第4章 电磁场数值模拟-有限差分法
电磁场数值模拟方法研究与应用
电磁场数值模拟方法研究与应用随着计算机技术和数值模拟方法的不断发展，电磁场数值模拟也越来越成为现代电磁学研究和应用领域中不可或缺的手段。
电磁场数值模拟是通过数学方法和计算机计算，模拟电磁场在空间中的分布、演变和作用规律，从而为电磁场的分析、设计、控制和优化提供基础和依据。
一、电磁场数值模拟方法1. 有限元法有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种广泛应用于电磁学领域的数值模拟方法。
该方法将电磁问题离散化为一系列局部问题，在每个局部问题中，通过解决一个代表导体和介质的区域内所能发生的任何电磁过程的方程，来确定局部场分布。
最后，通过组合这些局部场，来得到整个电磁场分布。
有限元法是一种适应性强的方法，能够处理任意复杂的几何形状和材料特性，广泛应用于电动机、变压器、电力电子器件等领域的设计和分析。
2. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种将区域划分为网格，通过对每个网格内的方程进行差分，建立离散的求解方程组来模拟整个电磁场分布的方法。
该方法简单易行，特别适用于规则区域的情况，如平面波导、电磁谐振腔等的分析和设计。
3. 时域有限差分法时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种基于时域求解Maxwell方程的数值模拟方法。
该方法将Maxwell方程组离散化、网格化后，采用差分法对时间和空间进行离散，通过迭代求解来计算电磁场在时域的分布变化。
FDTD方法具有模拟宽带高频信号、自然分析非线性、高精度等优点，在雷达、无线通信等领域有广泛应用。
二、电磁场数值模拟应用1. 电子设备设计电磁场数值模拟可用于电子设备的设计和优化。
例如，可以使用有限元法和时域有限差分法来对电子器件进行仿真模拟，分析其电磁场分布、电场强度等参数，以优化电路传输、EMC抗干扰等性能。
2. 电磁兼容性分析电磁兼容性（Electromagnetic Compatibility，EMC）是评估电子设备互相之间及其周围电子环境中的电磁干扰程度的一种能力。
有限差分法
利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。
例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。
在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。
在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。
为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。
依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。
但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。
对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。
常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。
对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。
在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。
有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
电磁场的数值模拟方法
电磁场的数值模拟方法引言电磁场的数值模拟方法是一种在工程和科学领域中广泛应用的技术。
通过数学模型和计算方法，可以模拟和分析电磁场的行为和特性。
本文将介绍电磁场数值模拟的基本原理和常用方法。
电磁场模拟的重要性电磁场在许多领域中起着重要作用，包括电子设备设计、电力系统分析、天线设计等。
通过模拟电磁场，我们可以更好地理解和优化系统的性能。
同时，由于电磁场的方程通常是非线性的，无法得到解析解，因此数值模拟方法是求解电磁场问题的主要手段之一。
电磁场的基本方程电磁场可以用麦克斯韦方程组描述，包括麦克斯韦方程和洛伦兹力方程。
对于静电场和静磁场问题，可以根据静态麦克斯韦方程进行求解。
而对于时变场问题，需要考虑到电磁波的传播，可以利用时域或频域的电磁波方程进行求解。
有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的常用离散化方法之一。
对于电磁场的数值模拟，可以将空间离散化为一系列网格点，并用差分方式求解电磁场的方程。
常见的有限差分法包括有限差分时间域法(FDTD)和有限差分频域法(FDFD)等。
有限差分时间域法 (FDTD)有限差分时间域法是一种广泛应用于求解时变电磁场问题的数值方法。
它将空间和时间离散化，并通过迭代的方式求解电磁场的时变行为。
在FDTD方法中，电场和磁场分别通过麦克斯韦方程的差分形式进行更新。
由于FDTD方法是一种显式的时间离散方法，因此对时间步长有一定的限制，需要满足稳定性条件。
有限差分频域法 (FDFD)有限差分频域法是一种用于求解频域电磁场问题的数值方法。
它通过将时间域的麦克斯韦方程转化为频域来进行求解。
在FDFD方法中，电场和磁场的空间表达式被离散为一系列频域的谐波，通过求解谐波的耦合方程组来得到电磁场的分布。
相比于FDTD方法，FDFD方法需要耦合求解大规模的线性方程组，计算量较大，但对于频域分析更为适用。
有限元法有限元法是一种用于求解偏微分方程的数值方法，广泛应用于结构力学、电磁场、流体力学等领域。
电磁场 计算机辅助分析 有限差分.
5. 二维场域的有限差分法
数值计算的两种重要方法
有限差分法(Finite Difference Method, FDM)
以差分原理为基础的一种数值方法；
首先，将求解场域剖分为很多网格和节点， 并用差商代替微商； 然后，将场域中的偏微分方程转化成以各节 点的电位或磁矢为未知量的差分方程组； 最后，解该方程组可得到各离散点待求的电 位或磁矢的数值解。
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
相互联系 相互依赖
电磁场工程 电磁场理论
计算电磁场为电磁场理论提供研究提供复杂 的数值及解析运算的方法、手段和计算结果； 电磁场理论为计算电磁场问题提供了电磁规 律、数学方程，进而验证其计算结果。
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
计算工具 革命性的变化
主要内容
f ( x) 1 f ( x h) f ( x) 2 x h h h
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
5. 二维场域的有限差分法
电磁场计算方法分类
镜像法 解析法 分离变量法 保角映射法 …… 有限差分法
数值法
有限元法 ……
电磁场计算方法分类
解析法优缺点
优点：可将解答表示为已知函数的显式，从 而计算出精确的数值结果；可以作为近似解和 数值解的检验标准；在解析过程中和在解的显 示中可以观察到问题的内在联系和各个参数对 数值结果所起的作用； 缺点：仅能解决很少量的问题，如简单边界 条件和规则几何形状问题。
dE
dq dy dE 2 40 r 40 (a 2 y 2 ) dEx
l
O
有限差分法不同边界条件下的数值模拟
有限差分法不同边界条件下的数值模拟文章介绍了地震数据处理中所使用的数值模拟法，对采用有限差分法所使用不同边界条件处理方式进行了数值模拟，通过波场快照直观的得出了不同的边界吸收条件的吸收效果，对结果进行了对比，分析总结了各种方法的优缺点。
标签：数值模拟；有限差分；边界条件随着近年来国家宏观经济调控，经济增长的速度逐步减缓，能源行业受此影响最为严重，许多煤矿是在亏损的情况下生产，直接导致了地质行业投入的减少。
物探行业压力也越来越大，物探行业应该抓紧发展先进技术，提高能源勘探的效率。
在物探行业中，地震勘探作为一个重要的手段，发挥着巨大的作用。
数据处理作为地震勘探的一大重要环节，所采用的各种方法和技术手段也一直在更新和进步。
在地震勘探处理方法研究中，地震数值模拟技术可以在室内完成地震数据模型的建立，并对其地震数据进行各种方法的处理，查看处理方法的效果和数据的好坏，另一方面，地震数值模拟进行正演获得的数据也可以作为反演的基础进行比对。
在地震数据处理的过程中，如何模拟地震波的传播便是需要解决的问题。
在二十世纪70年代开始采用显示差分格式来模拟地震波的传播。
由于有限差分法适用条件广，计算速度比较快，占用计算机内存少，编程比较容易实现，模拟精度相对较高而得到广泛应用。
但是有限差分法模拟地震波场时，由于计算机运算核心的限制，有限差分方法只能得到有限的数据点，地震波动方程只能是在有限差分方程中求得近似解，这时就考虑到人工边界问题，如果不对边界进行处理，波在通过边界时会产生反射，因此我们希望对添加的边界进行处理来消除这些反射。
在20世纪70年代，地球物理学界陆续采用了不同的边界条件来实现削弱地震波在通过边界时的反射，比如reynold边界、clayton边界、cerjan边界，以及后来提出的PML层边界条件，每种边界条件都在不同程度上实现了地震波通过边界时的衰减。
为了验证以上边界条件在数值模型的效果，在文章中，我们设计了一些简单的数值模型，给出了不同的边界条件，通过波形在通过不同边界条件时反射进行比较，观察每种方法衰减反射的效果。
计算电磁学-第4章-有限差分法
同样对微分方程的解y(x)在点(xn,yn)进行泰勒展开
yn1 yn hf ( xn , yn )
1 ' 2 1 '' 3 y ( xn 1 ) y ( xn ) f n h f n h f n h 2! 3!
比较上面两式，只要它们前面项的系数尽可能多的相等，就 保证了截断精度。
1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。 这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于 零时，差分变成微分
f ( x) f ( x h) f ( x)， h x
df f ( x) f ( x) lim dx x 0 x
'
f ( x) f ( x h) f ( x) f ( x) x h
龙格-库塔法
选取α、β、ω系数，使两式项的系数相等
1 fn , 2 f , 3 f , 4 f ,
' n '' n ''' n
如果该关系式能够一直维持到第m阶仍能成立， 但m＋1阶不再成立，就称为m阶龙格-库塔法
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
CST粒子仿真
Pierce Gun
ＭＡＧＩＣ
cem@
dy f ( x, y ) dx y x x 0 y0
y( x) y0 f (t , y(t )dt
x0
x
欧拉近似法在函数图上用阶梯的折线代替曲线
f(x) y(x)
yn+1 yn y(x n+1)1) f(n+
电磁场数值计算
电磁场数值计算引言：电磁场是电荷和电流产生的物理现象，它在现代科技和工程中起着至关重要的作用。
对电磁场的数值计算是研究和应用电磁学的基础。
本文将介绍电磁场数值计算的原理和方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、电磁场的数值计算方法：电磁场的数值计算可以通过求解麦克斯韦方程组来实现，这是描述电磁场的基本方程。
麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
通过数值方法求解这些方程，可以得到电磁场在空间中的分布情况。
1. 有限差分法：有限差分法是一种常用的数值计算方法，通过将空间离散化为有限个点，时间离散化为有限个步骤，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以将空间划分为网格，通过有限差分法计算电场和磁场在网格节点上的数值。
2. 有限元法：有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它通过将计算域划分为许多小的有限元，将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。
在电磁场计算中，可以将计算域划分为三角形或四边形网格，通过有限元法计算电场和磁场在每个有限元上的数值。
3. 边界元法：边界元法是一种适用于边界值问题的数值计算方法，它将偏微分方程转化为积分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以通过边界元法计算电场和磁场在边界上的数值，然后利用边界条件求解整个计算域内的电磁场分布。
二、电磁场数值计算的应用：电磁场数值计算在科学研究和工程应用中具有广泛的应用价值，以下是一些常见的应用领域：1. 电磁场仿真：电磁场数值计算可以用于电磁场仿真，模拟和预测电磁场在不同结构和材料中的分布情况。
例如，可以通过数值计算预测电磁波在天线中的传播情况，从而优化天线设计和布局。
2. 电磁场辐射：电磁场数值计算可以用于估计电磁场辐射对人体和环境的影响。
例如，可以通过数值计算评估电磁辐射对人体健康的潜在风险，从而制定相应的防护措施。
3. 电磁场感应：电磁场数值计算可以用于分析电磁感应现象，研究电磁场对电路和设备的影响。
电磁场渗透方程有限差分法研究
电磁场渗透方程有限差分法研究电磁场渗透方程（MaxwellEquations）是物理学中最重要的方程之一，它描述了电磁场的分布和运动，是研究电磁学问题的主要方法。
有限差分法（Finite Differences Method）可以很容易地将电磁场渗透方程转变成一系列非线性方程，并使用数值计算方法来求解。
本文将讨论电磁场渗透方程的有限差分法及其在研究电磁渗透的应用。
有限差分方法是一种数值计算方法，它可以将一组非线性方程转换为一组简单的数学问题，从而可以用数值计算的方法来求解。
有限差分方法的基本原理是，根据电磁场的渐近变化规律，将电磁场渗透方程区域分成一个个小的格点，从而将渗透方程简化成一系列非线性差分方程，并应用数值计算方法进行求解。
电磁场渗透技术是一个广泛应用的技术，它可以用来研究电磁场的分布特性、辐射物理等方面。
有限差分方法用于研究电磁渗透问题时，可以比较容易地将电磁场渗透方程转变成一组差分方程，并使用数值计算的方法来求解。
有限差分方法的算法求解效率比同类方法更高，使用有限差分方法进行数值计算，能够较快解决复杂的电磁学问题，为研究电磁渗透提供了一种高效的计算工具。
有限差分法在电磁渗透方面的应用比较广，可以用于研究电磁波分布、导电体表面的辐射特性、强磁场的渗透等。
例如，研究电磁波在传播过程中的分布特性时，可以使用有限差分方法求解电磁场渗透方程，并使用计算机模拟进行研究。
另外，有限差分法还可以用于研究导电体表面的辐射特性，可以模拟强磁场渗透，并研究渗透对导电体的影响。
综上所述，电磁场渗透方程有限差分法是一种有效的数值计算方法，它可以将电磁场渗透方程转换为一组非线性差分方程，并应用有限差分方法求解电磁场渗透方程，其在研究电磁渗透方面具有重要的应用价值。
本文讨论了电磁场渗透方程有限差分法的原理和特点，以及在研究电磁渗透方面的应用。
有限差分方法可以容易地将复杂的电磁场渗透方程转换为一组非线性方程，并使用数值计算的方法求解，为研究电磁渗透提供了一种高效的计算工具，具有广泛的应用价值。
工程电磁场数值分析(有限差分法)_2023年学习资料
>实施步骤-设求解二维静电场边值问题：-LI Pl=fs-F-&x2-0y2-V20=F-og-=0-on -Le-器0
有限差分法是最古老、最直观的一种数值方法，直至现-在仍有强大的生命力，在许多学科领域广为应用。在电磁场-领 ，目前最受关注的是时域有限差分法Finite Difference-Time-Domain Method, DTD和有限体积法-Finite Volume-Method.FVM-进一步的参考书：-胡之光.电机电磁场 分析与计算.北京：机械工业出版-社，1989
从有限差分法看数值解的基本思想-离散解（数值解）的概念->方程的离散-化无限维问题为有限维问题-化微分方程 代数方程组，借助计算机求解->解的离散一-离散点上的数值解->数值法的一般步骤->求解区域的离散（前处理代数方程组的求解->离散数据的分析（后处理
各种数值方法的不同之处-在于离散方程所依据的原-理不同，从而导致方程求-8-解技术、求解效率、适用-对象等 不同。
网格划分-2-将场域划分为小的网格。-30-设为正方形网格，边长h。-4-方程离散-将节点上的电位值”作为 Le-求解变量，把微分方程化-为关于p的线性代数方程-≈9-20+p-组。-h2-a对内部节点-≈，-2+ -0,+p2+p,+p-4=-h'
b对边界节点-·第一类边界节点-只考虑节点位于边界上的情况-P:=f;-第一类边界条件-·第二类边界节点考虑齐次边界条件-9,+20+0:-40=F-h2-对所有的节点都建立一个方程，N个-齐次第二类边界条件点有N个未知数，建立N个方程。
福州大学电磁场 第四章 静态场边值问题的解法(1)
4U0 Fn ' = nπsh(nπ)
代入通解
∞
n =1,3,5.....
接地金属槽内 的等位线分布
4U0 1 nπ nπ φ(x, y) = ∑, nsh(nπ) sin( a x)sh( a y) π n=1,3
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例： 一导体槽，槽的宽度在x方向和z方向均为无穷 一导体槽，槽的宽度在x方向和z 槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝， 大，槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝， 上导体板的电压为U 试求导体槽内的电位。 上导体板的电压为U0 ，试求导体槽内的电位。
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Cn = 0
nπ nπ φ(x, y) = ∑BnDn sin( x)sh y a a n=1
nπ nπ = ∑Fn ' sin( x)sh( y) a a n=1 π 由边界条件（ φ 由边界条件（4） =100 sin x代入通解得 y=a,0<x<a a
∞
∞
πx ∞ nπ 100sin = ∑Fn 'sh(nπ) sin x a n=1 a
把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的 乘积表示， 乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求 最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。 解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。
分离变量法解题的一般步骤： 分离变量法解题的一般步骤： 解题的一般步骤 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加得到通解； 解常微分方程，并叠加得到通解；
有限差分法在静态电磁场数值计算中的应用
（18）
而为加速迭代解的收敛，构成超松弛迭代公式的原则是；并不将由上式所算得的结果作为 的第 次近似值，而仅把它视为一中间结果 ，然后作加权平均处理，即令
式中， 称为加速收敛的松弛因子。超松弛迭代法的 取值范围是 ，当 时，式(19)即归结为高斯一赛德尔迭代法的迭代公式18)；当 时，迭代过程将不收敛而发散。最佳收敛因子的取值随问题和离散化的情况而异。对于第一类边值问题，若一正方形场域由正方形网格剖分(每边节点数为 )，则最佳收敛因子 可按下式计算
3.2.1偏微分方程的离散化—五点差分格式
对于所给定的偏微分方程定解问题，应用有限差分法，首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。 原则上，可以采用任意的网络刻分方式，但这将直接影响所得差分方程的具体内容，进面影响解题的经济性与计算精度。为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个离散点上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度，因而经常采用正方形网格的剖分方式。现即以这种正方形网络剖分场域 ，也就是说，用分别与 、 两坐标轴平行的两簇等距(步距为 )网络线来生成正方形网格，网格线的交点称为节点，这样，场域 就被离散化为由网格节点构成的离散点的集合。
（20）
若一矩形场域由边长为 的正方形网格副分(设两边分别为 和 ，且 、 通常要大于15)，则相应的最佳收敛因子为
（21）
应当注意，在迭代运算前，恰当地给定各内点的初值(即所谓零次近似值)，也是加速收敛速度的一个有效途径。
(2)，偏导数也可近似地用相应的差商来表达。若没定函数 ，当其独立变量 得到一个很小的增量 时，则 方向的一阶偏导数可以近似表达为
（9）
同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为
（10）
3.2差分格式的构造
电磁场与电磁波实验有限差分法
电磁场与电磁波实验有限差分法作者: 日期:电磁场与电磁波实验报告实验项目：有限差分法一、实验目的及要求1学习有限差分法的原理与计算步骤；2、学习用有限差分法解静电场中简单的二维静电场边值问题；3、学习用Matlab语言描述电磁场与电磁波中内容，用matlab求解问题并用图形表示出了，学习matlab语言在电磁波与电磁场中的编程思路。
二、实验内容理论学习：学习静电场中边值问题的数值法中的优先差分法的求解知识；实践学习：学习用matlab语言编写有限差分法计算二维静电场边值问题；三、实验仪器或软件Matlab7.0电脑四、实验原理有限差分法的基本思想将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。
简单迭代法小(°)先对场域内的节点赋予初始值㈡，这里上标(0)表示第°次近似值，即初始值。
然后再按照：VUi]进行反复迭代。
若当第N次迭代结束后，所有内节点相邻两次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。
MAX①:N)- ①:N‘)W初始值的赋予是任意的；赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定顺序依次计算各节点值; 当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值，即完成一次迭代。
五、实验步骤复习理论知识；编写matlab程序；六、结果分析与问题讨论1、程序:clearX=[0,0,0,0,0;0,25,25,25,0;0,50,50,50,0;0,75,75,75,0;100,100,100,100,100]Pot=[0,0];for i=2:4for j=2:4(i ,Pptx(1 ；j2,=(X(!-.1)j)+xe k1)+X3+1)2X0+1))4'Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));'''Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=1;while(max(1000.*Pot)>1) Pot(2)=0;for i=2:4for j=2:4声PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=nu m+1endsurf([0:4],[0:4],X);shadi ng in terpcolorbar('horiz')title(' 有限差分法计算电位图');2、运行结果X =0 0 0 0 00 25 25 25 00 50 50 50 00 75 75 75 0100 100 100 10C 1 100%第一次迭代PotX =18.7500Pot =6.2500 6.2500PotX =7.1440 9.8230 7.144018.7515 25.0023 18.751542.8583 52.6801 42.8583Pot =0.3815 0.7629%第28次迭代X =0 0 0 0 00 7.1440 9.8230 7.14400 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 num =283、波形图matlab 软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效 并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
电磁场数值模拟研究
电磁场数值模拟研究近年来，随着计算机技术和数值计算方法的不断发展，电磁场数值模拟研究的重要性逐渐得到了人们的认识和重视。
这种研究方法既能够加深我们对电磁学理论的理解，同时还能够帮助我们设计和优化各种电子元器件和电磁场传感器。
本文将对电磁场数值模拟研究的一些重要进展进行介绍。
1. 电磁场数值模拟的基本原理电磁场是由电荷和变化的电流产生的空间中物理场。
在物理实验中，电磁场通常被表示为由电场和磁场组成的矢量场。
数值模拟是一种基于计算机及其数值计算方法，来模拟和计算实际物理过程的技术。
电磁场数值模拟是利用数值计算方法来求解电磁场中的物理问题的技术。
电磁场数值模拟需要运用较多的高等数学知识与电磁学知识，使用的数值计算方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
2. 电磁场数值模拟的应用领域电磁场数值模拟在现代电子工程中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：（1）电磁场传感器与类比器件研发。
（2）无线电和雷达系统的设计与优化。
（3）集成电路、微电子器件的设计与制造工艺的数值模拟。
（4）电磁兼容性（EMC）的研究与应用。
（5）电力系统的数据分析与优化，如电力变压器中的电场分布、油温分布等。
（6）声学、光学、机械、电气和热工等领域的相关数值模拟。
3.电磁场数值模拟的发展现状随着计算机软硬件技术的日益先进和数值计算方法的不断优化，电磁场数值模拟的应用领域和研究深度不断扩展和拓宽。
传统的数值模拟方法越来越难以满足现代电子工程的需要，需要大量新的理论和方法的研究发展。
（1）电磁场有限元法数值模拟有限元法是一种重要的数值模拟方法，随着计算机硬件和操作系统的升级，使用有限元法数值模拟电磁场成为事实上的标准。
在有限元法数值模拟中，需要将三维的电磁场问题离散化成有限个结点之间的一系列基函数的线性组合。
此时，可将该离散化问题视为一个大型的线性方程组，通过求解线性方程组的解，可得到电磁场的具体分布情况。
该方法较传统方法更加准确，计算速度更快。
电磁场数值分析,有限差分法
可得：
(K ) x (x x 0 )K 0 x x 0 )n ) (( K 0 K ! 1 2 2 1 3 3 1 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x 1 2 2 1 3 3 3 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x
有限差分法的基本步骤 （1）剖分场区，确定离散点。将所研究的电位分布 按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。 （2）建立电位分布问题的差分方程组。
（3）求解差分方程组。可以采用各种迭代法，如简 单迭代法，塞德尔迭代法，超松弛迭代法等等。
100 V 1 4 OV 7 2 5 8 3 6 9
在xoy 平面内把所求解区域 划分为若干个相同的正方形格 子，边长均为h，假设0点点位 为φ0 ，其余各点为φ1，φ2，φ3，
φ4，φ5。
将这几个点的点位用泰勒级数展开：
f 1 2f 1 3f f f0 (x x 0 ) 2 (x x 0 )2 3 (x x 0 )3 ... x 2! x 0 3! x 0 0
四，计算实例
1V
如图，一正方形区域，四个边的电位分 别是0V,0V,1V,100V，求解该区域内部 的电位分布。
0V
解： 将该正方形区域分割成4X4的小正 方形区域，则一共有9个内点。按照前 面得出的结论，任意一点的电位等于他 周围四个点电位的平均值。可以得到方 程组：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 二源自差分方程的数值解法简单迭代法
电磁场实验——用有限差分法解静电场边值问题
实验一 用有限差分法解静电场边值问题一、目的1．掌握有限差分法的原理与计算步骤； 2．理解并掌握求解差分方程组的超松弛迭代法，分析加速收敛因子α的作用； 3．学会用有限差分法解简单的二维静电场边值问题，并编制计算程序。
二、方法原理有限差分法是数值计算中应用得最早而又相当简单、直观的一种方法。
应用有限差分法通常所采取的步骤是：⑴ 采用一定的网格分割方式离散化场域。
⑵ 进行差分离散化处理。
用离散的、只含有限个未知数的差分方程组，来近似代替场域内具有连续变量的偏微分方程以及边界上的边界条件（也包括场域内不同媒质分界面上的衔接条件）。
⑶ 结合选定的代数方程组的解法，编制计算机程序，求解由上面所得对应于待求边值问题的差分方程组，所得解答即为该边值问题的数值解。
现在，以静电场边值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂)2()()1(02222s f D y x Lϕϕϕ中在为例，说明有限差分法的应用。
f (s )为边界点s 的点函数，二位场域D 和边界L 示于图5.1-1中。
x图5.1-1 有限差分的网格分割1． 离散化场域应用有限差分法时，首先需从网格划分着手决定离散点的分布方式。
通常采用完全有规律的方式，这样在每个离散点上可得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度。
如图5.1-1所示，现采用分别与x ，y 轴平行的等距（步距为h ）网格线把场域D 分割成足够多的正方形网格。
各个正方形的顶点（也即网格线的交点）称为网格的结点。
这样，对于场域内典型的内结点0，它与周围相邻的结点1、2、3和4构成一个所谓对称的星形。
2．差分格式造好网格后，需把上述静电场边值问题中的拉普拉斯方程（1）式离散化。
设结点0上的电位值为ϕ0。
结点1、2、3和4上的电位值相应为ϕ1、ϕ2、ϕ3和ϕ4，则基于差分原理的应用，拉普拉斯方程（1）式在结点0处可近似表达为ϕ1+ϕ2+ϕ3+ϕ4-4ϕ1=0 （3）这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程。
第4章 有限差分法-1教材
采用双下标（i, j）的识别方法，设在这些离散节点上的待求 位函数u的近似值分别记作
参照式（4-7），二维泊松方程（4-8）可近似离散化表示为
即
此为对应于泊松方程的差分方程。
如果位函数u满足的是拉普拉斯方程（F=0），则差分离散化后所 得差分方程是
此时，节点O上的位函数值等于其周围四个相邻节点位函数值的平 均值。
4.3.1 偏微分方程的离散化 —五点差分格式
首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。
原则上，可采用任意的网格剖分方式，但它直接影响所得差 分方程的具体内容，进而影响解题的经济性与计算精度。
为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个 离散点上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速 度，
4.2 差分与差商
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法，它用离散 的函数值所构成的差商来近似逼近相应的偏导数。
差商是基于差分应用的数值微分表达式。
设一函数f(x)，其自变量x有一个很小的增量Dx=h，则函数f(x)的增 量
≈df
称为函数f(x)的一阶差分。
只要增量h很小，差分Df与微分df之间的差异将很小。
4.3.2 定解条件的离散化 ——各类差分计算格式
对于场域边界上给定的三类边界条件，第二类边界条 件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，只 需讨论第一、第三类边界条件的差分离散化处理。
(1)第一类边界条件的差分离散化
若如图4-２点M所示，划分网格时相应的网格节点 恰好落在边界L上，则只要直接把位函数 u |ML f (rM ) 的值赋给该对应的边界节点M即可。
经常采用正方形网格的剖分方式。
部分场域D的正方形网格
用分别与x, y两坐标轴平行的两簇等距（步距为h）网格线 来生成正方形网格，网格线的交点称为节点，这样，场域D 就被离散化为由网格节点构成的离散点的集合。
有限差分法数值模拟
有限差分法数值模拟的应用姓名：田军吉摘要：有限差分在不同领域的应用，通过数值模拟简化了大量的实操工作。
关键词：有限差分 数值模拟 流体 数值求解数值模拟是工作者或研究人员在某些领域假设一些简化条件和给定的一些初始条件，通过建立方程，运用给定的简化条件和初始条件，解决实际问题的过程叫做数值模拟，这方法在许多领域都得到广泛应用。
有限差分数值模拟可以简化很多问题，我们可以通过计算就能预测一些数值，例如：股票的涨跌，冶金过程中传热、传质，流体流动的能量变化等等。
1 有限差分数值模拟用于空调中气流流动湍流数值模拟一直是计算流体力学的研究热点和主攻方向，因为几乎所有的实际工程问题的流动都是湍流。
但是，由于湍流的复杂性和具体计算条件的限制，目前还无法实现湍流全部信息的数值模拟，工程上通用的做法是引入湍流模式理论，用湍流模式来封闭经过雷诺平均化的N S -方程，有限差分法就是建立在这一思想上的数值模拟方法。
现有的资料表明， 对于空调室内的流场、温度场和浓度场的数值模拟，长期以来几乎全部采用有限差分法。
有限差分法结合湍流的K ε-二方程模式，从微分方程出发，将计算区域经过离散处理后，近似地用差分、差商来代替微分、微商；这样，微分方程和边界条件的求解就可归纳为一个线性代数方程组的数值求解。
这种方法特别适用于现代计算机的处理运算，所以古老的有限差分法至今还有强大的生命力。
对于室内空调的数值模拟，其数学模型为：连续性方程：0i iu x ∂=∂ （1） 动量方程：()()1i j j i t j i j j i u u u u p v v x x x x x ρ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂=-+++⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2） 紊流脉动动能方程（即方程）：()j j t i i t j j k j j j i u K u v u u K v v x x c x x x x ε⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫∂∂∂∂=++⋅+- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭ （3） 紊流能量耗散率方程（即ε方程）：221()j j t i i u j j j j j i u u v u u c v c c K x x c x x x x Kεεεε⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫∂∂∂∂=++⋅+- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭ （4） 式中，,,i j u u x y ——方向的速度矢量，m ／s ；p ——压力，Pa ；v ——运动黏度,m 2／s ；t v ——紊流黏度,m 2／s ；K ——紊流脉动动能,m 2·s ； ε——紊流耗散率,m 2·s 。
电磁场数值模拟的方法及其应用研究
电磁场数值模拟的方法及其应用研究电磁场是一个极其重要的物理现象，它在日常生活和科学研究中都扮演着至关重要的角色。
电磁场数值模拟是解决一系列电磁学问题的重要手段，例如雷达与通信，电力系统，计算机芯片设计等。
这篇文章将从电磁场的基本原理开始，介绍一些常用的数值模拟方法，以及如何应用这些方法来研究电磁现象。
1. 电磁场基本原理电和磁都是物质中基本的对称物理量。
电荷和电场是描述电的量，而电流和磁感应是描述磁的量。
电和磁在物理上紧密关联，并且它们被归纳到一起来描述电磁学。
电磁学包括了电荷、电场、电流、磁场和电磁波等概念。
电磁场的本质可以用麦克斯韦方程组来描述。
这个方程组包括了四个式子，它们描述了电荷如何产生电场和磁场，以及它们又如何影响电荷的运动。
这些方程中的每一个单独解释着一段电磁现象，当它们联合起来时则系统描述了电磁学。
2. 数值模拟方法数值模拟是一种通过计算机技术来求解微分方程的方法，这种微分方程由于其复杂性不容易用解析方法求解。
在电磁场数值模拟中，求解的模型可以是二维的、三维的并且需要满足一些特定的边界条件。
本节将介绍一些常用的数值模拟方法，它们用于求解麦克斯韦方程组和计算电磁场。
2.1 有限元方法有限元方法是数值模拟中常用的数值解法之一。
有限元方法将求解区域分割成若干个小区域并且且将方程转换成代数方程。
每个代数方程都包含了小区域的一个或多个节点，以及在这个节点上的未知数。
通过组成更大的矩阵，并采用迭代算法，可以求解整个方程组。
在电磁场数值模拟中，有限元方法可以用于求解稳态或者动态问题，例如用于求解电场、磁场分布等。
有限元方法优点是可以灵活地处理计算区域，及良好的高阶精度。
但它的缺点是计算量大，需要大量的计算资源。
2.2 有限差分法有限差分法是数值解微分方程中的另一种常用方法。
它通过对微分方程中的导数进行数值逼近，构建一个代数方程的数值计算方法。
与有限元法不同的是，有限差分法构建方程时不需要将求解域划分成小单元，而是在整个求解域上逼近微分方程。
电磁场的数值计算方法与应用
电磁场的数值计算方法与应用引言：电磁场是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到电磁波、电磁感应等多个方面。
为了更好地理解和应用电磁场，科学家们开发了各种数值计算方法。
本文将介绍电磁场的数值计算方法及其应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常用的数值计算方法，它将连续的电磁场问题离散化为离散的网格点问题。
通过在网格点上近似计算电场和磁场的导数，可以得到电场和磁场在空间中的分布情况。
有限差分法的优点是简单易懂，适用于各种电磁场问题的求解。
例如，可以利用有限差分法计算电磁波在介质中的传播，或者计算导体中的电磁感应现象。
二、有限元法有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它可以用于求解各种复杂的电磁场问题。
有限元法将电磁场问题离散化为一系列的小区域，称为有限元。
通过在每个有限元上近似计算电场和磁场的分布，可以得到整个电磁场的数值解。
有限元法的优点是适用于各种不规则形状的区域，可以处理复杂的边界条件和材料特性。
例如，可以利用有限元法分析电磁场在电机中的分布，或者计算电磁屏蔽结构的性能。
三、边界元法边界元法是一种特殊的数值计算方法，它将电磁场问题转化为在边界上求解的问题。
边界元法通过在边界上近似计算电场和磁场的分布，可以得到整个电磁场的数值解。
边界元法的优点是可以减少计算的自由度，提高计算效率。
例如，可以利用边界元法计算电磁波在散射体上的散射现象，或者计算导体表面的电磁场分布。
四、数值计算方法在电磁场问题中的应用数值计算方法在电磁场问题中有着广泛的应用。
例如，在通信领域中，可以利用数值计算方法分析电磁波在天线和传输线中的传播特性，以及在无线通信系统中的传播损耗和干扰现象。
在电力系统中，可以利用数值计算方法分析电磁场对输电线路和变压器的影响，以及计算电力设备的电磁兼容性。
在电子设备设计中，可以利用数值计算方法分析电磁场对电路元件的耦合和干扰，以及计算电磁屏蔽结构的性能。
总之，数值计算方法在电磁场问题的研究和应用中发挥着重要的作用。
FDM 有限差分法
z
2 3
(
h (1 0 ) h (3 0 ) )0 x h1h3 (h1 h3 )
2 3 2 1
h3
h2 h4
4
h1
1
h4 (2 0 ) h2 (4 0 ) 2 ( 2 )0 2 y h2 h4 (h2 h4 )
r0
r
0 (
Ab1 Ab 2 R( Aa 3 Aa 4 ) 2(1 R) A0
( 1 ) [(1) (2)] 2
(1)
1 2 Rh Wa 0 2
(2)
1 1 Ab1 Ab 2 (1 R)( A3 A4 ) (3 R) A0 Rh 2Wa 0 2 4
有限差分（FDM）
在电磁散射计算方法中，有限差分法自上世纪 五十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰 ，方法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成 的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点 在数值计算中有其重要地位。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数 学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离 散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上 函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏 微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程 。根据差分方程组解出各离散点处的待求函数 值—离散解。
2 2 2 2 2 0 r z
★★
1 3
整个场域内点的差分格式共有两种!
60 2 4 41
边界条件的处理
• 1、不同介质平面分界面的情形
2
h2
3
0
1
h3
A有源
B无源
1
h4
4
2
h1
a1 a 2 a3 a 4 4a0 h2Wa 0
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C
E dl
B ds t S
Yee 网格及电磁场空间配置 .
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
E y
1 H x H z Ey z 1 Iy t z x H xn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 2 n 1 2 H x (i, k ) H x (i, k ) z z 2 2 H zn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 n 1 2 H ( i , k ) H ( i , k ) z z x x 2 2 k
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
边界反射
L=10
L=2
波场的等时间剖面（snap shot）
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
以无吸收介质的电磁波传播为例说明 PML 吸收边界。
H x H z t z x E y H x E y H z ， t z t x
n 1 2 x
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
1 1 n1 2 n 1 2 E (i, k ) A1 E (i, k ) A2 H x (i, k ) H x (i, k ) 2 2 1 1 n1 2 n 1 2 n 1 A3 H z (i , k ) H z (i , k ) A4 I y i, k 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H x (i, k ) H x (i, k ) A5 E ( i , k 1) E y y (i , k ) 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H z (i , k ) H z (i , k ) A6 E ( i 1, k ) E y y (i , k ) 2 2 求解步骤： （1）用磁场的更新式求 (n 1 2)t 时刻的磁场； （2） 用电场的更新式求 ( n 1) t 时刻的电场。 如此循环直至最大时刻。
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
L 为 PML 的层数，N 为横向剖分的网格数，M 为一常数，一般取 为 3。 max 为 PML 最外侧的电导率，它由边界的反射系数的大小 决定。L 一般取 8-10 左右，当然，L 越大吸收效果越好，但计算 效率就越低。
E y
（1） （2）
将 E y 分解为 x 方向传播的部分和 z 方向传播的部分，即
Ey Eyx E yz
在边界中，电导率和磁导率分别记为 , 。
*
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界 （1）式写为
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
z
* x 0, x 0 * * * z 0, z 0, x x 0 z 0, z 0
PML x
* z * x
E y t
z 0 E E yz x 0 H x z* H x yx
E yx E yz H z * x Hz t x
* x 0, x 0 * z 0, z 0
z 0, 0, , 0 * x x 0
D E B H J E
在用时间域有限差分法（FDTD—finite-difference time-domain method）求解麦克斯韦方程时，只求解两个旋度方程，而两个散 度方程自然得到满足。
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
* z * x
E yx t
E yz t
t
H x H z z x
E y H z t x
x E yx
z E yz
H z x
H x z
z
z 0 x 0
H x E y t z
内部区域
, 0 , * 0
H z x Eyx t x E yz H x z E yz t z
（2）式写为
E yx
E yx Eyz H x * z Hx t z E yx Eyz H z * xHz t x
0
x
x, z x, z
z
二维介质
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
x 1 z 1 2 2 i I
微分形式
k K Ey Hx Hz
积分形式
D t B E= t H d l D ds J ds C t S S H=J +
计算地球物理
第四章 电磁场数值模拟—有限差分法
地球物理与信息工程学院 物探系 周 辉 2014年
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
D t B E= t D 0 H =J + B 0
E 电场强度 H 磁场强度 D 电感应强度 B 磁感应强度 J 电流密度 q 自由电荷=0
* z
* x 0, x 0 * z 0, z 0
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
根据阻抗匹配条件，可以得到如下关系
* * x x ， y y
n 1 2 Ey (i, k )
x 1
2
i
I
t
1 n 1 n E ( i , k ) E y y (i , k ) t
K Ey Hx Hz
Yee 网格及电磁场空间配置 .
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
利用
地质雷达探测时，通常只记录与测线方向垂直的水平电场分 量，并假设地下介质为二维的，故考虑仅有一个电场分量的麦克 斯韦方程组。 二维非均匀介质中的麦克斯韦方程组为 E y 1 H x H z Ey Iy , t z x
H x 1 E y , t z H z 1 E y . t x
E
得
n 1 2 y
1 n1 n (i, k ) E ( i , k ) E y y (i , k ) 2
E
n 1 y
1 1 n1 2 n 1 2 (i, k ) A1 E (i, k ) A2 H x (i, k ) H x (i, k ) 2 2 1 1 n1 2 n 1 2 n 1 A3 H z (i , k ) H z (i , k ) A4 I y i, k 2 2
n y
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
H x 1 E y , t z
H z 1 E y t x
在 (n 1 2)t 时刻磁场分量的差分格式
1 1 n 1 2 n n H (i, k ) H x (i, k ) A5 E ( i , k 1) E y y (i , k ) 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H z (i , k ) H z (i , k ) A6 E ( i 1, k ) E y y (i , k ) 2 2
边界内的电导率是可变的。以左右边界为例， x 的分布为
M L x x max , Lx x 0, M x N L 1 x , max Lx
x Lx Lx x N L 1 x x N L 1 x
n 1 y n y
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
设计 PML 的原理是：当内部介质和边界介质的波阻抗一样，即 波阻抗匹配时，电磁波入射到边界时，电磁波只沿原方向传播而不 被反射回来。当然，必须要求电磁波在边界中快速衰减，当电磁波 传播到最外侧的边界时，电磁波的能量衰减到 60 分贝以下，这时 即使有边界反射，能量也极其微弱，对需要计算波场的影响可以忽 略。 PML 吸收效果最好。PML 已经在声波、弹性波模拟中得到广泛 应用。