第二十六章 二次函数 章末整合提升 课件(人教版九年级下)
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新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数复习(2)》精品
Q
D C
P B
18
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C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标(用含m
的代数式表示)
y
A
B
o
C
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Dx x = m15
问题5:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，
点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速
度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿
边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的
中考复习专题
二次函 数复习（二）
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1
• 二次函数综合题题型多 样，涉及的知识面广， 方法灵活，综合性强， 在中考中常以压轴题出 现，现分类举例浅析
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2
一、与一元二次方程相结 合的综合题
此类综合题要充分利用二次函数与相应的一 元二次方程内在的联系，即抛物线与x轴两个 交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个 不等的实数根，；因此-元二次方程根的判别式 及根与系数的关系在解决此类综合题时，有着 十分重要的作用．
即S＝ 1 x 2 x 2
(x>2）
A
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Q
D C
P B
17
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
① 1 x 2 x＝２ 2
此方程无解
② 1 x 2 x ＝２ 2
x22x40
∴ x1=1+ 5 , x2=1－ 5 (舍去)
∴当AP长为1+ 5 时，S△PCQ＝S△ABC A
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（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益= 售价—成本）
数学：第26章二次函数复习课件(新人教版九年级下)(共28张PPT)
y=-x²2x+3 （2）在（1）中抛物线 的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC的周长 最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在， 请说明理由.
Q
(0,3)
(-3,0)
(1,0)
Q(-1,2)
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ，问在对称 轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若 存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 以M为圆心，MC为半径画 弧，与对称轴有两交点;以 C为圆心，MC为半径画弧， 与对称轴有一个交点（MC 为腰）。 作MC的垂直平分线与对 称轴有一个交点（MC为底 边）。
当 x=-2或x=3
时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
二次函数y=ax² +bx+c的图象如图所示，则在下列 各不等式中成立的个数是____________
y -1 0 x
1
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ b2 - 4ac > 0
开口方向:向上a>0;向下a<0 对称轴:在y轴右侧a、b异号; 在y轴左侧a、b同号
如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为 6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴 建立平面直角坐标系,如图所示, y (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
新人教九年级下第26章《二次函数》整章成套课件(共7个)-3
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1、（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 （0，3） ,对 称轴是 当x=
y轴
，在 对称轴的左
侧，y随着x的增 ,它
大而增大；在对称轴的右 侧，y随着x的增大而减小，
时，函数 y的值最大，最大值是 0
是由抛物线 y= −2x2线 3
做一做：
2、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1） 求该抛物线线的解析式。 （2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向 不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。 （3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1， 2）的点的解析式，
(1)当a>0时, 开口向上;
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
当a<0时,开口向下;
y 1 o1 2 3 4 5 x -5-4 -3 -2-1 -1 1 -2 y ( x 1) 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
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3、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
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虑它们的开口方向、对称轴和顶点: 解: 先列表 x … -3 -2 -1 0 描点
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 2 y ( x 1) 2的图像,并考 画出二次函数 y ( x 1) 、 2 2
新人教九年级下第二十六章二次函数全章精品课件-13.ppt
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如 图所示，试求出a,b,c的值。 y
3 0
2 x
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课后拓展
1.如图，隧道横截面的下部是矩 形，上部是半圆，周长为16米。 ⑴求截面积S（米2）关于底部宽 x（米）的函数解析式，及自变 量x 的取值范围？ ⑵试问：当底部宽x为几米时， 隧道的截面积S最大（结果精确 到0.01米）？
3、已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2 +bx－4 的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线 是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式. 4.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点在第二象限 且开口向下（要求用一般式表示）
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1.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是 （2，-3），求m，n的值。
2.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可 由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？
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直线x=2
1 2 能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 需要更完整的资源请到 新世纪教 图象的对称轴与顶点坐 育网 - 标呢？
1 2 (1)能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 图象的对称轴与顶点坐 标？
(2)能否说出二次函数 y ax bx c
5.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
新人教版九年级数学下册第26章__二次函数单元复习课件
2 y 2( x 1) 1的对称轴是 X=-1 3、抛物线 ，顶点坐标是 (-1,-
当x= -1 时，y有最 大 值，此值是 -1 。
，
1)
4、请写出一个二次函数解析式，使其图像的对称轴为x=1， 并且开口向下。
y 2x 4x 1 ？
2
复习
求函数的解析式 1,已知在同一直角坐标系中，反比例函数 y=5/X与二次函数y=-x2+2x+c的图像交 于点A(-1,m) （1）求m,c的值 （2）求二次函数的对 称轴和顶点坐标。
2，已知二次函数的顶点是（-1，2)且经过点（3，9）
求函数的解析式
2 3、抛物线 y＝x－4x＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）
基础断下列 各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;
y
C
O
A
B
x
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
1 y (32 2 x) x 2
x 2 (1) 8时
2
O
y x 16x 0 x 16
2
0-16 y 最大值 = 64 4 (-1)
• 六、（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞， 桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐 标系中。 ①求这条抛物线所对应的函数关系式。 ②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水 面的高是多少？
（4）当x为何值时，y随x的增大而增大， X为何值时，y有最小值是多少？
(2)x=0或x=-4 解：由图像可知，顶点坐标是(-2，-1)， 设函数关系式为：y a( x 2)2 1 (3)-4<x<0 过点(0，0) 所以，0=4a-1 1 即a= 4 1 故函数解析式是 y ( x 2) 2 1
当x= -1 时，y有最 大 值，此值是 -1 。
，
1)
4、请写出一个二次函数解析式，使其图像的对称轴为x=1， 并且开口向下。
y 2x 4x 1 ？
2
复习
求函数的解析式 1,已知在同一直角坐标系中，反比例函数 y=5/X与二次函数y=-x2+2x+c的图像交 于点A(-1,m) （1）求m,c的值 （2）求二次函数的对 称轴和顶点坐标。
2，已知二次函数的顶点是（-1，2)且经过点（3，9）
求函数的解析式
2 3、抛物线 y＝x－4x＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）
基础断下列 各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;
y
C
O
A
B
x
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
1 y (32 2 x) x 2
x 2 (1) 8时
2
O
y x 16x 0 x 16
2
0-16 y 最大值 = 64 4 (-1)
• 六、（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞， 桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐 标系中。 ①求这条抛物线所对应的函数关系式。 ②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水 面的高是多少？
（4）当x为何值时，y随x的增大而增大， X为何值时，y有最小值是多少？
(2)x=0或x=-4 解：由图像可知，顶点坐标是(-2，-1)， 设函数关系式为：y a( x 2)2 1 (3)-4<x<0 过点(0，0) 所以，0=4a-1 1 即a= 4 1 故函数解析式是 y ( x 2) 2 1
人教版-数学-九年级下册-第二十六章 二次函数全章总结提升
第26章二次函数全章总结提升◆本章总结归纳（一）知识框架（二）重点难点突破1．函数图象的理解与应用易错点：函数图象的意义认识不表，它的性质、特征与函数图象联系不上，不能达到数形互助；突破点：加强对函数图象中点的坐标的意义认识，分析各点的坐标，理解y随x的变化情况，从而达到能直接根据图象说出二次函数的有关性质。
（如：增减性、极值、对称轴等）理解,,a b c的值对抛物线2y ax bx c=++的影响，提高解题效率2.抛物线2y ax bx c=++的特征与,,a b c符号：,,a b c决定开口方向0,0,aa>⎧⎨<⎩开口向上;开口向下.,,a b c与b决定对称轴位置,,a ba b⎧⎨⎩同号,在轴左侧;异号,在轴右侧.c决定抛物线与y轴交点的位置0,0,0,ccc>⎧⎪=⎨⎪<⎩交点在y轴的正半轴上;交点在原点;交点在y轴的负半轴上.易错点：以上关系不清楚，导致做题盲目，出错。
突破点：数形结合，变式训练，特别是,,a b c 与b 一走决定对称轴位置的理解与判定。
3．解析式之间的转化与解析式的求法。
易错点：①将2y ax bx c =++化成顶点式224()24b ac b y a x a a -=++ ②用待定系数法求解时，不能根据不同条件恰当地选取解析式。
突破点：①强调配方的步骤、配方的规律，注意恒等变形与检验。
②比较不同形式的解析式的优劣，应用的环境，加强对顶点式、交点式的理解，并能正确运用。
4．抛物线的平移规律，表达式的变化。
易错点：抛物线的移动，对解析式变化理解不透，不同方向的移动，到底是加还是减判断不清。
突破点：抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减。
5．抛物线与x 轴交点情况。
易错点：此类题综合性较大，对应关系不很明确，隐含条件较多，极易出错。
突破点：抛物线与x 轴交点横坐标就是相应一元二次方程的两根，把交点的个数转化为方程。
根的个数，把交点位置转化为方程根的正负，多加练习，方可过关。
新人教九年级下第二十六章二次函数全章精品课件
第26章二次函数基础检测题 姓名 （加油哟）一、选择题： 1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，根据图象可得a 、b 、c 与零的大小关系是（ ） A 、a>0,b<0,c>0 B 、a>0,b>0,c>0C 、a<0,b<0,c<0D 、2、开口向上，顶点坐标为（－9,3）的抛物线为（ ）。
A 、y=2(x －9)2－3 B 、y=2(x+9)2+3C 、y=－2(x －9)2－3D 、y=－2(x+9)2+33、把函数y=－3x 2的图象沿x 轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为（ ）。
A 、y=－3x 2+5B 、y=－3x 2－5C 、y=－3(x+5)2D 、y=－3(x －5)24、二次函数y=2(x+2)2－1的图象是（ ）。
5、下列函数中,是二次函数的是( )A.y=8x 2+1B.y=8x+1;C.y=8x D.y=28x 6、把函数y=－2x 2的图象沿x 轴对折，得到的图象的解析式为（ ）。
A 、y=－2x 2B 、y=2x 2C 、y=－2(x+1)2D 、y=－2(x －1)27、下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是（ ）A 、y=2xB 、y=－2xC 、y=x 2D 、 y=－x 28、二次函数y=a(x －1)2+c 的图象如右下图所示，则直线y=－ax －c 不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 9、由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次二函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称。
”根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是（ ）。
A 、过点（3,0）B 、顶点的横坐标为C 、在x 轴上截得的线段长是2D 、与y 轴的交点是(0,3) 10、抛物线的形状、开口方向与y=12x 2-4x+3相同,顶点在(-2,1),则关系式为( ) A.y=12(x-2)2+1 B.y=12(x+2)2-1; C.y=12(x+2)2+1 D.y=-12(x+2)2+1x/元 xy `x AD y y y `x `x `x 2 -1 O O O O 1 -1 -1 -2 -2 -211、如下左图，抛物线顶点坐标是P(1,3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）。
数学人教九年级下26章26.1二次函数.ppt
如图（图一）四边形ABCD为矩形，点P、点Q分别
从A、B两点同时出发，P点在AD边上以每秒1cm的
速度到达D 点后返回到A点停止；Q点在BC边上以每
秒0.5cm的速度到达D点后停止，（图二）为出发x秒
后四边形ABQP的面积y与P从点A运动到点D时关于
时间x的函数关系式的图象。
（1）求AD的长；（2）求AB的长；（3）当点P从D
向A运动时，求y关于x的函数关系式，并在坐标系中
画出图象。
y
A
P
D
10
（ 图 一 ）
B
Q
（ 图 二4 ）
C
0
6 10
x
三1、.运友动情的提方示向: 。 2.运动的起始点、终点。 3.运动的速度、运动的路径。 4.联系学习过的知识进行分析,图形结
合,数形结合；动中求静，静中求动，动 静结合;联想学习过的习题转化为旧知识 类比求新.
四、挑战中考
如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、 点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1 个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始 在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动， 设：点P、Q移动的时间为t秒。（1）求直线AB的解 析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （3）当t为何值时，△APQ的面积为24/5个平方单位？
y A6 P
Q
0
B8
x
五、反思升华:
我今天学习到了什么? 我会解决生活中的动态问题吗? 我明天解决问题时要注意什么? 我的数学思想深化了吗?
敢做就会赢！
动态 问 题（一）
A
D
B
C
一、轻松夺冠：
如图，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=9，如果 动点D以每秒2个单位长的速度，从B出发沿BA 方向向点A运动，直线DE∥BC，记x秒时这条直 线在△ABC内部的长度为y，写出y关于x的函数 关系式，并画出它的图象。
数学九年级下册第26章二次函数教学课件(付,272)
所以y= 不是二次函数． x3 x3
x3
答案:③ 1
a
a
2x a
x
x
x
3.在二次函数y=-x2+1中,二次项系数、一次项系数、常数项的
和为
.
【解析】根据题意,二次项系数、一次项系数、常数项分别是 -
1,0,1,其和为:-1+0+1=0.
答案:0
4.请写出一个符合以下条件的y关于x的二次函数的关系式:
（2）设苗圃园的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指明 函数的类型. （3）当这个苗圃园的面积为88 m2时，求x的值．
【思路点拨】应用矩形的周长、面积的计算公式,表示出函数关 系式,求自变量的取值范围时,注意墙长18m的限制条件,求x的 值时,注意自变量的取值范围.
【自主解答】(1)a=30-2x(6≤x<15). (2)设矩形苗圃园的面积为y, 则y与x之间的函数关系式为 y=xa=x(30-2x)=-2x2+30x. 所以y是x的二次函数. (3)把y=88代入函数关系式得-2x2+30x=88, 解得:x1=11,x2=4,又因为6≤x<15,所以x=4不符合题意,舍去. 所以x=11.
（5）
（1），（4）
（2），（3）
【互动探究】当二次项的系数为字母或含有字母的代数式时, 能否直接判断其是否为二次函数? 提示:不能,若没有明确字母的取值,需要对字母的取值进行讨论.
【总结提升】二次函数判断的“三步骤”
知识点 2 列二次函数关系式 【例2】某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃 园．其中一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成．已知墙 长为18 m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x m. （1）若平行于墙的一边的长为a m，直接写出a与x之间的函数 关系式及其自变量x的取值范围.
新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章二次函数复习-精品课件
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-h__)2_+_k_(_a_≠_0_)
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y_=_a_(_x_-x_1_)_(x_-_x_2_) (a≠0)
拓展训练
1.如下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
回顾反思之反思提高
1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己
还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意
哪些问题？
欢迎指导!
1.6=-0.1k2+2.5
K=±3
O
又因为对称轴是在y轴的
Bx
右侧，
即x=k>0 所以，k=3
③当x=6时， y=-0.1(6-3)2+2.5
②-0.1(x-3)2+2.5=0
解之得，x 1
=8,x
2
=-2
所以，OB=8
=1.6 >1.5 所以，这个小朋友不 会受到伤害。
故铅球的落点与丁丁的距离
是8米。
yax2bxc的解析式是( )
A.yx23x4 B.yx23x5
√ C.yx24x4 D.yx24x5
提示：仔细观察表中的数据，你能从中看出什么？
2、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线 y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求二次函数 的解析式。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y_=_a_(_x_-x_1_)_(x_-_x_2_) (a≠0)
拓展训练
1.如下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
回顾反思之反思提高
1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己
还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意
哪些问题？
欢迎指导!
1.6=-0.1k2+2.5
K=±3
O
又因为对称轴是在y轴的
Bx
右侧，
即x=k>0 所以，k=3
③当x=6时， y=-0.1(6-3)2+2.5
②-0.1(x-3)2+2.5=0
解之得，x 1
=8,x
2
=-2
所以，OB=8
=1.6 >1.5 所以，这个小朋友不 会受到伤害。
故铅球的落点与丁丁的距离
是8米。
yax2bxc的解析式是( )
A.yx23x4 B.yx23x5
√ C.yx24x4 D.yx24x5
提示：仔细观察表中的数据，你能从中看出什么？
2、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线 y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求二次函数 的解析式。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性
例 2 [教材补充例题] (1)把抛物线 y＝－2x2 先向右平移 1 个单 位，再向上平移 2 个单位后，求所得抛物线的函数表达式；
(2)把二次函数 y＝12x2－2x－2 的图象在坐标平面内绕点(0，0) 旋转 180°，求旋转后的抛物线的函数表达式；
(3)已知二次函数 y＝ax2＋x＋1 的图象的顶点在 x 轴上，求这 个函数的表达式．
26.2.3 求二次函数的表达式
解：(1)由二次函数图象的平移规律可知，将抛物线 y＝－2x2 先向右平移 1 个单位所得抛物线的函数表达式为 y＝－2(x－1)2，再向上平移 2 个单位后， 所得抛物线的函数表达式为 y＝－2(x－1)2＋2.
(2)∵y＝12x2－2x－2＝12(x－2)2－4，∴其图象的顶点坐标是(2，－4)， 故二次函数 y＝12x2－2x－2 的图象在坐标平面内绕点(0，0)旋转 180°后，图 象对应的二次函数的表达式为 y＝－12(x＋2)2＋4.
26.2.3 求二次函数的表达式
[解析] (1)条件给出的是图象上三个点的坐标，故可设表达式为一般式 y＝ax2＋bx＋c；(2)条件给出的是图象上两个点的坐标和顶点的横坐标，故 可设表达式为一般式 y＝ax2＋bx＋c；(3)条件给出的是图象与 x 轴交点的横 坐标，故可设表达式为交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)．
26.2.3 求二次函数的表达式
(3)设该二次函数的表达式为 y＝a(x－x1)(x－x2)． 由题意，得 y＝a(x＋2)(x－3)＝ax2－ax－6a.
∵y 有最小值－3，
4a·（－6a）－（－a）2
∴
4a
＝－3.
∵a≠0，∴a＝152x2－1225x－7225.
26.2.3 求二次函数的表达式
(2)把二次函数 y＝12x2－2x－2 的图象在坐标平面内绕点(0，0) 旋转 180°，求旋转后的抛物线的函数表达式；
(3)已知二次函数 y＝ax2＋x＋1 的图象的顶点在 x 轴上，求这 个函数的表达式．
26.2.3 求二次函数的表达式
解：(1)由二次函数图象的平移规律可知，将抛物线 y＝－2x2 先向右平移 1 个单位所得抛物线的函数表达式为 y＝－2(x－1)2，再向上平移 2 个单位后， 所得抛物线的函数表达式为 y＝－2(x－1)2＋2.
(2)∵y＝12x2－2x－2＝12(x－2)2－4，∴其图象的顶点坐标是(2，－4)， 故二次函数 y＝12x2－2x－2 的图象在坐标平面内绕点(0，0)旋转 180°后，图 象对应的二次函数的表达式为 y＝－12(x＋2)2＋4.
26.2.3 求二次函数的表达式
[解析] (1)条件给出的是图象上三个点的坐标，故可设表达式为一般式 y＝ax2＋bx＋c；(2)条件给出的是图象上两个点的坐标和顶点的横坐标，故 可设表达式为一般式 y＝ax2＋bx＋c；(3)条件给出的是图象与 x 轴交点的横 坐标，故可设表达式为交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)．
26.2.3 求二次函数的表达式
(3)设该二次函数的表达式为 y＝a(x－x1)(x－x2)． 由题意，得 y＝a(x＋2)(x－3)＝ax2－ax－6a.
∵y 有最小值－3，
4a·（－6a）－（－a）2
∴
4a
＝－3.
∵a≠0，∴a＝152x2－1225x－7225.
26.2.3 求二次函数的表达式
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5．已知关于 x 的函数 y＝ax2＋x＋1(a 为常数)． (1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值； (2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝0 时，函数为 y＝x＋1，它的图象显然与 x 轴 只有一个交点(－1,0)． 当 a≠0 时，依题意，得方程 ax2＋x＋1＝0 有两个相等的
解得 b＝2，c＝－3，
则抛物线解析式为＝x2＋2x－3.
(－3,0)，
由题意， 点 A(－3,0)， ∴AC＝ 9＋9＝3 2，AD＝ 4＋16＝2 5， 2， CD＝ 1＋1＝
(2)结合图形，抛物线 y＝x2＋2x－3，与 x 轴的交点为(1,0)，
由 AC2＋CD2＝AD2，所以△ACD 为直角三角形．
1 1 ＝2×CD×OC－2×AB×OC 1 1＋a 1 1－a ＝2× 2 ×1－2× a ×1＝1.
∴S1－S2 为常数，这个常数为 1.
【跟踪训练】 6．如图 22-3，抛物线 y＝x2＋bx＋c 的顶 点为 D(－1，－4)，与 y 轴交于点 C(0，－3)， 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)．
图 22-4
①当 M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB ②当 M 点运动到何处时，四边形 AMCB 的面积最大？求出 四边形 AMCB 的最大面积及此时点 M 的坐标．
解：(1)抛物线 y＝(x＋1)2＋k 的对称轴为直线 x＝－1. ∵抛物线 y＝(x＋1)2＋k 过点 C(0，－3)， 则－3＝(0＋1)2＋k, ∴k＝－4. (2)如图 D6，根据两点之间线段最短可知，当 P 点在线段 AC 上就可使PA ＋PC 的值最小，又因为点P 要在对称轴上，所 以 P 点应为线段 AC 与对称轴直线 x＝－1 的交点．
移得到．平移的规律是：“h 左加右减，k 上加下减”．二次函 数的一般形式 y＝ax2＋bx＋c 可以转化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 加以分析．
【例 1】已知二次函数 y＝2(x－1)2＋m 的图象上有三个点， 坐标分别为 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大 ) 小关系是( A．y1>y2>y3 C．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1
∴二次函数为 y＝ax2－(a＋1)x＋1. ∵二次函数为 y＝ax2－(a＋1)x＋1 的图象与 x 轴交于不同 的两点，
∴Δ>0.而Δ＝[－(a＋1)]2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1 ＝(a－1)2，
∴实数 a 的取值范围是 a>0 且 a≠1.
(3)证明：如图 22-2，∵ 0<a<1，
1 △ AMB 的最大面积 S△ AMB＝2× (3＋1)× 4＝8.
②方法一： 如图D6，过点M 作MH⊥x 轴于点H，连接AM，MC，CB. 点 M 在抛物线上，且在第三象限，设点 M 的坐标为(x，
x2＋2x－3)，则
S 四边形 AMCB＝S△ AMH＋S 梯形 OHMC＋S△ OBC 1 1 1 2 2 ＝2(x＋3)(－x －2x＋3)＋2(3－x －2x＋3)(－x)＋2× 1× 3 3 2 9 ＝－2x －2x＋6 3 32 75 ＝－2x＋2 ＋ 8 . 3 75 当 x＝－2时，四边形 AMCB 的面积最大，最大面积为 8 . 3 3 3 15 2 2 当 x＝－2时，x ＋2x－3＝ －2 ＋2× －2 －3＝－ 4 . ∴ 当 四 边 形 AMCB 的 面 积 最 大 时 ， 点 M 的 坐 标 为 3 15 － ，－ . 4 2
7．如图 22-4，抛物线 y＝(x＋1)2 ＋k 与 x
轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C(0，－3)．
(1)求抛物线的对称轴及 k 的值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点 P，使得 PA
＋PC 的值最小，求此时点 P 的坐标；
(3)点 M 是抛物线上一动点，且在第三象限．
的最大面积及此时点 M 的坐标；
图 22-2
－a－1 a＋1 ∴对称轴为 x＝－ 2a ＝ 2a >1. ∴
a＋1 1－a AB＝2 － 1 ＝ a . 2 a
把 y＝1 代入 y＝ax2－(a＋1)x＋1，得 1＋a 2 ax －(a＋1)x＝0，解得 x1＝0，x2＝ .
a
1＋a ∴CD＝ . a ∴S1－S2＝S△PCD－S△PAB＝S△ACD－S△CAB
热点三
二次函数的综合应用
【例 3】 已知关于 x 的二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图 象经过点 C(0,1)，且与 x 轴交于不同的两点 A，B，点 A 的坐标 是(1,0)
(1)求 c 的值；
(2)求 a 的取值范围； (3)该二次函数的图象与直线 y＝1 交于 C，D 两点，设 A，
章末整合提升
热点一 二次函数的图象与性质
二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、 对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握 这些性质是学好本章的前提和基础． 再者注意 y＝a(x－h)2＋k 的图象与函数 y＝ax2 的图象的关
系，它们形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平
(3)存在点 A(－3,0)，B(1,0)，则|AB|＝4. 抛物线 y＝x2＋2x－3 的对称轴为 x＝－1. 点 E 在抛物线的对称轴上， 则过点 E 作 EF∥AB.交抛物线于点 F. 要使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形， 则|EF|＝4. 设点 F 坐标为(x，y)，则|x＋1|＝4，故 x＝－5 或 x＝3. 当 x＝3 时，y ＝32 ＋2×3－3 ＝9＋6 －3＝12 ，则点 F 为 (3,12)． 当 x＝3 时，y＝52－2×5－3＝25－10－3＝12. 则点 F 为(5,12)． 故存在点 F(5,12)或(3,12)，使以 A，B，E，F 为顶点的四边 形为平行四边形．
当 b2－4ac<0 时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点．
【例 2】 已知函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)． (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一
个定点；
(2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值． 思路点拨：(1)根据解析式可知，当 x＝0 时，函数值与 m
C．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
D．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
3．如图 22-1，在 Rt△OAB 中，∠OAB＝90°，O 为坐标原 点，边 OA 在 x 轴上，OA＝AB＝1 个单位长度，把 Rt△OAB 沿
x 轴正方向平移 1 个单位长度后得AA1B1.
(1)求以 A 为顶点，且经过点 B1 的抛物线的解析式； (2)若(1)中的抛物线与 OB 交于点 C，与 y 轴交于点 D，求 点 C，D 的坐标．
图 22-1
解：(1)由题意，得点 A(1,0)，B1(2,1)． 设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2. 将 B1 坐标代入，得 a＝1. 所以抛物线的解析式为 y＝(x－1)2. (2)因为点 B 坐标为(1,1)，所以直线 OB 的解析式为 y＝x.
图 D6
由(1)可知，抛物线的表达式为 y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3. 令 y＝0，则(x＋1)2－4＝0，解得 x1＝－3，x2＝1.
则点 A，B 的坐标分别是 A(－3,0)、B(1,0)．
设直线 AC 的表达式为 y＝kx＋b，则
－3k＋b＝0， b＝－3. k＝－1， 解得 b＝－3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 AC，CD，AD，试证明△ACD 为 直角三角形； 图 22-3 (3)若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，
使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求
出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
b －2＝－1， 解：(1)由题意，得 2 4 c － b ＝－4. 4
值无关，故不论 m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1的图象都经过
y 轴上一个定点(0,1)．
(2)应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与 x 轴有
一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．
解：(1)当 x＝0 时，y＝1. 所以不论m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象都经过 y 轴上的一个定点(0,1)． (2)①当m＝0 时，函数 y＝－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点； ②当m≠0 时，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点，则方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根，所以(－6)2 －4m＝0，解得 m＝9. 综上所述，若函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点，则 m 的值为 0 或 9. 【跟踪训练】 3 个． 4．抛物线 y＝2x2－5x＋3 与坐标轴的交点共有_______
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的 y 值为 0 时，就得到一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0.抛物线与 x 轴是否有交点就取决于一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 的根的个数的情况．
当 b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根； 当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程的根；
解析：∵二次函数的解析式为 y＝2(x－1)2＋m， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线 x＝1. ∵点 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)为二次函数 y＝2(x－1)2 ＋m 的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴 x＝1 的距离远 近顺序为 C(－4，y3)，B(3，y2)，A(2，y1)，