偏微(06)一阶双曲型方程组

通过（3.1）式、（3.2）式的Lax-Wendroff格式 需直接进行推导，由于系数依赖于x和t,特别是依 赖于t,推导得到的形式比较麻烦。
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3.2 变系数方程组
考虑变系数双曲型方程组的初值问题
u u A( x , t ) 0 t x u x, 0 u0 ( x )
（3.9） （3.10）

u
n j
h
6
那么有
u
n 1 2 h
1 u h 2
n 2 n 2
un a j 1 j
n j


u
2 n j 1 2
2
h
1 n u h an a j 1 2 j j 1

u
n j
h
2 一阶线性常系数方程组
T u u x,t u1 x,t ,u2 x,t ,…，u p x,t
A R
p p
u A u x Rt 2 t x
为常系数矩阵
迎风格式、Lax-friedrichs格式、 Lax-Wendroff格式
稳定条件
A 1
1
3 变系数方程
3.1 变系数方程 考虑简单的变系数方程的初值问题：
u u a( x , t ) 0, x R , 0 t T x t u x ,0 u0 ( x ), x R
(3.1) (3.2)
如果a( x, t )对x和t都是一次连续可谓的，那么a就光滑变化， 情形与常系数相差不多，(3.1)式的特征线满足的方程为
式时，网格比满足条件（3.5）， max j 那么 Lax-Friedrichs格式稳定。
an j 1
“冻结系数”方法来讨论变系数方程的差分格式： ,t 把差分格式（3.4）中的系数 a x j , tn 在某一点 x 固定，那么（3.4）式可以作为常系数差分格式，因
,t 1 a x
下面考虑初值问题（3.1）式、（3.2）式的迎风 差分格式。与常系数情况的主要区别是a(x,t)是要变 号的，因此不能要求用一种形式写出，而是要随时 考虑到a(x,t)的符号，这样可以写出差分格式
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1 n un u j j

1 n un u j j
an j an j
n un u j j 1



ห้องสมุดไป่ตู้

假定网格比 满足条件 那么有
max a n j 1
j
（3.5）
u
n1 j
2
1 1 an j 4 1 1 an j 4


un j 1
n j 1 2
u
2 n1 j

u
1 n 1 uj 2


1 1 a n j 4 2 1 1 an j 4
dx a( x, t ), dt
x(0) x0
(3.3)
2
令x x(t , x0 )和u( x, t )分别是方程(3.3)和方程(3.1)的解，那么
d u u dx u x t , x0 , t 0 dt t x dt
于是，方程（3.1）的解沿特征线为常数，但是我们要注意到此时的 特征线是曲线（见图3.8）


此用Fourier方法可以得出稳定条件为
x ,t

,t 1 由此得出 max a x 作为差分格式的稳定性的条件。
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注意到 a(x,t) 在差分格式中仅在离散点 x j , tn , j 0, 1, 2,; n 0,1, 2,上取值，并且是一个双层 格式，因此稳定性条件可以改为（3.5）式，在实际 应用中，可以如下理解：先把系数差分格式（3.4） 中的 看成与指标n,j无关的常数，那么（3.4）式变 成了常系数差分格式，再用Fourier 方法求出稳定性 条件为 a 1 ，得出这个条件后再使指标变化， 这样得到（3.4）式的稳定性条件为（3.5）式。
2


un1 j
n j 1 2
u
2 n j 1
2


u
5
u
n1 j
2
1 1 an j 4 1 1 an j 4


un j 1
n j 1 2
u
2 n1 j

u
1 1 un 2 j
n j
其中a a( x j , tn ).
（3.4）式是变系数差分格式，因此不能用Fourier方法 来讨论其稳定性。先采用能量不等式来讨论其稳定性。 把（3.4）式改写为
u
n 1 j
1 n 1 n n 1 n n 1 ( u j 1 u j 1 ) a j ( u j 1 u j 1 ) 2 2
其中u( x, t ), u0 ( x )是p维向量，A( x, t )为p阶矩阵，假定A是x和t的光滑函数，
稳定性条件 max ( Aj ) 1.
j
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u( x, t ) u0 ( x0 ) ,
x x(t , x0 )
3
可以把常系数方程中推导的差分格式推广到变系数 方程（3.1），相应的Lax-Friedrichs格式为：
u
n 1 j
1 n n n ( u j 1 un j 1 ) u u j 1 j 1 n 2 aj 0 （3.4） 2h
如果
a M , x R , t 0, T x
（3.6）
那么利用微分中值定理有 从而有
n an a j 1 j 1 2 Mh
n 2 h
u
n1 2 h
1 M u u
n 2 h
重复使用上式有
e K
MT
u
0 2
, h
n T
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a M , x R , t 0, T 这样我们证明了，当a(x,t)满足（3.6）x
h n un u j 1 j h
0, 0,
an j 0 an j 0
（3.8）

n max a 利用“冻结系数”方法得其稳定性条件为 j j 1
在实际计算中也可把（3.8）式改写成
u
n 1 j
u
n j

a
n j
u
n j 1
u
n j 1
2h
1 n n n a j u j 1 2u n u j j 1 0 2h
4
u
n 1 j
其中
n1 j

h
2
1 n 1 n n 1 n n 1 ( u j 1 u j 1 ) a j ( u j 1 u j 1 ) 2 2
1 , 用un j 乘上式两边
u
1 1 n n n1 n n1 1 a j u j 1 u j 1 a n u u j j 1 j 2 2

u
n j 1
2

用h乘上式两边并对j 求和，记离散范数
u
n 2 h

那么有
u
n 1 2 h n 2
j
u
n j

2
h
1 u h 2
n 2
un a j 1 j
n j


u
2 n j 1 2
2
h
1 n u h an a j 1 2 j j 1
2


2
1 1 a n j 4 2 1 1 an j 4
2


un1 j
n j 1 2
u
2 n j 1
2


u
2
从而得到
u
n 1 j
2
1 n u j 1 2

u
n j 1
1 a n un 2 j j 1