2017年江苏省南京市、淮安市高三三模数学试卷

2017年江苏省南京市、淮安市高三三模数学试卷

一、填空题（共14小题；共70分）

1. 已知全集，集合，，则．

2. 甲盒子中有编号分别为，的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为，，，的四个乒乓

球．现分别从两个盒子中随机地各取出个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于的概率为．

3. 若复数满足，其中为虚数单位，为复数的共轭复数，则复数的模

为．

4. 执行如下所示的伪代码，若输出的值为，则输入的值为．

Read x

If x≥0 Then

y←

Else

y←

End If

Print y

5. 如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定

（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．

6. 在同一直角坐标系中，函数的图象和直线的交点的个数

是．

7. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为，则所有满足条件的实数构成的

集合是．

8. 已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则

的值为．

9. 若等比数列的各项均为正数，且，则的最小值为．

10. 如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱

上的动点，当最小时，三棱锥的体积为．

11. 函数在区间上单调递增，则实数的最大值为．

12. 在凸四边形中，，且，，则四边形

的面积为．

13. 在平面直角坐标系中，圆，圆（为实

数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为．

14. 已知，，为正实数，且，，则的取值范围为．

二、解答题（共6小题；共78分）

15. 如图，在三棱锥中，，分别为，上的点，且 平面．

（1）求证： 平面；

（2）若平面，，求证：平面平面．

16. 已知向量，，，为实数．

（1）若，求的值；

（2）若，且，求的值．

17. 在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域，及矩形表演台

四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以，为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的倍，矩形表演台中，米，三角形水域

的面积为平方米，设．

（1）求的长（用含的式子表示）；

（2）若表演台每平方米的造价为万元，求表演台的最低造价．

18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点，

，是线段的中点，且．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，四边形内接于椭圆，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

19. 已知常数，数列满足，．

（1）若，，①求的值；②求数列的前项和；

（2）若数列中存在三项，，（，）依次成等差数列，求的取值范围．

20. 已知，函数的导数为．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若函数存在极值，求的取值范围；

（3）若时，恒成立，求的最大值．

答案

第一部分

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

【解析】将直三棱柱展开成矩形，如图，连接，交于，此时最小，

因为，，，，点为侧棱上的动点，

所以当最小时，，此时三棱锥的体积：

11.

12.

【解析】因为，

所以，

因为，

所以

所以，

所以．

所以四边形的面积．

13.

14.

第二部分

15. （1） 平面，平面，平面平面，

，

又平面，平面，

平面．

（2）平面，平面，

，

由（）可知，

又，

，

又，平面，平面，

平面，

又平面，

平面平面．

16. （1）向量，，，为实数．

若，则，可得，平方可得

，即为，由，解得

即有，．

则；

（2）若，且，即有，即有，由为锐角，可得，即有，则，

．

17. （1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的倍，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

在中，由余弦定理得，

所以．

（2）设表演台的造价为万元，则，

设，则，

所以当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值，

所以的最小值为，即表演台的最小造价为万元．

18. （1），，线段的中点．

，．

因为．

所以，化为：．

所以椭圆的离心率．

（2）由，可得，

所以椭圆的标准方程为：，，．

直线的方程为：，联立

化为：，

解得，

所以．

即．

直线的方程为：，

联立

化为：，

所以，

解得，，

可得．

所以，

化为：．

所以，

所以．

19. （1）①因为，

所以，，

．

②因为，，

所以当时，，

当时，，即从第二项起，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以数列的前项和（），显然当时，上式也成立，

所以．

（2）因为，

所以，即单调递增．

（i）当时，有，于是，

所以，

所以．

若数列中存在三项，，（，）依次成等差数列，则有，即（），

因为，

所以，

因此（）不成立．

因此此时数列中不存在三项，，（，）依次成等差数列．