第2课：整式和乘法公式

第2课：整式与乘法公式

主备：羊淑霞 审核：蔡文娟

一、中考要求：

1．主要考查用代数式表示简单问题的数量关系，解释代数式的意义和求代数式的值， 探索规律并用代数式表示

2．考查整式的有关概念及计算，同类项与去括号，以及幂的相关性质和运算，了解乘法公式的几何背景，两个乘法公式的应用 二、知识要点：

1．代数式定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方） 分类：⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎨⎪⎪⎩⎪

⎩单项式整式有理式多项式分式无理式

代数式 把数与字母连接而成的式子。代数式中不能含：“=”“<”“>”

2.单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）. 多项式：几个单项式的 叫做多项式.

整式： 与 统称整式. 23

23

x y z π-的系数是 ，次数是 . 3. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类

项. 合并同类项的法则是 ___.

4. 幂的运算性质: a m ·a n = ； (a m )n = ； a m ÷a n ＝_____； (ab)n = ；(b

a )n = .

5. 乘法公式：

(1)平方差公式：（a ＋b ）(a －b)＝ ；

(2) 完全平方公式：(a ＋b)2＝ ； (a －b)2

＝ . 三、典例剖析： 例1．(1) 若21x y -=

-，2xy =，则代数式(1)(1)x y -+的值=

(2) 若0a >且2x

a =，3y

a =，则x y

a

-的值=

(3) 已知x+y = –5，xy = 6，则22x y + = ，2()x y -= (4) 若m+1

x=2

y 34m =+，，用x 的代数式表示y 为 。

例2．(1)搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建， 则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．则串n 顶这样的帐篷需要 根钢管．

(2)已知456456=23

⨯a ⨯7⨯11⨯13⨯b ，其中a 、b 均为质数。若b >a ，则b -a 之值为 ( ) (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 例3．(1)下列计算结果正确的是（ ）

A ．4332222y x xy y x -=⋅-

B ．2253xy y x -=y x 22-

C ．xy y x y x 4728324=÷

D ．49)23)(23(2-=---a a a (2)计算：23

2

83

(2)2a b a b

----÷= ．

例4.先化简，再求值.2

2

2

2(3)[5()2]mn m m mn m mn -----+.其中()2

120m n -++=.

随堂演练：

1．用代数式表示“a 的3倍与b 的差的平方”为

某商场2009年的销售利润为a ,预计以后每年比上一年增长b %，那么2011年该商场的销售利润将是 2.在代数式

21215,5,,,,,233

x y z x y a x y xyz y π+---+-,-2中单项式有 个 3.若是2ab

2

c 3x+1与﹣5ab 2c 6x-3是同类项，则x=

4. 已知A=2x,B 是多项式,在计算B+A 时,小马虎同学把B+A 看成了B A ÷,结果得2

1

2

x x +

，则A+B= 。

5．计算 －（－3a)2

的结果是 ，._____)()()(4

435=-⋅---⋅a a a a 若代数式2

6x x b -+可化为2

()1x a --，则b a -的值是 ．

6.已知2

1

(123...)(1)

n a n n =

=+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式n b ＝_______．(用含n 的代

数式表示)

7. 已知a ≠0，12S a =，21

2

S S =

，322S S =，…，201020092S S =，则2010S = (用含a 的

代数式表示)． 8.将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b

c d ，定义

a b

c d

ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若

1111x x x x +--+ 6=，x = ． 9.如图，从边长为（a ＋4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()1a +cm 的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.

A ．2

2

(25)cm a a + B ．2

(315)cm a + C ．2

(69)cm a + D ．2

(615)cm a +

10.某计算程序编辑如图所示，当输入x= 时，输出的y=3.

第10题 第11题

11．（1）小明在一次数学活动中，为了求23411111

22222

n +++++的值，设计了如图所示的图形.

请你利用这个几何图形求23411111

22222

n +++++的值为 ；

（2）请你利用右图，再设计一个能求23411111

22222

n +++++的值的图形．

12. (a+2b)2

(a-2b)2

= 若))(123(2

b x x x ++-的结果中不含2

x 项，则b=_______.

13.若1b

a =，则a 、

b 满足条件 14．已知2

514x x -=，求()()()2

12111x x x ---++的值

15. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如

(2

32212

+=，善于思考的小明进行了如下探索：

设(2

22a m +=+，

（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）则有

这样，小明找到了把部分2a b +的式子化为平方式的方法。 请你仿照小明的方法探索并解决问题：

（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若(2

33a m n +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b 得，a = ，b = 。

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空

+ 3（ +

3）2

（3）若(2

433

a m +=+且a 、

b 、m 、n 均为正整数，求a 的值。

16.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.

3a

b

2b a

a 1

(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）.请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义. 这个长方形的代数意义是 .

（2）小明想用类似的方法解释多项式乘法(3)(2)a b a b ++= ，那么需用2号卡片 张，3号卡片 张.

12

212 3

12

…

222222222,2a b m mn n a m n b mn

+=+∴=+=