2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究

2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究

《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》不得不读

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例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()

()x x ax x x f 21ln 22

-+++=

（1） 若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0x 时，()0>x f ； （2） 若0=x 是()x f 的极大值点，求a

【解析】（1）若0=a ，则()()()()()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡

+-

++=-++=221ln 221ln 2x x x x x x x x f 令()()221ln +-+=x x x x g ，则()()()()0212411'2

2

2>++=+-+=x x x x x x g

所以()x g 在()+∞,0单增，又因为()00=g

故当01<<-x 时，()()00=x 时，()()00=>g x g ，即()0>x f ；

点评：如果直接求导，完全处理掉对数，需要二次求导，而《高观点下函数导数压轴题的

系统性解读》在第四章在4.6和4.7两个技巧，其中之一就是对函数的处理，希望对数函数单独存在，则一次求导就瞬间可破。

（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数=y ()x f 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前12-n 阶导数等于0，第n 2阶导数小于0。）

()()()21

21ln 21'2-++++++=x ax x x ax x f ，()00'=f

()()()()()()2

211431ln 22121ln 21''+++++=-++++++=x a ax x x a x ax x x ax x f ，()00''=f ()()3

211

662'''+++-+=

x a x ax ax x f ，由()0'''=x f 得6

1

-

=a 下证：当6

1

-

=a 时，0=x 是()x f 的极大值点， ()()()

3

1631

'''++-=x x x x f ，所以()x f ''在()0,1-单增，在()+∞,0单减

进而有()()00''''=≤f x f ，从而()x f '在()+∞-,1单减，

当()0,1-∈x 时，()()00''=>f x f ，当()+∞∈,0x 时，()()00''=

《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章大学知识在导数中的应用，3.1节介绍的是极值点的两个充要条件，借助第二充要条件即可突破，并且以2016山东文科压轴题为例进行应用。

（点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就着自己的兴趣，不断学习，学而致知。基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。通过

()1ln +=x y 在()2,1阶的帕德逼近可得()2

612121ln x

x x

x -+≤

+，且两个函数在0=x 处两个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法。由此可以迅速得到

6

1

-=a ，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相

应的题目。尝试一难点在于()x f 的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。

《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》副主编张栩瑞一书在3.6节介绍了各种无理数的估值和函数的逼近，利用这个可以变出很好地改编高考压轴题，现在已经以三角函数、指数函数编出了好几个题。下面也是他基于对帕德逼近推导的深刻，给出了一个更优化的解法。

引理1：若=y ()x f 与()=

x g ()()

x q x p 在0x x =处函数值和导数值都相同，则()()()()x p x f x q x h -=在0x x =处导数为0.

证明：()()()()()()x p x f x q x f x q x h ''''-+=，()()()()()()x

q x q x p x q x p x g 2

'''-=

因为()()00''x g x f =，且()()00x g x f =，代入化简即证：()0'0=x h

引理2：已知函数=y ()x f 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前12-n 阶导数等于0，第n 2阶导数小于0。

()()()21

21ln 21'2

-++++++=x ax x x ax x f ，

令()()()1ln 21++-=x ax x m ，()21

22

-+++=

x ax x x u 则易得()()00u m =，()()0'0'u m =，()()0''0''u m =，

由引理1知，()()0'''0'''u m =等价于()0'''=x f ，从而迅速求得6

1-=a 。 当6

1-

=a 时，()

()004

则存在充分接近于0的δ，使得当()0,δ-∈x 时，()0'>x f ，当()δ,0∈x 时，()0'

()()()11ln 11ln 2'2+-++⋅⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡+++=x x

x a x x x x x f 对任意的()+∞-,1x ，都有()01ln 2>+x x ，进而有()01

1ln 22

>++

+x x x x ①当()δ,0∈x 时，()

()1

1ln 21ln 12

++

++-+

a ，

当+

→0δ时，()

()()()'

11ln 2'1ln 1lim 11ln 21ln 1

lim 202

0⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+++⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡+-+=++

++-+≤++→→x x x x x x x x x x x x x x

a x x ()()()()()6

1

46121ln 141lim 431ln 12lim 0

22

-=++++++-=++++-=+

+

→→x x x x x

x x x x

x x

②当()0,δ-∈x 时，()

()1

1ln 21ln 12

++

++-+>x x x x x x x

a ，

当+

→0δ时，()

()()()'

11ln 2'1ln 1lim 11ln 21ln 1

lim 202

0⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+-+=++

++-+≤--→→x x x x x x x x x x x x x x

a x x

()()()()()6

1

46121ln 141lim 431ln 12lim 0

22

-=++++++-=++++-=-

-

→→x x x x x

x x x x

x x

综上：6

1

-

=a （点评：把复杂问题转化为基本问题，这是一种基本方法，即把问题转化为两个恒成立，