华师大版九年级上册数学第22章测试题带答案
华师大版九年级上册数学第22章 一元二次方程含答案
华师大版九年级上册数学第22章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知x=﹣1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则（m﹣n）2的值为（）A.0B.1C.2D.42、有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（）A.x（x﹣1）=45B. x（x+1）=45C. x（x﹣1）=45D.x （x+1）=453、一元二次方程4x2-2x-1＝0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4、若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（）A. B. C. D.5、定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程的解为（）A. 或B. 或C. 或D. 或6、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（）A.-1B.0.5C.-1或-2D.-1或0.57、已知关于x的一元二次方程x2+ax-a=0的一个根是-2，则a的值为( )A.4B.-4C.D.8、一个三角形的两边长为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（）A.10B.10或12C.12D.11或129、关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为( )A.1或－1B.1C.－1D.10、已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是（）A.1一定不是方程的根B.0一定不是方程的根 C. 可能是方程的根 D.1和-1都是方程的根11、某市为了改善城市容貌，绿化环境，计划过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ( )A.19%B.20%C.21%D.22%12、若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A.0B.2C.7D.2或713、下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；（5）=x﹣1，一元二次方程的个数是（）A.1B.2C.3D.414、一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.无法确定是否有实数根 D.有两个不相等的实数根15、若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是( )A.k=0B.k≥-1C.k≥-1且k≠0D.k＞-1二、填空题(共10题，共计30分)16、一元二次方程x²-4x+6=0实数根的情况是________ 。
华师大版九年级数学上册第22章 一元二次方程达标测试卷 含答案
第22章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各方程中，是一元二次方程的是()A．3x＋2＝3 B．x3＋2x＋1＝0C．x2＝1 D．x2＋2y＝02．关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则a的值为() A．1 B．－1 C．2 D．－23．将一元二次方程－3x2－2＝－4x化成一般形式，下列正确的为() A．3x2－4x＋2＝0 B．3x2－4x－2＝0C．3x2＋4x＋2＝0 D．3x2＋4x－2＝04．[2018·宜宾]一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为() A．－2 B．1 C．2 D．05．方程x2＋6x－5＝0的左边配成完全平方式后所得方程为() A．(x＋3)2＝14 B．(x－3)2＝14C．(x＋3)2＝4 D．(x－3)2＝46．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－5m＋3＝0有一个根为1，则m的值为()A．1 B．3 C．0 D．1或37．已知a、b、c为实数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是()A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有两个不相等的实数根D．有一根为08．[2018·舟山]欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝a2，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝a2，如图，则该方程的一个正根是()A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长9．已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，若k为非负整数，则k 等于()A．0 B．1 C．0，1 D．210．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15 cm2的是()A．2秒B．3秒C．4秒D．5秒二、填空题(每题3分，共18分)11．[2018·淮安]一元二次方程x2－x＝0的根是__________．12．写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程__________．13．[2018·黔西南州]三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是__________．14．[2018·南通]若关于x的一元二次方程12x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为__________．15．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为__________．16．关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝2，x2＝－1(a，b，m均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________．三、解答题(17～20题每题8分，21～22题每题10分，共52分)17．用适当的方法解下列方程：(1)2x2－4x＝1；(2)(2x＋3)2－2(2x＋3)＝0.18．已知关于x的方程2x2－kx＋1＝0的一个解与方程2x＋11－x＝4的解相同．求：(1)k的值；(2)方程2x2－kx＋1＝0的另一个解．19．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m－1＝0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．20．“低碳环保，绿色出行”，自行车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌共享自行车在某区域的投放量自2018年逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了1 600辆，3月份投放了2 500辆．若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，求4月份投放了多少辆？21．[2018·德州]为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？22．[2018·常州]阅读材料：各类方程的解法．求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝________，x3＝________；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x＋3＝x的解；(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C.求AP的长．答案一、1.C 2.C 3.A 4.D 5.A6．B 点拨：把x ＝1代入(m －1)x 2＋x ＋m 2－5m ＋3＝0，得m 2－4m ＋3＝0，解得m 1＝3，m 2＝1，而m －1≠0，所以m ＝3.故选B .7．C 点拨：∵(a －c )2＝a 2＋c 2－2ac ＞a 2＋c 2，∴ac ＜0.在方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，Δ＝b 2－4ac ，∵b 2≥0，ac ＜0，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根．故选：C.8．B 点拨：x 2＋ax ＝b 2可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，结合勾股定理可得该方程的一个正根是AD 的长，故选：B.9．B 点拨：由题意可知：⎩⎨⎧4－4k ≥0，k ≠0，k ≥0，∴0＜k ≤1，由于k 是整数，∴k ＝1.10．B 点拨：设动点P ，Q 运动t 秒后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2，则BP为(8－t )cm ，BQ 为2t cm ，由三角形的面积计算公式得，12×(8－t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5(不合题意，舍去)．故动点P ，Q 运动3秒时，能使△PBQ 的面积为15 cm 2.二、11.x 1＝0，x 2＝112．x 2－3x ＝0(答案不唯一)13．1314.72 点拨：由题意可知：4m 2－4×12×(1－4m )＝4m 2＋8m －2＝0，∴m 2＋2m ＝12，∴(m －2)2－2m (m －1)＝－m 2－2m ＋4＝－12＋4＝72.15．6，8，10或－2，0，2 点拨：设最小的偶数为x ，根据题意得(x ＋4)2＝x 2＋(x ＋2)2，解得x ＝6或－2.当x ＝6时，x ＋2＝8，x ＋4＝10；当x ＝－2时，x ＋2＝0，x ＋4＝2，因此这三个数分别为6，8，10或－2，0，2.16．x ＝0或x ＝－3 点拨：∵关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝2，x 2＝－1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，∴方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0变形为a [(x ＋2)＋m ]2＋b ＝0，即此方程中x ＋2＝2或x ＋2＝－1，解得x ＝0或x ＝－3.三、17. 解：(1)二次项系数化为1，得x 2－2x ＝12.配方，得x 2－2x ＋1＝12＋1，即(x －1)2＝32. 直接开平方，得x －1＝±62.故x 1＝2＋62，x 2＝2－62.(2)原方程可化为(2x ＋3)(2x ＋3－2)＝0，即(2x ＋3)(2x ＋1)＝0.可得2x ＋3＝0或2x ＋1＝0.解得x 1＝－32，x 2＝－12.18．解：(1)解方程2x ＋11－x ＝4得x ＝12.经检验，x ＝12是分式方程的解，且符合题意． 将x ＝12代入方程2x 2－kx ＋1＝0，有2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12k ＋1＝0，解得k ＝3. (2)当k ＝3时，一元二次方程即为2x 2－3x ＋1＝0，解得x 1＝12，x 2＝1，故另一个解为x ＝1.19．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－3)2－4(m －1)>0. 解得m <134.(2)当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0，即(－3)2－4(m －1)＝0，解得m ＝134.当m ＝134时，方程为x 2－3x ＋134－1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝0， 故x 1＝x 2＝32.20．解：设月平均增长率为x ，根据题意，得1 600(1＋x )2＝2 500， 解得：x 1＝0.25＝25%，x 2＝－2.25(不合题意，舍去)，∴月平均增长率为25%，∴4月份投放了2 500(1＋x )＝2 500×(1＋25%)＝3 125(辆)．21．解：(1)设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将(40，600)、(45，550)代入得：⎩⎨⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550，解得：⎩⎨⎧k ＝－10，b ＝1000，∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.(2)每台设备的利润为(x －30)万元，销售量为(－10x ＋1 000)台，根据题意得： (x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000，整理，得：x 2－130x ＋4 000＝0，解得：x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元．∴该设备的销售单价应是50万元．22．解：(1)－2；1(2)方程的两边平方，得2x ＋3＝x 2，即x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1，当x ＝－1时，2x ＋3＝1＝1≠－1，当x ＝3时，2x ＋3＝3＝x ， 所以方程2x ＋3＝x 的解是x ＝3.(3)因为四边形ABCD 是矩形，所以∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝CD ＝3 m. 设AP ＝x m ，则PD ＝(8－x )m ，因为BP ＋CP ＝10，BP ＝AP 2＋AB 2，CP ＝CD 2＋PD 2， ∴9＋x 2＋（8－x ）2＋9＝10， ∴（8－x ）2＋9＝10－9＋x 2，两边平方，得(8－x )2＋9＝100－209＋x 2＋9＋x 2， 整理，得5x 2＋9＝4x ＋9，两边平方并整理，得x 2－8x ＋16＝0，即(x －4)2＝0，∴x 1＝x 2＝4.经检验，x ＝4是方程的解．答：AP 的长为4 m.。
华东师大版九年级数学上册第22章同步测试题及答案
华东师大版九年级数学上册第22章同步测试题及答案22.1 一元二次方程一、 选择题1．下列方程，是一元二次方程的是（ ）A ．2(x-1)=3xB ．=0C ．D ．x(x-1)=y.2．要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．a 0B ．a 3C ．a １且a －１D ．a 3且b -１且c 03．x 2m −1+10x+m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值应为（ ）A ．m=2B ．m ＝C ．m=D ．无法确定4．如果关于x 的方程是一元二次方程，则m 为（ ）Ａ．-1B ．-1或3C ．3D ．1或-35．把方程x （x+2）=5（x-2）化成一般式，则a ，b ，c 的值分别是（ ） A ．1，-3，10B ． 1，7，-10C ．1，-5，12D ．1，3，26．下列一元二次方程中，常数项为0的是（ ）A ．B ．C ．D ．27．方程（x-1）（x+3）=12化为ax 2+bx+c=0的形式后，a ，b ，c 的值为（ ） A ．1，2，-15B ． 1，-2，-15C ．-1，-2，-15D ．-1，2，-158．把方程（）（）+（2x-1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（ ）A ．B ．C ．D ．59．一元二次方程x 2+px-2=0的一个根为2，则p 的值为（ ） A ． 1B ．2C ．-1D ． -210．方程x 2+ax+1=0和x 2-x-a=0有一个公共根，则a 的值是（ ） A ． 0B ．1C ．2D ． 321x x +220x x -=≠≠≠≠≠≠≠232332221(3)10m m m xmx ---++=21x x +=22120x x --=22(1)3(x 1)x -=-2(1)2x x +=+25440x x --=250x -=25210x x -+=2460x x -+=11．若0是关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-3m+2=0的一根，则m 值为（ ） A ． 1B ．0C ．1或2D ． 212．若方程（a-b ）x 2+（b-c ）x+（c-a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ） A ． a=b=cB ．一根为1C ．一根为-1D ． 以上都不对13．已知关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0有一个非零根-b ，则a-b 的值为（ ） A ． 1B ．－1C ．0D ．－214. 关于x 的方程（k+4）x 2-2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是（ ） A ．k≠0 B ．k≥4 C ．k=-4 D ．k≠-4二、填空题15．已知（m-2）x 2-3x+1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 16 方程mx 2-3x=x 2-mx+2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围为 . 17．若方程是关于x 的一元二次方程，则m= .18．一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 .19．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个解为1和-1，则有a+b+c= ；a-b+c= .20．已知x=-1是一元二次方程ax 2+bx-10=0的一个解，且a≠-b ，则的值为 .三、解答题21．关于x 的方程（m2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：甲同学认为：原方程中二次项系数与m 有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；乙认为：原方程序中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．23．试证明关于x 的方程（a 2-8a+20）x 2+2ax+1=0无论a 取何值，该方程都是一元二次方程21(1)230m m xmx +-+-=2222a b a b -+23．一元二次方程a （x+1）2+b （x+1）+c=0化为一般式后为3x 2+2x-1=0，试求a 2+b 2-c 2的值的算术平方根．24．当k 取何值时，关于x 的方程（k 2-1）x 2+（k-1）x+1=0是一元二次方程？．25．已知关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x-m 2-2m+3=0有一根是0，求m 的值及这个方程的另一个根． 答案一 、1．C 分析：A ．方程二次项系数为0，故本选项错误；B ．不是整式方程，故本选项错误；C ．符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D ．有两个未知数，故本选项错误．所以选C ． 2．B 分析：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3．所以选B ．3．C 分析：∵x 2m −1+10x+m ＝0是关于x 的一元二次方程，∴2m-1=2，∴m= ，故选C ．4．A 分析：根据题意得m-3≠0，m 2-2m-1=2，解得m=-1．所以选A ．5．A 分析：由方程x （x+2）=5（x-2），得x 2-3x+10=0，∴a 、b 、c 的值分别是1、-3、10；所以选A ．6．D 分析：A.x 2+x-1=0，常数项为-1，故本选项错误；B.2x 2-x-12=0，常数项为-12，故本选项2332错误；C.2x 2-3x+1=0，常数项为1，故本选项错误；D.2x 2-x=0，常数项为0，故本选项正确．所以选D ．7．A 分析：∵原方程化成成一元二次方程的一般形式为x 2+2x-15=0，∴a=1，b=2，c=-15．所以选A ．8．A 分析：（）（）+（2x-1）2=0，即x 2)2+4x 2-4x+1=0，移项合并同类项得：5x 2-4x-4=0，所以选A ．9．C 分析：∵一元二次方程x 2+px-2=0的一个根为2，∴22+2p-2=0，解得 p=-1．所以选C ． 10．C 分析：∵方程x 2+ax+1=0和x 2-x-a=0有一个公共根，∴（a+1）x+a+1=0，解得x=-1，当x=-1时， a=2，所以选C11．D 分析：∵0是关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-3m+2=0的一根，∴（m-1）×0+5×0+m 2-3m+2=0，即m 2-3m+2=0，解方程得：m 1=1（舍去），m 2=2，∴m=2，所以选D 12．B 分析： A ．当a=b=c 时，a-b=0，b-c=0，则式子不是方程，故错误；B ．把x=1代入方程的左边：a-b+b-c+c-a=0．方程成立，所以x=1是方程（a-b ）x 2+（b-c ）x+（c-a ）=0的解；C ．把x=-1代入方程的左边：a-b+c-b+c-a=2（c-b ）=0不一定成立，故选项错误，所以选B ． 13．A 分析：∵关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0有一个非零根-b ，∴b 2-ab+b=0，∵-b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b ，得b-a+1=0，∴a-b=1．所以选A ． 14. D 分析：由题意得：k+4≠0，解得：k≠-4，故选D ． 二、15．m 2 分析：根据题意得m-2≠0，所以m≠2．16 . m≠1 分析：原方程可化为：（m-1）x 2-（3-m ）x-2=0，∵此方程是一元二次方程，∴m-1≠0，即m≠117．-1 分析：∵是关于x 的一元二次方程，∴m 2+1=2，m-1≠0，解得m=±1，m≠1，所以答案为-1．18． 分析：∵一元二次方程（x+1）（3x-2）=10可化为3x 2-2x+3x-2=10，∴化为一元二次方程的一般形式为3x 2+x-12=0．19．0，0 分析：将1代入方程得， a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0；将-1代入方程得， a×（-1）2+b×（-1）+c=0，即a-b+c=0．20．5 分析：∵x=-1是一元二次方程ax 2+bx-10=0的一个解，∴a-b-10=0，∴a-b=10．∵a≠-b ，∴a+b≠0，∴三、21．解：乙正确.≠21(1)230m m xmx +-+-=23120x x +-=22()(a b)105222(a b)22a b a b a b a b -+--====++证明如下：m 2-8m+19=m 2-8m+16+3=（m-4）2+3≠0， 所以可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确． 22．证明：∵a 2-8a+20=（a-4）2+4≥4， ∴无论a 取何值，a 2-8a+20≥4，即无论a 取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，∴关于x 的方程（a 2-8a+20）x 2+2ax+1=0，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程． 23．解：整理a （x+1）2+b （x+1）+c=0得ax 2+（2a+b ）x+（a+b+c ）=0，则解得∴a 2+b 2-c 2=9+16=25，∴a 2+b 2-c 2的值的算术平方根是5 25．解：由题意，得k 2-1≠0， 解得k≠±1，故当k≠±1时，关于x 的方程（k 2-1）x 2+（k-1）x+1=0是一元二次方程26．解：由题意得 解得m=-3将m=-3代入原方程得-4x 2+x=0，所以另一根为22.2.1 直接开平方法和因式分解法一、选择题1．方程（x +1）2=9的解是（ ） A ．x =2B ．x ＝-4C ．,12x 2x 4==-D ．,12x 2x 4=-=-.2．方程（x +1）2=4（x -2）2的解是（ ） A ．x =１B ．x ＝５C ．,12x 1x 5==D ．,12x 1x 2==-3．若2x +1与2x -1互为倒数，则实数x 为（ ） A ．x= ±1 C．2±D．4．若（x +1）2-1=0，则x 的值等于（ ）3221a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=-⎩a 3b 4c 0=⎧⎪=-⎨⎪=⎩210230m m m -≠⎧⎪⎨--+=⎪⎩14A ．x =±1B ．x ＝2±.C ．0或2.D ．0或 -25．关于x 的一元二次方程x 2-k =0有实数根，则（ ） A ．k<0B ．k>0C ．k 0≥D ．k 0≤6．若方程式（3x -c ）2-60=0的两根均为正数，其中c 为整数，则c 的最小值为（ ） A ．1B ．8C ．16D ．617．关于x 的一元二次方程（x -a ）2=b ，下列说法中正确的是（ ）A ．有两个解0,有两个解aC ．当b ≥0,有两个解a .D ．当b ≤0时，方程无实数根. 8．方程4x 2-12x +9=0的解是（ ） A ．x =0B ．x ＝1C ．3x 2=D ．无法确定9．方程x -2=x （x -2）的解为（ ） A ．x =0 B ．,12x 0x 2== C ．x ＝2D ．,12x 1x 2==10．若代数式2x 2-5x 与代数式x 2-6的值相等，则x 的值是（ ） A ．-2或3B ． 2或3C ．-1或6D ．1或-6.11．一元二次方程x 2-x -2=0的解是（ ） A ．,12x 1x 2== B ．,12x 1x 2==- C ．,12x 1x 2=-=-D ．,12x 1x 2=-=.12．下列方程适合用因式方程解法解的是（ ）A ．2x 20-+=B ．2x x 4=+C ．()()x 1x 270-+=D ．2x 11x 100--=.13．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x 2-8x +12=0的根，则这个三角形的周长为（ ） A ．7．B ．11C ．7或11D ．8或914．关于x 的方程x 2+mx +n =0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ） A ．m =0 n =0 B ．m ＝0 n ≠0 C ．m ≠0 n =0D ．m ≠0 n ≠015．已知a + 1b ＝2a +2b ≠A ．-1B ．1C ．2D ．不能确定.二、填空题17181920．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的三、解答题21．解方程：4x2-20=022．解方程：（2x+3）2-25=023．解方程：4（x+3）2=25（x-2）224．解方程：x-3=x（x-3）25．当x为何值时，代数式x2-13x+12的值与代数式-4x2+18的值相等？答案一、1. C 分析：∵x +1=±3，∴x 1=2，x 2=-4．故选C2．C 分析：原方程可化为：（x +1）2=[2（x -2）]2，x +1=±2（x -2），即x +1=2x -4或x +1=-2x +4，解得x 1=5，x 2=1；所以选C3．C 分析：根据2x +1与2x -1互为倒数，列方程得（2x +1）（2x -1）=1；整理得4x 2-1=1，移项得4x 2=2，系数化为1得x 2=12，开方得x =，所以选C ．4．D 分析：移项得（x +1）2=1，开方得x +1=±1，解得x 1=0，x 2=-2．所以选D 5．C 分析：∵x 2-k =0，∴x 2=k ，∴一元二次方程x 2-k =0有实数根，则k ≥0，所以选C6．B ，7>，所以整数c 的最小值为8，所以选B ．7．B 分析：∵方程中的b 不确定∴当b ＜0，方程无实数根，当b ≥0时，x -a =即方程有两个解8．C 所以选C 9．D 分析：原方程变形为：x -2-x （x -2）=0，（x -2）（1-x ）=0，x -2=0或1-x =0，x 1=2，x 2=1，所以选D10．B 分析：因为这两个代数式的值相等，所以有2x 2-5x =x 2-6，x 2-5x +6=0， （x -2）（x -3）=0， x -2=0或x -3=0，∴x =2或3．所以选B11．D 分析：x 2-x -2=0 （x -2）（x +1）=0，解得：x 1=-1，x 2=2．所以选D12．C 分析：由分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x -72=0，即（x +9）（x -8）=0，所以C 适合用因式分解法来解．所以选C13．A 分析：由方程x 2-8x +12=0，解得x =2或x =6，当第三边是6时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；当第三边是2时，三角形的周长为2+2+3=7．所以选A 14．C 分析：方程有一个根是0，即把x =0代入方程，方程成立．得到n =0；则方程变成x 2+mx =0，即x （x +m ）=0，则方程的根是0或-m ，因为两根中只有一根等于0，则得到-m ≠0即m ≠0,方程x 2+mx +n =0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m ≠0，n =0．所以选C15．C二、16. ±1分析：移项得，x2=1，开方得，x=±1．17．m＞0 分析：∵关于x的方程mx2=3有两个实数根，∴m＞0．所以答案为：m＞0．18．x1=0，x2=-1 分析：x（x+1）=0，x=0或x+1=0，所以x1=0，x2=-1．19分析：方程变形得：3（x-5）2-2（x-5）=0，分解因式得（x-5）[320．8 分析：解方程x2-8x+15=0可得（x-3）(x-5), ∴x=3或x=5，∴△ABC的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，∴△ABC的第三边长为3，∴△ABC的周长为2+3+3=8．三、21．解：由原方程，得x2=5，22．解：移项得，（2x+3）2=25，开方得，2x+3=±5，解得x1=1，x2=-4．23．解：4（x+3）2=25（x-2）2，开方得2（x+3）=±5（x-2），解得x1＝2＝4 724．解：原方程可化为（x-3）-x（x-3）=0，（x-3）（1-x）=0，解得x1=1，x2=325．解：由题意得x2-13x+12=-4x2+18整理得5x2-13x-6=0（5x+2）(x-3)=0解得x1=-∴x的值为-22.2.2 配方法1．方程x 2－3＝0的根是( ) A ．x ＝3B ．x ＝ 3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x 1＝3，x 2＝－ 32．一元二次方程(x ＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( ) A ．x －6＝－4 B ．x －6＝4 C ．x ＋6＝4D ．x ＋6＝－43．下列二次三项式是完全平方式的是( ) A ．x 2＋2x ＋2 B ．n 2－4n －4 C ．y 2－12y ＋116D ．x 2＋4x ＋164．用配方法将代数式a 2＋4a －5进行变形，结果正确的是( ) A ．(a ＋2)2－1 B ．(a ＋2)2－5 C ．(a ＋2)2＋4D ．(a ＋2)2－95. 用配方法解一元二次方程x 2＋4x －3＝0时，原方程可变形为( ) A ．(x ＋2)2＝1B ．(x ＋2)2＝7 C ．(x ＋2)2＝13D ．(x ＋2)2＝196．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B ．x 2－4x ＝5化为(x －2)2＝9 C ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 D ．x 2＋6x ＝1化为(x ＋3)2＝107. 已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( ) A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9 C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝58. 不论x ，y 为何实数，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数D ．可能为负数9. 已知M ＝29a －1，N ＝a 2－79a(a 为任意实数)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＜NB ．M ＝NC ．M ＞ND ．不能确定10. 若方程(x －a)2＋b ＝0有实数根，则b 的取值范围是________． 11. 如果二次三项式x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则m ＝________． 12. 已知(a 2＋b 2－1)2＝9，那么a 2＋b 2的值为________． 13. 用直接开平方法解下列方程： (1)x 2－16＝0； (2)3x 2－27＝0； (3)(x －2)2＝9； (4)(2y －3)2－16＝0.14. 用配方法解下列方程： (1)x 2－12x ＋36＝11； (2)x 2－8x ＝13； (3)x 2－2x ＝2x ＋1.15．解方程：x 2－6x －6＝0.16．证明：无论m 取何实数，关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0都是一元二次方程．17．把方程x 2－3x ＋p ＝0配方，得到(x ＋m)2＝12.(1)求常数m 与p 的值； (2)求出此方程的解．18．市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到289平方米，求这块绿地的边长增加了多少米？19．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方． 例如：①选取二次项和一次项配方： x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2； ②选取二次项和常数项配方： x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ， 或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ； ③选取一次项和常数项配方： x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下面问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y的值．答案1~9 DDCDB CBAA 10. b≤0 11. ±10 12. 413. 解：(1)移项，得x 2＝16， 两边开平方，得x ＝±4. 即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27， 两边同除以3，得x 2＝9， 开平方，得x ＝±3， 即x 1＝3，x 2＝－3.(3)两边开平方，得x －2＝±3， 即x －2＝3或x －2＝－3. 即x 1＝5，x 2＝－1. (4)移项，得(2y －3)2＝16， 两边开平方，得2y －3＝±4 即2y －3＝－4或2y －3＝4. 即y 1＝－12，y 2＝72.14. 解：(1)x 1＝6＋11，x 2＝6－11. (2)x 1＝4＋29，x 2＝4－29. (3)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. 15. 解：x 1＝3＋15，x 2＝3－15.16. 解：∵m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1，(m －4)2＋1>0，∴无论m 取何实数，关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0都是一元二次方程． 17. 解： (1)(x －32)2＝94－p ，∴m＝－32，p ＝74.(2)方程的解为x 1＝3＋22，x 2＝3－22.18. 解：设这块绿地的边长增加了x 米． 根据题意可列方程：(15＋x)2＝289， 解得x 1＝2，x 2＝－32(舍)． 故这块绿地的边长增加了2米．19. 解： (1)x 2－8x ＋4＝(x －4)2－12或x 2－8x ＋4＝(x －2)2－4x(答案不唯一)． (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，∴x＋12y ＝0，y －2＝0，∴x＝－1，y ＝2，则x y＝(－1)2＝1.22.2.3公式法一、选择题1．利用求根公式求5x 2+12＝6x 的根时，a ，b ，c 的值分别是（ ） A ．5，12，6 B ．5，6，12C ．5，－6，12 D ．5，－6，－122．若代数式x 2-6x +5的值是12，则x 的值为（ ）A ．7或-1B ．1或-5C ．-1或-5D ．不能确定 3.方程3x 2-5x -2=0的两个根是（ ） A ．1,23 B ．2, 13- C ．1± D ．-2, 13- 4．方程x 2+x -1=0的根是（ ）A ．1B ．C ．1-D ． 5．方程x （x -1）=2的两根为（ ）A ．x 1=0，x 2=1B ．x 1=0，x 2=-1C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=-1，x 2=26．方程3x 2-4x =2的根是（ ）A ．x 1=－2，x 2=1B .x 1，x 2=C ．x 1=，x 2= D ．x 1=，x 2= 7．方程：2x 2＝5x ＋3的根是（ ） A ．x 1=－6，x 2=1 B ．x 1=３，x 2=-1 C ．x 1=1，x 2= 32-D ．x 1= -12，x 2=３8．解一元二次方程x 2-2x -5=0，结果正确的是（ ）A ．x 1=－1＋x 2=－1－B ．x 1=1＋x 2=1－C ．x 1=7，x 2= 5D ．x 1= 1x 2=1－9．方程（x +1）（x -3）=5的解是（ ） A ．x 1=1，x 2=-3 B ．x 1=4，x 2=-2 C ．x 1=-1，x 2= 3 D ．x 1= -4，x 2=210．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） A ．ab ≥18 B ．ab ≤18 C ．ab ≥14 D ．ab ≤1411．已知α是一元二次方程x 2-x -1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ） A ．0<a <1 B ．0<a <1.5 C ．1.5<a <2 D ．2<a <312．已知一元二次方程x 2-x -3=0的较小根为x 1，则下面对x 1的估计正确的是（ ） A ．-2< x 1<-1 B ．-3< x 1<-2 C ．2< x 1<3 D ．-1< x 1<013．若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x -a ）（x -b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）A ．m <a <b <nB ．A <m <n <bC ．A <m <b <nD ．m <a <n <b14.已知4个数据：−a ，b ，其中a 、b 是方程x 2-2x -1=0的两个根，则这4个数据的中位数是（ ）A ．1B ．12C ．2D ．1215．如果a 、b 都是正实数，且1110a b a b++=-，那么a b ＝（ ）．A．B． C．D．．二、填空题16．用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac= ，x1= ，x2= ．17．方程x2-3x-10=0的根为x1=5，x2=-2．此结论是：的.18．方程（x-3）（x+6）=10的根是 .19．若x2+3xy-2y2=0，那么xy= ．20．如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是．三、解答题21．用公式法解方程：2x2+3x-1=022．用公式法解方程：2x2－５x=３23．用公式法解方程：x2+=４24．已知a是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根中较小的根，求a2-4a+2012的值．25．已知x2-x-1=0，（1）求x的值．（2）求425x2x1x+-的值．答案一、1．C 分析：由原方程，得5x2-6x+12=0，根据一元二次方程的定义，知二次项系数a=5，一次项系数b=-6，常数项c=12，所以选C．2．A 分析：x2-6x+5=12，x2-6x+5-12=0，x2-6x-7=0，∴x=解得：x1=-1，x2=7，所以选A3.B 分析：a=3，b=-5，c=-2，△=25+4×3×2=25+24=49＞0，∴x==57 6±∴x=2或-13，所以选B．4．D 分析：a=1，b=1，c=-1，b2-4ac=1+4=5＞0，x=，所以选D．5．D 分析：方程移项并化简得x2-x-2=0，a=1，b=-1，c=-2，△=1+8=9＞0，∴x得x1=-1，x2=2．所以选B．6．C 分析：3x2-4x=2，∴3x2-4x－2＝０，∵a=3，b=-4，c=-2，=16-4×3×（-2）=40＞0，∴此方程有两个不等的实数根，∴x=，∴x==x1=，x2=，所以选C．7．D 分析：移项，得2x2-5x-3=0，这里a=2，b=-5，c=-3，∵b2-4ac=（-5）2-4×2×（-3）=25+24=49＞0，∴x= 5734±=或-12，所以选D.8．B 分析：方程两边同加上1，得x2-2x-5+1=1，即x2-2x+1=6，配方得（x-1）2=6，开方得x -1=±即x 1=1+x 2=1-所以选B ．9． B 分析：（x +1）（x -3）=5，x 2-2x -3-5=0，x 2-2x -8=0，26x 2±=，∴x 1=4，x 2=-2．故选B ．10． B 分析：因为方程有实数解，故b 2-4ac ≥0．由题意有：=b 2-4ac或=b 2-4ac ，设u =则有2au 2-u +b =0或2au 2+u +b =0，（a ≠0）因为以上关于u 的两个一元二次方程有实数解，所以两个方程的判别式都大于或等于0，即得到1-8ab ≥0，所以ab ≤18．故选B ．11．C 分析：解方程x 2-x -1=0得：x =，∵a 是方程x 2-x -1=0较大的根，∴a =∵2＜3，∴3＜1+＜4，∴32＜2，所以选C12．A 分析：x 2-x -3=0，b 2-4ac =（-1）2-4×1×（-3）=13，x ，方程的最小值是，∵3＜<4，∴-3＞-＞-4，∴131122222->>-，∴-1>>-32，所以选A. 13．A 分析：方程可以化简为x 2-（a +b ）x +ab -1=0，根据求根公式得到：x 因m <a , n ==b ，∵a =,b =，∵a ＜b ，∴a ＜a b2+＜b ，∴m ＜a ＜b ＜n ．所以选A14.A 分析：∵a 、b 是方程x 2-2x -1=0的两个根，∴a b 或ab 这组数据按从小到大的顺序排列为−中位数为（÷2=1，故选A ． 15．C 分析：1110a b a b ++=-，即a b 1ab a b+=--，去分母后整理得：a 2+ab -b 2=0，∵a、b都是正实数．a==，即a=,a2b b∴==.所以选C二、16． 41．分析：2x2-7x+1=0，a=2，b=-7，c=1，∴b2-4ac=（-7）2-4×2×1=41，∴x=∴x1=，x2=17．对分析：x2-3x-10=0，解得x1=5，x2=-2，所以题目给出的结论是正确的18．x1=4，x2=-7 分析：∵（x-3）（x+6）=10，∴x2+3x-28=0，x==3112-±,∴x1=4，x2=-7．19分析：由原方程，两边同时乘以21y得()2xy+3xy-2=0，设xy=t，则上式方程即为t2+3t-2=0，解得t=，所以xy=20．-1＜a＜-12分析：根据方程的求根公式可得：x=2a22aa1a2--±==--±，则方程的两根为-1或-2a-1，∵-1＜0，∴小于1的正数根只能为-2a-1，即0＜-2a-1＜1，解得-1＜a＜-12．三、21．解：∵2x2+3x-1=0的二次项系数a=2，一次项系数b=3，常数项c=-1，∴x==，∴x1=，x2=．22．解：移项，得2x2-5x-3=0，这里a=2，b=-5，c=-3，∵b2-4ac=（-5）2-4×2×（-3）=25+24=49＞0，∴x=574±=3或-12，则x 1=-12，x 2=3． 23．解：变形，得x 2+－4＝0∴x∴1x =-2x ．24．解：∵a 是一元二次方程x 2-4x +1=0的根， ∴a 2-4a +1=0， ∴a 2-4a =-1；∴a 2-4a +2012=-1+2012=2011； 25．解：（1）x 2-x -1=0，b 2-4ac =（-1）2-4×1×（-1）=5，∴x1x ∴=2x = （2）x 2-x -1=0，∴x 2=x +1，x 4=（x 2）2=（x +1）2=x 2+2x +1=x +1+2x +1=3x +2， x 5=x （3x +2）=3x 2+2x =3（x +1）+2x =5x +3，2x 2=2（x +1）=2x +2，∴425x 2x 1x 22x 215x 315x 35x 3x+-++++-+===++ 22.2.4 一元二次方程根的判别式1．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．下列关于x 的方程有实数根的是（ ） A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝03．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中a ，c 异号，则方程的根的情况是（ ）A ．b 为任意实数，方程有两个不等的实数根B ．b 为任意实数，方程有两个相等的实数根C ．b 为任意实数，方程没有实数根D ．无法确定4．关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m >94B ．m <94C ．m ＝94D ．m <－945．一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足的条件是（ ） A ．m >1 B ．m ＝1 C ．m <1D ．m ≤16．关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a >－5 B ．a >－5且a ≠－1 C ．a <－5D ．a ≥－5且a ≠－17．已知(m －1)x 2＋2mx ＋(m －1)＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m >12B ．m <12且m ≠1C ．m >12且m ≠1D.12<m <1 8．已知b <0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝b 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．不确定9．已知函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则一元二次方程x 2＋x ＋k －1＝0根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定10．若 5k ＋20<0，则关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断11．关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是（ ） A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种12．若关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝_______．13．若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是______________．14．已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是___．15．已知关于x 的方程2x 2－(4k ＋1)x ＋2k 2－1＝0，问当k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根.16．不解方程，判断下列方程根的情况： (1)3x 2－5x －1＝0； (2)4y 2－12y ＋9＝0； (3)3t 2－2t ＋4＝0.17．已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1) 若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.18．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．答案1. D2.C3.A4. B5. D6. B7. C8. C9. C 10. A 11. B 12. 1413. k ≤4且k ≠0 14. 015. 解：∵a＝2，b ＝－(4k ＋1)，c ＝2k 2－1，∴Δ＝b 2－4ac ＝[－(4k ＋1)]2－4×2×(2k 2－1)＝8k ＋9.(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即8k ＋9>0，解得k>－98(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即8k ＋9＝0，解得k ＝－98(3)∵方程没有实数根，∴Δ<0，即8k ＋9<0，解得k<－9816. 解：(1)Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根 (2) Δ＝0，∴方程有两个相等的实数根 (3) Δ<0，∴方程没有实数根17. (1) 解：根据题意有12＋a×1＋a －2＝0，∴a＝12，∴原方程为x 2＋12x －32＝0.解得另一根为x ＝－32(2)证明：Δ＝a 2－4(a －2)＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4≥4，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根18. 解：(1)∵Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根 (2) 一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0的解为x ＝2k ＋1±12，即x 1＝k ，x 2＝k ＋1.当AB ＝k ，AC ＝k ＋1，且AB ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＝5；当AB ＝k ，AC ＝k ＋1，且AC ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＋1＝5，解得k ＝4.所以k 的值为5或422.2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.如果一元二次方程x 2-3x-1=0的两根为x 1，x 2，那么x 1+x 2=（ ） A ．-3B ．3C ．-1D ．12.已知x=2是方程x 2-6x+m=0的根，则该方程的另一根为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．83. 已知一元二次方程2x -4x +3=0两根为x 1，x 2，则x 1•x 2=（ ） A ．4B ．3C ．-4D ．-34. 设x 1，x 2是一元二次方程2x -2x -3=0的两根，则2211x x =（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125. 若关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-1，则另一个根为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．-36.一元二次方程x 2+4x -3=0的两根为1x ，2x ，则1x •2x 的值是（ ） A ．4B ．-4C ．3D ．-37. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x +1=0的两个实数根，则x 1x 2-x 1-x 2的值等于（ ） A ．-3B ．0C ．3D ．58. 若关于x 的一元二次方程x 2-4x +5-a =0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A.a ≥1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ＜19. 判断一元二次方程式x 2-8x -a =0中的a 为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（ ）A．12 B．16 C．20 D．2410. 若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（）A．3 B．-3 C．2 D．-2二、填空题11. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是_______，m的值是_______12. 如果关于x的方程x2-ax+a-1=0有两个相等的实数根，那么a的值等于13. 已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是______14. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_________15. 已知：一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一根为____三、解答题16. 已知关于x的方程x2+（2m-1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值17. 已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根，使得（3x1-x2）（x1-3x2）=-80成立，求其实数a的可能值18. 若m，n是方程x2+x-1=0的两个实数根，求m2+2m+n的值19. 已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根x220.已知a，b是一元二次方程x2-x-2=0的两根，求a+b的值答案一、1.B 分析：根据题意可得x 1+x 2=ba-=3，故选B ． 2.C 分析：设关于x 的方程x 2-6x +m =0的另一个根是t ，由根与系数的关系得出：t +2=6， 则t=4．故选C ．3. B 分析：∵一元二次方程2x -4x +3=0两根为x 1、x 2，∴x 1•x 2=ca=3，故选B ． 4.C 分析：∵一元二次方程2x -2x -3=0的两根是x 1、x 2，∴x 1+ x 2=2，x 1•x 2=-3，∴2211x x +=（x 1+ x 2）2-2x 1•x 2=22-2×（-3）=10．故选C ．5. A 分析： 设一元二次方程的另一根为1x ，则根据一元二次方程根与系数的关系，得-1+1x =-3，解得1x =-2．故选A ． 6.D7. A 分析：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x +1=0的两个实数根，∴x 1 x 2=1，x 1+ x 2=4， ∴x 1 x 2- x 1- x 2= x 1 x 2-（x 1+ x 2）=1-4=-3．故选A ．8. A 分析：∵关于x 的一元二次方程x 2-4x +5-a =0有实数根，∴△=（-4）2-4（5-a ）≥0， ∴a ≥1．故选A ．9. C 分析：∵一元二次方程式x 2-8x -a =0的两个根均为整数，∴△=64+4a ，△的值若可以被开平方即可，A.△=64+4×12=102，= ，此选项不对；B.△=64+4×16=128，= ，此选项不对；C.△=64+4×20=144=12此选项正确；D.△=64+4×24=160＝此选项不对，故选C ．10 . A 分析：根据题意得x 1+ x 2=1，x 1 x 2=-m+2，∵（x 1-1）（x 2-1）=-1，∴x 1 x 2-（x 1+ x 2）+1=-1，∴-m +2-1+1=-1，∴m =3．故选A ． 二、11. 3，-4 12. 2 13. 114. 3 分析：设直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a 与b ．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2-8x +7=0的两个根，∴a+b =4，ab =3.5；根据勾股定理可得：c 2=a 2+b 2=（a+b ）2-2ab =16-7=9，∴c =3 15. 4 分析：设方程另一根为t ，根据题意得2+t =6，解得t =4． 三、16. 解：∵x 2+（2m -1）x +4=0有两个相等的实数根， ∴△=（2m -1）2-4×4=0， 解得m =-32或m =5217. 解：∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a -1）x +2a 2-1=0的两个实数根，a =1，b =（3a -1），c =2a 2-1， ∴x 1+x 2=-（3a -1），x 1•x 2=2a 2-1， 而（3 x 1- x 2）（x 1-3 x 2）=-80，∴3 x12-10 x1 x2+3 x22=-80，3（x1+ x2）2-16 x1 x2=-80，∴3[-（3a-1）]2-16（2a2-1）=-80，∴5a2+18a-99=0，∴a=3或-33 5当a=3时，方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=-33 518. 解：∵m，n是方程x2+x-1=0的两个实数根，∴m+n=-1，m2+m=1，则原式=（m2+m）+（m+n）=1-1=019. 解：设方程的另一个根是x2，则：3+x2=4，解得x2=1，故另一个根是1．分析: 根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根20. 解：∵a，b是一元二次方程x2-x-2=0的两根，∴a+b=1，分析: 直接根据一元二次方程根与系数关系求解即可22.3 实践与探索一、选择题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则列出的方程是（）A．（3+x）（4-0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3-0.5x）=15 D．（x+1）（4-0.5x）=152．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6 B．x（5-x）=6C．x（10-x）=6 D．x（10-2x）=63．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=5004．若直角三角形两直角边和为7，面积为6，则较长的直角边长为（）A．3 B．4 C．5 D．65．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．86．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6．现将实数对（m，-2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）A．3 B．-1 C．-3或1 D．3或-17．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，分支和小分支总数是91，每个支干长出的小分支数目是（）A．8 B．9 C．10 D．118．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）（第8题图）A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m二、填空题9．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为．10．某种型号的电脑，若原售价为7 200元/台，经连续两次降价，现售价为4 608元/台，则平均每次降价的百分率为．11．某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2 550张照片．如果全班有x名学生，那么根据题意，可列方程为．12．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价元时，商场日盈利可达到2 100元．三、解答题13．某城市某楼盘准备以每平方米4 000元的均价对外销售，由于国务院“新国五条”出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3 240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打九八折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元．试问：哪种方案更优惠？14．如图，在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，求满足x的方程．（第14题图）15．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25 m）另外三边用木栏围成，木栏长40 m．（第15题图）（1）若养鸡场面积为200 m2，求鸡场靠墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250 m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．16．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是______斤（用含x的代数式表示）．（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？答案一、1．A 2．B 3．B4．B 分析：设直角三角形一直角边长为x，则另一直角边长为7-x．根据题意，得12x（7-x）=6．解得x=3或x=4，所以较长的直角边长为4．故选B．5．C 分析：设有x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，则可列方程为12x（x-1）=21，解得x=7或x=-6（舍去）．故应邀请7个球队参加比赛．故选C．6．D 分析：由题意，得：m2+（-2m）-1=2，即m2-2m-3=0，解得m1=3，m2=-1．故选D．7．B 分析：设每个支干长出的小分支的数目是x个．根据题意，得x2+x+1=91，解得x=9或x=-10（不符合题意，舍去），∴x=9．故选B．8．A 分析：设原正方形的边长为x m．根据题意，得（x-3）（x-2）=20．解得x1=7，x2=-2（不符合题意，舍去）．即原正方形的边长7 m．故选A．二、9．20×（1+x）2=25 分析：∵2007年用于绿化的投资20万元，这两年绿化投资的平均增长率为x，∴2008年的绿化投资为20×（1+x），∴2009年的绿化投资为20×（1+x）×（1+x）=20×（1+x）2，∴可列方程为20×（1+x）2=25．10．20%分析：设平均每次降价的百分率为x．根据题意，得7 200（1-x）2=4 608，解得x1=1.8（舍去），x2=0.2．11．x（x-1）=2 550 分析：全班有x名学生，那么每名学生送照片（x-1）张，全班应该送照片x（x-1）张，则可列方程为x（x-1）=2 550．12．20 分析：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x．由题意，得（50-x）（30+2x）=2 100．化简，得x2-35x+300=0．解得x1=15，x2=20．∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴x=20．三、13．解：（1）设平均每次下调的百分率是x．根据题意，得4 000（1-x）2=3 240．解得：x=0.1=10%或x=1.9（不符合题意，舍去）．所以平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费100×3240×98%=317 520（元），方案②实际花费100×3 240-100×80=316 000（元）．∵317 520>316 000，∴方案②更优惠．14．解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，则（80+2x）（50+2x）=5 400，15．解：设宽为x米，则长为（40-2x）米．根据题意，得x（40-2x）=200．解得x1=x2=10．则鸡场靠墙的一边长为40-2x=20．答：鸡场靠墙的一边长20米．（2）根据题意，得x（40-2x）=250，∴-2x2+40x-250=0．∵b2-4ac=402-4×（-2）×（-250）<0，∴方程无实数根，∴不能使鸡场的面积能达到250 m2．16．解：（1）100+200x．（2）根据题意，得（4-2-x）（100+200x）=300．解得x=12或x=1．∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．。
第22章 一元二次方程 华东师大版九年级数学上册单元测试卷(含答案)
第22章测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分．1. 用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，8【答案】B解：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，故选：B．2. （2020秋•内乡县期末）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（ ）A．0B．2020C．4040D．4042【答案】D【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b ＝﹣1，将其代入则a2+b2+a+b中即可求出结论．解：∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．故选：D．3. （2020秋•洛阳新安期中）某食品厂七月份生产面包52万个，第三季度生产面包共196万个，若x满足的方程是52+52（1+x）+52（1+x）2＝196，则x表示的意义是（ ）A．该厂七月份的增长率B．该厂八月份的增长率C．该厂七、八月份平均每月的增长率D．该厂八、九月份平均每月的增长率【答案】D【分析】一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据方程结合题意确定x的意义即可．解：依题意得八、九月份的产量为52（1+x）、52（1+x）2，∴52+52（1+x）+52（1+x）2＝196中的x表示的意义是该厂八、九月份平均每月的增长率，故选：D．4. （2020秋•宛城区期末）欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（ ）A．AC的长B．CD的长C．AD的长D．BC的长【答案】C【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得出AC2+BC2＝AB2，结合AB＝AD+BD，AC＝b，BD＝BC＝，即可得出AD2+aAD＝b2，进而可得出AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．∵AC＝b，BD＝BC＝，∴b2+（）2＝（AD+）2＝AD2+aAD+（）2，∴AD2+aAD＝b2．∵AD2+aAD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且AD的长度为正数，∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．故选：C．5. (2020驻马店新蔡期中)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（）A. 34B.30C.30或34D.30或36【答案】A.【解析】分两种情况讨论：①若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，∴方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,∴m=34.此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.∴三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意.②若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，∴方程x2-12x+m+2=0有一根为4.∴42-12×4+m+2=0，解得，m=30.此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.∴三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.综上，m的值为34.6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C 点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【分析】设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，利用三角形面积的计算公式，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，再结合当点Q移动到点C后停止点P 也随之停止移动，即可确定t值．解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，依题意得：×（8﹣t）×2t＝15，整理得：t2﹣8t+15＝0，解得：t1＝3，t2＝5．又∵2t≤6，∴t≤3，∴t＝3．故选：B．7.（2020•南阳南召期中）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )A．y2﹣2y+1=0B．y2+2y+1=0C．y2+y+2=0D．y2+y﹣2=0【答案】A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．【解析】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．8.（2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【答案】B【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.【解析】解：根据新运算法则可得：，则即为，整理得：，则，可得：，；，方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.9.（2020·洛阳孟津期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（）A．0或2B．-2或2C．-2D．2【答案】D【分析】将化简可得，，利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，可得k＝2符合题意.解：由韦达定理，得：＝k－1，,由，得：，即，所以，,化简，得：，解得：k＝±2，因为关于x的一元二次方程有两个实数根，所以，△＝＝〉0，k＝－2不符合，所以，k＝2故选D. 10.（2021·驻马店新蔡期末）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先求得，代入即可得出答案．【解析】∵，∴，，∴=====，∵，且，∴，∴原式=，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分．11. 一元二次方程的根是_____．【答案】【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．【解析】解：或，所以．故答案为．12.（2021·南阳邓州期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于_______．【答案】2.【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．【解析】解：根据题意得：△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a（c﹣2）＝﹣4，∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得：，则，故答案为2．13. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．【答案】x（x﹣12）＝864．【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x（x﹣12）＝864．14.（2020·2020·周口商水期末）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．【答案】【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,由题意得:,解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得:(10－2x)(6－x)=24,整理得:2x2－11x+18=0．解得x=2或x=9(舍去)．故答案为2．15. （2021·洛阳偃师期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程ax2+bx+c＝0是“半根方程”，且点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为 ．三、解答题：本大题共8小题，合计75分．第16题8分,第17、18、19、20题每题9分，第21、22题每题10分，第23题11分16. （2020·南阳镇平期中）（1）用配方法解方程；（2）用公式法解方程：．解：（1）移项得：x2-2x=2，配方得：x2-2x+1=2+1，（x-1）2=3，开方得：，，，所以原方程的解为：，；（2）∵a=1，b=2，c=-5，，∴，∴．17. （2020秋•北京期末）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．（1）证明：△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由题意可知，m≠0△＝n2﹣4m×（﹣2）＝n2+8m＝0，即：n2＝﹣8m．以下答案不唯一，如：当n＝4，m＝﹣2时，方程为x2﹣2x+1＝0．解得x1＝x2＝1．18. （2020秋•洛阳偃师期中）如图，某居民小区改造，计划在居民小区的一块长50米，宽20米的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且两块矩形绿地的面积之和为原矩形空地面积的，求人行通道的宽度是多少米？【分析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（50﹣3x）米、宽为（20﹣2x）米的矩形，根据两块矩形绿地的面积之和为原矩形空地面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（50﹣3x）米、宽为（20﹣2x）米的矩形，根据题意得：（50﹣3x）（20﹣2x）＝×50×20，整理得：x1＝25（舍去），x2＝，∴x＝．答：人行通道的宽度是米．19. （2020•南阳镇平模拟）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当时，对应的______．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；15．（2）∵，∴，当时，．故答案为：；1128．（3）依题意，得：，化简，得：，解得：（不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．20. （2020秋•南阳市三中校级月考）阅读下面材料：若设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣，x1x2＝．∵，∴＝a[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．于是，二次三项式就可以分解因式ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．（1）请用上面的方法将多项式4x2+8x﹣1分解因式．（2）判断二次三项式2x2﹣4x+7在实数范围内是否能利用上面的方法因式分解，并说明理由．（3）如果关于x的二次三项式mx2﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）能用上面的方法分解因式，试求出m的取值范围．【分析】（1）令多项式等于0，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）中即可把多项式分解因式；（2）令二次三项式等于0，找出其中的a，b及c，计算出b2﹣4ac，发现其值小于0，所以此方程无解，故此二次三项式不能利用上面的方法分解因式；（3）因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于0，得到的方程有解，即b2﹣4ac大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．解：（1）令4x2+8x﹣1＝0，∵a＝4，b＝8，c＝﹣1，b2﹣4ac＝64+16＝80＞0，∴x1＝，x2＝，则4x2+8x﹣1＝4（x﹣）（x﹣）；（2）二次三项式2x2﹣4x+7在实数范围内不能利用上面的方法分解因式，理由如下：令2x2﹣4x+7＝0，∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣56＝﹣40＜0，∴此方程无解，则此二次三项式不能用上面的方法分解因式；（3）令mx2﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）＝0，由此二次三项式能用上面的方法分解因式，即有解，∴b2﹣4ac＝4（m+1）2﹣4m（m+1）（1﹣m）≥0，化简得：（m+1）[4（m+1）+4m（m﹣1）]≥0，即4（m+1）（m2+1）≥0，∵m2+1≥1＞0，∴m+1≥0，解得m≥﹣1，又m≠0，1﹣m≠0则m≥﹣1且m≠0且m≠1时，此二次三项式能用上面的方法分解因式．21. （2020·南阳镇平期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x ＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”；（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．①x2﹣x﹣12＝0；②x2﹣9x+20＝0；（2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．解：（1）①分解因式得：（x﹣4）（x+3）＝0，解得：x＝4或x＝﹣3，∵4≠﹣3+1，∴x2﹣x﹣12＝0不是“邻根方程”；②分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，∵5＝4+1，∴x2﹣9x+20＝0是“邻根方程”；（2）分解因式得：（x+m）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣m或x＝1，∵方程程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程，∴﹣m＝1+1或﹣m＝1﹣1，∴m＝0或﹣2．22. （2020•鹤壁市期末）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x2﹣7x+10＝0a＝1 b＝﹣7 c＝10∵b2﹣4ac＝9＞0∴x＝＝∴x1＝5，x2＝2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）当m＝2时，求△ABC的周长；（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m＝2时，方程为x2﹣2x+＝0，∴x1＝，x2＝．当为腰时，+＜，∴、、不能构成三角形；当为腰时，等腰三角形的三边为、、，此时周长为++＝．答：当m＝2时，△ABC的周长为．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△＝（﹣m）2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝0，∴m1＝m2＝1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．23.（2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．解：（1）∵，∴，2，3是“和谐三数组”；故答案为：，2，3（答案不唯一）；（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，∴，，∴，∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，∴，∴，∴=，∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，∴，，，∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，∴或或，即或或，解得：m=﹣4或﹣2或2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（ ）A．2017B．2020C．2019D．2018B已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1．当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，解得：k＝12；当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．答：k的值为12或3．。
华师大版九年级上册数学第22章 一元二次方程 含答案
华师大版九年级上册数学第22章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知一等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A.8B.10C.8或10D.不能确定2、方程x2+4x﹣4=0 经过配方后，其结果正确的是（）A.（x+2）2=4B.（x﹣2）2=4C.（x﹣2）2=8D.（x+2）2=83、下列方程中，是一元一次方程的是（）A. B. C. D.4、下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）.A.ax 2＋bx＋c＝0B.x 2-2＝（x＋3）2C.3x（x-1）＝2（x＋2） D.x 2＋-5＝05、已知关于x的方程x2＋ax＋b＋1＝0的解为x1＝x2＝2，则a＋b的值为( )A.－3B.－1C.1D.76、甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和，则原方程为（）.A. B. C. D.7、关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A.a＞0B.a≥0C.a≠0D.a=18、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )A.168(1＋a%) 2＝128B.168(1－a%) 2＝128C.168(1－2 a%)＝128D.168(1－a2%)＝1289、方程是关于的一元二次方程，则的值为（）A.3B.－3C.±3D.不存在10、已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程bx2+x﹣k=0根的存在情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.无法确定11、方程的根为（）．A. B. C. 或 D. 或12、方程（x-1）（x-2）=1的根是（）A. x1=1， x2=2 B. x1=-1， x2=-2 C. x1=0， x2=3 D.以上都不对13、方程x=的解是（）A.x1=2，x1=1，x3=﹣1 B.x1=2，x2=1 C.x1=2，x2=﹣1 D.x1=1，x2=﹣114、已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m的值及另一个根是（）A.1，3B.﹣1，3C.1，﹣3D.﹣1，﹣315、关于x的一元二次方程x2+a2=3ax的两根应为（）A. B. a, a C. D. a二、填空题(共10题，共计30分)16、方程的解是________.17、已知关于的方程的一个根是，则另一个根是________.18、a、b、k都为常数，且+|b﹣1|＝0，关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个相等的实数根，k的值为________．19、一元二次方程x2﹣8x﹣1=0的解为________．20、一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0一根为0，则a=________．21、方程的根是________.22、已知关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+a＝0有一个根是﹣2，则a的值为________.23、若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为________24、若（2x+3y）2+2（2x+3y）﹣4=0，则2x+3y的值为________．25、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2﹣2ab，如x※1＝1.那么x＝________.三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程: .27、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？28、将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定＝ad－bc，上述记法就叫做二阶行列式．若＝6，求x的值．29、若x=1是方程mx2+3x+n=0的根，求（m﹣n）2+4mn的值．30、用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1=0．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、C5、B6、D7、C8、B9、B10、C11、D12、D13、B14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
(华师大版)初中数学九年级上册 第22章综合测试(含答案)
第22章综合测试一、单选题1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A .23x +=B .1x y +=C .2230x x --=D .211x x+= 2.下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A .212x x +=B .10x +=C .23x x -=D .20x x -=3.一元二次方程2480x x --=的解是（ ）A .12x =-+，22x =--B .22x =+22x =-C .12x =+22x =-D .1x =，2x =-4.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A .2B .4C .8D .2或45.若a b ≠，且2410a a -+=,2410b b -+=则221111a b -++的值为（ ） A .14B .1C .4D .36.用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是（ ）.A .2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B .23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D .231124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7.用一条7米长的铝材(厚度忽略不计)制成一个面积为3平方米的矩形窗框，设窗框一边长为米，下列方程正确的是（ ） A .(7)3x x -= B .(72)3x x -= C . (3.5)3x x -= D .(3.5)3x x -=二、填空题8.已知关于x 的一元二次方程(1)210a a x x a ----=有一个根为0x =，则a 的值为________. 9.若2x =是关于x 的一元二次方程2800ax bx a +-=≠（）的解，则代数式20202a b ++的值是________.10.设1x ，2x 是一元二次方程210x x --=的两根，则221122x x x -+=________.11.已知1x ，2x 是关于的一元二次方程230x x a -+=的两个实数根，22112234x x x x -+=，则a =________.12.已知关于的方程22(3 2 ) 0x a x a -+-=的两个实数根为1x ,2x ，且12125x x x x -=+，则的值为________.13.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有一个解为1x =-，则另一个解为________.14.解方程（1）2104x -=（2）()()3121x x x -=-（3）2220x x --=（4）()()2243252x x +=-四、解答题15.已知a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个根，求23a a b ab -++的值.16.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m 的住房墙，另外三边用27m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为296m ？17.已知关于x 的方程2(21)20(0)mx m x m -++=≠. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根均为正整数，写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根.18.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同. （1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.第22章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】A 、23x +=，此方程是一元一次方程，故A 不符合题意； B 、1x y +=，此方程式二元一次方程，故B 不符合题意； C 、2230x x --=，此方程是一元二次方程，故C 符合题意； D 、211x x+=，此方程是分式方程，故D 不符合题意. 故答案为：C . 2.【答案】A【解析】A 、212x x +=变形为2210x x -+=，此时440=-=△，此方程有两个相等的实数根，A 符合题意；B 、210x +=中0440=-=-△＜，此时方程无实数根，B 不符合题意；C 、223x x -=整理为2230x x --=，此时412160=+=△＞，此方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意；D 、220x x -=中，40=△＞，此方程有两个不相等的实数根，D 不符合题意. 故答案为：A . 3.【答案】B 【解析】2480x x --=中，1a =，4b =-，8c =-， 1641(8)480∴=-⨯⨯-=△＞， ∴方程有两个不相等的实数根，422x ±∴==±，即12x =+，22x =-故答案为：B . 4.【答案】A【解析】解：2680x x -+=(4)(2)0x x --=解得：4x =或2x =，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为2.故答案为：A . 5.【答案】B【解析】解：由2410a a -+=，2410b b -+=得：214a a +=，214b b +=，22111111444a ba b a b ab +∴+=+=++又由2410a a -+=，2410b b -+=可以将a ，b 看做是方程2410x x -+=的两个根4a b ∴+=，1ab =，41441a b ab +∴==⨯. 故答案为B . 6.【答案】A【解析】解：22310x x --= 移项得2231x x -=， 二次项系数化1的23122x x -=， 配方得22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故答案为：A 7.【答案】D【解析】解：根据题意得矩形的宽为(3.5)x -米，则()3.53x x -=. 故答案为：D . 二、8.【答案】1-【解析】解：0x =代入方程得：210a -=， 解得：1a =±，22(1)210a x x a --+-=是关于的一元二次方程，10a ∴-≠，1a ≠， 1a ∴=-.故答案为1-. 9.【答案】2 024 【解析】解：2x =是关于x 的一元二次方程280(0)ax bxa +=≠﹣的解， 4280ab ∴+=-， 428a b ∴+=，24a b ∴+=， 20202a b ∴++， 2020(2)a b =++20204=+ 2024=.故答案为：2024. 10.【答案】4【解析】根据题意知21110x x --=，22210x x --=，121x x +=， 则2111x x =+，2221x x =+， 所以原式()112211x x x =+-++123x x =++13=+4=.故答案为：4. 11.【答案】1【解析】根据题意得()2340a =--⨯△≥，解得94a ≤，123x x +=，12x x a =， 22112234x x x x -+=，()2121254x x x x ∴+-=，954a ∴-=， 1a ∴=.故答案为：1. 12.【答案】4【解析】方程22(32)0x a x a -++=中，1232x x a +=+，212x x a =12125x x x x ∴-=+可化为：2532a a -=+，解之得：12a =-，24a =，当12a =-时，方程22(32)0x a x a -++=可化为：240x x ++=，此方程无解， 故的值为4.故答案是：4. 13.【答案】3【解析】设关于x 的一元二次方程220x x m -+=的两个根为1x ，2x ，令11x =-，12221x x -∴=-=＋， ()2213x ∴=--=，即另一个解为3x =. 故答案为：3. 三、14.【答案】（1）解：2104x -=，解得：1,2x所以1x =2x =（2）解：3(1)2(1)0x x x ---=，(1)(32)0x x ∴--=，解得：11x =，223x =. （3）解：2220x x --=，222x x -=， 22121x x -+=+， 2(1)3x -=，1x -=11x ∴=+21x =-（4）解：移项得：224(3)25(2)0x x +--=，()()()()323250522x x x x ⎡⎤∴⎡+⎤⎡+⎤=⎣⎦⎣⎦⎣--⎦+-， (74)(163)0x x --=，740x ∴-=，1630x -=， 147x ∴=；2163x =.【解析】（1）根据公式法解方程即可； （2）根据提公因式法解方程即可. （3）运用配方法求解即可；（4）移项，再运用因式分解法求解即可. 四、15.【答案】解：a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个根2a b ∴+=，1ab =-；且2210a a --=，即221a a =+； 所以23a a b ab -++213a a b ab =+-++ 13a b ab =+++ 213=+- 0=.【解析】先由根与系数的关系得出2a b +=，1ab =-，将23a a b ab -++变形成含()2a +和ab 的形式.16.【答案】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m x 可以得出平行于墙的一边的长为2721m ()x -+，由题意得272196()x x -+=，解得：16x =，28x =，当6x =时，27211615x -+=＞（舍去），当8x =时，272112x -+=. 答：所围矩形猪舍的长为12m 、宽为8m .【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m x 可以得出平行于墙的一边的长为2721m ()x -+.根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了. 五、17.【答案】（1）解：由题意，得2[(21)]42m m ∆=-+-⨯⨯()24418m m m =++- 2441m m =-+ 2(21)m =-.不论m 为何实数，2(21)0m -≥恒成立，即0△≥恒成立，∴方程总有两个实数根.（2）解：此题答案不唯一 由求根公式，得1,2x =，∴原方程的根为12x =，21x m=. 方程的两个根都是正整数，∴取1m =，此时方程的两根为12x =，21x =. 【解析】（1）根据题意证明0△≥即可；（2）利用求根公式，结合根为正整数即可得到m 的值，故可求解. 18.【答案】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x ，则由题意得：2128128(1)128(1)608x x ++++=化简得：241270x x +-=(21)(27)0x x ∴-+=，0.550%x ∴==或 3.5x =-（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%. （2）解：进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：327128(150%)1284325008+=⨯=＜. 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.【解析】（1）设进馆人次的月平均增长率为x ，再分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，最后根据三个月进馆人次等于608的等量关系列方程解答即可；（2）根据（1）计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，最后与500比较即可.。
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第22章测试题得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程是一元二次方程的是(A )A ．x 2＝－1B ．x 2＋1x＝1＝0 C ．x 2＋y ＋1＝0 D ．x 3－2x 2＝1 2．关于x 的一元二次方程(m ＋1)xm 2＋1＋4x ＋2＝0的解为(C )A ．x 1＝2，x 2＝1B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝x 2＝－1D ．无解3．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是(D )A ．0B ．－1C ．2D ．－34．将方程x 2－6x －5＝0化为(x ＋m )2＝n 的形式，则(D )A ．m ＝3，n ＝5B ．m ＝－3，n ＝5C ．m ＝3，n ＝14D ．m ＝－3，n ＝145．若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值为(B ) A ．1或4 B ．－1或－4 C ．－1或4 D ．1或－46．下列关于x 的一元二次方程，有实数根的是(D )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．x 2－x ＋1＝0D ．x 2－x －1＝07．已知关于x 的方程14x 2－(m －3)x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是(D )A ．2B ．－1C ．0D ．18．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是(B )A ．100(1＋x )2＝81B ．100(1－x )2＝81C ．100(1－x %)2＝81D ．100x 2＝819．若方程x 2＋x －1＝0的两实数根为α，β，那么下列说法不正确的是(D )A ．α＋β＝－1B ．αβ＝－1C ．α2＋β2＝3D ．1α ＋1β＝－1 10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x ＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是(B )A ．24B ．24或85C ．48或165D ．85二、填空题(每小题3分，共15分)11．一元二次方程2x 2＋ax ＋2＝0的一个根是x ＝2，则它的另一个根是__12 __． 12．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是_m ≤54 且m ≠1_．13．(2019·南京)已知2＋3 是关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0的一个根，则m ＝__1__．14．现有一块长80 cm 、宽60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm 2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得__x 2－70x ＋825＝0__．15．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d＝ad －bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x －11－x x ＋1 ＝6，则x ＝． 三、解答题(共75分)16．(12分)用适当的方法解方程：(1)5x (2x ＋7)＝3(2x ＋7); (2)x 2＋2x ＝4；解：(1)x 1＝－72 ，x 2＝35解：(2)x 1＝－1＋5 ，x 2＝－1－5(3)3x 2＋4x －7＝0; (4)4(x ＋2)2－9(x －3)2＝0.解：(3)x 1＝1，x 2＝－73解：(4)x 1＝1，x 2＝1317．(7分)在解方程x 2＋px ＋q ＝0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3，小王看错了q ，解得方程的根为4与－2，你知道这个方程正确的根是多少吗？解：∵x 2＋px ＋q ＝0.小张是看错了p ，方程的两根为1和－3，∴q 是正确的，即1×(－3)＝q ，q ＝－3.而x 2＋px ＋q ＝0.小王看错了q ，方程的两根为4与－2，∴p 是正确的，即4＋(－2)＝－p ，∴p ＝－2，∴原方程应为x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴这个方程正确的两根为3与－118．(8分)已知关于x的方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0.(1)求m的值；(2)求方程的解．解：(1)∵关于x的方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，∴m2－3m＋2＝0.解得m1＝1，m2＝2.∴m的值为1或2(2)当m＝2时，代入(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0，得x2＋5x＝0.解得x1＝0，x2＝－5；当m＝1时，原方程化简，得5x＝0，解得x＝019.(8分)(邓州期中)已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4(k －12)＝0. (1)求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．解：(1)证明：Δ＝(2k ＋1)2－4×4(k －12)＝4k 2＋4k ＋1－16k ＋8＝4k 2－12k ＋9＝(2k －3)2，∵(2k －3)2≥0，即Δ≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有实数根(2)当b ＝c 时，Δ＝(2k －3)2＝0，解得k ＝32，方程化为x 2－4x ＋4＝0，解得b ＝c ＝2，而2＋2＝4，故舍去；当a ＝b ＝4或a ＝c ＝4时，把x ＝4代入方程得16－4(2k ＋1)＋4(k －12 )＝0，解得k ＝52，方程化为x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝4，x 2＝2，即a ＝b ＝4，c ＝2或a ＝c ＝4，b ＝2，所以△ABC 的周长＝4＋4＋2＝1020．(8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意，得400(1－x )2＝361，解得x 1＝0.05＝5%，x 2＝1.95(不合题意，舍去).答：每个月生产成本的下降率为5%(2)361×(1－5%)＝342.95(万元).答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元21．(10分)如图，要建一个面积为150 m 2的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长a m ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35 m.(1)求鸡场的长与宽各为多少？(2)题中墙的长度a(m)为题目的解起怎样的作用？解：(1)设鸡场的宽为x m，依题意得x(35－2x)＝150，解得x1＝10，x2＝7.5.当宽为10 m，长为35－2x＝15(m)；当宽为7.5 m时，长为35－2x＝20(m)(2)由(1)题结果可知：题目中墙长a(m)对于问题的解有严格的限制作用．∵当a<15时，问题无解；当15≤a<20时，问题有一解；当a≥20时，可建宽为10 m，长为15 m或宽为7.5 m，长为20 m两种规格的鸡场22．(10分)某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1 000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间符合一次函数关系式y＝kx＋b，当x＝7时，y＝2 000；当x＝5时，y ＝4 000.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？(利润＝售价－成本价)解：(1)y＝－1 000x＋9 000(2)由题意可得1 000(10－5)(1＋20%)＝(－1 000x＋9 000)(x－4)，整理得x2－13x＋42＝0，解得x1＝6，x2＝7(舍去)，所以该种水果价格每千克应调低至6元23．(12分)阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想－－转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝__－2__，x3＝__1__；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x＋3＝x的解；(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长．解：(2)2x＋3＝x，方程的两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1，当x＝－1时，2x＋3＝1＝1≠－1，所以－1不是原方程的解．所以方程2x＋3＝x的解是x＝3(3)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m，设AP＝x m，则PD＝(8－x) m，因为BP＋CP＝10，BP＝AP2＋AB2，CP＝CD2＋PD2，∴9＋x2＋（8－x）2＋9＝10，∴（8－x）2＋9＝10－9＋x2，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－209＋x2＋9＋x2，整理，得5x2＋9＝4x＋9，两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x －4)2＝0，所以x＝4.经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4 m。