复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt

sint t ≥ 0 f (t) = t <0 0
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§1 拉普拉斯变换的概念 1. 定义 定义1.1: 设函数 当t≥0时有定义,而且积分 设函数f(t)当 ≥0时有定义, ≥0时有定义
+∞
∫
0
是一个复参量） f (t) e−st dt ( s 是一个复参量）
属于复平面内某一区域时收敛, 在s属于复平面内某一区域时收敛,则由此积分 属于复平面内某一区域时收敛 确定函数 F(s) = ∫ f (t)e−st dt (2.1)
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+∞
+∞
+∞
0
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2. 回忆 理解与问题: 回忆,理解与问题 理解与问题 (1) 回忆 含参量积分 回忆:含参量积分
+∞
∫ f (x, y)dx = I (y)
a
b
就是一个含参量的积分. (2.1): F(s) = ∫ f (t)e−st dt 就是一个含参量的积分
0
(2) 拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数 的集合到复函数F(s) 拉氏变换实际是实函数 的集合到复函数 的集合的一种对应关系 L: f (t) aF(s)
拉普拉斯变换
§1 拉普拉斯变换的概念 §2 拉普拉斯变换的性质 §3 拉普拉斯逆变换
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说明
在本章中,当不特别声明时 所有给出的 在本章中 当不特别声明时,所有给出的 当不特别声明时 实函数f(t)在负实轴上的定义都为零 实函数 在负实轴上的定义都为零. 在负实轴上的定义都为零 例如, 例如 当我们给出实函数 f(t) = sint 时, 实际是指分段函数: 实际是指分段函数
可推出下面的(2.4)式: 由(2.3)可推出下面的 可推出下面的 式
L[ f (n) (t)] = snF(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) −L
−s f (n−2) (0) − f (n−1) (0) (Re(s) > 0)
(2.4)
利用(2.4) 式 利用
s (答案 2 2 ) 答案: 答案 【例2.1】求L[coskt] (P61例1) 】 s +k m! m ](m=1,2…) (P 例2) (答案 【例2.2】求L[t 】 答案: 答案 m+1 ) 61 s
s (5) L[ cos kt ] = 2 2 s +k
s (7) L[ cosh kt ] = 2 2 s −k
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(8) L[ δ(t) ] =1
作业
P58 1(2,4,6,8), 2(1,3)
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§2 拉普拉斯变换的性质 ( P59 ) 1. 线性性质: 线性性质: 为常数, 设a , b为常数,且 L[ f1(t)] = F (s), L[ f2(t)] = F (s) 则有 为常数 1 2
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【例1.1】求f(t)=1的拉氏变换(P48 例1) 】 的拉氏变换
F(s) = ∫ f (t)e−st dt (2.1)
0
+∞
根据(2.1) 式,当Re(s)>0时,有 解:根据 时
+∞ −st
注：这个函数又称为“单位阶跃函数”,记为 这个函数又称为“单位阶跃函数” u(t)
f (t) ≤ Mect , 0 ≤ t <+∞
则: f(z) 的拉氏变换在半平面 Re(s) >C 上一定 存在, 且象函数F(s)在半平面 Re(s) >C 内为 存在 且象函数 在半平面 解析函数. 解析函数
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注意：上面定理只给出了集合A中的部分元素 中的部分元素, 注意：上面定理只给出了集合 中的部分元素 而并没有给出集合A 的全部元素. 而并没有给出集合 的全部元素 例如: 中给出了“ 例如 在P56例6中给出了“单位脉冲函数”δ(t) 的 中给出了 单位脉冲函数” 拉氏变换, 但δ(t) 并不满足上面定理的条件 并不满足上面定理的条件. 拉氏变换
1 −st F(s) = L[ u(t)] = ∫ e dt =− e s 0
+∞
0
1 = s
的拉氏变换(k为实数 为实数) 【例1.2】求f(t)=e kt 的拉氏变换 为实数 (P48 例2) 】 解: 当Re(s)>k时,有 时有
1 −(s−k)t kt −(s−k)t kt −st L e = e e dt = ∫ e e dt =− ∫ s −k 0 0 1 = s −k
(1) Γ(m+1) = mΓ(m) (2) Γ(1) =1
Gamma函数的性质的推广 函数的性质的推广: 函数的性质的推广
(1) Γ(m+1) = m ! (m∈N)
m! (2) L[t ] = m+1 (m∈N) (Re(s) > 0) s
m
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Proof :
Γ(m+1 = e−ttmdt ) ∫
0 +∞
式为f(z)的拉普拉斯变换 称(2.1)式为 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 式为 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 记为: F(s) = L[ f (t)] 记为: F(s)称为 的拉氏变换(或称为象函数). 称为f(t)的拉氏变换 或称为象函数). 称为 f(t)称为 称为F(s)的拉氏逆变换(或称为象原函数). 称为 的拉氏逆变换 或称为象原函数).
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【例1.6】求单位脉冲函数 】求单位脉冲函数δ(t)的拉氏换变 (P54例6) 的拉氏换变 广义函数δ(t) 是用“分布”的概念定义的 具体说来 是用“分布”的概念定义的. 注: 广义函数 , δ(t) 满足条件：对任意连续函数 满足条件：对任意连续函数f(t) , 成立着
当 ∉[a,b] 0 0 ∫ f (t)δ(t)dt = f (0) 当0∈[a,b] a
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3. 拉氏变换的存在定理 若函数f(z)满足下列条件: 若函数 满足下列条件: 满足下列条件 (1) 在t≥0的任意有限区间上分段连续 的任意有限区间上分段连续; 的任意有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时,f(z)的增长速度不超过某一指数函数, →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 即存在常数M > 0及C≥0,使得 即存在常数 及 ,
b
的性质, 可得: 解: 由δ(t) 的性质 可得
L[ δ(t)] = ∫ δ(t)e−st dt = e−st
0 +∞ t =0
=1
注意: 上式意味着积分区间包含了它的端点. 注意 上式意味着积分区间包含了它的端点
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附录Ⅱ 见 给出了一些常见函数的拉氏变换. 附录Ⅱ(见P106 )给出了一些常见函数的拉氏变换. 给出了一些常见函数的拉氏变换 请特别记住以下结果(八个): 请特别记住以下结果(八个):
的拉氏变换(P 的拉氏变换 54 例5) 解:当Re(s)>0时,有 当 时有
L[ f (t)] = ∫
0 +∞
f (t)e dt = ∑
−st
k=0
1) +∞ 2(k+ b
∫
f (t) e−st dt
2kb
1 1−e−bs 1 bs = 2 = 2 th −bs s 1+e s 2
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= a f1(t) +b f2 (t)
1 2! 10− s2 例: L[−1+5t ] =−L[1]+5L[t ] =− +5 3 = 3 s s s
2 2
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2.微分性质: 微分性质: 微分性质 若L[f(t)]=F(s), 则有
L[ f ′(t)] = sF(s) − f (0) (2.3)
L[ a f1(t) +b f2(t)] = aL[ f1(t)] +bL[ f2(t)]
= aF (s) +bF (s) 1 2 对逆变换也有线性性质: 对逆变换也有线性性质
(2.2)
− − 若 L 1 [ F (s)] = f1(t), L 1 [ F (s)] = f2(t) 则有 1 2 − − − L 1 [ aF (s) +bF (s)] = aL 1 [ F (s)] +bL 1 [ F (s)] 1 2 1 2
−at
k sin kt] = (s −a)2 + k2
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5. 延迟性质: 延迟性质 性质: 若L[f(t)]=F(s), τ>0 则有
L[ f (t −τ )] = e−sτ F(s) (2.13)
(证明中要注意f ( t-τ)在τ时刻之前为零函数) 证明中要注意 在 时刻之前为零函数)
1 (1 L[ 1] = ) s Γ(m+1) (3) L t = m+1 (m >−1), s
m
1 (2) L e = s −k
kt
m! L t = m+1 (m =1 L ,2, ) s
m
k (4) L[ sin kt ] = 2 2 s +k k (6) L[ sinh kt ] = 2 2 s −k
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对逆变换也有微分性质： 对逆变换也有微分性质： 若L[f(t)]=F(s), 则有
F′(s) = L [ −t f (t)] (2.6)
一般地有
F (n) (s) = L[(−t)n f (t)] (2.7)
利用(2.6) 式 利用
2ks 答案: 【例2.3】求L[tsinkt] (P62例3) (答案 2 2 2 ) 】 答案 (s + k )
0 +∞
u = tm, v′ = e−t −tme−t
+∞ 0
+ m ∫ e−ttm−1dt
0
+∞
= mΓ(m)
Γ(1 = ∫ e−t dt =−e−t )
0 +∞ +∞ 0
=1
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0≤t ≤b t 【例1.5】求周期三角波 f (t) = 】 2b −t b < t ≤ 2b
集合A 集合 f(t) 集合B 集合 F(s)
L
所以记F(s)为L[f(t)],并称 为 并称F(s)为f(t)的象函数. 的象函数. 所以记 并称 为 的象函数
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(3) 由(2)产生了以下问题: 产生了以下问题: 产生了以下问题 集合A中都有什么样的实函数 换句话说, 中都有什么样的实函数? ① 集合 中都有什么样的实函数? 换句话说, 什么实函数有拉氏变换？ 什么实函数有拉氏变换？ A中不同实函数的象函数是否也不同? ② A中不同实函数的象函数是否也不同?若L 中不同实函数的象函数是否也不同 是A到B 的一一对应,则L就有逆映射L-1. 到 的一一对应, 就有逆映射
(2.9)
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4. 位移性质: 位移性质 性质: 若L[f(t)]=F(s), 则有
L[eat f (t)] = F(s −a) (2.12)
利用(2.12) 式 利用
Γ(m+1 ) 【例2.5】(P64例5) 求 L[e t ] = 】 m+1 (s −a)
at m
【例2.6】(P64例6) 求 L[e 】
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的拉氏变换(P 【例1.3】求f(t)=sinkt的拉氏变换 50 例3) 】 的拉氏变换
k 记住结果 L[sin kt] = 2 2 (Re(s) > 0) s +k
计算过程与高等数学算法一致,应用两次分部积分 注:计算过程与高等数学算法一致 应用两次分部积分 计算过程与高等数学算法一致 法即可.在学习了拉氏变换的微分性质以后 我们 法即可 在学习了拉氏变换的微分性质以后,我们 在学习了拉氏变换的微分性质以后 还将给出本题的其它证明方法. 还将给出本题的其它证明方法
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的拉氏变换(P 【例1.4】求f(t)=t m的拉氏变换 51 例4) 】
Γ(m+1 ) 记住结果 L[t ] = m+1 (Re(s) > 0) s
m
其中Γ(m)是伽玛函数 Γ(m) = ∫ e−ttm−1dt (m>−1) 是伽玛函数: 其中 是伽玛函数
0
+∞
伽玛(Gamma)函数的性质 函数的性质: 伽玛 函数的性质
利用(2.13) 式 利用
1 −sτ 【例2.7】(P65例7) 求 L[u(t −τ )] = e Lu( t ) = e 】 s
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3. 积分性质: 积分性质 性质: 若L[f(t)]=F(s), 则有
t 1 L∫ f (t)dt = F(s) 0 s (2.8)
一般地有: 一般地有
L [ ∫ dt∫ dtL∫ 0 0 14 40 4 2 4 3
n次 t t t
1 f (t) dt ]= n F (s) s