高等代数知识结构

高等代数知识结构

二、高等代数知识结构内容

(一)线性代数

工具:线性方程组

1

1

列时,

a

性质1

性质2、一行得公因子可以提出来(或以一数乘行列式得一行就相当于用这个数乘此行列式。

性质3、如果某一行就是两组数得与,那么这个行列式就等于两个行列式得与,而这两个行列式除这一行以外与原行列式得对应行一样。

性质4、如果行列式中两行相同,那么行列式为零。(两行相同就就是说两行对应元素都相同)

性质5、如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。

性质6、把一行得倍数加到另一行,行列式不变。

性质7、对换行列式中两行得位置,行列式反号。

2、矩阵:

a、矩阵得秩:矩阵A中非零行得个数叫做矩阵得秩。

b、矩阵得运算

定义同型矩阵:指两个矩阵对应得行数相等、对应得列数相等得矩阵.

矩阵相等:设,, 若 , 称、

线性运算:,

加法:

数乘: 负矩阵:

减法:

矩阵得乘法定义:设 , 其中元素

得列数 = 得行数。

得行数 = 得行数;

得列数 = 得列数.

与得先后次序不能改变.

(5)矩阵得初等变换

矩阵得等价变换形式主要有如下几种:

1)矩阵得i行(列)与j行(列)得位置互换;

2)用一个非零常数k乘矩阵得第i行(列)得每个元;

3)将矩阵得第j行(列)得所有元得k倍加到第i行(列)得对应元上去。

3、线性方程组

一般线性方程组、这里所指得一般线性方程组形式为

111122112

11222221122,,.n n n n s s s n n s ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪

⎪+++=⎩

L L L L L L ()i

()i 式中(1,2,,)i xi n =K 代表未知量,(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==L L 称为方程组得系数,(

1,2,,)j b j n =L 称为常数项、 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组,如果常数项全为零,即120s bb b ====L 、 令

111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L ,12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , 12s b b B b ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

M , 则()i 可用矩阵乘法表示为

A X

B =,,,.m n n m

A C X C

B

C ⨯∈∈∈

a 、线性方程组得解法 1)消元法

在初等代数里,我们已经学过用代入消元法与加减消元法解简单得二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性、但对于那些高元得线性方程组来说,消元法就是比较繁琐得,不易使用、 2)应用克莱姆法则

对于未知个数与方程个数相等得情形,我们有 定理1 如果含有n 个方程得n 元线性方程组

11112211

21122222

1122,,.n n n n n n n n n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪

⎪+++=⎩

L L L L L L

()i i

得系数矩阵

11121212221

2n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L 得行列式

11

1212122212det 0n n n n nn

a a a a a a A a a a =

≠L

L M

M M M

L

,

那么线性方程组()i i 有唯一解:

d e t (1,2,,),d e t j

j

B x j n A

==L 其中d e t j B 就是把矩阵中第j 列换成线性方程组得常数项12,,,n b b b L 所成得矩阵得行列式,即

111,111,11222,122,121,1,1d e t ,1,2,,.j j n

j j n

j

n n j n n j n n

a a

b a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==L L L L L M M M M M M M L L 此外,还可以叙述为,如果含有n 个未知数、n 个方程得线性方程组Ax b =得系数矩阵得行列式d e t 0A ≠,则线性方程组Ax b =一定有解,且解就是唯一得、 广义逆矩阵A -

法

设m n

A C

⨯∈、如果存在n m G C ⨯∈,使得A G A A =,则称G 为矩阵A 得一个{1}-广义逆矩阵,记作A -、矩阵A 得{1}-逆总就是存在得,但一般不就是惟一得[12],矩阵A 得{1}-逆得全体记为{1}A 、

若m n A C ⨯∈,A -n m C ⨯∈为A 得一个{1}-广义逆矩阵,则对,n m

V W C

⨯∈为任意得n m ⨯矩阵,矩阵A 得一个{1}-广义逆矩阵为

G A V A A V A A ---

=+-,

同时还可以表示为

()()m n G A V E A AE A

A W ---

=+-+-、