第4章 电磁场数值模拟-有限差分法

n 1 2 Ey (i, k )
x 1
2
i
I
t
1 n 1 n E ( i , k ) E y y (i , k ) t
K Ey Hx Hz
Yee 网格及电磁场空间配置 .
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
利用
计算地球物理
第四章 电磁场数值模拟—有限差分法
地球物理与信息工程学院 物探系 周 辉 2014年
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
D t B E= t D 0 H =J + B 0
E 电场强度 H 磁场强度 D 电感应强度 B 磁感应强度 J 电流密度 q 自由电荷=0
边界内的电导率是可变的。以左右边界为例， x 的分布为
M L x x max , Lx x 0, M x N L 1 x , max Lx
x Lx Lx x N L 1 x x N L 1 x

C
E dl
B ds t S
Yee 网格及电磁场空间配置 .
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
E y
1 H x H z Ey z 1 Iy t z x H xn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 2 n 1 2 H x (i, k ) H x (i, k ) z z 2 2 H zn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 n 1 2 H ( i , k ) H ( i , k ) z z x x 2 2 k
n 1 y n y
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
设计 PML 的原理是：当内部介质和边界介质的波阻抗一样，即 波阻抗匹配时，电磁波入射到边界时，电磁波只沿原方向传播而不 被反射回来。当然，必须要求电磁波在边界中快速衰减，当电磁波 传播到最外侧的边界时，电磁波的能量衰减到 60 分贝以下，这时 即使有边界反射，能量也极其微弱，对需要计算波场的影响可以忽 略。 PML 吸收效果最好。PML 已经在声波、弹性波模拟中得到广泛 应用。
* z
* x 0, x 0 * z 0, z 0
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
根据阻抗匹配条件，可以得到如下关系
* * x x ， y y
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
边界反射
L=10
L=2
波场的等时间剖面（snap shot）
z 0 E E yz x 0 H x z* H x yx

E yx E yz H z * x Hz t x
Fra Baidu bibliotek
* x 0, x 0 * z 0, z 0
z 0, 0, , 0 * x x 0


* z * x
E yx t
E yz t
t

H x H z z x

E y H z t x
x E yx
z E yz
H z x
H x z
z
z 0 x 0

H x E y t z
内部区域
, 0 , * 0
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
以无吸收介质的电磁波传播为例说明 PML 吸收边界。
H x H z t z x E y H x E y H z ， t z t x
E y
（1） （2）
将 E y 分解为 x 方向传播的部分和 z 方向传播的部分，即
Ey Eyx E yz
在边界中，电导率和磁导率分别记为 , 。
*
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界 （1）式写为
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
L 为 PML 的层数，N 为横向剖分的网格数，M 为一常数，一般取 为 3。 max 为 PML 最外侧的电导率，它由边界的反射系数的大小 决定。L 一般取 8-10 左右，当然，L 越大吸收效果越好，但计算 效率就越低。
0
x
x, z x, z
z
二维介质
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
x 1 z 1 2 2 i I
微分形式
k K Ey Hx Hz
积分形式
D t B E= t H d l D ds J ds C t S S H=J +
H z x Eyx t x E yz H x z E yz t z
（2）式写为
E yx
E yx Eyz H x * z Hx t z E yx Eyz H z * xHz t x
E
得
n 1 2 y
1 n1 n (i, k ) E ( i , k ) E y y (i , k ) 2
E
n 1 y
1 1 n1 2 n 1 2 (i, k ) A1 E (i, k ) A2 H x (i, k ) H x (i, k ) 2 2 1 1 n1 2 n 1 2 n 1 A3 H z (i , k ) H z (i , k ) A4 I y i, k 2 2
n y
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
H x 1 E y , t z
H z 1 E y t x
在 (n 1 2)t 时刻磁场分量的差分格式
1 1 n 1 2 n n H (i, k ) H x (i, k ) A5 E ( i , k 1) E y y (i , k ) 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H z (i , k ) H z (i , k ) A6 E ( i 1, k ) E y y (i , k ) 2 2
地质雷达探测时，通常只记录与测线方向垂直的水平电场分 量，并假设地下介质为二维的，故考虑仅有一个电场分量的麦克 斯韦方程组。 二维非均匀介质中的麦克斯韦方程组为 E y 1 H x H z Ey Iy , t z x
H x 1 E y , t z H z 1 E y . t x
D E B H J E
在用时间域有限差分法（FDTD—finite-difference time-domain method）求解麦克斯韦方程时，只求解两个旋度方程，而两个散 度方程自然得到满足。
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
n 1 2 x
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
1 1 n1 2 n 1 2 E (i, k ) A1 E (i, k ) A2 H x (i, k ) H x (i, k ) 2 2 1 1 n1 2 n 1 2 n 1 A3 H z (i , k ) H z (i , k ) A4 I y i, k 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H x (i, k ) H x (i, k ) A5 E ( i , k 1) E y y (i , k ) 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H z (i , k ) H z (i , k ) A6 E ( i 1, k ) E y y (i , k ) 2 2 求解步骤： （1）用磁场的更新式求 (n 1 2)t 时刻的磁场； （2） 用电场的更新式求 ( n 1) t 时刻的电场。 如此循环直至最大时刻。
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
z
* x 0, x 0 * * * z 0, z 0, x x 0 z 0, z 0
PML x

* z * x
E y t