2017年江苏省南京市、淮安市高三三模数学试卷

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江苏省2017届高三第三次模拟考试(一)

江苏省2017届高三第三次模拟考试（一）数学试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）1．已知集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为．2．设a，b∈R，=a+bi（i为虚数单位），则b的值为．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率是．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为．6．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是．7．已知实数x，y满足，则的取值范围是．8．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象过点（0，），则函数f（x）在[0，π]上的单调减区间是．9．在公比为q且各项均为正数的等比数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和．若a1=，且S5=S2+2，则q的值为．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P﹣ABA1的体积为．11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1=3log a x，y2=2log a x和y3=log a x（a＞1）的图象上，则实数a的值为．12．已知对于任意的x∈（﹣∞，1）∪（5，+∞），都有x2﹣2（a﹣2）x+a＞0，则实数a的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x+2）2+（y﹣m）2=3，若圆C存在以G 为中点的弦AB，且AB=2GO，则实数m的取值范围是．14．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为α，b，c，且C=，c=2．当取得最大值时，的值为．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数错误！未找到引用源。

图象的相邻两条对称轴之间的距离为错误！未找到引用源。

【江苏省南京市】2017届高考数学三模考试数学(理)试卷

的值为______________.π111.函数2((2))f x ex x x a =++﹣在区间[],1a a +上单调递增,则实数a 的最大值为______________. 12.在凸四边形ABCD 中,2BD =且0,()()5AC BD AB DC BC AD ⋅=+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则四边形ABCD 的面积为______________.13.在平面直角坐标系xOy 中,圆221:x O y +=,圆22:121M x a y a +++=（）（﹣）(a 为实数).若圆O 和圆M 上分别存在点,P Q ,使得30OQP ∠=︒,则a 的取值范围为______________.14.已知,,a b c 为正实数,且23228,a b c a b c +≤+≤,则38a b c+的取值范围是______________. 二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.(本小题满分14分)如图,在三棱锥A BCD -中,,E F 分别为,BC CD 上的点,且BD ∥平面AEF .(1)求证：EF ∥平面ABD ；(2)若AE ⊥平面BCD ,BD CD ⊥,求证：平面AEF ⊥平面ACD .16.(本小题满分14分)已知向量2π(2cos ,sin ),(2sin ,),(0,),t 2a a ab a t a ==r r 为实数. (1)若2(,0)5a b -=r r ,求t 的值； (2)若1t =,且1a b ⋅=r r ,求πtan(2)4a +的值. 17.(本小题满分14分)在水域上建一个演艺广场,演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC ,及矩形表演台BCDE 四个部分构成(如图),看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以,AB AC 为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,矩形表演台BCDE 中,10CD =米,三角形水域ABC 的面积为平方米,设BAC θ∠=.(1)求BC 的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点和上顶点分别为点,,A B M 是线段AB 的中点,且232OM AB b =u u u u r u u u r g . (1)求椭圆的离心率；(2)若2a =,四边形ABCD 内接于椭圆,AB CD ∥,记直线,AD BC 的斜率分别为1,2k k ,求证：1?2k k 为定值.19.(本小题满分16分)已知常数0p >,数列{}n a 满足*1|2,|n n n a a p p a n +=++∈N -.(1)若n S a 1=﹣1,p=1,①求4a 的值；②求数列{}n a 的前n 项和n S ；(2)若数列{}n a 中存在三项*,,,,(,)ar as at r s t r s t ∈<<N 依次成等差数列,求1a p的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知λ∈R ,函数()(ln 1)xf x e ex x x x λ=+﹣﹣﹣的导数为()g x ． (1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；g x存在极值,求λ的取值范围；(2)若函数()f x≥恒成立,求λ的最大值．(3)若1x≥时,()0。

2017届南通、淮安三模(完整版)

南通市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ．【答案】564．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ．【答案】75006．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ．【答案】1107．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则该双曲线的离心率是 ▲ ．（第4题）9．已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ．【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ．【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ▲ ．【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值是 ▲ ．【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】3(2)2-，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分（第12题）（第16题）CDP M N因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =1A =，所以()π()sin 3f x x =+．…… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα++-=， ……8分即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 1α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP =AD ， M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点．求证：（1）MN ∥平面P AB ；（2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分又AB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ． …… 6分（2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面P AD ⊥平面ABCD ，又平面P AD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． …… 10分又AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分（第17题）因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =，所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=．…… 5分方法二：由题意，知24a ，所以2a =． …… 2分又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以12x x ==，所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+，所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k-+，，所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分所以4AB =．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=，所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分所以AB 的垂直平分线方程为00004()y y y x x -=-．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)4x D ，，所以014x FD =+． …… 10分同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，，所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分令y =0，得22121212D y y x x x -+=+22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=-128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分同方法一，有121()4AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以直线为x 轴，OQ 所在直线为y 所示的平面直角坐标系xOy ．（1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，，设直线EF 的方程为1(2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 1|1|21tk -=，解得244t k t =-． …… 3分代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)t +，．…… 5分所以14t tEF =+，即14EF t t=+（02t <<）． …… 7分 O（第18题）方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ．因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以1t EF =+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())355(t t y t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减．所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分 ② 当123t <<时，2111632)2()(128t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++，所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>，所以y 在1(1)，上单调递减；在(12)，上单调递增．所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）．O（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()2n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分因为m p r ，，成等差数列，所以1()2p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分所以1111||()()22q α=≥，即11()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为131()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，，此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ．例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ．（1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调．【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分（2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当12a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增．若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=，所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=，所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=，即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos lnh x ax x x x=+-（0x>），①若0a>，注意到ln x x<，则1122ln x x<，即ln x<．……12分当2x>时，()2sin1ln22 h x ax x x ax'=--->-=>．所以2m∃=，函数()h x在()m+∞，上单调递增．……14分②若0a≤，当x>1时，()2sin1ln sin1lnh x ax x x x x'=---<---<0．所以1m∃=，函数()h x在(+)m∞，上单调递减，综上所述，函数()lny f x x x=-在区间(0)+∞，上广义单调．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧AB的中点，过点P任作两条弦PC，PD，分别交AB于点E，F．求证：PE PC PF PD⋅=⋅．【证】连结P A，PB，CD，BC．因为∠P AB =∠PCB，又点P为弧AB的中点，所以∠P AB =∠PBA，所以∠PCB =∠PBA．……4分又∠DCB =∠DPB，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD，所以E，F，D，C四点共圆．所以PE PC PF PD⋅=⋅．……10分（第21-A题）B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，，解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-．令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点π)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分又因为点π)4，在圆C 上，所以πcos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分方法二：点π)4，的直角坐标为(33)，，因为圆C 过点(00)，，(33)，，所以圆心C 在直线为30x y +-=上．又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分D ACBSPE所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥．【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，所以54a b c d a +++=≥． ① …… 4分同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =．（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，所以(222)SB =-，，，(012)SC =-，，，(00DS =设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ，由10SB ⋅=n ，10SC ⋅=n ，得2220x y z +-=且20y z -=．取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ．设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n ，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A -- …… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =，，，(111)CE =-，，．设CP CB λ=（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==，，，，，所以(1211)PE CE CP λλ=-=---，，．易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =，，是平面SAD 的一个法向量．设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos 5PE CD PE CD PE CD α⋅===，， …… 8分，得13λ=或119λ=（舍）．所以21(0)33CP =，，，5CP =所以线段CP …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论．【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分（2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。

南京市届高三第三次模拟考试数学试题及答案

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的41个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于63．若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 复数z 的共轭复数，则复数z 的模为．4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12的交点的个数是．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为．11．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30，则a 的取值范围为．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BDACBA B CD A∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；A（2）若表演台每平方米的造价为万元，求表演台的最低造价．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD BC的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．（1）若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值； ②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，求a1p的取值范围．20．已知λ∈R，函数f (x)＝e x－e x－λ(x ln x－x＋1)的导函数为g(x)．（1）求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程；（2）若函数g (x)存在极值，求λ的取值范围；（3）若x≥1时，f (x)≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{2} 2．383．54．－15． 6．27．{32} 8．129．8 10．1311．－1＋5212．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD 平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ． …………………… 3分因为BD 平面ABD ，EF 平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ． …………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD 平面BCD ，所以AE ⊥CD ． …………………… 8分因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ， …………………… 10分又 AE ∩EF ＝E ，AE 平面AEF ，EF 平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分又 CD 平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB＝3AC．在△ABC中，S△ABC＝12AB•AC•sinθ＝4003，所以AC2＝800sinθ． (3)分由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosθ，＝4AC2－23AC2 cosθ．＝(4－23cosθ) 800sinθ，即BC＝(4－23cosθ)•800sinθ＝402－3cosθsinθ．所以BC＝402－3cosθsinθ，θ∈(0，π)．…………………… 7分（2）设表演台的总造价为W万元．因为CD＝10m，表演台每平方米的造价为万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． (11)分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝ca＝32． …………………… 5分（2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14． ………………………16分方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分所以k1·k2＝12x02y0－2·y0－1x0＝14，即k1·k2为定值14．……………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为p＝1，所以a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1．①因为a1＝－1，所以a2＝|1－a1|＋2 a1＋1＝1，a3＝|1－a2|＋2 a2＋1＝3，a4＝|1－a3|＋2a3＋1＝9．…………………………… 3分②因为a2＝1，a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1，所以当n≥2时，a n≥1，从而a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1＝a n－1＋2 a n＋1＝3a n，于是有a n＝3n－2(n≥2) ．…………………………… 5分当n＝1时，S1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32．所以 S n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3n－1－32，n ≥2，n ∈N *，即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． …………………………8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分（i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1．（*）因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．列．……………………… 12分（ii）当－1＜a1p＜1时，有－p＜a1＜p．此时a2＝|p－a1|＋2 a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2 p＞p，于是当n≥2时，a n≥a2＞p，从而a n＋1＝|p－a n|＋2 a n＋p＝a n－p＋2 a n＋p＝3a n．所以a n＝3n－2a2＝3n－2(a1＋2p) (n≥2)．若{a n}中存在三项a r，a s，a t (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，同（i）可知，r＝1，于是有2×3s－2(a1＋2 p)＝a1＋3t－2(a1＋2p)．因为2≤s≤t－1，所以a1a1＋2 p ＝2×3s－2－3t－2＝29×3s－13×3t－1＜0．因为2×3s－2－3t－2是整数，所以a1a1＋2 p≤－1，于是a1≤－a1－2p，即a1≤－p，与－p＜a1＜p相矛盾．列．………………… 14分（iii）当a1p≤－1时，则有a1≤－p＜p，a1＋p≤0，于是a2＝| p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2p，a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝|p＋a1|＋2a1＋5p＝－p－a1＋2a1＋5p＝a1＋4p，此时有a1，a2，a3成等差数列．综上可知：a1p≤－1．……………………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为f′(x)＝e x－e－λln x，所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x－λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值． ………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x－λx，则h ′(x )＝e x＋λx 2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x0＞0，使得h(x0)＝0．…………………… 8分且当0＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，因此g (x)在x＝x0处有极小值．所以当函数g(x)存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x)＝f′(x)＝e x－e－λln x，g′(x)＝e x－λx．若g′(x)≥0恒成立，则有λ≤x e x恒成立．设φ(x)＝x e x(x≥1)，则φ′(x)＝(x＋1) e x＞0恒成立，所以φ(x)单调递增，从而φ(x)≥φ(1)＝e，即λ≤e．于是当λ≤e时，g (x)在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x)≥g (1)＝0，即f′(x)≥0，从而f (x)在[1，＋∞)上单调递增．所以f(x)≥f(1)＝0恒成立．…………………………… 13分当λ＞e时，由（2）知，存在x0∈(1，λ)，使得g(x)在(0，x0)上单调递减，即f′(x)在(0，x0)上单调递减．所以当1＜x＜x0时，f′(x)＜f′(1)＝0，于是f (x)在[1，x0)上单调递减，所以f (x0)＜f (1)＝0．这与x≥1时，f (x)≥0恒成立矛盾．因此λ≤e，即λ的最大值为e．…………………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 所以∠ABE ＝∠ADC ＝90°． ……………∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分所以△ABE ∽△ADC ， …………… 8分所以AB AD ＝ AEAC．即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）AX ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分（2）由（1）知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 2 ，所以AB ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －102 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 40 4 ． …………… 6分设(AB )－1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1 ，即 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分所以 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －120 14 ．…………… 10分（说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构）C．选修4—4：坐标系与参数方程解：由于 2 ＝x2＋y2，cosθ＝x，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－8x＋15＝0，即 (x－4)2+y2＝1，所以曲线C是以 (4，0) 为圆心，1为半径的圆．…………… 3分直线l的直角坐标方程为y＝x ，即x－y＝0．…………… 6分因为圆心(4，0) 到直线l的距离d＝|4－0|2＝22＞1．…………… 8分所以直线l与圆相离，从而PQ的最小值为d－1＝22－1． (10)分D．选修4—5：不等式选讲证明：因为x＞0，所以x3＋2 ＝x3＋1＋1 ≥ 33x3×1×1 ＝ 3x，当且仅当x3＝1，即x＝1时取“＝”．…………… 4分因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，所以y 2＋1≥2y ，当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分所以 (x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP→＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM→与NQ→共线． …………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（1）由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T2＝C06＋C26＋C46＋C66＝25＝32．……………………… 3分（2）T n＝C03n＋C33n＋C63n＋…＋C3n3n．……………………… 4分当1≤k≤n，k∈N*时，C3k 3n＋3＝C3k3n＋2＋C3k－13n＋2＝C3k－13n＋1＋C3k3n＋1＋C3k－13n＋1＋C3k－23n＋1＝2C3k－13n＋1＋C3k 3n＋1＋C3k－23n＋1＝2 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k－13n＋C3k3n＋C3k－33n＋C3k－23n＝ 3 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k3n＋C3k－33n，……………………… 6分于是T n＋1＝C03n＋3＋C33n＋3＋C63n＋3＋…＋C3n＋33n＋3＝C03n＋3＋C3n＋33n＋3＋3(C13n＋C23n＋C43n＋C53n＋…＋C3n－23n＋C3n－13n)＋T n－C03n＋T n－C3n3n＝2 T n＋3(23n－T n)＝3×8n－T n．……………………… 8分下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n＋2(－1)n ]．当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，即T k ＝13[8k＋2(－1)k ]．则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k－T k ＝3×8k－13[8k ＋2(－1)k]＝13[9×8k －8k －2(－1)k]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．。

江苏省南京淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题及答案

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部份．本试卷总分值为160分，考试时刻为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试终止后，交回答题卡．参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，那么∁U (A ∪B )＝▲ ．2．甲盒子中有编号别离为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号别离为3，4，5，6的4个乒乓球．现别离从两个盒子中随机地各掏出1个乒乓球，那么掏出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ．3．假设复数z 知足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为复数z 的共轭复数，那么复数z 的模为 ▲ ． 4．执行如下图的伪代码，假设输出y 的值为1，那么输入x 的值为 ▲ ．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场竞赛中所得分数的茎叶图，则在这五场竞赛中得分较为稳固（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．7 7 9 0 8 9 48 1 0 3 5 甲乙（第5题图）（第4题图）6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m ＝1的焦距为6，那么所有知足条件的实数m组成的集合是 ▲ ．8．已知函数f (x )是概念在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，那么a 5的最小值为 ▲ ． 10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．假设函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，那么实数a 的最大值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，那么四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．假设圆O 与圆M 上别离存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30 ，则a 的取值范围为 ▲ ． 14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，那么3a ＋8b c的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 15．（本小题总分值14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 别离为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）假设BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．ACB A 1B 1C 1D（第10题图） ABCFED16．（本小题总分值14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）假设a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．（本小题总分值14分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形演出台BCDE 四个部份组成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是别离以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形演出台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）假设演出台每平方米的造价为万元，求演出台的最低造价．（第17题图）18．（本小题总分值16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右极点和上极点别离为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率别离为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．（本小题总分值16分）已知常数p ＞0，数列{a n }知足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．（1）假设a 1＝－1，p ＝1， ①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p的取值范围．20．（本小题总分值16分）已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )．（1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；（2）假设函数g (x )存在极值，求λ的取值范围；（3）假设x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017届高三第（第18题图）三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每题5分，计70分.）1．{2} 2．383． 5 4．－1 5． 6．27．{32} 8．12 9．8 10．13 11．－1＋52 12．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤）15．（本小题总分值14分）证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，因此 BD ∥EF ． …………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，因此 EF ∥平面ABD ． …………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，因此 AE ⊥CD ． …………………… 8分因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ，因此 CD ⊥EF ， …………………… 10分又 AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，因此 CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分又 CD ⊂平面ACD ，因此平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题总分值14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，因此cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．因此(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，因此cos α＋sin α＝75． …………………… 5分因此sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，因此4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，因此cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分因此tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题总分值14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，因此AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，因此AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ．＝(4－23cos θ)800sin θ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ＝402－3cos θsin θ．因此 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设演出台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，演出台每平方米的造价为万元，因此W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．因此W min ＝120(万元)．答：演出台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题总分值16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．因此OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，因此(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，因此3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．因此椭圆的离心率e ＝c a ＝32． …………………… 5分（2）方式一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，因此x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分因此k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14． ………………………16分方式二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，那么x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．因此点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分因此k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………… 16分19．（本小题总分值16分）解：（1）因为p ＝1，因此a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1． ① 因为 a 1＝－1，因此a 2＝|1－a 1|＋2 a 1＋1＝1， a 3＝|1－a 2|＋2 a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2 a 3＋1＝9． …………………………… 3分 ② 因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1，因此当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1＝a n －1＋2 a n ＋1＝3a n ，于是有 a n ＝3n －2(n ≥2) ． …………………………… 5分当n ＝1时，S 1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32 ．因此 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3n －1－32，n ≥2，n ∈N *，即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，因此a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分（i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，因此a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，因此a n ＝3n －1a 1．假设{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，那么有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1．（*）因为s ≤t －1，因此2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．故现在数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分（ii ）当－1＜a 1p＜1时，有－p ＜a 1＜p ．现在a 2＝|p －a 1|＋2 a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2 p ＞p ，于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ．因此a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．假设{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，同（i ）可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2 p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )．因为2≤s ≤t －1，因此a 1 a 1＋2 p ＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0．因为2×3s －2－3t－2是整数，因此a 1a 1＋2 p≤－1，于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故现在数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ………………… 14分（iii ）当a 1p ≤－1时，那么有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0，于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ，现在有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p ≤－1． ……………………………… 16分20．（本小题总分值16分）解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，因此曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，因此切线方程为y ＝0． ………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故现在g (x )无极值． ………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，那么h ′(x )＝e x ＋λx2＞0恒成立，因此h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的持续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的持续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，因此g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．因此当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． …………………… 10分（3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx ．若g ′(x )≥0恒成立，那么有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，那么φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，因此φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，现在g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．因此f (x )≥f (1)＝0恒成立． …………………………… 13分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．因此当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，因此f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ． …………………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，因此∠ABE ＝∠ADC ＝90°． …………… 4分∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分因此△ABE ∽△ADC ， …………… 8分因此AB AD ＝ AE AC．即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 x y 2 ⎣⎡⎦⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分因为AX ＝⎣⎡⎦⎤12，因此⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分（2）由（1）知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ，因此AB ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ． …………… 6分设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，那么 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ，即 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分因此 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －120 14 ．…………… 10分（第21(A)图）（说明：逆矩阵也能够直接利用公式求解，但要求呈现公式的结构） C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由于ρ2 ＝ x 2＋y 2，ρcos θ ＝ x ，因此曲线C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－8x ＋15＝0，即 (x －4)2+y 2＝1，因此曲线C 是以 (4，0) 为圆心，1为半径的圆．…………… 3分直线l 的直角坐标方程为 y ＝x ，即x －y ＝0． …………… 6分因为圆心 (4，0) 到直线l 的距离d ＝|4－0|2＝22＞1． …………… 8分因此直线l 与圆相离，从而PQ 的最小值为d －1＝22－1． …………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞0，因此x 3＋2 ＝ x 3＋1＋1 ≥ 33x 3×1×1 ＝ 3x ，当且仅当x 3＝1，即x ＝1时取“＝”． …………… 4分因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，因此y 2＋1≥2y ，当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分因此 (x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． 22．（本小题总分值10分）解：（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，因此S (－1，y )．因为T (3，0)，因此OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，因此4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．因此曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．因此y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，因此M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，因此SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．因此向量SM →与NQ →共线． …………… 10分 23．（本小题总分值10分）解：（1）由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f (2)是2的整数倍，那么这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T 2＝C 06＋C 26＋C 46＋C 66＝25＝32． ……………………… 3分（2）T n ＝C 03n ＋C 33n ＋C 63n ＋…＋C 3n 3n ． ……………………… 4分当1≤k ≤n ，k ∈N *时，C 3k 3n ＋3＝C 3k 3n ＋2＋C 3k －13n ＋2＝C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －13n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －23n ＋1 ＝2 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k －13n ＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ＋C 3k －23n＝3 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ， ……………………… 6分于是T n ＋1＝C 03n ＋3＋C 33n ＋3＋C 63n ＋3＋…＋C 3n ＋33n ＋3＝C 03n ＋3＋C 3n ＋33n ＋3＋3(C 13n ＋C 23n ＋C 43n ＋C 53n ＋…＋C 3n －23n ＋C 3n －13n )＋T n －C 03n ＋T n －C 3n 3n＝2 T n ＋3(23n －T n )＝3×8n －T n ． ……………………… 8分下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，即T k ＝13[8k ＋2(－1)k ]．那么当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k －T k ＝3×8k －13[8k ＋2(－1)k ]＝13[9×8k －8k －2(－1)k ]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]． ……………………… 10分。

江苏省南京市高考数学三模考试数学(理)试卷有答案

)A B=______________.乙盒子中有编号分别为3则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为的值为______________.π190,点D11.函数2((2))f x ex x x a =++﹣在区间[],1a a +上单调递增,则实数a 的最大值为______________. 12.在凸四边形ABCD 中,2BD =且0,()()5AC BD AB DC BC AD ⋅=+⋅+=,则四边形ABCD 的面积为______________.13.在平面直角坐标系xOy 中,圆221:x O y +=,圆22:121M x a y a +++=（）（﹣）(a 为实数).若圆O 和圆M 上分别存在点,P Q ,使得30OQP ∠=︒,则a 的取值范围为______________. 14.已知,,a b c 为正实数,且23228,a b c a b c +≤+≤,则38a bc+的取值范围是______________. 二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.(本小题满分14分)如图,在三棱锥A BCD -中,,E F 分别为,BC CD 上的点,且BD ∥平面AEF . (1)求证：EF ∥平面ABD ；(2)若AE ⊥平面BCD ,BD CD ⊥,求证：平面AEF ⊥平面ACD .16.(本小题满分14分)已知向量2π(2cos ,sin ),(2sin ,),(0,),t 2a a ab a t a ==为实数. (1)若2(,0)5a b -=,求t 的值；(2)若1t =,且1a b ⋅=,求πtan(2)4a +的值.17.(本小题满分14分)在水域上建一个演艺广场,演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC ,及矩形表演台BCDE 四个部分构成(如图),看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以,AB AC 为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,矩形表演台BCDE 中,10CD =米,三角形水域ABC 的面积为平方米,设BAC θ∠=. (1)求BC 的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为点,,A B M 是线段AB的中点,且232OM AB b =.(1)求椭圆的离心率；(2)若2a =,四边形ABCD 内接于椭圆,AB CD ∥,记直线,AD BC 的斜率分别为1,2k k ,求证：1?2k k 为定值.19.(本小题满分16分)已知常数0p >,数列{}n a 满足*1|2,|n n n a a p p a n +=++∈N -. (1)若n S a 1=﹣1,p=1, ①求4a 的值；②求数列{}n a 的前n 项和n S ；(2)若数列{}n a 中存在三项*,,,,(,)ar as at r s t r s t ∈<<N 依次成等差数列,求1a p的取值范围. 20.(本小题满分16分)已知λ∈R ,函数()(ln 1)xf x e ex x x x λ=+﹣﹣﹣的导数为()g x ．(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； (2)若函数()g x 存在极值,求λ的取值范围； (3)若1x ≥时,()0f x ≥恒成立,求λ的最大值．江苏省南京市2017届高考数学三模考试数学(理)试卷答案1.{2}二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.证明：(1)∵BD ∥平面AEF ,BD ⊂平面BCD ,平面BCD 平面AEF EF =,∴BD EF ∥,又BD ⊂平面ABD ,EF ⊄平面ABD , ∴EF ∥平面ABD .(2)∵AE ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD , ∴AE CD ⊥,由(1)可知BD EF ∥,又BD CD ⊥,∴EF CD ⊥, 又,AEEF E AE =⊂平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,∴CD ⊥平面AEF ,又CD ⊂平面ACD , ∴平面AEF AEF ⊥平面ACD .16.解：(1)向量2π(2cos ,sin ),(2sin ,),(0,),t 2a a ab a t a ==为实数,若2(,0)5a b -=,则2(2cos 2sin ,sin 2)=(,0)5a a a t --,可得1cos sin =5a a -,平方可得1sin 2cos22cos sin =25a a a a +-,即为1242cos sin =1,(cos 0,sin 0)2525a a a a -=>>,由sin2cos2=1a a +,解得7cos sin 5a a +, 即有34cos =,sin =55a a .则16sin 2=25t a =；(2)若1t =,且1a b ⋅=,即有4cos sin sin21a a a +=, 即有4cos sin 1sin2cos2a a a a =-=,由a 为锐角,可得(c s 1)o 0,α∈,即有sin 1tan cos 4a a α==, 则212tan 82tan 211tan 15116a a α===--,81tan 212315tan(2)81t π4an 27115a a α+++===--. 17.解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,∴22π()31122π()22AB AC =⨯,∴AB =,∵1sin 22ABC S AB AC sin θθ∆=⋅⋅= ∴228002400,sin sin AC AB θθ==, 在ABC ∆中,由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC θ=⋅=+-∴BC =(2)设表演台的造价为y 万元,则y =设()π)0f θθ=＜＜,则()f θ'∴当0π6θ<<时,0()f θ'<,当π6πθ<<时,0()f θ'>, ∴()f θ在(0,π)6上单调递减,在(π,6π)上单调递增,∴当=6πθ时,()f θ取得最小值1π(6)=f ,∴y 的最小值为120,即表演台的最小造价为120万元.(,),(,)22a bAB a b OM =-=.∵232OM AB b ⋅=-.∴22213222ab b -+=-,化为：2a b =.∴椭圆的离心率c e a===. (2)证明：由2a =,可得1b =,∴椭圆的标准方程为：221,(2,0),(0,1)4x y A B +=.直线BC 的方程为：21y k x =+,联立222114y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为：2222(14)80k x k x ++=, 解得222814c k x k -=+,∴22221414c k y k -=+.即2222222814(,)1414k k C k k --++. 直线AD 的方程为：1()2y k x =-,联立122(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为：2222111(14)161640k x k x k +-+-=, ∴2121164214D k x k -=+,解得2112211824,1414D D k k x y k k --==++,可得2112211824(,)1414k k D k k --++∴12C D CD C D y y k x x -==--,化为：222221211122111622880k k k k k k k k -+-+-=∴1212121()4440()14k k k k k k -++=-,∴121=4k k .19.解：(1)①∵12||n n n a p a a p +=++-, ∴211||1212211a a a =++=+=--, 322||1210213a a a =++=++=-, 433||1212619a a a =++=++=-, ②∵2111||21n n n a a a a +==++,-, ∴当2n ≥时,1n a ≥,当2n ≥时,11213n n n n a a a a +=+++=-,即从第二项起,数列{}n a 是以1为首项,以3为公比的等比数列, ∴数列{}n a 的前n 项和11123413111321322n n n n a a n S a a a ---=++++⋯+=+=⨯≥---,（）, 显然当1n =时,上式也成立,∴113322n n S -=⨯-； (2)∵1||20n n n n n n a a p a a p p a a p p +=++≥++=---＞,∴1n n a a +>,即{}n a 单调递增. (i )当11a p≥时,有1a p ≥,于是1n a a p ≥≥, ∴1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--,∴113n n a a -=⋅.若数列{}n a 中存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列,则有2s r t a a a =+,即111233*3()s r t ---⨯=+∵1s t ≤-,∴111122333333s st r t ---⨯=⨯<<+-.因此(*)不成立.因此此时数列{}n a 中不存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列.(ii )当111a p-<<时,有1p a p <<-.此时211111||222a P a a p p a a p a p p =++=++=+>--. 于是当2n ≥时,2n a a p ≥>.从而1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--.∴2221((3)2)32n n na a a p n --==+≥若数列{}n a 中存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列,则有2s r t a a a =+,同(i )可知：1r =.于是有2211123(2)3(2)s t a p a a p ⨯+=++﹣﹣,∵21S t ≤≤-,∴211212 2333329103s t s t a a p --=⨯=⨯⨯+<﹣﹣-.∵22233s t ⨯﹣﹣-是整数,∴11 12a a p≤+.于是112a a p ≤--,即1a p ≤-.与1p a p <<-矛盾. 故此时数列{}n a 中不存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列.(iii )当11a p≤时,有110a p p a p ≤<+≤-,. 于是211111||222a P a a p p a a p a p =++=++=+--.32211111|2252|54||a p a a p a p a p a p a p a p =++=+++=++=+---此时数列{}n a 中存在三项123a a a ,,依次成等差数列. 综上可得：11a p≤-. 20.解：(1)()(ln 1)x f x e ex x x x λ=+---的定义域为(0)+∞，. ()ln (1)0x f x e e x f λ'='=--,,又(1)0f =. 曲线()y f x =在1x =处的切线方程为0y =.(2)∵()()ln ,(0)x g x f x e e x x λ='=>﹣﹣,()xg x e xλ'=-函数()g x 存在极值,即方程0x e xλ-=有正实数根,,(0)x xe x λ⇒=>,令()x G x xe =,()(1)0x G x x e '=+>在(0)+∞，恒成立. (0)x ∈+∞，时,()0G x >, ∴函数()g x 存在极值,λ的取值范围为(0)+∞，. (3)由(1)、(2)可知(1)0,(1)(1)0f f g '=== 结合(2)1x ≥时,()0x g x e xλ'=-≥,可得(1)x xe x λ≤≥,,()x G x xe =,在(1)+∞，恒成立. ∴e λ≤时,()0g x '≥,()g x 在[1)+∞，递增,()(1)0g x g ≥= 故()f x 在[1)+∞，递增,∴()(1)=0f x f ≥.当e λ>时,存在01x ≥,使()=0g x ',∴0(1)x x ∈，时,()<0g x ', 即0(1,)x x ∈时,()g x 递减,而(1)=0g ,∴0(1,)x x ∈时,()<0g x ,此时()f x 递减,而(1)=0f , ∴在0(1,)x ,()<0f x ,故当e λ>时,()0f x ≥不恒成立；综上1x ≥时,()0f x ≥恒成立,λ的最大值为e【点评】本题考查了导数的综合应用,利用导数求极值、证明函数恒等式,属于难题江苏省南京市2017届高考数学三模考试-数学(理)试卷解析1.【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据已知中集合,,U A B ,结合集合的并集和补集运算的定义,可得答案. 【解答】解：∵集合1,4,{}{}3,4A B ==, ∴1,}4{3,A B =,又∵全集1,2{},3,4U =, ∴{2()}U A B ⋃=ð, 故答案为：{2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集运算,难度不大,属于基础题. 2.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】列举基本事件,即可求出概率.【解答】解：分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球,可能出现以下情况：()()()()()()(1314151623242)6)52(、、、、、、、，，，，，，，，共8种情况,其中编号之和大于6的有：1+6=7,2+5=7,2+6=8,共3种情况,∴取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为38,故答案为：38.【点评】本题考查古典概型,考查学生的计算能力,确定基本事件的个数是关键.3.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】设z a bi =+,得到z a bi =-,根据系数相等求出,a b 的值,从而求出||z 即可. 【解答】解：设z a bi =+,则z a bi =-,由232z z i +=+,得332abi i =+﹣, ∴1,2a b ==﹣,∴||z【点评】本题考查了复数求模问题,考查共轭复数,是一道基础题. 4.【考点】伪代码.【分析】分析出算法的功能是求分段函数()f x 的值,根据输出的值为1,分别求出当0x ≤时和当0x >时的x 值即可. 【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求122,0()=2,0x x x x f x +⎧≥⎪⎨-<⎪⎩的值, 当0x ≥时,211y x =+=,解得1x =-,不合题意,舍去；当0x <时,221y x ==﹣,解得1x =±,应取1x =-；综上,()f x x 的值为1-.故答案为：1-.【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题,根据语句判断算法的功能是解题的关键. 5.【考点】茎叶图.【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数,再根据方差的定义得出乙的方差较小,求出乙的方差即可.【解答】解：根据茎叶图中的数据,计算甲的平均数为11(7791418)115x =⨯++++=,乙的平均数为21(89101315)115x =⨯++++=；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定(方差较小),计算乙成绩的方差为：222222134[(811)(911)(1011)(1311)(1511)]55x =⨯-+-+-+-+-=故答案为：345.【点评】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题,是基础题. 6.【考点】正弦函数的图象.【分析】令π1sin()=32y x =+,求出在[π)0,2x ∈内的x 值即可.【解答】解：令π1sin()=32y x =+,解得ππ=2π36x k ++,或π5π=2π,k 36x k ++∈Z ；即π=2π6k x +-,或π=2π,k 2k x +∈Z ；∴同一直角坐标系中,函数y 的图象和直线12y =在[π)0,2x ∈内的交点为(π2,12)和(11π6,12),共2个.故答案为：2.【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,是基础题.7.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据题意,先由双曲线的方程分析可得m 的取值范围,进而又由该双曲线的焦距为6,则有3c =,即,解可得m 的值,结合m 的范围可得m 的值,用集合表示即可得答案.【解答】解：根据题意,双曲线的方程为：222123x y m m -= ,则有22030m m ⎧>⎨>⎩,解可得0m >,则有c =又由该双曲线的焦距为6,则有c=3,, 解可得：=3m -或32, 又由0m >, 则3=2m ；即所有满足条件的实数m 构成的集合是{32}；故答案为{32}. 【点评】本题考查双曲线的几何性质,注意焦距是2c . 8.【考点】函数的周期性.【分析】由函数的奇偶性与周期性把1()2f 转化为求7()2f 的值求解.【解答】解：∵函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数,∴1117()=()=(4)=()2222f f f f --,又当4[]2,x ∈时,43()=|log ()|2f x x -,∴441773lg 2lg 21()=()=|log ()||log 2|2222lg 42lg 22f f -====.故答案为：12. 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,考查数学转化思想方法,是基础题. 9.【考点】等比数列的通项公式.【分析】由已知把首项用公比q 表示,再由等比数列的通项公式可得5a ,然后利用配方法求得5a 的最小值. 【解答】解：∵0n a >,且312a a -=, ∴2112a q a -=,则122(0)1a q q =>-, ∴445122422===111q a a q q q q --. 令21(t 0)t q=>,则522a t t=-+,又22111()244t t t -+=--+≤,∴58[),a ∈+∞.∴5a 的最小值为8. 故答案为：8.【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了利用配方法求函数的最值,是中档题. 10.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ,如图,连结1AC ,交1BB 于D ,此时1AD DC +最小,当1AD DC +最小时,1BD =,此时三棱锥1D ABC ﹣的体积：11D C V ABC V ABD -=-,由此能求出结果.【解答】解：将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ,如图, 连结1AC ,交1BB 于D ,此时1AD DC +最小,∵11,2,3,90AB BC BB ABC ===∠=︒,点D 为侧棱1BB 上的动点, ∴当1AD DC +最小时,1BD =, 此时三棱锥1D ABC ﹣的体积：111111111111112332323D C ABD V ABC V ABD S B C AB BD B C ∆-=-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.故答案为：13.【点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题. 11.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】求出函数的导数,问题转化为22a x +≥在[],1a a +恒成立,求出a 的范围即可. 【解答】解：2((2))f x ex x x a =++﹣,2()()2f x ex x x a '=++﹣, 若()f x 在[],1a a +上单调递增, 则220x a ++≥-在[],1a a +恒成立, 即22a x +≥在[],1a a +恒成立,①10a +<即1a <-时,2y x =在[],1a a +递减,2y x =的最大值是2y a =,故22a a +≥,解得：220a a ≤--,解得：12a <<-,不合题意,舍； ②10a ≤≤-时,2y x =在[),0a 递减,在(0,1]a +递增, 故2y x =的最大值是2a 或2()1a +,③0a >时,2y x =在[],1a a +递增,y 的最大值是2()1a +,故221()a a +≥+,解得：0a <≤,则实数a ,综上,a ,. 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题. 12.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】用,AC BD 表示出括号内的和向量,化简得出AC ,从而可求得四边形的面积. 【解答】解：∵0AC BD ⋅=,∴AC BD ⊥, ∵()()5AC DC BC AD +⋅+=,∴22()()()()5AB BC DC CB BC CD AD DC AC DB BD AC AC BD +++⋅+++=+⋅+=⋅=, ∴2259AC BD =+=,∴3AC =.∴四边形ABCD 的面积1132322S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=.故答案为：3.【点评】本题考查了平面向量的运算,数量积运算,属于中档题.13.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】从圆M 上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,1OP =,利用圆O 和圆M 上分别存在点,P Q ,使得30OQP ∠=︒,可得||2OM ≤,进而得出答案. 【解答】解：由题意,圆22()(121)M x a y a +++=：﹣(a 为实数),圆心为1(),2M a a -- 从圆M 上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,1OP =. ∵圆O 和圆M 上分别存在点,P Q ,使得30OQP ∠=︒, ∴||2OM ≤,∴22144()a a ++≤, ∴315a ≤≤-,故答案为：3 15a≤≤-.【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法,属于中档题.14.【考点】不等式的基本性质.【分析】令axc=,byc=,38z x y=+,将条件转化为关于,x y的不等式,并求出,x y的范围,作出平面区域,根据平面区域得出z取得最值时的位置,再计算z的最值.【解答】解：∵2328,a b ca b c +≤+≤,∴28232a bc cc ca b⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,设axc=,byc=,则有28232x yx y+≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩,∴142322 18y xxyxx⎧≤-⎪⎪⎪≥⎨-⎪<<⎪⎪⎩,作出平面区域如图所示：令38=38a bz x yc+=+,则388zy x=+,由图象可知当直线388zy x=+经过点A时,截距最大,即z最大；当直线388zy x=+与曲线322xyx=-相切时,截距最小,即z最小.解方程组142322y xxyx⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩得(2,3)A,∴z的最大值为328330⨯+⨯=,设直线388z y x =+与曲线322xy x =-的切点为00(,)x y ,则03()|3282x x x x ==--',即026223()8x -=-,解得0=3x , ∴切点坐标为(93,4),∴z 的最小值为9338274⨯+⨯=.∴2730z ≤≤,故答案为：[27,30].【点评】本题考查了线性规划的应用,将三元不等式转化为二元不等式,转化为线性规划问题是解题的关键,属于中档题.二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【分析】(1)利用线面平行的性质可得BD EF ∥,从而得出EF ∥平面ABD ； (2)由AE ⊥平面BCD 可得AE CD ⊥,由BD CD ⊥,BD EF ∥可得EF CD ⊥,从而有CD ⊥平面AEF ,故而平面AEF ⊥平面ACD .【解答】证明：(1)∵BD ∥平面AEF ,BD ⊂平面BCD ,平面BCD 平面AEF EF =,∴BD EF ∥,又BD ⊂平面ABD ,EF ⊄平面ABD , ∴EF ∥平面ABD .(2)∵AE ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD , ∴AE CD ⊥,由(1)可知BD EF ∥,又BD CD ⊥, ∴EF CD ⊥, 又,AEEF E AE =⊂平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,∴CD ⊥平面AEF ,又CD ⊂平面ACD , ∴平面AEF AEF ⊥平面ACD .【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质,面面垂直的判定,属于中档题. 16.【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)运用向量的加减运算和同角的平方关系,即可求得3cos 5α=,4sin 5α=.进而得到t 的值； (2)运用向量的数量积的坐标表示,结合条件的商数关系,求得tanα,再由二倍角的正切公式和和角公式,计算即可得到所求值.【解答】解：(1)向量2π(2cos ,sin ),(2sin ,),(0,),t 2a a ab a t a ==为实数,若2(,0)5a b -=,则2(2cos 2sin ,sin 2)=(,0)5a a a t --,可得1cos sin =5a a -,平方可得1sin 2cos22cos sin =25a a a a +-,即为1242cos sin =1,(cos 0,sin 0)2525a a a a -=>>,由sin2cos2=1a a +,解得7cos sin 5a a +,即有34cos =,sin =55a a .则16sin 2=25t a =；(2)若1t =,且1a b ⋅=,即有4cos sin sin21a a a +=, 即有4cos sin 1sin2cos2a a a a =-=,由a 为锐角,可得(c s 1)o 0,α∈,即有sin 1tan cos 4a a α==, 则212tan 82tan 211tan 15116a a α===--,81tan 212315tan(2)81t π4an 27115a a α+++===--. 【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示,考查同角的基本关系式和二倍角正切公式及和角公式的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.17.【考点】三角函数中的恒等变换应用；在实际问题中建立三角函数模型. 【分析】(1)根据看台的面积比得出,AB AC 的关系,代入三角形的面积公式求出,AB AC 再利用余弦定理计算BC ；(2)根据(1)得出造价关于θ的函数,利用导数判断函数的单调性求出最小造价. 【解答】解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,∴22π()31122π()22AB AC =⨯,∴AB =,∵1sin 22ABC S AB AC sin θθ∆=⋅⋅= ∴228002400,sin sin AC AB θθ==, 在ABC ∆中,由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC θ=⋅=+-∴BC =(2)设表演台的造价为y 万元,则y =设()π)0f θθ=＜＜,则()f θ'∴当0π6θ<<时,0()f θ'<,当π6πθ<<时,0()f θ'>, ∴()f θ在(0,π)6上单调递减,在(π,6π)上单调递增,∴当=6πθ时,()f θ取得最小值1π(6)=f ,∴y 的最小值为120,即表演台的最小造价为120万元.【点评】本题考查了解三角形,函数最值计算,余弦定理,属于中档题.18.【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1),0,()(0),A a B b ,线段AB 的中点(,)22a b M .利用232OM AB b ⋅=-与离心率的计算公式即可得出.(2)由2a =,可得1b =,可得椭圆的标准方程为：221,(2,0),(0,1)4x y A B +=.直线BC 的方程为：21y k x =+,直线AD 的方程为：1()2y k x =-,分别于同一方程联立解得,C D ,坐标,利用12C D CD C D y y k x x -==--,即可得出.【解答】(1)解：,0,()(0),A a B b ,线段AB 的中点(,)22a bM .(,),(,)22a bAB a b OM =-=.∵232OM AB b ⋅=-.∴22213222a b b -+=-,化为：2a b =.∴椭圆的离心率c e a===. (2)证明：由2a =,可得1b =,∴椭圆的标准方程为：221,(2,0),(0,1)4x y A B +=.直线BC 的方程为：21y k x =+,联立222114y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为：2222(14)80k x k x ++=, 解得222814c k x k -=+,∴22221414c k y k -=+.即2222222814(,)1414k k C k k --++. 直线AD 的方程为：1()2y k x =-,联立122(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为：2222111(14)161640k x k x k +-+-=, ∴2121164214D k x k -=+,解得2112211824,1414D D k k x y k k --==++,可得2112211824(,)1414k k D k k --++∴12C D CD C D y y k x x -==--,化为：222221211122111622880k k k k k k k k -+-+-=∴1212121()4440()14k k k k k k -++=-,∴121=4k k .【点评】本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.19.【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(1)①12||n n n a p a a p +=++-,可得211||1212211a a a =-++=+=-,同理可得343,9a a ==. ②21,112|1|n n n a a a a =+=++-,当2n ≥时,1n a ≥,当2n ≥时,11213n n n n a a a a +=+++=-,即从第二项起,数列{}n a 是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出n S . (2)1||20n n n n n n a a p a a p p a a p p +=++≥++=>---,可得1n n a a +>,即{}n a 单调递增.(i )当11a p≥时,有1a p ≥,于是1n a a p ≥≥,可得1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--,113n n a a -=⋅.利用反证法即可得出不存在. (ii )当111a p-<<时,有1p a p <<-.此时211111||222a P a a p p a a p a p p =++=++=+>--.于是当2n ≥时,2n a a p ≥>.从而2212122333(2)(||2)n n n n n n n n n a p a a p a p a p a a a a p n +=++=++===+≥﹣﹣--．.假设存在2s r t a a a =+,同(i)可知：1r =.得出矛盾,因此不存在.(iii )当11a p≤时,有110a p p a p ≤<+≤-,.于是21111131||2224a P a a p p a a p a p a a p =++=++=+=+--．.即可得出结论. 【解答】解：(1)①∵12||n n n a p a a p +=++-, ∴211||1212211a a a =++=+=--, 322||1210213a a a =++=++=-, 433||1212619a a a =++=++=-, ②∵2111||21n n n a a a a +==++,-, ∴当2n ≥时,1n a ≥,当2n ≥时,11213n n n n a a a a +=+++=-,即从第二项起,数列{}n a 是以1为首项,以3为公比的等比数列, ∴数列{}n a 的前n 项和11123413111321322n n n n a a n S a a a ---=++++⋯+=+=⨯≥---,（）, 显然当1n =时,上式也成立,∴113322n n S -=⨯-； (2)∵1||20n n n n n n a a p a a p p a a p p +=++≥++=---＞,∴1n n a a +>,即{}n a 单调递增.(i )当11a p≥时,有1a p ≥,于是1n a a p ≥≥,∴1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--,∴113n n a a -=⋅.若数列{}n a 中存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列,则有2s r t a a a =+,即111233*3()s r t ---⨯=+∵1s t ≤-,∴111122333333s st r t ---⨯=⨯<<+-.因此(*)不成立.因此此时数列{}n a 中不存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列.(ii )当111a p-<<时,有1p a p <<-.此时211111||222a P a a p p a a p a p p =++=++=+>--. 于是当2n ≥时,2n a a p ≥>.从而1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--.∴2221((3)2)32n n na a a p n --==+≥若数列{}n a 中存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列,则有2s r t a a a =+,同(i )可知：1r =.于是有2211123(2)3(2)s t a p a a p ⨯+=++﹣﹣,∵21S t ≤≤-,∴211212 2333329103s t s t a a p --=⨯=⨯⨯+<﹣﹣-.∵22233s t ⨯﹣﹣-是整数,∴11 12a a p≤+.于是112a a p ≤--,即1a p ≤-.与1p a p <<-矛盾. 故此时数列{}n a 中不存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N,,,,依次成等差数列.(iii )当11a p≤时,有110a p p a p ≤<+≤-,.于是211111||222a P a a p p a a p a p =++=++=+--.32211111|2252|54||a p a a p a p a p a p a p a p =++=+++=++=+---此时数列{}n a 中存在三项123a a a ,,依次成等差数列.综上可得：11a p≤-.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法、数列递推关系、分类讨论方法、反证法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出()ln (1)0x f x e e x f λ'=-'=-，,得到曲线()y f x =在1x =处的切线方程为0y =.(2)()()ln ,(0)x g x f x e e x x λ='=>﹣﹣,()xg x e xλ'=-,函数()g x 存在极值,即方程0x e xλ-=有正实数根,,(0)x xe x λ⇒=>,可得λ的取值范围.(3)由(1)、(2)可知(1)0(1)(1)0f f g ='==，,结合(2)分e e λλ≤,＞,讨论1x ≥时,是否()0f x ≥恒成立,即可.【解答】解：(1)()(ln 1)x f x e ex x x x λ=+---的定义域为(0)+∞，. ()ln (1)0x f x e e x f λ'='=--,,又(1)0f =. 曲线()y f x =在1x =处的切线方程为0y =.(2)∵()()ln ,(0)x g x f x e e x x λ='=>﹣﹣,()xg x e xλ'=-函数()g x 存在极值,即方程0x e xλ-=有正实数根,,(0)x xe x λ⇒=>,令()x G x xe =,()(1)0x G x x e '=+>在(0)+∞，恒成立. (0)x ∈+∞，时,()0G x >, ∴函数()g x 存在极值,λ的取值范围为(0)+∞，. (3)由(1)、(2)可知(1)0,(1)(1)0f f g '=== 结合(2)1x ≥时,()0x g x e xλ'=-≥,可得(1)x xe x λ≤≥,,()x G x xe =,在(1)+∞，恒成立. ∴e λ≤时,()0g x '≥,()g x 在[1)+∞，递增,()(1)0g x g ≥= 故()f x 在[1)+∞，递增,∴()(1)=0f x f ≥.当e λ>时,存在01x ≥,使()=0g x ',∴0(1)x x ∈，时,()<0g x ', 即0(1,)x x ∈时,()g x 递减,而(1)=0g ,∴0(1,)x x ∈时,()<0g x ,此时()f x 递减,而(1)=0f , ∴在0(1,)x ,()<0f x ,故当e λ>时,()0f x ≥不恒成立；综上1x ≥时,()0f x ≥恒成立,λ的最大值为e【点评】本题考查了导数的综合应用,利用导数求极值、证明函数恒等式,属于难题。

【江苏省南京市】2017届高考数学三模考试数学(理)试卷-答案

2 3s﹣2 -3t﹣2

2 9
3s

1 3t1 3

0
.∵
2 3s﹣2 -3t﹣2
是整数,∴
a1
a1 2p
1.
于是 a1 -a1-2 p ,即 a1 - p .与 - p a1 p 矛盾.
故此时数列{an}中不存在三项 ar ,as ,at (r,s,t N*,r s t) 依次成等差数列.
江苏省南京市 2017 届高考数学三模考试数学(理)试卷
答案
1.{2} 2. 3 .
8 3. 5
4. 1.
5. 34 . 5
6.2.
7.{ 3 }. 2
8. 1 . 2
9.8 .
10. 1 . 3
11. 1 5 . 2
12. 3 .
13. -1 a 3 . 5
14.[27,30] . 二、解答题：本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
(iii)当
a1 p
1时,有 a1
-p

p,a1

p

0.
于是 a2 | P-a1 | 2a1 p p-a1 2a1 p a1 2 p . a3 | p-a2 | 2a2 p | a1 p | 2a1 5 p -a1-p 2a1 5 p a1 4 p 此时数列{an} 中存在三项 a1,a2,a3 依次成等差数列.
若 a b ( 2 ,0) ,则 (2cos a 2sin a,sin 2a t)=( 2 ,0) ,
5
5
1 / 17
可得 cos a sin a= 1 ,平方可得 sin 2a cos 2a 2cos asin a= 1 ,

2017年江苏省高考数学模拟应用题选编(三)

2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（三）1、（江苏省连云港、徐州、宿迁2017届高三年级第三次模拟考试）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．2、（江苏省南京、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．3、（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟考试数学试题）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；A BCDFEO(第1题)G θ（第2题图）（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.4、（江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．5、（江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次调研考试数学试题）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建该参观线路的最低费用．（第4题图）DCB AO（第5题）6、（江苏省南通、扬州、泰州、徐州、淮安、宿迁2017届高三二模数学试题）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．7、（江苏省如皋市2017届高三下学期语数英学科联考（二）数学试题）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB 围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB 上，街道由两条平行于对称轴l 且关于l 对称的两线段EF 、CD ，及夹在两线段EF 、CD 间的弧组成．若商业街在两线段EF 、CD 上收益为每千米2a 元，在两线段EF 、CD 间的弧上收益为每千米a 元．已知2AOB π∠=，设2EOD θ∠=，(1) 将商业街的总收益()f θ表示为θ的函数； (2) 求商业街的总收益的最大值．北(第6题)8、（江苏省苏州大学2017届高考数学考前指导卷 1）如图，某地区有一块（百米），植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为.（1（2，若计划9、舞，试求这块圆形广场的最大面积．(10、（江苏省泰州市2017届高三考前参考题数学试题）甲、乙分别位于扇形居民区弧⌒AB合）处建造一个大型快件集散中心，经过前期的调查，发现可以分别用抗拒系数⌒AB的中点时，（1（211、（上海市崇明区2017届高三第二次（4月）模拟考试数学试卷）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．E为A B中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比（1AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，甲？12、（江苏省学大教育2017届高考数学密2）13、（江苏省学大教育2017届高考数学密1）某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面仪容镜（仪容镜为平面镜），如图，仪容2米，（1（2答案1、（12分分，所以定义域为10分12分所以，所以，故有最大，此时（2）1m ．………16分2、（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ．＝(4－23cos θ) 800sin θ ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分34、解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40，从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252 平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b 2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)．则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分5、【解】设DE 与半圆相切于点QDQ＝QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）方法一：由题意得，点E……1分设直线EF，因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF (3)分F……5分即．……7分方法二：切圆所以Rt△EHF≌Rt△OGF，……3分……5分所以．……7分（2①所以当时，取最小值为……11分②……13分且当时，；当时，调递增．由①②知，取最小值为……15分答：（1（2）修建该参观线路的最低费用为万元．……16分6、解：（1，……2分．……5分又B到边界线l……8分（2AB C图甲走私……12分1.55所以缉私艇能在领海内截住走私船．……14分答：（1（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．……16分18.7、1）①3分②6分由①②8分（2）①列表：11分所以在时单调递减所以…………………14分10分的面积最大值为分⌒AB（2由（119.11、解：（1分分.....................................................6分（2）以所在直线为轴，中垂线为分分6为半径的上半圆在矩形区域人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲...........................................14分12、13由正弦定理，)2,21(tan 2321sin )32sin(sin sin ∈+=-==C C C C B AB AC π即的取值范围为AB AC 的取值范围为（2,21）（2）易知AD A A 2='、又由三角形ABC 的面积A AC AB AD BC S sin 2121⋅=⋅=,可得AC AB AD ⋅=43由余弦定理，AC AB AC AB AC AB A AC AB AC AB BC ⋅=⋅-⋅≥⋅⋅-+==2cos 24222, 解得4≤⋅AC AB ，当且仅当2==AC AB 时。

江苏省淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题 Word版含答案

江苏省淮安市2016——2017学年度高三第四次调研测试数学Ⅰ2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）设复数(),z a bi a b R =+∈，i 为虚数单位），若()43z i i =+，则ab 的值是 . 1. 已知集合{}{}|0,|2U x x A x x =>=≥，则U C A = .3.某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2两首歌曲至少有1首播放k 的概率是 .4.右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 .5．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人，.若其它年级共有学生3000人，则该校学生总人数是 .6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差52,10d a ==，则10S 的值是 .7.在ABC ∆中，3,4AB AC ==.若ABC ∆的面积为BC 的长是 .8．在平面直角坐标系中，若双曲线()22210x y a a-=>经过抛物线28y x =的焦点，则该双曲线的离心率是 .9.已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则这个圆锥的高为 .10.若直线2y x b =+为曲线x y e x =+的一条切线，则实数b 的值为 .11.若正数,x y 满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 .12.如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,3,2AB CD ABC AB BC DC ∠==== ,若,E F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围为 .13.在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()0,2,1,1A B --，P 为圆222x y +=上一个动点，则PBPA 的最大值为 . 14.已知函数()3,3,x x af x x x x a ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()()2g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭图象的两条对称轴之间的距离为π，且经过点.3π⎛ ⎝⎭（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足()()1,0,2f παααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，求α的值.16.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD PC 的中点. （1）//MN 平面PAB ；（2）AM ⊥平面PCD .17.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F,且与x 轴不垂直，若D 为x 轴上的一点，DA DB =,求ABDF的值.18.（本题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图.半径OA 的长为1百米，为了保护景点，基底管理部门从道路l 上选取一点C,修建参观线路C-D-E-F ，且CD,DE,EF 均与半圆.相切，四边形CDEF 为等腰梯形，设DE=t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算()15,03118, 2.3t f t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建该参观线路的最低费用.19.（本题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组()(),,.E m p r m p r =<<.（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p p r r m a b a b a b +=+=+，求q 的最大值；（3）若11,02n n m m p p r r b a b a b a b -⎛⎫=-+=+=+= ⎪⎝⎭，试写出满足条件的一个数字E和对应的通项公式n a .（注：本问不必写出解答过程）20.（本题满分16分）已知函数()2cos f x ax x =+，记()f x 的导函数为().g x （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D,区间(),m D +∞⊂，若()h x 在(),m +∞上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调，试证明函数()ln y f x x x =-在()0,+∞上广义单调.江苏省淮安市2016——2017学年度高三第四次调研测试数学Ⅱ21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC,PD,分别交AB 于点E,F. 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，点()1,1-在M 对应的变换作用下得到点()1,5--，求矩阵M 的特征值.C.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求圆C 的极坐标方程.D.选修4-5：不等式选讲已知,,,a b c d 是正实数，且1abcd =，求证：5555a b c d a b c d +++≥+++【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90,2, 1.ADC DAB SD AD AB DC ∠=∠=====（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD，求线段CP 的长.23.（本小题满分10分）已知函数()()00,0cx df x a ac bd ax b+=≠-≠+，设()n f x 是()1n f x -的导数.n N *∈（1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.。

【江苏省南京市】2017届高考数学三模考试数学(理)试卷

U A B=______________.则()乙盒子中有编号分别为3则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为为复数z的共轭复数的值为______________.π190,点D11.函数2((2))f x ex x x a =++﹣在区间[],1a a +上单调递增,则实数a 的最大值为______________. 12.在凸四边形ABCD 中,2BD =且0,()()5AC BD AB DC BC AD ⋅=+⋅+=,则四边形ABCD 的面积为______________.13.在平面直角坐标系xOy 中,圆221:x O y +=,圆22:121M x a y a +++=（）（﹣）(a 为实数).若圆O 和圆M 上分别存在点,P Q ,使得30OQP ∠=︒,则a 的取值范围为______________.14.已知,,a b c 为正实数,且23228,a b c a b c+≤+≤,则38a b c +的取值范围是______________. 二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.(本小题满分14分)如图,在三棱锥A BCD -中,,E F 分别为,BC CD 上的点,且BD ∥平面AEF .(1)求证：EF ∥平面ABD ；(2)若AE ⊥平面BCD ,BD CD ⊥,求证：平面AEF ⊥平面ACD .16.(本小题满分14分)已知向量2π(2cos ,sin ),(2sin ,),(0,),t 2a a a b a t a ==为实数.(1)若2(,0)5a b -=,求t 的值；(2)若1t =,且1a b ⋅=,求πtan(2)4a +的值.17.(本小题满分14分)在水域上建一个演艺广场,演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC ,及矩形表演台BCDE 四个部分构成(如图),看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以,AB AC 为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,矩形表演台BCDE 中,10CD =米,三角形水域ABC 的面积为平方米,设BAC θ∠=.(1)求BC 的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为点,,A B M 是线段AB 的中点,且232OM AB b =. (1)求椭圆的离心率；(2)若2a =,四边形ABCD 内接于椭圆,AB CD ∥,记直线,AD BC 的斜率分别为1,2k k ,求证：1?2k k 为定值.19.(本小题满分16分)已知常数0p >,数列{}n a 满足*1|2,|n n n a a p p a n +=++∈N -.(1)若n S a 1=﹣1,p=1,①求4a 的值；②求数列{}n a 的前n 项和n S ；(2)若数列{}n a 中存在三项*,,,,(,)ar as at r s t r s t ∈<<N 依次成等差数列,求1a p的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知λ∈R ,函数()(ln 1)xf x e ex x x x λ=+﹣﹣﹣的导数为()g x ． (1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；g x存在极值,求λ的取值范围；(2)若函数()f x≥恒成立,求λ的最大值．(3)若1x≥时,()0。

2017年江苏省高考数学三模试卷

2017年江苏省高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为．9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为．10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，BC=13．（1）求cosB的值；（2）求CD的长．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AE⊥EF．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF=2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF=θ，透光区域的面积为S．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．19．已知两个无穷数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，a 1=1，S 2=4，对任意的n ∈N *，都有3S n +1=2S n +S n +2+a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若{b n }为等差数列，对任意的n ∈N *，都有S n ＞T n ．证明：a n ＞b n ；（3）若{b n }为等比数列，b 1=a 1，b 2=a 2，求满足=a k （k ∈N *）的n 值．20．已知函数f （x ）=+xlnx （m ＞0），g （x ）=lnx ﹣2．（1）当m=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）设函数h （x ）=f （x ）﹣xg （x ）﹣，x ＞0．若函数y=h （h （x ））的最小值是，求m 的值；（3）若函数f （x ），g （x ）的定义域都是[1，e ]，对于函数f （x ）的图象上的任意一点A ，在函数g （x ）的图象上都存在一点B ，使得OA ⊥OB ，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点，求m 的取值范围．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲21．如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上，若∠ACN=3∠ADB ，求∠ADB 的度数．B.选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．C.选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A（2，），点B在直线l：ρcosθ+ρsinθ=0（0≤θ≤2π）上，当线段AB最短时，求点B的极坐标．D.选修4-5：不等式选讲24．已知a，b，c为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证：a+b+c≥3．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．[选修4-5：不等式选讲]26．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）．（1）写出f（2），f（3），f（4）的值；（2）求f（n）．2017年江苏省高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是5．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义先求出A∪B，由此能求出集合A∪B中所有元素之和．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={﹣1，0，1，1，2，3}，∴集合A∪B中所有元素之和是：﹣1+0+1+2+3=5．故答案为：5．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求【解答】解：∵（1+2i）z=i，∴z===+，∴复数z的虚部为．故答案为3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=2．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】解方程求出函数y与直线y=1的交点A的横坐标，再求线段的长|MA|．【解答】解：令y=tan x=1，解得x=1+4k，k∈Z；又x∈（﹣2，2），∴x=1，∴函数y与直线y=1的交点为A（1，1）；又M（﹣3，﹣1），∴|MA|==2．故答案为：2．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】利用定义求这组数据的平均数、方差和标准差即可．【解答】解：数据12，8，10，11，9的平均数为：=×（12+8+10+11+9）=10，方差为：s2=×[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（9﹣10）2]=2；∴这组数据的标准差为s=．故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为﹣1．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=﹣1，n=2016时不满足条件n＜2016，退出循环，输出S的值为﹣1，即可得解．【解答】解：输入s=0，n=1＜2016，s=0，n=2＜2016，s=﹣1，n=3＜2016，s=﹣1，n=4＜2016，s=0，n=5＜2016，…，由2016=503×4+3得，输出s=﹣1，故答案为：﹣1．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解，∴16a2﹣20a2﹣4a≥0，∴﹣1≤a≤0时方程有实根，∵在区间[﹣1，2]上任取一实数a，∴所求的概率为P==．故答案为：7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则= 5．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论．【解答】解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5．故答案为58．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出A1C1⊥平面A1MB，从而三棱锥A1﹣MBC1的体积=，由此能求出结果．【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2=BC2，∴A1C1⊥A1B1，∵AA 1∩A 1B 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ，∵M 是AA 1的中点，∴===3，∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：====4．故答案为：4．9．已知函数f （x ）=x |x ﹣2|，则不等式f （2﹣ln （x +1））＞f （3）的解集为 {x |﹣1＜x ＜﹣1} ．【考点】7E ：其他不等式的解法．【分析】由题意，f （x ）=，在（2，+∞）单调递增，x ＜2，f（x ）max =1＜f （3）=3．f （2﹣ln （x +1））＞f （3）化为2﹣ln （x +1）＞3，即可解不等式．【解答】解：由题意，f （x ）=，在（2，+∞）单调递增，x ＜2，f （x ）max =1＜f （3）=3．∵f （2﹣ln （x +1））＞f （3），∴2﹣ln （x +1）＞3，∴ln （x +1）＜﹣1，∴0＜x +1＜，∴﹣1＜x ＜﹣1，∴不等式f （2﹣ln （x +1））＞f （3）的解集为{x |﹣1＜x ＜﹣1}，故答案为{x |﹣1＜x ＜﹣1}．10．曲线f （x ）=xlnx 在点P （1，0）处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（x）=lnx+x•=lnx+1，∴在点P（1，0）处的切线斜率为k=1，∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，∵y=x﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．∴切线y=x﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为（0，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简f（x）=sinωx，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调增区间，从而列出不等式解出ω的范围．【解答】解：f（x）=+1=2sin xcos x=sinωx，令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，解得﹣+≤x≤+，k∈Z，∵ω＞0，∴f（x）的一个单调增区间为[﹣，]，∴，解得0＜ω≤2．故答案为（0，2]．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是＜t＜1．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】求导，求导函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x+cosx，x∈（0，1），∴f′（x）=1﹣sinx＞0，函数单调递增，∵f（t2）＞f（2t﹣1），∴1＞t2＞2t﹣1＞0，∴＜t＜1，故答案为＜t＜1．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y 的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知b=1，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c 的关系，从而得出离心率的值．【解答】解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为ln．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．【解答】解：因为==1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设M（t，t+3lnt）是曲线y=x+3lnx的切点，因为y′=1+，故点M处的切斜的斜率k=1+，由题意可得1+=2，解得t=3，也即当切线与已知直线y=2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2x+3的距离最近，最近距离d==，也即（a﹣c）2+（b﹣d）2==ln，故答案为：ln二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，BC=13．（1）求cosB的值；（2）求CD的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）在△ABC中，求出sinA==．，sin∠ACB=．可得cosB=﹣cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB﹣cosAcosB；（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=sin∠ACB．在△BCD中，由余弦定理得，CD=．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=，A∈（0，π），所以sinA==．同理可得，sin∠ACB=．所以cosB=cos[π﹣（A+∠ACB）]=﹣cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB﹣cosAcos∠ACB=；（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=sin∠ACB=．又AD=3DB，所以DB=．在△BCD中，由余弦定理得，CD===9．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AE⊥EF．【考点】LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PDC，由此能证明AB∥EF．（2）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥AF，由AB∥EF，能证明AF⊥EF．【解答】证明：（1）因为ABCD是矩形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC．又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC=EF，所以AB∥EF．（2）因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF．又由（1）知AB∥EF，所以AF⊥EF．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF=2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆方程求出a，b，c，可得F的坐标，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，求得P，Q的纵坐标，再由向量共线的坐标表示，可得m的方程，解方程可得m，进而得到直线l的方程；（2）运用韦达定理可得y1+y2，y1y2，my1y2，由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1=my1+1，x2=my2+1，运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数λ的值，即可判断存在．【解答】解：（1）因为a2=4，b2=3，所以c==1，所以F的坐标为（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程+=1，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，则y1=，y2=．若QF=2FP，即=2，则+2•=0，解得m=，故直线l的方程为x﹣2y﹣=0．（2）由（1）知，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，所以my1y2=﹣=（y1+y2），由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1=my1+1，x2=my2+1，所以=•===，故存在常数λ=，使得k1=k2．18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF=θ，透光区域的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）过点O作OH⊥FG于H，写出透光面积S关于θ的解析式S，并求出θ的取值范围；（2）计算透光区域与矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出比值最大时对应边AB的长度．【解答】解：（1）过点O作OH⊥FG于H，∴∠OFH=∠EOF=θ；又OH=OFsinθ=sinθ， FH=OFco sθ=cosθ，∴S=4S △OFH +4S 阴影OEF =2sinθcosθ+4×θ=sin2θ+2θ；∵≥，∴sinθ≥，∴θ∈[，）；∴S 关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；（2）由S 矩形=AD•AB=2×2sinθ=4sinθ，∴=+，设f （θ）=+，θ∈[，），则f′（θ）=﹣sinθ+===；∵≤θ＜，∴sin2θ≤，∴sin2θ﹣θ＜0， ∴f′（θ）＜0，∴f （θ）在θ∈[，）上是单调减函数；∴当θ=时f （θ）取得最大值为+，此时AB=2sinθ=1（m ）；∴S 关于θ的函数为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；所求AB 的长度为1m ．19．已知两个无穷数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，a 1=1，S 2=4，对任意的n ∈N *，都有3S n +1=2S n +S n +2+a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若{b n }为等差数列，对任意的n ∈N *，都有S n ＞T n ．证明：a n ＞b n ；（3）若{b n }为等比数列，b 1=a 1，b 2=a 2，求满足=a k （k ∈N *）的n 值．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）方法一、设数列{b n }的公差为d ，求出S n ，T n ．由恒成立思想可得b 1＜1，求出a n ﹣b n ，判断符号即可得证；方法二、运用反证法证明，设{b n }的公差为d ，假设存在自然数n 0≥2，使得a≤b，推理可得d ＞2，作差T n ﹣S n ，推出大于0，即可得证；（3）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得S n ，T n ，化简，推出小于3，结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值．【解答】解：（1）由3S n +1=2S n +S n +2+a n ，得2（S n +1﹣S n ）=S n +2﹣S n +1+a n ，即2a n +1=a n +2+a n ，所以a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ．由a 1=1，S 2=4，可知a 2=3．所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．故{a n }的通项公式为a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，n ∈N*．（2）证法一：设数列{b n }的公差为d ，则T n =nb 1+n （n ﹣1）d ，由（1）知，S n =n （1+2n ﹣1）=n 2．因为S n ＞T n ，所以n 2＞nb 1+n （n ﹣1）d ，即（2﹣d ）n +d ﹣2b 1＞0恒成立，所以，即，又由S 1＞T 1，得b 1＜1，所以a n ﹣b n =2n ﹣1﹣b 1﹣（n ﹣1）d=（2﹣d ）n +d ﹣1﹣b 1≥2﹣d +d ﹣1﹣b 1=1﹣b 1＞0．所以a n ＞b n ，得证．证法二：设{b n }的公差为d ，假设存在自然数n 0≥2，使得a ≤b ，则a 1+2（n 0﹣1）≤b 1+（n 0﹣1）d ，即a 1﹣b 1≤（n 0﹣1）（d ﹣2），因为a 1＞b 1，所以d ＞2．所以T n ﹣S n =nb 1+n （n ﹣1）d ﹣n 2=（d ﹣1）n 2+（b 1﹣d ）n ，因为d ﹣1＞0，所以存在N ∈N*，当n ＞N 时，T n ﹣S n ＞0恒成立．这与“对任意的n ∈N *，都有S n ＞T n ”矛盾！所以a n ＞b n ，得证．（3）由（1）知，S n =n 2．因为{b n }为等比数列，且b 1=1，b 2=3，所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列．所以b n =3n ﹣1，T n =（3n ﹣1）．则===3﹣，因为n ∈N*，所以6n 2﹣2n +2＞0，所以＜3．而a k =2k ﹣1，所以=1，即3n ﹣1﹣n 2+n ﹣1=0（*）．当n=1，2时，（*）式成立；当n ≥2时，设f （n ）=3n ﹣1﹣n 2+n ﹣1，则f （n +1）﹣f （n ）=3n ﹣（n +1）2+n ﹣（3n ﹣1﹣n 2+n ﹣1）=2（3n ﹣1﹣n ）＞0，所以0=f （2）＜f （3）＜…＜f （n ）＜…，故满足条件的n 的值为1和2．20．已知函数f（x）=+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2．（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是，求m的值；（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出h（x）的最小值，从而求出m的值即可；（3）根据OA和OB的关系，问题转化为﹣x2lnx≤m≤x2（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）=﹣x2lnx，根据函数的单调性求出m≥p（1）=，设q （x）=x2（e﹣lnx），根据函数的单调性求出m≤q（1），从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=+xlnx，f′（x）=+lnx+1，因为f′（x）在（0，+∞）上单调增，且f′（1）=0，所以当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）的单调增区间是（1，+∞）．（2）h（x）=+2x﹣，则h′（x）=，令h′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，）上单调减；当x＞时，h′（x）＞0，函数h（x）在（，+∞）上单调增．所以[h（x）]min=h（）=2m﹣，①当（2m﹣1）≥，即m≥时，函数y=h（h（x））的最小值h（2m﹣）= [+2（2﹣1）﹣1]=，即17m﹣26+9=0，解得=1或=（舍），所以m=1；②当0＜（2﹣1）＜，即＜m＜时，函数y=h（h（x））的最小值h（）=（2﹣1）=，解得=（舍），综上所述，m的值为1．（3）由题意知，K OA=+lnx，K OB=，考虑函数y=，因为y′=在[1，e]上恒成立，所以函数y=在[1，e]上单调增，故K OB∈[﹣2，﹣]，所以K OA∈[，e]，即≤+lnx≤e在[1，e]上恒成立，即﹣x2lnx≤m≤x2（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）=﹣x2lnx，则p′（x）=﹣2lnx≤0在[1，e]上恒成立，所以p（x）在[1，e]上单调减，所以m≥p（1）=，设q（x）=x2（e﹣lnx），则q′（x）=x（2e﹣1﹣2lnx）≥x（2e﹣1﹣2lne）＞0在[1，e]上恒成立，所以q（x）在[1，e]上单调增，所以m≤q（1）=e，综上所述，m的取值范围为[，e]．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲21．如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM 上，若∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．【考点】NB：弦切角．【分析】连结AN，DN．利用圆周角定理，结合∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．【解答】解：连结AN，DN．因为A为弧MN的中点，所以∠ANM=∠ADN．而∠NAB=∠NDB，所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB，即∠BCN=∠ADB．又因为∠ACN=3∠ADB，所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°，故∠ADB=45°．B.选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】利用矩阵的乘法，求出a，d，利用矩阵A的特征多项式为0，求出矩阵A的特征值．【解答】解：因为A==，所以，解得a=2，d=1．所以矩阵A的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6=（λ﹣4）（λ+1），令f（λ）=0，解得矩阵A的特征值为λ=4或﹣1．C.选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A（2，），点B在直线l：ρcosθ+ρsinθ=0（0≤θ≤2π）上，当线段AB最短时，求点B的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．AB 最短时，点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点，求出交点，进而得出．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．AB最短时，点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点，联立，得，所以点B的直角坐标为（﹣1，1）．所以点B的极坐标为．D.选修4-5：不等式选讲24．已知a，b，c为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证：a+b+c≥3．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用基本不等式的性质进行证明．【解答】证明：∵a3+b3+c3=a2b2c2，a3+b3+c3≥3abc，∴a2b2c2≥3abc，∴abc≥3，∴a+b+c≥3≥3．当且仅当a=b=c=时，取“=”．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）连接PF，运用中垂线的性质可得|MP|=|PF|，再由抛物线的定义可得点P的轨迹方程；（Ⅱ）求得M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y ﹣n=k（x+1），联立抛物线的方程，消去y，运用相切的条件：判别式为0，再由韦达定理，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）据题意，MP⊥直线x=﹣1，∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离，连接PF，∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，∴|MP|=|PF|，∴P点的轨迹是抛物线，焦点为F（1，0），准线为直线x=﹣1，∴曲线Г的方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：据题意，M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y﹣n=k（x+1），联立抛物线方程可得ky2﹣4y+4k+4n=0，由直线和抛物线相切，可得△=16﹣4k（4k+4n）=0，即k2+kn﹣1=0，（*）∵△=n2+4＞0，∴方程（*）存在两个不等实根，设为k1，k2，∵k1=k AM，k2=k BM，由方程（*）可知，k AM•k BM=k1•k2=﹣1，∴切线AM⊥BM，∴∠AMB=90°，结论得证．[选修4-5：不等式选讲]26．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）．（1）写出f（2），f（3），f（4）的值；（2）求f（n）．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】（1）直接由“互斥子集”的概念求得f（2），f（3），f（4）的值；（2）由题意，任意一个元素只能在集合A，B，C=C U（A∪B）之一中，求出这n个元素在集合A，B，C中的个数，再求出A、B分别为空集的种数，则f（n）可求．【解答】解：（1）f（2）=1，f（3）=6，f（4）=25；（2）任意一个元素只能在集合A，B，C=C U（A∪B）之一中，则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种；其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n，∴A，B均为非空子集的种数为3n﹣2n+1+1，又（A，B）与（B，A）为一组“互斥子集”，∴f（n）=．2017年5月24日。

江苏省南京市2017届高三三模数学试卷(含解析)

2017年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁U（A∪B）= ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为．3．若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．4．执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．6．在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是．7．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是．8．已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．9．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a1=2，则a5的最小值为．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为．11．函数f（x）=e x（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为．12．在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD 的面积为．13．在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为．14．已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．16．（14分）已知向量为实数．。

南京市2017届高三年级三模数学卷

7 甲 7 4 9 0 8 1 乙 8 9 5 0 3
（第 5 题图）
6 ．在同一直角坐标系中，函数 y ＝ sin(x ＋ ▲ ．
π 1 ) （ x ∈ [0 ， 2 π ] ）的图象和直线 y ＝的交点的个数是 3 2
x2 y2 7．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2－＝1 的焦距为 6，则所有满足条件的实数 m 构成的集合是 2m 3m ▲ ．
为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30，则 a 的取值范围为
▲
．
3a＋8b 2 3 2 14 ．（ 2017 南京三模）已知 a ， b ， c 为正实数，且 a ＋ 2b≤8c ，＋ ≤ ，则的取值范围为 a b c c ▲ ．
15．（2017 南京三模）（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 A－BCD 中，E，F 分别为棱 BC，CDA 上的点，且 BD∥平面 AEF．（1）求证：EF∥平面 ABD；（2）若 BD⊥CD，AE⊥平面 BCD，求证：平面 AEF⊥平面 ACD．
3 8 ．已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数．当 x ∈ [ 2 ， 4 ] 时， f ( x ) ＝ | log 4 ( x － ) | ， 2 A
1
C1
1 则 f( )的值为 2
▲
． ▲ ．
B1
9．若等比数列{an}的各项均为正数，且 a3－a1＝2，则 a5 的最小值为
－－
▲
．
4．执行如图所示的伪代码，若输出 y 的值为 1，则输入 x 的值为 ▲ ．
Read x If x≥0 Then y←2x＋1 Else y← 2－x2 End If Print y