奥数6简便运算(四)分数运算技巧之拆分法代数法
六年级奥数 分数的速算与巧算
第一讲 分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级数学奥数分数的速算与巧算
【举一反三】 计算：（ 7） 2012 2013 - 1 2012 2011 2013
（ 8） 1988 1989 1987 1988 1989 1
例 4. 计算： （ 1） 128128 × 161616 323232 256256
（ 2） 2007 20072007 2007200720 07 2005 20052005 2005200520 05
9
9
1
算。（ 2）把题中的 166 分成 41 的倍数与另一个较小的数相加的形式，
20
再利用除法的运算性质使计算简便。
（1） 56 8 ÷ 8＝（ 56+ 8 ）÷ 8＝（ 56+ 8 ）× 1 ＝ 56× 1 + 8 × 1 ＝ 7+ 1 ＝ 7 1
9
9
98
89 8 9 9
1
（2） 166 ÷41 = (164 +
41 ) ×
1
= 164 ×
1 + 41 ×
1
=4
1
20
20 41
41 20 41 20
【举一反三】
计算：（1） 64 8 ÷ 8 17
5
（2） 145 ÷12
7
2
（ 3） 54 ÷17
5
1
（4） 170 ÷ 13
12
例 2.
计算： 2004
2004 2004
1
2005 2006
分析与解： 数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母
（2）错位相减法： 根据算式的特点， 将原算式扩大一个整数倍 （ 0 除外）， 用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。
奥数解方程的快速方法
奥数解方程的快速方法解方程是数学中一项重要且常见的技能，而在奥数竞赛中，解方程的速度和准确性更是被高度重视。
本文将介绍几种常用的奥数解方程的快速方法，帮助你在竞赛中更好地应对各类方程题。
一、等式两边取相反数法当方程中有一个未知数的系数为1时，我们可以利用等式两边取相反数的方法，快速求解方程。
例如，对于方程 x + 3 = 7，我们可将方程改写为 x = -3 + 7，然后得出答案 x = 4。
这种方法适用于线性方程中系数为1的情况，非常简便实用。
二、等式两边除法法当方程中有一个未知数的系数为1时，我们可以利用等式两边除法的方法，快速求解方程。
例如，对于方程 3x = 9，我们可将方程改写为 x = 9 ÷ 3，然后得出答案 x = 3。
这种方法同样适用于线性方程中系数为1的情况，简单易行。
三、质因数分解法对于一些特殊形式的方程，可以利用质因数分解的方法，以快速求出方程的解。
例如，对于方程 x^2 - 5x + 6 = 0，可以对方程进行质因数分解，得到 (x - 2)(x - 3) = 0。
由此可得 x = 2 或 x = 3，得出方程的解。
质因数分解法在解二次方程或一些特殊形式的高次方程时非常有用，能够有效地缩小解的范围，提高解方程的速度。
四、代数运算法利用代数运算的性质也能够帮助我们快速解方程，特别是在对称方程的求解中，这种方法更加有效。
例如，对于方程 x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为 (x - 2)^2 = 0，此时可以直接得出 x = 2。
通过对方程进行代数运算，快速求解方程的答案。
总结起来，奥数解方程的快速方法包括等式两边取相反数法、等式两边除法法、质因数分解法和代数运算法等。
在解题过程中，根据方程的特点选择合适的方法，能够大大提高解方程的速度和准确性。
掌握了这些奥数解方程的快速方法，相信你将能在奥数竞赛中更加得心应手地解答方程题，提升自己的竞技水平。
希望本文对你有所帮助，祝你在奥数竞赛中取得优异成绩！。
好学又好记：分数拆分法，一口诀搞定，既快且正确
好学又好记：分数拆分法，一口诀搞定，既快且正确
大家好，这里是汪老师家教现场，今天为大家分享的是好学又好记：分数拆分法，一口诀搞定，既快且正确，喜欢的小伙伴就请点赞加关注。
只要看过五年级下册课本的朋友都知道，分数拆分是五年级数学难点之一，很多孩子看到就害怕，我想说的是分数拆分法，一口诀搞定，好学好记，既快又正确，下面用具体的例子来讲解一下我所总结的分数拆分的具体步骤，在文章的最后，我将用自编的口诀来解决类似不同的题目，下面请看题：
第一步：找出分母12的因数,（1,2,3,4,6,12）。
第二步：把因数进行分组，根据题目而定，有几个分数相加分成几组，本题是三个分数相加，分为三组，（1,2,3），（2,3,4）（3,4,6）等等，这里就不一一列举了。
第三步：这里我随便选一组（3,4,6），分子分母同时乘3+4+6得：
第四步：拆开分数。
第五步：约分，把该分数化成最简分数。
最后，我将以上步骤编成可以记忆的口诀：
一找因数二分组，
三扩四拆五约分。
下面我用自编口诀，来拆解下面一道题：
一找因数：18的因数有（1,2,3,6,9,18）
二分组：任选其一即可，这里选（1,2,3）
三扩：
四拆：
五约分：
你学会了没有？喜欢的小伙伴请点赞关注转发，数学有方法，关注汪老师家教现场，体验不一样的数学思维，让我们共同进步，加油！。
分数简便运算技巧
分数简便运算技巧1.分数化简在分数运算中，经常需要将分数化简为最简形式。
化简分数的关键是找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
例如，化简分数4/8：首先，找到4和8的最大公约数是4、然后，将4/8除以4得到1/2、所以，4/8可以化简为1/22.分数的相加和相减分数的相加和相减是常见的运算。
当分数相加或相减时，需要先找到它们的最小公倍数，然后利用最小公倍数将分数的分母统一、例如，计算3/4+2/3：首先，找到4和3的最小公倍数是12、然后，根据最小公倍数将分数的分母统一：3/4可以改写为9/12，2/3可以改写为8/12、最后，将9/12和8/12相加得到17/123.分数的乘法和除法分数的乘法和除法也是常见的运算。
当分数相乘时，直接将分子和分母相乘即可。
例如，计算2/3*5/8：将分子相乘得到2*5=10，将分母相乘得到3*8=24、所以，2/3*5/8=10/24、然后，可以将10/24化简为5/12当分数相除时，需要将除法转化为乘法，即将第二个分数取倒数，然后再进行乘法运算。
例如，计算2/3÷5/8：将除数取倒数得到8/5，然后将分子和分母相乘得到2*8=16，3*5=15、所以，2/3÷5/8=16/154.分数的整数部分和真分数部分当一个分数大于1时，可以将其分解为整数部分和真分数部分。
例如，分解分数7/4：首先，整数部分为7除以4的商，即1、然后，真分数部分为余数除以4得到的分数，即3/4、所以，7/4可以分解为1和3/45.分数的比较当需要比较两个分数的大小时，可以将它们的分子和分母进行比较。
如果两个分数的分子相等，则比较分母的大小。
如果两个分数的分子不等，则可以将两个分数的分母相乘，然后比较乘积的大小。
例如，比较3/4和2/3的大小：首先，将分母相乘得到4*3=12，3*2=6、然后，比较12和6的大小，可以发现12大于6、所以，3/4大于2/3。
六年级奥数-简便计算
六年级奥数-简便计算 work Information Technology Company.2020YEAR简便计算——简便计算（一）【知识点拨】1.简便计算是一种特殊的计算，就是灵活、正确、合理地运用各种性质、定律，使复杂的计算变得简单，从而大幅度地提高计算速度与正确率。
2.运算定律和性质（1）加法交换律： a+b=b+a（2）加法结合律： (a+b)+c= a+(b+c)（3）乘法交换律： a×b=b×a（4）乘法结合律： (a×b)×c= a×(b×c)（5）乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c(a-b)×c=a×c-b×c(a+b+c)×d=a×d+b×d+c×d(a+b-c)×d=a×d+b×d-c×d(6)减法性质： a-b-c= a-(b+c) a-（b+c）= a-b-c（7）除法性质： a÷b÷c= a÷(b×c) （b、c不能为0）（8）分数的性质：（9）添去括号法则：括号前是“+”，添、去括号不变号括号前是“-”，添、去括号要变号（10）数字前面符号搬家：在只有加减法运算中，可带数字前面符号搬家，如：a+b-c= a-c+b在只有乘、除法运算中，可带着数字前面符号搬家。
如：a×b÷c= a÷c×b（c 不为0）【典型例题】例1. 4.75-9.63+（8.25-1.37）【解析】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质，使运算过程简便。
所以：原式=4.75+8.25-9.63-1.37=13-（9.63+1.37）=13-11=2例2.399998+39998+3998+398【解析】先凑成整数再减去相差的数，凑整调整后一定要与原数保持相等，所以：原式=（400000-2）+（40000-2）+（4000-2）+（400-2）=444400-8=444392【练一练】1、6.73-2+（3.27-1）2、 99【典型例题】例3. 2.5【解析】熟记25并且在做简便计算时要灵活运用小数的性质，所以：原式=2.5=10=100例4. 98【解析】利用乘法分配率，先凑成整数再加上相差的数，把101拆成100加1，凑整调整后一定要与原数保持相等，所以：原式=98×(100+1)=98×100+98×1=9800+98=9898例5.【解析】上题是分数与整数相乘，仔细观察数字间特点，（1）中的与1只相差，如果把写成（1-）的形式与37相乘，再运用乘法的分配率就能简化运算了，所以：原式=（1- ）=37-=37-=【练一练】3、(13×125)×(3×8)4、198×10015、【典型例题】例6.【解析】同例5一样，本题中的27可以写成（26+1）。
带你了解分数的简便计算方法
带你了解分数的简便计算方法分数是数学中常见的一种表示形式，可以用来表示部分与整体之间的比例关系。
然而，对于一些人来说，分数计算可能会感到困惑和复杂。
本文将引导你了解一些简便的分数计算方法，帮助你更轻松地处理分数问题。
一、分数的基本概念在学习分数计算之前，首先需要了解几个基本概念。
分数由分子和分母组成，分子表示部分的数量，分母表示整体的数量。
例如，对于分数1/2，1是分子，2是分母。
二、分数的加法分数的加法是我们常见的计算方法之一。
当我们需要将两个分数相加时，首先要确保分母相同。
如果分母不同，需要找到它们的最小公倍数，然后将分子同时乘以相应的倍数，使得两个分数的分母相同。
接下来，我们只需要将分子相加，分母保持不变即可。
例如，计算1/3 + 1/4，找到它们的最小公倍数为12，分别乘以3和4得到3/12和4/12，于是我们得到3/12 + 4/12 = 7/12。
三、分数的减法分数的减法与加法类似，也需要确保分母相同。
如果分母不同，需要做同样的处理，将分数的分母调整为相同的值。
接下来，我们只需要将分子相减，分母保持不变即可。
例如，计算3/4 - 1/2，找到它们的最小公倍数为4，分别乘以2和2得到6/8和4/8，于是我们得到6/8 - 4/8 = 2/8，进一步简化为1/4。
四、分数的乘法分数的乘法是通过将两个分数的分子和分母相乘来实现的。
例如，计算2/3 * 4/5，我们将它们的分子2和4相乘得到8，将分母3和5相乘得到15，于是我们得到8/15。
五、分数的除法分数的除法是通过将一个分数的分子和另一个分数的分母相乘，同时将除数的分子和被除数的分母相乘来实现的。
例如，计算2/3 ÷ 1/4，我们将2/3的分子2和1/4的分母4相乘得到8，将2/3的分母3和1/4的分子1相乘得到3，于是我们得到8/3，进一步可以转化为2 2/3。
六、分数的化简有时候，我们需要将分数化简为最简形式。
一个分数被认为是最简的，当且仅当分子和分母没有共同的因数。
六年级奥数之“分数运算中的技巧”专题
六年级奥数之“分数运算中的技巧”专题主讲人：刘紫涵 审核人：孙蕾 一、专题分析：二、题型分类汇编：➢ 分数简便运算常见题型题型一：连乘——乘法交换律的应用 例题：1）1474135⨯⨯ 2）56153⨯⨯ 3）266831413⨯⨯涉及定律：乘法交换律 b c a c b a ⋅⋅=⋅⋅基本方法：将分数相乘的因数互相交换，先行运算。
题型二：乘法分配律的应用例题：1）27)27498(⨯+2）4)41101(⨯+ 3）16)2143(⨯+涉及定律：乘法分配律 bc ac c b a ±=⨯±)(基本方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，符号保持不变。
题型三：乘法分配律的逆运算（提取公因数）例题：1）213115121⨯+⨯ 2）61959565⨯+⨯ 3）751754⨯+⨯涉及定律：乘法分配律逆向定律 )(c b a c a b a ±=⨯±⨯基本方法：提取两个乘式中共有的因数，将剩余的因数用加减相连，同时添加括号，先行运算。
题型四：添加因数“1”例题：1）759575⨯- 2）9216792⨯- 3）23233117233114+⨯+⨯涉及定律：乘法分配律逆向运算基本方法：添加因数“1”，将其中一个数n 转化为1×n 的形式，将原式转化为两两之积相加减的形式，再提取公有因数，按乘法分配律逆向定律运算。
题型五：数字化加式或减式 例题：1）16317⨯ 2）12612447⨯ 3）353436⨯涉及定律：乘法分配律逆向运算基本方法：将一个大数转化为两个小数相加或相减的形式，或将一个普通的数字转化为整式整百或1等与另一个较小的数相加减的形式，再按照乘法分配律逆向运算解题。
注意：将一个数转化成两数相加减的形式要求转化后的式子在运算完成后依然等于原数，其值不发生变化。
例如：999可化为1000-1。
其结果与原数字保持一致。
题型六：带分数化加式例题：1）513226⨯2）351213⨯ 3）135127⨯涉及定律：乘法分配律基本方法：将带分数转化为整数部分和分数部分相加的形式，再按照乘法分配律计算。
小学六年级奥数-分数的运算技巧
四则运算法则和运成为整数、整十数……从而使运算得到简化。
2.约分法
3.裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相 互抵消，则能大大简化运算。
例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数 的和等于1。 分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的
就非常简单了。
括号。此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：
所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。 的10和30，仍是符合题意的解。
4.代数法
5.分组法
分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数 相加。分母为n的分数之和为
原式中分母为2～20的分数之和依次为
简便运算——拆分、裂项、拆项
分数的巧算——裂项前面我们介绍了运用定律和性质以及数字的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法)进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。
一般地，形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a ；形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；等等。
同学们可以结合例题思考其中的规律。
王牌例题①形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a 100991431321211计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如211211-=⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯，……，其中的部分分数可以相互抵消，这样计算就简便多了，1001991()4131()3121()211(-++-+-+-= 原式100199141313121211-++-+-+-= 1009910011=-=举一反三①403917616515411⨯++⨯+⨯+⨯ 、15141141311312112111111012⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、42130120112161213+++++、72156********+++-、王牌例题②形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯50481861641421计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为4121422-=⨯，6141642-=⨯，8161862-=⨯，……，所以，将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差，求算式的和，最后把求得的和再乘21即可。
所以2150482862642422(⨯⨯++⨯+⨯+⨯= 原式21)501481()8161()6141()4121(⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+-= 21)50121(⨯-=215024⨯=256=举一反三②999719717515311⨯++⨯+⨯+⨯ 、10097110717414112⨯++⨯+⨯+⨯ 、3733113919515113⨯++⨯+⨯+⨯ 、20811301701281414++++、王牌例题③形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；56154213301120912731计算：1-+-+-【思路导航】因为311311+=，41314343127+=⨯+=，51415454209+=⨯+=，615165653011+=⨯+=，716176764213+=⨯+=，817187875615+=⨯+=……所以)8171()7161()6151(5141()4131(311+-+++-+++-+=原式81717161615151414131311--++--++--+=87811=-=举一反三③301120912765211 1-+-+、561542133011209411 2+-+-、6599815499814399813299812119983⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、6301162091276 4⨯-⨯+⨯、王牌例题④641321161814121计算：+++++【思路导航】解法一：这道题如果先通分再相加，就比较复杂；如果给原式先“借”来一个641，最后再“还”一个641，就可以通过口算得出结果。
(完整)小学六年级奥数教案—03分数运算技巧
小学六年级奥数教案一03分数运算技巧本教程共30讲分数运算的技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。
1. 凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。
... 12 3 1 7例1 C才+怙+ 1才+迟）X （2 -莎）1弓2 1 7原式=【（片+ 1亍+（气+写］"―刃7心*（2-亦）=20^2-20 X —20= 40-7-33.1 Af?'j2 ^|-X25 + 32-^4 + 025X 1251 <4解：原式=4X25-H-K25+32 + 4 + - -^4 +0 25x4 X31= W0+5+8 + -+31=144 丄。
7 72. 约分法2^4><6 + 7>< 14^21根据宀十占〔其帕 礙梆，在计算若干个分数之眄郎「丄丄亠丄r/J2 6 12 20 30 42原式二4995例7在自然数1〜100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1 分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1,而分母不同的分数的和零于1,似乎无从下手。
但是如果巧埔“丄-亠・丁―"来做, n n + I n(n * 1)就非常简单了。
因为日 +卜卜卜 卜卜卜卜…，所以可根据题中所求，添上11111111 11 ------ 十 ----------- 十 --------十 --- 十 --- ----- 十 --- + ----- + ----- 叶 —1^2 2x3 3X4 <4x5 5^6 6 逐7 7xS Sx9 9敦10 1011111111112 6 12 20 30 42 56 72 90 10所求的 10 个数是 2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。
六年级奥数-简便计算
简便计算——简便计算（一）【知识点拨】1.简便计算是一种特殊的计算，就是灵活、正确、合理地运用各种性质、定律，使复杂的计算变得简单，从而大幅度地提高计算速度与正确率。
2.运算定律和性质（1）加法交换律：a+b=b+a（2）加法结合律：(a+b)+c= a+(b+c)（3）乘法交换律：a×b=b×a（4）乘法结合律：(a×b)×c= a×(b×c)（5）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c(a-b)×c=a×c-b×c(a+b+c)×d=a×d+b×d+c×d(a+b-c)×d=a×d+b×d-c×d(6)减法性质：a-b-c= a-(b+c) a-（b+c）= a-b-c （7）除法性质：a÷b÷c= a÷(b×c) （b、c不能为0）（8）分数的性质：（9）添去括号法则：括号前是“+”，添、去括号不变号括号前是“-”，添、去括号要变号（10）数字前面符号搬家：在只有加减法运算中，可带数字前面符号搬家，如：a+b-c= a-c+b在只有乘、除法运算中，可带着数字前面符号搬家。
如：a×b÷c= a÷c×b（c 不为0）【典型例题】例1. 4.75-9.63+（8.25-1.37）【解析】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质，使运算过程简便。
所以：原式=4.75+8.25-9.63-1.37=13-（9.63+1.37）=13-11=2例2.399998+39998+3998+398【解析】先凑成整数再减去相差的数，凑整调整后一定要与原数保持相等，所以：原式=（400000-2）+（40000-2）+（4000-2）+（400-2）=444400-8=444392【练一练】1、6.73-2+（3.27-1）2、99【典型例题】例3. 2.5【解析】熟记25并且在做简便计算时要灵活运用小数的性质，所以：原式=2.5=10=100例4. 98【解析】利用乘法分配率，先凑成整数再加上相差的数，把101拆成100加1，凑整调整后一定要与原数保持相等，所以：原式=98×(100+1)=98×100+98×1=9800+98=9898例5.【解析】上题是分数与整数相乘，仔细观察数字间特点，（1）中的与1只相差，如果把写成（1-）的形式与37相乘，再运用乘法的分配率就能简化运算了，所以：原式=（1- ）=37-=37-=【练一练】3、(13×125)×(3×8)4、198×10015、【典型例题】例6.【解析】同例5一样，本题中的27可以写成（26+1）。
六年级奥数分数巧算学生版
分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
简便运算拆数法
简便运算拆数法（原创实用版）目录1.简便运算拆数法的概念和原理2.简便运算拆数法的具体步骤3.简便运算拆数法的应用实例4.简便运算拆数法的优点和局限性正文一、简便运算拆数法的概念和原理简便运算拆数法是一种通过拆分数的方式，简化复杂运算过程的数学方法。
这种方法主要基于数学中的运算律，特别是分配律和结合律，将一个复杂的算式拆分成若干个简单的部分，从而降低运算的难度。
这种方法适用于加减乘除等基本运算，以及复合运算，如括号、乘方等。
二、简便运算拆数法的具体步骤1.观察算式，找出可以拆分的部分，如公因数、倍数等。
2.根据运算律，将算式拆分成若干个简单的部分。
3.对拆分后的部分进行运算，得出结果。
4.将各部分的结果合并，得出最终答案。
三、简便运算拆数法的应用实例例如，计算以下算式：8 × (3 + 5) - 4 × (3 - 5)。
1.拆分算式：8 × 3 + 8 × 5 - 4 × 3 + 4 × 5。
2.运算拆分后的部分：24 + 40 - 12 + 20。
3.得出结果：116。
四、简便运算拆数法的优点和局限性1.优点：简便运算拆数法可以简化复杂的运算过程，提高运算效率，降低运算难度。
此外，这种方法有助于培养学生的观察能力和运算技巧。
2.局限性：虽然简便运算拆数法适用于大多数情况，但在某些特殊情况下，如算式中存在分数、小数等，拆分可能变得困难，此时需要采用其他方法进行计算。
总之，简便运算拆数法是一种实用的数学方法，通过拆分数的方式简化运算过程，有助于提高运算效率和培养学生的数学能力。
小学数学简便计算——分数拆分
小学数学简便计算——分数拆分同学们，你们知道吗？两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化成分子是1的分数来计算，所以后来人们常把分子是1的分数称埃及分数，我们也称之为单位分数。
有些单位分数组合在一起构成了一些有趣的计算题。
本专题中列举了许多例题，主要是为同学们提供“分数拆分”的方法，希望同学们认真学习，理解并记住拆分的几个公式，在解题中灵活的应用。
一、将一个分数拆分成两个分数单位相加。
把一个分数拆成两个或两个以上分数的和的形式，叫做分数的拆分。
怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们以通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤：叫做扩分。
注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。
③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。
即：④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。
二、把一个分数拆成几个分数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。
解：18的约数有1、2、3、6、9、18。
可以任意取其中三个约数，得到不同的解。
……答案不只一种。
三、把一个分数拆成两个分数的差能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。
观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。
以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。
当n、n+d，都是自然当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。
利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。
例5把下面各分数写成两个分数差的形式。
观察下面等式，左右两边有什么关系。
通过上面算式，可以得出这样的结论：由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。
四、拆分方法在分数加法运算中的应用例6 计算：解：由公式（2）解：由公式（3）例9 计算解：根据公式（4）尝试练习：1.在下列各式的括号内填上适当的整数（1—3题）。
奥数带分数巧算方法
奥数带分数巧算方法奥数带分数巧算方法导言奥林匹克数学竞赛（简称“奥数”）是一项全球性的数学竞赛，旨在培养学生的数学思维和解题能力。
在奥数中，常常会涉及到带分数（也称为连分数）的运算。
带分数是一个整数与一个真分数的和，例如3 1/2就是一个带分数。
本篇文章将介绍一些奥数带分数巧算方法，帮助读者更好地理解和解决带分数相关的问题。
一、带分数的定义与基本运算规则1. 带分数的定义带分数是一个整数与一个真分数的和，用整数和真分数的加法来表示。
整数部分在上方写出，真分数部分在下方写出，两者之间用一横线连接。
2. 带分数的加法与减法带分数的加法与减法和整数的加法与减法类似。
将带分数相加（或相减）的方法是先比较两个带分数的整数部分的大小，如果相等，则直接将两个带分数的分数部分相加（或相减）；如果不相等，则将整数部分大的带分数的分数部分乘以整数部分小的带分数的分数部分的分母，再与整数部分小的带分数相加（或相减），得到最终的带分数结果。
3. 带分数的乘法与除法带分数的乘法与除法可以分解为整数和真分数的乘法与除法的组合。
具体计算方法如下：- 带分数的乘法：将两个带分数的整数部分和真分数部分分别相乘，再将整数部分和真分数部分的乘积相加，得到最终的带分数结果。
- 带分数的除法：将两个带分数转化为假分数（或分数），然后进行分数的除法运算，得到最终的带分数结果。
二、奥数带分数巧算方法1. 带分数的约分带分数和分数一样，都可以进行约分。
如果带分数的整数部分和真分数部分之间存在最大公约数，那么可以对整数部分和真分数部分同时进行约分。
例如，对于带分数4 2/6，我们可以将其约分为2 1/3。
2. 带分数的化简带分数可以通过将整数部分和真分数部分合并，得到一个更简化的形式。
例如，对于带分数3 2/3，我们可以将其化简为11/3。
3. 带分数的比较带分数的比较可以通过将带分数转化为假分数，然后进行分数的比较来实现。
具体方法是将整数部分乘以真分数的分母，再与真分数的分子相加，得到一个假分数，然后比较两个假分数的大小即可。
分数的简便运算
分数的简便运算进行分数简便运算时，运用分数的基本性质、结合四则运算定律进行计算；也可在分数值不变的情况下，将分数分拆，使运算简便。
一、 知识回顾1、 分数和基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
这叫做分数的基本性质。
2、常用运算定律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：a ＋b ＋c ＝ (a ＋b)＋c a ＋ (b ＋c)＝ (a ＋c)+b乘法交换律：ab ＝ba乘法结合律：abc ＝ (ab)c ＝a(bc)＝ (ac)b乘法分配律：a(b ＋c)＝ab ＋ac ab ＋ac= a(b ＋c)减法的运算性质：a －b －c ＝a － (b ＋c)除法的运算性质：a ÷b ÷c ＝a ÷(b ×c) a ÷(b ×c)= a ÷b ÷c= a ÷c ÷ba ÷b ×c ＝a ÷(b ÷c) a ÷(b ÷c)= a ÷b ×c3、 单位分数：分子是1，分母是非零的自然数的真分数。
运算时把分数拆分成单位分数。
例题：2X 11=1－21 321X =21－31 431X =31－4121+31=3232X =65（分子是1的两个分数相加，和的分子是两分母之和，和的分母是两分母的乘积）二、 常见运算方法1、 凑整法： 在整数简单运算中，是把数字凑成整十、整百、整千等整数。
而在小分和分数运算中，是把数字凑成整数，便于计算。
例题：341+632+143+831 =(341+143)+(632+831) =5+15=202、 改顺序： 通过改变分数式中的先后顺序，使运算算简便。
常见有以下几种方法：（1）加括号性质：在一个只有加减法运算的算式中，给算式的一部分添上括号，如果括号前面是加号，那么括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。
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分数的简便运算
------特殊的运算技巧：约分法，拆分法，代数法
一、综合运用结合律、交换律以及分配律
（注意构造满足乘法分配律的条件）
20725.220344311
)2072()318431326413
(12425.04
172
342551
4二、约分法
【教材-王牌例题3】计算1994
199219931
19941993分析：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变形为1992＋1）×1994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1 = 1993，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。
所以原式＝【（1992＋1）×1994－1】/（1993＋1992×1994）
（1）1
19891988198719891988（2）143
138058419921991584204【教材-王牌例题5】计算：)9
575()9
27729(（1）)9
475113()11673198(（2）)13
101151()131211173(（3）)25812732132()252436736396(
（4）
【补充例题1】3521710
62531211476423
21【补充例题2】991
1 (41)
131
121
1
99【补充例题3】969696
969969696696
696969三、拆分法
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。
形如1a ×(a+1)
的分数可以拆成1a －1a+1；形如1a ×（a+n ）
的分数可以拆成1n ×（1a －1a+n ）形如a+b a ×b
的分数可以拆成1a +1b 【教材-王牌例题1】计算：11×2+12×3+13×4+…..+ 199×100
（1）
14×5+15×6+16×7+…..+ 139×40（2）
12+16+112+120+ 130+142（3）1－16+142+156+172
【教材-王牌例题2】计算：11×4+14×7+17×10+…..+ 197×100
（1）13×5+15×7+17×9+…..+ 197×99
（2）11×5+15×9+19×13+…..+ 133×37
（3）14+128+170+1130+1208
（4）3029201912116
521
（5）421
6301
5201
4121
361
22
11
（6）1998
1×2+1998
2×3+1998
3×4+ 1998
4×5+1998
5×6
（7）在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。
分析：这道题看上去比较复杂，要求
10个分子为1，而分母不同的数。
所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。
本题的解不是唯一的，例如由1/30+1/10=1/9+1/45推知，用9和45替换
答案中的10和30，仍是符合题意的解。
【教材-王牌例题3】计算：113－712+920－1130+1342－1556
原式＝113－（13+14）+（14+15）－（15+16）+（16+17）－（17+18
）（1）114－920+1130－1342+1556
（2）6×712－920×6+ 1130
×6 【教材-王牌例题4】计算：
12+14+18+116+132+164＝（12+14+18+116+132+164+164）－164（1）
12+14+18+………+1256（2）
23+29+227+281+2243(3) 256
364316343
四、代数法
【教材-王牌例题5】计算：（1+12+13+14）×（12+13+14+15）－（1+12+13+14+15）×（12+13+14）分析：仔细观察可以发现题中有些分数是多次出现的，因此我们可以用代数法解这道题，即将某个复杂的算式换成含有字母的式子再进行计算。
设12+13+14＝a 原式＝(a+1)×（a+15）－（a+15+1）×a
(1)（1+11999+12000+12001）×（1
1999+12000+12001+12002）－（1+11999+12000+1
2001
+12002）×（11999+1
2000+1
2001）
（课外拓展）五.分组法
20
19
)2018
1918
(.....)203 (53)
43()202 (4232)
()201
...413121(分析：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。
分母为n 的分数之和为
原式中分母为2～20的分数之和依次为。