2013-2014学年高中数学 实数与向量的积教案 新人教A版必修1
新教材高中数学第1章空间向量的数量积运算教案新人教A版选择性必修第一册
新教材高中数学教案新人教A 版选择性必修第一册：1.1.2 空间向量的数量积运算学习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.掌握投影向量的概念．(重点)4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养.2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养.3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.已知两个非零向量a 与b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．如果a 与b 的夹角为90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把a ·b ＝|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2.③cos〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )交换律 a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·ca b a b (2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0.(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，则向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a |a |. (2)向量a 在平面β上的投影向量向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c ，a ·b ＝k ⇒b ＝ka，(a ·b )·c ＝a ·(b·c )都不成立．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等．( )(2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a ·b )c ＝a (b ·c )． ( ) (3)若a ·b ＝b ·c ，且b ≠0，则a ＝c ． ( ) (4)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． ( )[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材P 8练习T 1改编)在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．38B ．14C ．34D ．18B [令底面边长为1，则高也为1，AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝B C →＋CC 1→，∴AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·CC 1→＝1×1×cos 120°＋12＝12，又|AB 1→|＝|BC 1→|＝ 2.∴cos〈AB 1，BC 1〉＝122×2＝14.故选B.] 3．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4A [由题意知，p·q ＝0，p 2＝q 2＝1.所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3－2＝1.]4．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c的模是________．17＋63 [因为|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋a ·c ＋b ·c )＝1＋4＋9＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，所以|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.]空间向量数量积的运算则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3(2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，求OG →·(OA →＋OB →＋OC →)的值．(1)A [∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2.](2)[解] OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13OB →＋13OC →＋13OA →. ∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2＝13×22＋13×32＋13×12＝143.在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.[跟进训练]1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.[解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.利用数量积证明空间垂直关系【例2】 已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .[思路探究] 首先把向量OG →和BC →均用OA →、OB →、OC →表示出来，通过证明OG →·BC →＝0来证得OG ⊥BC .[证明] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ， 又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12OB →＋OC→＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0.∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC .用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．[跟进训练]2.如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：PA ⊥BD .[证明] 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0.由PD ⊥底面ABCD 知，PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0.又PA →＝PD →＋DA →，∴PA →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即PA ⊥BD .夹角问题b 〉为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对(2)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．[思路探究] (1)根据题意，构造△ABC ，使AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，根据△ABC 三边之长，利用余弦定理求出向量a 与b 之间的夹角即可．(2)求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．(1)D [∵a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4， ∴以这三个向量首尾相连组成△ABC ；令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，则△ABC 三边之长分别为BC ＝2，CA ＝3，AB ＝4；由余弦定理，得：cos∠BCA ＝BC 2＋CA 2－AB 22BC ·CA ＝22＋32－422×2×3＝－14，又向量BC →和CA →是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA ， ∴cos〈a ，b 〉＝14，即向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉不是特殊角．](2)[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.∴cos〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→与AC →夹角的大小．[解] 不妨设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋AD 2→＋0＋0＝AD 2→＝1， 又∵|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∴cos〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12.∵〈BC 1→，AC →〉∈[0，π]，∴〈BC 1→，AC →〉＝π3.即BC 1→与AC →夹角的大小为π3.距离问题1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？ [提示] 线段长度即点点距、点线距、点面距． 2．求模的大小常用哪些公式？[提示] 由公式|a |＝a ·a 可以推广为|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在平面α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．[提示] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →―→|BD →|2注意对〈BA →，CD →〉的讨论，再求出B ，D 间距离．[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC→＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos〈BA →，CD →〉．∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．[跟进训练]4.如图所示，在平面角为120°的二面角αAB β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0.∵二面角αAB β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．2．空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．3．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |，解题的关键就是求a ·b 和|a |、|b |.求模时注意|a |2＝a ·a 的应用．1.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12 D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14.] 2．已知两异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则两直线的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－12，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →)＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]4.如图所示，在一个直二面角αAB β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．229 [∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →，∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2＋BD →2－2AB →·AC →＋2AB →·BD →－2AC →·BD →＝16＋36＋64＝116，∴|CD →|＝229.]5.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求证：MN 为AB 和CD 的公垂线；(2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与MC 所成角的余弦值．[解] 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意，可知|p |＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°.(1)证明：MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD .∴MN 为AB 与CD 的公垂线．(2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝(MN →)2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q·p －r ·p )]＝14(a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a22－a22－a22]＝14×2a 2＝a22.∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长度为22a .(3)设向量AN →与MC →的夹角为θ，∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2·cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2·cos 60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a24＋a22－a24＝a22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos θ＝32a ·32a ·cos θ＝a22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23.从而异面直线AN 与MC 所成角的余弦值为23.。
高一数学实数与向量的积(一)教案
芯衣州星海市涌泉学校§实数与向量的积〔一〕教学目的：1．掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2．掌握实数与向量的乘法的运算律；3．理解两个向量一一共线的充要条件，可以运用两向量一一共线的条件断定两向量是否平行．教学重点：理解实数与向量积的几何意义．教学重点：向量一一共线的充要条件及其应用．教学过程知识平台1．实数与向量的积，向量的加减法是向量运算的乘法的根底；2．实数与向量的积的定义的理解及其运算律的应用．情景平台1．非零向量a ，把a+a+a 记作3a ，(-a)+(-a)+(-a)记作-3a ，试作出3a 和－3a ．2．〔1〕非零向量a ，求作向量2(3a)和6a ，并进展比较．〔2〕非零向量a ，b ，求作向量2(a+b)和2a+2b ，并把结果进展比较分析．【小结】 1°定义实数与向量的积与a 同向，且|λa|=|λ||a|=λ|a|(λ>0)λa=与a 反向，且|λa|=|λ||a|=-λ|a|(λ<0)a=0(λ=0)aaab2°实数与向量积的运算律．才能平台3.计算：〔1〕(-3)×4a〔2〕3(a+b)-2(a-b)-a〔3〕(2a+3b-c)-(3a-2b+c)4．考察向量：a=e1-e2与b=-2e1+2e2有什么关系？【小结】向量b 与非零向量a 一一共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa． 创新平台5．如图，3AD AB =，3DE BC =，〔1〕试判断AC 与AE 是否一一共线； 〔2〕A 、C 、E 三点是否一一共线．【小结】①三点一一共线可产生向量平行；②向量平行可产生三点一一共线或者者直线平行．作业：教材P109习题T1，T2后记:。
高教版数学教案——实数与向量的积(一)
实数与向量的积（一）教学目的1．实数与向量的积的定义，2．实数与向量的积的运算律，3．两向量共线的充要条件。
教学重点与难点：1．实数与向量的积的定义，2．实数与向量的积的运算律，3．两向量共线的充要条件。
教学过程：一、复习已知非零向量a，作出：a+ a+ a和（-a）+（-a）+（-a）小结：①a+ a+ a记作：3a②（-a）+（-a）+（-a）记作：--3a二、新授：1．实数与向量的积：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：λa（1）λa=（2）当λ>0时，λa的方向与a方向同向；当λ<0时，λa的方向与a方向相反；当λ=0时，λa=0 2．实数与向量的积的运算律：（1）λ（υa）=（λυ）a（2）（λ+υ）a=λa+υa（3）λ（a+b）=λa+λb例1．计算：（1）（-3）⨯4a（2）3（a+b）-2（a-b）-a（3）（2a+3b-c）-（3a-2b+c）例2．若3m +2n =a ，m -3n =b ，其中a 、b 是已知向量，求m 、n3．定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a =λb例3．凸四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF =21（AB +DC ）例4．如图：已知AD =3AB ，DE =3BC ，试判断AC 与AE 是否共线推论：若a 与b 不共线，① a 、b 必均为非零向量；② 若m a =n b (m 、n ∈R)；则：m=n=0。
三、练习：四、小结：1、实数与向量的积的定义，2、实数与向量的积的运算律，3、两向量共线的充要条件。
五、布置作业：。
高中数学教案——实数与向量的积 第二课时
课 题：实数与向量的积（2）教学目的： 1了解平面向量基本定理； 2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：+=+9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =13．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa +λb14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-251e +32e 作法：（1）取点O ，作OA =-251e OB =32e （2）作 ，即为所求-251e +32e 例2 如图 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD解：在 中 ， ∵AC =+=a +b ，=-=a -b∴MA =-21AC =-21(a +b )=-21a -21b ，=21=21(a -b )=21a -21b =21=21a +21b =-=-21=-21a +21b例3的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE证明：∵E是对角线AC和BD的交点∴==-,==-在△OAE中，OA+AE=OE同理OB+=OE，OC+CE=OE，OD+=OE以上各式相加，得+++=4例4如图，，不共线，=t(t∈R)用,表示解：∵=t∴OP=OA+AP=OA+ t AB=OA+ t(OB-OA)=OA+ t OB-t OA=(1-t) OA+ t OB四、课堂练习：1e1、e2是同一平面内的两个向量,则有A1、e2一定平行B1、e2的模相等C a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+u e2(λ、u∈R)2a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系A B共线 C相等 D无法确定3e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y 的值等于A B-3 C0 D24a、b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ= ,μ=5a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=6λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线)参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线不共线五、小结平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业：1．如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与 分析：以ａ，ｂ为基底分解AB 与HF ，实为用ａ与ｂ表示向量AM 与HF解：由H 、M 、F 所在位置有：=+=+21=+21=ｂ＋21ａ， HF ＝AF －AH ＝AB ＋BF －AH ＝＋2131-＝＋31－21＝ａ－61ｂ 2．如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，OC ＝с，求OP 与分析：由平面几何的知识可得△APQ ∽△ABC ，且对应边的比为ｔ，∴ACAQ AB AP =＝ｔ，转化向量的关系为：AP ＝ｔAB ，＝ｔAC ，又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在解：∵PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应边比为ｔ（＝BC PQ ），即ACAQ AB AP =＝ｔ． 转化为向量的关系有：＝ｔ，＝ｔ， 又由于：AP ＝OP －OA ，＝－OA ，＝－，＝－∴＝＋＝＋ｔ（－）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,＝＋＝＋ｔ（－）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс七、板书设计（略）八、课后记： 1注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译例1 如图，已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC 且MN ∥BC 分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：＝21，AN ＝21一种语言，即＝－＝21－21 ＝21（AC －AB ）＝21最后又将向量语言MN ＝21BC 翻译成图形语言就是：MN ＝21BC 且MN ∥BC 2向量法应用例2已知平行四边形ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点， ∴＝21，＝21， 由向量加法法则可知： ＝＋＝＋21，＝＋＝＋21 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴＝－，＝－， ∴＝－－21＝－（＋21）＝－ ∴AE ∥CF ，∴AE ∥CF强化训练： 1a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2(3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2(e 1、e 2不共线) A B (2)(3)(4) C (1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4) 2A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠±1),O 是空间一点,则OP 用 、表示式为（ ） A =+λ B =λ+(1-λ) C OP =λλ++1 D OB OA λλ-+=111 3a 、b 是不共线的两向量,且=λ1a +b , =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ） A 1=λ2=-1 B λ1=λ2=1 C λ1λ2+1=0 D λ1λ2-1=0 4a =-e 1+3e 2,b =4e 1+2e 2,c =-3e 1+12e 2,则向量a 写为λ1b +λ2c 的形式是 5e 1、e 2不共线,a =2e 1+e 2,b=3e 1-2λe 2,若a 与b 共线,则实数λ= 6ABCD 和点O , =a , =b , =c ,=d ,a +c =b +d ,则四边形ABCD 的形状是 7OA 、OB 不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且OP =(1-t ) OA +t OB (t ∈R ),求证A 、B 、P 三点共线8a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件 9a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?参考答案：1A 2C 3D 4- 181b +277 c 5- 41 6平行四边形 7(略) 8p=q=0 9存在,λ=-2μ能使d 与c 共线。
高中数学 实数与向量的积综合练习教案 新人教A版必修1
第七教时教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点)2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律） 3．向量共线的充要条件4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质） 二、处理《教学与测试》1．当λ∈Z 时，验证：λ(a +b )=λa+λb证：当λ=0时，左边=0•(a +b )=0 右边=0•a+0•b =0 分配律成立当λ为正整数时，令λ=n, 则有：n(a +b )=(a +b )+(a +b )+…+(a +b )=a +a +…+a +b +b +b+…+b =n a +n b即λ为正整数时，分配律成立当为负整数时，令λ=-n （n 为正整数），有-n(a +b )=n[-(a +b )]=n[(-a )+(-b )]=n(-a )+n(-b )=-n a +(-n b )=-n a-nb分配律仍成立综上所述，当λ为整数时，λ(a +b )=λa+λb 恒成立 。
2．如图，在△ABC 中，=a, BC =b AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG解一：∵AB =a , =b 则BD =21=21b∴=+=a +21b 而=32∴=32a +31b解二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F ∵△AEF ∽△ABC AE =32AB=32aEF =32BC =32b=21=31b∴=+=32a +31b3．在 ABCD 中，设对角线AC =a ，=b 试用a , b表示，BC解一：AO =OC =21a BO =21BD =21b∴=+=-=21a -21b=+=+=21a +21b 解二：设AB =x ，BC =y则AB +BC =AC x +y =a ∴ x =21(a -b)-= -=b =21(a +b)即：AB =21(a -b ) =21(a +b)4．设1e , 2e 是两个不共线向量，已知AB =21e +k 2e , CB =1e +32e , CD =21e -2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值。
实数与向量的积教案
实数与向量的积教案●教学目标(一)知识目标平面向量基本定理.(二)能力目标1.了解平面向量基本定理；2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.(三)德育目标事物之间的相互转化.●教学重点平面向量基本定理.●教学难点平面向量基本定理的理解与应用.●教学方法启发引导式启发学生理解平面向量基本定理的证明应用了两向量共线的充要条件，并且认识到学习定理是为下节学习向量的坐标表示作铺垫，另外，引导学生在例题分析过程中体会利用平面向量基本定理将向量分解的方法.●教具准备投影仪、幻灯片(例题)●教学过程Ⅰ.复习回顾师：上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件.这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.Ⅱ.讲授新课1.平面向量基本定理如果ｅ１、ｅ２是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量ａ，有且只有一对实数λ１、λ２，使ａ＝λ１ｅ１＋λ２ｅ２.说明：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.师：下面我们通过例题使大家进一步熟悉平面向量的基本定理及其应用.［例1］如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量AM 与HF .分析：以ａ，ｂ为基底分解向量与，实为用ａ与ｂ表示向量与.解：由H 、M 、F 所在位置有：=+=+21=+21=ｂ＋21ａ， HF ＝AF －AH ＝AB ＋BF －AH ＝AB ＋AD BC 2131-＝AB ＋31AD －21＝ａ－61ｂ［例2］如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求与.分析：由平面几何的知识可得△APQ ∽△ABC ，且对应边的比为ｔ，∴ACAQ AB AP =＝ｔ，转化向量的关系为：＝ｔ，＝ｔ，又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在.解：∵PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应边比为ｔ（＝BC PQ ），即AC AQ AB AP =＝ｔ． 转化为向量的关系有：AP ＝ｔAB ，＝ｔAC ，又由于：AP ＝OP －OA ，＝OQ －OA ，AB ＝OB －OA ，AC ＝OC －OA . ∴＝＋＝＋ｔ（－）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,OQ ＝OA ＋AQ ＝OA ＋ｔ（OC －OA ）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс. 师：下面进行课堂练习Ⅲ.课堂练习课本Ｐ107练习1，2.Ⅳ.课时小结师：通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业(一)课本Ｐ108习题5.3 4，5，6，7(二)1.预习Ｐ108～Ｐ1112.预习提纲：(1)平面向量的坐标表示与平面向量基本定理的关系.(2)平面向量的坐标运算有何特点?(3)向量平行的坐标表示是什么?●板书设计●备课资料1.注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译.［例1］如图，已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC 且MN ∥BC .分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：＝21，＝21. 然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即MN ＝AN －AM ＝21AC －21AB ＝21（AC －AB ）＝21BC . 最后又将向量语言＝21翻译成图形语言就是：MN ＝21BC 且MN ∥BC . 2.向量法应用［例2］已知？ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF . 证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点， ∴＝21，＝21， 由向量加法法则可知：AE ＝AD ＋DE ＝AD ＋21DC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋21. ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴＝－，＝－，∴＝－－21＝－（＋21）＝－ ∴∥，∴AE ∥CF。
高一数学实数与向量的积和平面向量的坐标运算教案
实数与向量的积（第一课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障（1）已知向量a，作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）．（2）实数的乘法交换律是_____，实数的乘法结合律是_____，乘法对加法的分配律_____．2．先看书，再来做一做（1）λa＝0的充要条件是_____．（2）计算：（－7）×6a＝_____，4（a＋b）－3（a－b）－8a＝_____．【学习目标】（1）掌握实数与向量的积的定义．（2）掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．（3）理解两个向量共线的充要条件，会根据条件判断两个向量是否共线．【基础知识精讲】本课时课本给出了实数与向量积的定义，实数与向量积的运算律和向量共线的充要条件．重点是实数与向量积的定义、运算律和向量共线的充要条件．而向量共线的充要条件也是难点．1．实数与向量积的定义我们知道，几个相等实数相加，便得到几倍实数的概念．这同样可推广到几个相等的向量相加上去，例如：a＋a＋a＝3a，（－a）＋（－a）＋（－a）＝－3a．n个相等非零向量a相加的和仍是一个向量，记作n a＝a＋a＋…＋a．显然1a＝a，n a 的长度是|a|的n倍，方向与a相同．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（1）|λa|＝|λ||a|；（2）当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．由定义可知，对于λa：①λ是数量，a是向量，λa仍是向量；②当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这反映了将向量a所代表的线段拉长了，当|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这反映了将向量a所代表的线段缩短了；③λa＝0的充要条件是a＝0或λ＝0．2．实数与向量积的运算律实数与向量积的运算律与数与数的积的运算律很相似，区别在分配律．设λ、u为实数，那么（1）λ（u a）＝（λu）a；（2）（λ＋u）a＝λa＋u a；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb．通常将（1）称为结合律，将（2）称为第一分配律，将（3）称为第二分配律．根据实数与向量乘积的以上三个运算律，以后向量相加和数乘向量可以像实数及多项式那样去运算．如：5a＋3a－4a＝（5＋3－4）a＝4a；（－3）×4a＋（2a＋3b）－2（a－2b）＝－12a＋2a＋3b－2a＋4b＝－12a＋7b．3．向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是，有且只有一个实数λ，使得b＝λa．对充要条件的理解：（1）方向相同或相反的两向量共线，零向量与任何向量共线．若有一实数λ，使b ＝λa ，则b 与a 同向（λ＞0），或反向（λ＜0)，若b ＝0（λ＝0）．总之此时b 与a 共线，这就是充分性．首先介绍存在性．设b 与a 共线（a ≠0），再设|a |b ||＝λ．若b ＝0，则λ＝0，因此有b ＝0，b ＝λa ．若b ≠0，且b 与a 同向，则有b ＝λa ．若b ≠0，且b 与a 反向时，则有b ＝－λa ．这说明b 与a （a ≠0）共线时，存在λ使b ＝λa ．其次介绍唯一性．若b ＝λa ＝u a ，则（λ－u ）a ＝0，而a ≠0，所以u ＝λ，即λ是唯一的．（2）当a ＝0时，a 与任一向量b 都共线．若b ≠0，则λ不存在；b ＝0时，λ可为任意实数．因此，条件中需限制a ≠0．即b ∥a （a ≠0）⇔b ＝λa （λ唯一） b ∥a ⇐b ＝λa （λ为实数）． （3）向量平行的充要条件的作用．利用此充要条件可证明三点共线，或两直线平行．但需注意：直线平行不包括重合，用向量平行证明直线平行要根据图形所表示向量的有向线段所在直线是否重合．两向量若有公共点，则它们所在直线重合．例如，AB 与BC 共线，则A 、B 、C 三点共线．本课时学生感到困难的问题是：怎样证明实数与向量积的运算律？ 下面以证明运算律（3）为例．要证λ（a ＋b ）＝λa ＋u a ，我们首先考虑到当λ＝0或λ＝1或a 、b 中至少有一个为零向量的情形，结论都是成立的．下面我们只需对λ≠0，λ≠1，a ≠0，b ≠0的一般情况进行讨论．当λ＞0时，如图5－3－1示，作＝a ，0AB ＝λa ，＝b ，00C B ＝λb ，则BC ∥B 0C 0，∠ABC ＝∠AB 0C 0，且BC C B AB AB 000=＝λ，故△ABC ∽△AB 0C 0，∴ACAC 0＝λ，∠CAB ＝∠C 0AB 0．因此，A ，C ，C 0三点共线，即有λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．当λ＜0时，证法同λ＞0.综上, λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．图5－3－1【学习方法指导】怎样进行实数与向量的积的运算？ ［例1］完成下列各题：（1）31［21（2a ＋8b ）－（4a －2b ）］＝_____． （2）若a 、b 为已知向量，且32（4a －3c ）＋3（5c －4b ）＝0，则c ＝_____．（3）若3x ＋4y ＝a ，且2x －3y ＝b ，其中a 、b 为已知向量，则x ＝_____，y ＝_____． （4）已知向量a 、b 不共线，实数x ，y 满足向量等式3x a ＋（10－y ）b ＝2x b ＋（4y ＋7）a ，则x ＝_____，y ＝_____．解：（1）31［21（2a ＋8b ）－（4a －2b ）］ ＝31［a ＋4b －4a ＋2b ］ ＝31［－3a ＋6b ］ ＝－a ＋2b ． （2）∵32（4a －3c ）＋3（5c －4b ）＝0 即38a －2c ＋15c －12b ＝0 ∴13c ＝12b －38a ，c ＝1312b －398a ．（3）由题意得①×3＋②×4得：17x ＝3a ＋4b ， ∴x ＝173a ＋174b ． ①×2－②×3得：y ＝172a －173b ． （4）∵3x a ＋（10－y ）b ＝2x b ＋（4y ＋7）a∴（3x －4y －7）a ＋（10－y －2x ）b ＝0 ∵a 与b 不共线 ∴⎩⎨⎧=--=--02100743x y y x 解得x ＝1116,1147=y ．怎样判定三点共线？［例2］设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果＝2e 1＋3e 2，＝6e 1＋23e 2，＝4e 1－8e 2．求证：A 、B 、D 三点共线．分析：要证A 、B 、D 三点共线，只需证明与共线即可．证明：∵＝＋＋＝2e 1＋3e 2＋6e 1＋23e 2＋4e 1－8e 2＝12e 1＋18e 2＝6（2e 1＋3e 2）＝6AB∴向量与向量共线． 又∵和有共同的起点A∴A 、B 、D 三点共线．【知识拓展】1．由共线向量判定定理可得到判定两个向量共线的另一个充要条件：两向量a 、b 共线的充要条件是存在两个不全为零的实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0． 2．若a 、b 不共线，当λa ＋μb ＝0时，必有λ＝μ＝0． 事实上，如果λ、μ中有一个不是零，不妨设μ≠0，则b ＝－μλa ，由共线向量判定定理可知b ∥a ，这与已知矛盾，所以必有λ＝μ＝0．上面的例1（4）的解答过程用到了这个结论．【同步达纲训练】 一、选择题1．有下面四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m （a －b ）＝m a －m b ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有（m －n ）a ＝m a －n a ③对于实数m 和向量a ，b ，若m a ＝m b ，则a ＝b ④对于实数m ，n 和向量a ，若m a ＝n a ，则m ＝n ，其中正确命题的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 2．设e 1，e 2是不共线的两个向量，有下列四组向量：①a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2 ②a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2 ③a ＝2e 1－31e 2，b ＝e 1－61e 2 ④a ＝2e 1，b ＝－3e 1，其中a 与b 共线的组数为（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．设命题p ：向量b 与向量a 共线；命题q ：有且只有一个实数λ使得b ＝λa ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件 二、填空题4．若2（x －31a ）－21（b －3x ＋c ）＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝_____．5．点C 在线段AB 上，且＝53，则＝_____．三、解答题6．两个非零向量e 1，e 2不共线，若＝e 1＋e 2，＝2e 1＋8e 2，＝3（e 1－e 2）．求证：A 、B 、D 三点共线．参考答案【课前复习】1．（1）＝a ＋a ＋a ＝（－a ）＋（－a ）＋（－a ）（2）ab ＝ba a （bc ）＝（ab ）c a （b ＋c ）＝ab ＋ac 2．（1）λ＝0或a ＝0 （2）－42a －7a ＋7b【同步达纲训练】 一、1．C ①②正确2．C ①③④中的a 与b 共线．3．B 由p 推不出q ．因当a ＝0时，存在无数个λ，使b ＝λa ．由q 可以推出p ．二、4．214a －71b ＋71c 去括号，移项即得．5．－23 由＝53，得＝53（＋）．∴5＝3－3，2＝－3，＝－23．三、6．证明：＝＋＝2e 1＋8e 2＋3（e 1－e 2）＝5e 1＋5e 2，又∵＝e 1＋e 2，∴BD ＝5·AB ，故向量AB 、BD 共线，所以A 、B 、D 三点共线．实数与向量的积（第二课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障． （1）下列各式叙述不正确的是（ ） A ．若a ＝λb ，则a 、b 共线（λ∈R ） B ．b ＝3a （a 非零向量）则a 、b 共线 C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝23a ＋2b ，则m ∥n D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c（2）若a ＝e 1＋2e 2－e 3，b ＝3e 1－2e 2＋2e 3，则a ＋b ＝_____．2．先看书，再来做一做．（1）设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有（）A．e1、e2一定平行B．e1、e2的模相等C．同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋u e2（λ、u∈R）D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋u e2．（2）已知向量e1、e2，如图5－3－3．求作向量3e1＋2e2．图5－3－3【学习目标】（1）了解平面向量基本定理．（2）会通过定理用两个不共线向量表示另一向量或将一个向量分解为两个向量．（3）能用平面向量基本定理处理简单的几何问题．【基础知识精讲】本课时重点是平面向量基本定理的应用．难点是平面向量基本定理的理解．1．平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则该平面内的任一向量a都能表示为a＝λ1e1＋λ2e2．其中数对（λ1，λ2）是唯一的．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．关于平面向量基本定理还可理解为：①平面向量基本定理说明同一平面内三个向量之间的关系，向量a是e1、e2的线性组合，或者说a可分解为两个向量，一个是与e1共线的λ1e1，一个是与e2共线的λ2e2．特殊地，若a与e1共线，则λ2＝0；若a与e2共线，则λ1＝0；若a＝0，则λ1＝λ2＝0．②a＝λ1e1＋λ2e2中，λ1、λ2是被a、e1、e2唯一确定的数量．③平面向量基本定理也可表述为：若向量e1、e2不共线，则向量a和向量e1、e2共面的充要条件是a＝λ1e1＋λ2e2．所以平面向量基本定理也叫共面向量定理．2．课本的例3实际上就是平面向量基本定理的几何解释，就是说平面上任一向量，都可以根据向量共线条件，将一组基底e1、e2的起点放在一起，再根据平行四边形法则，得到向量λ1e1＋λ2e2．要注意，OB（3e2）与e2共线，OA（－2.5e1）与e1共线，它们的方向一个相同（3e2与e2相同），一个相反（－2.5e1与e1相反）．其长度分别是原来的3倍和2.5倍．3．课本例4是根据平面向量基本定理，综合向量的混合运算，用向量来表示几何关系．4．课本例5实际上还得到一个重要结论：OA＝λOB＋u OC中，λ＋u＝1是A、B、C三点共线的充要条件．课本已证明了，如果A、B、C共线，则λ＋u＝1；反之，若λ＋u ＝1，即u＝1－λ，则＝λ＋（1－λ），于是，－＝λ（－），即CA＝λCB，∴A、B、C三点共线．本课时有下列两个问题需要给予重视怎样证明平面向量基本定理中λ、μ的唯一性？通过课本的论述，已经知道平面内任一向量a ，可以写成a ＝λ1e 1＋λ2e 2（λ，μ∈R ）的形式，这事实上是证明了λ1、λ2的存在性．下面给出唯一性的证明：（用反证法）．假设a ＝λ1e 1＋λ2e 2，又有a ＝μ1e 1＋μ2e 2，且λ1＝μ1，λ2＝μ2不同时成立．不妨设λ1≠μ2，二式相减整理可得（λ1－μ1）e 1＝（μ2－λ2）e 2，于是e 1＝1122μλλμ--e 2，即e 1与e 2共线，与已知e 1与e 2不共线矛盾，唯一性得证．平面向量基本定理与共线向量定理是什么关系？平面向量基本定理是基于平面向量共线的充要条件这一定理之上的．事实上，当a 与e 1或e 2共线，即λ1、λ2中有一个为0时，就是在同一直线上的“基本定理”，即共线向量定理．在基本定理的推导过程中，也用到a 的两个“分量”分别与e 1、e 2共线的条件．【学习方法指导】在平面图形中，如何用已知向量表示未知向量？［例1］如图5－3－4，平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别为DC ，BC 的中点，已知＝c ，＝d ，试用c 、d 表示和．图5－3－4分析：要直接用c 、d 表示和比较困难，利用“正难则反”的原则，可以先用、表示c 、d ，再来解关于和的方程组．解：设＝a ，＝b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得：＝21b ，21=DM a ．从△ABN 和△ADM 中可得：①×2－②，得a ＝32（2d －c ）②×2－①，得b ＝32（2c －d ） 即＝32（2d －c ），＝32（2c －d ）．怎样用向量证明平面几何问题？［例2］用向量证明三角形的三条中线共点． 分析：本题考查用向量证明平面几何命题的能力．要证明三线共点，如图5－3－5所示，可设AD 与BE 相交于点G 1，AD 与CF 相交于点G 2，然后证明G 1点与G 2点重合．图5－3－5证明：设AC ＝a ，BC ＝b 为基底，则AB ＝a －b ，AD ＝a －21b ，BE ＝－21a ＋b ．设AD 与BE 相交于点G 1，并设1AG ＝λ，1BG ＝μ则1AG ＝λa －2λb ，21μ-=a ＋μb又∵1AG ＝＋1BG ＝（1－2μ）a ＋（μ－1）b∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1221μλμλ 解得λ＝μ＝32，即321=AG ． 再设AD 与CF 相交于点G 2，同理可得，2AG ＝32． 故G 1点与G 2点重合，即AD 、BE 、CF 相交于同一点． 点评：如果能预先猜出三条中线交点的位置，设321=AG AD ，BG 322=，3CG ＝32，再证得3121G G G G =＝0就要简便得多．但对于一个陌生的几何问题，这种猜测往往是很难实现的．而用向量的基本定理来证明是有一个统一的模式的，学会了可以举一反三．【知识拓展】向量作为数形结合的有力工具，应用极其广泛．下面用向量知识解决一个实际问题： 一船以每小时8千米的速度向东航行，船上的人测得风来自北方；若船速加倍，则测得风来自东北方．求风速的大小及方向．分析：船上的人测得的风速是风对船的相对速度，事实上它等于风速和船速之差． 解：分别取正东、正北方向为x 、y 轴，建立直角坐标系，令x 、y 轴正方向上的单位向量分别为i 、j ．设风速的向量为v 0＝x i ＋y j ．最初船速向量为v 船＝8i ，最初船上测得的风速向量： v 1＝v 0－v 船＝－a j （a ＞0） ①（如图5－3－6）图5－3－6船加速后测得的风速向量v 2（如图5－3－7）图5－3－7v 2＝v 0－2v 船＝－b i －b j （b ＞0） ② 将v 0＝x i ＋y j 及v 船＝8i 代入①②式得：⎩⎨⎧--=-+-=-+j i i j i ji j i b b y x a y x 168 ∴⎩⎨⎧--=+--=+-j i j i j j i b b y x a y x )16()8(∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--==-88881608a y b x b y b x a y x ∴v 0＝8i －8j ，|v 0|＝82．因此，风速的大小为82 km/h ，方向东南．【同步达纲训练】 一、选择题1．下面三种说法，其中正确的说法是（ ）①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底 ③零向量不可为基底中的向量A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．设O 是□ABCD 两对角线的交点，下列向量组①与 ②与 ③与DC ④OD 与OB ，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④3．在△ABC 中，AD 、BE 、CF 为三条中线，G 是它们的交点，则下列等式错误的是（ ）A ．32=B ．21=C ．2-=D ．BC FC DA 213231=+二、填空题4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足向量等式3x a ＋（10－y ）b ＝2x b ＋（4y ＋7）a ，则x ＝_____，y ＝_____．5．设I 为△ABC 的内心，当AB ＝AC ＝5且BC ＝6时，AI ＝λAB ＋u BC ，那么λ＝_____，u ＝_____．三、解答题6．已知向量e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb （其中λ、μ∈R ），试求λ、μ的值．参考答案【课前复习】 1．（1）A 当λ＝0时，a ＝λb ，但a 与b 未必共线． （2）4e 1＋e 32．（1）D 答案C 中的e 1、e 2平行时不成立．（2）作OA ＝3e 1，OB ＝2e 2，以OA 、OB 为邻边作□OACB ．则OC 就是所求作的向量，如下图．【同步达纲训练】1．B 平面内任何不共线的非零向量都可作为基底．2．B ①③中的向量不共线．3．B 21-=（如下图）．二、4．1147 1116 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=11161147210743y x x y y x 5．85 165 35||||||||==BD AB ID AI ． .16585)21(85)(8585AI +=+=+==（如下图）三、6．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2，代入c ＝λa ＋μb 中，得c ＝λ（e 1＋e 2）＋μ（3e 1－2e 2）＝（λ＋3μ）e 1＋（λ－2μ）e 2．又∵c ＝2e 1＋3e 2，且e 1，e 2是一组基底，于是根据定理中的唯一性可得以下的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=+515133223μλμλμλ解之得．平面向量的坐标运算（第一课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，则a＋b＝_____，a－b＝_____，λa＝_____．（2）如图5－4－1所示，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．由平面向量基本定理得a＝_____，b＝_____，c＝_____，d＝_____．图5－4－12．先看书，再来做一做．（1）在a＝x i＋y j中，x，y∈R，a＝（x，y）叫做向量的_____表示．显然i＝_____，j＝_____，O＝_____．若OA＝x i＋y j，则OA的坐标为（x，y），反过来点A的坐标（x，y）就是向量_____的坐标．（2）在1（1）中，向量a＋b的坐标为_____，a－b的坐标为_____，λa的坐标为_____．在1（2）中，用坐标表示向量：a＝_____，b＝_____，c＝_____，d＝_____．【学习目标】（1）理解平面向量的坐标的概念．会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．（2）掌握平面向量的坐标运算．①能准确地表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能准确地运用它们进行向量的相关运算；②明确一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．【基础知识精讲】本课时的主要内容是平面向量的坐标表示和平面向量的坐标运算．重点是平面向量的坐标运算．对平面向量的坐标表示的理解既是重点，也是难点．1．向量的坐标在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j为基底，则对任意向量a有且只有一对实数x、y，使a＝x i＋y j，记作a＝（x，y），叫做向量的坐标表示．其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．2．平面向量的坐标运算设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，则有（1）加法：a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）；（2）减法：a－b＝（x1－x2，y1－y2）；（3）实数与向量的积：λa＝（λx1，λy1）．向量的坐标运算贯穿以后各节内容．它既是本课的重点也是以后各节内容的重点．3．两向量相等的充要条件．若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b的充要条件是x1＝x2且y1＝y2．学习本课后，一定要弄清下列问题：怎样理解平面向量的坐标概念？由平面向量基本定理，平面内任一向量都可由此平面内任意两个不共线向量来表示．特别地，取直角坐标系内分别与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j，则对于此平面内任一向量a，一定有唯一的一对实数x、y，使a＝x i＋y j，而（x，y）就叫做a的坐标．事实上，平面内一个向量的坐标，就是这个向量在相应坐标轴上射影所得有向线段的数量．基于此认识，容易知道，无论向量怎样移动，只要方向和长度不变，表示该向量的坐标都是相同的．即相等向量的坐标是相同的．要注意的是写向量a的坐标时，x、y的顺序不能颠倒，即i的系数（横坐标）写在前，j的系数（纵坐标）写在后．向量的坐标与此向量的始点和终点有什么关系？一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．当A和B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）时，向量的坐标为（x2－x1，y2－y1）．由此可见，向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．也就是说，只与向量的方向和长度有关系．当A的坐标为（x，y），O为坐标原点时，向量OA的坐标为（x，y），即始点在原点的向量的坐标就是此向量终点的坐标；反之，平面上点A的坐标也就是向量OA的坐标．图5－4－2 图5－4－34．课本中例 1是用向量坐标的定义来解的．此例也可求出向量a的坐标后，根据对称性分别求出向量b、c、d的坐标．例2是求向量的和、差、实数与向量积的坐标问题．例3是应用向量相等的坐标表示的充要条件求平行四边形顶点问题．5．向量的坐标表示有什么意义？向量的坐标表示，实质上是向量的一种代数表示法．而有向线段是向量的几何表示法．因此，向量有几何法和代数法两种表示方法．向量的坐标表示能使向量运算代数化，能将几何问题转化为代数运算问题．向量的坐标表示，实质上是选取e1＝（1，0），e2＝（0，1）为基底的特殊的几何表示．【学习方法指导】怎样进行平面向量的坐标运算？［例1］如图5－4－4示，□ABCD的对角线交于O，且＝（3，7），＝（－2，1）．求的坐标．图5－4－4 分析：要求的坐标，只要求出的坐标，由向量加法的平行四边形法则可知＝－，于是问题即可解决． 解：∵＝－＝（－2，1）－（3，7）＝（－5，－6） ∴＝2121=DB （－5，－6）＝（－25，－3）．怎样在坐标平面中以一组基底来表示其他平面向量？［例2］已知A （1，－2），B （2，1），C （3，2）和D （－2，3），以、为一组基底来表示＋＋． 分析：可先求出＋＋，再用，为基底表示．解：∵A （1，－2），B （2，1），C （3，2），D （－2，3）＝（－3，5），＝（－4，2）， ＝（－5，1），＝（1，3），＝（2，4） ∴AD ＋BD ＋CD ＝（－12，8） 设＋＋＝m ＋n＝m （1，3）＋n （2，4）＝（m ＋2n ，3m ＋4n ）∴⎩⎨⎧=+-=+843122n m n m 解得⎩⎨⎧-==2232n m ∴＋＋＝32－22．【知识拓展】任何一个平面直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，所以，通过向量的运算（向量的加法、减法，实数与向量的积的混合运算），一般较容易证明几何命题．引入向量的坐标后，向量的加法、减法、实数与向量的乘法都可以通过向量的坐标运算得以解决，它将数与形紧密结合起来，这样很多几何问题可转化为学生熟知的代数的运算，对问题的解决方便多了．下面是用向量方法证明几何命题的一个例子：已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：)(21+=．图5－4－5分析：本题考查向量运算等基础知识，可有多种证法．证法一：在平面内任取一点O （图5－4－6）图5－4－6∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴21=（OA ＋OD ）， ＝21（OB ＋OC ）． ∴-= ＝21［（－）＋（－）］ ＝21（＋）． 证法二：建立直角坐标系，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1），＝（x 3－x 4，y 3－y 4）． 于是21（＋）＝（24132x x x x --+，24132y y y y --+） 又∵E （241x x +，241y y +），F （2,23232y y x x ++） ∴＝（22,2241324132y y y y x x x x +-++-+）． ∴)(21+=．【同步达纲训练】一、选择题1．已知＝（3，4），A ＝（－2，－1），则B 点的坐标为（ ）A ．（5，5）B ．（－5，－5）C ．（1，3）D ．（－5，5）2．已知a ＝（3，－1），b ＝（－1，2），则－3a －2b 的坐标是（ ）A ．（7，1）B ．（－7，－1）C ．（－7，1）D ．（7，－1）3．若向量a ＝（x ＋3，x 2－3x －4）与AB 相等，已知A （1，2），B （3，2）则x 的值为（ ）A ．－1B ．－1或4C ．4D ．1或－4 二、填空题 4．已知A （－3，2），＝（8，0），则线段AB 的中点的坐标是_____．5．□ABCD 中，A （－1，0），B （3，0），C （1，－5），则D 的坐标为_____．三、解答题6．（1）已知a ＋b ＝（－3，－4），a －b ＝（5，2）,求a ，b ；（2）已知向量a ＝（－4，2）的终点在坐标原点，求向量的起点坐标；（3）已知a ＝（x ，2），b ＝（－4，y ），c ＝（－3，－5），且c ＝－21a ＋23b ，求实数x 、y ；参考答案【课前复习】1．（1）（x 1＋x 2）i ＋（y 1＋y 2）j （x 1－x 2）i ＋（y 1－y 2）j λx 1i ＋λy 1j（2）a ＝2i ＋j i －2j －2i －j －i ＋j2．（1）坐标 （1，0） （0，1） （0，0） OA（2）（x 1＋x 2，y 1＋y 2） （x 1－x 2，y 1－y 2） （λx 1，λy 1） （2，1） （1，－2）（－2，－1） （－1，1）【同步达纲训练】一、1．C 设B （x ，y ），则＝（x ＋2，y ＋1）＝（3，4）．由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+314132y x y x ，∴B （1，3）． 2．B －3a －2b ＝－3（3，－1）－2（－1，2）＝（－9，3）－（－2，4）＝（－7，－1）．3．A ＝（2，0），由⎩⎨⎧=--=+043232x x x 得x ＝－1．二、4．（1，2） 设AB 中点为E ，则21=（＋） AB ＝OB －OA ＝OB －（－3，2）＝（8，0），OB ＝（5，2） ∴21=［（－3，2）＋（5，2）］＝（1，2）． 5．（－3，－5） 由＝，设D （x ，y ）， 则＝（4，0），＝（1－x ，－5－y ）由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=--=-530541y x y x ，∴D （－3，－5）． 三、6．解：（1）因为2a ＝（a ＋b ）＋（a －b ）＝（－3，－4）＋（5，2）＝（2，－2）， 2b ＝（a ＋b ）－（a －b ）＝（－3，－4）－（5，2）＝（－8，－6），所以a ＝21（2，－2）＝（1，－1）， b ＝21（－8，－6）＝（－4，－3）． （2）设向量a 的起点坐标（x ，y ），则⎩⎨⎧-=-==--=,220,4)4(0y x即a 的起点坐标为（4，－2）．（3）因为c ＝－21a ＋23b ，所以 （－3，－5）＝－21（x ，2）＋23（－4，y ）＝（－21x －6，－1＋23y ） 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=--.38,6,5231,3621y x y x 即平面向量的坐标运算（第二课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）若a ＝（2，1），b ＝（－3，4），则3a ＋4b 的坐标为_____．（2）若A （－2，1），B （－1，3），C （3，4），D （2，2），则与的关系是_____．2．先看书，再来做一做．（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），且b ≠0，a ∥b ．用坐标表示，可写为_____，即_____，消去λ后得_____，也就是说a ∥b （b ≠0）的充要条件是_____．（2）若a ＝（2，3），b ＝（4，－1＋y ），且a ∥b ，则y ＝_____．【学习目标】（1）能说出平行（共线）向量充要条件的坐标表示，并会用它解决向量平行（共线）的有关问题．（2）弄清向量平行和直线平行的区别．【基础知识精讲】本课时主要介绍向量平行的坐标表示．本课时内容不多但十分重要．向量平行的充要条件的坐标表示是本节课的教学重点．教学难点是应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题．1．向量平行（共线）的充要条件若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．注意：a 与b 平行的充要条件不能表示成2211x y x y =或2121y y x x =． 2．课本例4、例5是应用向量共线的坐标表示的充要条件的题目，属于基本题型，要注意该类题型的训练．下面的问题是学习本课时需要了解的．怎样用坐标法证明向量共线的充要条件？（1）必要性若b ＝0，则x 2＝y 2＝0．若a ∥b ，总有x 1y 2－x 2y 1＝x 1·0－0·y 1＝0；若b ≠0，因为a ∥b ，所以存在实数λ使a ＝λb ，即（x 1，y 1）＝λ（x 2，y 2）．由向量相等的充要条件有{2121y y x x λλ==．当x 2≠0时，λ＝21x x ，代入y 1＝λy 2，得x 1y 2－x 2y 1＝0．当y 2≠0时，λ＝21y y ，代入x 1＝λx 2，得x 1y 2－x 2y 1＝0．综上所述，若a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0．（2）充分性若x 2＝y 2＝0，则b ＝0，而0与任一向量平行，所以a ∥b ．若x 2＝0，y 2≠0，令λ＝21y y ，由x 1y 2－x 2y 1＝0得x 1＝21y y x 2＝λx 2，所以⎩⎨⎧==2121y y x x λλ，即（x 1，y 1）＝λ（x 2，y 2），也就是a ＝λb ，故a ∥b ，同理可知，x 2≠0，y 2＝0时，a ∥b ．综上所述，x 1y 2－x 2y 1＝0时，a ∥b ．进行向量的坐标运算都有哪些过程？向量的坐标运算的流程图【学习方法指导】怎样利用坐标运算判断向量或直线是否平行（共线）？［例1］已知点A （－1，－1），B （1，3），C （1，5），D （2，7），向量与平行吗？直线AB 与直线CD 平行吗？ 解：∵＝（2，4），＝（1，2），又2×2－1×4＝0，∴∥． 又＝（2，6），＝（2，4），2×4－2×6≠0 ∴与 不平行．∴A 、B 、C 三点不共线，AB 与CD 不重合．∴直线AB 与CD 平行．评注：证明直线AB 与CD 平行，必须先证明∥，再证AB 与CD 不重合（即A 、B 、C 、D 四点不共线）．因为直线平行不包括重合的情况，而向量平行则包括共线的情况．怎样运用向量共线的坐标表示的充要条件解题？［例2］已知＝i －2j ，＝i ＋m j ，i 、j 分别是x 轴、y 轴方向上的单位向量．若A 、B 、C 共线，求m 的值．分析：因为A 、B 、C 共线，∴∥．解：∵i ＝（1，0），j ＝（0，1）， ∴＝（1，0）－2（0，1）＝（1，－2），＝（1，0）＋m （0，1）＝（1，m ）． ∴1·m －1·（－2）＝0，∴m ＝－2．评注：两向量平行的充要条件有两种形式（1）b ＝λa （a ≠0）；（2）x 1y 2－x 2y 1＝0．本题也可以利用第（1）种形式求解如下：∵A 、B 、C 共线，∴∥，∴存在实数λ，使＝λ，即i －2j ＝λ（i ＋m j ），∴i －2j ＝λi ＋λm j ．由已知i 、j 不共线，∴⎩⎨⎧-==21m λλ，∴m ＝－2．向量平行的充要条件的两种形式都很重要，要灵活应用．［例3］已知＝（6，1），＝（x ，y ），＝（－2，－3），又与共线，求x ，y 间的关系． 分析：与共线，要设法求出． 解：＋＋＝＝（4＋x ，－2＋y ）∴＝（－4－x ，2－y ），又＝（x ，y ） 由BC 与DA 共线，可得，x （2－y ）－y （－4－x ）＝0，即x ＋2y ＝0． 评注：构造＝＋＋是解题的关键，一般地有：AB ＝211B B AB +＋32B B ＋…＋B B B n n n +-1，此结论称为沙尔定理．【知识拓展】已知三个点的坐标可以判断它们是否共线．三点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）共线的充要条件是：（x 2－x 1）（y 3－y 1）－（x 3－x 1）（y 2－y 1）＝0．因为A 、B 、C 三点共线的充要条件是与共线，又＝（x 2－x 1，y 2－y 1），＝（x 3－x 1，y 3－y 1），于是由定理知：（x 2－x 1）（y 3－y 1）－（x 3－x 1）（y 2－y 1）＝0．利用这个条件，我们很容易判断已知坐标的三点是否共线．【同步达纲训练】一、选择题1．设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2）且b ≠0，则a ∥b 是x 1y 2＝x 2y 1的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件2．已知a ＝（－1，3），b ＝（x ，－1），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．3B ．－3C ．31D ．－31 3．若A （－1，－3），B （1－x ，2），C （－11，－8）三点在同一直线上，则x 的值等于（ ）A ．－7B ．－8C ．－9D ．－10二、填空题4．已知M （1，0），N （0，1），P （2，1），Q （1，y ），且MN ∥PQ ，则y ＝_____．5．已知|a |＝23，b ＝（－1，3）且a ∥b ，则a ＝_____．三、解答题6．已知三个非零向量a 、b 、c 每两个均不共线．若a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，求a ＋b ＋c ．参考答案【课前复习】1．（1）（－6，19） （2）相等2．（1）（x 1，y 1）＝λ（x 2，y 2） ⎩⎨⎧==2121y y x x λλ x 1y 2－x 2y 1＝0 x 1y 2－x 2y 1＝0 （2）7【同步达纲训练】一、1．C 直接由向量平行的充要条件可得．2．C （－1）×（－1）－3x ＝0，解得x ＝31． 3．B 可直接代入公式中求解，也可由AB ∥AC 及AB ＝（2－x ，5），AC ＝（－10，－5），得（2－x ）·（－5）－5×（－10）＝0，解得x ＝－8．二、4．2 先求MN 和PQ 的坐标，再由向量共线的充要条件可得．5．（5303,530-）或（－5303,530） 设a ＝（x ，y ）， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅--=+,0)1(3,3222y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53035305303530y x y x 或． 三、6．解法一：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），c ＝（x 3，y 3）． 由于a ＋b 与c 共线，所以有x 3（y 1＋y 2）＝y 3（x 1＋x 2） ①同理由b ＋c 与a 共线，可得x 1（y 2＋y 3）＝y 1（x 2＋x 3）② 由①得y 3＝212313x x y x y x ++，将此式代入②得（x 1y 2－x 2y 1）（x 1＋x 2＋x 3）＝0．而a 、b 不共线，∴x 1y 2－x 2y 1≠0，于是x 1＋x 2＋x 3＝0．由①有x 1＝32313y y x y x +－x 2代入②得（x 3y 2－x 2y 3）（y 1＋y 2＋y 3）＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0，∴a ＋b ＋c ＝0．解法二：由于a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c ，同理b ＋c ＝λ2a ，∴a ＋b ＋c ＝λ1c ＋c ＝（1＋λ1）c ，a ＋b ＋c ＝λ2a ＋a ＝（1＋λ2）a∴（1＋λ1）c ＝（1＋λ2）a ，（1＋λ1）c －（1＋λ2）a ＝0∵a ，c 不共线，∴1＋λ1＝1＋λ2＝0，∴a ＋b ＋c ＝0．。
教学设计实数与向量的积
教学设计实数与向量的积《实数与向量的积》是普通高中课程标准实验教科书数学必修4第二章第二节第3课时。
在此之前，学生已学习了《平面向量的实际背景及基本概念》、《向量的加法与减法》，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
向量的加法、减法，实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础，是本章中一个重要的知识点。
所以《实数与向量的积》在第五章平面向量中占据重要的基础地位。
作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中，力图让学生动手操作，再通过学生对图形的观察、分析，比较、发散等，并借助信息技术帮助学生根据已有知识和经验建立实数与向量的积的定义，形成实数与向量的积的运算律，推导出向量共线的充要条件。
教学目标根据教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：1.知识目标：①实数与向量的积的定义； ②实数与向量的积的运算律； ③向量共线的充要条件。
2.能力训练目标：①会利用实数与向量积的运算律进行有关计算； ②会根据条件判断两个向量是否共线；3.创新素质目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
4.个性品质目标：通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积，从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性”的哲理。
教学建议知识结构:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧两个向量共线定理第二分配律第一分配律结合律运算律方向模的大小定义实数与向量的积重点难点关键点分析1.重点：实数与向量的积的定义；实数与向量的积的运算律；向量共线的充要条件。
其理由如下：（1）现行教材省略了概念的形成过程和方法的发现过程，没有反映出科学认识产生的辩证过程，给学生的学习造成了很大的困难，非常不利于学生创新能力、独立思考能力以及动手能力的培养。
高中数学 向量、向量的加法与减法、实数与向量的积教案 新人教A版必修1
第二十二教时教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。
过程： 一、 知识（概念）的梳理：1． 向量：定义、表示法、模、几种特殊向量 2． 向量的加法与减法：法则（作图）、运算律3． 实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、平面向量的基本定义二、 例题：1． 若命题M ：=；命题N ：四边形ABB ’A ’是平行四边形。
则M 是N 的 （ C ）(A )充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件(C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 解：若'=，则 |'|=|'|，且', 方向相同 ∴AA ’∥BB ’ 从而ABB ’A ’是平行四边形，即：M ⇒N 若ABB ’A ’是平行四边形，则|AA ’|=|BB ’|，且AA ’∥BB ’ ∴||=|'| 从而'=，即：N ⇒M 2． 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：1︒CD BC AB ++ 2︒BD AC DB ++ 3︒CO OB OC OA -+-- 解：1︒ 原式= AD CD AC CD BC AB =+=++)(2︒ 原式= AC AC AC BD DB =+=++0)(3︒ 原式= AB AB CO OC AB CO OC OA OB =+=+-=--+-0)()()( 3． a =“向东走5km ”，b =“向西走12km ”，试求a +b 的长度与方向。
解：如图：13125||22=+=OB (km )tan ∠AOB =512 , ∴∠AOB = arctan 512∴a + b 的长为13km ，方向与成arctan 512的角。
4． 如图：1︒已知a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
2︒已知a 、b 、c ，求作a + c - b5． 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，解方程2x -(5a +3x -4b )+21a -3b =0解：原方程可化为：(2x - 3x ) + (-5a +21a ) + (4b -3b ) = 0 ∴x =29-a + b 6． 设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k ∈R)，若c ∥d ，试求k 。
高中数学 实数与向量的积教案 新人教A版必修1
第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a=++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a|2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a|2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a≠当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立 第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a≠，b ≠且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a =AB b =1OA λa=11B A λb 则=a +b =1OB λa+λb由作法知：∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ||=λ|11B A |==||||111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1． 若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a与b 反向时b =-μaa aa aO A BC a-a - a - a-N M Q POABB 1A 1AOBB 1A 1从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2。
高一数学§5.5 实数与向量的积(二)教案人教版
§5.5 实数与向量的积（二）教学目标：1．了解平面向量的基本定理；2．掌握定理的基本应用；3．能运用定理处理简单的几何问题．教学重点：1．掌握平面向量的基本定理；2．理解平面向量基底的含义．教学难点：1．运用平面向量基本定理解决有关问题；2．会用给定图形上的一组基底表示指定的向量．教学过程知识平台1．阅读教材P，借助图形，了解如何用平面内一组不共线向量e1，e2去表104示该平面内任一向量a；，明确定理的内容，且通过例4、例5体会在简单的几何图 2．阅读教材P105形中如何用一组不共线向量去表示图形的其它向量．情景平台1．平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是，那么对于这一平面内的任一．．．．．．．向量a，有且只有2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是．3．在直角坐标系中，若(1,0)D，若OA=i，OB=j．C x y，(2,3)A，(0,1)B，(,)（2）试用i和j表示OC．【小结】1°平面向量的基本定理；2°说明：①基底；②基底不唯一，关键不共线；③可将任一向量在基底e1，e2下分解．能力平台4．如图，在ABC △中，D 、E 是AC 上的三等分点，F 、G 是BC 上的三等分点， 令CA =a ，CB =b ，用a 、b 来表示向量EF ，DG ．G F EDCB A5．设D 、E 、F 分别表示ABC △的三边上的中点，令BC =a ，CA =b ，给出下列命题，其中正确命题的序号有 ．①12AD =-a -b ②EF =a 12+b ③12CF =-a 12+b ④AD DE CF ++=06．如右图，OA PB λ=，R λ∈，（1）用OA ，OB 表示OP ； （2）若P 为中点呢？【小结】1°利用法则和用平面向量基本定理解决向量问题． 2°注意路径的选择的多样性．作业：教材P 110习题5.3 T3，T4，T6后记:。
高中数学教案——实数与向量的积 第二课时
课题：实数与向量的积（2）教学目的：1了解平面向量基本定理；2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：+=+9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =13．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa +λb14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-251e +32e 作法：（1）取点O ，作OA =-251e OB =32e （2）作 ，OC 即为所求-251e +32e 例2 如图 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD解：在 中 ， ∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB -AD =a -b∴MA =-21AC =-21(a +b )=-21a -21b ，=21=21(a -b )=21a -21b =21=21a +21b =-=-21=-21a +21b 例3的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点∴==- ,==-在△OAE 中，OA +AE =OE同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 +++=4例4如图，，不共线，=t (t ∈R)用,表示解：∵AP =t AB ∴=+=+ t =+ t(-)=+ t -t =(1-t) + t四、课堂练习： 1e 1、e 2是同一平面内的两个向量, A1、e 2 B1、e 2C a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D e 1、e 2不共线,则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2a =e 1-2e 2,b =2e 1+e 2,其中e 1、e 2不共线,则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A B C 相等 D 无法确定3e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -yA B -3 C 0 D 24a 、b 不共线,且λa +μb =0(λ,μ∈R )则λ= ,μ=5a 、b 不共线,且c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R ),若c 与b 共线,则λ1= 6λ1＞0,λ2＞0,e 1、e 2是一组基底,且a =λ1e 1+λ2e 2,则a 与e 1_____,a 与e 2_________(填共线或不共线) 参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线五、小结 平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业： 1．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝ａ，AD ＝ｂ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量AM 与 分析：以ａ，ｂ为基底分解与，实为用ａ与ｂ表示向量与解：由H 、M 、F 所在位置有：AM =AD +DM =AD +21DC =AD +21AB =ｂ＋21ａ， ＝－＝＋－＝AB ＋AD BC 2131-＝AB ＋31AD －21AD ＝ａ－61ｂ 2．如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求与分析：由平面几何的知识可得△APQ ∽△ABC ，且对应边的比为ｔ，∴ACAQ AB AP =＝ｔ，转化向量的关系为：＝ｔ，＝ｔ，又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在解：∵PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应边比为ｔ（＝BC PQ ），即ACAQ AB AP =＝ｔ． 转化为向量的关系有：＝ｔ，＝ｔ， 又由于：＝－，＝－，＝－，＝－∴＝＋＝＋ｔ（－）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,＝OA ＋＝OA ＋ｔ（OC －OA ）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс七、板书设计（略）八、课后记： 1注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译例1 如图，已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC 且MN ∥BC分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：AM ＝21AB ，AN ＝21一种语言，即＝－AM ＝21－21AB ＝21（AC －AB ）＝21最后又将向量语言＝21翻译成图形语言就是：MN ＝21BC 且MN ∥BC 2向量法应用例2已知平行四边形ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点， ∴DE ＝21，BF ＝21BA ， 由向量加法法则可知： ＝＋＝＋21，＝＋＝＋21 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴＝－，＝－， ∴＝－－21＝－（＋21）＝－ ∴AE ∥CF ，∴AE ∥CF强化训练： 1a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2(3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2(e 1、e 2不共线)A B (2)(3)(4) C (1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4) 2A 、B 、P 满足=λ(λ≠±1),O 是空间一点,则用 、表示式为（A =+λB =λ+(1-λ)C =λλ++1D λλ-+=111 3a 、b 是不共线的两向量,且AB =λ1a +b , =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ）A 1=λ2=-1B λ1=λ2=1C λ1λ2+1=0D λ1λ2-1=0 4a =-e 1+3e 2,b =4e 1+2e 2,c =-3e 1+12e 2,则向量a 写为λ1b +λ2c 的形式是 5e 1、e 2不共线,a =2e 1+e 2,b=3e 1-2λe 2,若a 与b 共线,则实数λ= 6ABCD 和点O , OA =a , OB =b , OC =c ,=d ,a +c =b +d ,则四边形ABCD 的形状是 7、不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且=(1-t ) +t (t∈R ),求证A 、B 、P 三点共线8a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件 9a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?参考答案：1A 2C 3D 4- 181b +277 c 5- 41 6平行四边形 7(略) 8p=q=0 9存在,λ=-2μ能使d 与c 共线。
高一数学教案：实数与向量的积(2)
课 题：实数与向量的积（2）教学目的：1了解平面向量基本定理；2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：a +b =b +a9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =013．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa +λb14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-251e +32e作法：（1）取点O ，作OA =-251e OB =32e（2）作 ，OC 即为所求-251e +32e 例2 如图 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，MC 和MD解：在 中 ， ∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB -AD =a -b∴MA =-21AC =-21(a +b )=-21a -21b ，=21=21(a -b )=21a -21b =21=21a +21b =-=-21=-21a +21b 例3的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点∴==- ,==-在△OAE 中，OA +AE =OE同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 OA +OB +OC +OD =4OE例4如图，，不共线，=t (t ∈R)用,表示解：∵=t ∴=+=+ t =OA + t(OB -OA )=OA + t OB -t OA =(1-t) OA + t OB四、课堂练习：1设e 1、e 2是同一平面内的两个向量,A e1、e 2B e1、e 2C 同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D 若e 1、e 2不共线,则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )2已知矢量a =e 1-2e 2,b =2e 1+e 2,其中e 1、e 2不共线,则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A 不共线BC 相等D 无法确定3已知向量e1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值A3 B -3 C0 D24若a 、b 不共线,且λa +μb =0(λ,μ∈R )则λ= ,μ=5已知a 、b 不共线,且c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R ),若c 与b 共线,则λ1=6已知λ1＞0,λ2＞0,e 1、e 2是一组基底,且a =λ1e 1+λ2e 2,则a 与e 1_____,a 与e 2_________(填共线或不共线)参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线五、小结 平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业：1．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝ａ，AD ＝ｂ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量AM 与HF 分析：以ａ，ｂ为基底分解与，实为用ａ与ｂ表示向量与解：由H 、M 、F 所在位置有：AM =AD +DM =AD +21=AD +21AB =ｂ＋21ａ， ＝－＝＋－ ＝＋2131-＝＋31－21＝ａ－61ｂ 2．如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，OA ＝ａ，＝ｂ，＝с，求与分析：由平面几何的知识可得△APQ ∽△ABC ，且对应边的比为ｔ，∴ACAQ AB AP =＝ｔ，转化向量的关系为：AP ＝ｔAB ，AQ ＝ｔAC ，又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在解：∵PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应边比为ｔ（＝BC PQ ），即ACAQ AB AP =＝ｔ． 转化为向量的关系有：＝ｔ，＝ｔ， 又由于：AP ＝OP －OA ，＝－OA ， ＝－，＝－ ∴＝＋＝＋ｔ（－）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,OQ ＝OA ＋AQ ＝OA ＋ｔ（OC －OA ）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс七、板书设计（略）八、课后记：1注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译例1 如图，已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC 且MN ∥BC 分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：＝21，＝21然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即＝－＝21－21 ＝21（－）＝21 最后又将向量语言＝21翻译成图形语言就是：MN ＝21BC 且MN ∥BC 2向量法应用例2已知平行四边形ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点，∴DE ＝21，BF ＝21BA ， 由向量加法法则可知： ＝＋＝＋21，＝＋＝＋21 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴＝－，＝－， ∴＝－－21＝－（＋21）＝－ ∴AE ∥CF ，∴AE ∥CF强化训练：1下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2(3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2 (e 1、e 2不共线)A (2)(3)B (2)(3)(4)C (1)(3)(4)D (1)(2)(3)(4) 2设一直线上三点A 、B 、P 满足=λ(λ≠±1),O 是空间一点,则用 、表示式为（A =+λB =λ+(1-λ)C OP =λλ++1 D OB OA OP λλ-+=111 3若a 、b 是不共线的两向量,且=λ1a +b , =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ）A λ1=λ2=-1B λ1=λ2=1C λ1λ2+1=0D λ1λ2-1=04若a =-e 1+3e 2,b =4e 1+2e 2,c =-3e 1+12e 2,则向量a 写为λ1b +λ2c 的形式是5已知两向量e 1、e 2不共线,a =2e 1+e 2,b=3e 1-2λe 2,若a 与b 共线,则实数λ= 6设平面内有四边形ABCD 和点O , OA =a , OB =b , OC =c ,=d ,a +c =b +d ,则四边形ABCD 的形状是7设、不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且=(1-t ) +t (t ∈R ),求证A 、B 、P8当不为零的两个向量a 、b 不平行时,求使p a +q b =09已知向量a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?参考答案：1A 2C 3D 4-181b +277 c 5- 41 6平行四边形 7 (略) 8p=q=09存在,λ=-2μ能使d 与c 共线。
(新人教A)高三数学教案全集之实数与向量的积(2)
课 题：实数与向量的积（2）教学目的：1 了解平面向量基本定理； 新疆 王新敞 奎屯2 掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决 新疆 王新敞 奎屯实际问题的重要思想方法；3 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解 新疆 王新敞 奎屯授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯2 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 新疆 王新敞 奎屯3 零向量、单位向量概念：①长度为 0 的向量叫零向量， 新疆 王新敞 奎屯②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量 新疆 王新敞 奎屯4 平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 新疆 王新敞 奎屯②我们规定 0 与任一向量平行 向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯5 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯6 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯7新疆 王新敞向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法新疆 王新敞奎屯奎屯向量加法的三角形法则和平行四边形法则 新疆 王新敞 奎屯8．向量加法的交换律： a + b = b + a9．向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )10．向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量，叫做a 与 b 的差 即：a 新疆 王新敞 奎屯b = a + ( b)11．差向量的意义： OA = a, OB = b, 则 BA = a b即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 新疆 王新敞奎屯12．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λ a（1）|λ a|=|λ|| a|；（2）λ>0 时λ a与 a方向相同；λ<0 时λ a与 a方向相反；λ=0时λ a= 013．运算定律结合律：λ(μa)=(λμ) a分配律：(λ+μ) a=λ a+μ aλ(a+ b)=λa+λ b14． 向量共线定理向量 b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 新疆 使 b =λ a 王新敞奎屯二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果 e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2 使 a=λ1 e1 +λ2 e2探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 新疆 王新敞 奎屯λ1，λ2 是被 a， e1 ， e2 唯一确定的数量三、讲解范例：例 1 已知向量 e1 ， e2求作向量2 5 e1 +3 e2 新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞奎屯OA e 作法：（1）取点 O，作=2 5新疆 王新敞 奎屯1OB =3 e2（2）作OC e e OACB，即为所求2 5 1 +3 2 新疆 王新敞 奎屯例 2 如图ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD= b，用a，b表示MA，MB，MC 和 MD解：在ABCD 中，∵AC=AB+AD=a+ b， DB = ABAD = a b∴ MA =1 AC =1( a+ b)=1 a1 b，2222MB = 1DB = 1 (a b)=1a1 b2222MC = 1AC = 1a+ 1 b222MD =MB =1 DB =1a+ 1 b222例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E，O 是任意一点，求证： OA + OB + OC + OD =4 OE证明：∵E 是对角线 AC 和 BD 的交点∴ AE = EC = CE , BE = ED = DE在△OAE 中， OA + AE = OE同理 OB + BE = OE ， OC + CE = OE ， OD + DE = OE以上各式相加，得 OA + OB + OC + OD =4 OE例 4 如图， OA ， OB 不共线， AP =t AB (t R)用 OA , OB 表示 OP解：∵ AP =t AB∴ OP = OA + AP = OA + t AB= OA + t( OB OA )= OA + t OB t OA =(1 t) OA +t OB四、课堂练习：1设 新疆 王新敞 奎屯e1、e2是同一平面内的两个向量,则有A e 、e 一定平行 新疆 王新敞 奎屯12B e 、e 的模相等 新疆 王新敞 奎屯12C 同一平面内的任一向量 新疆 王新敞 奎屯a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D若 新疆 王新敞 奎屯e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)2 已知矢量 新疆 王新敞 奎屯a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系A 不共线 新疆 王新敞 奎屯B 共线 新疆 王新敞 奎屯C 相等 新疆 王新敞 奎屯D 无法确定 新疆 王新敞 奎屯3 已知向量 新疆 王新敞 奎屯e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于A3 新疆 王新敞 奎屯B -3 新疆 王新敞 奎屯C0 新疆 王新敞 奎屯D2 新疆 王新敞 奎屯4 若 a、b 不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ=,μ=新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯5 已知 新疆 王新敞 奎屯a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=新疆 王新敞奎屯6 已知λ ＞0,λ ＞0,e 、e 新疆 王新敞 奎屯1212是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线)新疆 王新敞奎屯参考答案：1 D 2 B 3 A 4 0 0 5 0 6 不共线 不共线新疆新疆新疆新疆新疆新疆王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞奎屯奎屯奎屯奎屯奎屯奎屯五、小结 平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合 新疆 王新敞 奎屯六、课后作业：1．如图，平行四边形 ABCD 中， AB ＝ａ， AD ＝ｂ，H、M 是 AD、DC 之中点，F 使 BF＝1BC，以ａ、ｂ为基底分解向量AM与 HF新疆 王新敞奎屯3分析：以ａ，ｂ为基底分解AB与 HF，实为用ａ与ｂ表示向量AM与 HF新疆 王新敞奎屯解：由 H、M、F 所在位置有：AM = AD + DM = AD + 1 DC = AD + 1 AB =ｂ＋ 1 ａ，222HF ＝ AF － AH ＝ AB ＋ BF － AH＝ AB ＋ 1 BC 1 AD ＝ AB ＋ 1 AD － 1 AD ＝ａ－ 1 ｂ323262．如图，O 是三角形 ABC 内一点，PQ∥BC，且 PQ ＝ｔ， OA ＝ａ， OB ＝ｂ， OC ＝с， BC求 OP 与 OQ 新疆 王新敞 奎屯分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，且对应边的比为AP AQ ＝ｔ，转化向量的关系为： AP ＝ｔ AB ， AQ ＝ AB ACｔ，∴ ｔAC ，又由于已知和未知向量均以原点 O 为起点，所以把有关向量都用以原点 O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在 新疆 王新敞 奎屯解：∵PQ∥BC，且 PQ ＝ｔ，有△APQ∽△ABC，且对应边比为ｔ（＝ PQ ），即 AP AQ ＝BCBCAB ACｔ．转化为向量的关系有： AP ＝ｔ AB ， AQ ＝ｔ AC ，又由于： AP ＝ OP － OA ， AQ ＝ OQ － OA ，AB＝ OB－ OA，AC＝ OC－ OA新疆 王新敞奎屯∴ OP ＝ OA ＋ AP ＝ OA ＋ｔ（ OB － OA ） ＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,OQ ＝ OA ＋ AQ ＝ OA ＋ｔ（ OC － OA ）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс 新疆 王新敞 奎屯七、板书设计（略）八、课后记：1 注意图形语言的应用 新疆 王新敞 奎屯用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译 新疆 王新敞 奎屯例 1 如图，已知 MN 是△ABC 的中位线，求证：MN＝ 1 BC 且 MN∥BC 新疆 王新敞 奎屯 2分析：首先把图形语言：M、N 是 AB、AC 的中点翻译成向量语言：AM ＝ 1AB ，AN ＝ 1AC 新疆 王新敞奎屯22然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即MN ＝ AN － AM ＝ 1 AC － 1 AB22＝ 1 （ AC － AB ）＝ 1BC 新疆 王新敞奎屯22最后又将向量语言 MN ＝ 1 BC 翻译成图形语言就是：MN 2且 MN∥BC 新疆 王新敞 奎屯2 向量法应用 新疆 王新敞 奎屯例 2 已知平行四边形 ABCD，E、F 分别是 DC 和 AB 的中点，求＝ 1 BC 2证：AE∥CF 新疆 王新敞 奎屯 证明：因为 E、F 为 DC、AB 的中点，∴ DE ＝ 1 DC ， BF ＝ 1 BA ，22由向量加法法则可知：AE ＝ AD ＋ DE ＝ AD ＋ 1DC， CF ＝ CB ＋ BF ＝ CB ＋ 1BA 新疆 王新敞奎屯22∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AD ＝－ CB ， DC ＝－ BA ，∴ AE ＝－ CB － 1 BA ＝－（ CB ＋ 1 BA ）＝－ CF22∴ AE ∥ CF ，∴AE∥CF强化训练：1 下面向量 a、b 共线的有（ ） 新疆 王新敞 奎屯 (1)a=2e1,b=-2e2(2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2(3)a=4e1- 2 e2,b=e1- 1 e2510A (2)(3) 新疆 王新敞 奎屯B (2)(3)(4) 新疆 王新敞 奎屯(4)a=e1+e2,b=2e1-2e2新疆 王新敞奎屯(e1、e2不共线)C (1)(3)(4) 新疆 王新敞 奎屯D (1)(2)(3)(4) 新疆 王新敞 奎屯2 设一直线上三点 新疆 王新敞A、B、P满足AP=λPB(λ≠±1),O是空间一点,则 OP用 OA、 OB 表奎屯示式为（ ）OP OA OB A= +λ新疆王新敞奎屯B 新疆 王新敞OP =λ OA +(1-λ)OB奎屯OA OB C OP = 新疆 王新敞 奎屯 1 OP 1 OA D 新疆 王新敞1OB奎屯 13若 新疆 王新敞 奎屯a、b是不共线的两向量,且AB=λ1a+b,AC =a+λ2b(λ1、λ2∈R),则 A、B、C 三点共线的充要条件为（ ）A λ =λ =-1 新疆 王新敞 奎屯12B λ =λ =1 新疆 王新敞 奎屯12C λ λ +1=0 新疆 王新敞 奎屯12D λ λ -1=0 新疆 王新敞 奎屯124若 新疆 王新敞 奎屯a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是新疆 王新敞奎屯5 已知两向量 新疆 王新敞 奎屯e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a与b共线,则实数λ=新疆 王新敞奎屯6 设平面内有四边形 ABCD 和点 O, 新疆 王新敞OA =a,OB =b,OC =c,奎屯OD =d,a+c=b+d,则四边形 ABCD 的形状是新疆 王新敞奎屯7 设 OA 新疆 王新敞、OB不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且 OP=(1-t)OA +t OB (t∈R),求证 A、奎屯B、P 三点共线 新疆 王新敞 奎屯8 当不为零的两个向量 a、b 不平行时,求使 pa+qb=0 成立的充要条件新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯9 已知向量 新疆 王新敞 奎屯a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使 d=λa+μb 与 c 共线?参考答案：1 A 新疆 王新敞 奎屯2C 新疆 王新敞 奎屯3D 新疆 王新敞 奎屯7 (略) 新疆 王新敞 奎屯8 p=q=0 新疆 王新敞 奎屯4 - 1 b+ 7 c 新疆 王新敞 奎屯 18 275- 1 新疆 王新敞 奎屯 46 平行四边形 新疆 王新敞 奎屯9 存在,λ=-2μ能使 d 与 c 共线 新疆 王新敞 奎屯。
高一数学 5.3实数与向量的积(备课资料) 大纲人教版必修
高一数学 5.3实数与向量的积（备课资料） 大纲人教版必修1.错例分析［例1］判断向量a ＝－2e 与b ＝2e 是否共线? 对此题，有同学解答如下：解：∵a ＝－2e ，b ＝2e ，∴b ＝－a ， ∴a 与b 共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中，对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然a ＝0，b ＝0，此时，a 不符合定理中的条件，且使b ＝λa 成立的λ值也不唯一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使b ＝λa 成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下： 解：(1)当e ＝0时， 则a ＝－2e ＝0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时a 与b 共线. (2)当e ≠0时，则a ＝－2e ≠0，b ＝2e ≠0∴b ＝－a (这时满足定理中的a ≠0，及有且只有一个实数λ(λ＝－1)，使得b ＝λa 成立)∴a 与b 共线.综合(1)、(2)可知，a 与b 共线. 2.用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简单.［例2］如图，MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC ，且MN ∥BC .证明：∵M 、N 分别是AB 、AC 边上的中点，所以AM ＝21AB ，AN ＝21AC ，MN ＝AN －AM ＝21AC －21AB ＝21(AC －AB ) ＝21BC . 因此，NM ＝21BC 且MN ∥BC . 3.0与任一向量共线［例3］下列说法正确的是( )(1)a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； (2)a 与b 共线，b 与c 不共线，则a 与c 不共线； (3)a 与b 不共线，b 与c 不共线，则a 与c 不共线. 分析：以上说法皆是错误的.(1)若b =0，a 与c 是非零向量，则结论不正确. (2)若a =0，则a 与c 共线.(3)如a =2c ，任一非零向量b 若与a 不共线，则与c 不共线，但a 与c 共线. 4.共线向量的充要条件的推广定理推广：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b =λa . 定理中的向量b 可为0.［例4］下列说法正确的是( )(1)向量a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a =λb ; (2)向量a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b =λa ;(3)向量a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b =λa 或a =λb ; (4)向量a 与b 不共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b =λa 且a =λb . 分析：只有(3)正确. (1)中b =0时不正确； (2)中a =0时不正确；(4)中向量a 与b 不共线的充要条件是不存在一个实数λ，使得b =λa 或a =λb . ●备课资料 1.向量法应用［例1］已知ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF .证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点， ∴DE ＝21DC ，BF ＝21BA ， 由向量加法法则可知：AE ＝AD ＋DE ＝AD ＋21DC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋21BA . ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ＝－CB ，DC ＝－BA ， ∴AE ＝－CB －21BA ＝－(CB ＋21BA )＝－CF ∴AE ∥CF ， ∴AE ∥CF 2.参考例题［例2］已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，证明AO =OC ，BO =OD .分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明：∵A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线，∴存在实数λ和μ，使得AO =λAC ，BO =μBD . 设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ，BD =b －a ∴AO =λ (a +b )，BO =μ(b －a ). 又∵AB +BO = AO ， ∴a +μ(b －a )= λ (a +b )，即 (1－μ－λ)a +(μ－λ)b =0， 又∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理，⎩⎨⎧=-=--001λμλμ，∴μ=λ=21， ∴AO =21AC ，BO =21BD ， 即AO =OC ，BO =OD .［例3］已知G 为△ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：PG =31(PA +PB +PC ). 证明：如图，设△ABC 三条中线分别为AM 、BK 和CL ，则易知AM =3GM ，由向量中线公式有：GM =21(GB +GC )， AM =21(AB +AC )，∴GB +GC =31(AB +AC )①同理可得GA +GB =31(CA +CB ) ② GA +GC =31(BA +BC )③由式①+②+③得：2(GA +GB +GC ) =31(AB +BA +AC +CA +CB +BC )=0 ∴GA +GB +GC =0 ∴3PG =PG +PG +PG=(PA +AG )+(PB +BG )+(PC +CG ) =(PA +PB +PC )+(AG +BG +CG ) =PA +PB +PC ， ∴PG =31(PA +PB +PC ). ［例4］AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，若直线EG ∥AB ，FG ∥BE . 求证：ADGC .证明：如图，因为四边形BEGF 是平行四边形. 所以FB =GE又因为D 是BC 的中点， 所以BD =DC ，所以AD －AB =AC －AD ， 所以AD =21(AB +AC ) =EC FB + =EC GE +=GC 所以ADGC .［例5］设四边形ABCD 的两对角线AC 、BD 的中点分别是E 、F ，求证：21｜AB －CD ｜≤EF ≤21(AB +CD ).证明：如图，∵BF AB EA EF ++=，DF CD EC EF ++=，∴2EF =(EA +EC )+(AB +CD )+(BF +DF ) ∵E 、F 分别是AC 、BD 的中点， ∴EA +EA =0，BF +DF =0， ∴EF =21(AB +CD ) 又∵｜｜AB ｜－｜CD ｜｜≤｜AB +CD ｜≤｜AB ｜+｜CD ｜，∴21｜｜AB ｜－｜CD ｜｜ ≤｜EF ｜≤21(｜AB ｜+｜CD ｜)，即21｜AB －CD ｜≤EF ≤21(AB +CD ). 3.高考真题［例1］(2003年全国高考)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ||||AC AC AB AB +)，λ∈［0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心D.垂心分析：此题首先应理解||AB AB 即AB 的单位向量，||AC AC即AC 的单位向量，设||AB AB =a ，||AC AC=b ，则|a |=|b |=1，如图，在AEDF 中，a +b =AD ，又|a |=|b |，故AEDF 为菱形，因λ≥0，故λAD 与AD 同向共线，设λAD =AM ，则点M 在射线AD 上，由菱形性质可知：AD 为∠FAE 即∠BAC 的平分线，由OP =OA +AM =OM ，则点P 轨迹即点D 轨迹，所以点P 轨迹一定通过△ABC 内心.故选(B).。
高一数学 复习二—实数与向量的数量积(续)教案
2
证：∵MN 是△ABC 的中位线，
∴ AM 1 AB, AN 1 AC
2
2
∴ MN AN AM 1 AC 1 AB 1 (AC AB) 1 BC
2
2
2
2
1
∴MN= BC,且 MN∥BC
2
2． 证明：三角形重心与顶点的间隔等于它到对边中点的间隔的两倍。
芯衣州星海市涌泉学校师范大学附属中学高一数 学教案：复习二—实数与向量的数量积〔续〕
教材：复习二——实数与向量的数量积〔续〕
目的：继续复习有关知识，进步学生数形结合、解决实际问题的才能。
过程：
一、 继续复习实数与向量的积、向量一一共线的充要条件、平面
向量的根本定理——平几问题
1． 如图：MN 是△ABC 的中位线，
P v2a
设实际风速为 v， 那么此时人感到的风速为 v a，
B
A
v O
设 OA = a， OB = 2a ∵ PO + OA = PA ∴ PA =v a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
∵ PO + OB = PB ∴ PB =v 2a，于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风 速就是 PB ，
证：设 AC =b， CB =a，那么 AD = AC + CD =b+ 1 a, EB EC CB = 2
∵A,G,D 一一共线，B,G,E 一一共线
A
∴可设 AG =λ AD ， EG =μ EB ,
F
那么 AG =λ AD =λ(b+ 1 a)=λb+ 1 λa,
2
2
EG =μ EB =μ( 1 b+a)= 1 μb+μa,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五教时
教材：实数与向量的积
目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a
)
OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a
PN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a
讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a
|
2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a
|
2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
1︒|λa |=|λ||a
|
2︒λ>0时λa 与a
方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=0
3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a
①
第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa
②
第二分配律：λ(a +b )=λa
+λb ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则①式成立
如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a
|
|(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a
|
∴|λ(μa )|=|(λμ)a
|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a
同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a
反向。
从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ≠0，μ≠0，a
≠0
当λ、μ同号时，则λa 和μa
同向，
∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a
|=(|λ|+|μ|)|a
| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a
同向
即：|(λ+μ)a |=|λa +μa
|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa
同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa
同向
还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa
|
∴②式成立 第二分配律证明：
如果a
=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当a
≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时
1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，
作=OA a =AB b =1OA λa
=11B A λb 则=OB a +b =1OB λa
+λb
由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ∴
==
|
||||
|||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1
∴
=|
|||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同
λ(a +b )=λa
+λb
当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa
+λb
∴ ③式成立
4．例一 （见P104）略
三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
1． 若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b
为共线向量
若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa
当a 与b
反向时b =-μa
a
a a a
O
A
B
C a -
a
- a - a -
N M Q P
O
A
B
B 1
A 1
A
O
B
B 1
A 1
从而得：向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ
使b =λa
2．例二（P104-105 略） 三、小结：
四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2。