5-1梁的挠度及转角
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
圣才电子书
ql3/6，D＝－ql4/24。
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
3 / 41
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
第五章 受弯构件——梁
§5-1 梁的类型和应用
一、梁：实腹式受弯构件，承受横向荷载。
梁的截面内力：弯矩和剪力。 二、梁的类型 （1）型钢梁：热轧型钢梁、冷弯薄壁型钢梁 （2）组合梁: 实腹式梁 格构式梁——又称为桁架
三、梁格类型
梁格：由纵横交错的主梁和次梁组成的平面承重
体系。 梁格按主次梁的排列方式分为三种类型： （1）单向梁格（简式梁格）：只有主梁，适用于柱 距较小的情况。 （2）双向梁格（普通式梁格）：有主梁和一个方向 的次梁，次梁支撑在主梁上。是最常用的梁格类型。 （3）复式梁格（复杂梁格）：在主梁间设纵向次梁， 纵向次梁间再设横向次梁的梁格。梁格构造复杂，传 力层次多，只在必要时才采用。
取最大弹塑性弯矩 Mx max =γx Me ， （1.0≤γx＜γF）
则梁的弹塑性工作弯矩
Mx≤Mx max=γxMe=γxWnx fy
即
Mx/(γxWnx) ≤ fy
梁的抗弯强度计算公式：
（1）单向弯曲时
Mx/(γxWnx)≤f
(2)双向弯曲时
Mx/(γxWnx)+My/(γyWny)≤f
式中γx、γy----截面塑性发展系数。 按142(董218)页表5－1取用。
对翼缘局部稳定不利，应取γx=1.0。
二、梁的抗剪强度
根据《材料力学》的剪力流理论，以截面的
最大剪应力不超过剪切屈服点为设计准则。
梁的抗剪强度计算公式：
截面中性轴处
Hale Waihona Puke τ＝VSx / (Ixtw) ≤ fv
三、梁的腹板局部压应力强度
梁在承受固定集中荷载处无加劲肋， 或承受移动 集中荷载（如轮压）作用时， 腹板边缘在压力作用点处压应力最大， 向两边逐渐减小。
同学们自己总结的11材料力学考研重点
同学们自己总结的11材料力学考研重点我总结一下第四版的材料力学的重点，希望对大家能有一个导向的作用，注意这是第四版的，用第五版教材的每章都差不多，也有一定的借鉴价值。
第一章看第一章第三节简称1-3（以后都这样表示，单独列出的数字表示的章节都要看）,1-4（即第一章第四节要仔细看）,1-5。
第二章看2-1,2-2，例题2-1,2-3，公式的推导过程，就是关于积分的那部分不用看，只记住最后的公式就行了，例题2-2，例题2-3（这个题和专业课笔记上的那个很相似，是应该记住的题型），2-4，例题2-5关于变形的协调关系是重点，2-5,2-6这一节容易出选择，例题2-7,2-7，例题2-8,2-9,2-10.2-8不看。
思考题不做，以后的思考题如果没有特殊情况都不做。
习题2-21和2-22只写步骤，不查表。
其他习题第一遍复习时全做。
第三章看3-1，3-2，3-3例题3-1,3-4介绍的几何方面，物理方面，静力学方面是做材力题的三大步骤，要有这个概念，这一节开始接触应力状态，要看会那个框框上扎个箭头是什么意思，而且自己会画，以后到第七章的时候会大量用到。
看例题3-2，例题3-3不看，例题3-4看。
3-5，例题3-5，例题3-6,3-6，例题3-7记住里面的公式。
3-7记住那个切应力变化的示意图，图3-16，其他不看，例题3-18不做。
3-8不看。
思考题只看3-9，习题3-21到3-26不做。
第四章看4-1，例题4-1,4-2，例题4-2到例题4-9全看，例题4-10不看，例题4-11例题4-12看，4-3，例题4-13是10年真题的基础图形，看，例题4-14这个图形也考过，看，4-4，例题4-15到例题4-19,4-5，记住那四个弯曲最大切应力的公式就好，例题4-20和例题4-21看一下切应力流的变化，这点09真题考过，例题4-22看，4-6。
思考题看4-13,4-14,4-17,4-18。
习题4-4全做，其他那些画图的每题可以自己选择性的删除四分之一左右，只要练会了就行，习题4-9选做，4-10也选做吧，但是这个要记住结果，习题4-16，4-17，4-18，4-20，4-34，4-35，4-43，都不做，其余遇到选择工字钢号码的也不查表，对照答案得到最后数据，不查表，其他全做。
材料力学第五章梁弯曲时的位移
实例3 ：均布载荷
分析受均布载荷作用下梁的位移。
材料力学第五章梁弯曲时 的位移
在材料力学的第五章中，我们将学习有关梁在弯曲时的位移。掌握梁的基本 知识、位移方程和位移计算方法，以及梁的挠度与转角关系。
梁的基本知识
1 定义
梁是一种长条形结构，承受着沿其长度方向的外部力。
2 类型
常见的梁包括简支梁、悬臂梁和受力梁。
3 材料
梁可以由不同类型的材料制成，例如钢、木材或混凝土。
梁的位移方程
1 弯曲位移
2 挠度
3 转角
梁在弯曲时，沿梁的长度方 向发生位移。
挠度是梁的中点相对于其自 由状态的偏移量。
转角是指梁在弯曲时端部角 度的变化。
简支梁的位移计算方法
1
载荷和反力
计算简支梁上的载荷和反力分布。
2
弯矩方程
使用弯矩方程推导出简支梁的位移方程。
3
边界条件
应用适当的边界条件来解决位移方程中的未知量。
悬臂梁的位移计算方法
加载和支座反力
确定悬臂梁上的加载和支座反力。
弯曲力矩方程
通过推导弯曲力矩方程来解决悬臂 梁的位移问题。
解决边界条件
应用边界条件来计算悬臂梁的位移。
受力梁的位移计算方法
1
截面转动方程
2
推导出受力梁的截面转动方程。
3
确定力的分布
分析受力梁上的力分布，包括集中力和均布 力。
边界条件和位移方程
应用边界条件，求解受力梁的位移方程。ຫໍສະໝຸດ 梁的挠度与转角关系挠度
挠度是梁在弯曲时沿其长度方向上的位移。
转角
转角是梁在弯曲时端部偏离初始位置的角度。
关系公式
挠度和转角之间存在一定的关系，可以通过公式计算。
5第五章梁弯曲时的位移5-1
M (x ) ± w ′′ = E Iz
(5-1)
（挠）曲线在x-y坐标中M与w''的 曲线在 坐标中 正负号关系
O
x
M M
O
x
M M
y
M <0 w′′ > 0
y
M >0 w′′ < 0
M与w''总是异号 总是异号
1 θ w C
法线
变形前梁轴线
x
A
x y
B
切线
1
变形后截面形心
截面x 截面 的水平位移相对于w为高阶微量 <<w ，略去
截面x的位移 挠度 截面 的位移—挠度、转角 的位移 挠度、 转角 θ C 1 w θ C
1
挠度
A
x y
B
x
挠曲线
梁变形前后横截面形心位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移。 为位移，位移包括线位移和角位移。在小 变形和忽略剪力影响（ 变形和忽略剪力影响（l >> h）的条件下， ）的条件下， 略去x 方向的线位移， 略去 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移， 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度， 表示，单位m、 挠度，用 w 表示，单位 、mm；角位移 ； 是横截面变形前后的夹角，称为转角 转角， 是横截面变形前后的夹角，称为转角，用 θ 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一 表示，单位弧度。 光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（ 的曲线称为挠曲线 条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性 曲线） 曲线） 。
固定端
梁的挠度和刚度计算
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
w w( x) 挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 q tan q dy
dx
符号给定： 正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向
2，意义
工业厂房钢筋混凝土吊梁
x
对称均布载荷单独作用时
wC1
5q / 2l4
384EI
5ql 4 768EI
q A1
qB1
q / 2l3
24EI
ql 3 48EI
A
集中力偶单独作用时
w
wC2 0
q A2
qB2
q / 2l / 23
24EI
ql 3 384EI
A
w
+
=
q/2 wC1
q/2 wC 2 q / 2
B x
qC1 B
3EI
1309qL4
768EI
逐段刚性法：
研究前一段梁时，暂将后面的各 段梁视为刚体，前一段梁末端截面的 位移为后一段梁提供一个刚体位移； 在研究后一段梁时，将已变形的前一 段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的 变形叠加在前一段梁的所提供的刚性 位移上，从而得到后一段梁的总位移
9.6 用逐段刚性法求解体悬 臂梁自由端的挠度和转角
例9.2 均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端
截面的转角。
q0
解：1 确定反力
A
B
2 求出弯矩方程
wmax
x
M x ql x 1 qx2
22
3 微分方程的积分
w
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
《梁的挠度及转角 》课件
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(2)
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
材料力学——5梁的变形与刚度计算
d
dx
M (x) EI Z
dx
C1
M (x) EI Z
dx
•
dx
C1 x
C2
可写成：
EIZ M xdx C1
EIz M xdx • dx C1x C2
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最
大挠度。 F
a
b
A
C
Fb
l
L
x
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
Fa
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件。
挠曲线方程应分两段AB,BC.
q
EI z
L
Cx
共有四个积分常数
边界条件
xa
xaL
连续条件
yB 0 yC 0
xa
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.6
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别
《梁的挠度及转角 》课件
载荷大小和方向不随时间变化，转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化，需要考虑时间因素 对转角的影响，计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载，可能导致梁发生大变形和 瞬时转角，需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词：实际应用
详细描述：梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题，特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等，使挠度和转角在一个 合理的范围内，以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计，通过优化截面尺寸和材料分 布，显著降低了挠度，提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计，通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸，有效控制了转角，增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计，综合考虑挠度和转角的 影响，优化了整体结构，实现了轻量化和高性能 。
THANKS
感谢观看
进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下，梁的挠度值可能 较大，需要考虑动载荷对挠度的影 响，可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中，梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用，需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件， 通过数学公式计算转角。
实例分析一：简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型，其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角，以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
简单荷载作用下梁的挠度和转角
挠曲线方程
转角和挠度
Mel EI Mel 2 wB = 2 EI
1
M x2 w= e 2 EI
θB =
2
w=
Fx (3l − x) 6 EI
2
θB =
Fl 2 2EI Fl 3 wB = 3EI
3
Fx 2 (3a − x) 6 EI (0 ≤ x ≤ a ) w= Fa 2 (3 x − a) 6 EI (a ≤ x ≤ l ) w=
M x w= (6al − 3a 2 − 2l 2 − x 2 ) 6 EIl
w= Mx( 2 l— 6 EIl
2 x2— 3 b )
(当 a≥b 时)
θA= M e (6 al −3a −2l 6 EIl
2
2
)
( 0≤ x ≤ a )
12
w= M x 6 EIL
θB =
x 3-3 l ( x a ) 2 - ( l 2 3 b2 ) x (a < x < l )
4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(当 a < b 时)
·287·
θB =
wB =
Fa 2 2 EI
Fa 2 (3l − a ) 6 EI
ห้องสมุดไป่ตู้
4
w=
qx ( x 2 + 6l 2 − 4lx) 24 EI
2
ql 3 6 EI ql 4 wB = 8 EI
θB =
·286·
材料力学
续表
序号
梁上荷载及弯矩图
挠曲线方程
转角和挠度
q0 l 3 24 EI q l4 wB = 0 30 EI
M Bl 6 EI M l θB = − B 3EI M l2 wc = B 16 EI
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
材料力学第五章梁弯曲时的位移分析
a)2
C2 x2 D2
C2
B B x
FBy
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2 (l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, w1(a) y2 (a) 代入求解，得
x1 ,0
x1
a
y
CB 段：
M x2
FAy
x2
F ( x2
a)
Fb l
x2
F ( x2
a),
a x2 l
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
3）列挠曲线近似微分方程并积分
F
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2w1 dx12
M (x1)
Fb l
x1
EI
dw1 dx1
EI (x1)
Fb 2l
x2 1
EI dw EI 1 F (l x)2 C
dx
2
EIw 1 F (l x)3 Cx D 6
代入求解
C 1 Fl2, D 1 Fl3
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
EI 1 F (l x)2 1 Fl2
2
2
Ax
y
yB
l
F Bx
B
EIw 1 F (l x)3 1 Fl2x 1 Fl3
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
F
解 1）由梁整体平衡分析得：
梁的挠度和转角
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题 一简支梁受力如图所示。试求 ( x), ( x) 和 , 。 A max F y 解： 1、求支座反力 x x C B A Fb Fa x FAy , FBy a b
L
L
L
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb( L2 b 2 ) A 0, 6 LEI
则由 解得：
C 1 x a
Fab(a b) 0( a b) 3LEI
0在AC段。
Fb 1 ( x ) [3x 2 ( L2 b 2 )] 0 6 LEI
x L2 b 2 3
D左 D右 连续条件： D左 D右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
④积分常数的物理意义和几何意义
物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 C 即坐标原点处梁的转角，它的 EI o EI倍就是积分常数C； 即坐标原点处梁的挠度的 EI倍就是积分常数D。 D EI o 几何意义：C——转角 D——挠度
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 边界条件： A 0
连续条件：
B左 B右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 解：边界条件： A 0 C 0
答案 D
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)
FA＝0 FB＝0 MCD＝const
A C D B
答案 D
材料力学笔记(第五章)
材料力学（土）笔记第五章 梁弯曲时的位移1．梁的位移——挠度及转角为研究等直梁在对称弯曲时的位移取梁在变形前的轴线为x 轴，梁横截面的铅垂对称轴为y 轴而xy 平面即为梁上荷载作用的纵向对称平面梁发生对称弯曲变形后，其轴线将变成在xy 平面内的曲线1AC B度量梁变形后横截面位移的两个基本量是挠度：横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x 轴方向的线位移ω转角：横截面对其原来位置的角位移θ 梁变形后的轴线是一条光滑的连续曲线，且横截面仍与该曲线保持垂直因此横截面的转角θ也就是曲线在该点处的切线与x 轴之间的夹角度量等直梁弯曲变形程度的是曲线的曲率梁的变形还受到支座约束的影响通常就用这两个位移量来反映梁的变形情况梁轴线弯曲成曲线后，在x 轴方向也将发生线位移 但在小变形情况下，梁的挠度远小于跨长，梁变形后的轴线是一条平坦的曲线横截面形心沿x 轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量，可略去不记因此在选定坐标后，梁变形后的轴线可表达为()f x ω=式中，x 为梁在变形前轴线上任一点的横坐标；ω为该点的挠度梁变形后的轴线称为挠曲线，在线弹性范围内，也称为弹性曲线上述表达式则称为挠曲线（或弹性曲线）方程由于挠曲线为一平坦曲线，故转角θ可表达为''tan ()f x θθω≈== 称为转角方程即挠曲线上任一点处的切线斜率'ω可足够精确地代表该点处横截面的转角θ 由此可见，求得挠曲线方程后，就能确定梁任一横截面挠度的大小，指向及转角的数值 正值的挠度向下，负值的挠度向上正值的转角为逆时针转向，负值的转角为顺时针方向2．梁的挠曲线近似微分方程及其积分为求得梁的挠曲线方程，利用曲率κ与弯矩M 间的物理关系，即 1M EIκρ== 式中曲率κ为度量挠曲线弯曲程度的量，是非负的这是梁在线弹性范围内纯弯曲情况下的曲率表达式在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩M 外尚有剪力S F 但工程用梁，其跨长l 一般均大于横截面高度的10倍剪力S F 对于梁位移的影响很小，可略去不计，故该式子依然适用式中的M 和ρ均为x 的函数，即1()()()M x x x EIκρ== 在数学中，平面曲线的曲率与曲线方程导数间的关系有'''23/21()(1)x ωρω=±+ 取x 轴向右为正，y 轴向下为正时曲线凸向上时''ω为正，凸向下时为负而按弯矩的正、负号规定，梁弯曲后凸向下时为正，凸向上为负，符号相反于是得到 '''23/2()(1)M x EIωω=-+ 由于梁的挠曲线为一平坦曲线，因此，'2ω与1相比十分微小可以略去不计故上式可近似的写为 ''()M x EIω=-上式略去了剪力S F 的影响，并略去了'2ω项 故称为梁的挠曲线近似微分方程若为等截面直梁，其弯曲刚度EI 为一常量，上式可改写为''()EI M x ω=-对于等直梁，上式进行积分，并通过由梁的变形相容条件给出的边界条件确定积分常数 即可求得梁的挠曲线方程当全梁各横截面上的弯矩可用单一的弯矩方程表示时，梁的挠曲线近似微分方程仅有一个 将上式的两端各乘以dx ，经积分一次，得'1()EI M x dx C ω=-+⎰再积分一次，即得12[()]EI M x dx dx C x C ω=-++⎰两式子中积分常数1C 、2C 可通过挠曲线的边界条件确定例如在简支梁中，左右铰支座处的挠度均等于零在悬臂梁中，固定端处的挠度和转角均等于零确定积分常数1C 、2C 后，就分别得到梁的转角方程和挠曲线方程从而可以确定任一横截面的转角和挠度1C 和2C 的几何意义 由于以x 为自变量，在坐标原点即0x =处的定积分恒等于零因此，积分常数'100x C EI EI ωθ===，20C EI ω=式中，0θ和0ω分别表示坐标原点处截面的转角和挠度若梁上的荷载不连续即分布荷载在跨度中间的某点处开始或结束，以及集中荷载或集中力偶作用处梁的弯矩需分段写出，各段梁的挠曲线近似微分方程也随之不同在对各段梁的近似微分方程积分时，均将出现两个积分常数为确定这些积分常数，除需利用支座处的约束条件外还需利用相邻两段梁在交界处位移的连续条件例如左、右两段梁在交界处的截面应具有相等的挠度和转角不论是约束条件和连续条件，均发生在各段挠曲线的边界处故均成为边界条件，即弯曲位移中的变形相容条件遵循两个原则①对各段梁，都是从同一坐标原点到截面之间的梁段上的外力列出弯矩方程所以后一段梁的弯矩方程包括前一段的弯矩方程的新增的()x a -项②对()x a -项的积分，以()x a -作为自变量于是由x a =处的连续条件，就能得到两段梁上相应的积分常数分别相等的结果 对于弯矩方程需分为任意几段的情况，只要遵循上述规则同样可以得到各梁段上相应的积分常数分别相等的结果从而简化确定积分常数的运算3．按叠加原理计算梁的挠度和转角梁在微小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系 在线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比当挠度很小时，曲率与挠度间呈线性关系梁的挠度和转角均与作用在梁上的荷载成线性关系在这种情况下梁在几项荷载（如集中力、集中力偶或分布力）同时作用下某一横截面的挠度或转角 就分别等于每项荷载单独作用下该截面的挠度或转角的叠加，即为叠加原理 已知梁在每项荷载单独作用下的挠度和转角表则按叠加原理来计算梁的最大挠度和最大转角将较为方便4．奇异函数·梁挠曲线的初参数方程5．梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施5.1 梁的刚度校核对于梁的挠度，其许可值通常用许可挠度与跨长之比值[]l ω作为标准 梁的刚度条件可表达为 max[]ll ωω≤ max []θθ≤ 一般土建工程中的构件，强度要求是主要的刚度要求一般处于从属地位但当对构件的位移限制很严，或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时刚度条件也可能起控制作用5.2 提高梁的刚度的措施由梁的位移表可见梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有关还与其弯曲刚度EI 成反比，与跨长l 的n 次幂成正比减小梁的位移，可采取下列措施①增大梁的弯曲刚度EI②调整跨长和改变结构5．梁内的弯曲应变能当梁弯曲时，梁内将积蓄应变能梁在线弹性变形过程中弯曲应变能V ε在数值上等于作用在梁上的外力所作的功W梁在纯弯曲时各横截面上的弯矩M 为常数，并等于外力偶矩e M当梁处于线弹性范围内e EI EI θρ=== θ与e M 呈线性关系直线下的三角形面积就代表外力偶所作的功W ，即12e W M θ=从而得纯弯曲时梁的弯曲应变能 12e V M εθ=即得2222e M l M l V EI EIε== 横力弯曲时，梁内应变能包含两个部分：与弯曲变形相应的弯曲应变能和与切应变形相应的剪切应变能对于弯曲应变能，取长为dx 的梁段，其相邻两横截面的弯矩应分别为()M x 和()()M x dM x +在计算微段的应变能时，弯矩的增量为一阶无穷小，可略去不计 计算器弯曲应变能为2()2M x dV dx EIε= 全梁的弯曲应变能则可通过积分求得为2()2l M x V dx EIε=⎰ 式中，()M x 为梁任一横截面上的弯矩表达式 当各段梁的弯矩表达式不同时，积分需分段进行梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可略去不计。
5-1 过梁验算
5.1 过梁验算
4.过梁的计算----(3)钢筋混凝土过梁
受剪承载力可按下列公式计算：
Asv
V0.07fcbh0 1.5fyvh0
Asv——每米内所需箍筋的截面面积，当Asv小于构造配 筋时，Asv取构造配筋面积；
V——剪力设计值；fyv——箍筋抗拉强度设计值； fc——混凝土抗压强度设计值； b——截面宽度；
h0——过梁截面的有效高度，h0 has 。
5.1 过梁验算
4.过梁的计算----(3)钢筋混凝土过梁
过梁下砌体局压承载力
N0 Nl f Al
式中：
0即使不满A足 0 / Al 3(存在组合深梁)作
a0 a梁下视作均载，为取近值似
1.0过梁与墙梁视作均载 1.25为端部局压
W——截面抵抗弯矩，对矩形截面 Wbh2 6 。
5.1 过梁验算
4.过梁的计算----(1)砖砌平拱过梁
受剪承载力可按下列公式计算：
式中V fvbz(5-2)V——剪力设计值；
fv——砌体沿齿缝截面的弯曲抗剪强度设计值； b——截面宽度；
z——内力臂，对矩形截面 z 2h 3。
5.1 过梁验算
h——过梁的截面计算高度，取过梁底面以上的墙体高度 hw，但不大于Ln/3；当考虑梁、板传来的荷载时，则按梁、板 下的高度hw采用。
5.1 过梁验算
4.过梁的计算----(2)钢筋砖过梁
钢筋砖过梁受剪承载力可按公式(5-2)。
V fvbz
5.1 过梁验算
4.过梁的计算----(3)钢筋混凝土过梁
5.1 过梁验算
4.过梁的计算----(1)砖砌平拱过梁
三种破坏特征：
1.跨中齿状垂直裂缝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
x y
cB
F
x
挠曲方程
W =y= f(x)
yw
（a）
c′
dy
dx B′
tg = dy/dx = y ′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ 很小 ≈ tg=dy/dx= f ′(x)
转角方程 =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，
在D点处确定其最大挠度和最
大转角。
a
Fb
A
c
B
L
最大挠度和最大转角
A
1
x0
Fab(l b) 6lEI
B
2
xl
Fab(l a) 6lEI
梁上无拐点 wmax w1/ 2
2）一次积分获转角方程
（5-2b）
EIzy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a） （5-3b）
EIzy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定 积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
x3
l2
b2
x]
§5-3 按叠加原理计算 梁的挠度及转角
§5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and It’s Integration
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
Fbl2 wmax 16EI
挠曲线方程和转角方程
1
w1
Fb 2lEI
[1 3
(l
2
b2
)
x2
]
y1
Fbx 6lEI
(l 2
b2
x2)
2
w2
Fb [ l 2lEI b
(x
a)2
x2
1 3
l2
b2
]
w2
y2
Fb [ l x a3
6lEI b
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且 纵向变形忽略不计的条件下，梁的挠度和转 角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
表明荷载对梁变形的影响是独立的
例：简支梁受集中力和集中力偶。求：
EXAMPLE 求图示梁的最大转角和
最大挠度。
a
p
L
解 ：1 建立坐标系并写出弯矩方程
x
M (x)
p(x a) (0 x a)
0
(a x l)
a
p
x
L
a
p
x
L
例：计算悬臂梁的挠度yc。
A
B
c
A
a
a
解：
B yB
C B yc
1、将梁AB看作悬臂梁，在均布荷载q的作用 下：
F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI
yc1 = FL3/48EI
m：A2、B2、yc2
A2= mL/6EI B2= - mL/3EI
yc2 = mL2/16EI
例5-5：简支梁在半跨度上作用荷载q， 求梁中点的挠度。
A
L/2
q
c L/2
B= A
q/2 L
q/2 q/2
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
y M ( x) F (L x)
EI
EI
④求位移方程
EI y′= EI = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
B+ A
L/2
L/2
5qL4
ymax 384 EI
yC
5(
q 2
)
L4
384 EI
5qL4
yC 768 EI
加平衡力系再分解 ----”加减法”
2．几项荷载同时作用在梁的不同区段上， 梁某一横截面的挠度和转角，可等于每 一项荷载单独作用于梁各区段时该截面 的挠度和转角的叠加．
A、B两端转角和中点挠度。
A
力A 的 分 解 法A
F
c
B
L/2
L/2
=
F c
yc1
┼
c
yc 2
B
m
B
解：将梁分为力F和力 偶m单独作用的情况：
F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI
yc1 = FL3/48EI
m：A2、B2、yc2 A2= mL/6EI
B2= - mL/3EI
直梁平面弯曲的两种位移
F
A
C
X B
挠度（deflection）
w—横截面形心在垂直
C′
B ′ 于轴线方向的位移。
A
x y
cB F x yw
c′ u
B′
转角（slope）—横
截面绕其中性轴转过 的角度。
水平位移u —横截面形心沿水平方向的位移,在小
位移假设时忽略不计。
3.挠度和转角方程（Equation of Deflection and slope）
(2) yc2 = q（2a）4/8EI(↓)
∴ yc = yc1 + yc2 41qa4/24EI(↓)
B = -qa3/6EI+q(2a)3/6EI = 7qa3/6EI
+
=
A
B
C
a
a
作业
• Skt---5-1,5-2 • Xt-----5-1, 11.7
11月14日
• SKT 5-7 • XT 5-13, 5-15, 5-19, 5-25
外伸梁B端—连续条件 10KN
A
B
4m
1m
x=4， yB=0； yB左= yB右 B左= B右
！！： 挠曲线近似微分方程的适用范围
1）均匀材料与等直截面梁—EI为常值。
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
5.EXANPEL
EI y′= = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
x
⑤确定积分常数
x=0 A= 0 yA= 0 C=0
D=0
y′= = F (Lx - x2/2) /EI
y= F (Lx2/2 - x3/6)/EI
F x
B
⑥求B截面转角和位移将 x=L 代入
Displacements of Bending Beam
§5-1梁的挠度及转角
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
B
FL2 2EI
yB
FL3 3EI
()
例5-2 图示一弯曲刚度为EI的简支 梁，在全梁上受集度为q的均布荷载 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定其最大挠度和最大转角。
解：①求约束反力
FA
FB
ql 2
②列弯矩方程
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 )
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角 等于每项荷载独立作用时在同位置产生 的挠度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
dx dx
结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位 置坐标 x的一阶导数。
2、建立挠曲线微分方程 1 M 4-4
积分（法1、）叠物加理法方、面奇: 异函数法、能量 EIZ
法、图解法1、有 限M差(X分) 法、初参数法
(x) EIZ
d2y
M (x)
（2）几何方面：
dx2 EIz
1
M
(x)
0,
d 2
dx
y
2
0
[1
d 2 yM/d0x, d22 (dy / dx)d2x
y
]2 3/
0
2
E Iz y〞= - M(x)
(5-2b)
1
( x)
Mddx20y2, ddx2 y2
0
挠曲线近似 微分方程
3 积分法计算梁的位移
1）基本方程：EIzy〞= - M(x)