三角形的解法

銳角、直角、鈍角三角形的判斷
1. ABC為銳角三角形 2. ABC為直角三角形 3. ABC為鈍角三角形
a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2
海龍 (Heron)公式
已知三角形的三邊長為a 、b 、c ，則
ABC面積= s(s a)(s b)(s c) 其中 s a b c
第三章 三角形的解法
3-1 正弦定理 3-2 餘弦定理 3-3 三角形的解法 3-4 平面三角測量
3-1 正弦定理
1. 定理中的習慣用法 2. 正弦定理 3. 三角形的面積(1) 4. 三角形的面積(2) 5. 三角形的面積(3)
定理中的習慣用法
在本章中，為了處理問題的方便，我們先說明 一些習慣的用法： 1. 在 ABC中，三內角A、B、C 的對邊
3-4 平面三角測量
1. 測量問題 2. 測量常用名詞 3. 測量中的方位
測量問題
測量問題是三角形解法中一項重 要的應用，當我們不能實際去丈 量距離或高度時，可藉助於三角 函數的某些特性和一些簡單的儀 器來解決這類問題。
測量常用名詞
1. 鉛垂線：將線的一端固定，另一端繫重物， 讓其自由下垂，則此垂線稱為鉛
2
2 2R 4R
三角形的面積(3)
公式 ABC面積＝rs
設r為 ABC內切圓的半徑，且O為內切圓 的圓心。
ABC面積= ABO＋ BCO ＋ ACO
1 cr 1 ar 1 br 22 2
r
a
b 2
c
rs
3-2 餘弦定理
1. 餘弦定理 2. 銳角、直角、鈍角三角形的判斷 3. 海龍(Heron)公式
負的。 4. 利用正弦定理、餘弦定理。
解三角形的方法
1. 若已知兩角及一邊(A.A.S. 或 A.S.A.) 先利用正弦定理 。
2. 若已知三邊，或兩邊及其夾角(S.S.S. 或 S.A.S.) 先利用餘弦定理。
3. 若已知兩邊及一對角(S.S.A.) 先利用正弦定理，其結果可能二 解、一解或無解。
三角形的面積(1)
公式 ABC面積為
1 absin C 1 bcsin A 1 acsin B
2
2
2
三角形的面積(2)
公式 ABC面積 abc
4R
說明 由正弦定理 b 2R sin B b
sin B
2R
再由(1)之面積公式得：
ABC面積= 1 ac sin B 1 ac b abc
測量中的方位
1. 在測量時，若用到方位， 除了基本方位東、西、 南、北外，還有東北、 東南、西北、西南等。 至於一般的方位則須再 配合角度來區別。
2. 例如目標物Ａ的方位為
東 60北或北 30東，目 標物 B 的方位為西 20 南或南70西。
通常以 a、b、c 表示。 2. R： ABC外接圓半徑。 3. r ： ABC內切圓半徑。
abc
4. s ： ABC周長的一半，即s = 2 。
正弦定理
若a 、b 、c分別表 ABC中 的對邊，則 A、B、C
a b c 2R sin A sin B sin C a : b : c sin A : sin B : sin C
餘弦定理
a 、b 、c 分別為ABC中， A、B、C
的對邊，則
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a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 cos A
2bc
b2 c2 a2 2ca cos B
c2 a2 b2 cos B
2ca
c2 a2 b2 2ab cosC cosC a2 b2 c2 2ab
垂線。 2. 水平面：完全靜止時的水面稱為水平面，
它與鉛垂線垂直。 3. 水平線：與水平面齊平的直線，亦指與水
平面平行的直線。
4. 仰角：若目標物在水平線 的上方，則目標物 和觀測點的連線與 水平線的夾角稱為 仰角。
5. 俯角：若目標物在水平線 的下方，則目標物 和觀測點的連線與 水平線的夾角稱為 俯角。
2
3-3 三角形的解法
1. 何謂解三角形 2. 解三角形的注意事項 3. 解三角形的方法
何謂解三角形
在組成三角形六個條件(三個角與三 個邊)中，若已知三個條件(其中至少 要有ㄧ個邊長)，而求其他未知的三 個條件，這種過程稱為解三角形。
解三角形的注意事項
1. 三角形的三內角和爲180。
2. 1 sin 1， 1 cos 1 。 3. 為鈍角時，sin 爲正的，cos 為