18年高考真题——理科数学(全国1卷)
2018高考真题全国1卷
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ar 40 Fe 56 I 127 一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．生物膜的结构与功能存在密切的联系。
下列有关叙述错误的是A．叶绿体的类囊体膜上存在催化ATP合成的酶B．溶酶体膜破裂后释放出的酶会造成细胞结构的破坏C．细胞的核膜是双层膜结构，核孔是物质进出细胞核的通道D．线粒体DNA位于线粒体外膜上，编码参与呼吸作用的酶2．生物体内的DNA常与蛋白质结合，以DNA—蛋白质复合物的形式存在。
下列相关叙述错误的是A．真核细胞染色体和染色质中都存在DNA—蛋白质复合物B．真核细胞的核中有DNA—蛋白质复合物，而原核细胞的拟核中没有C．若复合物中的某蛋白参与DNA复制，则该蛋白可能是DNA聚合酶D．若复合物中正在进行RNA的合成，则该复合物中含有RNA聚合酶3．下列有关植物根系吸收利用营养元素的叙述，错误的是A．在酸性土壤中，小麦可吸收利用土壤中的N2和NO-3B．农田适时松土有利于农作物根细胞对矿质元素的吸收C．土壤微生物降解植物秸秆产生的无机离子可被根系吸收D．给玉米施肥过多时，会因根系水分外流引起“烧苗”现象4．已知药物X对细胞增值有促进作用，药物D可抑制药物X的作用。
某同学将同一瓶小鼠皮肤细胞平均分为甲、乙、丙三组，分别置于培养液中培养，培养过程中进行不同的处理（其中甲组未加药物），每隔一段时间测定各组细胞数，结果如图所示。
2022年成人高考数学(理科)真题试卷及答案
2022年成人高等学校招生全国统一考试数学理科试题第Ⅰ卷 选择题共85分一.选择题(本大题共17小题;每小题5分,共85分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合{}12<-=x x M ,{}2|>=x x N ,则=N M ( ).A.{}|13x x <<B.{}|2x x >C.{}|23x x <<D.{}|12x x <<2.设函数2()1f x x =-,则(1)f x +=( ).A.221x x ++B.22x x +C.12+xD.2x 3.函数2lg(43)y x x =-+的定义域为( ).A.{}|31x x -<<B.{}|31x x x <->-或C.{}|13x x <<D.{}|13x x x <>或4.下列函数中,为奇函数的是( ).A.2cos y x =B.sin y x =C.2x y -=D.1y x =+ 5.下列函数中,为减函数的是( ).A.cos y x =B.3x y =C.13log y x=D.231y x =-6.设α是第三象限角,若cos 2α=-,则sin α=( ).A.2B.12C.2-D.12- 7.函数21(0)y x x =+≤的反函数是( ).A.1)y x =≥B.1)y x =≥C.1(0)y x =≥D.1(0)y x =-≥8.过点()2,2-,与直线350x y +-=平行的直线是( ).A.340x y +-=B.340x y ++=C.380x y ++=D.380x y -+=9.已知1sin cos 5αα-=,则sin 2α=( ). A.2425- B.725- C.725 D.242510.设甲:ABC ∆∽'''A B C ∆,乙:ABC ∆≌'''A B C ∆,则( ). A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件11.已知空间向量,,i j k 为两两垂直的单位向量.向量23a i j mk =++,若a =则m =( ).A.-2B.-1C.0D.1 12.()223i -=( ).A.136i -B.1312i -C.56i --D.512i --13.中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且一个顶点为()3,0,虚轴长为8的双曲线方程为( ). A.221916y x -= B.221916x y -= C.221649y x -= D.221964x y -= 14.521()x x+的展开式中,2x 的系数为( ). A.20 B.10 C.5 D.115.已知直线:3230l x y --=,圆22:(1)(1)4C y x ++=-,则C 上到l 的距离为1的点共有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个16.袋中有6个球,其中4个红球,2个白球,从中随机取出2个球,则其中恰有一个红球的概率为( ). A.815 B.415 C.215 D.11517.给出下列两个命题:①如果一条直线与一个平面垂直,则该直线与该平面内的任何一条直线垂直②以二面角棱上的任意一点为端点,在二面角的两个面内分别作射线,则这两条射线所成的角为该二面角的平面角.则( )A.①②都为真命题B.①为真命题,②为假命题B.①为假命题,②为真命题 D.①②都为假命题第Ⅱ卷 非选择题共65分二.填空题(本大题共4小题;每小题4分,共16分)18.点()4,5关于直线y x =的对称点的坐标为 .19.长方体的长、宽、高分别为2,3,6,则该长方体的对角线长为 . 20.某校学生参加一次科技知识竞赛,抽取了其中8为同学的分数作为样本,数据如下:90,90,75,70,80,75,85,75则该样本的平均数为: .21.设函数()sin f x x x =,则'()f x = .三.解答题(本大题共4小题,共49分.解答应写出推理.演算步骤.)22.本小题满分12分.在ABC ∆中,120O B =,4BC =,ABC ∆的面积为求AC .23.本小题满分12分.已知,,a b c 成等差数列,,,1a b c +成等比数列,若6b =,求a 和c .24.本小题满分12分.已知直线l 的斜率为1,l 过抛物线21:2C x y =的焦点,且与C 交于,A B 两点. (1).求l 与C 的准线的交点坐标;(2).求AB .25.本小题满分13分.设函数()ln f x x x x =+.(1).求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程.(2).求()f x 的极值.2022年成人高等学校招生全国统一考试数学（理科）试题参考答案一.选择题1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．A 9．D 10．A 11．C 12．D 13．B 14．C 15．D 16．A 17．B二．填空题18．【参考答案】()5,419．【参考答案】720．【参考答案】8021．【参考答案】sin cos x x x +三．解答题共4小题,12+12+12+13分,共49分.22．【参考答案】解:ABC ∆的面积为:01sin1202AB BC ⨯⨯⨯= 所以4AB =.因此2222cos12048o AC AB BC AB BC =+-⨯⨯⨯=.所以AC =23．【参考答案】 解:由已知得12(1)36a c a c +=⎧⎨+=⎩解得48a c =⎧⎨=⎩或93a c =⎧⎨=⎩ 24．【参考答案】解:(1).C 的焦点为1(0,)8,准线为18y =-. 由题意得l 的方程为81+=x y . 因此l 与C 的准线的交点坐标为11(,)48--. (2).由2182y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得21208x x --= 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则12121113,2244x x y y +=+=+=. 因此12114AB y y =++=. 25．【参考答案】解:(1).(1)1f =,'()2ln f x x =+,故'(1)2f = 所以曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程为21y x =-.(2).令'()0f x =解得2x e -=.当20x e -<<时,'()0f x <;当2x e ->时,'()0f x >.故()f x 在区间2(0,)e -单调递减,在区间2(,)e -+∞单调递增. 因此()f x 在2x e -=处取得极小值()22e f e --=-.。
2018年高考真题理科数学(全国乙卷) 含解析
说明：非官方版正式答案，答案和解析有可能存在少量错误，仅供参考使用。
2018年新课标I 高考数学（理科）答案与解析1． {}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭． 故332AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．2． 由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi + 故选B ．3． 由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=． 故选C ．4． 如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几何概型，所求概率10101402P +==． 故选B ．5． 222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<< 故选A ．6． 原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯ 故选A ．7． ()22288 2.80f e =->->，排除A()22288 2.71f e =-<-<，排除B0x >时，()22x f x x e =-()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C故选D ．8． 对A ： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误对B ： 由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误对C ： 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b 和ln a a构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确 对D ： 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误故选C ．9．输出32x =，6y =，满足4y x = 故选C ．10． 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：设(0A x，2p D ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22ypx =上，∴082px =……①点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ．11． 如图所示：111∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥ 同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111BC BD CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 故选A ．F12． 由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减故选B ．13． 由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．14． 设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈∴()5552155C 2C 2k kkkkkk T x x---+==．当532k -=时，4k =，即454543255C 210T x x --== 故答案为10．15．由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩． 故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()()21174932 (472)22412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．16． 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为 **1.50.51500.3905360000x y x y x y x y x N y N⎧+⎪+⎪⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪∈⎪∈⎪⎩≤≤≤≥≥ 目标函数2100900z x y =+作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯=17．⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1cos 2C = ∵()0πC ∈， ∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=18．⑴ ∵ABEF 为正方形∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDCAF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒∵AB EF ∥AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCDAB ⊂平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =()()000020E B a ，，，，()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，()020EB a =，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()200AB a =-，， 设面BEC 法向量为()m x y z =，，. 00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩11101x y z ===-，()301m =-，，设面ABC 法向量为()222n x y z =，， =00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即222220220a x ay ax ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 22204x y z ===，()034n =，设二面角E BC A --的大小为θ. cos 3m n m nθ⋅===+⋅ ∴二面角E BC A --的余弦值为19．⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯= ()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++≥ 则n 的最小值为19⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n =BE AC ∥，则C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠，EBD D ∴=∠∠，则EB ED = 4AE EB AE ED AD ∴+=+==所以E 的轨迹为一个椭圆，方程为22143x y +=，(0y ≠)；⑵ 221:143x y C +=；设:1l x my =+，因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立1l C 与椭圆 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=；()2212134m m +=+；圆心A 到PQ 距离d ==所以||PQ =，()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+21．⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意；② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增 当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减 即：故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点 由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：而极大值()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()l n 20fx f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解 而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 即：故当()ln 2x a -≤时，()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-，那么()0f x e -<≤恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞．⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--设()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = 那么()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增． 设0m >，构造代数式：()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111mm h m e m -=++，0m >则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．22．⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒，∴30sin302OAOK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==，， ∴AB 与O ⊙相切 ⑵ 方法一：假设CD 与AB 不平行CD 与AB 交于F2FK FC FD =⋅① ∵A B C D 、、、四点共圆∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+ ∵AK BK =∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-② 由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥方法二：因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥．23．⑴ cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==， ∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+= 即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -= ∴1a =24．⑴ 如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，。
高考全国甲卷：《理科数学》2018年考试真题与答案解析
高考精品文档高考全国甲卷理科数学·2018年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《理科数学》2018年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C2．（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）{}|10A x x =-≥{}012B =，，A B = {}0{}1{}12，{}012，，()()1i 2i +-=3i--3i-+3i-3i+A ．B ．C ．D ．答案：A4．若，则（）A．B ．C ．D ．答案：B 1sin 3α=cos 2α=897979-89-5．的展开式中的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80答案：C6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A7．函数的图像大致为（ ）A.B.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x 20x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣422y x x =-++C.D.答案：D8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）。
A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3答案：B9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）A ．B ．C ．D ．p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π610．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为则三棱锥体积的最大值为A ．B ．C ．D ．答案：B11．设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若的离心率为AB ．2CD答案：C12．设，，则A ．B ．C ．D ．A B C D ，，，ABC △D ABC -12F F ，22221x y C a b-=：00a b >>，O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab+<<0ab a b<<+二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高考全国卷2理科数学真题(附含答案解析)
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A. B. C. D.2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=A.4B.3C.2D.05.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±D.y=±6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=A.4B.C.D.27.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A. B.10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是A. B. C. D. π11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。
若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=A.-50B.0C.2D.5012.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A..B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
“学科核心素养”在“高考真题”的体现
“学科核心素养”在“高考真题”的体现作者：叶剑平来源：《中学课程辅导·教师教育》 2018年第10期引言事物发展总是有渊源，将来高考的前身就是现行的“全国卷”和“试点卷”。
下面就“全国卷高考题”来看“核心素养”的体现。
从历史高考卷的命制过程的立意看，大致可分“知识立意”、“知识技巧立意”、“能力立意”这三个阶段。
试题包括立意，情境和设问三个方面。
其中以能力立意命题，就是先确立试题在能力方面的考查目标，然后根据能力考查的要求，选择适宜的考查内容，设计恰当的设问方式。
以能力立意命题，不仅是命题方式的变化，更是命题理念和原则的变化。
下面就《数学课程标准》的核心素养中的直观想象、数学建模的说明与近年全国卷试题来比较，尝试说明两者的关联。
一、首先，《数学课程标准》对于直观想象是这样说明的：是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，主要包括：借助空间认识事物的数量关系，形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型探索解决问题的思路。
2018年高考对此是这样考察的：（2018年全国理科数学1卷第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则α与此正方体所得截面面积的最大值为（）本题情境来自于新课标《案例11.正方体截面的探究》，直接考查了学生的直观想象能力和数学探究的能力。
学生要先从“每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等”这一条件中直观想象到这样一个平面是要与体对角线垂直的。
用运动和变化的观点发现：此平面与正方体所得截面为“三角形→六边形→三角形”这一变化过程，再注意到截面经过六条棱的中点时截面面积最大。
最后运算求出面积的最大值！整个问题的解决过程，直观想象能力起到关键作用。
类似题还有本卷的第7题、第18题；II卷的16题；III卷的第3题，第10题！二、再来看《数学课程标准》对于数学建模是这样说明：是对现实进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
专题1.1 年全国1卷理科第16题-刷百题不如解透一题之高考真题数学小题大做
一、典例分析，融合贯通典例【2018年全国1卷理科第16题】已知函数f(x)=2sinx+sin2x ,则f(x)的最小值是______. 解法一：引导：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.点评：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 解法二：()=2sin +sin2=2sin (1+cos )f x x x x x22222()=4sin (1+cos )4(1-cos )(1+cos )f x x x x x ∴=4(3-3cos )(1+cos )(1+cos )(1+cos )3x x x x = 443-3cos +1+cos +1+cos +1+cos )34x x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭44327324⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ ()f x 易知是奇函数1cos = 332(),23sin =2x f x x ⎧⎪⎪∴≥-⎨⎪-⎪⎩当时可以取等号，33().2f x ∴-的最小值是 点评：另辟蹊径，联系均值不等式求最值（和定积最小）。
解法三：解法3：公式搭桥，函数领路，导数建功。
解法四：()=2sin +sin2f x x x ，tan 2xt R =∈令则22234182sin(1cos)(1)1112t ty x xt t t tt-=+=+=++++，31t2,t ttϕ=++令()4222221321t32,0t tt tt tϕμ+-'=+-==≥()令，原式得；(1)(31),μμμ+-=显然13μ=时，取tϕ()到极值经检验当3t=-时，tϕ()有最大值，则y有最小值得：min833.1()3yϕ==--解法4：替换消元，导数建功。
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
(19)2022年高考真题——理科数学(全国乙卷)答案(1)
11.双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，可判断 在双曲线的右支，设 ， ，即可求出 ， ， ，在 中由 求出 ，再由正弦定理求出 ， ，最后根据双曲线的定义得到 ，即可得解；
在 中， ，所以 .
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设 与平面 所成的角的正弦值为 ，
所以 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）和材积量（单位： ），得到如下数据：
所以当 时， ，当 时， ，
若 时，
当 时， ，
则此时 ，与前面矛盾，
故 不符合题意，
若 时，
则方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，
则有 ，
解得 ，
则切线的斜率为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
2018年高考全国1卷理科数学试题与答案解析
WORD格式整理绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x1．已知集合A={x|x<1}，B={x|3 1}，则A．A B{x|x0}B．A B RC．A B{x|x1}D．A B2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1πA．B．48C．12D．π43．设有下面四个命题p：若复数z满足11zR，则z R；p：若复数z满足22z R，则z R；p：若复数z1,z2满足z1z2R，则z1z2；3专业技术参考资料WORD 格式整理p ：若复数z R，则z R.4其中的真命题为A．p1, p3 B．p1, p4 C．p2 , p3 D．p2, p44．记S为等差数列{ a n} 的前n项和．若a4 a5 24 ，S6 48 ，则{ a n} 的公差为nA．1 B．2 C．4 D． 85．函数 f (x) 在( , ) 单调递减，且为奇函数．若 f (1) 1，则满足 1 f (x2) 1的x 的取值范围是A．[ 2,2] B．[ 1,1] C．[0,4] D．[1,3]6．16(1 )(1 x)2x展开式中 2x 的系数为A．15 B．20 C．30 D．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．168．右面程序框图是为了求出满足 3n- 2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000 和n=n+1B．A>1 000 和n=n+2C．A 1 000 和n=n+1D．A 1 000 和n=n+29．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2 x+ 2π) ，则下面结论正确的是3专业技术参考资料WORD 格式整理A．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得6到曲线C2B．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，得12到曲线C2C．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得6到曲线C2D．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，得12到曲线C210．已知 F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l2=4x 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1 与C交于A、B两点，直线l 2 与C交于D、E两点，则|AB|+| DE| 的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10x y z11．设x yz 为正数，且 2 3 5 ，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100 且该数列的前N项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。
(仅供参考)2018年高考真题全国1卷文科数学(附答案解析)
A． 0
1
B．
2
C．1
D． 2
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地
了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构
成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
给的方程中系数，可以得到 b2 = 4 ，利用椭圆中对应 a, b, c 的关系，求得 a = 2 2 ，最后利
用椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知 c = 2 ，因为 b2 = 4 ， 所以 a2 = b2 + c2 = 8 ，即 a = 2 2 ，
所以椭圆 C 的离心率= 为 e = 2
uuuv AC
uuuv ，下一步应用相反向量，求得= EB
3
uuuv AB
−
1
uuuv AC
根据向量的运算法则，可得
( ) uuuv
BE
=
1
uuuv BA +
1
uuuv BD
=
1
uuuv BA
解复数的模.
详解： z=
1− i + 2i= 1+ i
(1 − (1 −
i) i)
(1 − (1 +
i) i)
+
2i
=−i + 2i =i ， 则 z = 1，故选 c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部 的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实 数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成 不必要的失分. 3．A 【解析】 【分析】 首先设出新农村建设前的经济收入为 M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为 2M， 之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得 到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】
高考数学(理)真题专题汇编：集合与逻辑
高考数学（理）真题专题汇编：集合与逻辑一、选择题1.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷） 若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知全集U={－1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={－1,0,1}，则(C U A)∩B=（ ） A. {－1} B. {0,1} C. {－1,2,3}D. {－1,0,1,3}3.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）设集合A={－1,1,2,3,5}，B={2,3,4}，{|13}C x x =∈≤<R ，则()A C B =A.{2}B.{2,3}C.{－1,2,3}D.{1,2,3,4} 6.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面7.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 设集合A={x|x 2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A ．(－∞，1) B ．(－2，1) C ．(－3，－1)D ．(3，+∞)8.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）已知集合A={－1,0,1,2}，B={x|x 2≤1}，则A∩B= A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{0,1,2}9.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M∩N=A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x <<10.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）已知集合A={x|x －1≥0}，B={0,1,2}，则A∩B= A ．{0}B ．{1}C.{1,2}D ．{0,1,2}11.【来源】2018年高考真题——理科数学（北京卷）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 （A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉（C ）当且仅当a<0时，（2，1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 12.【来源】2018年高考真题——理科数学（北京卷）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件13.【来源】2018年高考真题——理科数学（北京卷）（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B = （A ）{0，1}（B ）{–1，0，1}（C ）{–2，0，1，2}（D ）{–1，0，1，2}14.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件15.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B(A) {01}x x <≤ (B) {01}x x << (C){12}x x ≤<(D){02}x x <<16.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ）已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．417.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知集合A={x|x 2－x －2＞0}，则C R A= A.{ x|－1＜x ＜2} B. { x|－1≤x≤2}C. { x| x ＜－1}∪{ x|x ＞2}D. { x| x≤－1}∪{ x|x≥2} 18.【来源】2016年高考真题——理科数学（天津卷）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q<0”是“对任意的正整数n ，a 2n−1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 19.【来源】2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,3}（D ）{1,4}20.【来源】2017年高考真题——理科数学（北京卷）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件21.【来源】2017年高考真题——理科数学（北京卷）若集合A={x|–2＜x＜1}，B={x|x＜–1或x＞3}，则A∩B=（A）{x|–2＜x＜–1} （B）{x|–2＜x＜3}（C）{x|–1＜x＜1} （D）{x|1＜x＜3}22.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件23.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）已知集合P={x|-1<x<1}，Q={x|0<x<2}，那么P∪Q=A． (-1,2) B. (0,1) C. (-1,0) D.(1,2)二、填空题24.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）已知集合A={－1,0,1,6}，{}|0,B x x x R =>∈，则A∩B=_____. 25.【来源】2018年高考真题——理科数学（北京卷）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．26.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．27.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）已知集合A={0,1,2,8}，B={－1,1,6,8}，那么A∩B = ▲ ． 28.【来源】2017年高考真题——理科数学（北京卷）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 29.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）已知集合A={1，2}，B={a ，a 2+3}，若A∩B={1}，则实数a 的值为________ 三、解答题（本题共1道小题,第1题0分,共0分） 30.【来源】2018年高考真题——理科数学（北京卷）（本小题14分）设n 为正整数，集合A=12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n n t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记M （αβ，）=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--．（Ⅰ）当n=3时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．试卷答案1.A 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 2. A【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 3. C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C. 4. B化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B. 5.因为{1,2}A C =， 所以(){1,2,3,4}A C B =.6. B根据面面平行的判定定理易得答案.选B. 7. A{2|<=x x A 或}3>x ，{}1|<=x x B ，∴）（1,∞-=⋂B A .8. A}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B ，所以}1,0,1{-=⋂B A .9. C由题意可知,}32|{<<-=x x N ,又因为}24|{<<-=x x M ,则}22|{<<-=x x N M ，故选C .10. C详解：由集合A 得 ,所以故答案选C. 11. D分析：求出 及 所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则 ，此命题的逆否命题为：若 ，则有，故选D.12. C分析：先对模平方，将 等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系. 详解：，因为a ，b 均为单位向量，所以a ⊥b ，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.A分析：先解含绝对值不等式得集合A ，再根据数轴求集合交集. 详解：因此A∩B= ，选A.14. A分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式，由. 据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A 选项. 15. B分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B 选项. 16. A 详解： ，当 时， ； 当 时， ； 当时，；所以共有9个，选A. 17. B 解答：{|2A x x =>或1}x <-，则{|12}R C A x x =-≤≤.18. C试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. 19.D试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D. 20. A若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是180°，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<，反过来，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为（90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 21. A{}21A B x x =-<<-，故选A.22.C试题分析：由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d>0”是“S 4 +S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件． 23.A试题分析：利用数轴，取P 、Q 所有元素，得P ∪Q=(-1,2)【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 24. {1,6} 【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知，{1,6}AB =.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题. 25.y=sinx （答案不唯一）分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数. 又如，令f （x ）=sinx ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.26.27分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 详解：设 ，则由得 所以只需研究是否有满足条件的解， 此时 ， ，m 为等差数列项数，且. 由得满足条件的n 最小值为27.27.{1，8} 分析：根据交集定义求结果. 详解：由题设和交集的定义可知：.28.1,2,3---（答案不唯一） 123,1(2)3->->--+-=-29.1由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为130.解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以M(α，α)=12[(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2， M(α，β）=12[(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．（Ⅱ）设α=（x1，x 2，x3，x4）∈B，则M(α，α）= x1+x2+x3+x4．由题意知x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)为奇数，所以x1，x 2，x3，x4中1的个数为1或3．所以B {(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.将上述集合中的元素分成如下四组：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M(α，β）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素．所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件，所以集合B中元素个数的最大值为4.（Ⅲ）设S k=( x1，x 2，…，x n）|( x1，x 2，…，x n）∈A，x k =1，x1=x2=…=x k–1=0）（k=1，2，…，n)，S n+1={( x1，x 2，…，x n）| x1=x2=…=x n=0}，则A=S1∪S1∪…∪S n+1．对于S k（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，经验证，M(α，β)≥1.所以S k（k=1，2 ，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素．所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=( x1，x 2，…，x n）∈S k且x k+1=…=x n=0（k=1，2，…，n–1）.令B=（e1，e2，…，e n–1）∪S n∪S n+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．。
2023年高考全国乙卷数学(理科数学)真题_解析版
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设252i1i i z +=++，则z =（）A.12i -B.12i+ C.2i- D.2i+【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.2.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N M ðC.()U M N ðD.U M N⋃ð【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确；{}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.故选：D.4.已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为()e e 1xaxx f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x xx x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16C.14D.12【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.故选：C.6.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分步乘法公式则共有1265C A 120⋅=种，故选：C.8.已知圆锥PO 的底面半径为，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB 的面积等于4，则该圆锥的体积为（）A.πB.C.3πD.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在AOB 中，120AOB ∠=o ，而OA OB ==AC 中点C ，连接,OC PC ，有,OC AB PC AB ⊥⊥，如图，30ABO = ∠，3,232OC AB BC ===，由PAB 的面积为得193324PC ⨯⨯=，解得332PC =，于是PO ==，所以圆锥的体积2211ππ33V OA PO =⨯⨯=⨯=.故选：B9.已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D --为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.15B.5C.5D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE AB ⊥，又ABD △是等边三角形，则DE AB ⊥，从而CED ∠为二面角C AB D --的平面角，即150CED ∠= ，显然,,CE DE E CE DE ⋂=⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ⋂平面ABC CE =，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2AB =，则1,CE DE ==，在CDE 中，由余弦定理得：CD =由正弦定理得sin sin DE CD DCE CED =∠∠，即sin DCE ∠==显然DCE ∠是锐角，cosDCE ∠=所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A.－1B.12-C.0D.12【答案】B 【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{}n a 中，112π2π2π(1)(333n a a n n a =+-⋅=+-，显然函数12π2πcos[(33y n a =+-的周期为3，而N n *∈，即cos n a 最多3个不同取值，又{cos |N }{,}n a n a b *∈=，则在123cos ,cos ,cos a a a 中，123cos cos cos a a a =≠或123cos cos cos a a a ≠=，于是有2πcos cos()3θθ=+，即有2π()2π,Z 3k k θθ++=∈，解得ππ,Z 3k k θ=-∈，所以Z k ∈，2ππ4πππ1cos(π)cos[(πcos(π)cos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=-=-.故选：B11.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.12.已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC的中点，若PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A.122 B.1222+C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA PD ⋅1sin 2224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，或PA PD ⋅12224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭然后结合三角函数的性质即可确定PA PD ⋅的最大值.【详解】如图所示，1,OA OP ==，则由题意可知:45APO ∠= ，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时，设=,04OPC παα∠≤≤，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222cos sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-12sin 2224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤≤，则2444πππα-≤-≤∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设=,04OPC παα∠≤≤，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭1cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭2222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+1sin 2224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭04πα≤≤，则2442πππα≤+≤∴当242ππα+=时，PA PD ⋅ 有最大值122+.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.15.已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =______.【答案】2-【解析】【分析】根据等比数列公式对24536a a a a a =化简得11a q =，联立9108a a =-求出32q =-，最后得55712a a q q q =⋅==-.【详解】设{}n a 的公比为()0q q ≠，则3252456a q a a q a a a a ==⋅，显然0n a ≠，则24a q =，即321a q q =，则11a q =，因为9108a a =-，则89118a q a q ⋅=-，则()()3315582q q ==-=-，则32q =-，则55712a a q q q =⋅==-，故答案为：2-.16.设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是______.【答案】51,12⎫-⎪⎪⎣⎭【解析】【分析】原问题等价于()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()1ln 1ln xx a a a a ++≥-，即()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，故()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，而()11,2a +∈，故()ln 10a +>，故()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩即()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩，故5112a -≤<，结合题意可得实数a 的取值范围是51,12⎫-⎪⎪⎣⎭.故答案为：51,12⎫-⎪⎪⎣⎭.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，i y （1,2,10i =⋅⋅⋅），试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记(1,2,,10)i i i z x y i =-= ，记1z ，2z ，…，10z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出,x y ，再得到所有的i z 值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =-=-=，i i i z x y =-的值分别为:9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】由（1）知:11z =，==，故有z ≥所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【答案】（1）2114；（2）10.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC 的值为BC =，然后由余弦定理可得57cos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得21sin 14B =；(2)由题意可得4ABD ACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =，222cos 214a c b B ac +-===，21sin 14B ==.【小问2详解】由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABDACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ △△.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O，AD =，点F 在AC 上，BFAO ⊥.（1）证明：//EF 平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+ ，12AO BA BC =-+，BF AO ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，, //EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .【小问2详解】由（1）可知//EF OD ，则2AO DO ==，得2AD ==，因此222152OD AO AD +==，则OD AO ⊥，有EF AO ⊥，又,AO BF BF EF F ⊥= ，,BF EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面B EF .【小问3详解】过点O 作//OH BF 交AC 于点H ，设AD BE G = ，由AO BF ⊥，得HO AO ⊥，且1 3FH AH =，又由（2）知，OD AO ⊥，则DOH ∠为二面角D AO C --的平面角，因为,D E 分别为,PB PA 的中点，因此G 为PAB 的重心，即有11,33DG AD GE BE ==，又1 3FH AH =，即有32DH GF =，2315422cos ABD +-∠==PA =，同理得62BE =，于是2223BE EF BF +==，即有BE EF ⊥，则22216653223GF ⎛⎛=⨯+= ⎝⎭⎝⎭，从而153GF =，31515232DH =⨯=，在DOH △中，1,2222OH BF OD DH ====，于是6315444cos 26322DOH +-∠=-，2sin 2DOH ∠==，所以二面角D AO C --的正弦值为2.20.已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的离心率为53，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证2M Ny y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．21.已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围.【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）存在11,22a b ==-满足题意，理由见解析.（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a 的方程，解方程可得实数a 的值，最后检验所得的,a b 是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论0a ≤，12a ≥和102a <<三中情况即可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =-时，()()11ln 1f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==-，函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.【小问2详解】由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数的定义域满足1110x x x ++=>，即函数的定义域为()(),10,-∞-⋃+∞，定义域关于直线12x =-对称，由题意可得12b =-，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =-，即()()11ln 22ln 2a a +=-，则12a a +=-，解得12a =，经检验11,22ab ==-满足题意，故11,22a b ==-.即存在11,22a b ==-满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点;令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax-++++=，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,1g x ax x g x x '=''=-+-+当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意;当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()''0,g x g x >'在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意；当102a <<时，由()''1201g x a x =-=+可得1=12x a -，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭'，令()()1ln 01m x x x x =-+<<，则()10x m x x -+'=>，函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=，据此可得1ln 0x x -+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+< ⎪'⎝⎭，令()()2ln 0h x x x x x =-+>，则()221x x h x x-++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤-(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '()0,∞+上存在唯一零点0x .当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()000g x g <=.令()11ln 2n x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()22211111022x n x x x x--⎛⎫=-+=≤ ⎪⎝⎭'，则()n x 单调递减，注意到()10n =，故当()1,x ∈+∞时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，从而有11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+-+⨯+-⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令211022a x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得2x =，所以0g >，所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；（2）根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞.【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-.（1）求不等式()6f x x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积.【答案】（1）[2,2]-；（2）6.【解析】【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-【小问2详解】作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= .。
十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题02 复数(教师版)
专题02 复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+ D ．32i -- 【答案】B 2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C【分析】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【分析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以 z ==故选：C ．2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【分析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=. 故选：D.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选：A.4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【分析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【分析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D .6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．1【答案】C【分析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【分析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1y x +-=．故选C ． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D【分析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【分析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. ：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=，则1z =，故选c. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i += A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D 【详解】分析：根据公式21i =-，可直接计算得(23)32i i i +=-+：2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D. 13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.14．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【分析】解： ()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．i(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】A【分析】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【详解】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z ==-∈R ，而i z =∉R 知，故2p 不正确； 当12i z z ==时，满足121z z ⋅=-∈R ，但12z z ≠，故3p 不正确；对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【详解】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（ ） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D 【分析】由题意()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-，故选：D. 19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【详解】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限. 所以选C. 20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则Ⅰz Ⅰ= A ．12B．2CD ．2【答案】C【解析】由题意可得2i1i z =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C. 21．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a = A ．−3 B ．−2C ．2D ．3【答案】A【详解】：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得，解得，选A.22．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BCD ．2【答案】B 【详解】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i =|1+i x x y x y x x y +==+=所以故故选B.23．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i -C ．32i +D ．32i -【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，【答案】A【详解】要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则zz=A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-.本题选择D 选项.26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1C ．iD ．-i【答案】C 【详解】 试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ．27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【答案】C 【详解】试题分析：Ⅰ(1)1z i i -=+，Ⅰz=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．2【答案】A【详解】：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A.29．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数,且 2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3-C ．3D ．4【答案】D【详解】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.30．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B 【详解】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．31．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2【答案】B【详解】：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=+++-，由模的运算可得：2z ==. 32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】试题分析：由已知得22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】B【详解】：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i【答案】A【详解】：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)ii +=-A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B【详解】2121221(1)222i i i ii i ++-===---.36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4 D ．45【答案】D【详解】：设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-435i +==Ⅰ345{340a b b a +=-= ，解得45b =37．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i+=A ．B ．2CD ．1 【答案】C【详解】因为211i i=-+,所以21i =+故选C. 38．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i 【答案】A【分析】由()12i z i -=得21i z i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32i z i -+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】D 【详解()()()()3235512225i i i i z i i i i -+--+-+====-+++-,1z i =--,故选D . 40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p 【答案】C【详解】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.。
2018年高考全国卷2理科数学真题附含答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A. B. C. D.2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=A.4B.3C.2D.05.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±D.y=±6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=A.4B.C.D.27.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A. B.10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是A. B. C. D. π11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。
若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=A.-50B.0C.2D.5012.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A..B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
18年高考真题理科数学(天津卷)
2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（天津卷）一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设全集为R ，集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，则()R A B =I ð（ ） （A ）{}|01x x <≤ （B ）{}|01x x << （C ）{}|12x x ≤< （D ）{}|02x x <<2．变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，则目标函数35z x y =+的最大值是（ ） （A ）6 （B ）19 （C ）21 （D ）453．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．设x R ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3a =，则,,abc 的大小关系为（ ） （A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>6．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） （A ）在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 （B ）在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （C ）在区间53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 （D ）在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点。
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p1, p2 , p3 ，则（ ） （A） p1 p2
（B） p1 p3
（C） p2 p 3
p1 p2 p 3
（D）
11．已知双曲线C ：
x2 3
y2
1
O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与C 的两条渐近线
，
的交点分别为 M , N 。若 OMN 为直角三角形，则| MN | （ ）
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（全国 I 卷）
一．选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项）
1．设 z
1i 1i
2i ，则| z | （
） D） 2
2．已知集合 A x | x2 x 2 0
3 （A） 2
（B）3
（C） 2 3
（D）4
12．已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积
的最大值为（
） （A） 3 3 4
（B） 2 3 3
（C） 3 2 4
（D） 3 2
二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
x 2y 2 0 13．若 x, y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z 3x 2 y 的最大值为________。
19．（本小题 12 分）设椭圆 C ： x2 y2 1的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与
2
C 交于 A, B 两点，点
M 的坐标为
。⑴当 l与
OMA OM2B,0。
x 轴 垂 直 时 ， 求 直 线 AM 的 方 程 ； ⑵ 设 O 为 坐 标 原 点 ， 证 明 ：
20．（本小题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作
2, 0
且斜率为
2 3 的直线与
C 交于 M , N 两点，则 FM FN （ ） （A）5
（B）6
（C）7
（D）8
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9．已知函数 f x
ex x 0 ，g x
ln x x 0
f x x a 。若 g x 存在 2 个零点，则 a 的取值范围
是（ ） （A） 1,0
（B） 0,
（C） 1,
三．解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：60 分。
17．（本小题 12 分）在平面四边形 ABCD 中， ADC 900 ， A 450 ， AB 2 ， BD 5 。
（D） 1,
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半
圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边
AB, AC 。 ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其余部分记
为 III。在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为
检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果
决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p 0 p 1 ，且各件产品是否为
不合格品相互独立。⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f p ，求 f p 的最大值点 p0 ；⑵现对
4
4
（B） 1 AB 3 AC
4
4
（C） 3 AB 1 AC
4
4
（D） 1 AB 4
7．已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则
截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
3 AC 4
（A） 3 3 4
（B） 2 3 3
（C） 3 2 4
（D） 3 2
8．设抛物线C ： y2
4x 的焦点为 F ，过点
（C）10
（D）12
5．设函数 f x x3 a 1 x2 ax，若 f x 为奇函数，则曲线 y f x 在点 0,0 处的切线方
程为（ ） （A） y 2x
（B） y x
（C） y 2x
（D） y x
6．在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB （ ）
（A） 3 AB 1 AC
21．（本小题 12 分）已知函数 f x
1 x a ln x 。⑴讨论 f x 的单调性；⑵若 f x 存在两个极 x
（A）新农村建设后，种植收入减少
（B）新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 （C）新农村建设后，养殖收入增加了一倍
（D）新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5 （ ）
（A） 12
（B） 10
ðA （ ）
R
，则
（A） x | 1 x 2 （B） x | 1 x 2 （C） x | x 1
x|x 1 3．某地区x经| 过x 一2年的新农村建设，
x | x 2 （D）
农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化
情况，统计了该地区新农村建设前后农村
的经济收入构成比例，得到如右饼图。则 下面结论中不正确的是（ ）
⑴求 cos ADB ；⑵若 DC 2 2 ，求 BC 。
18．（本小题 12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形， E, F 分别
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为 AD, BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点C 到达点 P 的
位置，且 PF BF 。⑴证明：平面 PEF 平面 ABFD ；⑵求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值。
一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的 p0 作为 p 的值。已知每件产品的检验费用为
2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。①若不对该箱余下的
产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ，求 EX ；②以检验费用与赔偿费用和的期望
值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
y0
14．记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，若 Sn 2an 1 ，则 S6 _____________。
15．从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 _____________种。（用数字填写答案）
16．已知函数 f x 2sin x sin 2x ，则 f x 的最小值是__________。