假设检验——非参数检验

假设检验（二）——非参数检验

假设检验的统计方法，从其统计假设的角度可分为两类：参数检验与非参数检验。上一节我们所介绍的Z 检验、t 检验，都是参数检验。它们的共同特点是总体分布正态，并满足某些总体参数的假定条件。参数检验就是要通过样本统计量去推断或估计总体参数。然而，在实践中我们常常会遇到一些问题的总体分布并不明确，或者总体参数的假设条件不成立，不能使用参数检验。这一类问题的检验应该采用统计学中的另一类方法，即非参数检验。非参数检验是通过检验总体分布情况来实现对总体参数的推断。

非参数检验法与参数检验法相比，特点可以归纳如下： （1）非参数检验一般不需要严格的前提假设； （2）非参数检验特别适用于顺序资料；

（3）非参数检验很适用于小样本，并且计算简单；

（4）非参数检验法最大的不足是没能充分利用数据资料的全部信息； （5）非参数检验法目前还不能用于处理因素间的交互作用。

非参数检验的方法很多，分别适用于各种特点的资料。本节将介绍几种常用的非参数检验方法。

一．2

χ检验

2χ检验主要用于对按属性分类的计数资料的分析，对于数据资料本身的分布形态不作任何

假设，所以从一定的意义上来讲，它是一种检验计数数据分布状态的最常用的非参数检验方法。

2χ检验的方法主要包括适合性检验和独立性检验。

（一）2

χ检验概述

2χ是实得数据与理论数据偏离程度的指标。其基本公式为：

∑-=e

e f f f 2

02

)(χ (公式11—9) 式中，0f 为实际观察次数，e f 为理论次数。

分析公式可知，把实际观测次数和依据某种假设所期望的次数（或理论次数）的差数平方，除以理论次数，求出比值，再将n 个比值相加，其和就是2

χ。观察公式可发现，如果实际观察

次数与理论次数的差异越小，2χ值也就越小。当0f 与e f 完全相同时，2

χ值为零。

2χ值的特点为：① 2χ值具有可加性。② 2χ值永远不会小于零。③ 2χ值的大小随着实

际次数与理论次数之差的大小而变化。

利用2

χ值去检验实际观察次数与理论次数的差异是否显著的方法称为2

χ检验。

2χ检验有两个主要的作用：第一，可以用来检验各种实际次数与理论次数是否吻合的问题，

这类问题统称为适合性检验；第二，判断计数的两组或多组资料是否相互关联还是相互独立的问题，这类问题统称为独立性检验。

2χ检验的具体步骤与t 检验基本相同。

第一，建立虚无假设。例如假定实测次数与理论次数无显著差异，差异仅由机会造成。 第二，计算理论次数，并求出2

χ值。

第三，统计推断。根据df 数目和选定的显著性水平，查2

χ值表得出超过实得2

χ值的概率。把概率的大小，作为接受或拒绝假设的依据。

表11—9 2

χ检验统计决断规则

（二）适合性检验

适合性检验是应用2

χ检验方法的一种。它主要适用于检验实际观测次数与理论次数之检查以是否显著，它所面对的研究对象主要是一个因素多项分类的计数资料，所以又称为单因素分类

2χ检验或单项表的2χ检验。适合性检验的种类主要有无差假设的适合性检验和实际次数分布

是否属于正态分布的适合性检验，下面逐一进行简要介绍。

1． 无差假设的适合性检验

所谓无差假设是指各项分类的次数没有差异，理论次数完全按概率相等的条件计算，即理论次数= 总数／分类项数

例1，随机抽取70名学生，调查他们对高中分文理科的意见，回答赞成的有42人，反对的有28人。问对分科的意见有无显著差异？

解：此例只有两种分类。因此应有理论次数e f =70×0.5=35（人） 检验步骤：

（1）建立假设： 0H ：300==e f f ， 1H ：e f f ≠0 （2）计算2

χ值：

∑-=e

e f f f 202

)(χ=

8.235)3528(35)3542(2

2=-+- （3）统计推断。 首先确定自由度df ，2

χ检验的自由度一般等于分类项数减1，本例df =2 — 1 = 1。查df = 1的2

χ表，)

05.0,1(2χ

=3.84，故有 2χ＜)

05.0,1(2

χ

，因此应在0.05显著性水

平上保留虚无假设，拒绝备择假设。其结论为：学生对高中文理分科的态度的差异不显著。

例2，某大学某系的46位老年教师中，健康状况属于良好的有15人，中等的有20人，比较差的有11人，问该系老教师中三种健康状况的人数是否一样？

解：此例有三种分类。因此应有理论次数e f = 3

46

= 18（人） 检验步骤：

（1）建立假设： 0H ：健康状况好、中、差三种人数相同 1H ：健康状况好、中、差三种人数不相同 （2）计算2

χ值：

∑-=e

e f f f 202

)(χ=

44.318)1811(18)1820(18)1815(2

22=-+-+- （3）统计推断。 首先确定自由度df ，本例df = 3— 1 = 2。查df = 2的2

χ表，

)05.0,2(2χ=5.99，故有 2χ＜)05.0,2(2χ，因此应在0.05

显著性水平上保留虚无假设，拒绝备择

假设。其结论为：该系老教师中，健康状况好、中、差三种人数无显著差异。

2．实际次数分布是否属于正态分布的适合性检验

2χ检验还可以通过将正态分布的概率转换为理论次数的数值，来检验某些实际次数分布是

否属于正态分布。

例3，今对某校100名学生进行操行评定，分优、良、中、差四等，评定结果为：优19人、良39人、中35人、差7人。试检验其分布的形式是否属于正态分布？

解： 检验步骤：

（1）建立假设： 0H ：评定结果服从正态分布 1H ：评定结果不服从正态分布 （2）计算2

χ值：

首先需求出理论次数。正态分布的各部分理论次数，是通过正态分布图中面积比率乘以总次数得出的。在正态分布情况下，正态曲线底边上±3σ之内几乎包含了全部量数，因此我们可将正态分布底线长度从－3σ至＋3σ分为四个等分，每等分为1.5σ，其面积比率为：

第一等分（优）的面积：上限3σ，下限为1.5σ。1.5σ～3σ之间的面积比率为： 0.4987－0.4332=0.0655，即7%。

第二等分（良）的面积：位于0～1.5σ之间，其面积比率为0.4332，即43%。 第三等分（中）的面积：位于0～－1.5σ之间，其面积比率为0.4332，即43%。

第四等分（差）的面积：位于－1.5σ～－3σ之间的面积比率为：0.4987－0.4332=0.0655，即7%。

根据各等分的面积比率，乘以总人数，即可得出理论次数。如：优的人数为7%×100=7，良的人数为43%×100=43。同理可求出中的人数为43，差的人数为7。即优的 e f =7，良的e f =43，中的e f =43，差的e f =7。代入（公式11—9）有：

=

2

χ43.227

)77(43)4335(43)4339(7)719(2

222=-+-+-+- （3）统计推断。 首先确定自由度df ，本例df = 4— 1 = 3。查df = 2的2

χ表，

)05.0,3(2χ=7.81，)01.0,3(2χ= 11.345，故有 2χ＞)01.0,3(2χ，因此应在

0.01显著性水平上拒绝

虚无假设，接受备择假设。其结论为：此评定结果不服从正态分布。