5-1梁的挠度及转角

B

FL2 2EI


yB

FL3 3EI
()
例5-2 图示一弯曲刚度为EI的简支 梁，在全梁上受集度为q的均布荷载 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定其最大挠度和最大转角。
解：①求约束反力
FA

FB

ql 2
②列弯矩方程
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 )
A
x y

cB
F
x
挠曲方程
W =y= f(x)
yw

（a）
c′
dy
dx B′
tg = dy/dx = y ′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ 很小 ≈ tg=dy/dx= f ′(x)
转角方程 =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正
（1）约束条件（ constraint condition ）
①悬臂梁的固定端处
P x
x=0 ： =0 y=0
② 简支梁的支座处
F
A
Bx
c
a
b
F
x
c
aa
B
x=0 ： y A=0;
x=L ： y B=0
③中间铰
x=a：
yB左= yB右
(2)连a 续条件（continuity condition ）
x=a： yB左= yB右 B左= B右
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角 等于每项荷载独立作用时在同位置产生 的挠度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
• 查表： yB= qa4/8EI，
B= qa3/6EI
2、把梁BC看作梁AB的延伸部分，仍保持为
直线。
• 由于小变形： yC= yB + Ba • yc= qa4/8EI +qa4/6EI= 7qa4/24EI （↓）
例：求 C截面挠度和转角。
(1) yc1 = -7qa4/24EI(↑)
(x)
0,
d 2
dx
y
2

0
[1
d 2 yM/d0x, d22 (dy / dx)d2x
y
]2 3/
0
2
E Iz y〞= - M(x)
(5-2b)
1
( x)

Mddx20y2, ddx2 y2
0
挠曲线近似 微分方程
3 积分法计算梁的位移
1）基本方程：EIzy〞= - M(x)
梁在荷载作用下，既产生应力又发生变形。
本课程研究梁弯曲变形的 两个目的
o对梁进行刚度计算 o解超静定梁
2.挠曲线（deflection curve)
两个基本假设在研究梁弯曲变形 时的作用
平面假设
梁变形后的横截面仍为平面且垂直与 变形后的轴线。
连续性假设 梁的轴线将由原来的水平直线变成一 条连续平坦(flat)的曲线—挠曲线。
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，
在D点处受一集中荷载作用。试求梁的挠曲
线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最
大转角。
a
Fb
A
c
B
L
最大挠度和最大转角
A
1
Biblioteka Baidux0

Fab(l b) 6lEI
B
2
xl

Fab(l a) 6lEI
梁上无拐点 wmax w1/ 2
外伸梁B端—连续条件 10KN
A
B
4m
1m
x=4， yB=0； yB左= yB右 B左= B右
！！： 挠曲线近似微分方程的适用范围
1）均匀材料与等直截面梁—EI为常值。
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程式 及其积分
1、挠度和转角的关系 2、建立挠曲线微分方程 3、积分法计算梁的位移 4、由边界条件确定积分常数
5. EXAMPEL
1、挠度和转角的关系
AA
x y

cB
F
x
yw

c′
B′
挠曲线 y=f(x) 上任
意点的切线斜率为：
dy df (x) (b)
5.EXANPEL
EI y′= = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
x
⑤确定积分常数
x=0 A= 0 yA= 0 C=0
D=0
y′= = F (Lx - x2/2) /EI
y= F (Lx2/2 - x3/6)/EI
F x
B
⑥求B截面转角和位移将 x=L 代入
B+ A
L/2
L/2
5qL4
ymax 384 EI
yC

5(
q 2
)
L4
384 EI

5qL4
yC 768 EI
加平衡力系再分解 ----”加减法”
2．几项荷载同时作用在梁的不同区段上， 梁某一横截面的挠度和转角，可等于每 一项荷载单独作用于梁各区段时该截面 的挠度和转角的叠加．
F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI
yc1 = FL3/48EI
m：A2、B2、yc2
A2= mL/6EI B2= - mL/3EI
yc2 = mL2/16EI
例5-5：简支梁在半跨度上作用荷载q， 求梁中点的挠度。
A
L/2
q
c L/2
B= A
q/2 L
q/2 q/2
22
2
③列挠曲线近似微分方程
EIw q lx x2 2
④求位移方程
EIw


q 2
lx2 (
2

x3 3
)

c1
EIw


q 2
lx3 (
6

x4 12
)

c1x

c
1
⑥求最大挠度和位移
2
A

ql 3 24EIz
B
3
yc

5ql 4 384E I z
⑤确定积分常数
x3

l2
b2
x]
§5-3 按叠加原理计算 梁的挠度及转角
§5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and It’s Integration
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
Fbl2 wmax 16EI
挠曲线方程和转角方程
1

w1

Fb 2lEI
[1 3
(l
2

b2
)

x2
]
y1

Fbx 6lEI
(l 2

b2

x2)
2

w2

Fb [ l 2lEI b
(x
a)2

x2

1 3
l2
b2
]
w2

y2

Fb [ l x a3
6lEI b
2）一次积分获转角方程
（5-2b）
EIzy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a） （5-3b）
EIzy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定 积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
y M ( x) F (L x)
EI
EI
④求位移方程
EI y′= EI = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
Displacements of Bending Beam
§5-1梁的挠度及转角
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
dx dx
结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位 置坐标 x的一阶导数。
2、建立挠曲线微分方程 1 M 4-4
积分（法1、）叠物加理法方、面奇: 异函数法、能量 EIZ
法、图解法1、有 限M差(X分) 法、初参数法
(x) EIZ
d2y
M (x)
（2）几何方面：
dx2 EIz

1
M
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且 纵向变形忽略不计的条件下，梁的挠度和转 角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
表明荷载对梁变形的影响是独立的
例：简支梁受集中力和集中力偶。求：
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的利弊
使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。
设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。 利用变形的协调条件求弯曲静不定问题。
EXAMPLE 求图示梁的最大转角和
最大挠度。
a
p
L
解 ：1 建立坐标系并写出弯矩方程
x
M (x)
p(x a) (0 x a)
0
(a x l)
a
p
x
L
a
p
x
L
例：计算悬臂梁的挠度yc。
A
B
c
A
a
a
解：
B yB
C B yc
1、将梁AB看作悬臂梁，在均布荷载q的作用 下：
(2) yc2 = q（2a）4/8EI(↓)
∴ yc = yc1 + yc2 41qa4/24EI(↓)
B = -qa3/6EI+q(2a)3/6EI = 7qa3/6EI
+
=
A
B
C
a
a
作业
• Skt---5-1,5-2 • Xt-----5-1, 11.7
11月14日
• SKT 5-7 • XT 5-13, 5-15, 5-19, 5-25
直梁平面弯曲的两种位移
F
A
C
X B
挠度（deflection）
w—横截面形心在垂直
C′
B ′ 于轴线方向的位移。
A
x y

cB F x yw
c′ u
B′
转角（slope）—横
截面绕其中性轴转过 的角度。
水平位移u —横截面形心沿水平方向的位移,在小
位移假设时忽略不计。
3.挠度和转角方程（Equation of Deflection and slope）
A、B两端转角和中点挠度。
A
力A 的 分 解 法A
F
c
B
L/2
L/2
=
F c
yc1
┼
c
yc 2
B
m
B
解：将梁分为力F和力 偶m单独作用的情况：
F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI
yc1 = FL3/48EI
m：A2、B2、yc2 A2= mL/6EI
B2= - mL/3EI