高中数学：复数的有关概念

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高二数学复数知识点整理_高中数学复数知识点

高二数学复数知识点整理_高中数学复数知识点复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，某轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程某2=-1的一个根，方程某2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。

高考复数概念知识点

高考复数概念知识点复数是数学中的一个重要概念，也是高中数学考试中常见的题型之一。

掌握好复数的概念和相关知识点，对于考试取得好成绩是至关重要的。

本文将介绍高考复数相关的概念和知识点，希望能够帮助大家更好地理解和运用。

一、复数的定义与表示1. 复数的基本定义：在实数范围内，无法满足平方后为负的数，例如-1，所以引入了虚数单位i（i^2 = -1）。

复数定义为实数与虚数的和，形如a+bi的数就是复数，其中a为实部，b为虚部，i满足i^2 = -1。

2. 复数的表示：复数可以用代数方法表示，也可以用几何方法表示。

代数方法表示时，将a和b视作实数，将虚数单位i视作一个数。

几何方法表示时，将复数a+bi看作是平面直角坐标系中的一个点P(x, y)，其中x=a，y=b，可以通过平面向量的方法进行表示。

二、复数的运算1. 复数的加法与减法：复数的加法与减法可以按照实部与虚部分别进行运算，即(a+bi) +(c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

2. 复数的乘法与除法：复数的乘法可以按照公式展开进行计算，即(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

复数的除法可以利用共轭复数的性质进行计算，即(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) * (c-di)] / [(c+di) * (c-di)]，化简后可得实部和虚部的表达式。

3. 复数的乘方与开方：复数的乘方利用了极坐标的概念，可以通过转化为极坐标形式，进行指数运算，然后再转化回代数形式。

复数的开方可以根据欧拉公式进行计算，即通过将复数表示为指数形式来进行开方运算。

三、复数在方程和函数中的应用1. 复数方程的解：复数方程是指方程中含有复数的方程，例如x^2 + 1 = 0。

对于复数方程，可以根据求根公式进行求解，其中虚数单位i非常重要。

2. 复数函数的性质：复数函数是指函数的自变量与函数值都可以是复数的函数。

高中数学中的复数

高中数学中的复数在高中数学学习中，我们常常会接触到复数这个概念。

复数是由实数部分和虚数部分构成的数，学习和理解复数对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要的意义。

本文将介绍复数的定义、性质以及在高中数学中的应用。

一、复数的定义复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

二、复数的性质1. 复数的加法和减法：将实部相加或相减，虚部相加或相减。

2. 复数的乘法：实部和虚部分别相乘得到新的实部和虚部。

3. 复数的除法：分子和分母同时乘以共轭复数，并运用乘法规则进行计算。

4. 复数的模：复数的模等于实数部分和虚数部分的平方和的平方根。

5. 复数的共轭：将复数的虚数部分取相反数得到共轭复数。

6. 复数的指数表示：根据欧拉公式，复数可以表示为e^ix的形式。

三、复数在高中数学中的应用1. 解方程：复数可以用于解决各类方程，包括二次方程、三次方程等。

复数根定理告诉我们，若一个多项式方程没有实数根，则必定存在复数根。

2. 向量运算：复数可以用于表示平面上的向量，利用复数的加法和乘法可以进行向量的运算，如相加、相减、旋转等。

3. 三角函数：复数可以与三角函数建立联系，通过欧拉公式，我们可以将三角函数用复数表示，进而简化三角函数的计算。

4. 矩阵运算：复数在矩阵运算中也有广泛应用，包括复数矩阵的加法、乘法、求逆等。

5. 物理学中的应用：复数在物理学中也有重要应用，如交流电路中的分析、波动学中的表示等。

综上所述，复数在高中数学中扮演着重要的角色。

通过学习和理解复数的定义和性质，我们可以更好地应用复数解决各种数学问题，并将其应用到更广泛的领域中。

在学习过程中，我们应注重对复数概念的理解和运用能力的培养，以提高自己在数学领域的素养和能力。

通过深入研究和探索，我们能够更好地理解数学的本质，并在实际问题中灵活应用数学知识。

高中数学第七章复数(分层练习)(必修第二册)(2)

7.1.1 数系的扩充和复数的概念【自主学习】一．复数的有关概念1.复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做，满足i 2＝．2.复数集：全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集．3.复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．二．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当且．三．复数的分类1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( )(2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)若b 为实数，则z= bi 必为纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 2.若复数(a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是实数，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．不存在【经典例题】题型一复数的概念例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4, 2－3i ，－12＋43i, 5＋2i, 6i.【训练】1若a ∈R ，i 为虚数单位，则“a ＝1”是“复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i 为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分又不必要条件题型二复数的分类例2 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

高一复数怎么理解知识点

高一复数怎么理解知识点高中一年级的学生在英语学习中，会接触到复数这一知识点。

复数是英语中一项基础而重要的语法知识，正确理解和运用复数形式对于语言学习的成功至关重要。

本文将介绍高一复数的概念、形式以及使用方法，并提供一些学习复数的实用技巧。

一、复数的概念和形式复数（plural）是英语中表示多个个体或事物的名词形式。

在大多数情况下，复数形式的名词是通过在单数形式后面加上“-s”或“-es”来构成的。

1. 一般规则大部分名词的复数形式是在单数形式后面加上“-s”。

例如，“book”（书）的复数形式是“books”（书籍），“cat”（猫）的复数形式是“cats”（猫咪）。

2. 特殊规则有一些名词的复数形式比较特殊，需要记住其形式变化。

- 当名词以s、x、ch、sh结尾时，复数形式应在单数形式后加上“-es”。

例如，“box”（盒子）的复数形式是“boxes”（盒子们）。

- 当名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y变为i，再加上“-es”。

例如，“baby”（婴儿）的复数形式是“babies”（婴儿们）。

- 当名词以“-f”或“-fe”结尾时，复数形式将f或fe改为v，再加上“-es”。

例如，“leaf”（叶子）的复数形式是“leaves”（叶子们）。

二、复数的用法除了表达多个个体或事物以外，复数在句子中还有其他几种常见的用法。

1. 表示泛指复数形式的名词可以用来表示一类人或事物的泛指。

例如，“Children should obey their parents.”（孩子们应该服从父母。

）这里的“children”表示所有的孩子。

2. 表示具体数量复数形式的名词可以表示确切的数量。

例如，“There are three boys in the classroom.”（教室里有三个男孩。

）这里的“boys”表示确切的数量为三个。

3. 表示部分整体复数形式的名词还可以表示整体的一部分。

例如，“Some students are good at math.”（有些学生擅长数学。

高中复数知识点总结

高中复数知识点总结高中复数知识点总结在高中数学学习中，复数是一个重要的概念和工具。

复数是由一个实数和一个虚数按照一定规则构成的数，可以用于解决很多数学问题，特别是在代数、函数、解析几何和电磁学等领域中。

以下是高中复数知识点的总结：1. 复数的定义：复数是由一个实数和一个虚数相加构成的数，形如a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分。

实数部分a和虚数部分b都是实数。

2. 共轭复数：对于复数a+bi，共轭复数为a-bi，即保持实部不变，虚部取负。

3. 复数的表示形式：复数除了直角坐标形式a+bi，还有极坐标形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

4. 模和幅角的关系：模r表示复数与原点的距离，幅角θ表示复数与正实轴的夹角。

r的计算公式为|r|=√(a²+b²)，幅角θ的计算公式为θ=arctan(b/a)。

5. 直角坐标形式与极坐标形式的转换：复数可以在直角坐标系和极坐标系之间互相转换。

直角坐标形式转换为极坐标形式，可利用|r|和θ的公式，极坐标形式转换为直角坐标形式，可将r和θ代入复数的表示公式。

6. 复数的加法和减法：复数的加法和减法按照实部和虚部分别相加和相减的原则。

7. 复数的乘法：复数的乘法按照分配率和乘法公式展开进行计算。

8. 复数的除法：复数的除法通过乘以倒数来进行，其中分母的共轭复数作为分子的共轭复数的倒数。

9. 欧拉公式：欧拉公式是复数的一个重要公式，表示为e^(iθ)=cosθ+isinθ，其中e为自然对数的底数。

10. 复数的指数和对数函数：复数可以进行指数和对数运算，其中指数函数遵循e^(a+bi)=e^a(cosb+isina)，对数函数遵循ln(a+bi)=ln|a+bi|+iθ。

11. 复数的幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并运用指数函数的性质进行计算。

12. 复数的根式运算：复数的根式运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并运用根式的性质进行计算。

高中数学知识点总结复数与复平面

高中数学知识点总结复数与复平面高中数学知识点总结：复数与复平面一、复数的定义及性质复数是由实数和虚数构成的。

一般表示为z=a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数的性质如下：1. 加法性质：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 减法性质：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 乘法性质：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 除法性质：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i二、复数的共轭及模对于一个复数z=a+bi，它的共轭复数表示为z*=a-bi，共轭复数z*的实部与z的实部相同，虚部与z的虚部相反。

复数的模（绝对值）表示为|z|=√(a²+b²)，它表示复数与原点之间的距离。

三、复平面及复数的表示复平面是一个以实轴和虚轴构成的平面，可以用来表示复数。

实轴表示实数部分，虚轴表示虚数部分。

在复平面上，复数a+bi对应着平面上的一个点，点的横坐标为a，纵坐标为b。

这种表示方式称为直角坐标系表示法。

还有极坐标系表示法，有时候也会用到。

复数a+bi可以表示成模与幅角的形式，其中模表示为|r|=√(a²+b²)，幅角表示为θ=tan⁻¹(b/a)。

四、复数的运算1. 复数的加法和减法可以直接按照实部和虚部相加减的规则进行运算。

2. 复数的乘法可以按照乘法性质计算，然后合并实部与虚部得到结果。

3. 复数的除法可以通过将除数的共轭乘以被除数，再除以除数的模的平方来计算。

五、复数的乘方和根1. 对复数z=a+bi进行乘方运算可以使用指数法则，即z^n =(a+bi)^n = r^n * (cos(nθ) + isin(nθ))，其中r为z的模，θ为z的幅角。

复数的有关概念

复数的相关概念引言复数是数学中的一种扩展形式，可以表示实数范围之外的数字。

它由实部和虚部组成，并且遵循特定的运算规则。

本文将介绍复数的定义、表示法、运算法则以及它在实际应用中的相关概念。

一、复数的定义复数是指由实部和虚部组成的数。

实部是一个实数，虚部是一个带有虚单位i的实数。

复数可以表示为a + bi，其中a是实部，b是虚部。

二、复数的表示法复数有多种表示法，常见的有直角坐标表示法和极坐标表示法。

1. 直角坐标表示法在直角坐标系中，一个复数被表示为一个有序实数对(a, b)。

其中，a是实部，b是虚部。

该表示法可以将复数视为复平面上的点，其中a沿着实轴表示，b沿着虚轴表示。

2. 极坐标表示法在极坐标系中，一个复数可以被表示为一个模和一个辐角的有序实数对(r, θ)。

其中，r是复数的模，表示复数与原点的距离；θ是辐角，表示复数与正实轴之间的夹角。

该表示法可以将复数视为复平面上的向量。

三、复数的运算法则复数的运算法则基于实数的运算法则，并额外考虑了虚部之间的运算。

1. 加法和减法复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加或相减的原则。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d均为实数，则有z1 + z2 = (a + c) + (b +d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。

复数的乘法涉及到实部和虚部之间的相乘。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i*。

3. 除法复数的除法涉及到实部和虚部的除法运算。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 / z2 = ( (ac + bd) / (c^2 + d^2) ) + ( (bc - ad) / (c^2 + d^2) )i。

四、复数的相关概念1. 共轭复数共轭复数指的是虚部符号相反的复数。

高二数学复数知识点

高二数学复数知识点一、复数的概念与定义复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1的条件。

在复数中，当b不等于零时，我们称b为复数的虚部，而a则是实部。

如果b等于零，则复数退化为实数。

复数的引入，极大地丰富了数学的内涵，使得许多在实数范围内无法解决的问题得以解决。

二、复数的几何意义复数不仅仅是一种代数结构，它还具有丰富的几何意义。

在复平面上，每一个复数z=a+bi可以对应一个点(a,b)，其中a是该点在实轴上的位置，b是该点在虚轴上的位置。

这样，复数与平面上的点建立了一一对应的关系。

复数的这种几何解释，使得我们可以用图形的方式直观地理解和处理复数问题。

三、复数的运算规则复数的运算是复数理论中的重要内容。

两个复数的加法、减法、乘法和除法都有明确的规则。

例如，两个复数相加时，只需将对应的实部和虚部分别相加即可；相乘时，则需要使用分配律，即将一个复数的实部与另一个复数的实部和虚部分别相乘，然后再将结果相加。

复数的除法则稍微复杂，需要引入共轭复数的概念，通过乘以分母的共轭来消除虚部，从而简化计算。

四、复数的模与辐角复数的模（或绝对值）是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，用符号|z|表示，计算公式为√(a²+b²)。

复数的辐角（或称为相位角）则是复数向量与实轴正方向的夹角，用符号arg(z)表示。

辐角的计算需要使用反三角函数，并且在计算时需要注意角度的范围。

模和辐角是复数的两个重要属性，它们在解决复数问题时具有重要的应用价值。

五、复数的应用复数在数学的许多领域都有广泛的应用，例如在解析几何中，复数可以用来描述和解决平面上的点和直线的问题；在代数中，复数域是实数域的自然扩展，它使得多项式方程的根的个数不再受限于实数范围内；在物理学中，复数用于处理交变电流、波动等现象；在工程学中，复数则用于信号处理和系统分析等领域。

高中数学知识梳理@7复数

第七章复数1．知识结构：2．基本要求：理解复数的有关概念：复数、虚数、纯虚数，复数的实部、虚部，共轭复数、复数相等；理解复平面的有关概念：复平面、实轴、虚轴，复数的向量表示、复数的模、复平面上两点间的距离．掌握复数的四则运算、平方根，1的立方根；会解实系数一元二次方程．3．重点问题：（1）利用复数的分类、复数相等、复数的运算求解复数问题；（2）掌握复数的模、两复数差的模的几何意义，并解决模的最值问题；（3）掌握实系数一元二次方程的根的问题．4．思想方法与能力：（1）将复数问题转化为实数问题的“化归思想”；（2）通过对实系数一元二次方程的根的问题，把握分类讨论的数学思想；（3）根据复数与复平面内的点的对应关系，注意数与形的转化．1941957.1 复数的概念及运算（一）知识梳理1．复数概念：（1）z a bi =+（a b R ∈、），i 为虚数单位，a 为实部，b 为虚部（2）共轭复数：z a bi =-（3）复平面：实轴、虚轴，z 对应复平面上的点的坐标为(,)a b （4）复数的模：z =z 对应点到原点的距离2．复数分类：（1）实数：0b = （2）虚数：0b ≠（3）纯虚数：0a =且0b ≠ 3．复数相等：设1z a bi =+，2z c di =+，a b R ∈、、c 、d ，则12z z a c =⇔=且b d = 4．复数的四则运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1122a b a b R ∈、、、），则（1）121212()()z z a a b b i ±=±+± （2）1212121221()()z z a a b b a b a b i =-++ （3）11212211222222()()z a a b b a b a b iz a b ++-=+（分母实数化） 5．共轭复数与模的性质（1）1212z z z z ±=±； 1212z z z z ⋅=⋅； 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭ （2）1212z z z z ⋅=⋅； 1122z z z z = （3）2z z z =⋅； z z =（4）z R z z ∈⇔=； z 为纯虚数z z ⇔=-且0z ≠6．求解复数z 的方法设z a bi =+（a b R ∈、），转化为求实数a b 、的方程组典型例题196【例1】判断下列命题的真假：（1）设12z z C ∈、，若2212z z =，则1122z z z z =；（2）设123z z z C ∈、、，若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==；（3）设z C ∈，则z 为纯虚数的充要条件是0z z +=；（4）设12z z C ∈、，若120z z ->，则12z z >；（5）设12z z C ∈、，则12z z -= （6）设z C ∈，则()()m nmnz zm n Q =∈，解：（1）为真命题，其余都为假命题【例2】实数m 分别取什么数时，复数2(1)52)615z i m i m i =++-+-（是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应的点在第三象限；（5）对应的点在直线40x y ++=上；（6）共轭复数的虚部为12 解：（1）53m m ==-或；（2）53m m ≠≠-且；（3）2m =-；（4）32m -<<-；（5）512m m =-=或【例3】计算下列各式的值：（1）232005i i i i ⋅⋅⋅⋅= （2）232005i i i i ++++=（3）7651212i i i i ---+-- 解：（1）i - （2）i （3）7455i -- 说明：i 的幂运算具有周期性【例4】（1）已知1z i =+，设23(1)4z i ω=+--，求ω （2）若(34)724z i i -=-+，求1z（3）若545(13)(1)(3)i i z i ++=-，求z 的值解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--197（2）72434i z i -+=+，1z =342525i +（3）545455131(13)(1)4(3)3i ii i z i i++++===-- 【备用题1】已知z w C ∈，，(13)i z +为纯虚数，2zw i=+，且w =w 解：(155)z i =±+，则7w i =-或7w i =-+巩固练习1．对于任意虚数z ，z z +的共轭一定是，z z -一定是，z z ⋅一定是，22()z z -一定是2．已知121iz i-=+，则z = ，z = 3．设b R ∈，且1122i bi +++的实部与虚部相等，则b =4．计算2320081i i i i +++++=5．若123421z i z i =--=+，，且12z z z ⋅=，则z =6．若223()1z z f z z -+=+，则(1)f i +=7．计算：2310011111111i i i i i i i i ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 8．计算： 264(43)(3)(12)i i i --=- 9．复数3()z ai a R =-∈，若5z <，则a 的取值范围是 10．设复数z 满足5z =，且(34)i z +是纯虚数，则z =11．当m 为何值时，22(344)(252)z m m m m i =--+++为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在第二象限？19812．设m R ∈，虚数22(1)()z m m m i =++-，且2(1)z m i =+-+，求m 的值7.2 复数的概念及运算（二）典型例题【例1】已知1z i =+，若2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值. 解：因为2(1)(1)1i z z i --+=+，又22(1)(1)()(2)z az b i a i b a b a i ++=++++=+++ 所以121a b a +=+=，，所以12a b =-=，说明：复数相等的充要条件是解复数问题的重要依据【例2】求复数z ，使4z R z+∈，且22z -= 解一：设z a bi =+（a b R ∈、）由22224444()()a b z a bi a b i R z a bi a b a b +=++=++-∈+++故2240bb a b-=+ 又由22z -=2= 解方程组，可得0z =，4z =，1z = 解二：由4z R z +∈，即441()z z z z z z+=+=+，则2()(4)0z z z--=，即z z =或24z =当z z =且22z -=时，0z =或4z =；当24z =且22z -=时，0z =或1z =± 综上所述：0z =，4z =，1z =±199【例3】设w 是方程110z z++=的一个根，求：（1）248(1)(1)(1)(1)w w w w ++++ （2）20082008ww -+解：（1）1；（2）1- 【例4】设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （1）求z 的值及z 的实部的取值范围；（2）设11zu z-=+，求证u 为纯虚数；（3）求2u ω-的最小值.解：（1）由1z R zω=+∈且z 是纯虚数得1z =，则z z ω=+ 设z a bi =+ (,)a b R ∈，则2a ω=，由12ω-<<知112a -<<则，1Re 12z -<<（2）证明：111()111z z zz z z u u z z z zz z ----=====-++++ 且0u ≠，所以u 为纯虚数（3）因为222121z z z u z z uu a z z zω--+-=++=++++1222(1)3111a a a a a -=+=++-≥++ 当且仅当0a =即z i =±时，2u ω-有最小值为1巩固练习1．复数34i +的平方根为2．若一个复数的平方等于它的共轭复数，则此复数为 3．虚数z 满足1z R z+∈，则z = 4．已知z u C ∈、且z u ≠，1z =，则1z uz u--⋅的值为5．设复数()z x yi x y R x y =+∈≠、，，若222z z P Q z z i-==⋅，，则下列关系式中正确的是（）(A) P Q > (B) P Q < (C) P Q = (D) P Q 、不能确定大小2006．如果210w w ++=，则21001w w w ++++=7．设221z z =-则复数z =8．设x y 、为共轭复数，且()326x y xyi i +-=-，求x y 、9．已知2222x y xyi i -+=，求实数x y 、的值10．已知1z R z+∈，且2z -，求复数z .7.3 复数的几何意义与向量表示知识梳理1．复数与复平面内点及位置向量的对应复数z x yi =+（x y R ∈、），对应点(,)P x y ，对应向量(,)OP x y = 2．两复数差的模的几何意义：设复数111z x y i =+，222z x y i =+（1122x y x y R ∈、、、）对应复平面上的点分别为12Z Z 、，则12z z -表示两点12Z Z 、之间的距离，即1221z z Z Z -=3．常见轨迹的复数方程：（1）0(0)z z r r -=>表示以复数0z 对应点为圆心，r 为半径的圆（2）12z z z z -=-表示以复数12z z 、对应点为端点的线段的垂直平分线（3）122z z z z a -+-= 12(2)z z a -<表示椭圆（4）122z z z z a ---= 12(2)z z a ->表示双曲线的一支典型例题201【例1】平行四边形OABC ，各顶点对应的复数分别是00,2,23,2A B az z i z a i ==+=-+ C z b ai =-+ (,)a b R ∈，求AOC ∠大小.解：由题设得(0,0)(2,)(2,3)(,)2a O A B a Cb a --，，，因0ABC 为平行四边形，故OC 中点与AB 中点重合故由中点公式，得2,6a b ==此时，OA OC AC ===由余弦定理，得34AOC π∠=说明：注意到复数的几何意义，即复数的实部、虚部对应于复平面内点的横坐标、终坐标【例2】复数z 所对应的点Z ，点Z 的轨迹是什么曲线？（1）12z i ++= （2）4z i z i ++-= （3）223z i z --=解：（1）是以点(1,1)--为圆心，2为半径的圆（2）是以点(0,1)±为焦点的椭圆，其方程为22134x y += （3）设复数z 对应点为(,)x y ，则(,)z x y i x y R =+∈，代入原式并化简得2288240x y x y +--+=，其轨迹为：以(4,4)为圆心，说明：注意到两复数差的模的几何意义【例3】（1）已知1z =，求2z -的最值；（2）已知11z i --=，求z i +的最值；（3）复数z 满足223z i z --=，求z 的最大值与最小值（4）若z =2242z z i -++的最小值解：（1）利用单位圆上的点到点(2,0)的距离的最值得最大值为3、最小值为1（2）以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到(0,1)-1、2021（3）由例2（3）知，max z =min z =（4）设(,)z x yi x y R =+∈，则z对应点的轨迹是：以原点为圆心，为半径的圆而2222222242(4)(2)2(2)2(1)10z z i x y x y x y -++=-++++=-+++其中22(2)(1)x y -++的最小值为220=所以2242z z i -++的最小值为50说明：一般地，复数z 满足0(0)z z r r -=>，则复数z 对应复平面内点的轨迹是：以复数0z 对应点为圆心，r 为半径的圆【例4】若复数01(0)z mi m =->，对任意复数z 都有0w z z =⋅，2w z =。

高考数学复数的概念及运算课件

(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_.)i
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋___b_c). i
(4)
除
法
：
z1 z2
＝
a＋bi c＋di
＝
a＋bic－di c＋dic－di
11．4 复数的概念及运算
考点梳理
一、复数的有关概念
1．复数的概念
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的
_实__部___和__虚__部__.若__b_＝__0_，则 a＋bi 为实数，若_b_≠__0__，则 a＋
bi 为虚数，若_a_＝__0__且__b_≠__0_，则 a＋bi 为纯虚数．
4．a 为正实数，i 为虚数单位，|a＋i i|＝2，则 a＝(
)
A．2 B. 3
C. 2 D．1
解析：由已知|a＋i i|＝2 得|a＋i i|＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2，所以 1＋a2＝2，∵a＞0，∴a＝ 3.
答案：B
5．若复数 z＝11＋－ii＋m·11－＋ii(i 为虚数单位)为实数，则实数 m ＝________.
3．要记住一些常用的结果，如
i、－12＋
3 2i
的有关性质等
可简化运算步骤提高运算速度．
•失误与防范 1．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解． 3．两个虚数不能比较大小． 4．利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． 5．z2＜0 在复数范围内有可能成立，例如：当 z＝3i 时 z2＝－9＜0.

高中数学_复数的概念与运算教学设计学情分析教材分析课后反思

复数的概念与运算教学设计[考纲要求]1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.掌握复数的代数表示法及其几何意义.3.能熟练进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义一：知识点回顾1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若_____，则a ＋b i 为实数，若_____，则a ＋b i 为虚数，若____________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________ (a ，b ，c ，d ∈R)．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔_______________ (a ，b ，c ，d ∈R)．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝_______2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 对应复平面内的点_________也对应平面向量____________．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝_______________.z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝____________________. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图441所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝_________，Z 1Z 2→＝_________.二：典型考题考向一：复数的有关概念例1. (1)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |＝( )A:1 B:-1 C 45+35i D.45－35i (2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.[变式训练1] (1)(2017·合肥二次质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝i 2＋i的虚部为( ) A ．－15 B ．－25 C.15 D.25(2)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.32D ．2 规律方法:1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．考向2.复数代数形式的四则运算例2 (1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－IB ．－2＋iC ．2－ID ．2＋i(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________． [变式训练2] (1)已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋I B ．1－I C ．－1＋I D ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. [规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．考向3：复数的几何意义例3： (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞):D ．(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋ID ．－4－i[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝0的复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．三：查缺补漏1．如果复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．z 的共轭复数为1＋I B. z 的实部为1 C ．|z |＝2 D. z 的虚部为－12．若复数z 满足(1＋i)z ＝2＋i ，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限四：学情自测1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )2.(教材改编)如图442，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2016·四川高考)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A ．0B ．2C ．2iD ．2＋2i4．(2016·北京高考)复数1＋2i 2－i＝( ) A ．i B ．1＋i C ．－i D ．1－i5．复数i(1＋i)的实部为________．学情分析绝大多数学生能正确理解复数的概念，能比较熟练地应用。

高中数学复数知识点归纳

高中数学复数知识点归纳
1. 复数的定义
复数是由实数和虚数单位 i 组成的数，一般表示为 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部。

2. 复数的运算
- 加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。

- 乘法：将实部和虚部分别相乘，并注意 i 的平方为 -1。

- 除法：将被除数、除数都乘以共轭复数的倒数，然后进行乘法运算。

3. 复数的性质
- 共轭复数：如果一个复数的虚部为 b，那么它的共轭复数为 a - bi，其中 a 是实部。

- 实部和虚部：一个复数的实部和虚部分别由复数的实数部分和虚数部分确定。

- 模和幅角：一个复数的模是它到原点的距离，可以用勾股定
理求得；一个复数的幅角则是它与实轴正半轴的夹角，可以用反正
切函数求得。

4. 复数的表示形式
- 代数形式：a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部。

- 柯西-黎曼方程形式：r(cosθ + isinθ)，其中r 是模，θ 是幅角。

5. 复数的应用
- 三角函数：可以使用欧拉公式将 cos 和 sin 函数表示为复数的
形式。

- 电流和电压：在电路分析中，使用复数可以方便地描述电流
和电压的相位和幅值关系。

- 矢量运算：复数可以表示为实部和虚部分别表示矢量的横纵
坐标，进行矢量的加减乘除运算。

以上是高中数学复数的主要知识点归纳，希望能对您有所帮助。

北师大版选修1《复数的有关概念》说课稿

北师大版选修1《复数的有关概念》说课稿一、教材分析北师大版选修1《复数的有关概念》是高中数学选修教材中的一部分，主要涉及复数的定义、运算以及在几何中的应用等内容。

本节课的重点是引入复数的相关概念，加深学生对复数的理解和认识，为后续的学习打下基础。

1. 教材内容概述本节课的主要内容包括：•复数的定义与意义：讲解复数是实数与虚数的组合，引导学生理解复数的概念及实际意义。

•复数的表示方法：介绍复数的代数与几何表示方法，包括复数的常见形式、三角形式以及Euler公式等。

•复数的运算规则：详细讲解复数的加减乘除运算规则，并通过实例演示。

•复数在几何中的应用：通过几何问题，展示复数在平面几何及向量运算中的应用。

2. 教学目标通过本节课的学习，学生将达到以下目标：•理解复数的定义与意义，能够区分实数与虚数的概念。

•掌握复数的常见表示方法，包括复数的代数与几何表示。

•熟练运用复数的加减乘除运算规则，并能解决相关问题。

•了解复数在平面几何及向量运算中的应用，培养几何直观思维。

二、教学重难点1. 教学重点•复数的定义与意义的讲解。

•复数的表示方法的介绍与实践操作。

•复数的加减乘除运算规则的教授与实例演示。

2. 教学难点•复数在平面几何中的应用。

•复数运算过程中的注意事项。

三、教学过程1. 导入与引入•通过展示一个实际生活中的问题，引导学生思考实数与虚数的区别，并举例解释复数的定义与意义。

2. 理论讲解与实例演示•介绍并讲解复数的表示方法，包括复数的代数形式和几何形式。

通过实例演示，提醒学生掌握复数表示的方法。

3. 运算规则讲解与实践操作•分别对复数的加减乘除运算规则进行详细讲解，并通过多个实例演示巩固学生对运算规则的理解。

4. 复数在几何中的应用•结合几何问题，向学生展示复数在平面几何及向量运算中的应用，培养学生的几何直观思维。

5. 小结与拓展•对本节课的学习内容进行回顾总结，并提供相关拓展题目，帮助学生深化对复数的理解和运用能力。

高中数学复数知识点

高中数学复数知识点在高中数学中，复数是一个重要且有趣的概念。

它由实数和虚数构成，可以用到各种数学问题的解决中。

接下来，我们将深入探讨高中数学中的复数知识点。

一、复数的定义复数是由实数和虚数构成。

实数是我们通常使用的正数、负数和零，而虚数是-1的平方根的倍数，用i表示。

复数形式可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法复数的加法就是将实部和虚部相加。

例如，(3+2i) + (4-3i) = (7-i)。

而复数的减法则是将实部和虚部相减。

例如，(3+2i) - (4-3i) = (-1+5i)。

2. 复数的乘法和除法复数的乘法是将实部和虚部按照分配律相乘。

例如，(3+2i) * (4-3i)= (12+8i-9i+6i^2)= (18-1i) = (18-i)。

而复数的除法就是用乘法的逆运算。

例如，(3+2i) / (4-3i) = (18+7i) / 25。

三、复数的模和共轭1. 复数的模复数的模是一个复数到原点的距离，可以用来计算复数的大小或大小比较。

复数z=a+bi的模可以表示为|z|=√(a^2+b^2)。

例如，复数2+3i的模为√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。

2. 复数的共轭复数的共轭是将复数的虚部取负。

例如，复数3+4i的共轭为3-4i。

共轭复数在复数的乘法和除法中起着重要的作用。

四、复数的指数形式复数的指数形式可以用极坐标来表示。

复数z可以有模和辐角表示，即z=r*e^(iθ)。

其中，r是复数的模，θ是复数的幅角。

复数的指数形式在复数的乘法和除法中特别有用。

五、复数的解析几何复数在解析几何中有广泛的应用。

实部和虚部可以分别表示平面上的横坐标和纵坐标，而复数的加法和减法可以表示平移移动。

同时，复数的乘法和除法可以表示旋转和缩放。

六、复数的应用1. 三角函数复数可以用来表示三角函数，例如正弦函数和余弦函数。

欧拉公式是复数和三角函数之间的重要关系，即e^(iθ)=cosθ+isinθ。

高中数学复数知识点总结

高中数学复数知识点总结复数是数学中一个非常重要的概念，它由实数和虚数构成。

复数在高中数学中经常被涉及，并且在解决二次方程、矩阵运算、电路分析等问题中发挥着重要的作用。

本文将对高中数学中与复数相关的知识点进行总结。

一、复数的基本概念复数由实数部分与虚数部分构成，形如a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，且i为虚数单位，满足i^2=-1。

当虚数部分为0时，复数即为实数。

二、复数的表示形式1. 代数形式：对于复数a+bi，a为实部，b为虚部。

2. 几何形式：可将复数a+bi看作是平面上的一个点，实部a对应x 轴上的坐标，虚部b对应y轴上的坐标。

三、复数的运算1. 复数的加法：将实部与虚部分别相加。

2. 复数的减法：将实部与虚部分别相减。

3. 复数的乘法：按照分配率展开并利用i^2=-1进行计算。

4. 复数的除法：将分子分母同时乘以共轭复数的分母，然后按照乘法的规则进行计算。

5. 复数的乘方：利用乘法的性质，对复数进行指数运算。

6. 复数的共轭：将复数的虚部取负数。

四、复数的性质1. 两个复数相等，当且仅当它们的实部相等且虚部相等。

2. 若复数z的实部为0，则称z为纯虚数；若虚部为0，则称z为实数。

3. 复数的模：复数的模表示复数与原点的距离，可用勾股定理计算得到。

4. 复数的辐角：复数与实轴的夹角。

五、复数的应用1. 二次方程的解：利用复数运算，方程无实根的情况下，可求得复数解。

2. 矩阵运算：复数在矩阵运算中常用于描述线性变换。

3. 电路分析：复数在交流电路分析中扮演着重要的角色，可用于计算电流、电压等。

六、常见公式1. 欧拉公式：e^(ix)=cosx+isinx。

2. 复数求模公式：|z|=√(a^2+b^2)。

3. 共轭复数公式：若z=a+bi，则z的共轭复数为z* = a-bi。

结语：本文对高中数学中关于复数的知识进行了总结，包括复数的基本概念、表示形式、运算法则、性质以及应用。

复数在数学中有着广泛的应用，掌握了复数的相关知识对于解决数学问题具有重要的意义。

复数的有关概念高中数学教案

复数的有关概念高中数学教案一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的表示方法。

2. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

3. 引导学生掌握复数的运算规则，提高学生的数学运算能力。

二、教学内容1. 复数的概念：引入复数的概念，解释实数和虚数的概念。

2. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。

3. 复数的运算规则：讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。

4. 复数的几何意义：介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。

5. 复数的应用：举例说明复数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：复数的概念、表示方法、运算规则和几何意义。

2. 难点：复数的运算规则和几何意义。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解复数的有关概念和运算规则。

2. 利用图形和实例，直观地展示复数的几何意义。

3. 引导学生运用复数解决实际问题，提高学生的应用能力。

4. 组织课堂讨论，让学生提问、交流和分享。

五、教学准备1. 教案、教材、多媒体教学设备。

2. 复数的相关图形和实例。

3. 练习题和课后作业。

六、教学过程1. 导入：通过复习实数的概念，引导学生自然过渡到复数的概念。

2. 新课导入：讲解复数的概念，解释实数和虚数的概念。

3. 案例分析：分析一些实际的例子，让学生更好地理解复数的概念。

4. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。

5. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数表示的练习题。

七、复数的运算规则1. 讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。

2. 利用具体例子，让学生理解和掌握复数的运算规则。

3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数运算的练习题。

八、复数的几何意义1. 介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。

2. 利用图形，直观地展示复数的几何意义。

3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数几何意义的练习题。

九、复数的应用1. 举例说明复数在实际问题中的应用，如信号处理、控制系统等。

高中数学复数讲义.教师版

复数知识内容一、复数的概念1．虚数单位 i:〔1〕它的平方等于1，即i2 1；2〕实数可以与它进行四那么运算，进行四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立．3〕i与－1的关系:i就是1的一个平方根，即方程21的一个根，方程21的另一个根是-i．x x〔4〕i的周期性：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1．实数a(b0)2．数系的扩充：复数a bibi(b0)纯虚数bi(a0)虚数a非纯虚数a b i(a 0 )3．复数的定义：形如a bi(a，bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4．复数的代数形式:通常用字母z表示，即z a bi(a，b R)，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a，b R)，当且仅当b0时，复数abi(a，b R)是实数a；当b0时，复数zabi叫做虚数；当a0且b 0时，z bi叫做纯虚数；当且仅当ab0时，z就是实数06．复数集与其它数集之间的关系：N苘ZQ苘R C7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，a，b，d，c，dR，那么a bi cdia c，bd二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数zabi(a，bR)与有序实数对a，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z abi(a，b R)可用点Za，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是z00i0表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数za bi 一一对应复平面内的点Z(a，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四那么运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b di2．复数z1与z2的差的定义：z1z2abi cdi ac bdi3．复数的加法运算满足交换律:z1z2z2z14．复数的加法运算满足结合律:(z1z2)z3z1(z2z3)5．乘法运算规那么：设z1abi，z2c di(a、b、c、d R)是任意两个复数，那么它们的积z1z2abi c di ac bd bcadi其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚局部别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：〔1〕z1z2z3z1z2z3〔2〕(z1z2)z3z1(z2z3)〔3〕z1z2z3z1z2z1z37．复数除法定义：满足c di x yi a bi的复数x yi(x、y R)叫复数a bi除以复数c di的商，记为：(abi)c di或者abi c di8．除法运算规那么：设复数a bi(a、b R)，除以c di(c，d R)，其商为x yi〔x、y R)，即(a bi)c di x yi∵x yi c di cx dy dx cy i∴cx dy dx cyi a bixac bdcx dy a c2d2，由复数相等定义可知，解这个方程组，得dx cy by bc ad c2d2于是有:(a bi)c di ac bdbc adi2222 c d c d②利用c di c di c22abi的分母有理化得：d于是将c di原式a bi(a bi)(c di)[ac bi(di)](bc ad)i c di(c di)(cdi)c2d2(ac bd)(bc ad)i ac bd bc adc2d2c2d2c2d2i．∴((a bi)c di ac bd bc ad c2d2c2d2i点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c di与复数cdi，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而c di c di c2d2是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

高考数学关于复数的知识点

高考数学关于复数的知识点复数，作为高中数学中的一个重要知识点，是指形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在高考数学中，复数的概念和运算是必考的内容。

本文将介绍几个与复数相关的知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则以及复数方程的求解方法等。

一、复数的定义复数可以用来表示没有实数解的方程，其定义形式为a+bi。

其中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部。

复数集合包括了实数集合，因为实数可以看作虚部为0的复数。

二、复数的表示形式复数可以有多种表示形式，例如代数形式、拆项形式和三角形式等。

代数形式是复数的基本表示形式，即a+bi。

拆项形式是将复数拆分成实部和虚部两个部分，例如：a+bi = a + b(i)三角形式是将复数表示为一个模长和一个辐角的形式，即z =|z|(cosθ + isinθ)，其中|z|称为模长，θ称为辐角。

三、复数的运算规则复数的加法可以按照实部相加、虚部相加的规则进行。

例如：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i复数的减法可以按照实部相减、虚部相减的规则进行。

例如：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i复数的乘法需要使用分配律展开，然后利用虚数单位的平方等于-1进行化简。

例如：(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i复数的除法则需要进行有理化，将除法转化为乘法。

例如：(a+bi) ÷ (c+di) = (a+bi) × (c-di) ÷ (c+di)四、复数方程的求解方法对于形如az^2+bz+c=0的复数方程，可以运用求根公式进行求解。

其中，z为复数，且a、b、c为实数。

根据求根公式，可以得到两个根z1和z2的值。

具体求解步骤如下：1. 计算Δ=b^2-4ac，如果Δ大于等于0，则存在实数解；如果Δ小于0，则存在虚数解。

复数的有关概念高中数学教案

复数的有关概念高中数学教案教学目标（1）掌握，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．教学建议（一）教材分析1、知识结构本节首先介绍了，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．2、重点、难点分析（1）正确复数的实部与虚部对于复数，实部是，虚部是．注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。

根据上述原则，复数集的分类如下：注意分清复数分类中的界限：①设，则为实数②为虚数③且。

④为纯虚数且（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：①化为复数的标准形式②实部、虚部中的字母为实数，即（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对()叫做复数的．②复数用复平面内的点z()表示．复平面内的点z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于=0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数．但当时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点z(a，b)中的z，书写时大写．要学生注意．（5）关于共轭复数的概念设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）．教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当时，与互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．（6）复数能否比较大小教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解) （二）教法建议1．要注意知识的连续性：复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系．2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想． 3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．。