正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用

摘要本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用.关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值ABSTRACTThis paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given.Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value目录第1章正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质 (1)1.1. 相关概念 (1)1.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题 (2)1.2.1. 正定矩阵的等价命题 (2)1.2.2 半正定矩阵的等价命题 (6)1.3. 正定矩阵和半正定矩阵的性质 (8)1.3.1. 正定矩阵的性质 (8)1.3.2. 半正定矩阵的性质 (13)第2章正定矩阵和半正定矩阵的判定方法 (15)2.1. 定义法 (15)2.2. 主子式法 (15)2.4. 与单位矩阵E合同法 (18)第3章定矩阵和半正定矩阵的应用 (20)3.1. 在不等式问题中的应用 (20)3.2. 在多元函数极值问题中的应用 (21)参考文献 (25)致谢 (26)第1章 正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质1.1. 相关概念定义1[1] 设a ij (i =1，2，⋯，n ，i ≤j)都是实常数，则关于n 个实变量x 1，x 2，⋯，x n 的二次齐次多项式函数f(x 1，x 2，⋯，x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋯+a nn x n 2+2a 12x 1x 2+2a 12x 1x 3+⋯+2a n−1，n x n−1x n ，称为n 元实二次型.[9]定义2[1] 实二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )为正定的，如果对于一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c n 都有f(c 1，c 2，⋯，c n )>0，如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )<0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为负定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≥0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半正定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≤0,那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半负定的.如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么称为不定的.[1]定义3[1] 若实数域上的n 元二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij nj=1ni=1x i x j =X T AX是正定（半正定）二次型，则A 被称为正定（半正定）矩阵，其中A =(a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn )，X =(x 1x 2⋮x n) 定义4[1] 子式|a 11a 12⋯a 1i a 21a 22⋯a 2i ⋮⋮⋱⋮a i1a i2⋯a ii|，，，，，，，，，0)00()(11121>==∑∑==ki kj k j i ij k k c c f c c a c c c f 称为矩阵A =(a ij )的i 阶顺序主子式i =1，2，⋯，n.1.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题1.2.1.正定矩阵的等价命题定理1[9] A 是n 阶实对称矩阵，则下列叙述等价： (1) A 是正定矩阵.(2) A 的所有顺序主子式全大于零. (3) A 的特征值全大于零. (4) 存在正定矩阵B ，使得A =B 2. (5) A 合同于E .(6) A 的一切主子式全大于零. (7) A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.(8) 对任意的实列满秩矩阵C n×m ,都有C T AC 为正定矩阵.(9) 任意实可逆矩阵T ,都有T T AT 为正定矩阵. (10) 存在秩为n 的m ×n 实矩阵C 使A =C T C . (11) A =P T P ，P 是n 阶可逆矩阵.(12) A =R T R ，R 是n 阶主对角元素全大于零的上三角形矩阵.A =U T U ，U 是n 阶主对角元素全大于零的下三角形矩阵.[9]证明(1)⇒(2)设二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i nj=1n i=1x j 是正定的.对于每个k ，1≤k ≤n ，设f k =(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i n j=1n i=1x j以下证明f k 是一个正定二次型，对于任意一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c k ，有)13(因此f k(x1，x2，⋯，x n)是正定的.由性质1可得，f k所对应的矩阵行列式|a11⋯a1n ⋮⋱⋮a k1⋯a kk|>0，k=1，2，⋯，n.从而A的各阶顺序主子式都大于零.(1)⇒(3)用反证法，若A的特征根λ1，λ2，⋯，λn不都大于零.不妨设λ1≤0，取A的属于λi的单位特征向量β≠0，就有βT Aβ=λ1≤0，这与A为正定矩阵相矛盾，所以A的特征值全大于零。

(3)⇒(1)设A的特征值为λ1，λ2，⋯，，，则存在正交矩阵T,使T T AT=diag(λ1，λ2，⋯，λn)，A=Tdiag(λ1，λ2，⋯，λn)T T，任意取x≠0，则X T AX=X T Tdiag(λ1，λ2，⋯，λn)T T X=Y T diag(λ1，λ2，⋯，λn)Y，其中Y=X T T=(y1，y2，⋯，y n)≠0，于是X T AX=λ1y12+λ2y22+⋯+λn y n2> 0，即A为正定矩阵.(3)⇒(4)设A的特征值为λ1，λ2，⋯，λn，则存在正交矩阵T，使得T T AT=diag(λ1，λ2，⋯，λn).于是A=Tdiag(λ1，λ2，⋯，λn)T T=[Tdiag(√λ1，√λ2，⋯，√λn)T−1][Tdiag(√λ1，√λ2，⋯，√λn)T−1=B2，其中B=Tdiag(√λ1，√λ2，⋯，√λn)T−1，因为B为实对称矩阵且特征值√λi> 0(i=1，2，⋯，n)，，故B为正定矩阵.(4)⇒(5)由A=B2=B T B=B T EB，，且B为正定矩阵，从而为可逆矩阵，也即A≅E.(5)⇒(1) 由A ≅E ，即存在可逆矩阵C ，使得A =C T EC =C T C..任意取X ≠0，令CX =Y =(y 1，y 2，⋯，y n )T ，则Y ≠0，于是X T AX =X T C T ACX =Y T Y =y 12+y 22+⋯+y n 2>0，故A 是正定矩阵.(1)⇒(6) 设A 是正定矩阵，且A k 为其任意k(1≤k ≤n)阶主子式对应的k 阶实对称矩阵（设取自A 的第i 1，i 2，⋯，i k 行和列），从而g =X k TA k X k (X k =(x i 1，⋯，x i k )为k 元实二次型.设c i 1，⋯，c i k 为任意一组不都为零的实数，则0，⋯，0，c i 1，0，⋯，0，c i k ，0，⋯，0.（即c i 1，⋯，c i k 以外的变量全取0）不全为0，又f =X T AX 是正定二次型，故g(c i 1，⋯，c i k )=f(0，⋯，0，c i 1，0，⋯，0，c i k ，0，⋯，0)>0.于是，g 是k 元正定的，A k 正定，从而A 的主子式|A k |>0.(6)⇒(7) 设A (i 1i 2i 3i 4i 1i 2i 3i 4)是n 阶正定矩阵A 的主子阵，则A (i 1i 2i 3i 4i 1i 2i 3i 4) 也是实对称矩阵，又因为A (i1i 2i 3i 4i 1i 2i 3i 4)的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式，由(6)知它们都大于零，从而为正定矩阵.(7)⇒(1) 因为A 本身也是它的一个主子矩阵，由(7)知A 为正定矩阵. (1)⇒(8) 任意取X ≠0，则有CX ≠0.（如果CX =0，则C T CX =0，而C T C 为m阶可逆矩阵，所以X =0与假设X ≠0矛盾）由于A 为正定矩阵，因此X T (C T AC )X =(CX )T A (CX )>0，从而C T AC 为正定矩阵.(8)⇒(9) 因为实可逆矩阵必然是实列满秩矩阵，由(8)知T T AT 为正定矩阵.(9)⇒(1) 设T T AT 为正定矩阵，其中T 为实可逆矩阵，又A =(T −1)T (T T AT)T −1, 由(9)知A 正定的.(10)⇒(1) 设存在秩为n 的m ×n 实矩阵C ，使得A =C T C .则A 为n 阶实对称方阵且对于任意不全为零的实数x 1，x 2，⋯，x n ，即X =(x 1，x 2，⋯，x n )T ≠0都会有CX =(y 1，⋯，y m )T ≠0，因此f(x 1，x 2，⋯，x n )=X T AX =(CX )T (CX )=y 12+⋯+y m 2>0，也就是说二次型f =X T AX 是正定的，于是A 为正定矩阵.(1)⇒(11) A 为正定矩阵A 合同于单位矩阵E 存在可逆矩阵P ，使得A =P T EP =P T P .(1)⇒(12) 设A 为正定矩阵，存在可逆矩阵P ，有A =P T P ，又P =QR （其中Q 为正交矩阵，R 为主对角元素全大于零的上三角形矩阵）从而A =P T P =R T Q T QR =R T R .(12)⇒(1) 若A =R T R ，其中R 为主对角元素全大于零的上三角形矩阵，当然R可逆，因此A 为正定矩阵.(1)⇒(13) 证明过程可类同于(1)⇔(12).1.2.2 半正定矩阵的等价命题定理2[2] 设A 是n 阶实对称矩阵，则下列叙述等价： (1) A 是半正定的.T ⇔⇔(2) A 的所有特征值非负. (3) A 的所有主子式非负. (4) A 的行列式大于等于零.(5) 存在n 阶实方阵B ，使得A =B T B . (6) A 主对角线的元素非负.(7) 存在秩为r 的n ×r 实矩阵B 使得A =B T B . (8)A 合同于主对角元素非负的对角矩阵.[2]证明 (1)⇒(3)设A 的k(1≤k ≤n)阶主子式对应的方阵为A k =(a i 1i 1⋯a i 1i k⋮⋱⋮a i k i 1⋯a i k i k)，1≤i 1<⋯<i k ≤n. 又f(x 1，x 2，⋯，x n )=X T AX ，f 1=(x i 1，⋯，x i k )=X k TA k X k .若A 是半正定的，即f 是半正定的，从而f 1是半正定的.于是有k 阶实满秩方阵C k 使C k T A k C k =(λ1⋯⋯⋮⋱⋮⋯⋯λk)， 其中λi ≥0.所以|C k T A k C k |=|A k ||C k |2=λ1，⋯，λk ≥0.但是|C |2>0,因此|A i |≥0.(3)⇒(1) 若A 的主子式非负，令B k =(a ij )为A 的k 阶顺序主子式所对应的方阵，则|λE k +B k |=|λ+a 11a 12⋯a 1k a21λ+a 22⋯a 2k⋮⋮⋮a k1a k2⋯λ+a kk|， 其中P i 为B k 中的一切i 阶主子式之和，故P i ≥0.从而当λ>0时，|λE k +B k |>0.即λE +A 的顺序主子式均为正，故λE +A 是正定矩阵.若不是半正定的，则必有X 0=(a 1，⋯，a n )≠0使X 0TAX 0=C <0，取λ=−c X 0T X 0=−ca 12+⋯+a n2>0，则X 0T (λE +A )X 0=λX 0T X 0=λX 0T X 0+X 0TAX 0=c −c =0.这与上面的结论矛盾.故A 必为半正定的.(1)⇒(5) 设A 是半正定的，且秩为r ，则存在实可逆方阵P ，使得A =P (Er00)P T 由上式得A =P (E r 000)(E r 00)P T=BB T ， 其中B =P (E r 00). (5)⇒(1) 设A =BB T (B 为实方阵).则对任意x ≠0，有f =X T (BB T )X =(BX )T (BX)≥0.故f 是半正定的.因此，A 是半正定的.(1)⇒(7) 由等价条件(5)的证明过程中得A =P (Er00)P T. 令是的前列构成的秩为r （因为P 满秩）的n ×r 实矩阵，则A =(B ，C)(E r 000)(BC)=BB T . 1.3. 正定矩阵和半正定矩阵的性质1.3.1.正定矩阵的性质性质1[1] 正定矩阵的行列式大于零.证明 设A 是正定矩阵，则A 与I (单位矩阵)合同，于是存在可逆矩阵C 使A B P rA=C T IC=C T C.同时在两边取行列式，有|A|=|C T||C|=|C|2>0.性质2[3]A=(a ij)n×n是n阶正定矩,则A的主对角元全大于零.证明设εi是第i个分量为1而其余分量为零的n维列向量，由于A正定，则a ii=εi T Aεi>0.i=1，2，⋯，n性质3[3]正定矩阵A=(a ij)中绝对值最大的元素必在它的主对角线上.证明鉴于A正定，故A的任一二阶主子式大于零，即|a ii a ija ij a jj|=a ii a jj−a ij2>0，即|a ij|<(a ii a jj)12(i≠j，i，j=1，2，⋯，n).设A的主对角线上最大元素为a kk，则a kk>0.|a ij|<(a ii a jj)12≤(a kk2)12=a kk(i≠j，i，j=1，2，⋯，n).即A中绝对值最大的元素必在它的主对角线上.性质4[5]若A是正定矩阵，则是kA，A+kB正定矩阵，其中k>0.性质5[6]若A是正定矩阵，则A−1,A∗是正定矩阵.证明先证A−1是正定的.因为A是正定矩阵，所以A也是对称矩阵，即A T=A，因为(A−1)T=(A T)−1，从而有(A−1)T=A−1，即A−1是对称矩阵.因为矩阵A是正定的，则对于任何非零的n维实列向量X，恒有X T AX>0，由于X T A−1X=X T A−1AA−1X>0，且A−1X不等于零；故(A−1X)T=AA−1X>0，从而X T A−1X>0，则A−1是正定矩阵.再证明A∗也是正定矩阵.由于A是正定矩阵，且A∗=|A|A−1则(A∗)T=A∗，A∗是实对称矩阵.由于A∗的特征值为|A|λ1，⋯，|A|λn>0.所以A∗是正定矩阵.性质6[1]若A是正定矩阵，则对于任意整数k，A k都是正定矩阵.证明（1）当k=0时，A k=I，A k是正定矩阵.（2）当k<0时，k=−|k|，即A k=(A−1)|k|，根据正定矩阵的性质5可知，A−1也是正定的，故下面的k只要是正整数就行.当k为偶数时，由于A T=A，且A k=(A k2)T(A k2)，由正定矩阵的条件（6）可知，是正定矩阵.当k为奇数时，由于...A k=A k−12AAk−12=Ak−12C T CAk−12=(CAk−12)T(CAk−12).因此A k是正定矩阵.性质7[7]A是n阶正定矩阵，则0<|A|<a11a22⋯a nn，其中a ii(i=1，⋯，n)是A的主对角元素.证明由于A正定，则A的特征根均大于零，而|A|=λ1λ2⋯λn，其中λi(i=1，⋯，n)是A的特征根，故|A|>0.设A=(A n−1a a T a nn)式中A n−1=(a11a1，n−1an−1，1an−1，n−1)，a=(a1n，a2n，⋯，a n−1，n)T.因A是正定矩阵，故A n−1是正定的，且A n−1是可逆阵，对A进行广义初等变换，得(A n−1aa T a nn)→(A n−1aa a nn−a T A n−1−1a)→(A n−100a T A n−1−1a)，于是k A(I n−10−a T A n−1−11)(A n−1a a a nn )(I n−1−A n−1−1a 01)=(A n−1a 0a nn −a T A n−1−1a )， 等式两边同取行列式得，|A |=|A n−1|(a nn −a T A n−1−1a ).由A n−1正定，得A n−1正定，那么a T A n−1−1a ≥0，|A n−1|≥0.因此|A |≤|A n−1|a nn ，同理可得，|A n−1|≤|A n−2|a n−1，n−1其中A n−1是A 的n −2阶顺序主子式，一直这样下去，可得|A |≤|A n−1|a nn ≤|A n−2|a n−1，n−1a nn ≤⋯≤a 11a 22⋯a nn .性质8[5] 若A 是正定矩阵，m 是任意正整数，则存在正定矩阵B ，使得A =B m . 证明 A 是正定矩阵，必存在正交矩阵Q ，使Q T AQ =(λ1⋯0⋮⋱⋮0⋯λn ). 式中λ1，⋯，λn >0，于是A =Q (λ1⋯0⋮⋱⋮0⋯λn )Q T ， 令B =Q (√λ1n ⋯0⋮⋱⋮0⋯√λnn )Q T . 则A =B m ，结论得证.性质9[7] 设A ,B 都是n 阶正定矩阵，则AB 是正定矩阵的充要条件是AB =BA.. 证明 ⇒）AB 正定，下证AB =BA...因为AB 正定，则AB 必为实对称的，故由A ,B 正定得AB =(AB)T =B T A T =BA ，⇐)AB=BA,下证AB正定.AB是实对称矩阵.又A,B都正定，必存在实满秩方阵P,Q使得A=P T P，B=Q T Q，这时AB=P T PQ T Q与矩阵QP T PQ T=Q(P T PQ T Q)Q−1=Q(AB)Q−1相似，于是相同的特征根.但QP T PQ T=(PQ T)T PQ T为正定矩阵，所以它的特征根全是正实数，故AB的特征根也都是正实数，从而AB是正定的.性质10 [7]A为n阶实方阵，A正定的充要条件是存在秩为n的m×n实方阵C，使得A=C T C..证明⇒）若A正定，则根据正定矩阵的等价条件，结果显然成立.⇐)设存在秩为n的m×n实方阵C，使得A=C T C，则A为实对称方阵，并且由齐次线性方程组的理论知识可知，对任意不全为零的实数x1，⋯，x n，即X=(x1，⋯，x n)≠0，，必有CX=(y1，⋯，y n)≠0，，且f(x1，⋯，x n)=X T AX=(CX)T(CX)=y12+⋯+y n2>0.即是f正定二次型，因而矩阵A正定的.性质11[7]若A，B都是同阶正定矩阵，则AB的特征值全大于零.证明由于A是正定矩阵，则存在n阶可逆矩阵P，使得A=P T P，则AB=P T PB=P T(PBP T)(P T)T，这表明AB相似于P T BP，又(PBP T)T=PB T P T=PBP T，即PBP T,是实对称矩阵，它的特征根全部为实数，因为相似矩阵具有相同的特征根，则AB的特征根也为实数. 设λ为AB的任一特征根，那么λ必为实数α为AB的属于λ的特征向量，即(AB)α=λα，α≠0.Bα=λA−1α，且αT Bα=λαT A−1α.则因为A正定，所以A−1正定.又B正定，故αT Bα>0，αT A−1α>0从而λ>0.1.3.2.半正定矩阵的性质性质1[1]若矩阵A是半正定矩阵，则对于任何非负实数k，kA也是半正定矩阵.证明设f(x1，⋯，x n)=X T AX，因为A是半正定的，所以对任意的n维实向量X≠0，都有X T AX>0，由已知X T kAX=k(X T AX)≥0，，则有k>0，故kA也是半正定的.性质2[8]可逆半正定矩阵的逆矩阵是半正定矩阵.性质3[7]设A=a ij，B=b ij都是n阶方阵.定义A°B=(a ij b ij)若A,B都是半正定的，则A°B也是半正定的.证明因为B=b ij是半正定矩阵，故存在实方阵P=(p ij)使B=P T P，即有.b ij=p i1p j1+⋯+p in p jn，由于A，B都为实对称的，故A°B也是实对称的，且X T(A°B)X=∑a ij b iji，j x i x j=∑a iji，j(∑p ik p jki，j)x i x j=∑∑a ij(i，ji，jp ik x i)(p jk x j)=∑Y k T AY kk，(1)其中X=(x1，⋯，x n)，Y k=(p1k x1⋯p nk x n).因为A是半正定的，故对于任何实向量X，都有Y k T AY k.再由(1)得X T(A°B)X>0，故A°B是半正定矩阵.性质4[7] 若A,B都是半正定矩阵，则A+B也是半正定的，而且|A+B|≥|A|+ |B|.性质5[8] 若A是半正定矩阵，则对任意k=2m，m∈Z∗，有A k也为半正定的.证明因为A为半正定矩阵，且k=2m，m是正整数，那么A k=A2m=A m A m=(A m)T(A m)，而A m为实矩阵，则由定理2可知A k为半正定矩阵.第2章 正定矩阵和半正定矩阵的判定方法2.1. 定义法例1 设A 是m ×n 阶正定矩阵，B 是m ×n 实矩阵.证明：B T AB 正定↔r (B )=n..证明 ⇒）反证法.由于A ，B T AB 分别是m 阶，n 阶正定阵.反设r(B)<n ，则齐次线性方程组BX =0有非零解α，即 Bα=0 ，于是.αT (B T AB )α=(Bα)T A (Bα)=0，这与B T AB 为正定矩阵矛盾，故r (B )=n.⇐）由于A 正定，则A 为实对称矩阵，(B T AB)T =B T A T B =B T AB ，即B T AB 是实对称矩阵.下证B T AB 是正定矩阵.由于r (B )=n ，故齐次线性方程组BX =0只有零解，于是对任意n 维实列向量α≠0，有Bα≠0，.又A 为正定矩阵，则(Bα)T A (Bα)>0，即αT (B T AB )α>0，故B T AB 为正定矩阵.2.2. 主子式法例2 判断矩阵A 是否正定，其中A =(303120031)解 由于A 的一阶顺序主子式为|3|=3>0，A 的二阶顺序主子式为|3012|=6−0=6>0， A 的三阶顺序主子式为|303120031|=6+9=15>0， 因此矩阵A 是正定矩阵..例3 t 为何值时矩阵A 为正定矩阵？求出对应的t 值.其中A =|21011t 0t 20|， 解 因为A 正定的充要条件是A 的各阶顺序主子式均大于零，|2|=2>0，|2111|=2−1=1>0，|21011t 20t 21|>0， 解得−√2<t <√2.因此，当−√2<t <√2时矩阵A 为正定矩阵.2.3. 特征值法例4 判断矩阵A 是否正定，其中A =|50003−20−23| 解 矩阵A 的特征多项式为f A (λ)=|λ−5000λ−3202λ−3|=(λ−5)2(λ−1)，所以A 的特征根分别为λ1=λ2=5>0，λ3=1>0.因此，矩阵A 是正定矩阵.例5 设A ，C ，为n 阶正定矩阵，B 是矩阵方程AX +XA =C 的唯一解.证明：(1) B 是实对称矩阵；(2) B 是正定矩阵.证明 (1)因为A ，C 为n 阶正定矩阵，A ，C 必为实对称矩阵，故A T =A ，C T =C ，对AB +BA =C 两边取共轭，得AB ̅+B ̅A =C ，.2''''''αλααλααλαααααααA A A BA AB C =+=+=从而B ̅也是AX +XA =C 的解，又由于方程的解是唯一的，故B =B ̅，即B 是实矩阵.对AB +BA =C 两边取转置，得C =C T =(AB +BA)T =B T A +AB T ，这表明B 也是AX +XA =C 的解，由解的唯一性可知B =B T ，即B 是实对称矩阵.设λ是B 的任意特征根，α为B 的属于λ的特征向量，则Bα=λα，于是 由于A ，C 为正定矩阵，故αT Aα>0，αT Cα>0，则B 的特征根λ大于0，则B 是正定矩阵.例6 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，并且满足A 2=B 2.证明： B 是正定矩阵.证明 因为B 是半正定的，必存在正交矩阵T ，使得B =T −1(λ10000λ20000⋱0000λn)， 式中λi ≥0(i =1，2，⋯，n)，对照题设条件可知A 2=B 2=T −1( λ120000λ220000⋱0000λn 2)T ， 因A 2是正定矩阵，于是λI 2>0，从而λI >0，因此B 为正定矩阵.2.4. 与单位矩阵E 合同法例7 A 是n 阶可逆矩阵，证明：A T A 是正定的.)2(证明 因为(A T A)T =(A T A)，则矩阵A T A 对称的.又A T A =A T IA ，同时A 是可逆矩阵，于是A T A ≅I ，则矩阵A T A 是正定的.例8 证明：分块矩阵Q =(A 00B )是正定矩阵，其中A ，B 分别为m ，n 阶正定矩阵.证明 因为矩阵A ，B 为正定矩阵，则必存在可逆矩阵C m×m 和D n×n ，使c T AC =I m ，D T BD =I n ，设P =(C 00D )，那么P T =(C T 00D T)，且矩阵P 是m +n 阶可逆的. p T QP =(C T 00D T )(A 00B )(C 00D )=(C T AC 00D T BD )=(I m 00I n )， 所以Q ≅I ，故分块矩阵Q =(A 00B)是正定矩阵.第3章定矩阵和半正定矩阵的应用3.1.在不等式问题中的应用例9设A，B，C是一个三角形的内角.证明：对任意实数x，y，z，都有x2+y2+z2≥2xy cos A+2xz cos B+2yz cos C.证明f(x，y，z)=x2+y2+z2−2xy cos A−2xz cos B−2yz cos C.=(x，y，z)(1−cos A−cos B −cos A1−cos C−cos B−cos C1)(xyz)，令上式中的三阶实对称矩阵为T，由于T的一阶顺序主子式为|1|=1>0，T的二阶顺序主子式为T的三阶顺序主子式为|1−cos A−cos B −cos A1−cos C−cos B−cos C1|=1−2cos A cos B cos B−(cos A)2−(cos B)2−(cos C)2=0.故f(x，y，z)半正定，即f(x，y，z)≥0，从而结论成立.例10设∆ABC的三条边分别为a，b，c面积为S.证明:a2+b2+c2≥4√3S.证明由于c2=a2+b2−2ab cos C，s=1ab sin C.所以利用上述公式，可以将问题转化为f(a，b)=a2+b2+a2+b2−2ab cos C−2√3ab sin C=2a2+2b2−2ab(cos C+√3)sin C=2a2+2b2−4ab sin (π6+C).二次型f(a，b)的矩阵为A=(2−2sin (π6+C)−2sin (π6+C)2)，由于A的一阶、二阶主子式满足2>0，|A|=4[1−(sin (π6+C)]2≥0，故A半正定，即二次型f(a，b)半正定，从而结论成立.3.2.在多元函数极值问题中的应用定义7[4]设n元实函数f(X1，⋯，X n)在X=(x1，⋯，x n)∈R n的某个领域内存在一阶、二阶连续偏导数.记Vf(x)=(ð(X)ðX1，ð(X)ðX2，⋯，ð(X)ðX n)，Vf(x)称为函数f(X)在点X=(x1，⋯，x n)T处的梯度.定义8[4]H(X)=(∂2f(X)ðX i X j)m×n=(∂2f(X)ðX i2∂2f(X)ðX1ðX2⋯∂2f(X)ðX1ðn⋮⋮⋯⋮∂2f(X)ðX nðX1∂2f(X)ðX nðX2⋯∂2f(X)ðX n2)此矩阵称为函数在处的（Hessian）黑塞矩阵，则H(X)是由f(X)的n2个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵.定义9[4]（极值充分条件）设f(X)在点X0∈R n的某个领域内存在一阶、二阶连续偏导数时，且Vf(X0)=(ð(X0)ðX1，ð(X0)ðX2，⋯，ð(X0)ðX n（1）当H(X0)是正定矩阵时，f(X)在点X0处取得极小值；（2）当H(X0)是负定矩阵时，f(X)在点X0处取得极大值；（3）当H(X0)是不定矩阵时，f(X)在点X0处不取极值；定义10[4]（极值必要条件）设函数f(X)在点X0=(x10，⋯，x n0)T处可微，且X0为该函数的极值点，则1）X0必为f(X)的稳定点，即Vf(X0).2）若f(X)在X0的某领域U(X0)存在连续二阶偏导数，则当f(X0)为极小值时，f(X)在X0的黑塞矩阵为正定或半正定；则当f(X0)为极大值时，f(X)在X0的黑塞矩阵为负定或半负定.例1 求多元函数f(x，y，z)=x2+y2+z2+2x+y−z的极值.解先求f的驻点，由{f x=2x+2=0f y=2y+1=0 f z=2z−1=0，解得x1=−1，x2=−12，x3=12.求得函数驻点为P0=(−1，−12，12).再求（Hessian）黑塞矩阵，因为f xx=2，f xy=0，f xz=0，f yx=0，f yy=2，f yz=0，f z x=0，f z y=0，f z z=2.故H =(200020002).由于H 的各阶顺序主子式全为零，故矩阵H 是正定的.所以P 0=(−1，−12，12)是f(x ，y ，z)的极小值点.且在点P 0=(−1，−12，12) 的极小值为f =(−1，−12，12)=−32.例2 求多元函数f (x )=x 12+2x 1x 2+2x 22+x 32−4x 2x 3+3x 1x 3的黑塞矩阵，并根据结果判断该函数的极值点.解 先求驻点，由{f x 1=2x 1+2x 2+3x 3=0f x 2=4x 2+2x 1−4x 3=0f x 3=2x 3−4x 2+3x 1=0，解得x 1=0，x 2=0，x 3=0.可得驻点为P 0=(0，0，0).再求(Hessian)黑塞矩阵，因为fx 1x 1=2，fx 1x 2=2，fx 1x 3=3，fx 2x 1=2，fx 2x 2=4，fx 1x 3=−4，fx 3x 1=3，fx 3x 2=−4，fx 3x 3=2，故所求得(Hessian)黑塞矩阵为H =(22324−43−42)，由于H 11=2>0，H 22=|2224|=4>0，H 33=(22324−43−42)<0，所以黑塞矩阵为不定矩阵，故P 0不是极值点.参考文献[1]王萼芳,石生明.高等代数[M].第四版.北京:高等教育出版社,2013.[2]姜国.正定矩阵的判定及性质[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2006,26(1): 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