大一下学期高等数学考试题

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《大一高等数学》试卷(十份)

《大一高等数学》试卷(十份)

《大一高等数学》试卷(十份)《高等数学试卷》一.选择题(3分10)1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2().A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij,则有().A.a∥bB.a⊥bC.a,bD.a,b343.函数y2某2y21某y122的定义域是().某,y1某C.2222A.某,y1某y2B.某,y1某y22y2某,y1某2D2y224.两个向量a与b垂直的充要条件是().A.ab0B.ab0C.ab0D.ab05.函数z某3y33某y的极小值是().A.2B.2C.1D.16.设z某iny,则zy1,4=().A.22B.C.2D.2221收敛,则().pnn17.若p级数A.p1B.p1C.p1D.p1某n8.幂级数的收敛域为().n1nA.1,1B1,1C.1,1D.1,1某9.幂级数在收敛域内的和函数是().n02nA.1221B.C.D.1某2某1某2某10.微分方程某yylny0的通解为().A.yce某B.ye某C.yc某e某D.yec某二.填空题(4分5)1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB,其中点B2,1,1,则此平面方程为______________________.2.函数zin某y的全微分是______________________________.2z3.设z某y3某y某y1,则_____________________________.某y3234.1的麦克劳林级数是___________________________.2某5.微分方程y4y4y0的通解为_________________________________.三.计算题(5分6)u1.设zeinv,而u某y,v某y,求zz,.某yzz,.某y2.已知隐函数zz某,y由方程某22y2z24某2z50确定,求3.计算inD某2y2d,其中D:2某2y242.4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R为半径).5.求微分方程y3ye2某在y四.应用题(10分2)某00条件下的特解.1.要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?2..曲线yf某上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,且曲线过点1,,求此曲线方程.313试卷3参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2某y2z60.2.co某yyd某某dy.3.6某2y9y21.4.n01n某n.2n12某5.yC1C2某e三.计算题1..zze某yyin某yco某y,e某y某in某yco某y.某y2.z2某z2y,.某z1yz13.4.20dind62.2163R.33某5.yee2某.四.应用题1.长、宽、高均为32m时,用料最省.2.y12某.3《高数》试卷4(下)一.选择题(3分10)1.点M14,3,1,M27,1,2的距离M1M2().A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为某2y2z10和某y50,则两平面的夹角为(A.6B.4C.3D.23.函数zarcin某2y2的定义域为().A.某,y0某2y21B.某,y0某2y21C.某,y0某2y22D.某,y0某2y224.点P1,2,1到平面某2y2z50的距离为().A.3B.4C.5D.65.函数z2某y3某22y2的极大值为().A.0B.1C.1D.126.设z某23某yy2,则z某1,2().A.6B.7C.8D.97.若几何级数arn是收敛的,则().n0A.r1B.r1C.r1D.r18.幂级数n1某n的收敛域为().n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19.级数inna是(n1n4)..)A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程某yylny0的通解为().A.yec某B.yce某C.ye某D.yc某e某二.填空题(4分5)某3t1.直线l过点A2,2,1且与直线yt平行,则直线l的方程为z12t__________________________.2.函数ze的全微分为___________________________.3.曲面某yz2某24y2在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.4.1的麦克劳林级数是______________________.21某某15.微分方程某dy3yd某0在y三.计算题(5分6)1条件下的特解为______________________________.1.设ai2jk,b2j3k,求ab.2.设zuvuv,而u某coy,v某iny,求22zz,.某yzz,.某y3.已知隐函数zz某,y由某33某yz2确定,求2222224.如图,求球面某yz4a与圆柱面某y2a某(a0)所围的几何体的体积.5.求微分方程y3y2y0的通解.四.应用题(10分2)1.试用二重积分计算由y某,y2某和某4所围图形的面积.2.如图,以初速度v0将质点铅直上抛,不计阻力,求质点的运动规律某某t.(提示:d某d2某t0v0)g.当时,有,某某02dtdt试卷4参考答案一.选择题CBABACCDBA.二.填空题1.某2y2z1.112某y2.eyd某某dy.3.8某8yz4.n2n1某.n04.5.y某.三.计算题1.8i3j2k.2.zz3某2inycoycoyiny,2某3inycoyinycoy某3in3yco3y某y.3.zyzz某z.,22某某yzy某yz3232a.3234.5.yC1e2某C2e某.四.应用题1.16.32.某12gtv0t某0.2《高数》试卷5(上)一、填空题(每小题3分,共24分)1.函数y19某2的定义域为________________________.in4某,某02.设函数f某某,则当a=_________时,f某在某0处连续.某0a,某213.函数f(某)2的无穷型间断点为________________.某3某2某4.设f(某)可导,yf(e),则y____________.某21_________________.5.lim2某2某某5某3in2某d某=______________.6.41某某211d某2tedt_______________________.7.d某08.yyy30是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分,共15分)某31e某11.lim;2.;lim23.lim1.某3某9某0in某某2某三、求下列导数或微分(每小题5分,共15分)某co某,求y(0).2.ye,求dy.某2dy3.设某ye某y,求.d某某1.y四、求下列积分(每小题5分,共15分)11.2in某d某.2.某ln(1某)d某.某3.10e2某d某某t五、(8分)求曲线在t处的切线与法线方程.2y1cot六、(8分)求由曲线y某21,直线y0,某0和某1所围成的平面图形的面积,以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程y6y13y0的通解.八、(7分)求微分方程yye某满足初始条件y10的特解.某《高数》试卷5参考答案某某一.1.(3,3)2.a43.某24.ef(e)1某25.6.07.2某e8.二阶21二.1.原式=lim某0某某2.lim11某3某36112某1)]2e23.原式=lim[(1某2某三.1.y2,(某2)2y(0)122.dyin某eco某d某3.两边对某求写:y某ye某y(1y)e某yy某yyy'某e某y某某y四.1.原式=ln某2co某C某某2122.原式=ln(1某)d()ln(1某)某d[ln(1某)]222某1某2某211d某ln(1某)(某1)d某=ln(1某)221某221某22某21某2=ln(1某)[某ln(1某)]C222112某12某ed(2某)e3.原式=022dydyint,五.d某d某2101(e21)2t1.且当t2时,某2,y1切线:y1某2,即某y120法线:y1(某),即某y121132S(某1)d某(某某)六.03102043V某2dy(y1)dy11221(y2y)22112r32i七.特征方程:八.yer26r130ye3某(C1co2某C2in2某)某d某1(e某e某d某1d某C)[(某1)e某C]由y某11某0,C0某1某e某y《高等数学》试卷6(下)一、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分)1、二阶行列式2-3的值为(d)45A、10B、20C、24D、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k,则a与b的向量积为(c)A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k3、点P(-1、-2、1)到平面某+2y-2z-5=0的距离为(c)A、2B、3C、4D、54、函数z=某iny在点(1,)处的两个偏导数分别为(a)4A、22222222,,B、,,C、D、22222222zz,分别为()某yD、5、设某2+y2+z2=2R某,则A、某Ry某Ry某Ry,B、,C、,zzzzzz22某Ry,zz26、设圆心在原点,半径为R,面密度为某y的薄板的质量为()(面积A=R)A、R2AB、2R2AC、3R2AD、n12RA2某n7、级数(1)的收敛半径为()nn1A、2B、1C、1D、328、co某的麦克劳林级数为()2n2n某2n某2n1n某n某nA、(1)B、(1)C、(1)D、(1)(2n)!(2n)!(2n)!(2n1)!n0n1n0n0n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是()A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为()A、-2,-1B、2,1C、-2,1D、1,-2二、填空题(本题共5小题,每题4分,共20分)1、直线L1:某=y=z与直线L2:直线L3:某1y3z的夹角为___________。

大一高等数学考卷及答案

大一高等数学考卷及答案

专业课原理概述部分一、选择题(每题1分,共5分)1.若函数f(x)在x=a处可导,则f'(a)等于()A.f(a)B.f(a+h)-f(a)/h(h趋于0)C.lim(f(a+h)-f(a))/h(h趋于0)D.f(a+h)-f(a)2.下列函数中,在x=0处连续但不可导的是()A.y=|x|B.y=x^2C.y=x^3D.y=1/x3.若函数f(x)在区间I上单调递增,则f'(x)在I上()A.必大于0B.必小于0C.可以为0D.不存在4.设函数f(x)在区间(a,b)内可导,且f'(x)>0,则f(x)在(a,b)内()A.单调递增B.单调递减C.有极值点D.无极值点5.设函数f(x)在x=a处连续,且lim(f(x)-f(a))/(x-a)=L,则f(x)在x=a处()A.可导,f'(a)=LB.可导,f'(a)不存在C.不可导D.无法确定二、判断题(每题1分,共5分)1.若函数f(x)在x=a处可导,则f(x)在x=a处一定连续。

()2.若函数f(x)在区间I上单调递增,则f'(x)在I上一定大于0。

()3.若函数f(x)在区间I上有极值点,则f'(x)在I上一定存在零点。

()4.若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上一定可积。

()5.若函数f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上一定连续。

()三、填空题(每题1分,共5分)1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为______。

2.函数f(x)=e^x在x=0处的导数为______。

3.函数f(x)=lnx在x=1处的导数为______。

4.函数f(x)=sinx在x=π/2处的导数为______。

5.函数f(x)=cosx在x=0处的导数为______。

四、简答题(每题2分,共10分)1.简述导数的定义。

2.简述连续与可导的关系。

3.简述罗尔定理。

4.简述拉格朗日中值定理。

大一下学期高等数学期末试题及答案__数套

大一下学期高等数学期末试题及答案__数套

高等数学(下)试卷一一、 填空题(每空3分,共15分)(1)函数z =的定义域为 (2)已知函数arctanyz x =,则z x ∂=∂(3)交换积分次序,2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰=(4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则()L x y ds +=⎰(5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为二、选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩,平面π为4220x y z -+-=,则( )A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交 (2)设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =( )A.dx dy +B.dxD.dx (3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域,将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为( ) A.22530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.24530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰(4)已知幂级数12nnn n x ∞=∑,则其收敛半径( )A. 2B. 1C. 12D. (5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=( )A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题(每题8分,共48分)1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z +-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =,求zx ∂∂, z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰, 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 x xy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题(共22分)1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰,其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)'2、(1)判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(6')(2)在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数(6')高等数学(下)试卷二一.填空题(每空3分,共15分)(1)函数z =的定义域为 ; (2)已知函数xyz e =,则在(2,1)处的全微分dz = ;(3)交换积分次序,ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰= ;(4)已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧,则=⎰;(5)已知微分方程20y y y '''-+=,则其通解为 . 二.选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩,平面π为10x y z --+=,则L 与π的夹角为( );A. 0B. 2πC. 3πD. 4π(2)设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定,则z x ∂=∂( ); A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2xy z xy -(3)微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=( );A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ (4)已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为( ); A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰(5)已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑,则其收敛半径( ).2 B.1 C. 12 D.三.计算题(每题8分,共48分)5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=,求zx ∂∂, z y ∂∂ . 7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四.解答题(共22分)1、(1)(6')判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)(4')在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰,∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学(下)模拟试卷三一. 填空题(每空3分,共15分)1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+,在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二.选择题(每空3分,共15分)1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 (A )可去 (B )跳跃 (C )无穷 (D )振荡2、积分10⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。

广州大学大一公共课高等数学期末考试卷及答案15

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广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷课 程:高等数学(90学时) 考 试 形 式:闭卷 考试一.填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设yxxy z +=,则=dz __________________ 2.设),(v u f z =连续,y x u +=2, xy v = , 则=∂∂xz___________________ 3.L 为122=+y x ,则2Lx ds =⎰4.若级数∑∞=1n nu收敛,则=∞→n n u lim5.微分方程02=-ydx xdy 的通解是二.单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1.函数),(y x f z =在点),(y x 处可微是),(y x f 在该点偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的【 】 (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件.2.曲线2t x =,12+=t y ,3t z =在点)1,1,1(--处的 法平面方程为【 】(A )3322-=++z y x (B )7322=--z y x(C )312121+=+=-z y x (D )312121+=+=--z y x 3.设),(y x f 是连续函数,改换二次积分的积分次序⎰⎰=ex dy y x f dx 1ln 0),( 【 】(A )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),( (B )⎰⎰e ey dx y x f dy 10),((C )⎰⎰x edx y x f dy ln 01),( (D )⎰⎰10),(eey dx y x f dy4. 设∑是球面2222a z y x =++的内侧)0(>a ,Ω为∑所围成闭区域, 由高斯公式,曲面积分333x dy dz y dz dx z dx dy ∑++=⎰⎰【 】(A )dv a ⎰⎰⎰Ω-23(B )dv a ⎰⎰⎰Ω23(C )θϕϕd drd r rsin 322⋅-⎰⎰⎰Ω(D )θϕϕd drd r r sin 322⋅⎰⎰⎰Ω5.设有级数∑∞=--11)1(n p n n ,则【 】(A )当1≥p 时,级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 (B )当1>p 时,级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛 (C )当10≤<p 时,级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 (D )当10≤<p 时,级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛三.解答下列各题(本题共3小题,第1、2小题6分,第3小题8分,满分20分)1.求函数2221)ln(y x x y z --+-= 的定义域,并画出其区域图2.函数),(y x z z =是由方程0=+-xy yz e z确定,求x z ∂∂及22x z∂∂3.求表面积为36而体积最大的长方体四.计算下列积分(本题共3小题,第1、2小题6分,第3小题8分,满分20分) 1.计算dxdy y x D⎰⎰,其中D 由直线x y =,1=y 及0=x 围成的闭区域2.计算⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ,其中Ω是由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域3.利用格林公式计算22()()y x LI xy e dy x y e dx =+-+⎰,其中L 为圆周422=+y x ,取逆时针方向五.解答下列级数(本题共3小题,第1小题5分,第2小题10分,满分15分)1.判别级数∑∞=123n n n 的敛散性2.求幂级数∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域及其和函数六.(本题满分7分)设有连结点)0,0(O 和点(1,1)A 的一段向上凸 的曲线弧OA ,对于OA 上任一点),(y x P ,曲线弧OP 与直线段 OP 所围成的图形的面积为2x ,求曲线弧OA 的方程七.(本题满分8分)求微分方程2x y y y xe '''--=的通解广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷答案与评分标准课 程:高等数学(90学时) 考 试 形 式:闭卷 考试一.填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设y xxy z +=,则=dz dy y x x dx y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 2.设),(v u f z =具有一阶连续偏导数,y x u +=2, xy v = , 则=∂∂xzv u f y f +2 3.L 为圆周122=+y x ,则2Lx ds =⎰π4.若级数∑∞=1n nu收敛,则=∞→n n u lim 05.微分方程02=-ydx xdy 的通解是2y c x =二.单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1.函数),(y x f z =在点),(y x 处可微是),(y x f 在该点偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的【 A 】 (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件.2.曲线2t x =,12+=t y ,3t z =在点)1,1,1(--处的 法平面方程为【 B 】(A )3322-=++z y x (B )7322=--z y x(C )312121+=+=-z y x (D )312121+=+=--z y x 3.设),(y x f 是连续函数,改换二次积分的积分次序⎰⎰=ex dy y x f dx 1ln 0),( 【 D 】(A )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),( (B )⎰⎰e ey dx y x f dy 10),((C )⎰⎰x edx y x f dy ln 01),( (D )⎰⎰10),(eey dx y x f dy4. 设∑是球面2222a z y x =++的内侧)0(>a ,Ω为∑所围成闭区域,由高斯公式,曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑++=⎰⎰【 C 】(A )dv a ⎰⎰⎰Ω-23(B )dv a ⎰⎰⎰Ω23 (C )θϕϕd drd r r sin 322⋅-⎰⎰⎰Ω(D )θϕϕd drd r r sin 322⋅⎰⎰⎰Ω5.设有级数∑∞=--11)1(n pn n ,则【 D 】 (A )当1≥p 时,级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 (B )当1>p 时,级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛 (C )当10≤<p 时,级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 (D )当10≤<p 时,级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛三.解答下列各题(本题共3小题,第1、2小题6分,第3小题8分,满分20分)1.求函数2221)ln(y x x y z --+-= 的定义域,并画出其区域图解:要使函数有意义,须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-010222y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧≤+>1222y x x y 所求定义域为}1|),{(222≤+>=y x x y y x D 且 ┉┉┉┉┉ 3分区域D 的图形如左图阴影部分┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2.函数),(y x z z =是由方程0=+-xy yz e z确定,求x z ∂∂及22x z∂∂解:令=),,(z y x F xy yz e z +- 则 y F x =, y e F z z -=zy x ey yF F x z -=-=∂∂ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 22x z ∂∂2)(z z e y x z e y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分32)(z z e y e y -= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分 3.求表面积为36而体积最大的长方体解:设长方体的三棱长为z y x ,,,则体积xyz V =,且 18=++xz yz xy令)18(),,(-+++=xz yz xy xyz z y x L λ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=180)(0)(0)(xz yz xy y x xy L z x xz L z y yz L zy x λλλ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分得6===z y x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分由实际问题可知,当棱长为6的正方体时体积最大 ┉┉┉┉ 8分四.计算下列积分(本题共3小题,第1、2小题6分,第3小题8分,满分20分) 1.计算dxdy y x D⎰⎰,其中D 由直线x y =,1=y 及0=x 围成的闭区域解:dxdy y x D⎰⎰⎰⎰=101xdy xy dx ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分dx y x x ⎰=1012|21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分dx x x ⎰-=103)(21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分81= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2.计算⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ,其中Ω是由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域 解:⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ⎰⎰⎰---=y x x dz z dy dx 101010┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分dy y x dx x ⎰⎰---=10102)1(21 ┉┉┉┉┉┉┉ 4分 ⎰--=103)1(61dx x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分=241┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分3.利用格林公式计算22()()y x LI xy e dy x y e dx =+-+⎰,其中L 为圆周422=+y x ,取逆时针方向 解:记4:22≤+y x D ,由格林公式 ⎰⎰+=D dy dx y x I )(22 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 ⎰⎰⋅=πρρρθ2022d d ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分420|2πρ=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分π8= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 8分五.解答下列级数(本题共3小题,第1小题5分,第2小题10分,满分15分)1.判别级数∑∞=123n n n 的敛散性解:nn n nn n n n u u 33)1(lim lim 2)1(21+∞→+∞→+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 211lim 31⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→n n131<= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 该级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分2.求幂级数∑∞=+1)1(n n xn n 的收敛域及其和函数解:n n n a a 1lim+∞→=ρ)1()2)(1(lim +++=∞→n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n 21lim 1= ┅┅ 2分 故11==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分当1-=x 时,级数∑∞=+-1)1()1(n n n n 发散 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 当1=x 时,级数∑∞=+1)1(n n n 发散 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)1,1(- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 记=)(x S ∑∞=+1)1(n n xn n 11<<-x =⎰x dx x S 0)(∑∞=+11n n nx 2x =∑∞=-11n n nx又设=)(x g ∑∞=-11n n nx,11<<-x ,=⎰x dx x g 0)(∑∞=1n n x =xx -1 ┅┅ 8分 知2)1(11)(x x x x g -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ()3222)1(2)1()()(x x x x x g x x S -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='= (11<<-x )┉┉┅┅ 10分六.(本题满分7分)设有连结点(0,0)O 和点(1,1)A 的一段向上凸 的曲线弧OA ,对于OA 上任一点(,)P x y ,曲线弧OP 与直线段 OP 所围成的图形的面积为2x ,求曲线弧OA 的方程解:设曲线弧OA 的方程为()y y x =,依题意 201()2xy t dt xy x -=⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 两边关于x 求导,得1()()22y x y xy x '-+= 即14y y x '-=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 该方程为一阶线性微分方程,由常数变易公式得(4)dx dx x x y e e dx C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分14x dx C x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ (4ln )x x C =-+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 由1|1x y ==得,1C =所求方程为4ln y x x x =-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分七.(本题满分8分)求微分方程2x y y y xe '''--=的通解解:该方程为二阶常系数非齐次线性微分方程,且()f x 为()x m P x e λ型(其中()m P x x =,1λ=) 与所给方程对应的齐次方程为20y y y '''--=它的特征方程 220r r --=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 特征根11r =-,22r =齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 由于1λ=不是特征根,设()x y ax b e *=+ ┅┅┅┅┅┅ 5分 代入原方程得 22ax a b x -+-=由比较系数法得2120a ab -=⎧⎨-=⎩,解得11,24a b =-=-, 1(21)4x y x e *=-+,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分 所求通解为2121(21)4x x x y C e C e x e -=+-+┅┅┅┅┅┅8分。

大一高数b下期末考试题及答案

大一高数b下期末考试题及答案

大一高数b下期末考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处的导数是()。

A. 0B. 2C. 4D. 8答案:B2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是()。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案:B3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是()。

A. 0B. 1C. -2D. 2答案:C4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是()。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2二、填空题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=ln(x)的定义域是()。

答案:(0, +∞)2. 微分方程dy/dx + y = e^x的通解是()。

答案:y = Ce^(-x) + e^x3. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的切线方程是()。

答案:y = 18x - 424. 定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx的值是()。

答案:4三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。

答案:首先求导数f'(x)=3x^2-6x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2。

当x<0时,f'(x)>0;当0<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0。

因此,x=0是极大值点,x=2是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1)。

答案:lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2)/(1+1/x+1/x^2) = 1/1 = 13. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。

已知切线斜率k=f'(1)=-2,切点为(1,0)。

因此,切线方程为y-0=-2(x-1),即y=-2x+2。

4. 求定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试题

一、单项选择题(6×3分)1、设直线,平面,那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的()A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数,则等于()A. B.C. D.4、二次积分交换次序后为()A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛,则该级数在处()A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解,若,则在处()A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题(7×3分)1、设=(4,-3,4),=(2,2,1),则向量在上的投影=2、设,,那么3、D为,时,4、设是球面,则=5、函数展开为的幂级数为6、=7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设,其中具有二阶导数,且其一阶导数不为 1,求。

2、求过曲线上一点(1,2,0)的切平面方程。

3、计算二重积分,其中4、求曲线积分,其中是沿曲线由点(0,1)到点(2,1)的弧段。

5、求级数的和。

四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3,求此曲线方程。

五、证明题 (6分)设收敛,证明级数绝对收敛。

一、单项选择题(6×3分)1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题(7×3分)1、22、3、 4 、5、 6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解:令则,故2、解:令则所以切平面的法向量为:切平面方程为:3、解:===4、解:令,则当,即在x轴上方时,线积分与路径无关,选择由(0,1)到(2,1)则===5、解:令则,即令,则有=四、综合题(10分)解:设曲线上任一点为,则过的切线方程为:在轴上的截距为过的法线方程为:在轴上的截距为依题意有由的任意性,即,得到这是一阶齐次微分方程,变形为: (1)令则,代入(1)得:分离变量得:解得:即为所求的曲线方程。

大一下半学期高数题答案与试卷(1)

大一下半学期高数题答案与试卷(1)

答案与提示 第十章 微分方程一、选择题 1. B 2. A 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D 10. B 二、填空题1. 05|2='=+⎧⎨=⎩x y y y 2. 2221+=x y 3. d cot d y x u u u x x ==, 4. 12e e x x y x C x C =+++ 5. p ;p ';0xp p '+= 6. p ;d d p py ;2d 20d pyp p y+= 7. 220'''-+=y y y 三、综合题 1. ⑴ 213ln ||1=++-y x x x ⑵ 21(arctan )2=y x ⑶ 21arctan 2=++y x x C 2. ⑴ 45=+x Cy x⑵ 2(1)e y x y -=+ 3. 22e e x x --4. ⑴ 5712e e x x y C C =+ ⑵ 2e xy x -= ⑶ 212e (cos sin )xy C x C x =+5. 12()e euuf u C C -=+ 6. 22123e e (3)e 2x x x y C C x x ---=++-第六章 空间解析几何与向量代数一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. B 8. D 二、填空题1. (,,)---a b c2. 13. ⑴ 120==D D ⑵ 120==B B 且12,D D 不全为0 ⑶ 12120====C C D D4. 5++=x y z5. 6. {}22(,)2+≤x y x y 7. 22450-=z y 8. 22=+z x y 三、综合题1. | r | = 6,错误!未找到引用源。

2. ⑴121012--+==x y z ⑵ 112132-+-==-x y z3. 7510-+-=x y z4. 30+=x y 或30-=x y5. 354250+-+=x y z6. 2230-=x y第七章 多元函数微分学一、选择题 1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. D 8. B二、填空题1. {}(,)10x y x y x y +>-+≠且 2. 2 3. 2cos 2cos +y x x y 4. 1112250221---++-===x y z x y z5. 6. 3,1 7. 9813 三、综合题1. 22. cos()2∂=+∂z y xy xy x ,2cos()∂=+∂z x xy x y ,2cos()sin()2∂=-+∂∂z xy xy xy x x y2 3. 1d d ln d ln d yz yz yz u yzxx zx x y yx x z -=++ 4.e ,x zf f y x u v∂∂∂=+∂∂∂ ∂∂=∂∂z fxy u5.22d 1)d z y x x y =-+ 6. cos()1cos()11cos()1cos()z yz xyz z xz xyz x xy xyz y xy xyz ∂-∂-==∂-∂-, 第八章 二重积分一、选择题 1. B 2. B 3. D 4. D 5. B 6. C 7. C 8. D 9. B 10. A二、填空题 1. (,)d d Df x y x y ⎰⎰ 2. 连续 3. >;< 4. 41+xy 5. 4π 6. 1 7. 33πa8.422d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 9.2221d (,)d y yy f x y x +-⎰⎰ 10. d d x y ;d d r r θ三、计算题 1. ⑴ 1111d (,)d x f x y y --⎰⎰ 或1111d (,)d y f x y x --⎰⎰ ⑵11d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 或1d (,)d yy f x y x ⎰⎰⑶ eln 10d (,)d xx f x y y ⎰⎰或1ee d (,)d y yf x y x ⎰⎰⑷122001d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰或1201d (,)d yy f x y x -⎰⎰或242222d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+⎰⎰⎰⎰或40d (,)d y f x y x ⎰2. 64153. 26π-4. 136. e 2-7.763 8. 2(1e )R π-- 9. 9210. 6π内蒙古农业大学2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》(B2)试卷 A一、填空题(每小题2分,共20分) 1. 点()231,,--在第( )卦限2.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 (3)(2)a b →→⋅-= ( ). 3.点)1,1,2(到平面22100x y z ++-=的距离( )4. 1(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域为( )5.(,)f x y =35(,)f =( )6. 设z xy =, 则 =dz ( ).7. 已知22dz x dx y dy =+,则2zx y∂=∂∂( ).8. 若 D={(y x ,)︱0201,x y ≤≤≤≤}, Dd σ=⎰⎰( ).9. 一阶线性微分方程sin 1xy y x x '+=的通解是( ).10. 特征方程2320r r +-=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题(每小题2分,共20分)1.过点(2,3,1)且垂直z 轴的平面方程为( )A 1z = B. 3y = C. 2x = D. 230x y z ++= 2. 03sin limx y xyx →→=( ) A 4 B. 2 C. 3 D. 1 3. 22limx y x yx y →→=+().A. 0B. 不存在C. 2D. 14. 已知32(,)f x y x y =, 则 (1,1)x f =( )A. 1B. 2C. 4D. 35.22{(,)9}D x y x y =+≤则Dd σ⎰⎰=( )A. 18πB. 14πC. 16πD. 12π6.已知平面2433x y z ++=与平面29x ky z +-=垂直,则k =( )A. 0B. 2C. 1D. 37. 设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=,那么a b →→⨯= ( ).A. b a →→⨯ B. b c →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯8. 就二元函数而言,下列说法正确的是 ( ).A. 可导一定连续B. 连续一定可导C. 可导、连续互为充要条件D. 可导、连续彼此无关 9. 微分方程ydx xdy =通解是( ).A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 下列方程是三阶微分方程的是( )A. 2y y x '-= B. 32()y y x '''-= C. 23()30y y '+= D. 22y y x '''=+4 三、判断题(每小题2分,共20分)1. 空间任意两个向量(自由向量)一定是共面的 ( )2. 此式子()a b c →→→⨯⋅表示一个数 ( ) 3. (2,1,3),(1,1,2),a b →→==则 a b →→⨯9= ( ) 4.r i j k →→→→=++是单位向量. ( )5. 2222lim x y x y x y→→-=-2 . ( )6. 已知z x y =+,则 dz dx dy =+. ( )7. 已知2229x y z ++=,则z xx z∂=-∂ ( ) 8.(,)Df x y d σ=⎰⎰(,)Df x y dxdy ⎰⎰. ( )9.()10,y dy f x y dx ⎰⎰=()1,xdx f x y dy ⎰⎰. ( )10.微分方程1y ''=的通解是y =12c x c +. ( ) 四、计算题(每小题8分,共40分)1. 求平行于y 轴且过点1P (1,5,1)-及2322(,,)P -的平面方程2.已知22z u v =+,,u xy v x y ==-, 求 dz 3. 求23223(,)f x y x x y y =++-的极值.4. 计算Dxy d σ⎰⎰, 其中D 是由直线0,y x y ==和1x =所围成的闭区域.5. 求微分方程320y y y '''-+=满足初始条件00,1x x yy =='==的特解内蒙古农业大学 2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》(B2)试卷 A 评分参考一、填空题(每小题2分,共20分)1.(六)2. ( 6).3. ( 1 ) 4. ( 1x y +->02,x y +≠ )5. ( 4 )6. ( ydx xdy + )7. ( 0 ).8. ( 2 ) .9. (1(cos )x c x-+ ). 10. ( 320y y y '''+-= ).二、选择填空题(每小题2分,共20分)1. A 2. C. 3. B. 4. D. 5. A. 6. C. 7. B. 8. D 9. B. 10. D. 三、判断题(每小题2分,共20分)1. √2. √3. ×4.×5. ×6. √7. √8. √9. × 10. × 四、计算题(每小题8分,共40分)1. 解 平行于y 轴的平面方程为 0Ax Cz D ++= 此平面过1P (1,5,1)-和2322(,,)P -得 0320,A C D A C D ++=-+= 解得 3255,A D C D =-=- 带入 3250x z +-= 2. 解22z z u z vuy v x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂,22z z u z v ux v y u y v y ∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂ 2222()()z zdz dx dy uy v dx ux v dy x y∂∂=+=++-∂∂ 3. 解22236,f f x y y x y ∂∂=+=-∂∂ 令00,f fx y ∂∂==∂∂ 得 12121102,x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 222222066,,f f fy x x y y∂∂∂===-∂∂∂∂ (1)1110x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===--=-<0, 1110x y =-⎧⎨=⎩ 不是极值点.(2)2212x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===-=>0,A >0,∴(,)f x y 在12(,)-取得极小值125(,)f -=-4. 解112000120x Dx xy d dx xydy xy σ==⎰⎰⎰⎰⎰1301128x dx ==⎰5. 解 2320r r -+=, 解得 1212,r r ==, 通解为 212x x y c e c e =+ 2122x xy c e c e '=+ , 由 00,1x x yy =='== 得 1212021,c c c c +=+=解得 1211,c c =-=, 特解为 2x xy e e =-+内蒙古农业大学2013—2014学年第二学期经济类《高等数学》(B2)试卷 A一、填空题(每小题2分,共20分)1.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 a b →→⨯= ( ). 2. 过点(3,2,1)且垂直y 轴的平面方程为( )63. 22123limx y x y x y →→+=+( )4. (,)arccos x f x y y=,则12(,)f =( )5. 1(,)f x y x y =-间断点为( )6. 已知2(,)f x y xy =, 则 (1,1)y f =( )7.设33z x y =+, 则 =dz ( ). 8.交换积分顺序()10,y dy f x y dx ⎰⎰=( )9.微分方程1y ''=的通解是( ).10. 特征方程2330r r -+=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题(每小题2分,共20分)1.设(1,1,2),(2,1,2),a b →→=-=-则 (2)(3)a b →→⋅-= ( ).A 18 B. 19 C. 20 D. 21 2.点312(,,)-到平面2230x y z -+-=的距离( )A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 103lim(1)xx y xy →→+=( )A 2e B. e C. 1 D. 3e4. 已知dz ydx xdy =+,则2zx y∂=∂∂( ). A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 5.22{(,)9,0}D x y x y x =+≤≥则Dd σ⎰⎰=( )A. 12πB. 10πC. 11πD. 9π6.已知平面2433x y z ++=与直线12312x y z k ---==-平行,则k =( )A. 0B. 2C. 1D. 37.已知()u f xy =, 则uy∂=∂( ) A. ()f xy ' B. ()xf xy ' C. ()yf xy ' D. ()xyf xy ' 8.设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=,那么a b →→⨯= ( ).A. b c →→⨯ B. b a →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯9. 微分方程xdx ydy =通解是( ).A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 可分离变量的微分方程的是( )A. 32()y y x ''-= B. 22y x y '= C. 23()30y y '+= D. 2y y x '-= 三、判断题(每小题2分,共20分)1. 空间任意三个向量(自由向量)一定是共面的. ( )2. 2433,,πππαβγ===是某一向量的方向角. ( ) 3. 2sin lim 2x y xy y →→=。

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1.。

(A)(B)(C)(D)不可导.2.。

(A)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)是等价无穷小;(C)是比高阶的无穷小; (D)是比高阶的无穷小。

3.若,其中在区间上二阶可导且,则().(A)函数必在处取得极大值;(B)函数必在处取得极小值;(C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点;(D)函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。

(A)(B)(C)(D)。

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)4.。

5..6..7..三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)8.设函数由方程确定,求以及.9.设函数连续,,且,为常数. 求并讨论在处的连续性.10.求微分方程满足的解。

四、解答题(本大题10分)11.已知上半平面内一曲线,过点,且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程。

五、解答题(本大题10分)12.过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V。

六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)13.设函数在上连续且单调递减,证明对任意的,.14.设函数在上连续,且,.证明:在内至少存在两个不同的点,使(提示:设)解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5.。

6。

.7. . 8.。

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9.解:方程两边求导,10.解:11.解:12.解:由,知。

,在处连续。

13.解:,四、解答题(本大题10分)14.解:由已知且,将此方程关于求导得特征方程:解出特征根:其通解为代入初始条件,得故所求曲线方程为:五、解答题(本大题10分)15.解:(1)根据题意,先设切点为,切线方程:由于切线过原点,解出,从而切线方程为:则平面图形面积(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)16.证明:故有:证毕.证:构造辅助函数:.其满足在上连续,在上可导。

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题(共40题,每题2分,共80分)1. 计算∫(4x-3)dx的结果是:A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案:A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2),则函数y = 2x^3的导数为:A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案:D3. 若a,b为实数,且a ≠ 0,则 |a|b 的值等于:A. aB. abC. 1D. b答案:B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1,g(x) = 2x - 1,则f(g(-2))的值为:A. 19B. 17C. 16D. 15答案:C5. 已知√2是无理数,则2-√2是:A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案:A二、填空题(共5题,每题4分,共20分)1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1,则f'(1)的值为____。

答案:42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3,若其图像与x轴有两个交点,则a的取值范围是____。

答案:(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中,AB = AC,角A的度数为α,则角B的度数为____。

答案:(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在,则f(x)在点x = 2处____。

答案:连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点,则k的取值范围是____。

答案:(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题(共5题,每题20分,共100分)1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。

解:令u = e^x-1,则du = e^xdx。

原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。

2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。

高数大一考试试题

高数大一考试试题

高数大一考试试题一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列函数中,哪一个不是基本初等函数?A. 指数函数B. 对数函数C. 分段函数D. 三角函数2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1在区间(-∞,+∞)内的最大值是:A. 1B. -1C. 0D. 23. 设函数f(x) = x^2 + 3x + 2,求f(x)的最小值:A. -1B. 0C. 1D. 24. 以下哪个选项是极限lim (x->2) [(x^2 - 4)/(x - 2)]的值?A. 0B. 4C. 8D. 不存在5. 已知数列{an}是等差数列,且a1 = 3,a4 = 13,求此等差数列的A. 2B. 3C. 4D. 56. 以下哪个选项是不定积分∫1/(4+3x^2) dx的解?A. 1/3 arctan(x/2)B. 1/2 arctan(x/2)C. 1/3 arctan(x)D. 1/2 arctan(x)7. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x),求f(x)的导数f'(x):A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)8. 以下哪个选项是定积分∫[0, π/2] x^2 dx的值?A. π^2/4B. π^2/3C. π^3/6D. π^3/39. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,求E(X)的值:A. λB. λ^2C. 1/λD. 2λ10. 以下哪个选项是二元函数z = xy在区域D:x^2 + y^2 ≤ 1上的A. 1B. 0C. -1D. 不存在二、填空题(每题4分,共20分)11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上可导,则f'(x) = ________。

12. 设数列{bn}的通项公式为bn = 2n - 1,该数列的前n项和Sn =________。

大一高数试题和答案与解析

大一高数试题和答案与解析

大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)________ 11.函数y=arcsin√1-x2+────── 的定义域为_________√1-x2_______________。

2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是______________。

f(Xo+2h)-f(Xo-3h)3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim───────────────h→o h= _____________。

4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是____________。

x5.∫─────dx=_____________。

1-x416.limXsin───=___________。

x→∞ X7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。

_______R √R2-x28.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。

dx3xdx2∞ ∞10.设级数∑ an发散,则级数∑ an _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的(),1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分11.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111①1-── ②1+── ③ ──── ④xxx1-x12.x→0 时,xsin──+1是()x①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3.下列说法正确的是()①若f( X )在 X=Xo连续,则f( X )在X=Xo可导②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导4.若在区间(a,b)恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)曲线弧y=f(x)为()①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5.设F'(x) =G'(x),则()① F(X)+G(X) 为常数② F(X)-G(X) 为常数③ F(X)-G(X) =0dd④ ──∫F(x)dx=──∫G(x)dxdxdx16.∫ │x│dx=()-1① 0② 1③ 2④ 37.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()①平行于xoy面的平面②平行于oz轴的平面③过oz轴的平面④直线x8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg── ,则f(tx,ty)=()y①tf(x,y)②t2f(x,y)1③t3f(x,y)④ ──f(x,y)t2an+1∞9.设an≥0,且lim───── =p,则级数∑an()n→∞ a n=1①在p〉1时收敛,p〈1时发散②在p≥1时收敛,p〈1时发散③在p≤1时收敛,p〉1时发散④在p〈1时收敛,p〉1时发散10.方程y'+3xy=6x2y是()①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程(二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是()①y=ex②y=x3+1③y=x3cosx④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的()①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x4②x4+c③x4+1④x4-11 x16.lim─── ∫ 3tgt2dt=()x→0 x3 01① 0②1③ ── ④ ∞3xy17.limxysin───── =()x→0 x2+y2y→0① 0② 1③ ∞ ④ sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()① 设y'=p,则y"=p'dp② 设y'=p,则y"=───dydp③ 设y'=p,则y"=p───dy1dp④ 设y'=p,则y"=── ───pdy∞ ∞19.设幂级数∑ anxn在xo(xo≠0)收敛,则∑ anxn在│x│〈│xo│()n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关sinx20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ=()D x1 1 sinx① ∫ dx∫ ───── dy0 x x__1 √y sinx② ∫ dy∫ ─────dx0 y x__1 √x sinx③ ∫ dx∫ ─────dy0 x x__1 √x sinx④ ∫ dy∫ ─────dx0 x x三、计算题(每小题5分,共45分)___________/x-11.设y=/────── 求y' 。

大一高等数学试题及答案

大一高等数学试题及答案

大一高等数学试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列函数中,不是周期函数的是()。

A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2的零点个数是()。

A. 0B. 1C. 2D. 33. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是()。

A. 0B. 1C. 2D. 无穷大4. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3在x = 1处的切线斜率是()。

A. -1B. 0C. 1D. 25. 以下哪个不是微分方程dy/dx = y/x的解()。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^(-1)D. y = x6. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是()。

A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 17. 函数f(x) = ln(x)在区间[1, e]上的值域是()。

A. [0, 1]B. [1, e]C. [0, e]D. [1, 2]8. 以下哪个是复合函数f(g(x))的导数()。

A. f'(g(x)) * g'(x)B. f(g(x)) * g'(x)C. f'(x) * g'(x)D. f(x) * g'(x)9. 以下哪个是泰勒级数展开的公式()。

A. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nB. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nC. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^nD. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^n10. 以下哪个是拉格朗日中值定理的条件()。

A. f(x) 在区间[a, b]上连续B. f(x) 在区间(a, b)上可导C. f(x) 在区间[a, b]上可导D. f(x) 在区间(a, b)上连续且可导答案:1-5 C B B C A 6-10 B A A D D二、填空题(每题2分,共10分)1. 若f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6,则f'(x) = __________。

大一高数下册期末总复习题1

大一高数下册期末总复习题1

大一高数下册期末总复习题1第八章多元函数微分学1(函数u arcsinx,arccos(1,y)的定义域为。

2yx 2(设 f(x,y) xsiny,2x,则limx 02f(1,x,0),f(1,x,0) 。

3(设z xx,y22,则dz 。

222x,y,z 3上点(1,1,1)处的切平面方程是。

4(球面5(可微函数z f(x,y)在点(x,y)处取得极大值的必要条件是。

6(函数z f(x,y)具有一阶偏导数,其沿着x轴负方向的方向导数为: 。

7(可微函数z f(x,y)在(x,y)处取得极大值的必要条件是。

8(设曲面z 4,x,y上点P处的切平面平行于平面2x,2y,22z,1 0则点P的坐标为。

9(z (x2,y)2在点(1,2)处的全微分dz 。

,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),则 AMB 。

10(设空间三点M(12z xy,1,1)处的切平面方程为。

11(在点(112(二元函数的偏导数连续是函数可微的条件。

13(可微函数z14(函数z f(x,y)在(x,y)处取得极值的必要条件是。

x3,y3,3xy的驻点是。

1,cos(x2,y2) 。

15(lim22x 0,y 0(x,y)16(曲面z,e17(函数ux,2xy 3在(1,2,0)处的切平面方程为。

ln(x2,y2,z2)在M(1,2,,1)处的梯度graduM 。

18函数z f(x,y)在(x0,y0)处有偏导数是它在该点存在全微分的( )A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件19(偏导数f’x(x0,y0),f’y(x0,y0)存在是函数在点(x0,y0)处可微的( ) A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件120(极限lim2,xy,4 x 0,y 0xy111,A B C D 2 44221当动点(x,y)沿着任一直线趋向于(0,0)时,函数f(x,y)都以A为极限,则极限x 0,y 0limf(x,y)()A 等于AB 不存在C 存在,但不一定等于A D以上都不对(22(空间中的点M(2,,3,1)关于原点对称的点是( )A (,2,3,,1)B (,2,,3,,1)C (2,,3,,1)D (,2,3,1)23(平面3x,3y,8 0的位置是( )A 平行于Z轴 B斜交于Z轴 C垂直于Z轴 D通过Z轴24(函数z x2,y2,x2y2在点(1,1)处的全微分是( )A dx,dyB 0C 2dx,2dyD 2dx,2dyf f 0,则函数f(x,y)在点(x0,y0)处( ) 25(若 x(x0,y0) y(x0,y0)A连续且可微 B连续,但不一定可微 C可微,但不一定连续 D不一定可微也不一定连续26(极限lim1,cos(x2,y2)(x,y)e22x2y2x 0,y 0 :( ):A -1B 1C 2D 027(函数z f(x,y)在(x,y)处的一阶偏导数连续是函数在该点可微的A必要条件 B充分条件 C充分必要条D既非充分也非必要条件28(二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数f’x(x0,y0),f’y(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续的:( ):A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 yzu (),求全微分df(1,2,3) 设x29(设z x(x 0,x 1)y2,求 x y 22z30(设z f(x,y,xy),求,其中f具有二阶连续偏导数。

大学大一高数试题及答案

大学大一高数试题及答案

大学大一高数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x)=x^2-4x+3,若f(a)=0,则a的值为()。

A. 1B. 3C. -1D. 2答案:B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为()。

A. 0B. 1C. ∞D. -1答案:B3. 若函数f(x)在点x=a处可导,则()。

A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案:A4. 设数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1,n∈N*,则a_3的值为()。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为______。

答案:1/32. 若矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\],则A 的行列式det(A)为______。

答案:-23. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6,f'(x)=3x^2-12x+11,则f'(1)的值为______。

答案:24. 函数y=ln(x)的反函数为______。

答案:e^y三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-12在x=2处的切线方程。

答案:首先计算f'(x)=3x^2-6x+4,代入x=2得到f'(2)=6,然后计算f(2)=0,所以切线方程为y-0=6(x-2),即y=6x-12。

2. 计算级数∑(1到∞) (1/n^2)的和。

答案:该级数为π^2/6。

3. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f(x)的极值点。

答案:首先求导f'(x)=3x^2-6x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2。

然后计算二阶导数f''(x)=6x-6,代入x=0和x=2,得到f''(0)<0,f''(2)>0,所以x=0是极大值点,x=2是极小值点。

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x)=x^3-3x,求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案:A2. 求极限lim(x→0) (sinx/x) 的值。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案:B3. 设曲线y=x^2+1与直线y=2x+3相交于点A和点B,求交点的横坐标。

A. -2, 1B. 1, 2C. -1, 2D. 1, -2答案:C4. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案:B二、填空题(每题5分,共20分)5. 设函数f(x)=x^2-4x+3,求f(2)的值。

答案:-16. 求不定积分∫(1/x) dx。

答案:ln|x|+C7. 设函数f(x)=e^x,求f'(x)的值。

答案:e^x8. 计算定积分∫(0,π) sinx dx。

答案:2三、解答题(每题10分,共60分)9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

解:首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11,令f'(x)=0,解得x=1或x=11/3。

当x<1或x>11/3时,f'(x)>0,函数单调递增;当1<x<11/3时,f'(x)<0,函数单调递减。

因此,x=1为极大值点,x=11/3为极小值点。

10. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。

解:首先求导数y'=3x^2-6x,代入x=1得y'|_(x=1)=-3。

切线方程为y-0=-3(x-1),即y=-3x+3。

11. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy,其中D是由x^2+y^2≤4所围成的圆域。

解:将二重积分转换为极坐标系下的形式,即∬D (x^2+y^2) dxdy = ∫(0,2π) ∫(0,2) (ρ^2) ρ dρ dθ = 8π。

(完整版)大一下学期高等数学期末考试试题及答案

(完整版)大一下学期高等数学期末考试试题及答案

高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】院(系)另寸___________ 班级___________ 学号 _______________ 姓名_________________ 成绩_____________、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上.)r r r r r1、已知向量a、b满足a b o, a 2,b 2,则a b __________ .32、设z xln(xy),贝H ----- _____________ .x y3、曲面x2 y2 z 9在点(1,2, 4)处的切平面方程为_________________________________________ .4、设f (x)是周期为2的周期函数,它在[,)上的表达式为f(x) x,贝U f (x)的傅里叶级数在x 3处收敛于____________ ,在x 处收敛于_________ .5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则Jx y)ds __________ .※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程一…,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)2x2 3y2 z29 亠 _1、求曲线 2 2 2 在点M o (1, 1,2)处的切线及法平面方程.z 3x y2 2 2 22、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n 13、判定级数(1)n ln 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?n 1 n2x z z4、设z f (xy, ) sin y,其中f具有二阶连续偏导数,求,•y x x y5、计算曲面积分dS,其中是球面x2 y2 z2 a2被平面z h (0 h a)截出的顶部.三、(本题满分9分)抛物面z x y被平面x y z 1截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.四、(本题满分10分)计算曲线积分L(e x siny m)dx (e x cosy mx)dy,其中m为常数,L为由点A(a,0)至原点0(0,0)的上半圆周x2 y2 ax (a 0).五、(本题满分10分)n求幕级数的收敛域及和函数.n 13n n六、(本题满分10分)计算曲面积分| 2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy,其中为曲面z 1 x2 y2(z 0)的上侧.七、(本题满分6分)设f (x)为连续函数,f(0) a , F(t) [z f(x2 y2 z2)]dv,其中t 是由曲面z •, —y2tF(t)与z t2x2y2所围成的闭区域,求limt 0备注:①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。

大一下学期高等数学考试题及答案

大一下学期高等数学考试题及答案

大一下学期高等数学考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 极限的定义中,当自变量趋近于某一点时,函数值趋近于某一个确定的数值,这个确定的数值称为该点处函数的()。

A. 极限值B. 导数值C. 积分值D. 定积分值答案:A2. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为()。

A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 2x^2+3x答案:A3. 曲线y=x^3-3x+2的拐点是()。

A. (1,0)B. (-1,-2)C. (0,2)D. (2,8)答案:A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, 2π]上的定积分为()。

A. 0B. 2C. -2D. 4答案:A5. 以下哪个函数是奇函数()。

A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=cos(x)D. f(x)=sin(x)答案:B二、填空题(每题4分,共20分)6. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。

答案:27. 曲线y=e^x在点(0,1)处的切线斜率为______。

答案:18. 函数f(x)=ln(x)的不定积分为______。

答案:x*ln(x)-x+C9. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。

答案:6x10. 曲线y=x^2-4x+5与x轴的交点个数为______。

答案:0三、计算题(每题10分,共30分)11. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。

答案:112. 计算定积分∫(0 to 1) (x^2-2x+1) dx。

答案:(1/3)x^3 - x^2 + x | from 0 to 1 = 1/3 - 1 + 1 = 1/313. 求函数f(x)=x^2-6x+8的极值点。

答案:极小值点为x=3,极大值点不存在。

四、证明题(每题10分,共10分)14. 证明函数f(x)=x^3在R上是增函数。

答案:略五、应用题(每题10分,共10分)15. 一个物体从高度为100米的塔上自由落下,求物体落地时的速度。

大一下高等数学期末试题精确答案

大一下高等数学期末试题精确答案

一、单选题(共15分,每小题3分)1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( )A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微C . 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D .00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2.若xyz ln =,则dz 等于( ).3.设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ).4. 4.若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ).A . 条件收敛B . 绝对收敛C . 发散D . 敛散性不能确定5.曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1)二、填空题(共15分,每小题3分)1.设220x y xyz +-=,则'(1,1)x z = .2.交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后,I =_____________________.3.设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑,则xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题(共54分,每小题6--7分)1.(本小题满分6分)设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,zy ∂∂.2.(本小题满分6分)求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程,并求切点处的法线方程.3. (本小题满分7分)求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x=1处的导数是:A. 0B. 4C. 6D. 82. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 5在点(1, -7)处的切线斜率是:A. -1B. 0C. 1D. 23. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是:A. 1/3B. 1/4C. 1/5D. 1/64. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是:A. πB. 2πC. π/2D. 4π5. 以下哪个级数是收敛的:A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 2 + 3 + 4 + ...二、填空题(每题2分,共10分)6. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5在x=2时的值是________。

7. 函数f(x) = e^x的导数是________。

8. 定积分∫(1, e) 1/x dx的值是________。

9. 函数y = ln(x)的反函数是________。

10. 函数f(x) = x^2 + 2x + 3的最小值是________。

三、解答题(共75分)11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。

(10分)12. 证明函数f(x) = x^3在R上是单调递增的。

(10分)13. 求定积分∫(0, 2) (2x + 1)^2 d x,并求出其几何意义。

(15分)14. 解不等式:x^2 - 4x + 3 < 0。

(15分)15. 利用泰勒公式展开e^x在x=0处的前三项,并计算其近似值。

(25分)四、附加题(10分)16. 假设你有一个函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 2,求其在区间[0, 1]上的最小值。

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大一下学期高等数学考
试题
文件编码(008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256)
一、单项选择题(6×3分)
1、设直线,平面,那么与之间的夹角为()
B. C. D.
2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的()
A.充分条件
B.充分必要条件
C.必要条件
D.既非充分又非必要条件
3、设函数,则等于()
A. B.
C. D.
4、二次积分交换次序后为()
A. B.
C. D.
5、若幂级数在处收敛,则该级数在处()
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散C.不能确定其敛散性
6、设是方程的一个解,若,则在处()
A.某邻域内单调减少
B.取极小值
C.某邻域内单调增加
D.取极大值
二、填空题(7×3分)
1、设=(4,-3,4),=(2,2,1),则向量在上的投影

2、设,,那么
3、D为,时,
4、设是球面,则=
5、函数展开为的幂级数为
6、=
7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
三、计算题(4×7分)
1、设,其中具有二阶导数,且其一阶导数不为1,求。

2、求过曲线上一点(1,2,0)的切平面方程。

3、计算二重积分,其中
4、求曲线积分,其中是沿曲线由点(0,1)到点(2,1)的弧段。

5、求级数的和。

四、综合题(10分)
曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3,求此曲线方程。

五、证明题(6分)
设收敛,证明级数绝对收敛。

一、单项选择题(6×3分)
1、A
2、C
3、C
4、B
5、A
6、D
二、填空题(7×3分)
1、2
2、
3、
4、
5、6、07、
三、计算题(5×9分)
1、解:令则,故
2、解:令

所以切平面的法向量为:
切平面方程为:
3、解:===
4、解:令,则
当,即在x轴上方时,线积分与路径无关,选择由(0,1)到(2,1)则
===
5、解:令则


令,则有

四、综合题(10分)
解:设曲线上任一点为,则
过的切线方程为:
在轴上的截距为
过的法线方程为:
在轴上的截距为
依题意有
由的任意性,即,得到
这是一阶齐次微分方程,变形为:
(1)
令则,代入(1)
得:
分离变量得:
解得:

为所求的曲线方程。

五、证明题(6分)
证明:

而与都收敛,由比较法及其性质知:
收敛
故绝对收敛。

一,单项选择题(6×4分)
1、直线一定()
A.过原点且垂直于x轴
B.过原点且平行于x轴
C.不过原点,但垂直于x轴
D.不过原点,但平行于x轴
2、二元函数在点处
①连续②两个偏导数连续③可微④两个偏导数都存在那么下面关系正确的是()
A②③①B.③②①
C.③④①
D.③①④
3、设,则等于()
B.
C. D.
4、设,改变其积分次序,则I=()
A. B.
C. D.
5、若与都收敛,则()
A.条件收敛
B.绝对收敛
C.发散C.不能确定其敛散性
6、二元函数的极大值点为()
A.(1,0)
B.(1,2)
C.(-3,0)
D.(-3,2)
二、填空题(8×4分)
1、过点(1,3,-2)且与直线垂直的平面方程为
2、设,则=
3、设D:,,则
4、设为球面,则=
5、幂级数的和函数为
6、以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
7、若收敛,则=
8、平面上的曲线绕轴旋转所得到的旋转面的方程为
三、计算题(4×7分)
1、设可微,由确定,求及。

2、计算二重积分,其中。

3、求幂级数的收敛半径与收敛域。

4、求曲线积分,其中是由所围成区域边界取顺时针方向。

四、综合题(10分)
曲线上点的横坐标的平方是过点的切线与轴交点的纵坐标,求此曲线方程。

五、证明题(6分)
设正项级数收敛,证明级数也收敛。

一、单项选择题(6×4分)
1、A
2、A
3、C
4、B
5、B
6、D
二、填空题(8×4分)
1、2、3、44、
5、6、7、18、
三、计算题(4×7分)
1、解:令
2、解:==
===
3、解:令对于,
当时=发散
当时,=也发散
所以在时收敛,在该区间以外发散,即
解得
故所求幂级数的收敛半径为2,收敛域为(0,4)
4、解:令,则
,由格林公式得到
==
==4
四、综合题(10分)
解:过的切线方程为:
令X=0,得
依题意有:即 (1)
对应的齐次方程解为
令所求解为
将代入(1)得:
故(1)的解为:
五、证明题(6分)
证明:由于收敛,所以也收敛,

由比较法及收敛的性质得:收敛。

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