2013全国高中数学联赛贵州省初赛试题及答案
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
=
±
1 2
8.
247 256
.
ab
=
1 4
5
9
18 247
P
=
1−
29
=
. 256
9.
{an}
a1 = 2, an = 2(n + an−1), n = 2, 3, . . .
a1 = 2, a2 = 2(2 + 2) = 8 n 3
an − 2an−1 = 2n, an−1 − 2an−2 = 2(n − 1).
3 6
AB
=
√
3 6
,
P
M
=
√ MH2
+
PH2
=
√
1 12
+2
=
53 6
√ r = 2/6
r
OK
MH 1
√
=
2−r
PO
=∼ ∠KP O =
PM
=, 5
5.
[0, π)
sin 12x = x
4.
x>1
| sin 12x| 1 < x
[0, 1] 3π < 12 < 4π
sin 12x
3/2
2
4
√
6.
f (x)
盘的所有不同可能铺法的数目是 Tn ．下面的图是 n 3 时的两种不同的铺法：
a）求 T10 ；并且 b）求 T2013 的个位数．
2013
0
8
(B )
1. 3 4.
3c4 c = 3, 4 √
2. i = −1
34
c c2 > 43 − 33 > 22,
2013年贵州省高中学业水平测试数学试卷(二)(附答案解析)
①、根据平行于同一条直线的两直线平行知结论正确；
②、用长方体验证．如图，设 为 ，平面 为 ，平面 为 ，显然有 ， ，且得到 ，正确；
③、可设 为 ，平面 为 ， 为 ，满足选项 的条件但得不到 ，不正确；
④、可设 为 ，平面 为 ，平面 或平面 为 ，满足选项 的条件且得到 或 ⫋ ，正确；
4.函数 ＝ 的图象大致是（）
A. B.
C. D.
5.设 ＝ ，用二分法求方程 ＝ 在 内近似解的过程中得 ， ， ， ，则方程的根落在区间（）
A. B. C. D.
6.不等式 的解集是（）
A. B. C. D.
7.直线 平面 ，直线 直线 ，则直线 与平面 的位置关系是（）
A.平行B.在面内
C.相交D.平行或相交或在面内
A.向左平移 个单位B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位D.向右平移 个单位
17.已知 ，则 ＝（）
A. B. C. D.
18.已知直线 、 、 与平面 、 ，给出下列四个命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，则 或 ⫋ ．
其中假命题是（）
A.①B.②C.③D.④
其中假命题是③．
19.
【答案】
A
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知可得 ，将 ＝ 的解析式变形为 ＝ 的形式，利用基本不等式可得答案．
【解答】
，
∴
∴ ＝ ＝
即函数 ＝ 有最大值
20.
【答案】
C
【考点】
茎叶图
【解析】
由茎叶图，数据的稳定程度与茎叶图形状的关系，茎叶图中各组数据大部分集中在某个叶上，表示该组数据越稳定，根据数据可直接判断最高分的大小．
2013年全国高中数学联赛一试模拟卷(共7套)附详细解答
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .4.解:当1k =时，概率为16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为215()6⋅； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为3311(361)()10()66++⋅=⋅；当4k =时，611131122=+++=+++，概率为4411(46)()10()66+⋅=⋅；当5k =时， 611112=++++，概率为515()6⋅；当6k =时，概率为61()6；故523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+⋅+⋅+⋅+⋅+=⨯+=,即567,6n m ==,从而67log log 1m n -=.5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________.解: 解：用1x -代替原式中的x 得：222(35)2(3)6213f x x f x x x x -++++=-+解二元一次方程组得22(3)223f x x x x ++=++，所以：()23f x x =-，则(2011)4019f =．（分析得()f x 为一次多项式，可直接求()f x 解析式）7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是__________7. 解:不妨设AC ⊥OC ⊥BC ,∠ACB =α,∠AOC =∠BOC =θ,∠AOB =β. 因)CB OC ()CA OC (OB OA +⋅+=⋅=CB CA |OC |⋅+2即αθθβcos ||||cos ||cos ||cos ||||+⋅=， 两端除以|OB ||OA |并注意到CAOBθθ==sin , 即得αθθβcos sin cos cos 22+=,将β=450,θ=300代入得αcos 414322+=, 所以,322cos -=α.8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a c b a kabc++++≤++，求k 的最大值。
《全国高中数学联赛真题暨答案(2011-202
−−→ AF1
·
−−→ AF2
+
−−→ BF1
·
−−→ BF2
=
0,
则
|AB| |F1F2|
的值为
．
3.
设a
>
0，函数 f (x)
=
x+
100 x
在区间 (0, a] 上的最小值为 m1，在区间 [a, +∞) 上的
最小值为 m2，若 m1m2 = 2020，则 a 的值为 .
4.
设z
为复数，若
z−2 z−i
为实数（i 为虚数单位），则 |z + 3| 的最小值为
.
5. 在 △ABC 中，AB = 6，BC = 4，边 AC 上的中线长为 √10，则 sin6 A + P − ABC 的所有棱长均为 1，L, M, N 分别为棱 P A, P B, P C 的中点，则该 正三棱锥的外接球被平面 LM N 所截的截面面积为 ．
2011 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2020 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2020 年全国高中数学联赛二试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2019 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2019 年全国高中数学联赛一试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2016 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2016 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2015 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2015 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2014 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2014 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2013 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2013 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 2012 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2012 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 2011 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 2011 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
2013年全国高中数学联赛试题及其解答
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素 的和为 。 解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值 为 。 解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为 。 解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。
2013全国高中数学联赛贵州省初赛试题及答案
令 g ( x)
2 2013 x sin 2013 x x 2 2013
g ( x) 为奇函数，由奇函数的性质知 g ( x) max g ( x) min 0
M m 2
9． 已知 f ( x) ax bx c (0<2a <b), x R, f ( x)≥0 恒成立， 则
．
AO AC AO AB | AC | | AO | cos AO, AC | AB | | AO | cos AO, AB 1 1 | AC | | AC | | AB | | AB | 2 2 1 (| AC |2 | AB |2 ) 14 2 2 2 ，AB 3 2 ，AD 3 ， 3
( y1 2)( y2 2) 0 或 ( y1 2)( y2 2) 16 0
n 2m 1 或 n 2m 5
0 ，所以 n 2m 5 ，即直线 PQ 的方程为 x 5 m( y 2)
直线 PQ 过定点 (5, 2)
5．已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，已知 S10 0 ， S15 25 ，则 nS n 的最小值为
h r
．
解：由 S10 0 ， S15 25 得 a1 3 ， d
2 3
1 10 1 10 S n n 2 n ，则 nS n n3 n 2 3 3 3 3 1 3 10 2 20 令 f ( n) n n ， n N * ，则 f ' (n) n 2 n 3 3 3 20 ' 由 f ( n) 0 得 n 0 或 n 3
2013年贵州高考数学试卷及答案(解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）数学（理科）解析德江一中高三年级组：杨正稳 2013-6-15第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{|(1)4,}M x x x R =-<∈，{1,0,1,2,3}N =-，则M N =（ ）（A ）{0,1,2} （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2,3}- （D ）{0,1,2,3}【命题意图】本题主要考查集合的运算，属于基本题，考查学生的基本能力。
【解析】{}2{|(1)4,}13M x x x R x x =-<∈=-<<， {}0,1,2M N ∴⋂=，故选A2、设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i -【命题意图】本题主要考查复数的基本预案算，属于基本能力题。
【解析】2(1)1(1)(1)i i z i i i +==-+-+，故选A 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- 【命题意图】本题考查等比数例的基本知识，包括等比数列的前n 项和及通项公式。
【解析】由题意知1q ≠，则31311(1)101a q S a q a q-==+-，得29q =，又4519a a q ==，则119a =，故选C 4、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【命题意图】本题涉及直线和平面的基本知识，意在考查学生的空间想象能力、分析思考能力，难度为易。
2013年全国高中数学联赛A卷一试真题+答案 Word版可编辑
2013年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,.则集合B 中所有元素的和为__________.2. 在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则=⋅∆∆OFB OFA S S __________.3. 在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin =，C B A cos cos 10cos =，则A tan 的值为__________.4. 已知正三棱锥ABC P -底面边长为1，高为2，则其内切球半径为 .5. 设b a ,为实数，函数()b ax x f +=满足：对任意[]1,0∈x ，有()1≤x f .则ab 的最大值为________.6. 从20,,2,1 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.7. 若实数y x ,满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是__________.8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1 ∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列个数为__________.二、解答题9. 给定正整数列{}n x 满足 ,3,2,21=≥-n S S n n ，这里n n x x x S +++= 21.证明：存在常数0>C ，使得 ,2,1,2=⋅≥n C x nn .10. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为12222=+by a x ()0>>b a ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q 、R 满足11PA QA ⊥，22PA QA ⊥，11PF RF ⊥，22PF RF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11. 求所有的正实数对()b a ,，使得函数()b ax x f +=2满足：对任意实数y x ,，有()()()()y f x f y x f xy f ≥++.答案：1、5- 代元素检验，2-、3-满足条件，故和为5-；2、2 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,4y y B ，故0416212221=++y y y y ，821-=y y ，()0,1F ，24222121==⋅=⋅∆∆y y y OF y OF S S OFB OFA ；3、11 ()10sin 10cos sin sin cos cos cos cos AA CBC B C B A +-=+-=+-=，所以A A cos 11sin =， 11cos sin tan ==AAA ； 4、62 Sr V 31=，其中r 为内切球半径，S 为表面积，根据数据可算出， 12624331=⨯⨯=V ，()32363212134322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯+=S ，故62=r ； 5、41 一次函数区间端点取最值，故⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤11b a b ，由于121222≤++⇒≤+ab b a b a ，且ab b a 222≥+，故4114≤⇒≤ab ab ，取“=”时，21==b a ； 6、323232 20个数选5个共有520C 种情况，5个数全不相邻共有516C 种情况（插空法），故至少有两个 相邻的概率为3232321520516=-C C ；7、{}[]20,40 由题意0≥≥y x ，令0≥-=y x m ，0≥=y n ，故22n m x +=，等式可化为m n n m 2422=-+，即()()52122=-+-n m ，故n m ,为圆上的点，且0≥m ，0≥n ，再根据几何意义，x 为满足等式的点()n m ,到坐标原点的距离的平方，算出∈x {}[]20,40 ；8、491 由于119892312==⨯⨯⨯a a a a a a a a ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+21,1,21i i a a ，故每一个比值在选取数值时，选21-的 比值个数为偶数，结合8个比值成绩为1，可知选21-的个数与选2的个数必相同，故整体分为 3类：①全选1，1种选法；②2个21-，2个2，4个1，4202628=⨯C C 种； ③4个21-，4个2，7048=C 种；综上，共有491704201=++种选法，故由491个数列；9、证明：2≥n 时，12-≥n n S S 等价于121-+++≥n n x x x x ， 下面我们对常数141x C =用数学归纳法证明n n C x 2⋅≥； 当1=n 时，24111⨯≥x x 显然成立；2=n 时，2x 211241⨯=≥x x 也成立； 当3≥=k n 时，假设kk C x 2⋅≥成立，有121-+++≥n n x x x x 可得k k x x x x +++≥+ 211()k C C C x 222321⋅++⋅+⋅+≥ ()k C 2222322++++= 12+⋅=k C 成立，故由数学归纳法可得nn C x 2⋅≥成立.10、证明：令22b a c -=，则()0,1a A -，()0,2a A ，()0,1c F -，()0,2c F .设()00,y x P ，()11,y x Q ，()22,y x R ，其中()010220220≠=+y by a x ，由11PA QA ⊥，22PA QA ⊥可知，()()0010111=+++=⋅y y a x a x P A Q A ，()()0010122=+--=⋅y y a x a x P A Q A ，两式相减可得()0201=+x x a ，即01x x -=，反代可解得02201y a x y -=，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02200,y a x x Q ； 同理可解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02200,y c x x R ，故02y b QR =，由于(]b y ,00∈，所以b QR ≥. 11、解：由题意，0>a ，0>b ，()()()()b ay b ax b y x a b xy a ++≥++++2222；①取0=x ，不等式化为()()0222≥-+-b b y ab a 恒成立，故100202≤<⇒⎩⎨⎧≥-≥-b b b ab a ； ②取x y -=，不等式化为()()0222242≥-+--b b aby yaa 恒成立，故1002<<⇒>-a a a ，此时，仍需满足()0222222222≥-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---b b a a b a a a ab y a a 恒成立，故022222≥-+--b b a a b a ， 化简得022≤-+b a ；综上，不等式成立可推出022,10,10≤-+<<≤<b a a b ；同时，由不等式可得()()()()()()()()()22222222222bb axy y xab a xy aa bay b ax b y x a b xy a -+++-+-=++-++++，其中xy y x 222≥+，在推出条件下，可得 故(){}22,10,10,≤+≤<<<b a b a b a . ()()()()()()()()()()()02211222222222222≥---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-++-+-≥++-++++b a a b a b xy a a b b axy xy ab a xy a a bay b ax b y x a b xy a。
贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷理科数学参考答案
贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷理科数学参考答案贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷理科数学参考答案一、选择题．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项C D C B A C D A A B C A 二、填空题．13、80 14、40- 15、21n n + 16、[0,2]三、解答题．17、解：（I ）由//a b 得22cos 3cos 0x x y +-= ············· 2' 即22cos23cos cos 23212sin(2)16y x x x x x π=+=+=++所以()2sin(2)16f x x π=++ ， ·································· 4' 又222T πππω=== 所以函数()f x 的最小正周期为.π ······················· 6' （II ）由（I ）易得3M = ································ 7'于是由()3,2A f M ==即2sin()13sin()166A A ππ++=⇒+=， 因为A 为三角形的内角，故3A π= ······················ 9'由余弦定理2222cos a b c bc A=+-得2242bc bc bc bc bc=+-≥-= ···· 11'解得4bc ≤于是当且仅当2b c ==时，bc 的最大值为4． ········· 12'18、解：（I ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ， 则2222423321213()66C C C C P A C +++== ···································· 6'（II ）ξ的所有可能取值为0,1,2 ························ 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2P 1433 1633 333····························································· 10'∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= ··································· 12' 19、解：【法一】（I ）证明：如图，取PC 的中点O ，连接,OF OE ．由已知得//OF DC 且12OF DC =， 又E是AB 的中点，则//OF AE 且OF AE =，AEOF∴是平行四边形，······························ 4'∴//AF OE又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PECExyzD FBA//AF ∴平面PEC ······································· 6' （II ）如图，作AM CE ⊥交CE 的延长线于M .连接PM ，由三垂线定理得PM CE ⊥，PMA∠∴是二面角P EC D --的平面角．即oPMA 45=∠∴ ····· 9' 11PA AM =⇒=，设AE x =，由AME CBE ∆≅∆可得2(2)1x x =-+⇒54x =故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o，只需54AE = ····························································· 12'【法二】（I ）由已知，,,AB AD AP 两两垂直，分别以它们所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，11(0,,)22F ，则11(0,,)22AF = ························ 2' (1,0,0)E ，(2,1,0)C ，(0,0,1)P ，设平面PEC的法向量为(,,)m x y z =则0000m EC x y x z m EP ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，令1x =得(1,1,1)m =-………………………………………4'由11(0,,)(1,1,1)022AF m =-=，得AF m ⊥ 又AF ⊄平面PEC ，故//AF 平面PEC ······················· 6'（II ）由已知可得平面DEC 的一个法向量为(0,0,1)AP =，设(,0,0)E t =，设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z = 则0(2)000m EC t x y tx z m EP ⎧=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，令1x =得(1,2,)m t t =- ············ 10'由5cos 45||4||||oAP n t AP n =⇒=⨯，故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o，只需54AE = ····························································· 12' 20、（I ）依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．由222212,32c a c ba c c a =⇒==-=∵ 椭圆经过点3(1,)2，则22191412cc +=，解得21c=∴ 椭圆的方程为22143x y += ······························· 4'（II ）联立方程组222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y整理得22(43)1640k x kx +-+= ··········································· 5'∵ 直线与椭圆有两个交点，∴22(16)16(43)0k k ∆=--+>，解得214k>① ················ 6'∵ 原点O 在以MN 为直径的圆外， ∴MON ∠为锐角，即0OM ON ⋅>．而M 、N 分别在OA 、OB 上且异于O 点，即0OA OB ⋅> ·· 8'设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+21212(1)2()4k x x k x x =+-++222416(1)2404343kk k k k ==+-+>++ 解得243k<， ② ····· 11'综合①②可知：231123,22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·················· 12'21、解：（Ⅰ）由2(1)(ln )ln ()()1(1)bx a b x a b x xf x f x x x +-++=⇒'=++而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ，又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=- 故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212b a a b a ······································ 6'（Ⅱ）由（Ⅰ）得)0(1ln 2)(>+-=x x xx f 由x m x f <)(及m x x x x x <+-⇒>1ln 20 令22/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=x xx x x x x x x x g x x x x x g 令1()1ln ()10(0)h x x x h x x x =--⇒'=--<>，故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数，故当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，当1>x 时，0)1()(=<h x h从而当10<<x 时，()0g x '>，当1>x 时，0)(/<x g)(x g ⇒在)1,0(是增函数，在),1(+∞是减函数，故1)1()(max==g x g 要使m x xx x <+-1ln 2成立，只需1>m 故m 的取值范围是),1(+∞ ································· 12' 22、解：（I ）∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ， 又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC . · 5'（II ）设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝APPC ，∴9＋x y ＝62②由①、②解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝4(∵x >0，y >0)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12. ····················································· 10'23、解：（I ）由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得x 2＋y 2＝1， ··············· 2' 又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，即2213()(122x y -++= ··········· 5'（II ）圆心距2213(0)(0)1222d =-++=<，得两圆相交 ··· 7'由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得，A (1,0)，B 13(,22--， · 9'∴ 2213||(1+)+(0+)=322AB =································· 10'24、解：（I ）函数()f x 可化为3,2()21,213,2x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩············································ 3'其图象如下：y=f(x)1xO 1······································· 5'（II ）关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解等价于()max()+4|12|f x m ≥- ············································· 6' 由（I ）可知max()3f x =，（也可由()()()|2||1|21|3,f x x x x x =+--≤+--=得max()3f x =） ··············································· 8'于是 |12|7m -≤，解得 [3,4]m ∈- ············································ 10'。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(贵州卷)文科WORD版答案
2018年普通高等学校招生考试练习卷（二）数 学 (文科)一、选择题：1、设全集U,若{}0)2(<-=x x x A ，{})1ln(-==x y x B ，则B A CU⋂=（ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}---） （A（B ）2 （C（D ）13、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- ）5-（D ）3- 4、在ABC ∆中，已知，则ABC ∆的面积为（ ）（A（B（C （D 5、设椭左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B （C（D 6（A B 7（A（C 8、设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a c b >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的所有棱中，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）。
A. C. 4 二、填空题：10.已知向量b a ,满足||1,(1,a b ==，且()+⊥，则与的夹角为____ 11.求x x f e xsin 2)(=在（0，f(0）)处的切线方程12.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且点()1,(*)n n a a n N +∈均在直线2y x =上， 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为7,70n S S =，且126,,a a a 成等比数列 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） 设324n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。
2013全国高中数学联赛
2013全国高中数学联赛简介2013全国高中数学联赛是中国教育部主办的一项重要赛事，旨在通过竞赛活动提高学生的数学水平，激发对数学的兴趣，培养数学创新能力。
本文将对该数学联赛的举办情况、竞赛内容、参赛学生表现等进行详细介绍。
赛事背景数学是一门重要的基础学科，对于学生的综合素质培养至关重要。
为了鼓励学生在数学学科上的深入研究和创新，教育部于2013年举办了全国高中数学联赛。
该赛事由教育部主办，各地教育局协办，并得到了广大中小学和家长的积极支持。
比赛形式2013全国高中数学联赛分为初赛和决赛两个阶段。
初赛由各地教育局组织，并在学校内进行。
初赛采用笔试形式，测试学生的数学基础知识、思维能力和解题能力。
初赛结束后，根据成绩情况选拔出优秀的学生参加决赛。
决赛是在全国范围内统一组织的，参赛学生齐聚一地进行综合能力的比拼。
决赛主要包括选择题、填空题、解答题等内容，考察学生的数学理论知识和解题能力。
决赛时间一般为两天，第一天进行理论题的考试，第二天进行实际问题的解答。
竞赛内容2013全国高中数学联赛的竞赛内容主要围绕高中数学课程内容展开，包括代数、几何、概率与统计、数学思维等多个方面。
题目的难度根据年级进行分级，确保学生能够适应并展示自己的数学水平。
竞赛内容的选择既突出数学基础知识的掌握，又注重学生对数学的理解和应用能力。
同时，还加入了一些创新题目，通过创新性的解题过程考察学生的数学思维和创造力。
参赛学生表现2013全国高中数学联赛共有数千名学生参加初赛，经过激烈的角逐，只有少数学生能晋级参加决赛。
参赛学生的整体表现都非常出色，他们在数学基础知识、解题能力和思维方法上都有较高水平。
决赛阶段，学生们展现出了扎实的数学知识，快速的解题能力和创新的思维方式。
在实际问题解答环节中，他们能够结合数学理论知识，灵活运用所学的方法解决复杂的问题。
总结2013全国高中数学联赛为广大学生提供了一个展示自己数学才华的舞台，促进了学生对数学的学习和研究，同时也激发了学生对数学的兴趣和热爱。
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2013全国高中数学联赛贵州省初赛试题本卷考试时间：150分钟 满分：150分一、填空题：本大题共10小题，每小题8分，共80分．1．已知集合23{|log log }A x x x =<，2{|}B x x ax a x =-+<，且A B ⊆，则实数a 的取值范围 ．解：集合{|01}A x x =<<，且满足A B ⊆，则知{|1}B x a x =<<，故0a ≤． 2．已知O 是ABC ∆的外接圆，8AC =，6AB =，则AO BC = ．解：()AO BC AO AC AB =-AO AC AO AB =-||||cos ,||||cos ,AC AO AO AC AB AO AO AB =⋅<>-⋅<> 11||||||||22AC AC AB AB =⋅-⋅ 221(||||)142AC AB =-=3．如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，22sin BAC ∠=，32AB =，3AD =，则BD 的长等于 ．解：因为22sin 3BAC ∠=，且AD AC ⊥，所以22sin()23BAD π+∠= 所以22cos 3BAD ∠=在ABC ∆中，由余弦定理得222cos 3BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=4．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ．解：设球半径为R ，其内接圆锥的底半径为r ，高为h ，作轴截面，则2(2)r h R h =-．222331484(2)(42)()33663273V r h h R h h R h R ππππππ==-=-=⋅锥≤． ∴ 所求比为8:27．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为 ．rh解：由100S =，1525S =得13a =-，23d =211033n S n n ∴=-，则3211033n nS n n =-令32110()33f n n n =-，*n N ∈，则'220()3f n n n =-由'()0f n =得0n =或203n =所以()f n 在[1,6]上递增，[7,)+∞上递减 而(6)48f =-，(7)49f =-，故最小值为49-．6．定义函数N ϕ（）表示1,2,,N 中与N 互质的数的个数，称此函数为欧拉函数，则(2013)ϕ= ．解：201331161=⨯⨯，由欧拉函数性质知111(2013)2013(1)(1)(1)120031161ϕ=⨯-⨯-⨯-=7．已知ABC 是边长为2013正三角形，11,33BD BC CE CA ==,AD BE P =,M 是线段DC 的中点，则PM = .解：易证ABD ≌ACE ,所以60APE BAD ABP BAD CBE ∠=∠+∠=∠+∠=,又60ECD ∠=,所以P 、D 、C 、E 四点共圆，所以DPC DEC ∠=∠. 连接DE ，由60ECD ∠=及12CE CD =得DE CE ⊥. 所以CP DP ⊥,即DPC 是直角三角形. 因为M 是斜边DC 的中点，所以1112013671233PM DC BC ===⨯=.8．设函数22(sin 2013()2013x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．解：2222013sin 2013sin 2013()120132013x x xf x x x ++++==+++，令()g x =()g x ∴为奇函数，由奇函数的性质知max min ()()0g x g x +=2M m ∴+=9．已知2() (0<2<),f x ax bx c a b =++,()0x R f x ∀∈≥恒成立，则(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．解：由,()0x R f x ∀∈≥恒成立，得240b ac =-≤，又0a >，所以24b c a≥所以(1)(0)(1)()f a b c a b cf f c a b c b a++++==----+-24b a b a b a ++-≥ =22141b b a a b a++-. 令b t a =，则(1)(0)(1)f f f --21141t t t ++=-(2t >) 再令1s t =-，则(1)(0)(1)f f f --2139424s s s++==93442s s ++(1s >)33323242=⋅+=≥ 此时944s s=且1s >，即3s =. 10．已知函数32()31f x x x =-+，221()1,0()2(3)1,0x x g x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪-++⎩≤，则方程[()]0g f x a -=（a 为正常数）的实根最多有_____________个．解：方程[()]0g f x a -=的实根个数转化为函数[()]y g f x =与函数y a =的交点个数问题①当(0,1)a ∈时，函数y a =与()y g x =有两个交点14x =-和22x =-，而此时方程()2f x =-和()4f x =-的实根分别有3个和1个，共4个；②当1a =时，函数y a =与()y g x =有两个交点13x =-和212x =，而此时方程()3f x =-和1()2f x =的实根分别有2个和3个，共5个；③当5(1,)4a ∈时，函数y a =与()y g x =有两个交点11(0,)2x ∈和21(,1)2x ∈，而此时方程1()f x x =和2()f x x =的实根分别有3个和3个，共6个；④当5[,)4a ∈+∞时，函数y a =与()y g x =有一个交点1(1,)x ∈+∞，而此时方程1()f x x =的实根有1个； 综上，方程[()]0g f x a -=（a 为正常数）的实根最多有6个．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．本大题共4小题，共70分．11．（本小题满分15分）已知数列{}n a 中：11a =，且112n n n n a a a a ++⋅=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：122n a a a +++<．解：（Ⅰ）由112n n n n a a a a ++⋅=+得1121n na a +=+ ……………………………………………………2分 111(1)2(1)n na a +∴+=+ …………………………………………………………………4分 所以数列1{1}na +是一个以2为首项，2为公比的等比数列 111222n n n a -+=⨯=，即121n n a =- ……………………………………………………………7分 （Ⅱ）当1n >时，1212nn -->成立所以11111()2122n n n --<=- ……………………………………………………………10分 21121111()()222n n a a a -∴+++<++++11()122[1()]21212nn -==-<- 故122n a a a +++<． ……………………………………………………………15分12．（本小题满分15分）已知1a ，2a ，…，n a 是n 个正数，满足121n a a a ⋅⋅⋅=．求证：12(2)(2)(2)3n n a a a +++≥．证明：∵ 2+a i =1+1+a i ≥33a i ，(i=1，2，…，n ) …………………………………………………5分∴ (2+a 1)(2+a 2)…(2+a n )=(1+1+a 1)(1+1+a 2)…(1+1+a n )≥33a 1∙33a 2∙…∙33a n ≥3n 3a 1a 2…a n =3n ．…………………………………15分13．（本小题满分20分）如图，已知抛物线C ：24y x =，过点(1,2)A 作抛物线C 的弦AP ，Q A ． （Ⅰ）若Q AP A ⊥，证明：直线Q P 过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）假设直线Q P 过点(5,2)T -，请问是否存在以Q P 为底边的等腰三角形Q AP ？若存在，求出Q AP ∆的个数，若不存在请说明理由．解：（Ⅰ）设Q P 的直线方程为x my n =+，点P 、Q 的坐标分别为P 11(,)x y 、Q 22(,)x y 由24x my ny x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --= …………………………………………………2分由0∆>得20m n +>，124y y m +=，124y y n ⋅=-由Q AP A ⊥得Q 0AP A =1212(1)(1)(2)(2)0x x y y ∴--+--= ………………………………………………5分又2114y x =，2224y x =，则1212(2)(2)[(2)(2)16]0y y y y --+++=12(2)(2)0y y ∴--=或12(2)(2)160y y +++= ………………………………………………8分21n m ∴=-+或25n m =+0∆>，所以25n m =+，即直线Q P 的方程为5(2)x m y -=+∴直线Q P 过定点(5,2)- …………………………………………………………………10分（Ⅱ）假设存在以Q P 为底边的等腰三角形Q AP ，由于直线Q P 过定点(5,2)T -25n m ∴=+，直线Q P 的方程为25x my m =++设点P 、Q 的坐标分别为P 11(,)x y 、Q 22(,)x y由2254x my m y x=++⎧⎨=⎩得248200y my m ---= ……………………………………………………13分 124y y m ∴+=，12820y y m ⋅=--Q P 的中点为1212(,)22x x y y ++，即221212(,)82y y y y ++ 又221212()22258y y y y m m +-=++ ∴Q P 的中点为2(225,2)m m m ++ ……………………………………………………16分由已知得2222251m m m m -=-++-，即32310m m m ++-= 设32()31g m m m m =++-，则'2()3230g m m m =++>()g m ∴在R 上是增函数又(0)10g =-<，(1)40g =>()g m ∴在(0,1)内有一个零点，即函数()g m 在R 上只有一个零点所以方程32310m m m ++-=在R 上只有一个实根故满足条件的等腰三角形有且只有一个． ……………………………………………………20分 14．（本小题满分20分）求正整数12,,,n k k k 和n ，使得1254n k k k n +++=+，且121111nk k k +++=. 解：由0(1,2,,)i k i n >=，则 21212111()().n nk k k n k k k ++++++≥ ①所以，254n n +≥,解得14n ≤≤. ………………………………………………5分 由式①等号成立条件知，当=1n 或=4n 时，所有的(1,2,,)i k i n =均相等.(1)当=1n 时，11k=，即=1k . (2) 当=4n 时，123416,k k k k +++=且123411111.k k k k +++= 解得1234 4.k k k k ==== ………………………………………………………………10分(3) 当=2n 时，126k k +=，且12111,k k += 此二式相乘得21124.k k k k += 则21k k 为无理数，矛盾.无解. ………………………………………………………………15分 (4) 当=3n 时，12311,k k k ++=且1231111.k k k ++= 不妨设123k k k ≤≤，则123111131.k k k k =++≤解得1 3.k ≤ 若1=2k 时，则231112k k +=，239,k k +=得23=36k k ，=； 若1=3k 时，则由123k k k ≤≤，23=33k k ，=，与12311k k k ++=矛盾. 综上，当=1n 时，=1k ；当=4n 时，12344k k k k ====；当=3n 时，123,,2,3,6k k k （）=（）及其循环解. ………………………………………………15分。