课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n项和(重点高中)

课时跟踪检测（三十） 等差数列及其前n 项和

(二)重点高中适用作业

A 级——保分题目巧做快做

1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( )

A ．36

B ．72

C ．144

D ．288

解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝3

2，∴S 9＝9×2＋9×82×32＝72.

法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2

＝72.

2．(2018·湖南五市十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4

＋a 5＝23，则S 8＝( )

A ．72

B ．88

C ．92

D ．98

解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72

d ＝92.

法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)

2

＝92. 3．(2018·东北四市高考模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )

A ．9

B ．15

C ．18

D ．30

解析：选C 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.

4.(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A ，B ，C ，D ，E 五人分5钱，A ，B 两人所得与C ，D ，E 三人所得相同，且A ，B ，C ，D ，E

每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E 所得为( )

A.2

3钱 B.43钱 C.56

钱 D.32

钱 解析：选A 由题意，设A 所得为a －4d ，B 所得为a －3d ，C 所得为a －2d ，D 所得

为a －d ，E 所得为a ，则⎩⎪⎨⎪⎧

5a －10d ＝5，2a －7d ＝3a －3d ，

解得a ＝23，故E 所得为2

3

钱．

5．(2018·云南11校跨区调研)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n

a n ＋3，则a 4＝( )

A.34 B ．1 C.43

D.32

解析：选A 依题意得1

a n ＋1＝a n ＋33a n

＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1

3为首项、

13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝3

4

.

6．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.

解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)

2d ＝6×6－30＝6.

答案：6

7．在等差数列{a n }中，公差d ＝1

2，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝

________.

解析：因为S 100＝

1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910

， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝2

5，

则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×2

5

＝10. 答案：10

8.(2018·广东深圳中学月考)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 取到最大值的n ＝________.

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

a 3＝7，2a 4＝10，

故d ＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 3

＋(n －3)d ＝7－2(n －3)＝13－2n .令a n >0，得n <6.5.所以在等差数列{a n }中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使S n 取到最大值的n 的值为6.

答案：6

9．(2018·广西三市第一次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋1

2，

则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝1

2

，

∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝1

2的等差数列，

∴T n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n

4

.

10.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2

n 和a n 的

等差中项．

(1)证明：数列{a n }为等差数列；

(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值． 解：(1)证明：由已知可得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0， 当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，

所以2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， 所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，