07-13年广东高考数学理科数列真题(含答案)

07-13年广东高考数学理科数列真题(含答
案)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
5.已知数列{a n }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k = A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
21.（本小题满分14分）
已知函数2()1, f x x x αβ=+-、是方程()0f x =的两个根()αβ>,()f x '是()f x 的导数.设11()
1,(1,2,)()
n n n n f a a a a n f a +==-
=', (1)求αβ、的值；
(2)证明：对任意的正整数n ，都有n a α>; (3)记ln
(1,2,)n n n a b n a β
α
-==-,求数列{}n b 的前n 项和n S .
2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，420S =，则6S =（ ）
A ．16
B ．24
C ．36
D ．48
21．（本小题满分12分）
设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，
22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，
…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1
4
q =
，求{}n x 的前n 项和n S ．
４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,
n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -++
+=（ ）
Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n -
21．（本小题满分14分）
已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为
(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．
（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；
（２）证明：13521n n n
x
x x x x y -⋅⋅⋅
⋅<
<
4.已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和.若2312a a a ⋅=, 且4a 与72a 的等差中项为5
4
,则5S =
A.35
B.33
C.31
D.29
2011年广东高考理科卷
11. 等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和. 若141,0k a a a =+=，则k=____________.
20.（本小题共14分） 设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，1
1(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n ，1
1 1.2
n n n b a ++≤+
11.已知递增的等差数列{}n a 满足
2
1321,4
a a a ==-，则
n a =
_____________
19. （本小题满分14分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =an+1-2n+1，n ∈N ﹡,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。

求a 1的值；
求数列{a n }的通项公式。

证明：对一切正整数n ，有
121113 (2)
n a a a +++<.
答案解析
2007年广东高考理科卷
5. 答案为：B
解析:由2
9n S n n =-，可根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.
解得210n a n =-.
再根据5＜2k －10＜8,解得7.5＜k ＜9,∴k =8.
21.解:(1) 由 210x x +-=
得12
x -±=
α∴=
β= (2)(数学归纳法)①当1n =时
,11a =>
命题成立; ②假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立,
即k a >
21511
11822121
2
22
2
k k
k k k a a a a a α+++∴=
=+
-
≥=++
,
又等号成立时k a
=
k a ∴>时,1k a β+>1n k ∴=+时命题成立; 由①②知对任意*n N ∈均有n a α>.
(3) ()21f x x '=+ 22
111
2121n n n n n n n a a a a a a a ++-+∴=-=
++ 1n a β+∴-=2
222
1()(1)()212121
n n n n n n a a a a a a βββββ+--+---==
+++ 同理 1n a α+∴-=2()21
n n a a α-+21111()ln 2ln n n n n n n n n a a a a a a a a β
βββαααα++++----∴=∴=---- ∴ 12n n b b += 又
1111ln
4ln
2a b a βα-===-
∴数列{}n b 是一个首项为
4ln
公比为2的等比数列; ∴
)(
)14ln
12242112n n n S +-=
=--.
2008年广东高考理科卷
2．答案为： D
【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S
21．解：（1）由求根公式，不妨设<αβ
，得αβ
∴+==p αβ
，==q αβ
（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-
得，+=⎧⎨=⎩s t p
st q ，消去t ，得20-+=s ps q ，∴s 是方程20x px q -+=的根，
由题意可知，12,==s s αβ ①当≠αβ时，此时方程组+=⎧⎨
=⎩s t p
st q
的解记为1212
==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩s s t t αα
ββ或 112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ
即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列， 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα
221,=-=x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ 22221()--∴-==n n n x x αββββ，22221()---==n n n x x βαααα
1()-∴-=-n
n
n x βαβα，即1--∴=-n n n x βαβα，11
++-∴=-n n n x βαβα
②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ， 即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知
2121()---=-n n n x x x x ααβ，=αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα
即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以n α，得
1
1
1--=
+n
n n
n x x α
α
，即
1
1
1---
=n
n n
n x x α
α
∴数列{
}n
n x α是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-⨯=+-=+n n
x x n n n αααα
∴=+n n n x n αα，综上所述，11
,(),()++⎧-≠⎪=-⎨
⎪+=⎩
n n n n n x n βααββααααβ （3）把1p =，14q =
代入20x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12
==αβ 11()()22∴=+n n n x n ，232311111111()()()...()()2()3()...()2
2222222n n n S n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2311
1111()()2()3()...()22
222n n n ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭
11111
1()2()()3(3)()2222
n n n n n n -=-+--=-+.
2009年广东高考理科卷
4. 答案为： C
解：在25252(3)n n a a n -⋅=≥中，令n=5,得25102
5)2(2==a ，令n=3,得6152=⋅a a ，又0,1,2,
n a n >=，所以552=a ，21=a ，
从而解得，公比2=q ，n n a 2=，12122--=n n a ，12log 122-=-n a n ，
所以2123221log log log n a a a -+++=1+3+…+（2n-1）=22
)
121(n n n =-+
21.（1）解：曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==可化为222)(n y n x =+-， 所以，它表示以)0,(n C n 为圆心，以n 为半径的圆，切线n l 的方程为)1(+=x k y n ，
联立⎩⎨⎧=+-+=02)1(2
2y nx x x k y n ，消去y 整理，得0)22()1(222
2=+-++n n n k x n k x k ，① 2
22222)12(44)1(4)22(n n n n k n n k k n k +-=+--=∆，0>n k 令0=∆，解得1
222
+=n n k n
， 1
2+=n n
k n
此时，方程①化为01
2)2122()121(222
2=++-++++
n n x n n n x n n
整理，得[]0)1(2
=-+n x n ，解得1
+=
n n
x x ， 所以 121)11
(
12++=+++=
n n n n n n n
y n ，
∴数列}{n x 的通项公式为1+=n n x x ，数列}{n y 的通项公式为121++=n n n
y n 。

（２）证明：∵1211
11111+=++
+-
=+-n n n n n x x n n ，
121
21
4)12(4)12(2122
222+-=--<-=-n n n n n n n n ∴121
275533121265432112531+-⨯⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-n n n n x x x x n
=121+n =n n x x +-11， ∵121+=n y x n n =n n x x +-11，又4311210π<≤+<
n 令x y x n n =，则4
0π
<<x ，要证明n n n n y x y x sin 2<， 只需证明当4
0π
<<x 时，x x sin 2<恒成立即可。

设函数x x x f sin 2)(-=，40π
<<x
则x x f cos 21)(-='，4
0π
<<x
∵ 在区间⎪⎭⎫
⎝⎛4,0π上x x f cos 21)(-='为增函数，
∴当40π<<x 时，04
cos 21cos 21)(=-<-='π
x x f ，
∴x x x f sin 2)(-=在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛4,0π上为单调递减函数，
∴ x x x f sin 2)(-=0)0(=<f 对于一切4
0π
<<x 很成立，
∴
x x sin 2<
，即n n x x +-11=
n n n n
y x y x sin 2< 综上，得13521n n n
x
x x x x y -⋅⋅⋅⋅<
<
2010年广东高考理科卷
4.答案为：C
∵数列{}n a 为等比数列，∴231412a a a a a ==，∴4a ＝2.
又∵4a 与27a 的等差中项为
54，即有475224a a +=⨯，∴714
a =. ∴37418a q a =
=.∴q ＝12，116a =.∴551161231112
S ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 2011年广东高考理科卷
11.答案为 10.
由题意可知，94S S = ，所以70a =，则104720a a a +==，10k ∴= 20．解（１）法一：
112(1)n n n a ba n a n --=+-，得111
2(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅， 设
n n n b a =，则121
n n b b b b
-=⋅+(2)n ≥， （ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，1
2
为公差的等差数列， 即111
(1)222
n b n n =
+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=⋅+，则122
(1)n n b b b b
λ-=⋅+-，
令21(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b
-∴+=⋅+--(2)n ≥，
知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b -∴+=+⋅--，又11
b b
=，
12112()222n n n n n b b b b b b b -∴=⋅-=⋅---，(2)
2n n n n
nb b a b
-∴=-． 法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，1
2
为公差的等差数列， 即111
(1)222
n b n n =
+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，332233
33(2)
242b b b a b b b -==++-， 猜想(2)
2n n n n
nb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，猜想显然成立；
②假设当n k =时，(2)
2k k k k
kb b a b -=-，则
11
11
(1)(1)(2)(1)(2)
2(1)(2)2(2)2
k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--， 所以当1n k =+时，猜想成立，
由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n n
nb b a b -=-．
（２）（ⅰ）当2b =时， 1
12212
n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；
（ⅱ）当2b ≠
时，22122n n n n b b ++≥=，
21211222n n n n b b b --+⋅+⋅≥=，
11111,222n n n n n n b b b +--++⋅+⋅≥=，以上n 个式子相加得
2212n n b b -+⋅+
111122n n n n b b +--++⋅+⋅+
2121222n n n n b n b -++⋅+≥⋅，
1221212112(2)[(222)2](2)
2(2)2(2)
n n n n n n n n n n n n
n n n
n b b b b b b b a b b +--++⋅-+⋅++⋅+-⋅-=≤-- 2212121(222)(2)2(2)
2(2)
n n n n n n n n n
b b b b b b b --++⋅+
+⋅+--⋅-=
- 212111
1(2)222(2)
n n n n n n n n n
b b b b +++++--⋅+⋅=- 2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n n
b b b b +++++-⋅+⋅-=-1
112n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
2012年广东高考理科卷
11.答案为21n - .
解析：在递增的等差数列{}n a 满足
2
1321,4
a a a ==-，则()2
1124a d a d +=+-
解得2d =，1(1)21n a a n d n ∴=+-=-. 19.（1）在
11221
n n n S a ++=-+中
令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+
解得：2123
a a =+，
31613
a a =+
又()213
25a a a +=+，解得11
a =
（2）由
11221n n n S a ++=-+，
212221
n n n S a +++=-+得
1
2132n n n a a +++=+，又
121,5
a a ==也满足
1
2132a a =+
所以132n n n a a n N *
+=+∈对成立，∴
()
11+232n n n n a a ++=+
∴
23n n
n a +=，∴
32n n
n a =-
（3）（法一）∵
()()123211
323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥
∴ 1113n n a -≤∴，21123111311111113...1...1333213n n n a a a a -⎛⎫
⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-。