2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究
2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)
2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析) 数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{10}A x x =-∣≥,{0,1,2}B =,则A B = ( )A .{0}B .{1}C .{1,2}D .{0,1,2} 2.()(1i 2i)+-=( )A .3i --B .3i -+C .3i -D .3i +3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )ABC D 4.若1sin 3α=,则cos2α=( )A .89B .79C .79-D .89-5.252()x x+的展开式中4x 的系数为( )A .10B .20C .40D .806.直线2=0x y ++分别与x 轴,y 交于A ,B 两点,点P 在圆22(2)=2x y -+上,则ABP △面积的取值范围是( )A .[2,6 ]B .[4,8]C .[2,3 2 ]D [ 22,32] 7.函数422y x x =-++的图象大致为( )ABCD8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,()6(4)P X P X ==＜,则p =( )A .0.7B .0.6C .0.4D .0.39.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △的面积为2224,则C = ( )A .π2B .π3C .π4D .π6毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）10.设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D ABC -体积的最大值为( )A .123B .183C .243D .54311.设1F ,2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若1||6||PF OP =,则C 的离心率为 ( )A .5B .2C .3D .2 12.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则( )A .0a b ab +＜＜B .ab a b +＜＜0C .0a b ab +＜＜D .0ab a b +＜＜第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量2)(1,=a ,)2(2,=-b ,),(1λ=c .若2()+∥c a b ,则=λ . 14.曲线)e (1xy ax =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-,则a = .15函数π()cos(3)6f x x =+在[0,π]的零点个数为 .16.已知点1()1,M -和抛物线C ：²4y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若90AMB ∠=,则k = .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题：共60分. 17.(12分)等比数列{}n a 中,11a =,534a a =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min )绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()(a b)(c d)(a c)(b d)n ad bc K -=++++,2()P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.82819.(12分)-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.20.(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ,B 两点,线段AB 的中点为(1,)()M m m ＞0.(1)证明：12k ＜-；(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明：FA ,FP ,FB成等差数列,并求该数列的公差. 21.(12分)已知函数22()()ln(1)2f x a x x x x +=-++.(1)若0a =,证明：当10x -＜＜时,()0f x ＜；当0x ＞时,()0f x ＞； (2)若=0x 是()f x 的极大值点,求a .(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)在平面直角坐标系xOy 中,O 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),过点(0,2)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.23.［选修4—5：不等式选讲］(10分) 设函数()211f x x x =++-. (1)画出() y f x =的图象；(2)当[ 0),x ∈+∞,()b x f ax +≤,求a b +的最小值.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵={1}A x x ｜≥,{0,1,2}B =,∴={1,2}A B ,故选C .2.【答案】D【解析】21i 2i)(2i 2i i 3i )(+-=-+-=+,故选D . 3.【答案】A【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A .故选A . 4.【答案】B 【解析】由1sin 3α=,得22127cos212sin 12()=1=399αα=-=-⨯-.故选B .5.【答案】C【解析】252()x x+的展开式的通项251103155()(2)2r r r r r r r T C x x C x ---+==,令1034r -=,得2r =,所以4x 的系数为225240C ⨯=.故选C . 6.【答案】A【解析】由圆22(2)=2x y -+可得圆心坐标(2,0),半径r =ABP △的面积记为S ,点P 到直线AB 的距离记为d ,则有12S AB d =.易知AB =maxd ==min d =所以26S ≤≤,故选A .7.【答案】D【解析】∵42()2f x x x =-++,∴3()42f x x x '=-+,令()0f x '＞,解得x ＜或x 0＜此时,()f x 递增；令()0f x '＜,解得x ＜0或x ,此时,()f x 递减.由此可得()f x 的大致图象.故选D . 8.【答案】B【解析】由题知~1()0,X B p ,则(101 2.4)DX p p =⨯⨯-=,解得0.4p =或0.6.又∵()6(4)P X P X ==＜,即446664221010(1)(1)(1)0.5C P p C P p p p p --⇒-⇒＜＜＞,∴0.6p =,故选B .9.【答案】C【解析】根据余弦定理得2222cos a b c ab C +-=,因为2224ABCa Sbc +-=△,所以c 42os ABC ab C S =△,又1sin 2ABC S ab C =△,所以tan 1C =,因为π()0,C ∈，所以4C π=.故选C .10.【答案】B【解析】设ABC △的边长为a ,则1sin60=932ABC S a a =△,解得6a =(负值舍去).ABC △的外接圆半径r 满足62sin60r=,得r =球心到平面ABC 的距离为2=.所以点D 到平面ABC 的最大距离为246+=,所以三棱锥DABC -体积的最大值为163⨯=故选B .11.【答案】C【解析】点2(,0)F c 到渐近线b y x a =的距离2(0)PF b b ==＞,而2OF c =,所以在2Rt OPF △中,由勾股定理可得OP a ,所以1PF ==.在2Rt OPF △中,222cos PF b PF O OF c∠==,在12F F P△中,2222222121221246cos 22PF F F PF b c a PF O PF F F b c+-+-∠==⋅⋅2,所以222222463464b b c a b c a c bc +-=⇒=-,则有22223()46c a c a -=-值舍去),即e =.故选C .2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)数学试卷 第9页（共20页） 数学试卷 第10页（共20页）12.【答案】B【解析】解法一：∵0.20.2log 0.3log 1=0a =＞,22log 0.3log 1=0b =＜,∴0ab ＜,排除C . ∵0.20.20log 0.3log 0.2=1＜＜,22log 0.3log 0.5=1-＜,即01a ＜＜,1b ＜-,∴0a b +＜,排除D .∵220.2log 0.3lg0.2log 0.2log 0.3lg 2b a ===,∴2223log 0.3log 0.2log 12b b a -=-=＜,∴1bb ab a b a+⇒+＜＜,排除A .故选B . 解法二：易知01a ＜＜,1b -＜,∴0ab ＜,0a b +＜, ∵0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b +=+=＜, 即1a bab+＜,∴a b ab +＞, ∴0ab a b +＜＜.故选B .第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】12【解析】由已知得2(4,2)+=a b .又,()1c λ=,2()+∥c a b ,所以42=0λ-,解得12λ=. 14.【答案】3-【解析】设(e ))1(x f x ax =+,则()()1e x f x ax a '=++,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率(0)12k f a '==+=-,解得3a =-. 15.【答案】3【解析】令()0f x =,得πcos(3)6x +,解得ππ+()39k x k =∈Z .当0k =时,π9x =；当1k =时,4π9x =；当2k =时,7π9x =,又[ 0,π]x ∈,所以满足要求的零点有3个.16.【答案】2【解析】解法一：由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为1y x k =+,设111,y A y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,221,y B y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,将直线方程与抛物线方程联立得21,4,y x k y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩整理得2440y y k --=,从而得124y y k +=,124y y =-.∵1()1,M -,90AMB ∠=,∴0MA MB =,即1212(2)(2)(1)(1)0y yy y k k+++--=,即2440k k -+=,解得2k =.解法二：设11A(,)x y ，22(),B x y ,则2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩①②②-①得2221214()y y x x -=-,从而2121124y y x x k y y --+==.设AB 的中点为M '，连接MM '.∵直线AB 过抛物线24y x =的焦点，∴以线段AB 为直径的M '⊙与准线:1l x =-相切.∵1()1,M -,90AMB ∠=,∴点M 在准线:1l x =-上,同时在M '⊙上,∴准线l 是M '⊙的切线,切点M ,且MM l '⊥,即MM '与x 轴平行,∴点M '的纵坐标为1,即1212221y y y y =⇒++=,故124422y y k =+==. 故答案为：2. 三、解答题17.【答案】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=. (2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3nn S --=.数学试卷 第11页（共20页） 数学试卷 第12页（共20页）由63m S =得(2)188m -=-.此方程没有正整数解.若12n n a -=,则21n n S =-.由63m S =得264m =,解得6m =. 综上,6m =.【解析】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q-=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=.(2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m -=-。
2018全国3卷第21题——传承中创新
2018全国3卷第21题分析1处理函数在不断传承中创新对函数的处理：在求导之前、求导的过程中，注意对函数及导函数的处理，在比较大小和解不等式的题目中，求导之前、提取公因式、利用常用指对数不等式放缩可以简化函数，对分式函数利用分界点可以只考虑分子，从而大大简化运算。
求导之后，是优先提取公因式。
文化是不断传承中的积淀，经典是在不断传承中的拓展和创新。
例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()()xx axx x f 21ln 22-+++=（1）若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0<x f ；当0>x 时，()0>x f ；（2）若0=x 是()x f 的极大值点，求a【解析】（1）若0=a ，则()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=-++=221ln 221ln 2x x x x x x x x f 令()()221ln +-+=x xx x g ，则()()()()0212411'222>++=+-+=x x x x x x g （希望对数函数单独存在，一次求导就没有对数，往往使得研究导数更为容易，这也是全国卷一直坚持的思路。
）所以()x g 在()+∞,0单增，又因为()00=g 故当01<<-x 时，()()00=<g x g ，即()0<x f ；当0>x 时，()()00=>g x g ，即()0>x f ；（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f >++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++.由于当min{x <时，22x ax o ++>，故()h x 与()f x 的符号相同.又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.（直接对函数一次求导，得()00'=f ，二阶求导，导函数非常复杂，依然有()00''=f ，很多学生放弃了再次求导，或许这也是命题者希望看到的。
【NO.111】2018年高考数学全国3卷21题分析
【NO.111】2018年高考数学全国3卷21题分析
分析一下刚刚过的2018年全国卷3的导数这个大题目。
分析：这个题目让我想到了2016年全国卷2的那个吓人的的导数大题目。
感兴趣的读者可以查找一下之前的问章分析。
这个题目有点儿类似，类似在哪里？请看接下来的分析。
Note：如果在原函数里或者导函数里，对数函数时单独存在的，这是值得庆祝的，因为这样处理起来会是相当的方便。
这也是这几年全国卷坚持的出题角度。
2016年全国2卷将这种出题思路考得时淋漓尽致。
（2）汤老师在这里啰嗦几句，在高考中，第一个小问往往不是摆设，它和第二个小问往往都有着千丝万缕的关系，时而明显，时而隐藏，具体还是需要自己去发现。
这个地方大家知道我的思路是想干什么，但是你是否有过疑惑，这样处理，函数的极值点是否会发生变化？大家注意，如果这个式子除以一个正数，他的极值点不会发生变化，如果除以一个恒为正的函数式子，同样，他的极值点也不会发生变化。
这个题目难度是有的，包括后面的讨论。
估计上述的答案大家看完之后，中间的过程还是云里雾里的，所以后面我单独加一下解释，请看下面的图片。
我挨个解答一下。
对于第一个疑问，这里说一下哈。
但是说实话，后面的讨论的确是又难度。
如果用常规方法是否可以解决呢？毋庸置疑，可以的。
‘
这种解法就是过程复杂点了，但是逻辑关系很清楚，也是很容易去思考的。
如果你有什么更好的思路和方法，欢迎一起分享讨论。
2018年全国Ⅲ卷文数21题的解法赏析与评价
福建中学数学
5
2018 年全国Ⅲ卷文数 21 题的解法赏析与评价
刘丽茹 张连吉 云南省曲靖市第一中学（655000）
题目 （2018 年高考全国新课标Ⅲ卷·文 21）
已知函数
f
(x)
=
ax2
+x ex
−1 ．
（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 (0，−1) 处的切线方
程；
（Ⅱ）证明：当 a ≥ 1 时， f (x) + e ≥ 0 ．
R
，
f ′(x) = − ax2 − (2a −1)x − 2 ex
=
−
(x
−
2)(ax ex
+ 1)
．
当 a ≥ 1 时，令 f ′(x) = 0 ，
得 x = 2 或 x = − 1 ，显然 − 1 < 2 ．
a
a
当 x 变化时， f ′(x) 与 f (x) 的变化情况如下表：
x (−∞，− 1 ) − 1 (− 1，2)
g(− 1)
1− 1
=−2 +1+ e a
1− 1
=e a
−1≥ 0 ．
a
令
g
′( x0
)
=
0
，则
x0
∈
[−1，−
1 a
]
，
且 ex0 +1 = −2ax0 −1 ，
g(x) 在 (−∞，x0 ) 单调递减，
在 (x0，+ ∞) 单调递增，
所以 g(x)min = g(x0 )= ax02 + x0 −1+ ex0 +1
= ax02 − (2a −1)x0 − 2 ．
(完整版)2018年高考真题语文全国卷3(含答案)及分析,推荐文档
2018年普通高等学招生全国统一考试----全国卷3语文试卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标或。
回答非选择题时，将答案写在大体看上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（36）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）对城市而言，文明弹性是一个城市体在生存、创新、适应、应变等方面的综合状态、综合能力，是公共性与私人性之间；多样性与共同性之间；稳定性与变迁性之间、柔性与刚性之间的动态和谐。
过于绵柔、松散，或者过于刚硬、密集，都是弹性不足或丧失的表现，是城市体出现危机的表征。
当代城市社会，尤其需要关注一下文明弹性问题。
其一，空间弹性。
城市具有良好空间弹性的一个重要表现，是空间的私人性与公共性关系能够得到较为合理的处理。
任何城市空间都是私人性与公共性的统一，空间弹性的核心问题，就是如何实现空间的公共性与私人性的有机统一、具体转换。
片面的强调空间公共性或片面的强调空间的私人性，都会使城市发展失去基础。
目前，人们更多地要求空间的人，注重把空间固化为永恒的私人所有物、占有物。
这种以私人化为核心的空间固化倾向，造成城市空间弹性不足，正在成为制约城市，发展的一个重要原因。
其二，制度弹性。
一种较为理想的、有弹性的城市制度，是能够在秩序与活力、生存与发展间取得相对平衡的制度。
城市有其发展周期、发展阶段，对一个正在兴起的城市而言，其主要任务是聚集更多的发展资源、激活发展活力。
而对一个已经发展起来的城市而言，人们会更为注重城市制度的稳定功能。
但问题在于，即使是正在崛起的城市，也需要面对秩序与稳定的问题；即使是一个已经发展起来的城市，也需要面对新活力的激活问题。
过于注重某种形式的城市制度，过于注重城市制度的某种目标，都是城市制度弹性不足、走向僵化的表现，都会妨害城市发展。
语言文字运用新题型
③媒体传递良好家风的目的不完全是唤起人们对农 村广袤田野的热爱、对父老乡亲的亲近
• 巩固①的方 式。说明另外两处问题。（5分）(2018年新课标 1卷 )
第三部分：“（更名）就一定会带来我市的经济 腾飞”，句子虽含有条件关系，但“更名”这个条件 未必能够得出“经济腾飞”的结论。
3. 仿照例句精准拟写答案
根据题目对第一部分推论错误的解析，我们可 以从分析材料逻辑关系的角度确定后面两个推断 的错误。
答案分别为： ②“城市名字不够响亮并不一定会严重影响经济 发展” ③“更名并不一定会带来经济腾飞”
• ①有了房产税，也不一定能使房价降下来。
• ②房价下降，我国的经济并不一定就能有很大的发展
③房价下降，老百姓的生活水平不一定就会很高 •
• 3.下面文段有三处推断存在问题，请参照①的方式， 说明另外两处问题。（5分）
• 随着人工智能技术的发展，人工智能产品的用途和市 场也渐渐变得广泛。如果有机会，我也会选择在这一 领域发展。因为只有选择这一领域才能拥有更好的发 展前景，激发创新意识，而有了创新意识，定能创造 出更好的人工智能产品，将来也一定能为国家做出巨 大的贡献。
【典例剖析】
下面文段有三处推断存在问题，请参照①的方式， 说明另外两处问题。 (2018年全国卷Ⅱ第21题)
云南的“思茅市”改成“普洱市”，四川的“南 坪县”更名为“九寨沟县”后，城市的知名度都有了 很大提高，经济有了较快发展，可见，更名必然带来 城市经济的发展。我市的名字不够响亮，这严重影响 了我们的经济发展。如果更名，就一定会带来我市的 经济腾飞，因此，更名的事要尽快提到日程上来。
(完整版)2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究
2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》不得不读淘宝上的博约书斋店铺：唯一正版且第二版例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()()x x ax x x f 21ln 22-+++=（1） 若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0<x f ；当0>x 时，()0>x f ； （2） 若0=x 是()x f 的极大值点，求a【解析】（1）若0=a ，则()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=-++=221ln 221ln 2x x x x x x x x f 令()()221ln +-+=x x x x g ，则()()()()0212411'222>++=+-+=x x x x x x g所以()x g 在()+∞,0单增，又因为()00=g故当01<<-x 时，()()00=<g x g ，即()0<x f ； 当0>x 时，()()00=>g x g ，即()0>x f ；点评：如果直接求导，完全处理掉对数，需要二次求导，而《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》在第四章在4.6和4.7两个技巧，其中之一就是对函数的处理，希望对数函数单独存在，则一次求导就瞬间可破。
（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数=y ()x f 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前12-n 阶导数等于0，第n 2阶导数小于0。
）()()()2121ln 21'2-++++++=x ax x x ax x f ，()00'=f()()()()()()2211431ln 22121ln 21''+++++=-++++++=x a ax x x a x ax x x ax x f ，()00''=f ()()3211662'''+++-+=x a x ax ax x f ，由()0'''=x f 得61-=a 下证：当61-=a 时，0=x 是()x f 的极大值点， ()()()31631'''++-=x x x x f ，所以()x f ''在()0,1-单增，在()+∞,0单减进而有()()00''''=≤f x f ，从而()x f '在()+∞-,1单减，当()0,1-∈x 时，()()00''=>f x f ，当()+∞∈,0x 时，()()00''=<f x f 从而()x f 在()0,1-单增，在()+∞,0单减，所以0=x 是()x f 的极大值点。
拨云见月解法自然来——2018年全国卷Ⅲ理科第21题的解法探析
x = 0 是 f (x) 的极大值点当且仅当 x = 0 是 h(x) 的极
大值点.
h′(x)
=
1 1+x
−
2(2 + x + ax2) − 2x(1 + 2ax) (2 + x + ax2)2
=
x2(a2x2 + 4ax + 6a + 1)
(1 + x)(2 + x + ax2)2
, 如 果 6a + 1 > {√ }
拨云见月 解法自然来
— 2018 年全国卷 III 理科第 21 题的解法探析
广东省佛山市乐从中学 (528315) 林国红
当前, 函数导数题常作为高考的压轴题. 导数压轴题在 关作用.
考查基础知识的同时, 注重对能力, 数学思想方法方面的考 二、解法探析
查, 有综合性强, 思维量大, 方法繁多, 技巧性强等特点. 2018
题策略, 以及转化和运算能力有较高的要求, 较好地达到了 x + 2 > 0, 所以 f (x) < 0; 当 x > 0 时, g(x) > g(0) = 0, 且
考查目的, 体现能力立意的命题原则, 作为压轴题起到了把 x + 2 > 0, 所以 f (x) > 0.
∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼
2019 年第 4 期 (上)
中学数学研究
1
评注 问题 (1) 的两种证法均是利用导数作为工具来证
明, 由于 f (x) 中含有对数式, 证法 1 通过二次求导来处理掉
2018全国3卷第21题解法二
2018全国3卷第21题解法二例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()()xx ax x x f 21ln 22-+++=（1）若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0<x f ；当0>x 时，()0>x f ；（2）若0=x 是()x f 的极大值点，求a【解析】若0=x 是()x f 的极大值点，注意到()00'=f ，则存在充分接近于0的δ，使得当()0,δ-∈x 时，()0'>x f ，当()δ,0∈x 时，()0'<x f ()*得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法。
()()()11ln 11ln 2'2+-++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=x x x a x x x x x f 对任意的()+∞-,1x ，都有()01ln 2>+x x ，进而有()011ln 22>+++x x x x ①当()δ,0∈x 时，()()11ln 21ln 12++++-+<x x x x x x x a ，当+→0δ时，()()()()'11ln 2'1ln 1lim 11ln 21ln 1lim 2020⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=++++-+≤++→→x x x x x x x x x x x x x x a x x ()()()()()6146121ln 141lim 431ln 12lim 0220-=++++++-=++++-=++→→x x x x x x x x x x x ②当()0,δ-∈x 时，()()11ln 21ln 12++++-+>x x x x x x x a ，当+→0δ时，()()()()'11ln 2'1ln 1lim 11ln 21ln 1lim 2020⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=++++-+≤--→→x x x x x x x x x x x x x x a x x ()()()()()6146121ln 141lim 431ln 12lim 0220-=++++++-=++++-=--→→x x x x x x x x x x x综上：61-=a （点评：把复杂问题转化为基本问题，这是一种基本方法，即把问题转化为两个恒成立，求参数的值。
2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究(最新整理)
x0
2x
lnx
1
x2 x 1'
lim
x0
2x
12
x
lnx 1
3x 2
4x
lim
x0
4x
1lnx
1
1 2x
1
6x
4
1 6
x lnx 1
②当 x ,0时， a x 1
，
2x lnx 1 x2
x 1
当 0 时， a lim
x lnx 1
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x
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1
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1
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4
1 6
综上： a 1 6
（点评：把复杂问题转化为基本问题，这是一种基本方法，即把问题转化为两个恒成立， 求参数的值。这在淘宝上的博约书斋店铺的《全国卷高考数学的分析及应对》已经把转化 为基本问题视为破解压轴题的有效策略，还有思维说、方法论（笛卡尔），非常有效，可以 给出全国卷很多压轴题新的解法。在《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》的 3.2 节以 邻域的观点给出极值点的充要条件，有助于学生对极值点的准确理解，从而避开了求导研 究单调性，直接用罗必塔法则。《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》的 3.1 节系统地 论述了极限和洛必达法则。） 尝试三：按照波利亚的解题策略，我们联想到一个类似的题目，其思维方法是可以借鉴的。
2018全国3卷第21题解法三
2x x2
2
x ax2 x 1
2
5ax 6a 1x2 x 1x 2
当a
1 6
时，对于 0
x
min
1 2a
,
6a 5a
1
，有
5ax
6a
1
0 ，即
f
'x
0
此时与“ x 0 是 f x 的极大值点”矛盾，所以 a 1
6
若 x
1 2a
,0 ，则1 2ax 1
2a
1 2a
0
从而有
f
'x
2x x2
2 x ax 2 x 1
2
5ax 6a 1x2 x 1x 2
0①
此时与“ x 0 是极值点”矛盾。 当 a 0 时，由（1）知 x 0 不是极值点，
当 a 0 时，若 1 x 0 ，则1 2ax 0 ，
f
'x
1
2ax
2x x2
2
x ax 2 x 1
当 3 a 2 时，0 0 ，1 a 2 0 ，
因为x在 0,1上单减，所以存在唯一的 x0 0,1，使得x0 0 ， 则对任意的 x 0, x0 ，x 0 ，矛盾，舍去。
综上 a 3
在 6 月 7 日上午在很多群里都发了预测题，名字叫 PDF 预测，导数只选择了三个题，其中
分析及应对》和《立体几何的微观深入和宏观把ax 6a 1x2 x 1x 2
②，
向后推进，思维受堵。我们需要再一次准确理解“ x 0 是极值点”的充要条件，
即当 充分接近于 0, 当 x 0 时，有 f 'x 0 ，
5ax 6a 1x2 由此得到了其成立的必要条件，即 x 1x 2
2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究
2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》不得不读淘宝上的博约书斋店铺：唯一正版且第二版例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()()xx axx x f 21ln 22-+++=（1）若，证明：当时，；当时，；0=a 01<<-x ()0<x f 0>x ()0>x f （2）若是的极大值点，求0=x ()x f a【解析】（1）若，则0=a ()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=-++=221ln 221ln 2x x x x x x x x f 令，则()()221ln +-+=x x x x g ()()()()0212411'222>++=+-+=x x x x x x g 所以在单增，又因为()x g ()+∞,0()00=g 故当时，，即；01<<-x ()()00=<g x g ()0<x f 当时，，即；0>x ()()00=>g x g ()0>x f 点评：如果直接求导，完全处理掉对数，需要二次求导，而《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》在第四章在4.6和4.7两个技巧，其中之一就是对函数的处理，希望对数函数单独存在，则一次求导就瞬间可破。
（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数在处各阶导数都存=y ()x f 0x x =在且连续，是函数的极大值点的一个充要条件为前阶导数等于0，第阶导0x x =12-n n 2数小于0。
），()()()2121ln 21'2-++++++=x ax x x ax x f ()00'=f ，()()()()()()2211431ln 22121ln 21''+++++=-++++++=x a ax x x a x ax x x ax x f ()00''=f ，由得()()3211662'''+++-+=x a x ax ax x f ()0'''=x f 61-=a 下证：当时，是的极大值点，61-=a 0=x ()x f，所以在单增，在单减()()()31631'''++-=x x x x f ()x f ''()0,1-()+∞,0进而有，从而在单减，()()00''''=≤f x f ()x f '()+∞-,1当时，，当时，()0,1-∈x ()()00''=>f x f ()+∞∈,0x ()()00''=<f x f 从而在单增，在单减，所以是的极大值点。
2018年高考全国Ⅰ卷理科第21题的解法探究
两个根为 x1、x2, 则有 x1 + x2 √= a, x1 · x2 = 1. √
(i) 当 a > 2 时, x1 = a −
a2 2
− 4 , x2
=
a+
a2 − 4 , 2
0 < x1 < 1 < x2.
x f ′(x) f (x)
(0, x1) −
递减
x1 0 极小值
(x1, x2) +
x1 − x2
=
a ln x21 1
−2=
2a ln x1 1
− 2.
x1 − x1
x1 − x1
要证明
f (x1) − f (x2) x1 − x2
<
a − 2, 即要证明
2a ln x1
x1
−
1 x1
−2
<
a
−
2,
只需证明
2 ln x1
x1
−
1 x1
< 1, 因为 0 < x1 < 1 < x2, 所以
为 (0, +∞), 所以 f ′(x) < 0, 所以 f (x) 在 (0, +∞) 上单调递 减.
⃝2 当 ∆ = a2 − 4 0 时, 即 当 −2 a 2 时,
f ′(x) 0, 所以 f (x) 在 (0, +∞) 上单调递减.
综上所述, 当 a > 2 时, f (x) 在 (0, x1), (x2, +∞) 上单 调递减, f (x) 在 (x1, x2) 上单调递增; 当 a 2 时, f (x) 在 (0, +∞) 上单调递减.
的观察、分析、推理论证、运算求解的数学能力. 本文主要针
2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究
f ' ' x 1 2ax ln x 1
x1
2 2a ln x 1
x 12
， f'' 0 0
2ax2 6ax x 6a 1
1
f ' '' x
x 13
，由 f '' ' x 0 得 a 6
下证：当 a
1 时， x 0 是 f x 的极大值点， 6
f ''' x
1
xx 6
3
3 ，所以 f ' ' x 在 1,0 单增，在 0, 单减
2 x ax 2
f ' x 1 2an x 1 ， u x
2 x ax2 2 x1
则易得 m 0 u 0 ， m' 0 u' 0 ， m' ' 0 u'' 0 ，
由引理 1 知， m' '' 0 u'' ' 0 等价于 f '' ' x 0 ，从而迅速求得 a
6
0 处两
应的题目。尝试一难点在于 f x 的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。
引 理 1：若 y f x 与 g x
p x 在 x x0 处 函 数 值 和 导 数 值 都 相 同 ， 则 qx
h x q x f x p x 在 x x0 处导数为 0 .
证明： h' x q' x f x q x f ' x p' x ， g' x
着自己的兴趣，不断学习，学而致知。基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。通过
12x y ln x 1 在 1,2 阶的帕德逼近可得 ln x 1 12 6x x 2 ，且两个函数在 x
2018年高考全国Ⅲ卷文科第21题的多种解法
2018年高考全国Ⅲ卷文科第21题的多种解法作者：旷敏张雪刘成龙来源：《中学教学参考·理科版》2018年第11期[摘要]以2018年高考全国Ⅲ卷文科第21题为例研究高考题的多种解法.一题多解能培养学生的发散性思维，提高学生的解题能力.[关键词]2018年高考；数学题；解法[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0014-02研究高考试题的视角很多.比如，研究试题的立意、布局、解法、变式、推广等.其中，研究试题解法是研究高考试题的基本形式和主要内容.解法研究一般可以从一题多解、多题一解入手，基于解答失误分析、解答策略提炼、错解分析、解后反思等视角展开.其中，一题多解能培养学生的发散性思维.本文立足于不同的角度，给出2018年高考全国Ⅲ卷文科第21题（下文简称21题）（Ⅱ）的多种解法.试题：（21题）已知函数[f（x）=ax2+x-1ex].（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当[a≥1]时，[f（x）+e≥0].方法1.直接法令[M（x）=f（x）+e=ax2+x-1ex+e （a≥1）]，得[M（x）=-ax2+（2a-1）x+2ex]，令[M （x）=0].解得[x=-1a]或[x=2].当[ x2]时，[M（x）0]，所以函数[M（x）]在[-∞，-1a]和[（2，+∞）]上单调递减，在[-1a，2]上单调递增.易得：[M（x）min=minM-1a ，M（+∞）.]又[limx→+∞M（x）=limx→+∞ax2+x-1ex+e=][limx→+∞2ax+1ex+e=limx→+∞2aex+e =e]，且[M-1a=1a-1a-1e 1a + e = -e1a+e ][ ≥-e+e =0]，所以[M（x）min=M-1a≥0.]综上所述，当[a≥1]时，[fx+e≥0].评注：用直接法解答21题是多数学生的想法，但困难有：（1）求导计算较为烦琐；（2）在求[limx→+∞M（x）]的过程中用到了“洛必达”这一高等工具，这超出了一般学生的知识学习范畴，但为学有余力的学生提供了展示的空间.方法2.放缩法欲证[f（x）+e=ax2+x-1+ex+1ex≥0]，只需证明[ax2+x-1+ex+1≥0].由[a≥1]，得[ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+ex+1]，只需证明[x2+x-1+ex+1≥0.]令[h（x）=x2+x-][1+ex+1]，得[h（x）=2x+1+ex+1]，令[h（x）=0]，得[x=-1].于是当[x-1]时，[h（x）>0]，故函数[h（x）]在[（-∞，-1）]上单调递减，在[（-1，+∞）]上单调递增，所以[h（x）min=h（-1）=0]，有[h（x）≥0].故[f（x）+e≥0]成立.评注：方法2的核心是运用[a≥1]进行放缩.通过放缩将含参数的函数问题转化为不含参数的恒成立问题.方法3.分离参数法欲证[f（x）+e=ax2+x-1ex+e≥0]，只需证明[ax2+x-1+ex+1≥0].①当[x=0]时，显然成立；②当[x≠0]时，[a≥-ex+1-x+1x2].因为[a≥1]，只需证明[-ex+1-x+1x2≤1]即可.令[H（x）=-ex+1-x+1x2]，[H（x）=（x2-2x）（1-ex+1）x4]，由[H（x）=0]，解得[x=1]，[x=2].当[x0]；当[-12]时，[H（x）综上可知，当[a≥1]时，[f（x）+e≥0].评注：本例中分离参数的目的仍然是消去参数，将问题转化为[-ex+1-x+1x2≤1]恒成立.与方法2、方法3具有内在的相似性.方法4.隐零点法由题意只需证明[ax2+x-1+ex+1≥0]恒成立.令[g（x）=ax2+x-1+ex+1]，则[g（x）=ex+1+2ax+1]，[g（x）=ex+1+2a].因为[a≥1]，[g（x）>0]恒成立， [g（x）]在 [（-∞，+∞）]上单调递增，且当[x→-∞]时，有[g（x）→-∞]；当[x→+∞]时，有[g（x）→+∞]，所以[g（x）]在[（-∞，+∞）]上存在唯一零点[x0].即[ex0+1+2ax0+1=0]，得[ex0+1=-2ax0-1].同时[g（x）]在[（-∞，x0）]上单调递减，在[（x0，+∞）]上单调递增，所以[g（x）≥g（x0）].又[g（x0）=ex0+1+ax02][+x0-1][=ax02+（1-2a）x0-2=（ax0+1）（x0-2）.][g-1a=e1-1a-1≥0]，[g（2）=e3+4a][+1≥0]，且[g-1a0]，即[g（x0）>0].综上所述，当[a≥1]时，[ f（x）+e≥0].评注：此法运用函数的隐零点，将超越式[ex0+1]转化为普通式[-2ax0-1]，最终将问题转化为二次函数最小值大于零.零点[x0]贯穿了整个求解过程，但并没有解出零点，这体现了设而不求的数学思想方法.方法5.泰勒公式法由题意只需证明[ax2+x-1+ex+1≥0]恒成立.由泰勒公式有[ex=1+x+x22！+…+xnn！] [+o （xn）]，可得[ex≥x+1]，于是[ex+1≥x+2].故[ax2+x-1+ex+1][≥ax2+x-1+x+2] [=ax2+2x+1].又[a≥1]，故[ax2+2x+1≥x2+2x+1=（x+1）2≥0]恒成立.所以当[a≥1]时，[f（x）+e≥0].评注：方法5的关键步骤有两个：（1）运用泰勒公式将[ex+1]放缩为[ex+1≥x+2]，这一步可以看成是去超越式；（2）由[a≥1]再次放缩，将[ax2]放缩为[ax2≥x2].这一过程可以看成是去参数.整个求解过程可以看成是方法2、方法3的综合.特别指出，高等数学知识日益成为解答高考试题的重要工具，对于学有余力的学生可以让他们适当学习.波利亚指出：“一个专心、认真备课的老师往往能够拿出一个有意义但又并不复杂的题目，帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门，把学生引入一个完整的理论领域.”21题正是这样的一道题目，通过各种解答方法的分析，帮助学生通过有限题目的分析领悟解无限道题的数学机智.注：刘成龙系本文通讯作者（责任编辑黄桂坚）。
2018全国3卷第21题命题背景及解法一
2018全国3卷第21题命题背景例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()()xx ax x x f 21ln 22-+++=（1）若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0<x f ；当0>x 时，()0>x f ；（2）若0=x 是()x f 的极大值点，求a【解析】（1）略（2）命题背景分析1：由极大值求参数的值，在大学数学分析里面给出了极值点的第二充要条件：若()x f 在0x x =的各阶导数存在且连续，则极大值点的充要条件为()x f 在0x x =的前12-n 奇数阶导数等于0，第n 2阶导数小于0。
由()0'''=x f 得61-=a 。
法一：()()()2121ln 21'2-++++++=x ax x x ax x f ，()00'=f ()()()()()()2211431ln 22121ln 21''+++++=-++++++=x a ax x x a x ax x x ax x f ，()00''=f ()()3211662'''+++-+=x a x ax ax x f ，由()0'''=x f 得61-=a 下证：当1-=a 时，0=x 是()x f 的极大值点，()()()31631'''++-=x x x x f ，所以()x f ''在()0,1-单增，在()+∞,0单减进而有()()00''''=≤f x f ，从而()x f '在()+∞-,1单减，当()0,1-∈x 时，()()00''=>f x f ，当()+∞∈,0x 时，()()00''=<f x f 从而()x f 在()0,1-单增，在()+∞,0单减，所以0=x 是()x f 的极大值点。
2018年高考数学全国卷Ⅲ理科21题思路发现
2018年高考数学全国卷Ⅲ理科21题思路发现
叶艳;赵思林
【期刊名称】《理科考试研究（高中版）》
【年(卷),期】2018(025)009
【摘要】2018年高考数学全国卷Ⅲ 理科第21题是一道涉及函数、导数和不等式的综合性试题,该题含有高等数学背景.第(2)问的思维难度很大,用高等数学知识容易发现它的解题思路并获得正确结论.
【总页数】4页(P9-12)
【作者】叶艳;赵思林
【作者单位】内江师范学院数学与信息科学学院 641112;内江师范学院数学与信息科学学院 641112
【正文语种】中文
【相关文献】
1.2016年高考数学四川卷理科21题的思路发现
2.谈求曲线方程——兼与《98年高考数学理科21题参考解答》《1998年高考数学理科21题评析》商榷
3.2018年高考数学全国卷Ⅲ理科11题研究
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2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究
《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》不得不读
淘宝上的博约书斋店铺：唯一正版且第二版
例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()
()x x ax x x f 21ln 22
-+++=
（1） 若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0<x f ；当0>x 时，()0>x f ； （2） 若0=x 是()x f 的极大值点，求a
【解析】（1）若0=a ，则()()()()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
+-
++=-++=221ln 221ln 2x x x x x x x x f 令()()221ln +-+=x x x x g ，则()()()()0212411'2
2
2>++=+-+=x x x x x x g
所以()x g 在()+∞,0单增，又因为()00=g
故当01<<-x 时，()()00=<g x g ，即()0<x f ； 当0>x 时，()()00=>g x g ，即()0>x f ；
点评：如果直接求导，完全处理掉对数，需要二次求导，而《高观点下函数导数压轴题的
系统性解读》在第四章在4.6和4.7两个技巧，其中之一就是对函数的处理，希望对数函数单独存在，则一次求导就瞬间可破。
（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数=y ()x f 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前12-n 阶导数等于0，第n 2阶导数小于0。
）
()()()21
21ln 21'2-++++++=x ax x x ax x f ，()00'=f
()()()()()()2
211431ln 22121ln 21''+++++=-++++++=x a ax x x a x ax x x ax x f ，()00''=f ()()3
211
662'''+++-+=
x a x ax ax x f ，由()0'''=x f 得6
1
-
=a 下证：当6
1
-
=a 时，0=x 是()x f 的极大值点， ()()()
3
1631
'''++-=x x x x f ，所以()x f ''在()0,1-单增，在()+∞,0单减
进而有()()00''''=≤f x f ，从而()x f '在()+∞-,1单减，
当()0,1-∈x 时，()()00''=>f x f ，当()+∞∈,0x 时，()()00''=<f x f 从而()x f 在()0,1-单增，在()+∞,0单减，所以0=x 是()x f 的极大值点。
《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章大学知识在导数中的应用，3.1节介绍的是极值点的两个充要条件，借助第二充要条件即可突破，并且以2016山东文科压轴题为例进行应用。
（点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就着自己的兴趣，不断学习，学而致知。
基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。
通过
()1ln +=x y 在()2,1阶的帕德逼近可得()2
612121ln x
x x
x -+≤
+，且两个函数在0=x 处两个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法。
由此可以迅速得到
6
1
-=a ，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相
应的题目。
尝试一难点在于()x f 的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。
《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》副主编张栩瑞一书在3.6节介绍了各种无理数的估值和函数的逼近，利用这个可以变出很好地改编高考压轴题，现在已经以三角函数、指数函数编出了好几个题。
下面也是他基于对帕德逼近推导的深刻，给出了一个更优化的解法。
引理1：若=y ()x f 与()=
x g ()()
x q x p 在0x x =处函数值和导数值都相同，则()()()()x p x f x q x h -=在0x x =处导数为0.
证明：()()()()()()x p x f x q x f x q x h ''''-+=，()()()()()()x
q x q x p x q x p x g 2
'''-=
因为()()00''x g x f =，且()()00x g x f =，代入化简即证：()0'0=x h
引理2：已知函数=y ()x f 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前12-n 阶导数等于0，第n 2阶导数小于0。
()()()21
21ln 21'2
-++++++=x ax x x ax x f ，
令()()()1ln 21++-=x ax x m ，()21
22
-+++=
x ax x x u 则易得()()00u m =，()()0'0'u m =，()()0''0''u m =，
由引理1知，()()0'''0'''u m =等价于()0'''=x f ，从而迅速求得6
1-=a 。
当6
1-
=a 时，()
()004<f 尝试二：若0=x 是()x f 的极大值点，注意到()00'=f ，
则存在充分接近于0的δ，使得当()0,δ-∈x 时，()0'>x f ，当()δ,0∈x 时，()0'<x f ()* 得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法。
()()()11ln 11ln 2'2+-++⋅⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡+++=x x
x a x x x x x f 对任意的()+∞-,1x ，都有()01ln 2>+x x ，进而有()01
1ln 22
>++
+x x x x ①当()δ,0∈x 时，()
()1
1ln 21ln 12
++
++-+<x x x x x x x
a ，
当+
→0δ时，()
()()()'
11ln 2'1ln 1lim 11ln 21ln 1
lim 202
0⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+-+=++
++-+≤++→→x x x x x x x x x x x x x x
a x x ()()()()()6
1
46121ln 141lim 431ln 12lim 0
22
-=++++++-=++++-=+
+
→→x x x x x
x x x x
x x
②当()0,δ-∈x 时，()
()1
1ln 21ln 12
++
++-+>x x x x x x x
a ，
当+
→0δ时，()
()()()'
11ln 2'1ln 1lim 11ln 21ln 1
lim 202
0⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-+=++
++-+≤--→→x x x x x x x x x x x x x x
a x x
()()()()()6
1
46121ln 141lim 431ln 12lim 0
22
-=++++++-=++++-=-
-
→→x x x x x
x x x x
x x
综上：6
1
-
=a （点评：把复杂问题转化为基本问题，这是一种基本方法，即把问题转化为两个恒成立，
求参数的值。
这在淘宝上的博约书斋店铺的《全国卷高考数学的分析及应对》已经把转化为基本问题视为破解压轴题的有效策略，还有思维说、方法论（笛卡尔），非常有效，可以给出全国卷很多压轴题新的解法。
在《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》的3.2节以邻域的观点给出极值点的充要条件，有助于学生对极值点的准确理解，从而避开了求导研究单调性，直接用罗必塔法则。
《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》的3.1节系统地论述了极限和洛必达法则。
）
尝试三：按照波利亚的解题策略，我们联想到一个类似的题目，其思维方法是可以借鉴的。
此题改编于
《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》早已泄露天机，并以此题进行原创，得到一个题目，在去年高考前夕发出。
在百度上搜导数压轴题的命题思路可以发现。
在今年6月7号上午十点的很多群里再次可以看到。
由此看到《全国卷高考数学的分析及应对》绝对透析了全国卷的考查特点，一定要认真阅读，特别适合老师阅读。