第一学期期末高三数学理科
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。
内蒙古阿拉善盟2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及答案解析
内蒙古阿拉善盟第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及答案解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记集合{|||2}M x x =>，(){}2|ln 3N x y x x==-，则M N = （）A.{}32≤<x x B.{|3x x >或2}x <-C.{}20<≤x x D.{}32≤<-x x 2.已知复数1i z =+（i 是虚数单位），则izzz =+（）A.31i 55+ B.11i 55+ C.31i55-+ D.11i 55-+3.命题“2≥∀a ，()2f x x ax =-是奇函数”的否定是（）A.2≥∀a ，()2f x x ax =-是偶函数B.2≥∃a ，()2f x x ax =-不是奇函数C.2a ∀<，()2f x x ax =-是偶函数D.2a ∃<，()2f x x ax =-不是奇函数4.若()4sin 5πα+=-，则()cos 2πα-=（）A.35B.35-C.725D.725-5.若双曲线2221x y m-=（0m >）的渐近线与圆22610x y y +-+=相切，则m =（）A.4C.2D.6.端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A “取到的两个为同一种馅”，事件B “取到的两个都是艾香粽”，则()|P B A =（）A.35B.313C.58 D.13287.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则异面直线1B E 与1C D 所成角的余弦值为（）A.1010B.1010-C.104D.104-8.某地锰矿石原有储量为a 万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m （01m <<，且m 为常数）倍，第n （*n ∈N ）年开采后剩余储量为(1)na m -，按该计划使用10年时间开采到剩余储量为原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%，则需开采约（参考数107≈）（）A.3年B.4年C.5年D.6年9.在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，13AE EB = ，2DF FC = ，且6BF CE ⋅=-，则平行四边形ABCD 的面积为（）A.5B.5C.245D.12510.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”，如图是该算法的程序框图，如果输入99a =，231b =，则输出的a 是（）A.23 B.33C.37D.4211.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π0ϕ-<<）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（）A.函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B.函数()f x 的图象关于直线11π12x =-对称C.函数()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象向右平移π3个单位可得函数2sin2y x =-的图象12.若e 是自然对数的底数，()e ln x x m >+，则整数m 的最大值为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学上学期期末考试试卷 理含解析 试题
实验2021-2021学年度上学期期末考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日高三理科数学试题第一卷选择题〔一共60分〕一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的〕1.集合A=，B=，那么A B中元素的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，根据直线与圆的位置关系，即可求解集合中元素的个数，得到答案。
【详解】由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又由圆与直线相交于两点，那么中有两个元素，应选C.【点睛】求集合的根本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或者其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2.，是虚数单位，假设，，那么〔〕A. 1或者B. 或者C.D.【答案】A【解析】由得，所以，应选A.【名师点睛】复数的一共轭复数是，据此结合条件，求得的方程即可.3.某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图复原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，那么AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．应选：．4.函数的最小正周期为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正弦函数的周期公式直接求解即可.详解：由题函数的最小正周期应选C.点睛：此题考察正弦函数的周期，属根底题.5.展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】因为，那么展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项一共有几项，进展相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的详细情况，尤其是两个二项展开式中的不同.6.椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的方程求得，得到，再利用离心率的定义，即可求解。
高三理科数学第一学期期末考试
高三理科数学第一学期期末考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。
2．第小题选出答案后；用铅笔把题答卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其他答案标号。
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分。
在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A C xy x A R U U 则集合},11|{,-=== （ ）A ．}10|{<≤x xB ．}10|{≥<x x x 或C ．}1|{≥x xD ．}0|{<x x2．已知向量b a b a n b a ⋅=+==||),,2(),1,1(若；则n= （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．33．有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则” B ．“x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题；则p 、q 均为假命题D ．对于命题使得R x p ∈∃:012<++x x ；则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有4．三视图如右图的几何体的全面积是 （ ）A ．22+B ．21+C ．32+D ．31+5．已知函数]4,3[)0(sin 2)(ππωω->=在区间x x f上的最大值是2；则ω的最小值等于（ ）A ．32 B ．23C ．2D ．36．设a,b 是两个实数；且a ≠b ；①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ；③ 2>+abb a 。
上述三个式子恒成立的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ；且132,21,a a a 成等差数列；则5443a a a a ++的值为（ ）A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215- 8．设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一个直角坐标系 中；不可能正确的是（ ）9．已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ；若向区域Ω上随机投一点P ；则点P 落入区域A 的概率为 （ ）A ．92B ．32 C ．31 D ．91 10．6个人分乘两辆不同的汽车；每辆车最多坐4人；则不同的乘法方法数为（ ）A ．40种B ．50种C ．60种D ．70种11．已知抛物线1)0(222222=->=by a x p px y 与双曲线有相同的焦点F ；点A 是两曲线的交点；且AF ⊥x 轴；则双曲线的离心率为 （ ）A ．215+ B ．13+ C ．12+D ．2122+ 12．一次研究性课堂上；老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=；甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数)1,1()(-的值域为x f ； 乙：若21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠；丙：若规定*||1)()),(()(),()(11N n x n xx f x f f x f x f x f n n n ∈+===-对任意则恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷（非选择题；共90分）注意事项：1．用0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。
高三上学期期末考试数学(理)试卷含答案
第一学期期末考试试卷高三年级数学(理科) 座位号_____第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上.）1. 已知M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3}，则M∩N等于 ( )A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝2，则|a－b|的值为( ) A．1 B.3 C．13 D.213.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4 B．6 C．8 D．124．如图所示,在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)5．若(x－1)8＝1＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a5＝( )A．56 B．－56 C．35 D．－356．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 7．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)8.要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移23π个单位D ．向右平移23π个单位9.已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°10. 已知空间两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n 11．在等差数列中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．60012．若定义在R 上的二次函数bax a x f x +-=4)(2[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0),则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4]B [0,2]C ．(－∞，0]D ．(－∞，0] [)∞+，4Y第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．） 13. 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．14如果直线x ＋y ＋2a ＝0和圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且弦长|AB |＝2，则实数a ＝________．15.函数223(0)()2ln,(0)x x xf xx x⎧++≤=⎨-+>⎩的零点个数是_____________16.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（10分）已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3＋a4＝12.(1)求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)设b n＝10－a n，数列{b n}的前n项和为S n，若b1≠b2，则n为何值时，S n最大？S n最大值是多少？18.（12分如图所示，正四棱锥S－ABCD中，高SO＝4，E是BC边的中点，AB＝6，求正四棱锥S－ABCD的斜高、侧面积、体积．19．（12分）已知函数()22sin 23sin cos cos f x x x x x =+-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 的最大值及取最大值时x 的集合.20.（12分）已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．21．（12分）已知函数f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)，其中a，b∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性.22.（12分）已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长2为时，求实数m的值．永昌四中2018—2019学年第一学期期末试卷答案高三年级 数学（理科）一、选择题二、填空题13. 45- ； 14. 2626-或 .15. 1 ; 16. (x ＋1)2＋(y 2＝1.三、解答题：17. 解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.-------- ----------------2 当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；-----------------4 当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.-------------------5 (2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0， 由(1)知a n ＝2n －1，-----------------7∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25.---------9 ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.------------------10 18. 解：在Rt △SOE 中OE ＝3，SO ＝4，所以斜高为：SE ＝＝＝5.----------------------2 侧面积为：0.5×6×5×4＝60.-----------------6体积为：(1/3)×62×4＝48. --------------------------1219.解：由已知，()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=- (4)（１）由222262k x k πππππ-≤-≤+,k Z ∈，得增区间为[,]()63k k k Z ππππ-+∈.………8（２）当2262x k πππ-=+，k Z ∈，即sin(2)16x π-=时，()f x 取最大值2， (10)此时x 的集合为{|,}3x x k k Z ππ=+∈ (12)20．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p/2.因为|AF |＝3，即2＋p/2＝3，解得p ＝2，------------------------2 所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .------------------------------------4 (2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,2)．由A (2,2)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝2(x －1)．-------------6 由得2x 2－5x ＋2＝0，---------------------------8 解得x ＝2或x ＝，从而B . 又G (－1,0)，所以k GA ＝＝，------------------------------------------10k GB ＝＝－，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．-------------------------1221.解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：a)上是减函数．22.解：(1)∵圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为(3,0)．--------------------------------------------------------4 ∵直线x－my＋3＝0与圆相切，r＝2，解得m＝±2.------------------------------------------------------6(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d由r＝2得， 3＋3m2＝36，------------------------------------10解得m2＝11，故m＝±11.-------------------------------------12。
江西省临川第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试卷
卷面满分：150江西省临川一中2022—2023学年上学期期末考试高三年级数学理科试卷分考试试卷：120分钟命题人：黄维京审题人：上官学辉一、单选题（每题5分，共60分）1.设集合2{|230}A x Z x x =∈-- ，{0,1}B =，则A B =ð()A.{3,2,1}--- B.{1,2,3}- C.{1,0,1,2,3}- D.{0,1}2.在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA =(1,−2)，OB =(−3,1)，则复数z 1z 2对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C.第三象限D.第四象限3.对于实数，条件G +1≠52,条件G ≠2且≠12，那么是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a >0，b >0，且2a +b =1，则1a +2aa+b ()A.有最小值为4B.有最小值为22+1B.C.有最小值为14D.无最小值5.设a =57,b =c =log 3145，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.b <a <cB.c <a <bC.b <c <aD.c <b <a6.已知(0,)4πα∈，4cos 25α=，则2sin (4πα+=()A.15B.25C.35 D.457.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2+b 2−c 2)⋅(acosB +bcosA)=abc ，则角C =()A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知函数=l 2−B +3在0,1上是减函数，则实数的取值范围是()A.0,1B.1,4C.0,1∪1,4D.2,49.已知圆：(−3)2+(−4)2=4和两点o −3s 0)，o 3s 0)(>0).若圆上存在点，使得∠B =90°，则的最小值为()A.6B .5 C.2 D.310.已知双曲线22−22=1>0,>0的左、右焦点分别为1，2，点的坐标为−2,0，点是双曲线在第二象限的部分上一点，且∠1B 2=2∠1B ，B 1⊥12，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.32D.211.在△B 中，B =4，B =3，B =5，点在该三角形的内切圆上运动，若B =B+B (s 为实数)，则+的最小值为()A.12B.13C.16D.1712.若函数的定义域为，且2+1偶函数，3−1关于点1,3成中心对称，则下列说法正确的个数为()①的一个周期为2②2x =2−2x③的一个对称中心为6，3④J119=57 A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，共20分）13.已知2100+236=1上一点，1，2分别是椭圆的左、右焦点，若∠1B 2=60°，则△B 12的面积为________．14.若(1−3x)n 展开式中第6项的二项式系数与系数分别为p ､q ，则pq =_________．15.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体BB 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体BB 棱长为26，则模型中九个球的表面积和为__________．16.若函数op=3−o3+lnp的极小值点只有一个，则的取值范围是_________．三、解答题17.(12分)已知数列{}满足数列{r1−}为等比数列，1=1，2=2，且对任意的∈∗，r2=3r1−2.（1）求{}的通项公式;（2）=∙，求数列{}的前n项和S．18.(12分)如图，在直三棱柱B−111中，，，分别为线段11,1及B的中点，为线段1上的点，B=12B,B=8,B=6，三棱柱B−111的体积为240．(1)求点到平面1B的距离；(2)试确定动点的位置，使直线B与平面1B1所成角的正弦值最大．19.(12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．20(12分)已知抛物线：2=2B,抛物线上两动点A x1,y1,B x2,y2,x1≠x2且x1+x2=6（1）若线段AB过抛物线焦点，且B=10，求抛物线C的方程．（2）若线段AB的中垂线与X轴交于点C，求∆ABC面积的最大值．21(12分)已知op =ｅ+2−s op =2−B −,s ∈(1)若op 与op 在x=1处的切线重合，分别求，的值．(2)若∀∈s op −op ≥op −op 恒成立，求的取值范围．四、选做题（共10分，请考生在22，23题任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分）22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线312:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与圆23cos :(3sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相交于A，B 两点.(1)求直线及圆C 的普通方程；(2)已知(1,0)F ，求||||FA FB +的值.23.(10分)已知0a >，0.b >(1)求证：3+3≥2+B 2；(2)若3a b +=，求14a b+的最小值.。
第一学期高三年级期末理科数学试题与答案
第一学期高三年级期末理科数学试题与答案数学试卷【理科】第Ⅰ卷【选择题 共40分】一、选择题(本大题共8小题.每小题5分.共40分．在每小题列出的四个选项中.选出符合题目要求的一项．) 【1】若集合{}2,1,0,1,2Α=--.{}2|1Βx x =>.则=ΑΒA ．{|11}x x x <->或B ．{}2,2-C ．{}2 D ．{0}(2) 下列函数中.在区间(0,)+∞上为增函数的是A．y =1y x =C. 1()2x y =D. 12log y x =(3) 已知两点(0,0),(2,0)O A -.以线段OA 为直径的圆的方程是A ．22(1)4x y -+=B ．22(1)4x y ++= C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1x y ++= (4) 在ABC ∆中.3,2,3a c B π===.则b =A ．19B ．7C ．⑸ 某三棱锥的三视图如图所示.则该三 棱锥四个面的面积中最大的是B. 3C.D.【6】已知函数f (x ) 的部分对应值如表所示. 数列{}n a 满足11,a =且对任意*n ∈N .点1(,)n n a a +都在函数()f x 的图象上.则2016a 的值为x1 2 3 4 ()f x3124A . 1 B.2 C. 3 D.4俯视图侧（左）视图正（主）视图⑺ 若,x y 满足0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩且2z x y =+的最大值为4.则k 的值为A ．32-B ． 32C ．23-D ．23【8】某大学进行自主招生时.需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：逻辑思维成绩排名总成绩排名200200O 甲乙下列叙述一定正确的是A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中.甲同学更靠前D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前第Ⅱ卷【非选择题 共110分】二、填空题【本大题共6小题.每小题5分.共30分】【9】在261(2)x x -的展开式中.常数项是 【用数字作答】.【10】双曲线22:1916x y C -=的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲线C 的右焦点重合.则此抛物线的标准方程为____________.【11】执行如图所示的程序框图.逻辑思维成绩排名200200阅读表达成绩排名O 丙输出的S 值为_______.【12】将序号为1.2.3.4的四张电影票全部分给3人.每人至少一张. 要求分给同一人的两张电影票连号.那么不同的分法种数为________________.【用数字作答】 【13】如图.在矩形ABCD 中.3DP PC =.若,PB mAB nAD =+则m =______;n =_________.【14】已知函数2()|3|,.f x x x x =-∈R 若方程()|1|0f x a x -+=恰有4个互异的实数根.则实数a的取值范围是_____________________．三、解答题(本大题共6小题.共80分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．) 【15】【本小题满分13分】已知函数2()3sin(π)cos cos f x x x x --．【I 】 求函数()f x 的最小正周期； 【II 】求函数()f x 的单调递减区间．(16)【本小题满分13分】小王为了锻炼身体.每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图【图1】及相应的消耗能量数据表【表1】如下.频数（天）319181716PDCBA图1 表1【Ⅰ】求小王这8天 “健步走”步数的平均数；【Ⅱ】从步数为16千步.17千步.18千步的几天中任选2天.设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X .求X 的分布列.【17】【本小题满分14分】在四棱锥P ABCD -中.平面PAD ⊥平面ABCD .PAD ∆为等边三角形,12AB AD CD==,AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．【I 】求证://MB 平面PAD ； 【II 】求二面角P BC D --的余弦值； 【III 】在线段PB 上是否存在点N .使得DN ⊥平面PBC ？若存在,请求出PNPB的值；若不存在,请说明理由.【18】【本小题满分13分】已知函数()()2ln 1f x x =+.【Ⅰ】若函数()f x 在点()()00P x f x ，处的切线方程为2y x =.求切点P 的坐标；【Ⅱ】求证：当[0,e 1]x ∈-时.()22f x x x ≥-；【其中e 2.71828=⋅⋅⋅】【Ⅲ】确定非负实数a 的取值范围.使得()()220,x f x x a x ∀≥≥-成立.P MD CBA【19】【本小题满分13分】已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,点1)2在椭圆C 上．直线l 过点(1,1).且与椭圆C 交于A .B 两点.线段AB 的中点为M ．【I 】求椭圆C 的方程；【Ⅱ】点O 为坐标原点.延长线段OM 与椭圆C 交于点P .四边形OAPB 能否为平行四边形？若能.求出此时直线l 的方程.若不能.说明理由．【20】【本小题满分14分】对于任意的*n ∈N .记集合{1,2,3,,}n E n =⋅⋅⋅.,n n n P x x a E b E ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭.若集合A 满足下列条件：①nA P ⊆；②12,x x A ∀∈.且12x x ≠.不存在*k ∈N .使212x x k +=.则称A 具有性质Ω.如当2n =时.2{1,2}E =.2{1,P =.122,x x P ∀∈.且12x x ≠.不存在*k ∈N .使212x x k +=.所以2P 具有性质Ω.(Ⅰ) 写出集合35,P P 中的元素个数.并判断3P 是否具有性质Ω.【Ⅱ】证明：不存在,A B 具有性质Ω.且A B =∅.使15E A B =．【Ⅲ】若存在,A B 具有性质Ω.且A B =∅.使n P A B=.求n 的最大值.昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 【理科】 2016.1二、选择题(本大题共8小题.每小题5分.共40分．在每小题列出的四个选项中.选出符合题目要求的一项．) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BA D D CB A C二、填空题【本大题共6小题.每小题5分.共30分】【9】60 【10】24;203y x y x=±= 【11】 52 【12】18 【13】1;14- 【14】 (0,1)(9,)+∞三、解答题(本大题共6小题.共80分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．) (15)【本小题满分13分】 解：【I 】2()3sin cos cos f x x x x-311sin 2cos 222x x --π1sin(2)62x --所以 最小正周期2π2ππ.2Tω …………………………..7分(II) 由ππ3π2π22π,,262k x k k ≤≤∈Z得π5πππ,.36k x k k ≤≤∈Z ………………………11分所以函数()f x 的单调递减区间是π5π[π,π],.36k k k ∈Z ……………13分(16)【本小题满分13分】解: (I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=【千步】. …………………………..4分【II 】X 的各种取值可能为800.840.880.920.23261(800)5C P X C ===,1132262(840),5C C P X C ===112312264(880),15C C C P X C +=== 1121262(920),15C C P X C === X 的分布列为：X800 840880 920 P 1525 415 215…………………………..13分 【17】【本小题满分14分】【Ⅰ】证明:取PD 中点H ,连结,MH AH . 因为 M 为PC 中点 ,所以 1//,2HM CD HM CD=.因为1//,2AB CD AB CD=.所以//AB HM 且AB HM =. 所以四边形ABMH 为平行四边形,所以 //BM AH .因为 BM PAD ⊄平面,AH ⊂平面PAD ,所以//BM 平面PAD . …………………………..4分【Ⅱ】 取AD 中点O ,连结.PO因为 PA PD =, 所以PO AD ⊥.因为 平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ABCD ⊥平面.取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB = 则(1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),A B C D P --(2,2,0),(1,2,BC PB =-=-. 平面BCD 的法向量(0,0,OP =,设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =,由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,20.x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1x =.则(1,1,3)n =.15cos ,5||||OP n OP n OP n ⋅<>==.C由图可知.二面角P BC D --是锐二面角.所以二面角P BC D --的余弦值为5. …………………………..9分【Ⅲ】 不存在.设点(,,)N x y z ,且 ,[0,1]PNPB λλ=∈ ,则,PN PB λ=所以(,,(1,2,x y z λ-=.则,2,.x y z λλ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(,2)N λλ, (1,2)DN λλ=+.若 DN PBC ⊥平面,则//DN n ,即12λλ+==.此方程无解,所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面. …………………………..14分【18】【本小题满分13分】 【Ⅰ】解：定义域为(1,)-+∞.()2'1f x x =+.由题意.()0'2f x =.所以()00,00x f ==.即切点P 的坐标为(0,0). ………3分【Ⅱ】证明：当[0,e 1]x ∈-时.()22f x x x ≥-.可转化为当[0,e 1]x ∈-时.()220f x x x -+≥恒成立.设()2()2g x f x x x =-+.所以原问题转化为当[0,e 1]x ∈-时.()min 0g x ≥恒成立.所以2242'()2211xg x x x x -=-+=++. 令'()0g x =.则1x =【舍】.2x =所以()g x .'()g x 变化如下：x1)-e 1-'()g x + 0 - ()g x(0)g↗极大值↘(e 1)g -因为()(0)000g f =-=.2(e 1)2(e 1)2(e 1)2(e 1)(3e)0g -=--+-=+-->.所以min ()0g x =.当[0,e 1]x ∈-时.()22f x x x ≥-成立. ………………..8分【Ⅲ】解：()()20,2x f x a x x ∀≥≥-.可转化为当0x ≥时.()()220f x a x x --≥恒成立.设()()2()2h x f x a x x =--.所以222(1)'()2211ax a h x a ax x x +-=-+=++.⑴当0a =时.对于任意的0x ≥.2'()01h x x =>+.所以()h x 在[0,)+∞上为增函数.所以()min ()00h x h ==.所以命题成立.当0a >时.令'()0h x =.则210ax a +-=.⑵当10a -≥.即01a <≤时.对于任意的0x ≥.'()0h x >.所以()h x 在[0,)+∞上为增函数.所以()min ()00h x h ==. 所以命题成立.⑶当10a -<.即1a >时.则1x =【舍】.20x =>. 所以()h x .'()h x 变化如下：x0 2(0,)x 2x 2(,)x +∞'()h x- 0 + ()h x↘ 极小值↗因为()min2()()00h x h x h =<=.所以.当0x ≥时.命题不成立.综上.非负实数a 的取值范围为[0,1]. …………………………..13分【19】【本小题满分13分】解：【I】由题意得22222311,4.c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩ 解得224,1a b ==. 所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………..5分【Ⅱ】四边形OAPB 能为平行四边形．法一：【1】当直线l 与x 轴垂直时.直线l 的方程为1x = 满足题意； 【2】当直线l 与x 轴不垂直时.设直线:l y kx m =+.显然0,0k m ≠≠.11(,)A x y .22(,)B x y .(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+故1224241M x x kmx k +==-+.241M M m y kx m k =+=+．于是直线OM 的斜率14M OM M y k x k ==-.即14OM k k ⋅=-． 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠.过点(1,1).得1m k =-.因此24(1)41M k k x k -=+．OM 的方程为14y xk =-．设点P 的横坐标为P x ．由221,41,4y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2221641Pk x k =+.即P x =． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分.即2P Mx x =24(1)241k k k -=⨯+．由0k ≠.得35,.88k m ==满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时.四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . ………………………….13分 法二：【1】当直线l 与x 轴垂直时.直线l 的方程为1x = 满足题意；【2】当直线l 与x 轴不垂直时.设直线:l y kx m =+.显然0,0k m ≠≠.11(,)A x y .22(,)B x y .(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 2221228(8)4(41)(44)0,.41km km k m x x k -=-+->+=+ 故1224241M x x km x k +==-+. 241M M my kx m k =+=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分.即2,2.P M P M x x y y =⎧⎨=⎩． 则2222()()82114441km m k k -++=+.由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠.过点(1,1).得1m k =-. 则2222(164)(1))1(41k k k +-+=.则2(41)(83)0k k +-= . 则35,.88k m == 满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时.四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . …………………………..13分【20】【本小题满分14分】(Ⅰ) 解：集合35,P P 中的元素个数分别为9.23.3P 不具有性质Ω. ……………..6分【Ⅱ】证明：假设存在,A B 具有性质Ω.且AB =∅.使15E A B =．其中15{1,2,3,,15}E =⋅⋅⋅. 因为151E ∈.所以1A B ∈.不妨设1A ∈．因为2132+=.所以3A ∉.3B ∈．同理6A ∈.10B ∈.15A ∈．因为21154+=.这与A 具有性质Ω矛盾．所以假设不成立.即不存在,A B 具有性质Ω.且A B =∅.使15E A B =.…..10分【Ⅲ】因为当15n ≥时.15n E P ⊆.由【Ⅱ】知.不存在,A B 具有性质Ω.且A B =∅.使n P A B =．若14,n =当1b =时.1414x x a E E ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭.取{}11,2,4,6,9,11,13A =.{}13,5,7,8,10,12,14B =.则11,A B 具有性质Ω.且11A B =∅.使1411E A B =．当4b =时.集合14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中除整数外.其余的数组成集合为13513{,,,,}2222⋅⋅⋅.令215911{,,,}2222A =.23713{,,}222B =.则22,A B 具有性质Ω.且22A B =∅.使2213513{,,,,}2222A B ⋅⋅⋅=．当9b =时.集14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中除整数外.其余的数组成集合12457810111314{,,,,,,,,,}3333333333.令31451013{,,,,}33333A =.32781114{,,,,}33333B =．则33,A B 具有性质Ω.且33A B =∅.使3312457810111314{,,,,,,,,,}3333333333A B =．集合1414,,1,4,9C x x a E b E b ⎧⎫==∈∈≠⎨⎬⎩⎭中的数均为无理数.它与14P 中的任何其他数之和都不是整数.因此.令123A A A A C =.123B B B B =.则A B =∅.且14P A B =．综上.所求n 的最大值为14. ……………..14分。
山西省太原市2022届高三上学期期末数学(理)试题(解析版)
，
令 ，则 ；令 ，则 .
是 的单调递增区间； 是 的单调递减区间.
【小问2详解】
在 恒成立，
即 在 恒成立，
即 在 恒成立，
令 ，
在 上单调递增且 ，
时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取得最小值，即 ，
令 ，
令 ， 在 单调递减，
因为 ，当 时， ；当 时， .
D选项， 内的任何直线都与 平行，则 ，D选项正确.
故选：D
4.等比数列 中， ，则 的通项公式为（）
A. B.
C 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，结合等比数列的通项公式可得 求公比，进而写出 的通项公式.
【详解】令公比 ，由题设有 ，
所以 ，解得 或 ，经检验符合题设
所以 ，可得 或 .
可取 ，
则 ，
故平面PAB与平面BDM所成锐二面角的余弦值为 .
21.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 单调递增区间是 ，单调递减区间是
（2）
【解析】
【分析】（1）导数后解不等式即可求解；
（2）将问题转化为 在 恒成立，再分别研究 与 的最值,再比较即可.
从1到10这十个数中任取三个数所有的取法，这三个数的和为奇数的取法，由古典概型概率计算公式可得答案.
【详解】设“从1到10这十个数中任取三个，这三个数的和为奇数”为事件 ，
从1到10这十个数中任取三个数有 种取法，
要使这三个数的和为奇数，须取的三个数中有2个偶数一个奇数，或者三个数都为奇数两种情况；1到10这十个数分成偶数一组，奇数一组各有5个，所以
高三数学第一学期期末理科试题
五校2021年—2021学年高三第一学期期末联考制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
数学试题〔理科〕本套试卷分选择题和非选择题两局部，一共4页，满分是为150分，考试时间是是120分钟。
考前须知：1．答卷前，所有考生必须用黑色字迹的钢笔或者签字笔将本人的姓名和考号填写上在答题卡上。
2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或者签字笔答题，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液。
第一局部 选择题〔一共40分〕一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的．1．假设集合}1|{2<=x x M ，}1|{xxy x N -==，那么N M = A ．M B ．N C ．φ D ．}10|{}01|{<<<<-x x x x 2．在复平面内，复数1＋i2021(1－i)2 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．cos 0()(1)10xx f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，那么)34()34(-+f f 的值等于A ．2-B ．1C ．2D ．3 4．三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有以下命题①假设αα//,,//m n n m 则⊂； ②假设βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；③假设βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④假设αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，那么数列nb{a }前10项的和等于A.55B.70C.85D.1006．定义行列式运算1234a a a a =1423a a a a . 将函数3sin ()1cos xf x x的图象向左平移n 〔0n 〕个单位,所得图象对应的函数为偶函数，那么n 的最小值为A．6B．3C．56D ．237．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x，且(1)1,f (0)2f ，那么(1)(2)(3)(2008)f f f f 的值是A ．2B ．1C ．0D ．18．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下： 当n 为偶数时，!!(2)(4)642n n n n =--当n 为奇数时，!!(2)(4)531n n n n =--`现有四个命题：①(2007!!)(2006!!)2007!=， ②2006!!21003!=，③2006!!个位数为0， ④2007!!个位数为5其中正确的个数为A.1B.2C.3D.4第二局部 非选择题〔一共110分〕二、填空题：本大题一一共7小题，其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每一小题5分，满分是30分.9．假设抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，那么p 的值是 ． 10．设a ＝(sin cos )x x dx π+⎰，那么二项式61()a x x-展开式中含2x 项的系数是11．在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1， 那么2221111CBCA h +=；类比此性质，如图，在四 面体P —ABC 中，假设PA ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，那么得到的正确结论为 ；12．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比拟，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用〞，利用22⨯列联表计算得2 3.918K ≈，经查对临界值表知2( 3.841)0.05P K ≥≈．对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用〞 q ：假设某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒 r ：这种血清预防感冒的有效率为95% s ：这种血清预防感冒的有效率为5%那么以下结论中，正确结论的序号是 ．〔把你认为正确的命题序号都填上〕〔1〕 p ∧﹁q ； 〔2〕﹁p ∧q ； (3)〔﹁p ∧﹁q 〕∧〔r ∨s 〕； 〔4〕(p ∨﹁r )∧(﹁q ∨s ) ▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. 13．〔坐标系与参数方程选做题〕 圆的极坐标方程为2cos ρθ=，那么该圆的圆心到直线FEDCB ADAsin 2cos 1ρθρθ+= 的间隔 是 .14．〔不等式选讲选做题〕 g(x)=|x-1|-|x-2|,那么g(x)的值域为 ；假设关于x 的不等式2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，那么实数a 的取值范围是 ．15．〔几何证明选讲选做题〕 如图：PA 与圆O 相切于A ， PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，∠BPA=030，PA=PC=1，那么圆O 的半径等于 ．三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明、演算步骤或者推证过程. 16．〔本小题满分是12分〕 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； 〔2〕求△ABC 的面积.17．〔本小题满分是12分〕一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：23123456f(x)=x,f(x)=x ,f(x)=x ,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2. 〔1〕现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； 〔2〕现从盒子中进展逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，假设取到一张记有偶函数的卡片那么停顿抽取，否那么继续进展，求抽取次数ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分是14分) 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。
高三上学期理科数学期末试卷及答案(共3套)
第一学期期末教学质量检查高三数学（理科）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1.已知集合 A ＝{x | x 2 －x －2＞0}，B ＝{x |1≤x ≤3}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A ．[1,2) B. (1,3] C. [1,2] D. (2,3]2.若复数z 满足z (1+i ) ＝－2i （i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝（ ） A ．14 B ．12C ．2D ．1 3. 已知函数()3sin()3f x x πω=+的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个所得图象对应的函数为()y g x =，则关于函数为()y g x =的性质，下列说法不正确的是（ ） A ．g (x )为奇函数 B ．关于直线2x π=对称C.关于点(π，0)对称 D ．在(,)64ππ-上递增 4.设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则5.下方茎叶图为高三某班50名学生的数学考试成绩，算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是( )A.m ＝38，n ＝12mB.＝26，n ＝12C. m ＝12，n ＝12D. m ＝24，n ＝106. 《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为( )A．43钱B．54钱C．65钱D．76钱7.已知函数，则函数y＝f (1－x) 的大致图象是()8. 在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为A. 0.352B. 0.432C. 0.36D. 0.6489.对于实数m＞－3，若函数1()2xy=图象上存在点（x, y）满足约束条件30230x yx yx m-+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则实数m 的最小值为A．12B. －1C.－32D. －210.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．12B. 1C.32D. 211.已知数列{n a} 的前n 项和为n S ，成等比数列，成等差数列，则2016a等于A. －1009 B．－1008 C．－1007 D．－100612.已知函数 f (x ) ＝x 3 +ax 2 +bx + c 有两个极值点，则关于x 的方程的不同实根个数可能为A. 3, 4,5 B ．4,5, 6 C. 2, 4,5 D ．2,3, 4二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13.设向量a ＝(,2)x ，b ＝（1，－1），且a 在b x 的值是_________. 14.的展开式中含x 项的系数为－6，则常数a ＝_______．15.轴截面为等边三角形的圆锥的表面积与其外接球表面积之比为___________.16. 在△ABC 中，∠ACB ＝120° ,D 是 AB 上一点，满足∠ADC ＝60° ,CD ＝2,若CB ≥∠ACD的最大值为_________.三、解答题：（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12 分)设△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别是a ，b ， c cos C +c sin B 。
高三数学第一学期期末高三数学理科测试试题
第一学期期末考试 高三数学理科测试试题满分150分；完卷时间为120分钟；答案请写在答题纸上一、填空题(每小题4分；共44分)1、已知集合P ={x |x 2–9<0}；Q ={y |y=2x ；x ∈Z }；则P ∩Q = 。
2、若复数i iaz ++=1为实数；则实数=a 。
3、函数f (x )=1+log 2 x (x ≥2)的反函数f –1(x ) = 。
4、函数xx y 4+=；x ∈[4,6]的最小值 。
5、若方程16422=++-ky k x 表示椭圆；则k 的取值范围是 。
6、方程sin x+cos x = –1在[0,π]内的解为 。
7、向量→a 与→b 的夹角为150；3||=→a ；4||=→b ；则=+→→|2|b a 。
8、直线3x +y –23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角的大小为 。
9、在实数等比数列{a n }中a 1+a 2+a 3=2；a 4+a 5+a 6=16；则a 7+a 8+a 9= 。
10、定义在R 上的偶函数f (x )；满足f (2+x ) = f (2–x )；且当x ∈[0,2]时；f (x )=24x -；则f (2008)= 。
11、正数数列{a n }中；对于任意n ∈N *；a n 是方程(n 2+n )x 2+(n 2+n –1)x –1=0的根；S n 是正数数列{a n }的前n 项和；则=∞→n n S lim 。
二、选择题(每小题4分；共16分) 12、在复平面内；复数z =i-21对应的点位于 ( )(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 13、命题：“对任意的R x ∈；0322≤--x x ”的否定是 ( )(A )不存在R x ∈；0322≤--x x ； (B )存在R x ∈；0322≤--x x ； (C )存在R x ∈；0322>--x x ； (D )对任意的R x ∈；0322>--x x .14、已知A (1,0)、B (7,8)；若点A 和点B 到直线l 的距离都为5；且满足上述条件的直线l 共有n 条；则n 的值是 ( ) (A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 415、 已知直线l ：(m+1)x –my +2m –2=0与圆C ：x 2+y 2=2相切；且满足上述条件的直线l 共有n 条；则n 的值为 ( ) (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 以上答案都不对 三、解答题(本大题满分90分) 16、(本大题12分)设函数f (x )=)2sin()42cos(21ππ+-+x x ；(1)化简f (x )的表达式；求f (x )的定义域；并求出f (x )的最大值和最小值；(2)若锐角α满足cos α=54；求f (α)的值。
高三上册数学理科期末试题及答案
高三上册数学理科期末试题及答案【导语】高三的日子是苦的，有刚入高三时的迷茫和压抑，有成绩失意时的沉默不语，有晚上奋战到一两点的精神*双重压力，也有在清晨凛冽的寒风中上学的艰苦经历。
在奋笔疾书中得到知识的快乐，也是一种在巨大压力下显得茫然无助的痛苦。
xx高三频道为你整理《高三上册数学理科期末试题及答案》希望对你有帮助！第一卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中有且只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。
，，且，那么实数的值为A.B.C.D.2.设集合，，假设，那么实数的值为A.B.C.D.3.直线平面,直线,那么“〞是“〞的4.定义：.假设复数满足，那么等于A.B.C.D.A.B.C.D.6.某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，那么可以输出的函数是A.B.C.D.7.假设函数的图象(局部)如下图，那么和的取值是A.B.C.D.8.假设函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，那么可以是A.B.C.D.9.，假设方程存在三个不等的实根，那么的取值范围是A.B.C.D.10.集合,。
假设存在实数使得成立,称点为“￡〞点，那么“￡〞点在平面区域内的个数是第二卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡上. 知随机变量，假设，那么等于******.12.某几何体的三视图如下右图所示，那么这个几何体的体积是******.13.抛物线的准线与双曲线相切，那么双曲线的离心率******.14.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，那么实数的值为******.15.不等式，假设对任意且，该不等式恒成立，那么实数的取值范围是******.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.(本小题总分值13分)在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，. (Ⅰ)求与;(Ⅱ)证明：.向量(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)求由的图象、轴的正半轴及轴的正半轴三者围成图形的面积。
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福建省莆田一中-第一学期期末考试卷高三数学(理科)注意事项：非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，否则答案无效参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A∪B）= P（A）+ P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）= P（A）· P（B）()()22221211236n n nn++++++=第一部分选择题(共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}A x y x y x y RB x y x y x y R=+=∈=-=∈,则集合A B的元素个数是A. 0B. 1C. 2D. 32．已知向量OA和向量OC对应的复数分别为34i+和2i-，则向量AC对应的复数为A．53i+B．15i+C．15i--D．53i--3.函数()sin cos()f x x x x R=-∈的最小正周期是A.2πB. πC. 2πD. 3π4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为A.4B.2C.2D.125.如图1所示的算法流程图中，第3个输出的数是A. 1B.32C. 2D.526.如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是A. 2(80cm+B. 296cmC. 2(96cm+主视图左视图D. 2112cm8．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是A ．72B ．73C ．74D ．759.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A. ()2,2- B. []2,2- C. (),1-∞- D. ()1,+∞10.如图3所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若4312412,()1234i i a a a a Sk ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =， 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =， 若431241,()1234i i S S S S K iH ======∑则 A.4VK B. 3V K C. 2V K D.V K第二部分 非选择题(共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是12.已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数则1100a a += , 123499100a a a a a a ++++++=图213．已知,3,2,==⊥b a b a且b a 23+与b a -λ垂直，则实数λ的值为 .14.不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D ,若圆222:O x y r +=上的所有点都在区域D 内上，则圆O 的面积的最大值是15．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是单调函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.) 16．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a c b ac +-=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值． 17．（本小题满分14分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (Ⅰ)求证：1BDD AC 平面⊥(Ⅱ)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点B 到平面EC A 1的距离.18．（本小题满分14分）某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为23()37004510R x x x x =+-（单位：万元），成本函数为()4605000C x x =+（单位：万元），又在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-。
（Ⅰ）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（提示：利润=产值-成本） （Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（Ⅲ）求边际利润函数()MP x 单调递减时x 的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？19．（本小题满分12分）中央电视台《同一首歌》大型演唱会曾在我市湄洲岛举行，之前甲、乙两人参加1B 1C ED CBA1D 1A大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。
规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布（列表）及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．20.(本小题满分14分)如图所示，已知曲线(01)x t t =<≤与曲线1C (1) 求证:曲边．．四边形面积()S f t =3221()6f t t at a t =-+(2)求函数()S f t = 21．（本小题满分14分）已知曲线C ：xy e =点1Q ，过点1Q 作x 2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式； （Ⅱ）设O 为坐标原点，求21ni i OP =∑x莆田一中-第一学期期末考试卷 高三 数学(理)参考答案及评分标准20x x m +-=若方程有实数根 则m >0 ; 100、 5000； 23； 45π；022=-≤≥t t t 或或三、解答题(本大题共6小题，共80分)16．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-=＝12 (2分) ∵0B π<<，∴ 3B π=． (4分)（Ⅱ）解法一：将3c a =代入222a c b ac +-=，得b =． ……6分由余弦定理，得222cos 214b c a A bc +-==． ……8分∵0A π<<，∴sin 14A ==． (10分) ∴sin tan cos A A A ==． (12分)解法二：将3c a =代入222a c b ac +-=，得b =． ……6分由正弦定理，得sin B A =． (8分) ∵3B π=，∴sin A =． (10分)又b a =>，则B A >，∴cos A ==。
∴sin tan cos A A A ==． (12分)解法三：∵3c a =， 由正弦定理，得sin 3sin C A =． ……6分∵3B π=，∴()23C A B A ππ=-+=-． ∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫-=⎪⎝⎭． ……8分∴22sin cos cos sin 3sin 33A A A ππ-=．∴1cos sin 3sin 22A A A += ……10分∴sin tan cos A A A == ……12分 17．（本小题满分14分） 解法一：（1）连接BD ，由已知有ABCD D D 平面⊥1 得D D AC 1⊥…………………………………1分又由ABCD 是正方形，得：BD AC ⊥……2分 ∵D D 1与BD 相交，∴1BDD AC 平面⊥……3分（2）延长DC 至G ，使CG=EB ，,连结BG 、D 1G ， ，∴四边形EBGC 是平行四边形.∴BG ∥EC. ∴BG D 1∠就是异面直线BD 1与CE 所成角…………………………5分 在BG D 1∆中，321=B D 13325221=+==G D BG ，…………………6分15155322135122cos 1212211=⨯⨯-+=⋅-+=∠∴BG B D G D BG B D BG D 异面直线 1BD 与CE 所成角的余弦值是1515……………………………8分（3）∵CBE AE A ∆≅∆1 ∴51==CE E A 又∵321=C A ∴ 点E 到C A 1的距离235=-=d ，有：62111=⋅=d C A S EC A 12111=⋅=A A EB S EB A ，…………11分 又由EB AC EC A B V V 11--= ， 设点B 到平面EC A 1的距离为h ，则CB S h S EB A EC A ⋅=⋅113131 ， 有26=⋅h ，36=h ， 所以点B 到平面EC A 1的距离为36…14分 解法二：（1）见解法一…………………………3分EB CG //（2）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则有B （2，2，0）、1D （0，0，2）、E （2，1，0）、C （0，2，0）、1A （2，0，2）∴=1BD （-2，-2，2），=（2，-1，0）………5分15155322,cos 1-=⨯-=⋅>=<CE BD CE BD ……7分 即……余弦值是1515……8分（3）设平面EC A 1的法向量为),,(z y x =， 有：01=⋅A ，0=⋅，…………8分由：=A 1（0，1，-2），=（2，-1，0）…………………………9分 可得：⎩⎨⎧=-=-0202y x z y ，令2=y ，得)1,2,1(=n …………………………11分由=（0，1，0） 有：点B 到平面EC A 1的距离为3662===h ………………14分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）32()()()104532405000P x R x C x x x x =-=-++-,*(,x 20)x N ∈≤≤且1; 2分2MP(x)P(x 1)P(x)30x 60x 3275=+-=-++,*(N ,)x x 19∈≤≤且1. …………… 4分（Ⅱ）()()().2P x 30x 90x 324030x 12x 9'=-++=--+(),()0x 12 P x 0x 12P x 0∴><＇＇当 <<时当>时 . 12()x P x ∴=，有最大值.即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大． ……………………8分 （Ⅲ）())22MP x 30x 60x 3275=30x 13305,=-++--+( ……………………11分所以，当x 1≥时，()MP x 单调递减，x 的取值范围为[]1,19，且.x N *∈ …………12分()MP x 是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．14分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则343101(0)30C P C ξ===，12643103(1)10C C P C ξ⋅===，21643101(2)2C C P C ξ⋅===，363101(3)6C P C ξ=== (4分)其分布列如下：甲答对试题数ξ的数学期望： E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯． …………6分 （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+， P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C ．………9分 因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P ． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． …………………12分 另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为（三种情况两两互斥、A 、B 相互独立）()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P ． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544．20. （本小题满分14分）解：(1)由222(0,0),(,)2y x O A a a y x ax ⎧=⎨=-+⎩得点 又由已知得22(,2),(,)B t t at D t t -+ 2分故2222011(2)(2)()22t S x ax dx t t t at t a t =-+-⋅⋅+-+-⋅-⎰32216t at a t =-+3221()(01)6S f t t at a t t ∴==-+<≤ 6分222211(2)()2()0,2022:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t ''=-+=-+===≤ 令即解得或由舍去) 8分若2(212a a +≥≥即,01,()0t f t '<≤∴≥ 21()(1)6f t f a a ∴=-+在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 10分2(212a a +-≤≤≤若即, 0<t 1,(2t a ∴<<当0时,()0f t '>()]f t a ∴在区间上单调递增当(21,()0a t f t '<≤<时(),1]f t a ∴在区间上单调递减32()[(2]1)3f t f a a ∴=的最大值是 13分综上所述[]2max31,6()21),13a a a f t a a ⎧-+≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩ 14分 21. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵xy e '=，∴曲线C ：xy e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =．此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0，∴点1P 的坐标为()0,1． ……2分 ∵点n P (),n n x y （*n ∈N ），∴曲线C ：xy e =在点n P 处的切线方程为()nn x x n y ee x x -=- (4)分令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列。