高中物理实用微积分
高中必修3知识点总结
高中必修3知识点总结高中必修3是高中生的必修课程之一，主要包括数学、物理、化学等科目。
本文将对高中必修3的知识点进行总结，帮助学生复习和巩固学习成果。
一、数学知识点总结1.数列与数学归纳法数列是一组有序的数的集合。
数列的概念、性质和常用的求和公式都是数学学习的基础知识。
数学归纳法是证明数学命题的一个非常重要的方法。
它通过数学归纳法可以证明一些数学结论。
2.函数与导数函数是一种数学关系，它描述了一个自变量和因变量之间的对应关系。
导数是描述函数变化率的一个概念，也是微积分的基本概念之一。
学习函数和导数是高中数学学习中的重点内容。
3.方程与不等式方程和不等式是数学中的基本概念，通过方程和不等式可以描述各种数学问题。
高中数学必修3中主要包括一元二次方程和一元二次不等式的学习。
4.立体几何立体几何是空间中几何图形的研究，它主要包括点、线、面、体等几何概念的研究。
在高中数学必修3中，学生需要学习立体几何中的一些基本概念和定理。
5.概率论概率论是描述随机现象的一种数学工具，它主要研究随机试验、事件的概率和概率分布等内容。
概率论是数学中非常有趣和实用的一个分支，也是高中数学必修3的一个知识点。
二、物理知识点总结1.牛顿运动定律牛顿运动定律是经典力学的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的运动规律。
掌握牛顿运动定律是学习物理的基础。
2.动能与功率动能和功率是物理中的两个重要概念，它们描述了物体的运动状态和能量转化的规律。
学习动能和功率可以帮助学生更好地理解物体的运动规律。
3.电学基本概念电学是物理学中的一个重要分支，它主要研究电荷、电场、电流等内容。
在高中物理必修3中，学生需要学习一些基本的电学知识，如库仑定律、欧姆定律等。
4.核物理核物理是物理学中的一个重要分支，它研究原子核的结构、核反应、核能等内容。
学习核物理可以帮助学生更好地理解原子核的性质和核能的应用。
5.光学基本概念光学是物理学中的另一个重要分支，它研究光的传播、光的折射、反射等内容。
求不规则物体的体积的方法
求不规则物体的体积的方法一、针对小学生《这样求不规则物体的体积，超简单！》小朋友们，在我们的生活中，经常会碰到一些奇奇怪怪形状的东西，比如一块石头、一个玩具，它们的形状可不那么规则，那怎么知道它们的体积有多大呢？今天老师就来告诉你们几个好玩的方法。
比如说，有一个漂亮的小珊瑚，想知道它的体积，我们可以把它放进一个装满水的盆子里。
当把珊瑚放进去的时候，水就会溢出来，溢出来的水的体积就是珊瑚的体积啦。
再比如，有一个歪歪扭扭的土豆，我们可以找一个量杯，先在量杯里装一些水，记住水的刻度，然后把土豆放进去，再看看水上升到了哪里，上升的那部分水的体积就是土豆的体积哟。
小朋友们，是不是很有趣呀？快去找找身边的不规则物体，试试这些方法吧！《轻松学会求不规则物体体积》小朋友们，你们在数学课上是不是有时候会被那些不规则物体的体积问题难住呀？别担心，让我来给你们讲讲简单的办法。
假设你有一个自己捏的橡皮泥小怪物，想知道它有多大。
我们可以把这个小怪物捏成一个长方体或者正方体，然后量一量长、宽、高，就能算出体积啦。
还有哦，如果有一个形状怪怪的小木块，我们可以把它放进一个装满水的水缸里，看看水升高了多少，水缸的底面积乘以水升高的高度，就是小木块的体积。
怎么样，是不是一下子就明白了？快和小伙伴们一起试试吧！《小朋友也能懂的求不规则物体体积秘籍》亲爱的小朋友们，今天我们来一起探索一个有趣的数学小秘密——怎么求出不规则物体的体积。
比如说，你在河边捡到了一块漂亮的鹅卵石，很想知道它有多大。
那我们可以准备一个装满水的瓶子，先把水倒在一个杯子里，量一量有多少水。
然后把鹅卵石放进瓶子里，再把瓶子里的水倒进杯子里，看看少了多少水，少的那些水的体积就是鹅卵石的体积。
再举个例子，你有一个自己做的小雕塑，那可以把它用保鲜膜包起来，放进一个装满水的大盆里，水溢出来的部分就是小雕塑的体积。
小朋友们，快去试试吧，会很有趣的哦！《求不规则物体体积，一点也不难》小朋友们，你们好呀！今天咱们来聊聊怎么求那些奇奇怪怪形状物体的体积。
高中物理微积分应用(完美)
我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可
以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上
的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.
t
v
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,
式：
⑴ 导数的四则运算
①=±
③=
②=·v + u·
⑵ 常见函数的导数
①=0(C为常数)； ④=-sint；
②=ntn-1 (n为实数)； ⑤=et；
③=cost；
⑶ 复合函数的导数
在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自
变量。
=·
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以
L（弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制)
又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：
综合以上各式得： F= 圆周运动向心力公式 故摩擦力对车所做的功： 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力，从最低点运动到最高点摩擦 力所做的功为 小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直 线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像， 找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
v 恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功，我们如
何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道 运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为，求物体从轨道最低点运 动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
微积分在高中物理中的应用
121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。
本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。
数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。
运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。
1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。
但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。
（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。
（2）判断猎犬能否追上狐狸。
这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。
而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。
取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。
我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。
W=Flcosθ适用范围之探
可表示为x1 ，x2 ，x3 ，x4 …。将受恒力且运动轨迹 为直线的功的公式 W =Flcos兹 写成矢量式 W =F軋·
因重力、恒定静电力等两种性质的力在高 中屡见不鲜，所以其求解过程不再赘述。
案例 1：如图 3 为一简易电梯模型，当电梯 以速度 v1 做匀速向上运动时，电梯中有一学生 以大小恒为 F 的推力，将一质量为 m 的箱子从 电梯一侧（初始空间位置，记为 A 点）推向另一 侧（末态空间位置，记为 B 点），水平方向上推出 的距离为 L，在此过程中电梯上升的高度为 H。 已知箱子与电梯间的摩擦系数为 滋，求从 A 到 B 的过程中，箱子所受支持力和滑动摩擦力所 做的功（当地重力加速度记为 g）。
2019 年 第 29 期 / B（10） 33
教育实践与研究
所以对于沿任意曲线运动的质点，恒力对
其所做的功，皆可用该质点沿直线路径恒力F軋所 做的功 W =Flcos兹 替代求解。
也即 W =Flcos兹 适于曲线运动，其中 F 表示 力的大小，l 表示位移的大小，兹 表示力和位移 矢量的夹角。
x軆，则恒力 F 在每一段直线上做的功可表示为F軋·
x1 ，F軋·x2 ，F軋·x3 ，F軋·x4 …。恒力 F 在整个曲线路径 上所做的功等于恒力 F 在每一段直线上所做功 的代数和，即：
W =F軋·x1 +F軋·x2 +F軋·x3 +F軋·x4 +…
高一数学公式知识点归纳
高一数学公式知识点归纳高一数学公式知识点归纳数学公式是数学中必不可少的工具，是数学语言最重要的表达方式之一，经过长期的历史演变和不断发展，现在已经形成了一套完整的公式体系。
在高中阶段，数学公式更是如影随形，涉及到各种问题的解决，下面就针对高一阶段常见的数学公式知识点进行归纳。
1. 直角三角形相关公式直角三角形是三角形中比较特殊的一种类型，其特点是具有一个90°的直角。
在直角三角形中，比较常见的公式有勾股定理、正弦定理和余弦定理。
勾股定理：a²+b²=c²，其中a、b、c分别代表直角三角形两条直角边和斜边，a²和b²分别代表直角三角形两条直角边长度的平方。
正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别代表三角形三边的长度，而A、B、C分别代表与之相对的角的大小。
余弦定理：a²=b²+c²-2bc*cosA, b²=a²+c²-2ac*cosB, c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c分别代表三角形三边的长度，而A、B、C分别代表与之相对的角的大小。
2. 二次函数相关公式在学习数学时，二次函数是比较重要的一种函数类型，其表达形式为y = ax² + bx + c。
相比于一次函数，二次函数的图像更加复杂，且有抛物线形状，在解决实际问题时十分有用。
一些常见的二次函数相关公式包括：顶点坐标公式：当二次函数y = ax² + bx + c的自变量x取到最小值时（也就是二次函数的顶点时），函数值y的最小值为y = (4ac-b²)/(4a)，此时的x坐标为 -b/（2a）。
根公式：对于二次方程ax² + bx + c = 0，根据判别式可以将方程抽象表示成Δ = b² - 4ac，当Δ=0时，方程有两个相等的实根，当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，当Δ<0时，方程无实根。
高中物理实用微积分
高中物理实用微积分问题：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少 分析：自由落体的运动公式是221gt s =（其中g 是重力加速度），当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。
从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ∆+∆=⨯-∆+=-∆+=∆从而t ts v∆+=∆∆=9.44.29. 从上式可以看出，t ∆越小，ts ∆∆越接近米/秒；当t ∆无限趋近于0时，t s ∆∆无限趋近于米/秒，此时我们说，当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限是.当t ∆趋向于0时，平均速度ts∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.1、极限极限的严格定义比较繁琐，此处从略。
通俗来说，如果当自变量x 无限趋近某一数值0x （记作0x x →）时，函数)(x f 的值无限趋近某一确定的数值A ，则A 叫做0x x →时函数)(x f 的极限值，记作A x f xx =→)(lim 0例如：∞=>-xx 1lim0；n n x ∞→lim ，1≥x 时趋于无穷，10<<x 时等于0。
对于稍复杂的函数求极限，可把函数化成几部分的初等运算，先求每一部分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。
练习：x xx 432lim0++>- x x sin lim 0>- x x cos lim 0>- x x Sin x )(lim 0>- 20cos 1lim x x x ->-2、导数.某点的导数：对于函数y=f (x)，在点x 0附近，当x 发生变化△x 时，函数值有变化量△y=△f (x 0)，定义△y /△x 在△x →0时的值称为f (x)在x 0处的导数，记为：|lim )()(lim )('00000xx x x dxdyx y x x f x x f x f =→∆→∆=∆∆=∆-∆+=例：f (x)=x 2在x=3处的导数x=3时，f (x)=9，当x=3+△x 时，f (3+△x)=( 3+△x)2，则△f (x)= (3+△x)2-9 故66lim 6lim 3)3(lim )3('020220=+∆=∆∆+∆=∆-∆+=→∆→∆→∆x xxx x x f x x x ）（.导函数：函数f (x)在其定义域内每一点的导数构成一个新的函数，这个函数称为f (x)的导函数，记为：dxdyx f y ==')(' 例如我们研究函数f (x)=x 2在其定义域内的任意一个点x ： 当x 有变化△x 时，△f(x)=(x+△x)2-x 2=2x △x+(△x)2由导数的定义：x x x xx x x x x x x x f x x x 22lim )(2lim )(lim )('020220=∆+=∆∆+∆=∆-∆+=→∆→∆→∆即f (x)=x 2在任意一个点x 处的导数的值为2x,这个新的函数2x 即称为原函数f (x)=x 2的导函数，记为xx f 2)('=常见函数的导数：(A 为与x 无关的定值))(')()()('))'()(()(')('))'()((sin )'(cos cos )'(sin )'()())'((0'1x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f xx x x nx x x f A x Af A n n +=+=+-==='==-思考：?))]'(([?)')()((==x g f x g x f 练习：求导函数： 322x x + ,x cos 1, x tan , 2sin x , x 2sin , 22sin x , xxx sin cos 2+ .导数的意义：斜率：函数f (x)在x 0处的导数即为f (x)的图像在x 0处的切线的斜率 变化率：xydx dy x f y x ∆∆==='→∆0lim )('即y 对x 的变化率。
高中物理大题
高中物理大题（实用版）目录1.介绍高中物理大题的重要性2.分析高中物理大题的主要类型和考察内容3.探讨解决高中物理大题的策略和方法4.总结高中物理大题对学生能力和素质的培养正文高中物理大题在高考物理试题中占有举足轻重的地位，它不仅考察学生对物理知识的掌握程度，还检验学生的分析问题、解决问题的能力。
因此，对于高中生来说，掌握物理大题的解题技巧和方法是十分重要的。
一、高中物理大题的主要类型和考察内容高中物理大题主要包括以下几种类型：1.力学综合题：这类题目主要考察学生对力学知识的理解和运用，包括物体受力分析、运动规律、动能定理等。
2.电磁学综合题：这类题目主要考察学生对电磁学知识的掌握，包括电场、磁场、电磁感应等。
3.波动光学综合题：这类题目主要考察学生对波动和光学知识的理解，包括光的折射、反射、干涉等。
4.热学综合题：这类题目主要考察学生对热学知识的掌握，包括热力学定律、热力学过程等。
二、解决高中物理大题的策略和方法1.仔细审题，抓住题目中的关键信息，确定题目所求。
2.运用物理知识，对题目进行分析，理清思路。
3.善于利用数学工具，如微积分、向量等，解决物理问题。
4.注意物理模型的建立，将复杂的物理问题简化为易于解决的模型。
5.细心计算，注意单位的转换和数据的处理。
三、高中物理大题对学生能力和素质的培养1.提高学生的逻辑思维能力：通过解决物理大题，学生可以锻炼自己的逻辑思维能力，学会如何分析问题、解决问题。
2.培养学生的创新能力：在解决物理大题的过程中，学生需要不断地尝试新的解题方法，这有助于培养学生的创新能力。
3.培养学生的团队协作能力：在解决物理大题时，学生可以与同学进行讨论，共同探讨解决问题的方法，这有助于培养学生的团队协作能力。
4.提高学生的自主学习能力：在解决物理大题的过程中，学生需要自主地查阅资料、分析问题，这有助于提高学生的自主学习能力。
6-3[1]+微积分学基本公式
![6-3[1]+微积分学基本公式](https://img.taocdn.com/s3/m/552f155525c52cc58bd6be8a.png)
0
解 dx et2 , dy 2sin2 2t
dx
dt
dy dy / dx dx dt dt
2sin2 2t et2
17
例 11：设函数 y y( x)由方程 y e t dt x cos tdt 0所确
0
0
定，求 dy ；
dx
解 方程两边对x求导,得
ey y cos x 0;
解 F( x) d x cos2 tdt cos2 x. dx 0
例2 已知F ( x)
x sintdt, 求F ( ).
3
4
解
F
(
x)
sin
x,
F
(
4
)
sin
x
x
4
2. 2
8
例3 已知F ( x)
2x
s in tdt ,
求 F( x)
3
解 令 2x u，
解 对 x31 f (t)dt x关于x求导，得 0
f ( x3 1) 3x2 1
，
令x 2,并代入上面式子得f (7) 1 . 12
16
例10
设
x
y
t eu2 du
0
,求 dy .
2t sin u2du dx
即 x [a,b]就一定有一个数
x
f (x)dx 与之对应.
a
即得一个新函数
y
( x) x f (t)dt (a x b) a
y f (x)
( x)
则称之为变上限积分函数.
微元法高中物理例子
微元法高中物理例子微元法是一种在物理学中常用的数学方法，用于求解连续介质中各个微小部分的物理性质。
下面将给出10个高中物理例子，以展示微元法的应用。
1. 弹簧振子的质点振动：考虑一个弹簧振子，我们可以将弹簧分成无数个微小的微元段。
通过对每个微元段施加受力分析，可以求解弹簧振子的振动频率和振动方程。
2. 均匀带电细杆的电场：假设有一根长度为L的均匀带电细杆，我们可以将细杆分成无数个微小的微元段，并对每个微元段的电场进行叠加，最终求解整个细杆的电场分布。
3. 热传导的微元法：研究物体中的热传导过程时，可以将物体分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的热量传递进行分析，得到整个物体的温度分布。
4. 电流通过导线的微元法：考虑一个直流电流通过一段导线，可以将导线分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的电流密度进行分析，求解整个导线的电流分布。
5. 球形物体的重力场：研究球形物体的重力场时，可以将球体分成无数个微小的微元体积，并通过对每个微元体积的重力进行叠加，得到整个球体的重力场分布。
6. 简谐振子的动能和势能：对于一个简谐振子，可以将其振动范围分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的动能和势能进行分析，求解整个振子的动能和势能关系。
7. 长直导线的磁场：考虑一根无限长直导线，可以将导线分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的磁场进行叠加，得到整个导线的磁场分布。
8. 球形物体的电场：研究球形物体的电场时，可以将球体分成无数个微小的微元体积，并通过对每个微元体积的电场进行叠加，得到整个球体的电场分布。
9. 空气中的声波传播：研究声波在空气中的传播时，可以将空气分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的压强变化进行分析，求解声波的传播规律。
10. 刚体的转动惯量：对于一个刚体，可以将其分成无数个微小的微元体积，并通过对每个微元体积的质量和距离进行分析，求解整个刚体的转动惯量。
通过这些例子，我们可以看到微元法在物理学中的广泛应用。
一元微积分应用(物理)
(2) 求微分元素 d A (( y 4) 1 y2 ) d y . 2
(3) 计算面积 A 4 (( y 4) 1 y2 ) d y 18.
2
2
2 参数方程形式下平面图形的面积
如果曲线由参数方程给出: x (t), y (t), t .
则将直角坐标系下的面 积公式按定积分换元法 处理即可.
体在[x, x x] 上的体积: V y2x ( f (x))2 x.
1
y y f (x) B
A
O a x x x b
计算连续曲线y f (x) 在区间 [a, b] 上的一段弧 AB 与直线x a,
|| x || 0) , 将微分元素d A 在区间[a, b] 上“无限累加”起来
(即作定积分) 就得到量 A 在区间[a, b] 上的值：
b
b
A a d A a f (x)d x .
简言之, 我们在这里将定积分理解为微分元素的无限累加.
注意
在应用微分元素法时, 要求所计算的量A 具有可加性: 即在区间[a, b] 上, 量 A总等于它在该区间的各个子区间上部 分量 A的和 .
2
2 3 2 2
例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
解 (1) 求积分区间
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
y
A
y x2
B xy2
2 O 1
x
(2) 微分元素 d A [(2 x) x2 ]d x .
有何想法?
i 1
i 1
为简便和醒目起见, 略去下标i , 将具有代表性的第i 个
小区间 [xi1, xi ] 表示为 [x, x d x] , 称之为典型小区间, 且取
W=Flcosθ适用范围之探
WN=FN（△h1+△h2+△h3+△h4+…）
WN=FN△h=GH=mgH
（2）对滑动摩擦力做功的求解
根据滑动摩擦力的公式f滑=μFN可知，滑动摩擦力在整个运动过程中为恒力。应用与上述求解恒定支持力做功时同样的方法，我们可以得到箱子通过整个路径时滑动摩擦力所做的功：Wf滑=-f滑L=-μFNL=-μGL=-μmgL.
W=Flcosθ适用范围之探
作者：刘永飞 李玉兰 徐恒震
来源：《教育实践与研究·中学课程版》2019年第10期
摘;要：功的公式是定量研究功能关系的一个重要端口，但其适用范围在实际教学中却存在认知盲点。从大学力学的视角结合微积分对W=Flcosθ适用于曲线运动进行严密论证，并依托矢量运算对其在中学中的适用性进行推导，进而结合具体问题实例，从性质力与合力两种恒力类型展开分析，并将论证结果置于中学情境中予以说明，以此对一线教师的教学、变式教育提供有价值的参考。
对沿任意运动轨迹运动的物体，只要其受恒力作用，W=Flcosθ皆可适用，下文就不同性质力与合力做功的求解，择两例具体阐释。
（一）曲线运动下不同性质的恒力做功求解
因重力、恒定静电力等两种性质的力在高中屡见不鲜，所以其求解过程不再赘述。
案例1：如图3为一简易电梯模型，当电梯以速度v1做匀速向上运动时，电梯中有一学生以大小恒为F的推力，将一质量为m的箱子从电梯一侧（初始空间位置，记为A点）推向另一侧（末态空间位置，记为B点），水平方向上推出的距离为L，在此过程中电梯上升的高度为H。已知箱子与电梯间的摩擦系数为μ，求从A到B的过程中，箱子所受支持力和滑动摩擦力所做的功（当地重力加速度记为g）。
高中教研——微元法的应用
高中物理中微元法的应用题目分享：1.已知人走动的平均速度是v,且脚移动的过程可以视为先匀加速、后匀减速。
那么脚移动的平均速度、最大速度分别是多少？微元法：►将物理量分割成无数个微元，再对这些微元求和(积分), Array就得到了物理量总的变化量。
ΣΔt=t，ΣΔx=x，ΣΔv=v，►将随时间变化的物理量，如力、速度、电流等，将时间分割成无数个微元Δt，每个微元中变量可以看作是不变的，再对这些微小积累量求和(积分)。
ΣFΔt=m(v2-v1)，ΣvΔt=x，ΣIΔt=Q 在电磁学中，这是一种很重要的计算方法。
典型应用：1.万有引力、库仑定律等微元的选取万有引力（库仑定律）的适用条件是两个质点（点电荷），对于大小不能忽略的物体（带电体），我们可以引入微元法。
例1.一质量为M、半径为R的均匀圆环，对其轴线上距圆心x处的质量为m的质点的万有引力多大？当x≫R时和x＝0时，它对其轴线上距圆心x处的质量为m的质点的万有引力分别为多大？这说明什么？解：举一反三：圆环对点电荷的库仑力例2.某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日v，行星的远日点B离开太阳的距离为b，如图3—3所示，求它经过远日点A时的速度为Av的大小.点B时的速度B例3.如图所示，用三条细线悬挂的水平圆形线圈共有n匝，线圈由粗细均匀、单位长度的质量为2.5 10－3kg的导线绕制而成，三条细线呈对称分布，稳定时线圈平面水平.在线圈正下方放有一个圆柱形条形磁铁，磁铁的中轴线OO′垂直于线圈平面且通过其圆心O，测得线圈的导线所在处磁感应强度大小为0.5T，方向与竖直线成30°角，要使三条细线上的张力为零，线圈中通过的电流至少为（）（A）0.1 A （B）0.2 A（C）0.05 A （D）0.01 A2．流体问题里的微元法流体模型（如水流、气流、粒子流等）具有连续性作用的特点，按照常规的方法很难选择研究对象。
高中物理实用微积分
高中物理实用微积分问题：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 分析：自由落体的运动公式是221gt s =（其中g 是重力加速度），当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。
从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ∆+∆=⨯-∆+=-∆+=∆从而t tsv∆+=∆∆=9.44.29. 从上式可以看出，t ∆越小，ts ∆∆越接近29.4米/秒；当t ∆无限趋近于0时，t s ∆∆无限趋近于29.4米/秒，此时我们说，当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限是29.4.当t ∆趋向于0时，平均速度ts∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.1、极限极限的严格定义比较繁琐，此处从略。
通俗来说，如果当自变量x 无限趋近某一数值0x （记作0x x →）时，函数)(x f 的值无限趋近某一确定的数值A ，则A 叫做0x x →时函数)(x f 的极限值，记作A x f xx =→)(lim 0例如：∞=>-xx 1lim；n n x ∞→lim ，1≥x 时趋于无穷，10<<x 时等于0。
对于稍复杂的函数求极限，可把函数化成几部分的初等运算，先求每一部分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。
练习：x xx 432lim0++>-x x sin lim 0>-x x cos lim 0>-x x Sin x )(lim 0>-20cos 1lim xx x ->- 2、导数2.1.某点的导数：对于函数y=f (x)，在点x 0附近，当x 发生变化△x 时，函数值有变化量△y=△f (x 0)，定义△y /△x 在△x →0时的值称为f (x)在x 0处的导数，记为：|lim )()(lim)('00000xx x x dxdyx y x x f x x f x f =→∆→∆=∆∆=∆-∆+=例：f (x)=x 2在x=3处的导数x=3时，f (x)=9，当x=3+△x 时，f (3+△x)=( 3+△x)2，则△f (x)= (3+△x)2-9 故66lim 6lim 3)3(lim )3('020220=+∆=∆∆+∆=∆-∆+=→∆→∆→∆x xxx x x f x x x ）（2.2.导函数：函数f (x)在其定义域内每一点的导数构成一个新的函数，这个函数称为f (x)的导函数，记为：dxdyx f y ==')(' 例如我们研究函数f (x)=x 2在其定义域内的任意一个点x ： 当x 有变化△x 时，△f(x)=(x+△x)2-x 2=2x △x+(△x)2由导数的定义：x x x xx x x x x x x x f x x x 22lim )(2lim )(lim )('020220=∆+=∆∆+∆=∆-∆+=→∆→∆→∆即f (x)=x 2在任意一个点x 处的导数的值为2x,这个新的函数2x 即称为原函数f (x)=x 2的导函数，记为xx f 2)('=常见函数的导数：(A 为与x 无关的定值))(')()()('))'()(()(')('))'()((sin )'(cos cos )'(sin )'()())'((0'1x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f xx x x nx x x f A x Af A n n +=+=+-==='==-思考：?))]'(([?)')()((==x g f x g x f 练习：求导函数： 322x x + ,x cos 1, x tan , 2sin x , x 2sin , 22sin x , xxx sin cos 2+2.3.导数的意义：2.3.1斜率：函数f (x)在x 0处的导数即为f (x)的图像在x 0处的切线的斜率 2.3.2变化率：xydx dy x f y x ∆∆==='→∆0lim )('即y 对x 的变化率。
定积分的应用之微元法
解 取坐标系如图, 则底圆方程为
x2 y2 R2,
在 x 处垂直于 x 轴作立体的截 R
面，得一直角三角形，两条直角边分 别 为 y 及 y tan ， 即 R2 x2 及
O aa
R2 x2 tan ， 其 面 积 为
R
A(x) 1 (R2 x2 ) tan ，从而得楔形体
2
积为 V
于是得 dA [( y 4) 1 y2 ]dy,
2
A 4 [( y 4) 1 y2 ]dy 1 y2 4 y 1 y3
4
18.
2
2
2
6 2
2.极坐标下的面积计算
曲边扇形：是指由曲线r r( ) 及两条射线 , 所围 成的图形（如右下图）.
取 为积分变量，其变化范围为[ , ]，在微小区间 [ , d ]
x a, x b所围成的图形，如下页右图，面积微元
dA [ f (x) g(x)]dx,，面积 A
b
[
f
(
x)
g
(
x)]dx
.
a
y y f (x)
y y f (x)
O x x dx
O a x x dx b x a
bx
y g(x)
（3）由左右两条曲线 x ( y), x ( y)及 y c, y d 所
V π
a y2dx 2π
a
2
(a 3
2
x3
)3 dx
a
0
2π
a
(a2
42
3a 3 x 3
24
3a 3 x 3
x2 )dx
32
πa3.
0
105
四、平面曲线的弧长
高中物理解题方法例话：8微元法
8微元法 物理中往往会遇到一些用常规方法难以解决的问题，如研究对象难以确定，或者所研究的物理量在变化过程中是非线性变化，这些都无法用初等数学来解决，这样我们往往选取研究对象的微小局部，然后归纳出整体和整个过程的结论，这种研究问题的方法称为微元法 微元法是物理学中研究变化量的一种常用方法，在物理教材中出多处涉及，如变速运动中速度概念的建立，向心加速度公式的导出，洛伦兹力公式的导出等等。
常用的微元法有研究对象的微元和研究过程的微元。
下面分别举例说明。
（1）、研究对象的微元研究对象的微元有电流元、质量元、长度元、电荷元、位移元等等[例题1]电量Q 均匀分布在半径为R 的圆环上（如图所示），求在圆环轴线 上距圆心O 点为x 处的P 点的电场强度。
解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解。
选电荷元Δq = R ΔθQ 2R π，它在P 点产生的电场的场强的x 分量为：ΔE x = k 2q r ∆cos α = k 22R Q 2R(R x )∆θπ+⋅22R x + 根据对称性：E = ΣΔE x =2232(R x )π+Σθ =2232(R x )π+⋅2π =223(R x )+由此可见，此带电圆环在轴线P 点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P 点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。
[例题2]一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率。
选取在Δt 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，有：F Δt = Δm ⋅v因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有：F = Mg即：Mg ⋅Δt = Δm ⋅v ，或者：Δt =m v Mg∆⋅ 对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：W =12Δmv 2所以发动机的功率：P =W t∆=21mv 2mv Mg ∆∆=12Mgv （2）研究过程的微元[例题1]如图所示，长为L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？ 解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过 程中，系统所受合外力为零，可知系统动量守恒。
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高中物理实用微积分问题：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少 分析：自由落体的运动公式是221gt s =（其中g 是重力加速度），当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。
从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ∆+∆=⨯-∆+=-∆+=∆从而t tsv∆+=∆∆=9.44.29. 从上式可以看出，t ∆越小，ts ∆∆越接近米/秒；当t ∆无限趋近于0时，t s ∆∆无限趋近于米/秒，此时我们说，当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限是.当t ∆趋向于0时，平均速度ts∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.1、极限极限的严格定义比较繁琐，此处从略。
通俗来说，如果当自变量x 无限趋近某一数值0x （记作0x x →）时，函数)(x f 的值无限趋近某一确定的数值A ，则A 叫做0x x →时函数)(x f 的极限值，记作A x f xx =→)(lim 0例如：∞=>-xx 1lim 0；nn x ∞→lim ，1≥x 时趋于无穷，10<<x 时等于0。
对于稍复杂的函数求极限，可把函数化成几部分的初等运算，先求每一部分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。
练习：x xx 432lim0++>- x x sin lim 0>- x x cos lim 0>- x x Sin x )(lim 0>- 20cos 1lim x x x ->-2、导数.某点的导数：对于函数y=f (x)，在点x 0附近，当x 发生变化△x 时，函数值有变化量△y=△f (x 0)，定义△y /△x 在△x →0时的值称为f (x)在x 0处的导数，记为：|lim )()(lim )('00000xx x x dxdyx y x x f x x f x f =→∆→∆=∆∆=∆-∆+=例：f (x)=x 2 在x=3处的导数x=3时，f (x)=9，当x=3+△x 时，f (3+△x)=( 3+△x)2，则△f (x)= (3+△x)2-9 故66lim 6lim 3)3(lim )3('020220=+∆=∆∆+∆=∆-∆+=→∆→∆→∆x xxx x x f x x x ）（.导函数：函数f (x)在其定义域内每一点的导数构成一个新的函数，这个函数称为f (x)的导函数，记为：dxdy x f y ==')(' 例如我们研究函数f (x)=x 2在其定义域内的任意一个点x ： 当x 有变化△x 时，△f(x)=(x+△x)2-x 2=2x △x+(△x)2由导数的定义：x x x xx x x x x x x x f x x x 22lim )(2lim )(lim )('020220=∆+=∆∆+∆=∆-∆+=→∆→∆→∆即f (x)=x 2 在任意一个点x 处的导数的值为2x,这个新的函数2x 即称为原函数f (x)=x 2的导函数，记为xx f 2)('=常见函数的导数：(A 为与x 无关的定值))(')()()('))'()(()(')('))'()((sin )'(cos cos )'(sin )'()())'((0'1x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f xx x x nx x x f A x Af A n n +=+=+-==='==-思考：?))]'(([?)')()((==x g f x g x f 练习：求导函数： 322x x + ,x cos 1, x tan , 2sin x , x 2sin , 22sin x , xxx sin cos 2+ .导数的意义：斜率：函数f (x)在x 0处的导数即为f (x)的图像在x 0处的切线的斜率变化率：xydx dy x f y x ∆∆==='→∆0lim )('即y 对x 的变化率。
位移x 的变化率即为速度：dt dxv =速度v 的变化率即为加速度：dt dv a =动量p=mv 的变化率即为合力：dt dp dt mv d F==)( 电流：dtdQI = 动能k E 对合力方向上位移x 的变化率即为合力：dxdE Fk=电势ϕ对电场方向距离x 的变化率即为场强：dx d E ϕ=例 ：已知简谐运动的函数t A S ωsin =，试分析其速度、加速度函数，并推导出简谐运动的周期公式利用导数判断函数单调性和极值判断单调性：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0>'y ，那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0<'y ，那么函数y=f(x) 为这个区间内的减函数。
确定极大值与极小值：0)(0='x f 是函数)(x f 在0x 处取极值的必要不充分条件。
那么在0)(0='x f 的前提下，0x 在什么情况下是函数的极值点呢如左图（下页）所示，若0x 是)(x f 的极大值点，因此，0x 的左侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f 。
0x 的右侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，同理，如右图所示，若0x 是极小值点，则在0x 的左侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，在0x 的右侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f ，从而我们得出结论：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则)(0x f3.积分原函数当物体沿Ox 坐标轴运动时，已知物体的位置坐标函数)(t x x=，可通过计算该函数对时间的导数求出物体运动的速度。
现提出一个相反的命题：若已知速度函数)(t v v=，怎样求该物体运动的坐标函数。
换句话说，已知某函数的导数，如何求这个函数若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的一个原函数。
例如x x =')2(2，则22x 为x的一个原函数；at v at tv +='+020)21(，则2021at t v +是at v +0的一个原函数；x x cos )(sin ='，故x sin 为x cos 的一个原函数。
可见，积分是求导的逆过程。
由于常数C 的导数为0，故C x F +)(也是)(x f 的原函数。
由此可见，只要)(x f 有一个原函数，它就有无穷多个原函数，彼此间只差一常数。
不定积分 函数)(x f 的所有原函数叫作)(x f 的不定积分，记作C x F dx x f +=⎰)()(，C 的值由初始条件确定。
例：某质点在一直线上运动，速度变化规律为v=3t 2+5，t=0时s=3,试求质点的第3秒末的加速度及位移。
解：由t v tvt a 6')(==∆∆==> )(t a |t=3=18 C t t dt t t s ++=+=⎰325)53)(（由s(t)|t=0=3 => 3=c => 353++=t t s s(t)|t=3=45定积分问题：已知t v 23+=，求s t 21=至s t 52=内的位移。
分析：若能求出位置坐标函数)(t x x =，则位移)(-)(12t x t x x =∆。
)(t x x =即t v 23+=的原函数。
解：C t t dtt x ++=+=⎰23)23（，故m x x x 30)2(-)5(==∆。
定积分：对函数)(x f 只在某一闭区间[]b a ，内积分，记作)()()()(a F b F x F dx x f b a ba-==⎰，其中)(x F 是)(x f 的原函数。
定积分的几何意义：函数f (x)的定积分对应的是f (x)的图像的面积 由于)()(x f dxx dF =，即dx x f x dF )()(=，在图像中，dx x f x dF )()(=的意义即为底为dx 、高为)(x f 的一小块面积，故定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
常用积分c Ax dx A +=⎰)1(11-≠++=+⎰n c n x dx x n nc x dx x +=⎰ln 1c x dx x +-=⎰cos sin c x dx x +=⎰sin cos解物理题时的用法：①．列出微分方程 ②．两边同时积分③．应用初值条件或是边界条件定解（或确定c 值） 例：求dx ax ⎰sin例：一根质量为m 、长为L 、质量分布均匀的直棒绕其中心轴转动，角速度为ω，求它的动能例：求一个绕中心匀速转动的圆盘的动能。
（圆盘质量分布均匀，质量为m ，半径为R ，角速度为ω） 换元积分法例：求)0(22>-⎰a dx x a解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元. ?设x=asint(-π/2<t<π/2)，那么t a x a cos 22=-，dx=acostdt,于是有：Cx a x a x a C t t a tdt a t a dx x a +-+=++=⋅=-⎰⎰22222221arcsin 2)42sin 2(cos cos 例：求dx x ⎰2sin dx ax ⎰2sindx x ⎰-21 求椭圆12222=+bya x 的面积初级微积分练习 求下列函数的极值x x y 273-= 323x x y -= 1323-+=x x y 3126x x y -+=求下列不定积分⎰+-dxx x )13(3⎰-dxx x )cos (sin⎰+dx b ax )sin(⎰xdx x cos sin 2⎰xdx 2cos ⎰dx xxln求下列定积分⎰πsin xdx ⎰-21)1dx x （⎰+e xx dx 1ln 1⎰4/6/2cos ππxdx⎰+2/02)sin 3(πdx x x用电阻率为ρ（常量）的金属制成一根长度为L 、底面半径分别为a 和b 的锥台形导体。