上海市虹口区2019年高一第一学期期末考试数学试题-名校版
2019-2020学年上海市虹口区高一期末数学试题及答案
2019-2020学年上海市虹口区高一期末数学试题及答案一、单选题1．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<，以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】根据不等式的可加性，同向不等式且为正值的可乘性即可得到答案.【详解】因为13a <<，24b <<，所以37a b <+<，故（1）正确. 因为42b -<-<-，所以31a b -<-<，故（2）正确. 因为13a <<，24b <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知：212a b <⋅<，故（3）正确. 因为11142b <<，13a <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知：1342a b <<，故（4）正确. 故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于简单题.2．已知a R ∈，则“1a <”是“11a >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】首先解不等式11a >，再根据充分条件和必要条件即可得到答案.【详解】 因为1111100(1)001a a a a a a a ->⇔->⇔>⇔-<⇔<<. 所以“1a <”是“11a>”的必要非充分条件. 故选：B【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了分式不等式的解法，属于简单题.3．已知函数32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．()2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】D【解析】首先令x t =，根据指数函数的图像得到：31t ≥，即1y ≥-.【详解】 令x t =，0t ≥，则32t y =-，因为31t ≥，所以1y ≥-.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，同时考查了换元法求函数的值域，属于简单题.4．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．()()020f f ⋅<B ．()()020f f ⋅>C ．()()240f f ⋅>D ．()()260f f ⋅>【答案】C【解析】首先根据题意得到函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，即可得到(2)(4)0f f >.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，所以函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，若(2)f 与(4)f 的函数值异号，根据零点存在性定理可得以函数()f x 在区间(2,4)上必有零点，所以(2)f 与(4)f 的函数值同号，即(2)(4)0f f >.故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点存在定义和零点的区间，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点.以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】根据奇函数的定义及性质，对题目中的命题判断正误即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)=0f .故0是函数()f x 的零点，所以（1）正确，（2）错误. 根据奇函数的对称性知：函数()f x 有零点，则零点关于原点对称，再加上原点，共有奇数个零点，所以（3）正确，（4）错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了方程与零点，属于中档题.二、填空题6．用列举法表示集合{}2230,x xx x Z --<∈=________. 【答案】{}0,1,2【解析】首先解不等式2230x x --<，再用列举法表示集合即可.【详解】2{|230,}{|13,}{0,1,2}x x x x Z x x x Z --<∈=-<<∈=.故答案为：{0,1,2}【点睛】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题.7．命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题是__________命题.(填入“真”或“假”)【答案】假【解析】写出否命题，即可判断命题的真假.【详解】命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题：“若2x ≤或3y ≤,则5x y +≤”是假命题，例如1,9x y ==，满足2x ≤或3y ≤，但不能推出5x y +≤. 故答案为：假【点睛】此题考查根据已知命题写出否命题，并判断真假，涉及含有逻辑联结词的命题的否定.8．函数4y x =，[]1,12x ∈的值域为________. 【答案】1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据函数的单调性即可求出值域.【详解】 因为函数4y x=在区间[]1,12为减函数， 所以值域为1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性，属于简单题. 9．己知函数()2x f x =.则()()2f f =________.【答案】16【解析】首先计算(2)f ，再代入计算((2))f 即可.【详解】2(2)24f ==，4((2))(4)216f f ===.故答案为：16【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于简单题.10．不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．【答案】（﹣1，3）．【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3．解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2，∴﹣1＜x ＜3，故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）．【考点】绝对值不等式的解法．11．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}， 幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，则(2)f -=____.【答案】3-【解析】 由题意得，函数()y f x =为奇函数，所以()2(2)2(21)3f f -=-=--=-.13．已知2m >，且()110lg 100lgx m m =+则x 的值为________.【答案】lg 2【解析】首先计算1lg(100)lg lg1002m m +==，再解方程102x =即可.【详解】 因为1lg(100)lg lg1002m m +==，所以，102x =，即lg 2x =.故答案为：lg 2【点睛】本题主要考查对数的运算，同时考查了指数方程，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于简单题.14．已知0a >，0b >，且44a b +=，则ab 的最大值等于________. 【答案】1【解析】首先根据题意得到114a b =-，代入a b 得到21=(2)14a ab --+，再利用二次函数的性质即可得到最大值. 【详解】 因为44a b +=，所以114a b =-. 因为0a >，0b >，所以104a ->，即04a <<. 所以21=(1)(2)144a a a ab -=--+. 当2a =时，max ()=1a b .故答案为：1【点睛】 本题主要考查二次函数的最值，将a b转化为二次函数的形式为解题的关键，属于中档题.15．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. 【考点】指数函数的性质.16．记函数()f x x b =+，2,2x 的最大值为()g b ，则()g b =________.【答案】()2 02 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【解析】首先将()f x 转化为分段函数，再对b 进行讨论，即可求出最大值()g b【详解】,(),x b x b f x x b x b x b+≥-⎧=+=⎨--<-⎩. 当0b =时，()f x x =，max ()2f x =，即()2g b =.当0b -<，即0b >时，max ()(2)2f x f b ==+，即()2g b b =+. 当0b ->，即0b <时，max ()(2)2f x f b =-=-，即()2g b b =-.综上：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩. 故答案为：2? 0()2?0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【点睛】本题主要考查含参绝对值函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则关于x 的不等式()()2110f x f x -+-<的解是________.【答案】()1,1-【解析】首先将不等式变形，根据()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设2()()g x f x x =+，得到()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，再解不等式即可.【详解】因为2()(1)10f x f x -+-<，所以2()(1)1f x x f +<+.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增. 设2()()g x f x x =+，()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增.所以2()(1)1f x x f +<+，即()()1g x g <. 所以1x <，解得11x -<<.故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题. 18．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.【答案】8【解析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.19．已知()42f x x x =+，则关于x 的不等式()()12f x f +<的解是________. 【答案】()3,1-【解析】首先根据函数()f x 的解析式，得到()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，再利用偶函数的对称性解不等式即可. 【详解】因为42()f x x x =+，所以()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数. 所以(1)(2)f x f +<根据偶函数的对称性知：212x -<+<，解得：31x -<<. 故答案为：(3,1)- 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握奇偶函数的性质为解题的关键，属于中档题.三、解答题 20．解下列方程 （1）2223x x -+⋅=； （2）2lg lg 20x x --=【答案】（1）0x =或1x =（2）100x =或110x =【解析】（1）首先令2x t =，根据二次方程和指数方程即可解出方程的根.（2）根据二次方程和对数方程即可解出方程的根. 【详解】（1）令2xt =，0t >，得23t t+=. 整理得：2320t t -+=.解得：1t =或2t =. 即：21x =或22x =，0x =或1x =.（2）因为2lg lg 20x x --=，所以(lg 2)(lg 1)0x x -+=. 解得：lg 2x =或lg 1=-，100x =或110x =. 【点睛】本题主要考查了指数方程和对数方程的求解，同时考查了二次方程的求解，属于简单题.21．设a R ∈，函数()221x x af x +=+.（1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明； （2）当0a =时，证明此函数在(),-∞+∞上单调递增. 【答案】（1）奇函数；证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）首先求出函数()f x 的定义域为R ，再判断()f x 与()f x -的关系即可.（2）根据题意设任意12,x x R ∈，且12x x <，作差比较12()()f x f x -即可. 【详解】（1）当1a =-时，21()21x x f x ，定义域关于原点对称. 112112222()()11212121221xx x x x x x x x xf x f x ----====+--=-+++. 所以()f x 为奇函数. （2）当0a =时，2()21xx f x =+，设任意12,x x R ∈，且12x x <. 1212211212121212222(21)2(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++. 因为12220xx -<，1210x +>，2210x +>，所以12())0(f x f x -<.即：12()()f x f x <.所以2()21xx f x =+在R 上为增函数. 【点睛】本题第一问考查函数奇偶性的判断，第二问考查了函数单调性的判断，属于中档题.22．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元.设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价.试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[]100,600元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由.【答案】（1）25.8%（2）[)[]0.2 100,360280.2360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩（3）不能，详见解析【解析】（1）根据题意得到购买1000元商品，则消费800元，获得对应的奖券58元，再计算优惠率即可.（2）根据题意，分段讨论当标价为[100,360)元和标价为[360,600]元时的优惠率即可.（3）根据（2）得到当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大，再计算最大优惠率比较即可. 【详解】（1）购买1000元商品的优惠率10000.25810025.81000%%=⨯+=⨯.（2）当标价为[100,360)元时，则消费[80,288)元，不能获得优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.20.2xy x==. 当标价为[360,600]元时，则消费[288,480]元，获得28元优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.228280.2x y x x+==+. 综上[)[]0.2? 100,360280.2?360,600x y x x ⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩. （3）当顾客买标价不超过360元商品时，优惠率为20%. 当顾客买标价在[360,600]元商品时，优惠率为280.2y x=+，为减函数.所以当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大.max 280.227.8%30%360y =+≈<. 所以顾客不能得到超过30%的优惠率. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，弄清题意为解题的关键，属于中档题.23．已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-. （1）当1a =时，求()11f -； （2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=，[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【解析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f -等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可.（2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定.（3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可. 【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+. 求1(1)f -即等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解.2221x x -+=，解得：1x =.所以1(1)1f -=. （2）当12a =-时，2217()2()24f x x x x =++=++.[1,1]x ∈-时，显然函数不单调，所以在区间[1,1]-没有反函数.（3）若函数()f x 存在反函数，则函数()f x 在区间[1,1]-单调.222()22()2f x x ax x a a =-+=-+-，对称轴为x a =.所以当1a ≥或1a ≤-时，函数()f x 存在反函数.当1a ≥时，1)(f a x -=[]32,32x a a ∈-+.当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.24．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”. （1）证明函数()()2lg 11f x x =++是“正函数”；（2）如果函数()11af x x x =+-+不是“正函数”，求正数a 的取值范围. （3）如果函数()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）(,1]-∞（3）(){}6,13- 【解析】（1）有题知：()1f x ≥，即证. （2）首先讨论当0a ≤时，显然()11af x x x =+-+不是“正函数”.当0a >时，从反面入手，假设()f x 是“正函数”，求出a 的范围，再取其补集即可.（3）根据题意得到：22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+，解方程和不等式组即可. 【详解】（1）2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=.函数值恒为正数，故函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”. （2）当0a ≤时，(0)10f a =-<， 显然()11af x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时 假设()11af x x x =+-+为“正函数”.则()f x 恒大于零.()1221af x x x =++-≥+. 所以20>，即1a >所以()11af x x x =+-+不是“正函数”时， 01a <≤.综上：1a ≤.（3）有题知：若函数()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”， 则22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+. 解得：61a -<<或3a =. 【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。
2019-2020学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<，以上结论正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】根据不等式的可加性，同向不等式且为正值的可乘性即可得到答案.【详解】因为13a <<，24b <<，所以37a b <+<，故（1）正确.因为42b -<-<-，所以31a b -<-<，故（2）正确.因为13a <<，24b <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知： 212a b <⋅<，故（3）正确. 因为11142b <<，13a <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知： 1342a b <<，故（4）正确. 故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于简单题.2．已知a R ∈，则“1a <”是“11a>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】首先解不等式11a >，再根据充分条件和必要条件即可得到答案. 【详解】 因为1111100(1)001a a a a a a a->⇔->⇔>⇔-<⇔<<. 所以“1a <”是“11a >”的必要非充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了分式不等式的解法，属于简单题. 3．已知函数32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．()2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】D【解析】首先令x t =，根据指数函数的图像得到：31t ≥，即1y ≥-.【详解】 令x t =，0t ≥，则32t y =-， 因为31t ≥，所以1y ≥-.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，同时考查了换元法求函数的值域，属于简单题. 4．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A ．()()020f f ⋅< B ．()()020f f ⋅> C ．()()240f f ⋅>D ．()()260f f ⋅>【答案】C【解析】首先根据题意得到函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，即可得到(2)(4)0f f >.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点， 这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，所以函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，若(2)f 与(4)f 的函数值异号，根据零点存在性定理可得以函数()f x 在区间(2,4)上必有零点，所以(2)f 与(4)f 的函数值同号，即(2)(4)0f f >.故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点存在定义和零点的区间，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点.以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】根据奇函数的定义及性质，对题目中的命题判断正误即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)=0f .故0是函数()f x 的零点，所以（1）正确，（2）错误.根据奇函数的对称性知：函数()f x 有零点，则零点关于原点对称，再加上原点，共有奇数个零点，所以（3）正确，（4）错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了方程与零点，属于中档题.二、填空题6．用列举法表示集合{}2230,x x x x Z --<∈=________.【答案】{}0,1,2【解析】首先解不等式2230x x --<，再用列举法表示集合即可.【详解】 2{|230,}{|13,}{0,1,2}x x x x Z x x x Z --<∈=-<<∈=.故答案为：{0,1,2}【点睛】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题.7．命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题是__________命题.(填入“真”或“假”)【答案】假【解析】写出否命题，即可判断命题的真假.【详解】命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题：“若2x ≤或3y ≤,则5x y +≤”是假命题，例如1,9x y ==，满足2x ≤或3y ≤，但不能推出5x y +≤.故答案为：假【点睛】此题考查根据已知命题写出否命题，并判断真假，涉及含有逻辑联结词的命题的否定. 8．函数4y x=，[]1,12x ∈的值域为________. 【答案】1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据函数的单调性即可求出值域.【详解】 因为函数4y x=在区间[]1,12为减函数， 所以值域为1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性，属于简单题.9．己知函数()2x f x =.则()()2f f =________.【答案】16【解析】首先计算(2)f ，再代入计算((2))f 即可.【详解】2(2)24f ==，4((2))(4)216f f ===.故答案为：16【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于简单题.10．不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．【答案】（﹣1，3）．【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3． 解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2，∴﹣1＜x ＜3，故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）．【考点】绝对值不等式的解法．11．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，则(2)f -=____.【答案】3-【解析】 由题意得，函数()y f x =为奇函数，所以()2(2)2(21)3f f -=-=--=-. 13．已知2m >，且()110lg 100lg x m m=+则x 的值为________. 【答案】lg 2【解析】首先计算1lg(100)lg lg1002m m+==，再解方程102x =即可.【详解】 因为1lg(100)lglg1002m m +==， 所以，102x =，即lg 2x =.故答案为：lg 2【点睛】本题主要考查对数的运算，同时考查了指数方程，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于简单题.14．已知0a >，0b >，且44a b +=，则a b 的最大值等于________. 【答案】1【解析】首先根据题意得到114a b =-，代入a b 得到21=(2)14a a b --+，再利用二次函数的性质即可得到最大值.【详解】 因为44a b +=，所以114a b =-. 因为0a >，0b >，所以104a ->，即04a <<. 所以21=(1)(2)144a a a ab -=--+. 当2a =时，max ()=1a b . 故答案为：1【点睛】本题主要考查二次函数的最值，将a b转化为二次函数的形式为解题的关键，属于中档题. 15．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32- 【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. 【考点】指数函数的性质.16．记函数()f x x b =+，[]2,2x Î-的最大值为()g b ，则()g b =________.【答案】()2 02 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩【解析】首先将()f x 转化为分段函数，再对b 进行讨论，即可求出最大值()g b【详解】,(),x b x b f x x b x b x b +≥-⎧=+=⎨--<-⎩. 当0b =时，()f x x =，max ()2f x =，即()2g b =.当0b -<，即0b >时，max ()(2)2f x f b ==+，即()2g b b =+.当0b ->，即0b <时，max ()(2)2f x f b =-=-，即()2g b b =-.综上：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩. 故答案为：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【点睛】本题主要考查含参绝对值函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题. 17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则关于x 的不等式()()2110f x f x -+-<的解是________.【答案】()1,1-【解析】首先将不等式变形，根据()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设2()()g x f x x =+，得到()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，再解不等式即可.【详解】因为2()(1)10f x f x -+-<，所以2()(1)1f x x f +<+.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增.设2()()g x f x x =+，()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增. 所以2()(1)1f x x f +<+，即()()1g x g <. 所以1x <，解得11x -<<.故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题.18．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________. 【答案】8【解析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值.【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+.故答案为：8【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题. 19．已知()42f x x x =+，则关于x 的不等式()()12f x f +<的解是________. 【答案】()3,1-【解析】首先根据函数()f x 的解析式，得到()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，再利用偶函数的对称性解不等式即可.【详解】因为42()f x x x =+，所以()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数.所以(1)(2)f x f +<根据偶函数的对称性知：212x -<+<，解得：31x -<<.故答案为：(3,1)-【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握奇偶函数的性质为解题的关键，属于中档题.三、解答题20．解下列方程（1）2223x x -+⋅=；（2）2lg lg 20x x --=【答案】（1）0x =或1x =（2）100x =或110x = 【解析】（1）首先令2x t =，根据二次方程和指数方程即可解出方程的根.（2）根据二次方程和对数方程即可解出方程的根.【详解】（1）令2x t =，0t >，得23t t+=. 整理得：2320t t -+=.解得：1t =或2t =.即：21x =或22x =，0x =或1x =.（2）因为2lg lg 20x x --=，所以(lg 2)(lg 1)0x x -+=.解得：lg 2x =或lg 1=-，100x =或110x =. 【点睛】 本题主要考查了指数方程和对数方程的求解，同时考查了二次方程的求解，属于简单题.21．设a R ∈，函数()221x x a f x +=+. （1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(),-∞+∞上单调递增.【答案】（1）奇函数；证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）首先求出函数()f x 的定义域为R ，再判断()f x 与()f x -的关系即可. （2）根据题意设任意12,x x R ∈，且12x x <，作差比较12()()f x f x -即可.【详解】 （1）当1a =-时，21()21x x f x -=+，定义域关于原点对称. 112112222()()11212121221xx x x x x x x x xf x f x ----====+--=-+++. 所以()f x 为奇函数.（2）当0a =时，2()21xx f x =+，设任意12,x x R ∈，且12x x <. 1212211212121212222(21)2(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++. 因为12220x x -<，1210x +>，2210x +>，所以12())0(f x f x -<.即：12()()f x f x <. 所以2()21xx f x =+在R 上为增函数. 【点睛】本题第一问考查函数奇偶性的判断，第二问考查了函数单调性的判断，属于中档题. 22．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元.设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价.试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[]100,600元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由.【答案】（1）25.8%（2）[)[]0.2 100,360280.2360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩（3）不能，详见解析【解析】（1）根据题意得到购买1000元商品，则消费800元，获得对应的奖券58元，再计算优惠率即可.（2）根据题意，分段讨论当标价为[100,360)元和标价为[360,600]元时的优惠率即可. （3）根据（2）得到当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大，再计算最大优惠率比较即可.【详解】（1）购买1000元商品的优惠率10000.25810025.81000%%=⨯+=⨯.（2）当标价为[100,360)元时，则消费[80,288)元，不能获得优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.20.2xyx==.当标价为[360,600]元时，则消费[288,480]元，获得28元优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.228280.2xyx x+==+.综上[)[]0.2?100,360280.2?360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩.（3）当顾客买标价不超过360元商品时，优惠率为20%.当顾客买标价在[360,600]元商品时，优惠率为280.2yx=+，为减函数.所以当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大.max280.227.8%30%360y=+≈<.所以顾客不能得到超过30%的优惠率. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，弄清题意为解题的关键，属于中档题.23．已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-. （1）当1a =时，求()11f-； （2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【解析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f-等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可.（2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定. （3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可.【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+.求1(1)f -即等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解.2221x x -+=，解得：1x =.所以1(1)1f -=.（2）当12a =-时，2217()2()24f x x x x =++=++. [1,1]x ∈-时，显然函数不单调，所以在区间[1,1]-没有反函数.（3）若函数()f x 存在反函数，则函数()f x 在区间[1,1]-单调.222()22()2f x x ax x a a =-+=-+-，对称轴为x a =.所以当1a ≥或1a ≤-时，函数()f x 存在反函数.当1a ≥时，1)(f a x -=，[]32,32x a a ∈-+.当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.24．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数()()2lg 11f x x =++是“正函数”； （2）如果函数()11a f x x x =+-+不是“正函数”，求正数a 的取值范围. （3）如果函数()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，（2）(,1]-∞（3）(){}6,13-U【解析】（1）有题知：()1f x ≥，即证.（2）首先讨论当0a ≤时，显然()11a f x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时，从反面入手，假设()f x 是“正函数”，求出a 的范围，再取其补集即可.（3）根据题意得到：22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+，解方程和不等式组即可.【详解】（1）2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=.函数值恒为正数，故函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”.（2）当0a ≤时，(0)10f a =-<， 显然()11a f x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时 假设()11a f x x x =+-+为“正函数”.则()f x 恒大于零.()1221a f x x x =++-≥+.所以20>，即1a > 所以()11a f x x x =+-+不是“正函数”时， 01a <≤.综上：1a ≤.（3）有题知：若函数()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”， 则22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+. 解得：61a -<<或3a =.【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。
上海市虹口区2019-2020学年高三第一学期数学一模考试卷
虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 试卷 2019年12月考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++L 则5________.a =8. 设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅=u u u r u u u r _________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l 与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥u u u u r ； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-L 试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.A虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 3A A =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因…… 10分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC ==u u u r u u u u r ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r 因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π……4分 （2）由于1(0,0,2)OO =u u u u r是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-u u u u r,……6分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u u r u u u u r于是，直线1CC 与圆柱1OO底面所成角的大小为 …… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故121221.4y y y y m +==-+从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以),OQ m=-u u u r于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而2)).F R m==-u u u u r由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-u u u u r故2.F R l⊥u u u u r……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅=……12分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+L L结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=--L L L 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++L L L 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。
上海市虹口区2019-2020学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷(含答案)
（第10题图）虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 试卷 2019年12月考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______．2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++则5________.a =8. 设1()fx -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______.9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角 板拼在一起，则OD AB ⋅=_________.11.如图，12,F F 分别是双曲（第16题图）B222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有(2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π-15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ）（A ）13（B ）12（C ）23 （D ）34三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要1A （第18题图）的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.AA 虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6. 17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 33A A =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分4sinC sin()(sinA cosA)262A B -=+=+=（） 因…… 10分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z 轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC == ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π……4分 （2）由于1(0,0,2)OO =是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-,……6分设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111(1,sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅ 于是，直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为arcsin…… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+ 即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到 212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故121221.4y y y y m +==-+从而1212()x x m y y +=++=于是 Q ……7分所以3),OQ m =-于是直线40.OQ mx y+=的方程为 由40,mx y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而23()).F R m ==- 由于直线l 的法向量2(1,m)//,F R - 故2.F R l ⊥……10分 解：（3）由（2）知 1212221,.44y y y y m m +=-=-++故 111222112,2,22S AB y y S AB y y =⋅==⋅= (12)分 而120,y y <故 12121222S Sy y y y -=+=-= ……14分 由于12S S -最大时0,m ≠故12m m S S -=≤=+当且仅当2m =时，等号成立.因此12maxS S -=此时直线l 的方程为20,20.x y x y +=-=或 ……16分21. (本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 证：（1）因为1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列. 所以，当121321,0,22,24;m a a a a a ===+==+=时 当343542,4,48,412;m a a a a a ===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a ===+==+=时 于是65543,2a a a a == 故456,,a a a 成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m m m N a a m *+-∈-=任意的有 于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得 21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=-- 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++ 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2n n S n →+∞-=-……18分。
上海市2019年数学高一上学期期末考试试题
上海市2019年数学高一上学期期末考试试题一、选择题1．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．72πB ．14πC ．28πD ．56π2．对于函数f(x)=2sinxcosx ，下列选项中正确的是( )A ．f(x)在（4π，2π）上是递增的 B ．f(x)的图象关于原点对称 C ．f(x)的最小正周期为2π D ．f(x)的最大值为23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，3211242n n a a a a n -++++=，则8S =( ) A ．127 B ．129 C ．255D ．257 4．已知不同的两条直线m ，n 与不重合的两平面α，β，下列说法正确的是（ ）A.若m n ，m α，则n αB.若m α，αβ∥，则m βC.若m n ，m α⊥，则n α⊥D.若m n ⊥，m α⊥，则n α⊥5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B AC D --的大小为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90° 6．设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ） A.()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U B.[)0,+∞ C.9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.20B.10C.30D.608．已知当x θ=时函数()sin 2cos f x x x =-取得最小值，则sin 22cos 2sin 22cos 2θθθθ+=-（ ） A ．-5 B ．5 C ．15 D ．15- 9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．设12a =，数列{}1n a +是以3为公比的等比数列，则4a =（ ）A ．80B ．81C ．54D ．5311．在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为( )A.8π6++B.6π6++C.8π4++D.6π4++12．下列函数中，图象的一部分如图所示的是 （ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭二、填空题 13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ，b ，c 成等比数列，且()1cos cos 2A CB -=+，则cos B =________.14．如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm15．已知对数函数()f x 的图象过点()4,2-，则不等式()()f x 1f x 13--+>的解集______．16．设02x π≤<sin cos x x =-，则x 的取值范围是________.三、解答题17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且满足cos sin 3a b C c B =+. （Ⅰ)求角B ；（Ⅱ)若ABC △，a c +=b . 18．已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n ++++=∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*1n n b n na =∈N ，n T 为数列{}1n n b b +的前n 项和，求证：12n T < 19．某家具厂有方木料903m ，五合板6002m ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料O.l 3m ，五合板22m ，生产每个书橱而要方木料0.22m ，五合板12m ，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）怎样安排生产可使所得利润最大？20．已知tan()7,cos 5αβα-=-=-,其中(0,),(0,)απβπ∈∈. （1）求tan β的值；（2）求αβ+的值.21．已知A ，B 均为锐角，3sin 5A =，5cos()13A B +=. （1）求cos2A 的值；（2）求sin()A B -的值.22．设向量(3sin ,sin )a x x =，()cos ,sin b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若||||a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．12 14．125π 15．9(1,)716．5[,]44ππ三、解答题17．（Ⅰ)3B π=；（Ⅱ)b =18．（1）21n n a n-=．（2）证明略 19．(1) 只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元；(2) 生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大20．（1）13（2）34π 21．(1) 725 (2) 3632522．（1）6π；（2）32.。
上海市虹口区2019届高一第一学期数学期末考试( 解析版)
2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）函数的定义域为．2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是．3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝．4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为．5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是．6．（3分）已知函数f（x）＝若f（a）＝，则a＝．7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为．9．（3分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f （x22）+f（x32）＝．10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．11．（3分）（A组题）已知f（x）＝，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是．12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是．13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f （d），则a+b+c+d的值等于．14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于．二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数16．（3分）对于实数a，α：＞0，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件17．（3分）已知函数y ＝f （x ），记A ＝{（x ，y ）|y ＝f （x ）}，B ＝{（x ，y ）|x ＝0，y ∈R }，则A ∩B 的元素个数（（ ） A ．至多一个元素 B ．至少一个元素C ．一个元素D ．没有元素18．（3分）（A 组题）已知f （m ）＝（3m ﹣1）a +1﹣2m ，当m ∈[0，1]时，f （m ）≤1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0≤a ≤1B ．0＜a ＜1C ．a ≤0或a ≥1D ．a ＜0或a ＞119．（B 组题）函数f （x ）＝（3a ﹣2）x +1﹣a ，在[﹣2，3]上的最大值是f （﹣2），则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ≤D ．a ＜三、解答题20．已知A ＝{x |22x ﹣2x ﹣2≤0，x ∈R }，B ＝{x |lg （|x |﹣1）＜0，x ∈R }，求A ∩B ，A ∪B ． 21．已知函数f （x ）＝10x ﹣10﹣x ． （1）判断f （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）判断f （x ）在R 上的单调性，并说明理由．22．矩形ABCD 的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”． （1）当矩形ABCD 是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围； （2）就矩形ABCD 的一边长x 的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？ 23．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有f （x ）＝x 2﹣4x ． （1）写出函数f （x ）的单调区间（不要证明）； （2）（A 组题）解不等式f （x ）≥3；（3）（A 组题）求函数f （x ）在[﹣m ，m ]上的最大值和最小值． （2）（B 组题）求函数f （x ）的解析式； （3）（B 组题）解不等式f （x ）≥3．24．已知f （x ）是定义在R 上且满足f （x +2）＝f （x ）的函数． （1）如果0≤x ＜2时，有f （x ）＝x ，求f （3）的值；（2）（A 组题）如果0≤x ≤2时，有f （x ）＝（x ﹣1）2，若﹣2≤a ≤0，求f （a ）的取值范围；（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a 的值；（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）函数的定义域为[2，+∞）．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解．【解答】解：由x﹣2≥0，得x≥2．∴函数的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是（﹣1，+∞）．【分析】根据指数函数y＝2x的值域减一可得．【解答】解：因为y＝2x的值域为（0，+∞），∴y＝2x﹣1的值域为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考察了函数的值域，属基础题．3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝．【分析】令y＝f（x）＝x2，由x≥0，得出y≥0，并在y＝x2中解出x，即可得出函数y＝f （x）的反函数的表达式．【解答】解：令y＝f（x）＝x2，由于x≥0，则y≥0，所以，因此，，故答案为：．【点评】本题考查反函数解析式的求解，解决本题的关键在于灵活利用反函数的定义，属于基础题．4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]．【分析】法1，根据不等式的运算性质进行判断求解即可．法2利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：方法一、∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，则﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]方法2：设z＝3a﹣2b，则b＝a﹣，作出不等式组对应的平面区域如图：则平移直线b＝a﹣，由图象知当直线经过点C（1，6）时，直线的截距最大，此时z最小，最小z＝3﹣2×6＝3﹣12＝﹣9，当直线经过点A（2，3）时，直线的截距最小，此时z最大，最小z＝3×2﹣2×3＝6﹣6＝0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是a＞﹣1．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则原不等式可以转化为a ＞﹣1，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+2x，有f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，f′（x）＝3x2+2＞0，则函数f（x）在R上为增函数；如果f（1）+f（a）＞0，则f（a）＞﹣f（1）＝f（﹣1），故a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意分析函数f（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）＝若f（a）＝，则a＝﹣1或．【分析】当a＞0时，log2a＝；当a≤0时，2a＝．由此能求出a的值．【解答】解：当a＞0时，log2a＝∴a＝，当a≤0时，2a＝＝2﹣1，∴a＝﹣1．∴a＝﹣1或．故答案为：﹣1或．【点评】本题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法．7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为3．【分析】根据|x﹣a|的几何意义，得到f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的几何意义，再求出函数的最小值．【解答】解：∵|x﹣a|几何意义表示数轴上坐标为x与坐标为a的点的距离，∴f（x）＝|x+1|+|x﹣2|表示X轴上的点X到点﹣1，2的距离和，∴最小值为此两点线段上的点，即当﹣1≤x≤2时，f（x）最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查了绝对值式子的几何意义的应用，属于基础题．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为．【分析】设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L＝a+b+c，c＝，两次运用均值不等式即可求解．【解答】解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L＝2，由于a+b+＝L≥2+．（当且仅当a＝b时取等号）∴≤．∴S＝ab≤（）2＝•[]2＝L2＝．故答案为：．【点评】利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．9．（3分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f （x22）+f（x32）＝16．【分析】表示出f（x1x2x3）＝8，再表示出，根据对数运算法则化简即可【解答】解：∵f（x）＝log a x且f（x1x2x3）＝8∴log a（x1x2x3）＝8又＝＝2[log a（x1）+log a （x2）+log a（x3）]＝2[log a（x1•x2•x3]＝2log a（x1x2x3）＝2×8＝16故答案为：16【点评】本题考查对数运算，要求能熟练应用对数运算法则．属简单题10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为（1，+∞）．【分析】命题“∃x0∈R，使得x2+2x+a≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，使得x2+2x+a＞0”是真命题，可得：△＜0，解出a的范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x2+2x+a≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，使得x2+2x+a＞0”是真命题，∴△＝4﹣4a＜0，解得a＞1．实数a的取值范围是：（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（3分）（A组题）已知f（x）＝，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是（1，2）．【分析】画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象，即可求出．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝0，1＜f（c）＜2，∴a+b+f（c）的范围为（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查了分段函数的图象和性质，考查了函数的值域，属于中档题．12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【分析】求出f′（x）＝e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）＝0，得x1＝1，从而g （x2）＝0且|1﹣x2|≤1，进而x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，由此能求出a的范围．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的导数为f′（x）＝e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）＝0，可得f（x1）＝0，解得x1＝1，存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）＝0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，∴△＝4a2﹣4（a2﹣a+2）≥0，解得a≥2．故a的范围为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f （d），则a+b+c+d的值等于0．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，进而分析可得直线y＝m与函数f（x）最多只有4个交点；据此分析可得a+d＝b+c＝0，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣2|x|+2，则f（﹣x）＝x2﹣2|x|+2＝f（x），即函数f（x）为偶函数，f（x）＝x2﹣2|x|+2＝，则直线y＝m与函数f（x）最多只有4个交点；若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则有a+d＝b+c＝0，故a+b+c+d＝0；故答案为：0【点评】本题考查函数的奇偶性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性．14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于10．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（f（x））＝lg（lgx），令f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，解可得x0的值，由零点的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝lgx，则f（f（x））＝lg（lgx），若f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，即lgx0＝1，解可得x0＝10，即函数y＝f（f（x）的零点x0等于10；故答案为：10．【点评】本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【分析】由幂函数y＝x a的图象经过点（9，3），求出a＝，由此能求出此函数是y＝，是非奇非偶函数．【解答】解：∵幂函数y＝x a的图象经过点（9，3），∴9a＝3，解得a＝，∴此函数是y＝，是非奇非偶函数．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（3分）对于实数a，α：＞0，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：α：＞0得a＞1或a＜﹣1，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则判别式△＝a2﹣4≥0，得a≥2或a≤﹣2，∵{a|a≥2或a≤﹣2}⊊{a|a＞1或a＜﹣1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．17．（3分）已知函数y＝f（x），记A＝{（x，y）|y＝f（x）}，B＝{（x，y）|x＝0，y∈R}，则A∩B的元素个数（（）A．至多一个元素B．至少一个元素C．一个元素D．没有元素【分析】根据函数的定义，在定义域内有且只有一个函数值与它对应，y＝f（x）定义域是F，当F包括x＝0，则x＝0时候，有且只有一个函数值，所以函数图象与x＝0只有一个交点，也就是两个集合的交集元素个数只有1个，则答案可求．【解答】解：设函数y＝f（x）定义域是F，当0∈F，A∩B中所含元素的个数为1．∴A∩B中所含元素的个数是1．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，解答此题的关键是对题意的理解，是基础题．18．（3分）（A组题）已知f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a≤0或a≥1D．a＜0或a＞1【分析】利用一次函数的最值求解即可．【解答】解：f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m＝（3a﹣2）m﹣a+1①3a﹣2＝0，即a＝时，f（m）＝＜1，符合题意；②3a﹣2＞0，即a＞时，f（m）max＝f（1）＝2a﹣1∵2a﹣1≤1，∴a≤1，∴＜a≤1；③3a﹣2＜0，即a＜时，f（m）max＝f（0）＝﹣a+1∵﹣a+1≤1，∴a≥0，∴0≤a＜；综上可知：实数a的取值范围是[0，1]；故选：A．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论思想的应用，一次函数闭区间的最值以及单调性的应用．19．（B组题）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（）A．a≥B．a＞C．a≤D．a＜【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，则3a﹣2＜0，解得a＜，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系，考查了转化与化归思想，属于基础题三、解答题20．已知A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}，求A∩B，A∪B．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B，A∪B．【解答】解：A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}＝{x|x≤1}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，A∪B＝{x|x＜2}．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．已知函数f（x）＝10x﹣10﹣x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断f（x）在R上的单调性，并说明理由．【分析】（1）容易求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而判断出f（x）是奇函数；（2）可以看出函数y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数，从而得出f（x）在R上的单调性．【解答】解：（1）f（﹣x）＝10﹣x﹣10x＝﹣（10x﹣10﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）为奇函数；（2）∵y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数；∴f（x）＝10x﹣10﹣x在R上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断，指数函数的单调性，以及增函数的定义．22．矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．（1）当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；（2）就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？【分析】（1）根据基本不等式和定义即可得出周长的范围；（2）令周长不大于10，列不等式求出x的范围，得出结论．【解答】解：（1）设AB＝x，则BC＝，故而矩形ABCD的周长为2（AB+BC）＝2（x+）≥2•2＝8，当且仅当x＝即x＝2时取等号．又矩形ABCD是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．∴当矩形ABCD是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．（2）设矩形ABCD的周长为f（x），则f（x）＝2（x+）（x＞0），令f（x）≤10得x2﹣5x+4≤0，解得：1≤x≤4，∴当x∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x．（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；（2）（A组题）解不等式f（x）≥3；（3）（A组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．（2）（B组题）求函数f（x）的解析式；（3）（B组题）解不等式f（x）≥3．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得f（x）的单调区间；（2）（A组题），根据题意，由函数的奇偶性可得函数f（x）的解析式，则有f（x）≥3⇒或，解可得不等式的解集，即可得答案；（3）（A组题）由函数的解析式可得在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对m的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案；（2）（B组题）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式可得f（﹣x）的表达式，由函数的奇偶性可得f（x）在x＜0时的解析式，综合即可得答案；（B组题）根据题意，由函数的奇偶性可得函数f（x）的解析式，则有f（x）≥3⇒（3）或，解可得不等式的解集，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x；则f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；（2）（A组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，综合可得：f（x）＝，若f（x）≥3⇒或，解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2+，则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+，+∞）；（3）（A组题）由（2）的结论，f（x）＝，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对于区间[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；故当0＜m≤2时，f（x）max＝﹣m2+4m，f（x）min＝m2﹣4m，当2＜m≤4时，f（x）max＝4，f（x）min＝﹣4，当m＞4时，f（x）max＝m2﹣4m，f（x）min＝﹣m2+4m，（2）（B组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，综合可得：f（x）＝，（3）（B组题）由（2）的结论，f（x）＝，若f（x）≥3⇒或，解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2+，则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+，+∞）．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．24．已知f（x）是定义在R上且满足f（x+2）＝f（x）的函数．（1）如果0≤x＜2时，有f（x）＝x，求f（3）的值；（2）（A组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0，求f（a）的取值范围；（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a 的值；（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．【分析】根据f（x+2）＝f（x）的函数．可知函数f（x）是周期2的函数；依次求解各式即可．【解答】解：（1）f（3）＝f（1+2）＝f（1）＝1；（2）（A组题）若﹣2≤a≤0，则0≤a+2≤2，∴f（a）＝f（a+2）＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2∈[0，1]；（3）（A组题）因为g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，所以f（x）在[0，2]上的值域为[3，6]，所以g（x）在[﹣2，4]上的值域为[1，10]；（2）（B组题）根据（2）（A组题）可得f（a）＝（a+1）2＝0，可得a＝﹣1；（3）（B组题）由题意，当0≤a≤2时，f（a）＝（a﹣1）2∈[0，1]；当﹣2≤a≤0时，则0≤a+2≤2，可得f（a）＝（a+1）2∈[0，1]，当2≤a≤4时，则0≤a﹣2≤2，可得f（a）＝（a﹣3）2∈[0，1]，故得当﹣2≤a≤4，f（a）的取值范围是[0，1]．【点评】本题考查抽象函数的问题，值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题．。
上海市虹口区2019-2020学年高一第一学期数学期末统考试卷(含答案)
上海市虹口区2019-2020学年高一第一学期期末统考数学试卷2020.01一. 填空题1. 用列举法表示集合2{|230,}x x x x −−<∈=Z2. 命题“若2x >且3y >，则5x y +>”的否命题是 命题（“真”或“假”）3. 函数4y x=，[1,12]x ∈的值域为 4. 已知函数()2x f x =，则((2))f f =5. 不等式|1|2x −<的解为6. 已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈−−−，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减， 则a =7. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x f x =−，则(2)f −= 8. 已知2m >，且110lg(100)lgx m m=+，则x 的值为 9. 已知0a >，0b >，且44a b +=，则a b 的最大值等于 10. 已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[1,0]−，则a b +=11.（A 组）记函数()||f x x b =+，[2,2]x ∈−的最大值为()g b ，则()g b = （B 组）函数2()|2|f x x x =−，[2,2]x ∈−的最大值为12.（A 组）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则关于x 的不等式2()(1)10f x f x −+−<的解是（B 组）已知42()f x x x =+，则关于x 的不等式(1)(2)f x f +<的解是二. 选择题13. 已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b −<−<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<；以上结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14. 已知a ∈R ，则“1a <”是“11a >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 已知函数||32x y =−的值域是（ ）A. RB. (2,)−+∞C. [2,)−+∞D. [1,)−+∞16.（A 组）定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间(0,2)和(4,6)内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A. (0)(2)0f f ⋅<B. (0)(6)0f f ⋅>C. (2)(4)0f f ⋅>D. (2)(6)0f f ⋅>（B 组）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三. 解答题17. 解下列方程：（1）2223x x −+⋅=；（2）2lg lg 20x x −−=.18. 设a ∈R ，函数2()21x x a f x +=+. （1）当1a =−时，判定()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(,)−∞+∞上单调递增.19. 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品， 则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元，于是，该顾客获得的优惠额 为：4000.228108⨯+=元，设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，试问： （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[100,600]元时，试写出顾客得到的优惠率y 关于标价x 元之间的函 数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？ 试说明理由.20. 已知函数2()22f x x ax =−+，[1,1]x ∈−.（1）当1a =时，求1(1)f −；（2）当12a =−时，判定此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数1()f x −.21. 已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实 数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”；（2）（A 组题）如果函数()||1||1a f x x x =+−+不是“正函数”，求正数a 的取值范围； （B 组题）如果函数1()||||f x x a x =+−不是“正函数”，求实数a 的取值范围； （3）（A 组题）如果函数22(2)24()2(1)22x a x a f x x a x a +−−+=+−−+是“正函数”，求正数a 取值范围； （B 组题）如果函数2()2f x ax ax =++是“正函数”，求实数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. {0,1,2}2. 假3. 1[,4]34. 165. (1,3)−6. 1−7. 3−8. lg 29. 1 10. 32−11.（A 组题）20()20b b g b b b +≥⎧=⎨−<⎩；（B 组题）8 12.（A 组题）(1,1)−；（B 组题）(3,1)−二. 选择题13. D 14. B 15. D 16. （A 组题）C ；（B 组题）B三. 解答题17.（1）0x =或1x =；（2）100x =或110x =. 18.（1）奇函数；（2）证明略（用定义证明）.19.（1）25.8%；（2）0.2[100,360)280.2[360,600]x y x x ∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩；（3）不能，最大优惠为27.8%.20.（1）1；（2）没有，函数不单调；（3）1a ≥或1a ≤−，当1a ≥时，1()f x a −=−[32,32]x a a ∈−+；当1a ≤−时，1()f x a −=[32,32]x a a ∈+−.21.（1）()1f x ≥，函数值恒为正；（2）（A 组题）(0,1)；（B 组题）2a >；（3）（A 组题）(6,1){3}−；（B 组题）[0,8).。
上海市虹口区2018-2019学年高一(上)期末数学试卷参考答案及试题解析
上海市虹口区2018-2019学年高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）函数的定义域为．2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是．3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝．4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为．5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是．6．（3分）已知函数f（x）＝若f（a）＝，则a＝．7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为．9．（3分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f（x22）+f（x32）＝．10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．11．（3分）（A组题）已知f（x）＝，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是．12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是．13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+d 的值等于．14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于．二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数16．（3分）对于实数a，α：＞0，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件17．（3分）已知函数y＝f（x），记A＝{（x，y）|y＝f（x）}，B＝{（x，y）|x＝0，y∈R}，则A∩B的元素个数（（）A．至多一个元素B．至少一个元素C．一个元素D．没有元素18．（3分）（A组题）已知f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a≤0或a≥1D．a＜0或a＞119．（B组题）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（）A．a≥B．a＞C．a≤D．a＜三、解答题20．已知A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}，求A∩B，A∪B．21．已知函数f（x）＝10x﹣10﹣x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断f（x）在R上的单调性，并说明理由．22．矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．（1）当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；（2）就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x．（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；（2）（A组题）解不等式f（x）≥3；（3）（A组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．（2）（B组题）求函数f（x）的解析式；（3）（B组题）解不等式f（x）≥3．24．已知f（x）是定义在R上且满足f（x+2）＝f（x）的函数．（1）如果0≤x＜2时，有f（x）＝x，求f（3）的值；（2）（A组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0，求f（a）的取值范围；（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a的值；（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）函数的定义域为[2，+∞）．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解．【解答】解：由x﹣2≥0，得x≥2．∴函数的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是（﹣1，+∞）．【分析】根据指数函数y＝2x的值域减一可得．【解答】解：因为y＝2x的值域为（0，+∞），∴y＝2x﹣1的值域为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考察了函数的值域，属基础题．3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝．【分析】令y＝f（x）＝x2，由x≥0，得出y≥0，并在y＝x2中解出x，即可得出函数y＝f（x）的反函数的表达式．【解答】解：令y＝f（x）＝x2，由于x≥0，则y≥0，所以，因此，，故答案为：．【点评】本题考查反函数解析式的求解，解决本题的关键在于灵活利用反函数的定义，属于基础题．4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]．【分析】法1，根据不等式的运算性质进行判断求解即可．法2利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：方法一、∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，则﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]方法2：设z＝3a﹣2b，则b＝a﹣，作出不等式组对应的平面区域如图：则平移直线b＝a﹣，由图象知当直线经过点C（1，6）时，直线的截距最大，此时z最小，最小z＝3﹣2×6＝3﹣12＝﹣9，当直线经过点A（2，3）时，直线的截距最小，此时z最大，最小z＝3×2﹣2×3＝6﹣6＝0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是a＞﹣1．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则原不等式可以转化为a＞﹣1，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+2x，有f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，f′（x）＝3x2+2＞0，则函数f（x）在R上为增函数；如果f（1）+f（a）＞0，则f（a）＞﹣f（1）＝f（﹣1），故a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意分析函数f（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）＝若f（a）＝，则a＝﹣1或．【分析】当a＞0时，log2a＝；当a≤0时，2a＝．由此能求出a的值．【解答】解：当a＞0时，log2a＝∴a＝，当a≤0时，2a＝＝2﹣1，∴a＝﹣1．∴a＝﹣1或．故答案为：﹣1或．【点评】本题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法．7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为3．【分析】根据|x﹣a|的几何意义，得到f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的几何意义，再求出函数的最小值．【解答】解：∵|x﹣a|几何意义表示数轴上坐标为x与坐标为a的点的距离，∴f（x）＝|x+1|+|x﹣2|表示X轴上的点X到点﹣1，2的距离和，∴最小值为此两点线段上的点，即当﹣1≤x≤2时，f（x）最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查了绝对值式子的几何意义的应用，属于基础题．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为．【分析】设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L＝a+b+c，c＝，两次运用均值不等式即可求解．【解答】解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L＝2，由于a+b+＝L≥2+．（当且仅当a＝b时取等号）∴≤．∴S＝ab≤（）2＝•[]2＝L2＝．故答案为：．【点评】利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．9．（3分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f（x22）+f（x32）＝16．【分析】表示出f（x1x2x3）＝8，再表示出，根据对数运算法则化简即可【解答】解：∵f（x）＝log a x且f（x1x2x3）＝8∴log a（x1x2x3）＝8又＝＝2[log a（x1）+log a（x2）+log a （x3）]＝2[log a（x1•x2•x3]＝2log a（x1x2x3）＝2×8＝16故答案为：16【点评】本题考查对数运算，要求能熟练应用对数运算法则．属简单题10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为（1，+∞）．【分析】命题“∃x0∈R，使得x2+2x+a≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，使得x2+2x+a＞0”是真命题，可得：△＜0，解出a的范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x2+2x+a≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，使得x2+2x+a＞0”是真命题，∴△＝4﹣4a＜0，解得a＞1．实数a的取值范围是：（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（3分）（A组题）已知f（x）＝，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是（1，2）．【分析】画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象，即可求出．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝0，1＜f（c）＜2，∴a+b+f（c）的范围为（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查了分段函数的图象和性质，考查了函数的值域，属于中档题．12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【分析】求出f′（x）＝e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）＝0，得x1＝1，从而g（x2）＝0且|1﹣x2|≤1，进而x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，由此能求出a的范围．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的导数为f′（x）＝e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）＝0，可得f（x1）＝0，解得x1＝1，存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）＝0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，∴△＝4a2﹣4（a2﹣a+2）≥0，解得a≥2．故a的范围为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+d 的值等于0．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，进而分析可得直线y＝m与函数f（x）最多只有4个交点；据此分析可得a+d＝b+c＝0，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣2|x|+2，则f（﹣x）＝x2﹣2|x|+2＝f（x），即函数f（x）为偶函数，f（x）＝x2﹣2|x|+2＝，则直线y＝m与函数f（x）最多只有4个交点；若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则有a+d＝b+c＝0，故a+b+c+d＝0；故答案为：0【点评】本题考查函数的奇偶性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性．14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于10．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（f（x））＝lg（lgx），令f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，解可得x0的值，由零点的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝lgx，则f（f（x））＝lg（lgx），若f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，即lgx0＝1，解可得x0＝10，即函数y＝f（f（x）的零点x0等于10；故答案为：10．【点评】本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【分析】由幂函数y＝x a的图象经过点（9，3），求出a＝，由此能求出此函数是y＝，是非奇非偶函数．【解答】解：∵幂函数y＝x a的图象经过点（9，3），∴9a＝3，解得a＝，∴此函数是y＝，是非奇非偶函数．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（3分）对于实数a，α：＞0，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：α：＞0得a＞1或a＜﹣1，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则判别式△＝a2﹣4≥0，得a≥2或a≤﹣2，∵{a|a≥2或a≤﹣2}⊊{a|a＞1或a＜﹣1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．17．（3分）已知函数y＝f（x），记A＝{（x，y）|y＝f（x）}，B＝{（x，y）|x＝0，y∈R}，则A∩B的元素个数（（）A．至多一个元素B．至少一个元素C．一个元素D．没有元素【分析】根据函数的定义，在定义域内有且只有一个函数值与它对应，y＝f（x）定义域是F，当F包括x ＝0，则x＝0时候，有且只有一个函数值，所以函数图象与x＝0只有一个交点，也就是两个集合的交集元素个数只有1个，则答案可求．【解答】解：设函数y＝f（x）定义域是F，当0∈F，A∩B中所含元素的个数为1．∴A∩B中所含元素的个数是1．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，解答此题的关键是对题意的理解，是基础题．18．（3分）（A组题）已知f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a≤0或a≥1D．a＜0或a＞1【分析】利用一次函数的最值求解即可．【解答】解：f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m＝（3a﹣2）m﹣a+1①3a﹣2＝0，即a＝时，f（m）＝＜1，符合题意；②3a﹣2＞0，即a＞时，f（m）max＝f（1）＝2a﹣1∵2a﹣1≤1，∴a≤1，∴＜a≤1；③3a﹣2＜0，即a＜时，f（m）max＝f（0）＝﹣a+1∵﹣a+1≤1，∴a≥0，∴0≤a＜；综上可知：实数a的取值范围是[0，1]；故选：A．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论思想的应用，一次函数闭区间的最值以及单调性的应用．19．（B组题）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（）A．a≥B．a＞C．a≤D．a＜【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，则3a﹣2＜0，解得a＜，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系，考查了转化与化归思想，属于基础题三、解答题20．已知A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}，求A∩B，A∪B．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B，A∪B．【解答】解：A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}＝{x|x≤1}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，A∪B＝{x|x＜2}．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．已知函数f（x）＝10x﹣10﹣x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断f（x）在R上的单调性，并说明理由．【分析】（1）容易求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而判断出f（x）是奇函数；（2）可以看出函数y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数，从而得出f（x）在R上的单调性．【解答】解：（1）f（﹣x）＝10﹣x﹣10x＝﹣（10x﹣10﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）为奇函数；（2）∵y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数；∴f（x）＝10x﹣10﹣x在R上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断，指数函数的单调性，以及增函数的定义．22．矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．（1）当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；（2）就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？【分析】（1）根据基本不等式和定义即可得出周长的范围；（2）令周长不大于10，列不等式求出x的范围，得出结论．【解答】解：（1）设AB＝x，则BC＝，故而矩形ABCD的周长为2（AB+BC）＝2（x+）≥2•2＝8，当且仅当x＝即x＝2时取等号．又矩形ABCD是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．∴当矩形ABCD是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．（2）设矩形ABCD的周长为f（x），则f（x）＝2（x+）（x＞0），令f（x）≤10得x2﹣5x+4≤0，解得：1≤x≤4，∴当x∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x．（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；（2）（A组题）解不等式f（x）≥3；（3）（A组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．（2）（B组题）求函数f（x）的解析式；（3）（B组题）解不等式f（x）≥3．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得f（x）的单调区间；（2）（A组题），根据题意，由函数的奇偶性可得函数f（x）的解析式，则有f（x）≥3⇒或，解可得不等式的解集，即可得答案；（3）（A组题）由函数的解析式可得在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对m的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案；（2）（B组题）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式可得f（﹣x）的表达式，由函数的奇偶性可得f（x）在x＜0时的解析式，综合即可得答案；（3）（B组题）根据题意，由函数的奇偶性可得函数f（x）的解析式，则有f（x）≥3⇒或，解可得不等式的解集，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x；则f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；（2）（A组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，综合可得：f（x）＝，若f（x）≥3⇒或，解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2+，则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+，+∞）；（3）（A组题）由（2）的结论，f（x）＝，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对于区间[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；故当0＜m≤2时，f（x）max＝﹣m2+4m，f（x）min＝m2﹣4m，当2＜m≤4时，f（x）max＝4，f（x）min＝﹣4，当m＞4时，f（x）max＝m2﹣4m，f（x）min＝﹣m2+4m，（2）（B组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，综合可得：f（x）＝，（3）（B组题）由（2）的结论，f（x）＝，若f（x）≥3⇒或，解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2+，则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+，+∞）．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．24．已知f（x）是定义在R上且满足f（x+2）＝f（x）的函数．（1）如果0≤x＜2时，有f（x）＝x，求f（3）的值；（2）（A组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0，求f（a）的取值范围；（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a的值；（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．【分析】根据f（x+2）＝f（x）的函数．可知函数f（x）是周期2的函数；依次求解各式即可．【解答】解：（1）f（3）＝f（1+2）＝f（1）＝1；（2）（A组题）若﹣2≤a≤0，则0≤a+2≤2，∴f（a）＝f（a+2）＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2∈[0，1]；（3）（A组题）因为g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，所以f（x）在[0，2]上的值域为[3，6]，所以g（x）在[﹣2，4]上的值域为[1，10]；（2）（B组题）根据（2）（A组题）可得f（a）＝（a+1）2＝0，可得a＝﹣1；（3）（B组题）由题意，当0≤a≤2时，f（a）＝（a﹣1）2∈[0，1]；当﹣2≤a≤0时，则0≤a+2≤2，可得f（a）＝（a+1）2∈[0，1]，当2≤a≤4时，则0≤a﹣2≤2，可得f（a）＝（a﹣3）2∈[0，1]，故得当﹣2≤a≤4，f（a）的取值范围是[0，1]．【点评】本题考查抽象函数的问题，值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题．。
虹口区高一期末数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $\frac{1}{3}$D. $\infty$2. 若 $a > 0$，$b < 0$，则 $a + b$ 的符号是（）A. 正B. 负C. 零D. 无法确定3. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. $y = \sqrt{x^2 - 1}$B. $y = \frac{1}{x}$C. $y = \log_2(x + 1)$D. $y = |x|$4. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_3 = 12$，$S_5 = 30$，则 $a_4$ 的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 125. 函数 $y = 2^x - 3$ 的图像（）A. 在 $y$ 轴左侧递增B. 在 $y$ 轴右侧递减C. 在 $y$ 轴左侧递减D. 在 $y$ 轴右侧递增6. 若 $\cos \alpha = \frac{1}{2}$，则 $\sin 2\alpha$ 的值为（）A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{1}{2}$C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $-\frac{1}{2}$7. 下列不等式中，正确的是（）A. $2x > x + 1$B. $2x < x + 1$C. $2x \leq x + 1$D. $2x \geq x + 1$8. 已知 $a$，$b$ 是方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两个根，则 $a^2 + b^2$ 的值为（）A. 11B. 14C. 15D. 169. 下列函数中，是偶函数的是（）A. $y = x^2 - 2x + 1$B. $y = x^3 - 3x$C. $y = |x|$D. $y = x^2 + x$10. 已知 $x + y = 5$，$xy = 6$，则 $x^2 + y^2$ 的值为（）A. 19B. 21C. 25D. 29二、填空题（每题5分，共25分）11. 若 $a = -\frac{1}{2}$，$b = 3$，则 $a^2 + 2ab + b^2$ 的值为______。
【上海市重点中学】2018-2019年上海市虹口区高一上期末数学试卷含答案
12018-2019年上海市虹口区高一上期末一. 填空题1. 函数()2f x x =-的定义域是2. 函数()21x f x =-（x ∈R ）的值域是3. 函数2()f x x =（0x ≥），则1()f x -=4. 已知12a ≤≤，36b ≤≤，则32a b -的取值范围为5. 函数3()2f x x x =+，如果(1)()0f f a +>，则实数a 的范围是6. 设函数2log 0()20xx x f x x >⎧=⎨<⎩，若01()2f x =，则实数0x = 7. 函数()|1||2|f x x x =++-，则此函数的最小值为8. 直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为9. 已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若123()8f x x x ⋅⋅=，则222123()f x x x ++=10. 若命题“存在x ∈R ，使得220ax x a ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为11.（A 组题）已知||21()111x x f x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若0a b c <<<，满足()()()f a f b f c ==，则()a b f c ++的取值范围是212.（A 组题）已知函数1()2x f x e x -=+-，22()22g x x ax a a =-+-+，若存在实数1x 、2x ，使得12()()0f x g x ==，且12||1x x -≤，则实数a 的取值范围是11.（B 组题）已知2()2||2f x x x =-+，若a b c d <<<，满足()()()()f a f b f c f d ===，则a b c d +++的值等于12.（B 组题）已知()lg f x x =，则实数(())y f f x =的零点0x 等于二. 选择题13. 已知幂函数的图像经过点(9,3)，则此函数是（ ）A . 奇函数B . 偶函数C . 既是奇函数又是偶函数D . 非奇非偶函数14. 对于实数a ，1:01a a α->+，:β关于x 的方程210x ax -+=有实数根，则α是β成 立的（ ）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件15. 已知函数()y f x =，记{(,)|()}A x y y f x ==，{(,)|0,}B x y x y ==∈R ，则A B I 的元素个数（ ） A . 至多一个元素 B . 至少一个元素 C . 一个元素 D . 没有元素16.（A 组题）已知()(31)12f m m a m =-+-，当[0,1]m ∈时，()1f m ≤恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A . 01a ≤≤B . 01a <<C . 0a ≤或1a ≥D . 0a <或1a >316.（B 组题）函数()(32)1f x a x a =-+-在[2,3]-上的最大值是(2)f -，则实数a 的取值范围是（ ）A . 23a ≥B . 23a >C . 23a ≤D . 23a < 三. 解答题17. 已知2{|2220,}x x A x x =--≤∈R ，{|lg(||1)0,}B x x x =-<∈R ，求A B I ，A B U .18. 已知函数()1010x x f x -=-.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并说明理由.19. 矩形ABCD 的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”.（1）当矩形ABCD 是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；（2）就矩形ABCD 的一边长x 的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？20. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时有2()4f x x x =-.（1）写出函数()f x 的单调区间（不要证明）；4（2）（A 组题）解不等式()3f x ≥；（3）（A 组题）求函数()f x 在[,]m m -上的最大值和最小值.（2）（B 组题）求函数()f x 的解析式；（3）（B 组题）解不等式()3f x ≥.21. 已知()f x 是定义在R 上且满足(2)()f x f x +=函数.（1）如果02x ≤<时，有()f x x =，求(3)f 的值；（2）（A 组题）如果02x ≤≤时，有2()(1)f x x =-，若20a -≤≤，求()f a 的取值范围；（3）（A 组题）如果()()g x x f x =+在[0,2]上的值域为[5,8]，求()g x 在[2,4]-的值域.（2）（B 组题）如果02x ≤≤时，有2()(1)f x x =-，若20a -≤≤且()0f a =，求a ；（3）（B 组题）如果02x ≤≤时，有2()(1)f x x =-，若24a -≤≤，求()f a 的取值范围.参考答案5一. 填空题1. [2,)+∞2. (1,)-+∞3. 1()(0)f x x x -=≥ 4. [9,0]-5. 1a >-6. 21-7. 38. 322-9. 1610. 1a > 11.（A 组题）(1,2)（B 组题）0 12. （A 组题）2a =（B 组题）10二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. （A 组题）A （B 组题）C三. 解答题17. (2,1)A B =--I ，(2,1)[1,)A B =--+∞U U .18.（1）奇函数；（2）偶函数.19.（1）[8,10]C ∈；（2）当(0,521)(521,)x ∈-+∞U 不是美观矩形；当[521,521]x ∈+是美观矩形.20.（1）单调递增区间(,2]-∞-和[2,)+∞，单调递减区间(2,2)-；（2）（A 组题）[3,1][27,)x ∈--++∞U ；（B 组题）2240()40x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（3）（A 组题）(0,2]m ∈，2max ()4f x m m =-+，2min ()4f x m m =-；(2,4]m ∈，max ()4f x =，min ()4f x =-；(4,)m ∈+∞，2max ()4f x m m =-，2min ()4f x m m =-+.6（B 组题）[3,1][27,)x ∈--++∞U .21.（1）(3)1f =；（2）（A 组题）()[0,1]f a =.（B 组题）1a =-；（3）（A 组题）()[3,10]g x ∈.（B 组题）()[0,1]f a ∈.。
2018-2019年上海市虹口区高一上期末数学试卷
2018-2019年上海市虹口区高一上期末一. 填空题1. 函数的定义域是()f x =2. 函数（）的值域是()21x f x =-x ∈R 3. 函数（），则2()f x x =0x ≥1()f x -=4. 已知，，则的取值范围为12a ≤≤36b ≤≤32a b -5. 函数，如果，则实数的范围是3()2f x x x =+(1)()0f f a +>a 6. 设函数，若，则实数 2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨<⎩01()2f x =0x =7. 函数，则此函数的最小值为()|1||2|f x x x =++-8. 直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为9. 已知函数（且），若，则()log a f x x =0a >1a ≠123()8f x x x ⋅⋅=222123()f x x x ++=10. 若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围为x ∈R 220ax x a ++≤a 11.（A 组题）已知，若，满足，则||21()111x x f x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩0a b c <<<()()()f a f b f c ==的取值范围是()a b f c ++12.（A 组题）已知函数，，若存在实数、，使得1()2x f x e x -=+-22()22g x x ax a a =-+-+1x 2x ，且，则实数的取值范围是12()()0f x g x ==12||1x x -≤a 11.（B 组题）已知，若，满足，则2()2||2f x x x =-+a b c d <<<()()()()f a f b f c f d ===a b c d +++的值等于12.（B 组题）已知，则实数的零点等于()lg f x x =(())y f f x =0x 二. 选择题13. 已知幂函数的图像经过点，则此函数是（）(9,3)A . 奇函数 B . 偶函数 C . 既是奇函数又是偶函数D . 非奇非偶函数14. 对于实数，，关于的方程有实数根，则是成a 1:01a a α->+:βx 210x ax -+=αβ立的（ ）A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件15. 已知函数，记，，则的元素个数()y f x ={(,)|()}A x y y f x =={(,)|0,}B x y x y ==∈R A B （ ）A . 至多一个元素B . 至少一个元素C . 一个元素D . 没有元素16.（A 组题）已知，当时，恒成立，则实数()(31)12f m m a m =-+-[0,1]m ∈()1f m ≤a 的取值范围是（）A . B . C . 或 D . 或01a ≤≤01a <<0a ≤1a ≥0a <1a >16.（B 组题）函数在上的最大值是，则实数的取值范围是()(32)1f x a x a =-+-[2,3]-(2)f -a （ ）A .B .C .D . 23a ≥23a >23a ≤23a <三. 解答题17. 已知，，求，.2{|2220,}x x A x x =--≤∈R {|lg(||1)0,}B x x x =-<∈R A B A B 18. 已知函数.()1010x x f x -=-（1）判断的奇偶性，并说明理由；()f x （2）判断在上的单调性，并说明理由.()f x R 19. 矩形的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”.ABCD （1）当矩形是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；ABCD （2）就矩形的一边长的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？ABCD x20. 已知是定义在上的奇函数，且时有.()f x R 0x ≥2()4f x x x =-（1）写出函数的单调区间（不要证明）；()f x （2）（A 组题）解不等式；()3f x ≥（3）（A 组题）求函数在上的最大值和最小值.()f x [,]m m -（2）（B 组题）求函数的解析式；()f x （3）（B 组题）解不等式.()3f x ≥21. 已知是定义在上且满足函数.()f x R (2)()f x f x +=（1）如果时，有，求的值；02x ≤<()f x x =(3)f （2）（A 组题）如果时，有，若，求的取值范围；02x ≤≤2()(1)f x x =-20a -≤≤()f a （3）（A 组题）如果在上的值域为，求在的值域.()()g x x f x =+[0,2][5,8]()g x [2,4]-（2）（B 组题）如果时，有，若且，求；02x ≤≤2()(1)f x x =-20a -≤≤()0f a =a （3）（B 组题）如果时，有，若，求的取值范围.02x ≤≤2()(1)f x x =-24a -≤≤()f a 参考答案一. 填空题1.2. 3. 4. [2,)+∞(1,)-+∞1()0)f x x -=≥[9,0]-5.6. 7. 3 8. 9. 16 1a >-1-3-10. 11.（A 组题）（B 组题）0 12. （A 组题）（B 组题）101a >(1,2)2a =二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. （A 组题）A （B 组题）C三. 解答题17. ，.(2,1)A B =-- (2,1)[1,)A B =--+∞ 18.（1）奇函数；（2）偶函数.19.（1）；（2）当不是美观矩形；[8,10]C ∈(0,5(5)x ∈+∞当是美观矩形.[5x ∈20.（1）单调递增区间和，单调递减区间；(,2]-∞-[2,)+∞(2,2)-（2）（A 组题）；（B 组题）；[3,1][2)x ∈--++∞ 2240()40x x x f x x xx ⎧-≥=⎨--<⎩（3）（A 组题），，；(0,2]m ∈2max ()4f x m m =-+2min ()4f x m m =-，，；(2,4]m ∈max ()4f x =min ()4f x =-，，.(4,)m ∈+∞2max ()4f x m m =-2min ()4f x m m =-+（B 组题）.[3,1][2)x ∈--++∞ 21.（1）；（2）（A 组题）.（B 组题）；(3)1f =()[0,1]f a =1a =-（3）（A 组题）.（B 组题）.()[3,10]g x ∈()[0,1]f a ∈。
虹口区2019学年第一学期期末数学试卷含答案
虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2020.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．如果1cos =2α ，那么锐角α的度数为 A ．30°； B ．45°； C ．60°；D ．90°． 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果BC =2，tan B =2，那么AC 长为 A ．1；B ．4； CD．． 3．抛物线23(1)+1y x =+的顶点所在象限是 A ．第一象限； B ．第二象限；C ．第三象限；D . 第四象限．4．已知抛物线2y x =经过1(2,)A y - 、2(1,)B y 两点，在下列关系式中，正确的是 A ．120y y >>； B ．210y y >>；C ．120y y >>；D ．210y y >>．5．已知b a 、和c都是非零向量，在下列选项中，不能．．判定a ∥b 的是A ．=a b ；B ．a ∥c ，b ∥c ；C ．+0a b =；D ．+2a b c =，3a b c -=．6．如图1，点D 是△ABC 的边BC 上一点，∠BAD=∠C ，AC =2AD ，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为 A ．；B ．；C ．7.5；D ．5．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．如果:2:3a b =，且+10a b =，那么a 的值为 ▲ ．8．如果向量a r 、b r 、x r 满足关系式23(+)0b a x -=r r r r，那么用向量a r 、b r 表示向量x r = ▲ ．9．如果抛物线1)1(2+-=x a y 的开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ．10．沿着x 轴正方向看，抛物线2(1)y x =--在对称轴 ▲ 侧的部分是下降的（填“左”或“右”）．C AAB图111．如果函数21)2mmy m x -=++（是二次函数，那么m 的值为 ▲ ．12．如图2，抛物线的对称轴为直线 1x =，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点Q 的右侧，如果点P 的坐标为 （4，0），那么点Q 的坐标为 ▲ ．13．如图3，点A （2，m ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α ，如果tan 3=2α，那么m 的值为 ▲ ．14．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，AC =12，A 1C 1=8，△ABC的高AD 为6，那么△A 1B 1C 1的高A 1D 1长为 ▲ ．15．如图4，在梯形AEFB 中，AB ∥EF ，AB =6，EF =10，点C 、D 分别在边AE 、BF 上且CD ∥AB ，如果AC=3CE ，那么CD 长为 ▲ ．16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如图5），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为512，那么大正方形的面积是 ▲ ．17．如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，BC =2，点D 为边AB 上一动点，正方形 DEFG的顶点E 、F 都在边BC 上，联结BG ，tan ∠DGB 的值为 ▲ ． 18．如图7，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，sin C =45，AB=9，AD =6，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将△BEF 沿着EF 翻折，使BF 的对应线段B ’F 经过顶点A ，B’F 交对角线BD 于点P ，当B’F ⊥AB 时，AP 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：24sin 30tan 60cot 30tan 45︒-︒︒-︒．图6 D A BC G B C AD 图4EFA C图7ABD图5 θ图1020．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线C 1：22y x x =-向左平移2个单位，向下平移3 个单位得到新抛物线C 2．（1）求新抛物线C 2的表达式；（2）如图8，将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O’A’B’，点A （0，5）的对应点A’ 落在平 移后的新抛物线C 2上，求点B 与其对应点B’的距离．21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图9，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点G 是Rt △ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G 作GE ⊥BC 交边BC 于点E ．（1）如果AC a =，AB b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AB=12时，求GE 的长．22．（本题满分10分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB （假定树干AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7° （即∠BAB ’ =7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处（如图10所示），测得∠CDA 为37°，AD 为5米，求这棵大树AB 的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin370.6︒≈ ，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）图8 图9 A B E C G D23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图11，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是边BC 的中点，联结AD ，过点C 作 CE ⊥AD 于点E ，联结BE ．（1）求证：2BD DE AD =⋅；（2）如果∠ABC =∠DCE ，求证：BD CE BE DE ⋅=⋅．24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）如图12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0）、B两点，与y 轴交于点C （0，3），点P 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为 （1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标； （2） 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”． ①点D 在射线AP 上，如果∠DAB 为△ABD 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE ⊥EF ，如果∠CEF 为△ECF 的特征角，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，sin ∠ABC =35，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE ⊥AD 分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ．过点A 作AG ∥BD ，交直线BE 于点G ．（1）当点D 在BC 的延长线上时（如图13），如果CD =2，求tan ∠FBC ； （2）当点D 在BC 的延长线上时（如图13），设AG x =，ADF S y =，求y 关于x 的函数 关系式（不写函数的定义域）；（3）如果AG =8，求DE 的长．D 图11 AE C BEA F G A虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷评分参考建议2020.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4 8．b a32+- 9．a ＞1 10．右 11．212．(－2,0) 13．3 14．4 15．9 16．169 17．31 18．247三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=()2313214--⨯…………………………………………………………（8分） =3132-- =23-………………………………………………………………………（2分）20．解：（1）x x y 22-==()112--x ……………………………………………………（3分）∵抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，∴新的抛物线C 2的表达式为：()412-+=x y ………………………………（3分） （2）∵将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ’A ’B ’∴设A ’（x ，5）…………………………………………………………………（1分） ∵点A 的对应点A ’落在C 2上∴()4152-+=x ………………………………………………………………（1分）解得12x = ，24x =-…………………………………………………………（1分） x =2不合题意，舍去∴点B 与其对应点B’的距离为4 ………………………………………………（1分）21．解：（1）∵点G 是Rt △ABC 的重心∴点D 为AC 的中点…………………………………………………………（1分）∴1122AD AC a ==……………………………………………………………（1分） ∴12BD BA AD b a =+=-+……………………………………………………（2分）∵点G 是Rt △ABC 的重心 ∴23BG BD =…………………………………（1分）∵BG 与BD 同向∴221333BG BD b a ==-+………………………………………………………（1分）（2）在Rt △ABC 中，点D 为AC 的中点∴CD=DB ∴∠C =∠DBC ∵GE ⊥BC ∠ABC=90° ∴∠ABC=∠GEB =90°∴△GEB ∽△ABC …………………………………………………………………（1分） ∴GE BG AB AC= ………………………………………………………………………（1分） ∵23BG BD = 12B D A C= ∴13BG AC =……………………………………（1分） ∴1123GE = ∴GE =4 ……………………………………………………………………………（1分）22．解：过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E …………………………………………………（1分）在Rt △ADE 中，cos 50.84DE AD CDA =⋅∠=⨯= ……………………………（2分） sin 50.63AE AD CDA =⋅∠=⨯=…………………………………（1分）在Rt △ADE 中，∠DAE +∠ADC =90° ∴∠DAE =90°-37°=53°∴∠CAE =90°-7°-53°=30°………………………………………………………（1分）在Rt △ACE 中，tan 3CE AE CAE =⋅∠==………………………………（2分）2A C C E ==1分）由题得''4AB AB AC B C AC CD AC CE DE ==+=+=++= …………（1分）答：这棵大树AB 原来的高度是（4）米． ……………………………………（1分）23．证明：（1）∵CE ⊥AD ，∠ACB =90°∴∠ACB =∠CED =90°∵∠EDC =∠CDA∴△EDC ∽△CDA …………………………………………………………………（3分） ∴DE CDCD AD= ∴CD 2=DE ·AD ………………………………………………………………………（2分）∵点D 是边BC 的中点 ∴CD =BD∴BD 2=DE ·AD ………………………………………………………………………（1分） （2）由（1）得DE BDBD AD=且∠EDB =∠BDA∴△BDE ∽△ADB ……………………………………………………………………（2分） ∴∠ABC =∠BED ……………………………………………………………………（1分） ∵∠ABC =∠DCE ， ∴∠BED =∠DCE ∵∠EBD =∠CBE∴△EBD ∽△CBE ……………………………………………………………………（2分） ∴BD ED BE CE = 即BD CE BE DE ⋅=⋅………………………………………………（1分）24．解：（1） ∵c bx x y ++-=2过A (－1， 0)，C (0，3)∴0=1;3.b c c --+⎧⎨=⎩ 解得：=2;3.b c ⎧⎨=⎩……………………………………………（2分）∴322++-=x x y ………………………………………………………………（1分）对称轴为直线x =1∵点P 在对称轴上，且纵坐标为32，∴点P 的坐标为（1，32）……………………………………………………（1分）（2）设直线x=1交x 轴于点Q∵A (－1，0)，P （1，32）∴AQ =2 PQ =32 ∴tan PAQ ∠=∴∠P AQ =60° 即∠DAB=60°……………………………………………………（1分） ∵点D 在射线AP 上，且∠DAB 为△ABD 的特征角，∴∠ABD =30°或∠ADB =30°，…………………………………………………（1分）∴点D 的坐标为（0，3）或（3，）…………………………………（2分） （3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，过点C 作CH ⊥GE 的延长线于点H .∵CE ⊥EF 且∠CEF 为△ECF 的特征角， ∴∠ECF =∠CFE =45°……………………………………………………………（1分） ∴CE =EF在Rt △CHE 中，∠HCE+∠CEH =90° ∵∠CEH +∠FEG =90°∴∠HCE =∠FEG ∵∠H =∠EGF =90°∴△CHE ≌△EGF∴CH =EG …………………………………………………………………………（1分） ∵点E 为第一象限内抛物线上一点 ∴设E （a ，223a a -++）∴223a a a =-++ ……………………………………………………………（1分）解得12a ±=（舍负）∴E ………………………………………………………………（1分）25. （1）在Rt △BED 中，∠EDB+∠EBD =90°同理∠ADC+∠DAC =90°∴∠DAC =∠EBD 即∠DAC =∠FBC ，…………………………………………（1分）由sin ∠ABC =35可得tan ∠ABC =34在Rt △ABC 中，AC =tan 3BC ABC ⋅∠=………………………………………（1分） 又∵CD =2在Rt △ACD 中，2tan 3DC DAC AC ∠== ∴2tan tan 3FBC DAC ∠=∠=………………………………………………（2分） （2）∵AG ∥BD ∴AG AFCB FC=∴43x AF AF =- ∴ 3=4x AF x + ………………………………………（2分） ∴12=4FC x + ……………………………………………………………………（1分）∵tan tan FBC DAC ∠=∠ ∴FC DCBC AC=∴AC DC BC FC= ∴tan tan ABC DFC ∠=∠ ∴ABC DFC ∠=∠ ……………………………………………………………（1分）由sin ∠ABC =35可得tan ∠ABC =34∴331294444DC FC x x ==⋅=++ …………………………………………（1分） ∴441239x x x y ⋅+⋅+=即22721632xx y x ++= …………………………………………………………（1分）（3）①当点D 在BC 的延长线上时，∵AG ∥CB ，∴AG AF CB FC =，834FCFC-= ∴FC =1， ∴3tan 4CD FC DFC =⋅∠= ∴319444DB =+=，∴19sin4DE BD EBD =⋅∠==2分） ②当点D 在边BC 上时，∵AG ∥CB ， ∴BC FC AG FA = ∴483FC FC=+， ∴FC =3 ∴9tan 4CD FC DFC =⋅∠=,∴47494=-=DB ，sin 732=14520BD EBD DE ⨯=⋅∠=……………………（2分）综上，2021 DE .。
【名师推荐】上海市虹口区2019届高一第一学期期末考试数学试题
2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）函数()f x =的定义域为 ．2．（3分）函数()21()x f x x R =-∈的值域是 ． 3．（3分）函数2()(0)f x x x =≥，则1()f x -＝ ． 4．（3分）已知1≤a ≤2，3≤b ≤6，则3a ﹣2b 的取值范围为 ．5．（3分）函数3()2f x x x =+，如果(1)()0f f a +>，则实数a 的范围是 ．6．（3分）已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a ＝ ．7．（3分）函数()12f x x x =++-，则此函数的最小值为 ．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为 ．9．（3分）已知函数()log a f x x =（a ＞0且a ≠1），若123()8f x x x =，则222123()()()f x f x f x += ． 10．（3分）若命题“存在x ∈R ，使得220ax x a ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．11．（3分）（A 组题）已知2,1()1 1.1x x f x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ++，则()a b f c ++的取值范围是 ．12．（3分）（A 组题）已知函数1()2x f x e x -=+-，22()22g x x ax a a =-+-+，若存在实数1x ，2x ，使得12()()0f x g x ==，且121x x -≤，则实数a 的取值范围是 ．13．（B 组题）已知2()22f x x x =-+，若a ＜b ＜c ＜d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，则a +b +c +d 的值等于 ．14．（B 组题）已知()lg f x x =，则实数(())y f f x =的零点0x 等于 ． 二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数16．（3分）对于实数a ，α：101a a ->+，β：关于x 的方程210x ax -+=有实数根，则α是β成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件17．（3分）已知函数()y f x =，记{}(,)|()A x y y f x ==，{}(,)|0,B x y x y R ==∈，则A B 的元素个数（ ） A ．至多一个元素 B ．至少一个元素C ．一个元素D ．没有元素18．（3分）（A 组题）已知()(31)12f m m a m =-+-，当m ∈[0，1]时，()1f m ≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0≤a ≤1B ．0＜a ＜1C ．a ≤0或a ≥1D ．a ＜0或a ＞119．（B 组题）函数()(32)1f x a x a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是(2)f -，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23a ≥B ．23a >C ．23a ≤D ．23a <三、解答题20．已知{}2|2220,x xA x x R =--≤∈，{}|lg(1)0,B x x x R =-<∈，求AB ，A B ．21．已知函数()1010x x f x -=-． （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）判断()f x 在R 上的单调性，并说明理由．22．矩形ABCD 的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”． （1）当矩形ABCD 是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围； （2）就矩形ABCD 的一边长x 的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？ 23．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-． （1）写出函数()f x 的单调区间（不要证明）； （2）（A 组题）解不等式()3f x ≥；（3）（A 组题）求函数()f x 在[﹣m ，m ]上的最大值和最小值． （2）（B 组题）求函数()f x 的解析式；（3）（B 组题）解不等式()3f x ≥．24．已知()f x 是定义在R 上且满足(2)()f x f x +=的函数． （1）如果0≤x ＜2时，有()f x x =，求(3)f 的值；（2）（A 组题）如果0≤x ≤2时，有2()(1)f x f x =-，若﹣2≤a ≤0，求()f a 的取值范围； （3）（A 组题）如果()()g x x f x =+在[0，2]上的值域为[5，8]，求()g x 在[﹣2，4]的值域． （2）（B 组题）如果0≤x ≤2时，有2()(1)f x f x =-，若﹣2≤a ≤0且()0f a =，求a 的值； （3）（B 组题）如果0≤x ≤2时，有2()(1)f x f x =-，若﹣2≤a ≤4，求()f a 的取值范围．2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解． 【解答】解：由x ﹣2≥0，得x ≥2．∴函数()f x [2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 2．【分析】根据指数函数2x y =的值域减一可得．【解答】解：因为2x y =的值域为（0，+∞），∴21x y =-的值域为（﹣1，+∞） 故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考察了函数的值域，属基础题． 3．【分析】令2()y f x x ==，由x ≥0，得出y ≥0，并在2y x =中解出x ，即可得出函数()y f x =的反函数的表达式．【解答】解：令2()y f x x ==，由于x ≥0，则y ≥0，所以x =1()0)f x x -=≥，0)x ≥．【点评】本题考查反函数解析式的求解，解决本题的关键在于灵活利用反函数的定义，属于基础题． 4．【分析】法1，根据不等式的运算性质进行判断求解即可．法2利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：方法一、∵1≤a ≤2，3≤b ≤6， ∴3≤3a ≤6，﹣12≤﹣2b ≤﹣6， 则﹣9≤3a ﹣2b ≤0，即3a ﹣2b 的取值范围为[﹣9，0] 方法2：设z ＝3a ﹣2b ， 则322z b a =-， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则平移直线322zb a =-，由图象知当直线经过点C （1，6）时， 直线的截距最大，此时z 最小， 最小z ＝3﹣2×6＝3﹣12＝﹣9， 当直线经过点A （2，3）时，直线的截距最小，此时z 最大， 最小z ＝3×2﹣2×3＝6﹣6＝0， 即3a ﹣2b 的取值范围为[﹣9，0]． 故答案为：[﹣9，0]【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．5．【分析】根据题意，分析可得()f x 为奇函数且在R 上为增函数，则原不等式可以转化为a ＞﹣1，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数3()2f x x x =+， 有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=-+-=-+=-， 则函数()f x 为奇函数，2()320f x x '=+>，则函数()f x 在R 上为增函数； 如果(1)()0f f a +>， 则()(1)(1)f a f f >-=-， 故a ＞﹣1， 故答案为：a ＞﹣1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意分析函数f （x ）的奇偶性与单调性，属于基础题．6．【分析】当a ＞0时，21log 2a =；当a ≤0时，122a=．由此能求出a 的值． 【解答】解：当a ＞0时，21log 2a =当a ≤0时，121log 22a -==， ∴a ＝﹣1．∴a ＝﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法．7．【分析】根据x a -的几何意义，得到()12f x x x =++-的几何意义，再求出函数的最小值． 【解答】解：∵x a -几何意义表示数轴上坐标为x 与坐标为a 的点的距离， ∴()12f x x x =++-表示X 轴上的点X 到点﹣1，2的距离和， ∴最小值为此两点线段上的点， 即当﹣1≤x ≤2时，()f x 最小值为3， 故答案为：3．【点评】本题考查了绝对值式子的几何意义的应用，属于基础题．8．【分析】设直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，因为L a b c =++，c =等式即可求解．【解答】解：直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，面积为s ，周长L ＝2，由于a b L +=≥a ＝b 时取等号）∴21122S ab =≤221(22)3[]3224L L --===-故答案为：3-【点评】利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键． 9．【分析】表示出123()8f x x x =，再表示出122123()()()f x f x f x +，根据对数运算法则化简即可【解答】解：∵()log a f x x =且123()8f x x x = ∴123log ()8a x x x =又222222123123()()()log ()log ()log ()a a a f x f x f x x x x +=++1231231232[log ()log ()log ()]2[log ()]2log ()2816a a a a a x x x x x x x x x =++===⨯=故答案为：16【点评】本题考查对数运算，要求能熟练应用对数运算法则．属简单题10．【分析】命题“0x R ∃∈，使得220x x a ++≤”是假命题，则命题“x R ∀∈，使得220x x a ++>”是真命题，可得：△＜0，解出a 的范围．【解答】解：命题“0x R ∃∈，使得220x x a ++≤”是假命题， 则命题“x R ∀∈，使得220x x a ++>”是真命题， ∴440a ∆=-<，解得a ＞1． 实数a 的取值范围是：（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．【分析】画出函数()f x 的图象，如图所示，结合图象，即可求出．【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图所示， 若a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ++， ∴0a b += ，1()2f c <<， ∴()a b f c ++的范围为（1，2）， 故答案为：（1，2）【点评】本题考查了分段函数的图象和性质，考查了函数的值域，属于中档题． 12．【分析】求出1()10x f x e -'=+>，()f x 在R 上递增，由(1)0f =，得1x ＝1，从而2()0g x =且211x -≤，进而22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解，由此能求出a 的范围． 【解答】解：函数1()2x f x e x -=+-的导数为1()10x f x e -'=+>，()f x 在R 上递增，由(1)0f =，可得1()0f x =，解得1x ＝1，存在实数1x ，2x ，使得12()()0f x g x ==．且121x x -≤， 即为2()0g x =且211x -≤，即22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解， 即22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解， ∴2244(2)0a a a ∆=--+≥， 解得a ≥2．故a 的范围为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，进而分析可得直线y ＝m 与函数()f x 最多只有4个交点；据此分析可得a +d ＝b +c ＝0，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，2()22f x x x =-+，则2()22()f x x x f x -=-+=，即函数()f x 为偶函数， 22222,0()2222,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=⎨++<⎪⎩，则直线y ＝m 与函数()f x 最多只有4个交点；若a ＜b ＜c ＜d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，则有a +d ＝b +c ＝0， 故a +b +c +d ＝0； 故答案为：0【点评】本题考查函数的奇偶性的判定以及应用，注意分析f （x ）的奇偶性． 14．（B 组题）已知()lg f x x =，则实数(())y f f x =的零点0x 等于 10 ．【分析】根据题意，由函数的解析式可得(())lg(lg )f f x x =，令00(())lg(lg )0f f x x ==，解可得0x 的值，由零点的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，()lg f x x =，则(())lg(lg )f f x x =， 若00(())lg(lg )0f f x x ==，即lgx 0＝1，解可得0x ＝10， 即函数(())y f f x =的零点0x 等于10； 故答案为：10．【点评】本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题． 二、选择题 15．【分析】由幂函数a y x = 的图象经过点（9，3），求出12a = ，由此能求出此函数是12y x = ，是非奇非偶函数．【解答】解：∵幂函数y ＝x a的图象经过点（9，3），∴93a = ， 解得12a =， ∴此函数是12y x =，是非奇非偶函数． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．【分析】求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：α：101a a ->+得a ＞1或a ＜﹣1， β：关于x 的方程210x ax -+=有实数根， 则判别式240a ∆=-≥，得a ≥2或a ≤﹣2， ∵{}{}|22|11a a a a a a ≥≤-><-或或Ö， ∴α是β成立的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键． 17．【分析】根据函数的定义，在定义域内有且只有一个函数值与它对应，()y f x =定义域是F ，当F 包括x ＝0，则x ＝0时候，有且只有一个函数值，所以函数图象与x ＝0只有一个交点，也就是两个集合的交集元素个数只有1个，则答案可求．【解答】解：设函数()y f x =定义域是F ， 当0F ∈，A B 中所含元素的个数为1．∴AB 中所含元素的个数是1．故选：A ．【点评】本题考查交集及其运算，解答此题的关键是对题意的理解，是基础题． 18．【分析】利用一次函数的最值求解即可．【解答】解：()(31)12(32)1f m m a m a m a =-+-=--+①3a ﹣2＝0，即23a =时，1()13f m =<，符合题意； ②3a ﹣2＞0，即23a >时，max ()(1)21f m f a ==-∵2a ﹣1≤1，∴a ≤1，∴213a <≤；③3a ﹣2＜0，即23a <时，max ()(0)1f m f a ==-+∵﹣a +1≤1，∴a ≥0，∴203a ≤<；综上可知：实数a 的取值范围是[0，1]； 故选：A ．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论思想的应用，一次函数闭区间的最值以及单调性的应用． 19．【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a 的范围【解答】解：函数()(32)1f x a x a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是(2)f -， 则函数f （x ）在[﹣2，3]上为减函数， 则3a ﹣2＜0，解得23a <， 故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系，考查了转化与化归思想，属于基础题 三、解答题20．【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出AB ，A B ．【解答】解：{}{}2|2220,|1x xA x x R x x =--≤∈=≤，{}{}|lg(1)0,|2112B x x x R x x x =-<∈=-<<-<<或，∴{}|21AB x x =-<<-，{}|2A B x x =<．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 21．【分析】（1）容易求出()()f x f x -=-，从而判断出()f x 是奇函数；（2）可以看出函数10x y =和10x y -=-在R 上都是增函数，从而得出()f x 在R 上的单调性．【解答】解：（1）()1010(1010)()x x x x f x f x ---=---=-；∴()f x 为奇函数；（2）∵10x y =和10x y -=-x 在R 上都是增函数；∴()1010x x f x -=-在R 上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断，指数函数的单调性，以及增函数的定义．22．【分析】（1）根据基本不等式和定义即可得出周长的范围；（2）令周长不大于10，列不等式求出x 的范围，得出结论．【解答】解：（1）设AB ＝x ，则4BC x=，故而矩形ABCD 的周长为 442()2()228AB BC x x x x+=+≥=， 当且仅当4x x=即x ＝2时取等号． 又矩形ABCD 是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．∴当矩形ABCD 是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．（2）设矩形ABCD 的周长为f （x ），则4()2()(0)f x x x x==>， 令f （x ）≤10得2540x x -+≤，解得：1≤x ≤4，∴当x ∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x ∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．23．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得()f x 的单调区间； （2）（A 组题），根据题意，由函数的奇偶性可得函数()f x 的解析式，则有243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得不等式的解集，即可得答案； （3）（A 组题）由函数的解析式可得在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对m 的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案；（2）（B 组题）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式可得()f x -的表达式，由函数的奇偶性可得()f x 在x ＜0时的解析式，综合即可得答案；（3）（B 组题）根据题意，由函数的奇偶性可得函数()f x 的解析式，则有243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得不等式的解集，即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-；则()f x 的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；（2）（A 组题）()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-，设x ＜0，则﹣x ＞0，则22()()4()4f x x x x x -=---=+，则2()()4f x f x x x =--=--，综合可得：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， 若243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得：﹣3≤x ≤﹣1或2x ≥则不等式()3f x ≥的解集为[﹣3，﹣1]∪[2x ≥+∞）；（3）（A 组题）由（2）的结论，224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对于区间[﹣m ，m ]，必有m ＞﹣m ，解可得m ＞0；故当0＜m ≤2时，2max ()4f x m m =-+，2min ()4f x m m =-，当2＜m ≤4时，max ()4f x =，min ()4f x =-，当m ＞4时，2max ()4f x m m =-，2min ()4f x m m =-+，（2）（B 组题）()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-，设x ＜0，则﹣x ＞0，则22()()4()4f x x x x x -=---=+，则2()()4f x f x x x =--=--，综合可得：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， （3）（B 组题）由（2）的结论，224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， 若243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得：﹣3≤x ≤﹣1或x ≥2则不等式()3f x ≥的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+∞）．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．24．【分析】根据(2)()f x f x +=的函数．可知函数()f x 是周期2的函数；依次求解各式即可．【解答】解：（1）(3)(12)(1)1f f f =+==；（2）（A 组题）若﹣2≤a ≤0，则0≤a +2≤2，∴22()(2)(21)(1)[0,1]f a f a a a =+=+-=+∈；（3）（A 组题）因为()()g x x f x =+在[0，2]上的值域为[5，8]，所以()f x 在[0，2]上的值域为[3，6]， 所以()g x 在[﹣2，4]上的值域为[1，10]；（2）（B 组题）根据（2）（A 组题）可得2()(1)0f a f a =+=，可得a ＝﹣1；（3）（B 组题）由题意，当0≤a ≤2时，2()(1)0[0,1]f a f a =-=∈；当﹣2≤a ≤0时，则0≤a +2≤2，可得2()(1)0[0,1]f a f a =+=∈，当2≤a ≤4时，则0≤a ﹣2≤2，可得2()(3)[0,1]f a f a =-∈，故得当﹣2≤a ≤4，()f a 的取值范围是[0，1]．【点评】本题考查抽象函数的问题，值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题．。
2019年上海市虹口区高一上册期末数学试卷(有答案)-精编.doc
上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={|2=2}，则A∩B=．2．（3分）不等式|﹣3|≤1的解集是．3．（3分）不等式＞4的解集是．4．（3分）已知函数f（）=3+a的反函数y=f﹣1（），若函数y=f﹣1（）的图象经过（4，1），则实数a的值为．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是．6．（3分）已知条件p：2﹣1≤≤﹣3，条件q：﹣1＜≤3，且p是q的必要条件，则实数的取值范围是．7．（3分）已知函数y=f（）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式f（）＜0的解集是．8．（3分）函数f（）=|2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．9．（3分）已知函数f（）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为．10．（3分）设f（）=log2（2+||）﹣，则使得f（﹣1）＞f（2）成立的取值范围是．11．已知函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称，令h（）=g（1﹣2），则关于函数y=h（）的下列4个结论：①函数y=h（）的图象关于原点对称；②函数y=h（）为偶函数；③函数y=h（）的最小值为0；④函数y=h（）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为．（将你认为正确结论的序号都填上）二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）12．（4分）设全集U=，集合A={|1≤＜7，∈}，B={=2﹣1，∈}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3，4，5，6}B．{1，3，5}C．{2，4，6}D．∅13．（4分）设∈R，则“＜﹣2”是“2+≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=||B．y=（）C．y= D．y=﹣315．（4分）设，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b y=3，a+b=6，则+的最大值为（）A．B．C．1 D．216．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（）=．若0∈M且f（f （0））∈M，则0的取值范围为（）A．（0，] B．[0，]C．（，]D．（，）17．设f（）=5||﹣，则使得f（2+1）＞f（）成立的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={|2+p+1=0}，B={|2+q+r=0}，且A∩B={1}，（∁U A）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．19．（10分）（1）解不等式：3≤2﹣2＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（）=log2|||﹣1|．（1）作出函数f（）的大致图象；（2）指出函数f（）的奇偶性、单调区间及零点．21．已知f（）=||（2﹣）（1）作出函数f（）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=，将矩形ABCD的面积y表示成的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．23．（10分）已知函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称．（1）若f（g（））=6﹣2，求实数的值；（2）若函数y=g（f（2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n 的值；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（）]2﹣2af（）+3的最小值h（a）．24．已知函数f（）=b+log a（＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（）的解析式；（2）[f（）]2=3f（），求实数的值；（3）令y=g（）=2f（+1）﹣f（），求y=g（）的最小值及其最小值时的值．四、附加题25．设函数φ（）=a2﹣a（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（）≤t2﹣2mt+2对所有的∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={|2=2}，则A∩B={0，2} ．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={|2=2}={0，2}，∴A∩B={0，2}．故答案为：{0，2}．2．（3分）不等式|﹣3|≤1的解集是[2，4] ．【解答】解：∵|﹣3|≤1，∴﹣1≤﹣3≤1，解得：2≤≤4，故答案为：[2，4]．3．（3分）不等式＞4的解集是（2，12）．【解答】解：∵＞4，∴＞0，即＜0，解得：2＜＜12，故答案为：（2，12）．4．（3分）已知函数f（）=3+a的反函数y=f﹣1（），若函数y=f﹣1（）的图象经过（4，1），则实数a的值为1．【解答】解：f（）=3+a的反函数y=f﹣1（），∵函数y=f﹣1（）的图象经过（4，1），原函数与反函数的图象关于y=对称∴f（）=3+a的图象经过（1，4），即3+a=4，解得：a=1．故答案为：1．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”．【解答】解：命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是“若实数a，b 满足a=4且b=3，则a+b=7”，故答案为：若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”6．（3分）已知条件p：2﹣1≤≤﹣3，条件q：﹣1＜≤3，且p是q的必要条件，则实数的取值范围是≤﹣1．【解答】解：∵p：2﹣1≤≤﹣3，条件q：﹣1＜≤3，且p是q的必要条件，∴（﹣1，3]⊆[2﹣1，﹣3]，∴，解得：≤﹣1，故答案为：≤﹣1．7．（3分）已知函数y=f（）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式f（）＜0的解集是（﹣2，0）∪（0，2）．【解答】解：函数y=f（）是R上的奇函数，在区间（0，+∞）单调递增∴函数y=f（）在R上单调递增，且f（0）=0∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0．∴当＜﹣2时，f（）＜0，当﹣2＜＜0时，f（）＞0，当0＜＜2时，f（）＜0，当＞2时，f（）＞0，那么：f（）＜0，即或，∴得：﹣2＜＜0或0＜＜2．故答案为（﹣2，0）∪（0，2）．8．（3分）函数f（）=|2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为a=0或a＞4．【解答】解：函数g（）=|2﹣4|的图象如图所示，∵函数f（）=|2﹣4|﹣a恰有两个零点，∴a=0或a＞4．故答案为：a=0或a＞4．9．（3分）已知函数f（）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为﹣，，16．【解答】解：由f（）=，f（f（a））=2，当log2a≤0时，即0＜a≤1时，（log2a）2+1=2，即（log2a）2=1，解得a=，当log2a＞0时，即a＞1时，log2（log2a）=2，解得a=16，因为a2+1＞0，log2（a2+1）=2，即a2+1=4解得a=（舍去），或﹣，综上所述a的值为﹣，，16，故答案为：﹣，，16，10．（3分）设f（）=log2（2+||）﹣，则使得f（﹣1）＞f（2）成立的取值范围是（﹣1，）．【解答】解：函数f（）=log2（2+||）﹣，是偶函数，当≥0时，y=log2（2+），y=﹣都是增函数，所以f（）=log2（2+）﹣，≥0是增函数，f（﹣1）＞f（2），可得|﹣1|＞|2|，可得32+2﹣1＜0，解得∈（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．11．已知函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称，令h（）=g（1﹣2），则关于函数y=h（）的下列4个结论：①函数y=h（）的图象关于原点对称；②函数y=h（）为偶函数；③函数y=h（）的最小值为0；④函数y=h（）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为②③④．（将你认为正确结论的序号都填上）【解答】解：∵函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称，∴g（）=，∴h（）=g（1﹣2）=，故h（﹣）=h（），即函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，故①错误；②正确；当=0时，函数取最小值0，故③正确；当∈（0，1）时，内外函数均为减函数，故函数y=h（）在（0，1）上为增函数，故④正确；故答案为：②③④二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）12．（4分）设全集U=，集合A={|1≤＜7，∈}，B={=2﹣1，∈}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3，4，5，6}B．{1，3，5}C．{2，4，6}D．∅【解答】解：全集U=，集合A={|1≤＜7，∈}={1，2，3，4，5，6}B={=2﹣1，∈}，∴∁u B={=2，∈}，∴A∩（∁u B）={2，4，6}，故选：C．13．（4分）设∈R，则“＜﹣2”是“2+≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“2+≥0”，解得：＞0或＜﹣1，故＜﹣2”是“＞0或＜﹣1“的充分不必要条件，故选：A．14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=||B．y=（）C．y= D．y=﹣3【解答】解：对于A：y=f（）=||，则f（﹣）=|﹣|=||是偶函数．对于B：，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数．对于C：定义为（﹣∞，0）∪（0，+∞），在其定义域内不连续，承载断点，∴在（﹣∞，0）和在（0，+∞）是减函数．对于D：y=f（）=﹣3，则f（﹣）=3=﹣f（）是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数．故选D．15．（4分）设，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b y=3，a+b=6，则+的最大值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：设，y∈R，a＞1，b＞1，a=b y=3，a+b=6，∴=log a3，y=log b3，∴+=log3a+log3b=log3ab≤log3（）=2，当且仅当a=b=3时取等号，故选：D16．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（）=．若0∈M且f（f （0））∈M，则0的取值范围为（）A．（0，] B．[0，]C．（，]D．（，）【解答】解：∵0≤0＜，∴f（0））∈[，1]⊆N，∴f（f（0））=2（1﹣f（0））=2[1﹣（0+）]=2（﹣0），∵f（f（0））∈M，∴0≤2（﹣0）＜，∴＜0≤∵0≤0＜，∴＜0＜故选：D17．设f（）=5||﹣，则使得f（2+1）＞f（）成立的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）【解答】解：函数f（）=5||﹣，则f（﹣）=5|﹣|﹣=5||﹣=f（）为偶函数，∵y1=5||是增函数，y2=﹣也是增函数，故函数f（）是增函数．那么：f（2+1）＞f（）等价于：|2+1|＞||，解得：＜﹣1或使得f（2+1）＞f（）成立的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选D．三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={|2+p+1=0}，B={|2+q+r=0}，且A∩B={1}，（∁U A）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．【解答】解：集合A={|2+p+1=0}，B={|2+q+r=0}，且A∩B={1}，∴1+p+1=0，解得p=﹣2；又1+q+r=0，①（∁U A）∩B={﹣2}，∴4﹣2q+r=0，②由①②组成方程组解得q=1，r=﹣2；∴实数p=﹣2，q=1，r=﹣2．19．（10分）（1）解不等式：3≤2﹣2＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．【解答】解：（1）不等式：3≤2﹣2＜8，即：，解得：，即∈（﹣2，﹣1]∪[3，4）．（2）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2abcd﹣b2d2=a2d2+b2c2﹣2abcd=（ad﹣bc）2≥0∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（）=log2|||﹣1|．（1）作出函数f（）的大致图象；（2）指出函数f（）的奇偶性、单调区间及零点．【解答】解：函数f（）=log2|||﹣1|的定义域为：{|≠±1，∈R}．函数f（）=log2|||﹣1|=，=0时f（）=0，函数的图象如图：（2）函数是偶函数，单调增区间（﹣1，0），（1，+∞）；单调减区间为：（﹣∞，﹣1），（0，1）；零点为：0，﹣2，2．21．已知f（）=||（2﹣）（1）作出函数f（）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．【解答】解：（1）f（）=||（2﹣）=，函数的图象如图：函数的单调增区间（0，1），单调减区间（﹣∞，0），（1，+∞）．（2）函数f（）=c恰有三个不同的解，函数在=1时取得极大值：1，实数c的取值范围（0，1）．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=，将矩形ABCD的面积y表示成的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（1）AB=2OA=2=2，∴y=f（）=2，∈（0，40）．（2）y2=42（1600﹣2）≤4×=16002，即y≤1600，当且仅当=20时取等号．∴截取AD=20时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600．23．（10分）已知函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称．（1）若f（g（））=6﹣2，求实数的值；（2）若函数y=g（f（2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n 的值；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（）]2﹣2af（）+3的最小值h（a）．【解答】解：（1）∵函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称，∴g（）=，∵f（g（））=6﹣2，∴=6﹣2=，即2+﹣6=0，解得=2或=﹣3（舍去），故=2，（2）y=g（f（2））==2，∵定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，，解得m=0，n=2，（3）令t=（），∵∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，则y=[f（）]2﹣2af（）+3等价为y=m（t）=t2﹣2at+3，对称轴为t=a，当a＜时，函数的最小值为h（a）=m（）=﹣a；当≤a≤2时，函数的最小值为h（a）=m（a）=3﹣a2；当a＞2时，函数的最小值为h（a）=m（2）=7﹣4a；故h（a）=24．已知函数f（）=b+log a（＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（）的解析式；（2）[f（）]2=3f（），求实数的值；（3）令y=g（）=2f（+1）﹣f（），求y=g（）的最小值及其最小值时的值．【解答】解：（1）由已知得，b+log a8=2，b+log a1=﹣1，（a＞0且a≠1），解得a=2，b=﹣1；故f（）=log2﹣1（＞0）；（2）[f（）]2=3f（），即f（）=0或3，∴log2﹣1=0或3，∴=2或16；（3）g（）=2f（+1）﹣f（）=2[log2（+1）﹣1]﹣（log2﹣1）=log2（++2）﹣1≥1，当且仅当=，即=1时，等号成立）．于是，当=1时，g（）取得最小值1．四、附加题25．设函数φ（）=a2﹣a（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（）≤t2﹣2mt+2对所有的∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵φ（）=a2﹣a=（a﹣）2﹣（a＞0，a≠1），∈[﹣2，2]，∴当a＞1时，φma（）=φ（2）=a4﹣a2；当0＜a＜1时，φma（）=φ（﹣2）=a﹣4﹣a﹣2；∴φma（）=．（2）当a=时，φ（）=2﹣（），由（1）知，φma（）=φ（2）=（）4﹣（）2=4﹣2=2，∴φ（）≤t2﹣2mt+2对所有的∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立⇔∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φma（）=2恒成立，即∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt≥0恒成立，令g（m）=﹣2tm+t2，则，即，解得：t≥2或t≤﹣2，或t=0．∴实数m的取值范围为：（﹣∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．。
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2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）函数()f x =的定义域为 ．2．（3分）函数()21()xf x x R =-∈的值域是 ．3．（3分）函数2()(0)f x x x =≥，则1()f x -＝ ．4．（3分）已知1≤a ≤2，3≤b ≤6，则3a ﹣2b 的取值范围为 ．5．（3分）函数3()2f x x x =+，如果(1)()0f f a +>，则实数a 的范围是 ．6．（3分）已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a ＝ ．7．（3分）函数()12f x x x =++-，则此函数的最小值为 ．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为 ． 9．（3分）已知函数()log a f x x =（a ＞0且a ≠1），若123()8f x x x =，则222123()()()f x f x f x += ． 10．（3分）若命题“存在x ∈R ，使得220ax x a ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．11．（3分）（A 组题）已知2,1()1 1.1x x f x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ++，则()a b f c ++的取值范围是 ．12．（3分）（A 组题）已知函数1()2x f x e x -=+-，22()22g x x ax a a =-+-+，若存在实数1x ，2x ，使得12()()0f x g x ==，且121x x -≤，则实数a 的取值范围是 ．13．（B 组题）已知2()22f x x x =-+，若a ＜b ＜c ＜d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，则a +b +c +d 的值等于 ．14．（B 组题）已知()lg f x x =，则实数(())y f f x =的零点0x 等于 ． 二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数16．（3分）对于实数a ，α：101a a ->+，β：关于x 的方程210x ax -+=有实数根，则α是β成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件17．（3分）已知函数()y f x =，记{}(,)|()A x y y f x ==，{}(,)|0,B x y x y R ==∈，则AB 的元素个数（ ）A ．至多一个元素B ．至少一个元素C ．一个元素D ．没有元素18．（3分）（A 组题）已知()(31)12f m m a m =-+-，当m ∈[0，1]时，()1f m ≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0≤a ≤1B ．0＜a ＜1C ．a ≤0或a ≥1D ．a ＜0或a ＞119．（B 组题）函数()(32)1f x a x a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是(2)f -，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23a ≥B ．23a >C ．23a ≤D ．23a <三、解答题 20．已知{}2|2220,xx A x x R =--≤∈，{}|lg(1)0,B x x x R =-<∈，求A B ，A B ．21．已知函数()1010x xf x -=-．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）判断()f x 在R 上的单调性，并说明理由．22．矩形ABCD 的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”． （1）当矩形ABCD 是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围； （2）就矩形ABCD 的一边长x 的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？23．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-．（1）写出函数()f x 的单调区间（不要证明）； （2）（A 组题）解不等式()3f x ≥；（3）（A 组题）求函数()f x 在[﹣m ，m ]上的最大值和最小值． （2）（B 组题）求函数()f x 的解析式； （3）（B 组题）解不等式()3f x ≥．24．已知()f x 是定义在R 上且满足(2)()f x f x +=的函数． （1）如果0≤x ＜2时，有()f x x =，求(3)f 的值；（2）（A 组题）如果0≤x ≤2时，有2()(1)f x f x =-，若﹣2≤a ≤0，求()f a 的取值范围；（3）（A 组题）如果()()g x x f x =+在[0，2]上的值域为[5，8]，求()g x 在[﹣2，4]的值域．（2）（B 组题）如果0≤x ≤2时，有2()(1)f x f x =-，若﹣2≤a ≤0且()0f a =，求a的值；（3）（B 组题）如果0≤x ≤2时，有2()(1)f x f x =-，若﹣2≤a ≤4，求()f a 的取值范围．2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解． 【解答】解：由x ﹣2≥0，得x ≥2．∴函数()f x =的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 2．【分析】根据指数函数2xy =的值域减一可得．【解答】解：因为2x y =的值域为（0，+∞），∴21xy =-的值域为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考察了函数的值域，属基础题． 3．【分析】令2()y f x x ==，由x ≥0，得出y ≥0，并在2y x =中解出x ，即可得出函数()y f x =的反函数的表达式．【解答】解：令2()y f x x ==，由于x ≥0，则y ≥0，所以x =因此，1()0)f x x -=≥，0)x ≥．【点评】本题考查反函数解析式的求解，解决本题的关键在于灵活利用反函数的定义，属于基础题．4．【分析】法1，根据不等式的运算性质进行判断求解即可．法2利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：方法一、∵1≤a ≤2，3≤b ≤6， ∴3≤3a ≤6，﹣12≤﹣2b ≤﹣6， 则﹣9≤3a ﹣2b ≤0，即3a ﹣2b 的取值范围为[﹣9，0] 方法2：设z ＝3a ﹣2b ，则322z b a =-， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则平移直线322zb a =-，由图象知当直线经过点C （1，6）时， 直线的截距最大，此时z 最小， 最小z ＝3﹣2×6＝3﹣12＝﹣9，当直线经过点A （2，3）时，直线的截距最小，此时z 最大， 最小z ＝3×2﹣2×3＝6﹣6＝0， 即3a ﹣2b 的取值范围为[﹣9，0]． 故答案为：[﹣9，0]【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础． 5．【分析】根据题意，分析可得()f x 为奇函数且在R 上为增函数，则原不等式可以转化为a ＞﹣1，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数3()2f x x x =+， 有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，则函数()f x 为奇函数，2()320f x x '=+>，则函数()f x 在R 上为增函数； 如果(1)()0f f a +>， 则()(1)(1)f a f f >-=-， 故a ＞﹣1， 故答案为：a ＞﹣1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意分析函数f （x ）的奇偶性与单调性，属于基础题． 6．【分析】当a ＞0时，21log 2a =；当a ≤0时，122a=．由此能求出a 的值． 【解答】解：当a ＞0时，21log 2a =当a ≤0时，121log 22a -==， ∴a ＝﹣1．∴a ＝﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法． 7．【分析】根据x a -的几何意义，得到()12f x x x =++-的几何意义，再求出函数的最小值．【解答】解：∵x a -几何意义表示数轴上坐标为x 与坐标为a 的点的距离， ∴()12f x x x =++-表示轴上的点到点﹣1，2的距离和， ∴最小值为此两点线段上的点， 即当﹣1≤x ≤2时，()f x 最小值为3， 故答案为：3．【点评】本题考查了绝对值式子的几何意义的应用，属于基础题．8．【分析】设直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，因为L a b c =++，c 两次运用均值不等式即可求解．【解答】解：直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，面积为s ，周长L ＝2，由于a b L +=≥a ＝b 时取等号）≤∴21122S ab =≤221(22)[32L -===-故答案为：3-．【点评】利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键． 9．【分析】表示出123()8f x x x =，再表示出122123()()()f x f x f x +，根据对数运算法则化简即可【解答】解：∵()log a f x x =且123()8f x x x = ∴123log ()8a x x x =又222222123123()()()log ()log ()log ()a a a f x f x f x x x x +=++1231231232[log ()log ()log ()]2[log ()]2log ()2816a a a a a x x x x x x x x x =++===⨯=故答案为：16【点评】本题考查对数运算，要求能熟练应用对数运算法则．属简单题10．【分析】命题“0x R ∃∈，使得220x x a ++≤”是假命题，则命题“x R ∀∈，使得220x x a ++>”是真命题，可得：△＜0，解出a 的范围．【解答】解：命题“0x R ∃∈，使得220x x a ++≤”是假命题， 则命题“x R ∀∈，使得220x x a ++>”是真命题， ∴440a ∆=-<，解得a ＞1． 实数a 的取值范围是：（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．【分析】画出函数()f x 的图象，如图所示，结合图象，即可求出． 【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图所示， 若a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ++， ∴0a b += ，1()2f c <<， ∴()a b f c ++的范围为（1，2）， 故答案为：（1，2）【点评】本题考查了分段函数的图象和性质，考查了函数的值域，属于中档题． 12．【分析】求出1()10x f x e -'=+>，()f x 在R 上递增，由(1)0f =，得1x ＝1，从而2()0g x =且211x -≤，进而22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解，由此能求出a 的范围．【解答】解：函数1()2x f x e x -=+-的导数为1()10x f x e -'=+>，()f x 在R 上递增，由(1)0f =，可得1()0f x =，解得1x ＝1，存在实数1x ，2x ，使得12()()0f x g x ==．且121x x -≤， 即为2()0g x =且211x -≤，即22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解， 即22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解，∴2244(2)0a a a ∆=--+≥，解得a ≥2．故a 的范围为[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，进而分析可得直线y ＝m 与函数()f x 最多只有4个交点；据此分析可得a +d ＝b +c ＝0，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，2()22f x x x =-+，则2()22()f x x x f x -=-+=，即函数()f x 为偶函数，22222,0()2222,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=⎨++<⎪⎩，则直线y ＝m 与函数()f x 最多只有4个交点；若a ＜b ＜c ＜d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，则有a +d ＝b +c ＝0， 故a +b +c +d ＝0； 故答案为：0【点评】本题考查函数的奇偶性的判定以及应用，注意分析f （x ）的奇偶性． 14．（B 组题）已知()lg f x x =，则实数(())y f f x =的零点0x 等于 10 ．【分析】根据题意，由函数的解析式可得(())lg(lg )f f x x =，令00(())lg(lg )0f f x x ==，解可得0x 的值，由零点的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，()lg f x x =，则(())lg(lg )f f x x =， 若00(())lg(lg )0f f x x ==，即lgx 0＝1，解可得0x ＝10， 即函数(())y f f x =的零点0x 等于10； 故答案为：10．【点评】本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题． 二、选择题 15．【分析】由幂函数ay x = 的图象经过点（9，3），求出12a =，由此能求出此函数是12y x = ，是非奇非偶函数．【解答】解：∵幂函数y ＝x a 的图象经过点（9，3）， ∴93a = ， 解得12a =， ∴此函数是12y x =，是非奇非偶函数． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．【分析】求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：α：101a a ->+得a ＞1或a ＜﹣1， β：关于x 的方程210x ax -+=有实数根， 则判别式240a ∆=-≥，得a ≥2或a ≤﹣2， ∵{}{}|22|11a a a a a a ≥≤-><-或或Ö， ∴α是β成立的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键． 17．【分析】根据函数的定义，在定义域内有且只有一个函数值与它对应，()y f x =定义域是F ，当F 包括x ＝0，则x ＝0时候，有且只有一个函数值，所以函数图象与x ＝0只有一个交点，也就是两个集合的交集元素个数只有1个，则答案可求． 【解答】解：设函数()y f x =定义域是F ， 当0F ∈，A B 中所含元素的个数为1．∴AB 中所含元素的个数是1．故选：A ．【点评】本题考查交集及其运算，解答此题的关键是对题意的理解，是基础题． 18．【分析】利用一次函数的最值求解即可．【解答】解：()(31)12(32)1f m m a m a m a =-+-=--+ ①3a ﹣2＝0，即23a =时，1()13f m =<，符合题意； ②3a ﹣2＞0，即23a >时，max ()(1)21f m f a ==- ∵2a ﹣1≤1，∴a ≤1，∴213a <≤； ③3a ﹣2＜0，即23a <时，max ()(0)1f m f a ==-+ ∵﹣a +1≤1，∴a ≥0，∴203a ≤<； 综上可知：实数a 的取值范围是[0，1]； 故选：A ．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论思想的应用，一次函数闭区间的最值以及单调性的应用．19．【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a 的范围【解答】解：函数()(32)1f x a x a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是(2)f -， 则函数f （x ）在[﹣2，3]上为减函数， 则3a ﹣2＜0，解得23a <， 故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系，考查了转化与化归思想，属于基础题 三、解答题20．【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A B ，A B ．【解答】解：{}{}2|2220,|1xx A x x R x x =--≤∈=≤，{}{}|lg(1)0,|2112B x x x R x x x =-<∈=-<<-<<或，∴{}|21AB x x =-<<-，{}|2A B x x =<．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 21．【分析】（1）容易求出()()f x f x -=-，从而判断出()f x 是奇函数；（2）可以看出函数10x y =和10xy -=-在R 上都是增函数，从而得出()f x 在R 上的单调性．【解答】解：（1）()1010(1010)()x x x xf x f x ---=---=-；∴()f x 为奇函数；（2）∵10x y =和10xy -=-x 在R 上都是增函数；∴()1010x xf x -=-在R 上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断，指数函数的单调性，以及增函数的定义． 22．【分析】（1）根据基本不等式和定义即可得出周长的范围； （2）令周长不大于10，列不等式求出x 的范围，得出结论． 【解答】解：（1）设AB ＝x ，则4BC x=，故而矩形ABCD 的周长为442()2()228AB BC x x x x+=+≥=， 当且仅当4x x=即x ＝2时取等号． 又矩形ABCD 是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．∴当矩形ABCD 是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．（2）设矩形ABCD 的周长为f （x ），则4()2()(0)f x x x x==>， 令f （x ）≤10得2540x x -+≤，解得：1≤x ≤4，∴当x ∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x ∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．23．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得()f x 的单调区间；（2）（A 组题），根据题意，由函数的奇偶性可得函数()f x 的解析式，则有243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得不等式的解集，即可得答案；（3）（A 组题）由函数的解析式可得在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对m 的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案；（2）（B 组题）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式可得()f x -的表达式，由函数的奇偶性可得()f x 在x ＜0时的解析式，综合即可得答案；（3）（B 组题）根据题意，由函数的奇偶性可得函数()f x 的解析式，则有243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得不等式的解集，即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-；则()f x 的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；（2）（A 组题）()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-，设x ＜0，则﹣x ＞0，则22()()4()4f x x x x x -=---=+，则2()()4f x f x x x =--=--，综合可得：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， 若243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得：﹣3≤x ≤﹣1或2x ≥则不等式()3f x ≥的解集为[﹣3，﹣1]∪[2x ≥+（3）（A 组题）由（2）的结论，224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对于区间[﹣m ，m ]，必有m ＞﹣m ，解可得m ＞0；故当0＜m ≤2时，2max ()4f x m m =-+，2min ()4f x m m =-，当2＜m ≤4时，max ()4f x =，min ()4f x =-，当m ＞4时，2max ()4f x m m =-，2min ()4f x m m =-+，（2）（B 组题）()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-，设x ＜0，则﹣x ＞0，则22()()4()4f x x x x x -=---=+，则2()()4f x f x x x =--=--，综合可得：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， （3）（B 组题）由（2）的结论，224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， 若243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得：﹣3≤x ≤﹣1或x ≥2则不等式()3f x ≥的解集为[﹣3，﹣1]∪[2【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题． 24．【分析】根据(2)()f x f x +=的函数．可知函数()f x 是周期2的函数；依次求解各式即可．【解答】解：（1）(3)(12)(1)1f f f =+==；（2）（A 组题）若﹣2≤a ≤0，则0≤a +2≤2，∴22()(2)(21)(1)[0,1]f a f a a a =+=+-=+∈；（3）（A 组题）因为()()g x x f x =+在[0，2]上的值域为[5，8]，所以()f x 在[0，2]上的值域为[3，6]，所以()g x 在[﹣2，4]上的值域为[1，10]；（2）（B 组题）根据（2）（A 组题）可得2()(1)0f a f a =+=，可得a ＝﹣1；（3）（B 组题）由题意，当0≤a ≤2时，2()(1)0[0,1]f a f a =-=∈；当﹣2≤a ≤0时，则0≤a +2≤2，可得2()(1)0[0,1]f a f a =+=∈，当2≤a ≤4时，则0≤a ﹣2≤2，可得2()(3)[0,1]f a f a =-∈，故得当﹣2≤a ≤4，()f a 的取值范围是[0，1]．【点评】本题考查抽象函数的问题，值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题．。