂直。
中考数学中考最后压轴题训练---折叠旋转问题
。移动到什么位置时，。，。两点到直线"。的距离之和最大请直接写出此时点。的坐标 及直线”。的解析式.
4
x
点。处.已知折叠CE = 5式，且tanNED4 = 2.4
（
1
（
（
式并画出相应的直线：如果不存在，请说明理由.
即抛物线为y=2x2+6bx+ 4.
假设在抛物线
A®4x2x4-(>/3/?)232-3/
.・〃？ = -= -,H==,
2x244x28
加上(6b32-3/)
即点G的坐标为一二
I 48)
设对称轴工=-叵与直线
4
则点尸的坐标为一7,4卜
点G在y釉的右侧,
，:CM = CG = 2CF=-巫2
解之，得/? =—2.(・.fvO).
在RtZXOEA中，DE2= AD2+ AE2.
/. (4-x)2=22+x2.
2
(3、
即点
k
设DE所在直线的解析式为y = kx+b,
‘3k+b = 0,
"5k+b = -,
2
k = —,
4
解之
4
39
・・・0七所在直线的解析式为y = -x--；
44
(3)•点C((X4)在抛物线y = 2x2+J5u' + c上，「.c = 4.
为
（图3）
解：
证明：连结
■:EF垂直平分AB：.AN=BN
由折叠知AB = BN
：.AN=AB=BN：.AABN为等边三角形
中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(222)或(222)，AM的最大值为2+4．【解析】【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标．【详解】(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答案为CB的延长线上，a+b；(2)①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，AD ABCAD EAB AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5；(3)如图1，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，∴OA＝2，OB＝6，∴AB＝4，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝2AP＝22，∴最大值为22+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE2，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣42＝22，∴P(2﹣2，2)．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P(2﹣2，﹣2)时，也满足条件．综上所述，满足条件的点P坐标(2﹣2，2)或(2﹣2，﹣2)，AM的最大值为22+4．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH3；（3）EG2＝AG2+CE2．【解析】【分析】（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH 3．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH 3．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.3．如图1，△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，直线l 经过点C ，AF ⊥l 于点F ，BE ⊥l 于点E ． （1）求证：△ACF ≌△CBE ；（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D 是AB 的中点，连接DE ．若AB =42，∠CBE =30°，求DE 的长．【答案】（1）答案见解析；（226+【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=2DE，EF=CE+BE，进而得到DE的长．试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△ACF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBE（AAS）；（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△CAF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAF（AAS）；∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵BE CFEBD FCDBD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF=2DE，∴EF=CE+CF=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB=42，∴BC=4．又∵∠CBE=30°，∴CE=12BC=2，BE=3CE=23，∴EF=CE+BE=2+23，∴DE=2EF=2232+=2+6．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．4．在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF 分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）【答案】（1）45°；（2）①补图见解析；②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，证明见解析；（3）答案见解析.【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可；（2）依题意画出如图1所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2，再判断出FM=MN即可；（3）利用△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，判断出EF=EG，再利用（2）证明即可．解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵AE⊥BD，∴∠ABE=∠BAE=45°，（2）①依题意补全图形，如图1所示，②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB=∠ABD=45°，∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2，∵旋转△ANE得到AB1E1，∴∠E1AB1=45°，∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°，∵∠BAF=DAN，∴∠BAB1+∠BAF=45°，∴∠FAM=45°，∴∠FAM=∠E1AB1，∵AM=AM，AF=AN，∴△AFM≌△ANM，∴FM=MN，∵FB2+BM2=FM2，∴DN2+BM2=MN2，（3）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴DF=GB，∵正方形ABCD的周长为4AB，△CEF周长为EF+EC+CF，∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，∴4AB=2（EF+EC+CF），∴2AB=EF+EC+CF∵EC=AB﹣BE，CF=AB﹣DF，∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF，∴EF=DF+BE，∵DF=GB，∴EF=GB+BE=GE，由旋转得到AD=AG=AB，∵AM=AM，∴△AEG≌△AEF，∠EAG=∠EAF=45°，和（2）的②一样，得到DN2+BM2=MN2．“点睛”此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质，三角形的全等，判断出（△AFN≌△ANM，得到FM=MM），是解题的关键.5．在△ABC中，AB=AC，∠A=300，将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD，再将线段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上．（1）如图1，直接写出∠ABD和∠CFE的度数；（2）在图1中证明：AE=CF；（3）如图2，连接CE，判断△CEF的形状并加以证明．【答案】（1）15°，45°；（2）证明见解析；（3）△CEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC的度数，由旋转的性质得到∠DBC的度数，从而得到∠ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得∠CFE的度数.（2）连接CD、DF，证明△BCD是等边三角形，得到CD=BD，由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而AB∥FD，证明△AEF≌△FCD即可得AE=CF．（3）过点E作EG⊥CF于G，根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即可证明△CEF是等腰直角三角形.（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=300，∴∠ABC=750.∵将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD，即∠DBC=600．∴∠ABD= 15°.∴∠CFE=∠A+∠ABD=45°．（2）如图，连接CD、DF．∵线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD，∴BD=BC，∠CBD=600．∴△BCD是等边三角形．∴CD=BD．∵线段BD平移到EF，∴EF∥BD，EF=BD．∴四边形BDFE是平行四边形，EF= CD．∵AB=AC，∠A=300，∴∠ABC=∠ACB=750．∴∠ABD=∠ACD=15°．∵四边形BDFE是平行四边形，∴AB∥FD．∴∠A=∠CFD.∴△AEF≌△FCD（AAS）．∴AE=CF．（3）△CEF是等腰直角三角形，证明如下：如图，过点E作EG⊥CF于G，∵∠CFE =45°，∴∠FEG=45°．∴EG=FG．∵∠A=300，∠AGE=90°，∴．∵AE=CF，∴．∴．∴G为CF的中点．∴EG为CF的垂直平分线．∴EF=EC．∴∠CEF=∠FEG=90°．∴△CEF是等腰直角三角形．考点：1.旋转和平移问题；2．等腰三角形的性质；3．三角形外角性质；4．等边三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质；6.全等三角形的判定和性质；7．含30度直角三角形的性质；8．垂直平分线的判定和性质；9．等腰直角三角形的判定.6．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB 交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE，见解析；③PC21033.【解析】【分析】（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根据∠APB＝∠DPC即可证明△ABP≌△DCP，即可得AB ＝CD，即可解题．（2）①延长EP 交BC 于F ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ）可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ），结合已知得BF ＝DE ＝AE ，再证明△FBC ≌△EAC （SAS ），可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．③作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°，得∠FBC ＝∠EAC ，同②可证可得PC ＝PE ，PC ⊥PE ，再由已知解三角形得∴EC 2＝CH 2+HE 2＝10+求出2211022PC EC +==【详解】（1）解：∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠B ，在△ABP 和△DCP 中，BP CPAPB DPC B C=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP ≌△DCP （SAS ），∴DC ＝AB ．∵AB ＝200米．∴CD ＝200米，故答案为：200．（2）①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ，同（1）理，可知∴△FBP ≌△EDP （SAS ），∴PF ＝PE ，BF ＝DE ，又∵AC ＝BC ，AE ＝DE ，∴FC ＝EC ，又∵∠ACB ＝90°，∴△EFC 是等腰直角三角形，∵EP ＝FP ，∴PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．理由如下：如解图2，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，同①理，可知△FBP ≌△EDP （SAS ），∴BF ＝DE ，PE ＝PF ＝12EF ，∵DE ＝AE ，∴BF ＝AE ，∵当α＝90°时，∠EAC ＝90°，∴ED ∥AC ，EA ∥BC∵FB ∥AC ，∠FBC ＝90，∴∠CBF ＝∠CAE ，在△FBC 和△EAC 中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△EAC （SAS ），∴CF ＝CE ，∠FCB ＝∠ECA ，∵∠ACB ＝90°，∴∠FCE ＝90°，∴△FCE 是等腰直角三角形，∵EP ＝FP ，∴CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝12EF ． ③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC ＝∠EAC ＝α＝150°同②可得△FBP ≌△EDP （SAS ），同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP ＝EP， 在Rt △AHE 中，∠EAH ＝30°，AE ＝DE ＝1，∴HE ＝12，AH又∵AC ＝AB ＝3， ∴CH ＝3+2， ∴EC 2＝CH 2+HE 2＝10+∴PC 2＝211022EC +=【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．7．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE＝140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【答案】（1）∠BOC＝70°；（2）存在，t＝2，t＝8或32；（3）12或372.【解析】【分析】（1）由图可知∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∠AOC可利用角平分线及平角的定义求出.（2）分OA平分∠COD，OC平分∠AOD，OD平分∠AOC三种情况分别进行讨论，建立关于t的方程，解方程即可.（3）分别用含t的代数式表示出∠COD和∠BOD，再根据OC平分∠BOD建立方程解方程即可，注意分情况讨论.【详解】（1）解：∵∠COE＝140°，∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，又∵OA平分∠COD，∴∠AOC＝12∠COD＝20°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝70°；（2）存在①当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10°t＝20°，解得：t＝2；②当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠DOC，即10°t﹣40°＝40°，解得：t＝8；③当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360°﹣10°t＝40°，解得：t＝32；综上所述：t＝2，t＝8或32；（3）12或372，理由如下：设运动时间为t，则有①当90+10t＝2（40+15t）时，t＝1 2②当270﹣10t＝2（320﹣15t）时，t＝37 2所以t的值为12或372．【点睛】本题主要考查角平分线的定义以及图形的旋转，根据题意，找到两个角之间的等量关系建立方程并分情况讨论是解题的关键.8．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值。
专题22 几何三大变换问题之旋转问题(压轴题)
《中考压轴题》专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题一、选择题1.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为A ．22-B ．32C ．31-D ．12.如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为A ．（203，103）B ．（163，453）C ．（203，453）D ．（163，43）3.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个4.如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为A．30°B．60°C．90°D．150°6.如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．122π+B．12π+C．1π+D．3-7.如图，直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A．45°B．60°C．90°D．120°9.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3二、填空题1.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于.2.如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为．3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．6.如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依次作法，则∠AA n A n+1等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）7.如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．8.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．9.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．10.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是．=上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点12.如图，平面直角坐标系中，已知直线y xP顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案
中考数学初中数学旋转-经典压轴题附答案一、旋转1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=1MC，∴EG=CG．2（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．2．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D 从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D于点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s 时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s.试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD3cm，∴△BDE的最小周长=CD3；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s.综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类.3．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，最大值为15．【解析】分析：（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得PM=12CE，PM∥CE，PN=12BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=12BD，所以当PM最大时，△PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.详解：（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形．理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM=12CE，PM∥CE，∵点N，M分别是BC，DE的中点，∴PN=12BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形．（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=12 BD，∴PM最大时，△PMN周长最大，∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，∴BD=AB+AD=10，△PMN周长的最大值为15．故答案为△PMN周长的最小值为3，最大值为15点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，△PMN周长的最小；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN周长的最大值为15.4．如图1，在Rt△ADE中，∠DAE=90°，C是边AE上任意一点（点C与点A、E不重合），以AC为一直角边在Rt△ADE的外部作Rt△ABC，∠BAC=90°，连接BE、CD．（1）在图1中，若AC=AB，AE=AD，现将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图2，那么线段BE．CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；（2）在图1中，若CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图3，连接BD、CE．①求证：△ABE∽△ACD；②计算：BD2+CE2的值．【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170．【解析】【分析】（1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△BAE≌△CAD，即可解决问题；（2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD．②由①得到∠AEB=∠CDA．再根据等量代换得到∠DGE=90°，即DG⊥BE，根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算．【详解】（1）结论：BE=CD，BE⊥CD．理由：设BE与AC的交点为点F，BE与CD的交点为点G，如图2．∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．在△CAD 和△BAE 中，∵AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD ≌△BAE ，∴CD =BE ，∠ACD =∠ABE ．∵∠BFA =∠CFG ，∠BFA +∠ABF =90°，∴∠CFG +∠ACD =90°，∴∠CGF =90°，∴BE ⊥CD ． （2）①设AE 与CD 于点F ，BE 与DC 的延长线交于点G ，如图3．∵∠CABB =∠EAD =90°，∴∠CAD =∠BAE ．∵CA =3，AB =5，AD =6，AE =10，∴AE AB =AD AC=2，∴△ABE ∽△ACD ； ②∵△ABE ∽△ACD ，∴∠AEB =∠CDA ． ∵∠AFD =∠EFG ，∠AFD +∠CDA =90°，∴∠EFG +∠AEB =90°，∴∠DGE =90°，∴DG ⊥BE ，∴∠AGD =∠BGD =90°，∴CE 2=CG 2+EG 2，BD 2=BG 2+DG 2，∴BD 2+CE 2=CG 2+EG 2+BG 2+DG 2． ∵CG 2+BG 2=CB 2，EG 2+DG 2=ED 2，∴BD 2+CE 2=CB 2+ED 2=CA 2+AB 2+AD 2+AD 2=170．【点睛】本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键．5．如图1，菱形ABCD ，AB 4=，ADC 120∠=，连接对角线AC 、BD 交于点O ， ()1如图2，将AOD 沿DB 平移，使点D 与点O 重合，求平移后的A'BO 与菱形ABCD 重合部分的面积．()2如图3，将A'BO 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E'，交BC 于点F ，①求证：BE'BF 2+=；②求出四边形OE'BF 的面积．【答案】()() 13?2①证明见解析3②【解析】【分析】(1)先判断出△ABD 是等边三角形，进而判断出△EOB 是等边三角形，即可得出结论；(2)先判断出 ≌△OBF ，再利用等式的性质即可得出结论；(3)借助①的结论即可得出结论．【详解】()1四边形为菱形，ADC 120∠=，ADO 60∠∴=，ABD ∴为等边三角形，DAO 30∠∴=，ABO 60∠=，∵AD//A′O ，∴∠A′OB=60°，EOB ∴为等边三角形，边长OB 2=，∴重合部分的面积：3434⨯=， ()2①在图3中，取AB 中点E ，由()1知，∠EOB=60°，∠E′OF=60°，∴∠EOE′=∠BOF ，又∵EO=BO ，∴∠OEE′=∠OBF=60°，∴△OEE′≌△OBF ，∴EE′=BF ，∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2；②由①知，在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF，∴S△OEE′=S△OBF，∴S四边形OE′BF =OEBS3=.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.6．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．（1）求证：图1中的PBC是正三角形：（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求证：IH=IJ②请求出NJ的长；（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1233）3＜a＜3，a＞3【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、3，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC 是正三角形：（2）证明：①如图∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90°∵△MNJ 是等边三角形∴MI=NI在Rt △MHI 和Rt △JNI 中MI NI MH NJ =⎧⎨=⎩∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ）∴HI=IJ②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ，∴∠HIM=∠JIN ，∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，∴∠HIM=∠JIN=15°，由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°，∴∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x ，22=3QN NJ -x ， ∵IJ=6cm ，∴3，∴33cm ）． （3）分三种情况：①如图：设等边三角形的边长为b ，则0＜b≤6， 则tan60°=3=2a b ， ∴a=32b ， ∴0＜b≤632=33； ②如图当DF 与DC 重合时，DF=DE=6， ∴a=sin60°×DE=632=33， 当DE 与DA 重合时，a=6643sin6032==︒， ∴33＜a ＜43； ③如图∵△DEF 是等边三角形 ∴∠FDC=30°∴DF=6643 cos3032==︒∴a＞43点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．7．如图1，四边形ABCD 是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．8．如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．（1）求证：△ACF≌△CBE；（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE．若AB=2，∠CBE=30°，求DE的长．【答案】（1）答案见解析；（226+【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF2DE，EF=CE+BE，进而得到DE的长．试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△ACF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBE（AAS）；（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△CAF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAF（AAS）；∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵BE CFEBD FCDBD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF2DE，∴EF=CE+CF=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB2∴BC=4．又∵∠CBE=30°，∴CE=12BC=2，BE3CE3∴EF=CE+BE3∴DE223226．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．9．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y 轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．【答案】（1）（1，2）；（2）S=32t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值【解析】试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可；（II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=12t，AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；（III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小．试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=12OA=1，MG是△AOB的中位线，∴MG =12OB =12×4=2，∴M （1，2）； （II ）如图1，同理得：OG =AG =12t ．∵∠BAC =90°，∴∠BAO +∠CAF =90°．∵∠CAF +∠ACF =90°，∴∠BAO =∠ACF ．∵∠MGA =∠AFC =90°，MA =AC ，∴△AMG ≌△CAF ，∴AG =CF =12t ，AF =MG =2，∴EC =4﹣12t ，BE =OF =t +2，∴S △BCE =12EC •BE =12（4﹣12t ）（t +2）=﹣14t 2+32t +4； S △ABC =12•AB •AC =12•216t +•21162t +=14t 2+4，∴S =S △BEC +S △ABC =32t +8． 当A 与O 重合，C 与F 重合，如图2，此时t =0，当C 与E 重合时，如图3，AG =EF ，即12t =4，t =8，∴S 与t 之间的函数关系式为：S =32t +8（0≤t ≤8）； （III ）如图1，易得△ABO ∽△CAF ，∴AB AC =OB AF =OA FC =2，∴AF =2，CF =12t ，由勾股定理得：AC =22AF CF +=22122t +（）=2144t +，BC =22BE EC +=221242t t ++-（）（）=21544t +（），∴BC +AC =（ 5+1）2144t +，∴当t =0时，BC +AC 有最小值．点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．10．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．（1）请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于10的概率；（2）小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．【答案】（1）13；（2）不公平．【解析】试题分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．试题解析：（1）共有12种等可能的结果，小于10的情况有4种，所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为13．（2）不公平，因为小颖获胜的概率为；小亮获胜的概率为512．小亮获胜的可能性大，所以不公平．可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢．考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．11．思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝200米，那么A ，B 间的距离是 米．思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ； ②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值．【答案】（1）200；（2）①PC ＝PE ，PC ⊥PE ；②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ，见解析；③PC 21033+. 【解析】 【分析】（1）由CD ∥AB ，可得∠C ＝∠B ，根据∠APB ＝∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ，即可得AB ＝CD ，即可解题．（2）①延长EP 交BC 于F ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ）可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ），结合已知得BF ＝DE ＝AE ，再证明△FBC ≌△EAC （SAS ），可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．③作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°，得∠FBC ＝∠EAC ，同②可证可得PC ＝PE ，PC ⊥PE ，再由已知解三角形得∴EC 2＝CH 2+HE 2＝1033+求出22110332PC EC +==【详解】（1）解：∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠B ， 在△ABP 和△DCP 中，BP CP APB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△DCP （SAS ）， ∴DC ＝AB ． ∵AB ＝200米． ∴CD ＝200米， 故答案为：200．（2）①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知∴△FBP ≌△EDP （SAS ）， ∴PF ＝PE ，BF ＝DE ， 又∵AC ＝BC ，AE ＝DE ， ∴FC ＝EC ， 又∵∠ACB ＝90°，∴△EFC 是等腰直角三角形， ∵EP ＝FP ， ∴PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ． 理由如下：如解图2，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同①理，可知△FBP ≌△EDP （SAS ）， ∴BF ＝DE ，PE ＝PF ＝12EF ， ∵DE ＝AE ， ∴BF ＝AE ，∵当α＝90°时，∠EAC ＝90°， ∴ED ∥AC ，EA ∥BC ∵FB ∥AC ，∠FBC ＝90， ∴∠CBF ＝∠CAE ， 在△FBC 和△EAC 中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FBC ≌△EAC （SAS ）， ∴CF ＝CE ，∠FCB ＝∠ECA ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠FCE ＝90°，∴△FCE 是等腰直角三角形， ∵EP ＝FP ， ∴CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝12EF ． ③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC ＝∠EAC ＝α＝150° 同②可得△FBP ≌△EDP （SAS ），同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝22CE ， 在Rt △AHE 中，∠EAH ＝30°，AE ＝DE ＝1， ∴HE ＝12，AH ＝32， 又∵AC ＝AB ＝3， ∴CH ＝3+32， ∴EC 2＝CH 2+HE 2＝1033+ ∴PC 2＝21103322EC +=【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．12．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
中考数学旋转-经典压轴题附详细答案
（3）如图 3，在（1）的条件下将△ ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°时，若 AD=1，AC= 此时线段 CF 的长（直接写出结果）.
，求
【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3） ． 【解析】 试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知 DF=BF，根据 ∠ DFE=2∠ DCF，∠ BFE=2∠ BCF，得到∠ EFD+∠ EFB=2∠ DCB=90°，DF⊥BF； （2）延长 DF 交 BC 于点 G，先证明△ DEF≌ △ GCF，得到 DE=CG，DF=FG，根据 AD=DE， AB=BC，得到 BD=BG 又因为∠ ABC=90°，所以 DF=CF 且 DF⊥BF； （3）延长 DF 交 BA 于点 H，先证明△ DEF≌ △ HBF，得到 DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可
M，使得 DM=DE，连接 FM、CM．想办法证明△ AFE≌ △ AFG，可得∠ EAF=∠ FAG= 1 m°. 2
详（1）证明：如图 1 中，
∵ ∠ BAC=∠ DAE， ∴ ∠ DAB=∠ EAC， 在△ DAB 和△ EAC 中，
AD＝AE DAB＝EAC ， AB＝AC
∴ △ DAB≌ △ EAC， ∴ BD=EC． （2）证明：如图 2 中，延长 DC 到 E，使得 DB=DE．
∵ BF=DF，∴ ∠ DBF=∠ BDF. ∵ ∠ DFE=∠ ABE+∠ BDF，∴ ∠ DFE=2∠ DBF. 同理得：∠ CFE=2∠ CBF， ∴ ∠ EFD+∠ EFC=2∠ DBF+2∠ CBF=2∠ ABC=90°. ∴ DF=CF，且 DF⊥CF． （2）（1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，此时点 D 落在 AC 上，延长 DF 交 BC 于点 G． ∵ ∠ ADE=∠ ACB=90°，∴ DE∥ BC．∴ ∠ DEF=∠ GBF，∠ EDF=∠ BGF． ∵ F 为 BE 中点，∴ EF=BF．∴ △ DEF≌ △ GBF．∴ DE=GB，DF=GF． ∵ AD=DE，∴ AD=GB. ∵ AC=BC，∴ AC-AD="BC-GB." ∴ DC=GC． ∵ ∠ ACB=90°，∴ △ DCG 是等腰直角三角形. ∵ DF=GF，∴ DF=CF，DF⊥CF．
2023年九年级数学中考复习：旋转(面积问题)综合压轴题(Word版,含答案)
2023年九年级数学中考复习：旋转（面积问题）综合压轴题1．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将∠PBC绕点B逆时针旋转90°，得到∠P'BA，连接P P'，求出∠APB的度数．思路二：将∠APB绕点B顺时针旋转90°，得到∠C P'B，连接P P'，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．2．如图，已知在∠ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将∠ABD绕点A旋转，得到∠AC D，连接D E．(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D E；(2)当DE＝D E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，∠D EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）AC BD相交于点O，3．如图，平行四边形ABCD中，,1,5AB AC AB BC⊥==,BC AD于点E，F．将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交,(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；(2)证明：在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；(3)在旋转过程中，当AC 绕点O 顺时针旋转多少度时，四边形BEDF 是菱形，请给出证明．4．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．5．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．6．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图∠，在四边形ABCD中，AD CDADC∠=︒，2∠=︒，60=，120ABCAB=，1BC=．【问题提出】(1)如图∠，在图∠的基础上连接BD，由于AD CD=，所以可将DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到DAB'，则BDB'的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；【类比应用】(3)如图∠，等边ABC的边长为2，BDC是顶角120∠=︒的等腰三角形，以D为顶BDC点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN的周长．7．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．。
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案解析
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案解析一、旋转1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
【答案】（1）1302α︒-（2）见解析（3）30α=︒【解析】解：（1）1302α︒-。
（2）△ABE 为等边三角形。
证明如下：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ， ∴BC=BD ，∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°，∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°，∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ， ∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°，∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
（1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2α︒-∠=。
2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题(角度问题)附答案
2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（角度问题）附答案1．在正方形ABCD 中，AB =4，O 为对角线AC 、BD 的交点．（1）如图1，延长OC ，使CE=OC ，作正方形OEFG ，使点G 落在OD 的延长线上，连接DE 、AG ．求证：DE=AG ；（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α°（0<α<180），得到正方形OE F G '''，连接AE E G '''、．①当α=30时，求点A 到E G ''的距离；②在旋转过程中，直接写出AE G ∆''面积的最小值为，并写出此时的旋转角α=．2．已知在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线DE 与BC 交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP ＜PD ）（1）如图1，若点F 在CD 边上（不与C ，D 重合），将∠DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边PD ，PF 分别交射线DA 于点H ，G ．①直接写出PG 与PF 之间的数量关系；②猜想DF ，DG ，DP 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，若点F 在CD 的延长线上（不与D 重合），将PF 绕点P 逆时针旋转90°，交射线DA 于点G ，判断（1）②中DF ，DG ，DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请直接写出它们所满足的数量关系式．3．在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A （a ，0）、B （0，b ）两点，且a ＋2b ﹣5）2＝0（1）求A 、B 两点坐标；（2）如图1，把线段BA 绕B 点顺时针旋转，点A 的对应点为C 点，使BC ⊥y 轴，E 为线段AC 上一点，EN ⊥AB 于N ，EM ⊥BC 于M ，求EM ＋EN 的值．（3）如图2，点D 为y 轴上点B 上方一点，DE ⊥AD 交直线CB 于点E ，∠DEC 的平分线EF 与∠DAO 的邻补角的平分线AF 交点F ，请问：D 点在运动的过程中∠AFE 的大小是否变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由．4．（1）发现：如图1，点B 是线段AD 上的一点，分别以AB BD ，为边向外作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ，连接AE ，CD ，相交于点O .①线段AE 与CD 的数量关系为：___________；AOC ∠的度数为__________.②CBD ∆可看作ABE ∆经过怎样的变换得到的？____________________________.（2）应用：如图2，若点A B D ，，不在一条直线上，（1）的结论①还成立吗？请说明理由；（3）拓展：在四边形ABCD 中，=AB AC ，=90BAC ∠︒，=45ADC ∠︒，若8AD ＝，6CD ＝，请直接写出B ，D 两点之间的距离.5．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC APB的度数．6．在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线（一）尝试探究：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC ＝90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF＝度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为．（2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．（二）拓展延伸：如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF 与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．7．已知△AOB，将△AOB绕O点旋转到△COD位置，使C点落在OB边上，连接AC、BD．（1）若∠AOB=90°（如图1），小亮发现∠BAC=∠BDC，请你证明这个结论；（2）若∠AOB=60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；8．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．9．把一副三角板如图(1)放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12cm，DC=14cm，把三角板DCE绕点C逆时针旋转15°得到△（如图2）．这时AB与相交于点O，与相交于点F．（1）填空：∠=°；（2）请求出△的内切圆半径；（3）把△绕着点C 逆时针再旋转度（）得△，若△为等腰三角形，求的度数（精确到0.1°）．10．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，且DE BF =，求证：EG AG =；（2）如图2，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，延长EF 交AB 的延长线于点G ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ AE ⊥，垂足为点Q ，交AF 于点N ，连结DN ，求证：45NDC ∠=︒．11．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，1PA =，2PB =，3PC =，你能求出APB ∠的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC 绕点B 逆时针旋转90︒，得到P BA '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；思路二：将PAB △绕点B 顺时针旋转90︒，得到P CB '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；（2）如图2，若点P 是等边三角形ABC 内一点，若150APB ∠=︒，则线段PA ，PB ，PC 满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．12．把两个等腰直角ABC 和ADE 按如图1所示的位置摆放，将ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角为α（0360α︒<<︒）．（1）如图1，BD 与EC 的数量关系是___________，BD 与EC 的位置关系是___________；（2）如图2，（1）中BD 和EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．（3）如图3，当点D 在线段BE 上时，BEC ∠=___________．（4）当旋转角α=__________时，ABD △的面积最大．13．如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，直线MN 经过C 点垂直于AB ，垂足为D ．（1）求证：ADC BDC ∽△△；（2）若直线MN 从图1的位置绕M 点逆时针旋转，如图2，设旋转的角度为()0180αα<<，作AP MN ⊥，垂足为P ，BQ MN ⊥，垂足为Q ．①当α的度数为______时，点A ，P ，B ，Q 构成的四边形为平行四边形；②当α的度数为______时，点A ，P ，B ，Q 构成的四边形为矩形．14．已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ．【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DBEC ．（填＞、＜或＝）（2）发现证明：如图②，将图①中△ADE 的绕点A 旋转，当点D 在△ABC 外部，点E 在△ABC 内部时，求证：DB ＝EC ．【深入研究】（3）如图③，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则∠CDB 的度数为；线段CE ，BD 之间的数量关系为．（4）如图④，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为△ADE 中DE 边上的高，则∠CDB 的度数为；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为．15．把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1所示的位置摆放，将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）当DE ⊥AC 时，旋转角α＝度，AD 与BC 的位置关系是，AE 与BC 的位置关系是；（Ⅱ）当点D 在线段BE 上时，求∠BEC 的度数；（Ⅲ）当旋转角α＝时，△ABD 的面积最大．16．如图①，在 ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1，D 为 ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．(1)求证： BDA ≌ BFE ；(2)当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．(3)如图②，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．17．已知ABC 是等腰三角形，AB AC ＝，将ABC 绕点B 逆时针旋转得到''A BC ，(1)感知：如图①，当'BC 落在AB 边上时，'A AB ∠与'C CB ∠之间的数量关系是_____（不需要证明）；(2)探究：如图②，当'BC 不落在AB 边上时，'A ∠AB 与'C CB ∠是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由；(3)应用：如图③，若90BAC ∠=︒，'AA 、'CC 交于点E ，则'A EC ∠=_____度．18．如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF AB ⊥，交BD 于点F ．(1)如图1，直按写出DF AE的值_______；(2)将△EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE =BA 时，其他条件不变，△EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为(0360)αα︒<<︒，当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值．19．(1)观察猜想：如图①，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠EBD ＝90°，AB ＝BC ，BE ＝BD ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接CD 、BF ，当点D 、B 、C 三点共线时，线段CD 与线段BF 的数量关系是_____，位置关系是_____(2)探究证明：在（1）的条件下，将Rt △BDE 绕点B 顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图③，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，BC＝2AB＝8，BD＝2BE＝4，连接AE，点F是AE的中点，连结CD、BF，将△BDE绕点B在平面内自由旋转，请直接写出BF的取值范围，20．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD 重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．(1)旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．参考答案：1．（2）①点A 到E G ''的距离为；②在旋转过程中，直接写出AE G ∆''面积的最小值为16-α=135°．2．（1）②DG +DF ；（2）不成立，数量关系式应为：DG -DF ，3．（1）A （﹣3，0）、B （0，4）；（2）4；（3）不变，45°4．（1）①AE CD =，60︒；（2）依然成立，（3）6．（一）（1）30，BE ＋DF ＝EF ；（2）BE ﹣DF ＝EF ；8．（1）E （4，；（2）60°；（3）13(4,)3G ；（4）点H 不在此抛物线上．9．（1）120°；（2）2；（3）37.7°、50.6°10．（1）见解析；（2）结论依然成立11．（1）135,APB Ð=°证明见解析；（2）222PC PA PB =+，12．（1）BD EC =，BD EC ⊥；（2）成立，（3）90︒；（4）90︒或270︒13．（2）①30°或90°；②90°．14．（1）=；（3）60︒，DB CE =；（4）90︒，2AM BD CD +=15．（Ⅰ）45；垂直；平行；（Ⅱ）90BEC ∠=︒；（Ⅲ）90︒或270︒16．∠MPN 的值为定值，30°．17．(1)相等；(2)相等；(3)135︒．18．(2)DF ，(3)α的值为30°或150°，19．(1)CD =2BF BF ⊥CD(2)CD =2BF ，BF ⊥CD 成立，(3)13BF ≤≤20．(1)16°(2)DL ＝EN +GM ，。
2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题(倍长中线法)
2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题（倍长中线法）1．（1）阅读理解：如图1，在ABC 中，若3AB =，5AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ．利用全等将边AC 转化到BE ，在BAE 中利用三角形三边关系即可求出中线AD 的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线AD 的取值范围是___________；（2）问题解决：如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DM DN ⊥．DM 交AB 于点M ，DN 交AC 于点N ．求证：BM CN MN +>；（3）问题拓展：如图3，在ABC 中，点D 是BC 的中点，分别以AB AC ，为直角边向ABC 外作Rt ABM 和Rt ACN △，其中90BAM NAC ∠=∠=︒，AB AM =，AC AN =，连接MN ，请你探索AD 与MN 的数量与位置关系，并直接写出AD 与MN 的关系．2．（1）如图1，在ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到点E 使DE ＝AD ，连接CE ，把AB ，AC ，2AD 集中在ACE 中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是 ；（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE ＋CF ＞EF ；（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠A 为钝角，∠C 为锐角，∠B ＋∠ADC ＝180°，DA ＝DC ，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且∠EDF ＝12∠ADC ，连接EF ，试探索线段AF ，EF ，CE 之间的数量关系，并加以证明．3．（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若85AB AC ＝，＝，求BC 边上的中线AD 的取值范围．可以用如下方法：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +＞；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠︒＝，CB CD ＝，100BCD ∠︒＝，以C 为顶点作一个50︒的角，角的两边分别交AB AD 、于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE DF EF ，，之间的数量关系，并说明理由．4．如图，在锐角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D ，E 分别是边,AB AC 上一动点，连接BE 交直线CD 于点F ．(1)如图1，若AB AC >，且,BD CE BCD CBE =∠=∠，求CFE ∠的度数；(2)如图2，若=AB AC ，且=BD AE ，在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到线段CM ，连接MF ，点N 是MF 的中点，连接CN ．在点D ，E 运动过程中，猜想线段,,BF CF CN 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．5．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC 的边BC 到D ，使DC ＝BC ，过D 作DE ∥AB 交AC 延长线于点E ，求证：△ABC ≌△EDC ．【理解与应用】如图2，已知在△ABC 中，点E 在边BC 上且∠CAE ＝∠B ，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE ．（1）求证：AC ＝BD ；（2）若BD ＝3，AD ＝5，AE ＝x ，求x 的取值范围．6．如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得△CED ≌△ABD ．①请证明△CED ≌△ABD ；②中线BD 的取值范围是 ．（2）问题拓展：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中，AB ＝BM ，BC ＝BN ，∠ABM ＝∠NBC ＝∠90°，连接MN ．请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．7．已知ABC 中，（1）如图1，点E 为BC 的中点，连AE 并延长到点F ，使=FE EA ，则BF 与AC 的数量关系是________．（2）如图2，若AB AC =，点E 为边AC 一点，过点C 作BC 的垂线交BE 的延长线于点D ，连接AD ，若DAC ABD ∠=∠，求证：AE EC =．（3）如图3，点D 在ABC 内部，且满足AD BC =，BAD DCB ∠=∠，点M 在DC 的延长线上，连AM 交BD 的延长线于点N ，若点N 为AM 的中点，求证：DM AB =．8．在△ABM 中，AM ⊥BM ，垂足为M ，AM ＝BM ，点D 是线段AM 上一动点．（1）如图1，点C 是BM 延长线上一点，MD ＝MC ，连接AC ，若BD ＝17，求AC 的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E 是△ABM 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF ．（3）如图3，当E 在BD 的延长上，且AE ⊥BE ，AE ＝EG 时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）9．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点； （3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．10．（1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．11．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．12．如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作P A∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（P A≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD 交PB于点F．（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO ＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．13．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE ＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；∠BAD，试问线段（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．14．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM＋CN＞MN；（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM 和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．15．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别是AC ，AB 上的动点，且AE ＝CD ，BD 交CE 于点P ．（1）如图1，求证：∠BPC ＝120°；（2）点M 是边BC 的中点，连接P A ，PM ，延长BP 到点F ，使PF ＝PC ，连接CF ，①如图2，若点A ，P ，M 三点共线，则AP 与PM 的数量关系是 ．②如图3，若点A ，P ，M 三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．16．（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．17．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．18．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC △≌EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】⊥，求证：（3）如图2，在ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM DNBM CN MN+>．。
中考数学旋转(大题培优 易错 难题)附答案
点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性 质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉 手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．
2．（操作发现） （1）如图 1，△ ABC 为等边三角形，先将三角板中的 60°角与∠ ACB 重合，再将三角板绕 点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于 0°且小于 30°），旋转后三角板的一直角边与 AB 交于 点 D，在三角板斜边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使∠ DCE=30°，连接 AF， EF． ①求∠ EAF 的度数； ②DE 与 EF 相等吗？请说明理由； （类比探究） （2）如图 2，△ ABC 为等腰直角三角形，∠ ACB=90°，先将三角板的 90°角与∠ ACB 重合， 再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于 0°且小于 45°），旋转后三角板的一直 角边与 AB 交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使 ∠ DCE=45°，连接 AF，EF．请直接写出探究结果： ①∠ EAF 的度数； ②线段 AE，ED，DB 之间的数量关系．
∠ FEN＝ －90°，再根据垂线段最短，求出 FN 的最小值即可. 【详解】 （1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥ BC， ∴ ∠ FAE=∠ BEA， 由折叠的性质得∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA, BE=EF， ∴ ∠ BAE=∠ FEA， ∴ AB∥ FE， ∴ 四边形 ABEF 是平行四边形， 又 BE=EF， ∴ 四边形 ABEF 是菱形； （2）①如图 1，当点 M 在线段 BE 上时，在射线 MC 上取点 G，使 MG＝AB，连接 GN、 EN.
八年级旋转压轴题
2023中考数学压轴题—旋转问题1、如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是．2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，将△ABC 绕点A 顺时针旋转30°，得到△ACD ，延长AD 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为．3、（2021·江苏南京市·中考真题）如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D ''' 的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．4、如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，P 是边DC 上的动点，G 是AP 的中点，以P 为中心，将PG 绕点P 顺时针旋转90°，G 的对应点为G′，当B、D、G′在一条直线上时，PD=．5、如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM 关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为多少。
6、（2021新疆中考）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF，连接EF，分别交BD，CD于点M，N．若，则sin∠EDM＝．7、如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，求边扫过区域（图中阴影部分）的面积（结果保留）。
8、如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．9、如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．10、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；②是否存在点P，使S△A′MN ＝S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．11、已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．12、在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ．（1）如图，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数：（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系为__________；（3）当120α=︒时，若6AB BP ==，D 到CP 的距离为__________．参考答案：1、解答：解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，∴∠POQ=120°，∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，∴MQ=1，OM=，则P的对应点Q的坐标为（1，﹣），2、【解答】解：根据旋转过程可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AC＝AD＝4．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H点，在Rt△ACH中，CH＝AC＝2，AH＝2．∴HD＝AD﹣AH＝4﹣2．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴EH＝CH＝2．∴DE＝EH﹣HD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2．故答案为2﹣2．3、【答案】9 8【分析】过点C作CM//C D''交B C''于点M，证明ABB ADD''∆∆∽求得53 C D'=，根据AAS 证明ABB B CM ''∆≅∆可求出CM =1，再由CM //C D ''证明△CME DC E '∆∽，由相似三角形的性质查得结论．【详解】解：过点C 作CM //C D ''交B C ''于点M，∵平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形AB C D '''∴AB AB '=，,AD AD '=B AB C D D '''∠=∠=∠=∠，BAD B AD ''∠=∠∴BAB DAD ''∠=∠，B D '∠=∠∴ABB ADD ''∆∆∽∴3,4BB AB AB DD AD BC ''===∵1BB '=∴43DD '=∴C D C D DD ''''=-CD DD '=-AB DD '=-433=-53=AB C AB C CB M ABC BAB '''''∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠CB M BAB ''=∠∵413B C BC BB ''=-=-=∴B C AB '=∵AB AB '=∴∠AB B AB C ABB ''''=∠=∠∵//AB C D '''，//C D CM ''∴//AB CM '∴∠AB C B MC '''=∠∴∠AB B B MC''=∠在ABB '∆和B MC '∆中，BAB CB M AB B B MC AB B C ∠=∠⎧⎪∠='''∠''⎨⎪=⎩∴ABB B CM ''∆≅∆∴1BB CM '==∵//CM C D '∴△CME DC E '∆∽∴13553CM CE DC DE '===∴38CE CD =∴333938888CE CD AB ===⨯=故答案为：98．4、【解答】解：当B、D、G′在一条直线上时，如图所示，过G′作G′E⊥CD，交CD 的延长线于E，设PD=x，由勾股定理得：AP=，由旋转得：PG′=PG，∠APG′=90°，∴∠APD+∠DPG′=90°，∵G是AP的中点，∴PG=AP，∴PG′=AP=，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=90°，∴∠DAP+∠APD=90°，∴∠DPG′=∠DAP，∵sin∠DPG′=，sin∠DAP=，∴=，∴EG′=DP=x，∵EG′∥BC，∴=，∵BC=8，DC=4，∴BC=2DC，∴ED=EG′=x，∴PE=PD+DE=，由勾股定理得：G′P2=G′E2+PE2，即（）2=（x）2+（x）2，解得：x=±，∵x＞0，∴x=，∴DP=．故答案为：DP=．5、【解析】分析：连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM 的长即可.详解：连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=∴FE=.6、【分析】过点E作EG⊥BD于点G，设AE＝2x，则DN＝5x，易证△FNC∽△FEB，得，求出x的值，进而得到AE，EB的值，根据勾股定理求出ED，在Rt△EBG中求出EG，根据正弦的定义即可求解．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BD于点G，设AE＝2x，则DN＝5x，由旋转性质得：CF＝AE＝2x，∠DCF＝∠A＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DCB+∠DCF＝180°，∠DCB＝∠ABC，∴点B，C，F在同一条直线上，∵∠DCB＝∠ABC，∠NFC＝∠EFB，∴△FNC∽△FEB，∴，∴，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝，∴AE＝2×＝，∴ED＝＝＝，EB＝AB﹣AE＝1﹣＝，在Rt△EBG中，EG＝BE•sin45°＝×＝，∴sin∠EDM＝＝＝，故答案为：．【答案】7、【解析】分析：根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．详解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=，∴B′C′=，∴S扇形B′OB=，∵S扇形C′OC=，∴阴影部分面积=S扇形B′OB +S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=.8、【解答】（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD ＝90°，∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD；（2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，∴∠ABD+∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°，∴CF⊥BD，∵AB＝AC，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，∴BC AB，CD＝AC+AD，∴BC＝CD，∵CF⊥BD，∴CF是线段BD的垂直平分线；（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：∵∵AB＝AC，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G，∴AG BC，∠GAB＝45°，∴DG＝AG+AD，∠DAB＝180°﹣45°＝135°，∴△BCD的面积的最大值为：，旋转角α＝135°．9、【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．10、【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∴OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，∴B（3，﹣1），把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2，（2）①如图1中，∵B （3，﹣1），∴直线OB 的解析式为y ＝﹣x ，∵A （1，3），∴C （1，﹣），∵P （1，m ），AP ＝PA ′，∴A ′（1，2m ﹣3），由题意3＞2m ﹣3＞﹣，∴3＞m ＞．②∵直线OA 的解析式为y ＝3x ，直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +5，∵P （1，m ），∴M （，m ），N （，m ），∴MN ＝﹣＝，∵S △A ′MN ＝S △OA ′B ，∴•（m ﹣2m +3）•＝××|2m ﹣3+|×3，整理得m 2﹣6m +9＝|6m ﹣8|解得m ＝6+（舍弃）或6﹣，当点P 在x 轴下方时，不存在满足条件的点P ，∴满足条件的m 的值为6﹣．11、【详解】解：（1）连接AF AC 、 四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形,,90AB BC AG FG BAD GAE CBA AGF ∴==∠=∠=∠=∠=︒ AF AC 、分别平分,EAG BAD∠∠45BAC GAF ∴∠=∠=︒BAC CAG GAF CAG ∴∠+∠=∠+∠即BAG CAF∠=∠且,ABC AGF ∆∆都是等腰直角三角形2AC AF AB AG ∴==CAF BAG ∴∆∆∽2CF AC BG AB ∴==（2）连接BM 并延长使BM =MH ，连接FH 、EHM 是CF 的中点CM MF∴=又CMB FMH∠=∠CMB FMH∴∆∆≌,BC HF BCM HFM∴=∠=∠在四边形BEFC 中360BCM CBE BEF EFC ∠+∠+∠+∠=︒又90CBA AEF ∠=∠=︒3609090180BCM ABE AEB EFC ∴∠+∠+∠+∠=︒-︒-︒=︒即180HFM EFC ABE AEB ∠+∠+∠+∠=︒即180HFE ABE AEB ∠+∠+∠=︒180BAE ABE AEB ∠+∠+∠=︒HFE BAE∴∠=∠又四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形,BC AB FH EA EF∴===BAE HFE∴∆∆≌.BE HE BEA HEF∴=∠=∠90HEF HEA AEF ∠+∠=∠=︒ 90BEA HEA BEH∴∠+∠=︒=∠∴三角形BEH 是等腰直角三角形M 、N 分别是BH 、BE 的中点1//,2MN HE MN HE ∴=190,2MNB HEB MN BE ∴∠=∠=︒=1,2MN BE MN BE ∴⊥=（3）取AB 的中点O，连接OQ 、ON ，连接AF在ABF ∆中，O 、Q 分别是AB 、BF 的中点12OQ AF ∴=同理可得12ON AE =262AF AE == 32,3OQ ON ∴==所以QN 扫过的面积是以O 为圆心，32和3为半径的圆环的面积(223239S πππ∴=-=．12、【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）3DC PA =；（3）32或532．【分析】（1）①通过证明PBA DBC △≌△即可得证；②根据PBA DBC △≌△得到180120BCD BAP BAC ∠=∠=︒-∠=︒，故DCP DCB ACB ∠=∠-∠即可求解；（2）通过证明PAB DCB △∽△，对应线段成比例可得33PA AB DC CB ==；（3）分两种情形，解直角三角形求出AD 即可解决问题．【详解】解：（1）①证明：∵60BAC BPD α∠=∠==︒，AB AC =，PB PD =，∴ABC 与PBD △都是等边三角形，∴60PBD ABC ∠=∠=︒，BA BC =，BP BD =，∴PBD ABD ABC ABD ∠-∠=∠-∠，即PBA DBC ∠=∠，∴PBA DBC △≌△，∴PA DC =；②∵PBA DBC △≌△，∴PAB DCB ∠=∠，∵60BAC ∠=︒，∴180120BCD BAP BAC ∠=∠=︒-∠=︒，∵ABC 是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，∴60DCP DCB ACB ∠=∠-∠=︒；（2）∵120BPD ABC ∠=∠=︒，AB AC =，PB PD =，∴30PBD ABC ∠=∠=︒，33PB AB DB CB ==，∴PBD ABD ABC ABD ∠+∠=∠+∠，即PBA DBC ∠=∠，∴PAB DCB △∽△，∴33PA AB DC CB ==，即3DC PA =，故答案为：3DC PA =；（3）过点D 作DM PC ⊥于M ，过点B 作BN CP ⊥交CP 的延长线于N ．如图31-中，当PBA 是钝角三角形时，在Rt ABN △中，90N ∠=︒ ，6AB =，60BAN ∠=︒，cos603AN AB ∴=⋅︒=，sin 6033BN AB =⋅︒=，2231272PN PB BN =-=-= ，321PA ∴=-=，由（2）可知，33CD PA ==，BAP BDC ∠=∠ ，30DCA PBD ∴∠=∠=︒，DM PC ⊥ ，1322DM CD ∴==如图32-中，当ABN 是锐角三角形时，同法可得235PA ===，53CD =，1532DM CD ==，综上所述，满足条件的DM 的值为32532．故答案为：32532．。
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数学中考压轴题旋转问题(经典)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN旋转一、选择题1. （广东）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A ．πB ．3C ．33+42π D ．113+124π 2. （湖北）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93SS6+4+=．其中正确的结论是【 】 A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③ 3. （四川）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A ：P′C=1：3，则P′A ：PB=【 】。
A ．1：2 B ．1：2 C ．3：2 D ．1：34. （贵州）点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于【 】 A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°5. （广西）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：【 】A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周二、填空题6. （四川）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是 ▲ cm.7. （江西南昌）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是▲ ．8. （吉林省）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是_ ▲____.三、解答题9. （北京市）在ABC△中，BA=BC BAC，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段∠=αPA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ。
（1）若α=60︒且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围。
10. （福建）在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．（1）写出点A、A′、C′的坐标；（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值．11. （江苏）(1)如图1，在△ABC 中，BA=BC ，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC(0°＜∠CBE ＜12∠ABC)。
以点B 为旋转中心，将△BEC 按逆时针方向旋转∠ABC ，得到△BE’A （点C 与点A 重合，点E 到点E’处），连接DE’。
求证：DE’=DE. （2）如图2，在△ABC 中，BA=BC ，∠ABC=90°，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC(0°＜∠CBE ＜45°).求证：DE 2=AD 2+EC 2.12. （四川德阳）在平面直角坐标xOy 中，（如图）正方形OABC 的边长为4，边OA 在x 轴的正半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，点D 是OC 的中点，BE⊥DB 交x 轴于点E.⑴求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式；⑵将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后，边BE 交线段OA 于点F ，边BD 交y 轴于点G ，交⑴中的抛物线于M （不与点B 重合），如果点M 的横坐标为512，那么结论OF=21DG 能成立吗？请说明理由.⑶过⑵中的点F 的直线交射线CB 于点P ，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q ，且使△PFE 为等腰三角形，求Q 点的坐标.13. （辽宁）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段B D、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．14. （辽宁本溪）已知，在△ABC中，AB=AC。
过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN。
（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为_______；②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明。
16、（襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为60度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．15.（山东德州）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）A D EG第15题图①DFADCG第15题图②FACE第15题图③17. （鸡西）如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN（1）如图2，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB=BC=CD ，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN=12∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （2）如图3，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC+∠ADC=180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN= 12∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．1、【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD 计算即可：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=12AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。
∴22AC AB BC 3=-=。
∴ABC 13S BC AC 2∆=⨯⨯=。
设点B 扫过的路线与AB 的交点为D ，连接CD ，∵BC=DC ，∴△BCD 是等边三角形。
∴BD=CD=1。
∴点D 是AB 的中点。
∴ACD ABC 1133S S 22∆∆==⨯=S 。
∴1ACD ACA BCD ABC S S S ∆∆=++扇形扇形的面扫过积22903 6013331133604612πππππ⨯⨯⨯⨯=++=++=+（） 故选D 。
2【分析】∵正△ABC ，∴AB=CB ，∠ABC=600。
∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA 。
∴△BO′A≌△BOC 。
∴△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到。
故结论①正确。
连接OO ′，∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。
∴OO′=OB=4。
故结论②正确。
∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形。
∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。
故结论③正确。
AOO OBO AOBO 11S S S 34+4236+4322∆'∆''=+=⋅⋅⋅⋅=四形边。
故结论④错误。
如图所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合， 点O 旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5直角三角形。
则AOC AOB AOCO COO AOO 113393S S S S S 34+3=6+22∆∆"∆"∆"+==+=⋅⋅⋅⋅。
故结论⑤正确。
综上所述，正确的结论为：①②③⑤。
故选A 。
3、【分析】如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°。