绝对值不等式解法问题—7大类型专题

绝对值不等式解法问题—7大类型

类型一：形如型不等式

解法:根据的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.

1、当时，

或

2、当

，无解

使的解集

3、当时，

，无解

使成立的的解集.

例1不等式的解集为（）

A. B.

C. D.

解：

因为，所以.

即

，

解得：

，

所以，故选A.

类型二：形如型不等式

解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：

或

需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：

例2 不等式的解集为（）

A． B.

C． D.

解：

或

或，故选D

类型三：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把看成一个大于零的常数进行求解，即：

，

或

例3设函数，若，则的取值范围是

解：

，故填：.

类型四：形如型不等式

解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：

例4不等式的解集为

解：

所以原不等式的解集为

类型五：形如型不等式

解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：

，无解

例5解关于的不等式

解：

（1）当时，原不等式等价于：

（2）当时，原不等式等价于：

（3）当时，原不等式等价于：

或

或

综上所述

（1）当时，原不等式的解集为：

（2）当时，原不等式的解集为：

（3）当时，原不等式的解集为：

类型六：形如使恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：，结合极端性原理

即可解得，即：

；

；

例6不等式对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（）

A． B.

C. D.

解：

设函数

所以

而不等式对任意的实数恒成立

故，故选择A

类型七：形如

，

，

1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解

集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.

例7解不等式

分析：找出零点：

确定分段区间：

解：（1）当时，原不等式可化为：

解得：因为，所以不存在

（2）当时，原不等式可化为：

解得：又因为，所以

（3）当时，原不等式可化为：，

解得：又，所以

综上所述，原不等式的解集为：

2、特别地，对于形如

，

型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：

或

例8设函数

（1）若，解不等式

（2）如果求的范围

解：

（1）当

由得：

即：

或

解得：

，即：或

故不等式的解集为：

（2）由得：

即：

或

即：

或

因为恒成立，来自QQ群339444963

所以成立，解得：

或

故的取值范围为：

绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考

中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.

方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就有点得不偿失了.

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。

1、公式法求和

若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。

常用求和公式列举如下：

等差数列求和公式：，

等比数列求和公式：

自然数的方幂和：k3=13+23+33++n3= n2 (n+1)2，k=1+2+3+ +n= n(n+1)，

k2=12+22+32++n2= n(n+1)(2 n+ 1)

例1已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为，求。

解：由题意，是首项为，公差为的等差数列

前项和，

2、错位相减法求和

若数列的通项公式为，其中，中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它在推导等比数列的前n项和公式时曾用到的方法。

例2已知当时，求数列的前n项和；

解：当时，．由题可知，{}的通项是等