2012北京朝阳高考二模数学理(含解析)

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习
数学试卷（理工类）2012．5
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知全集U =R ，集合{}21x A x =>，{}
2340B x x x =-->，则=U
A
B （ ）．
A ．{}04x x ≤<
B ．{}04x x <≤
C ．{}10x x -≤≤
D ．{}14x x -≤≤
2．复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限
3．已知双曲线22
15
x y m -=()0m >的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离
心率为（ ）． A ．6 B 32
C ．32
D ． 34
4．在ABC △中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且ABC △的面积为3
2
，则BAC ∠等于（ ）．
A ．60或120
B ．120
C ．150
D ．30或150
5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x t y t =⎧⎨=+⎩
（t 为参数）．以原点O 为极点，以
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42)4
ρθπ=+，则直线
l 和曲线C 的公共点有（ ）．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
6．下列命题：
:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；
:q 已知向量(1)λ=，
a ，2(1,)λ=-
b ，(11)=-，
c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-； :r 若11
1a dx =x
⎰()1a >，则e a =．
其中所有的真命题是（ ）．
A ．r
B ．,p q
C ．,q r
D ．,p r
7．直线y x =与函数()22,42,x m
f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩
的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范
围是（ ）．
A ．[)1,2-
B ．[]1,2-
C ．[)2.+∞
D ．(]1-∞-，
8．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是（ ）．
A ．1
B ．
32
2
C ．2
D ．3
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 把答案填在答题卡上． 9．二项式5
21ax x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为5，则实数a =_______．
10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______．
11．若实数,x y 满足10,
0,
x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 ．
12．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，
E 为AD 的中点，
连接CE 并延长交圆O 于F ．若2CD =， 则AB =_______，EF =_________．
13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加
投资1万元，年产量为()
x x *∈N 件．当20x ≤时，年销售总收入为()
2
33x x -万元；当
20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y
万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）
14．在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满
足11,,12,j j i a a i -==， ()
1,1,1,,i j i j i j a a a i j *
+++=+∈N ，则
此数表中的第5行第3列的数是 ； 记第 3行的数3,5,8,13,22,
为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项
公式为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分）
已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()m ∈R 的图象过点π,012M ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若cos cos 2cos c B b C a B +=， 求()f A 的取值范围．
一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；
（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，
4,2,1AB AE EF ===．
（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足1
4
CM CA =，
求证：EM ∥平面FBC ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面EBC ； （Ⅲ）求二面角A FB D --的余弦值．
E C
B
D
M
A
F
已知函数()()22ln 0a f x a x x a x
=++≠．
（Ⅰ）若曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）当(),0a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()2
1e 2
g a ．
在平面直角坐标系xOy 中，已知点()
2,0A -，)
2,0B ，E 为动点，且直线EA 与直
线EB 的斜率之积为12
-．
（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设过点()10F ，
的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．若点P 在y 轴上，且 PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围．
已知数列()
12:,,,,2
n n A a a a n n *∈N *(,2)n n ∈N 满足10n a a ==，且当
()2k n k *
∈N 时，()2
11k k a a --=，令()1
n
n i i S A a ==∑．
（Ⅰ）写出()5S A 的所有可能的值； （Ⅱ）求()n S A 的最大值；
（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得()()
2
3=4
n n S A -？若存在，求出数列n A ；若不存在，说
明理由．
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学答案（理工类）2012．5
一、选择题：
题号 1 2[ 3 4 5 6 7 8 答案 B
B
C
C
B
D
A
D
二、填空题：
9．1 10．13 11．
12 12．323 13． 2*
*
32100,020,,
160,20,,
x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 14．16，121n n a n -=++ 三、解答题：
15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由()31
2(cos21)2
f x x x m =
-++π1sin(2)62x m =--+．……3分
因为点π
(,0)12
M 在函数()f x 的图象上，
所以ππ1sin(2)01262m ⋅
--+=，解得1
2
m =． ……5分 （Ⅱ）解：因为cos +cos =2cos c B b C a B ，
所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，
所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =． ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1
cos 2
B =． ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2
π3
A C +=． ……10分 所以2π03A <<
，ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -1
(,1]2
∈-．…12分 所以()f A 的取值范围是1
(,1]2
-． ……13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则
39
325
()C 84P A +=
=． 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为5
84
．…4分 （Ⅱ）解：设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则
1147
39
C C 281()C 843P B ===．
答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为1
3
． ……8分
（Ⅲ）解：X 的取值为23,45，
，． 1221
2222
39
C C +C C 1(2)C 21P X ===，
1221
2424
39
C C +C C 4(3)C 21P X ===，
1221
2626
39C C +C C 3(4)C 7P X ===，
12
18
39C C 1(5)C 3
P X ===． ……11分
所以X 的分布列为
X 2
3 4
5
P
1
21
421
37
13
X 的数学期望143185
234521217321
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=． ……13分 17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，
则MN AB ∥，又14CM AC =，所以1
4
MN AB =． 又EF AB ∥且1
4
EF AB =
， 所以EF MN ∥，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM FN ∥．
又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，
所以EM ∥平面FBC ． ……4分
（Ⅱ）证明：因为EA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，
故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
A xyz -．由已知可得
()()()()000,4,0,0,4,4,0,0,4,0A B C D ，，， ()()002,1,0,2E F ，，．
显然()()()102040402AF BC EB ===-，
，，，，，，，． 则00AF BC AF EB ⋅=⋅=，， 所以AF BC AF EB ⊥⊥，．
即AF BC AF EB ⊥⊥，，故AF ⊥平面EBC ． （Ⅲ）解：因为EF AB ∥，所以EF 与AB 确定平面EABF ，
E D
C
M
A
F
N
x
z
E
C
B
D
M
A F
y
由已知得，()()()0403,0,2440BC FB BD ==-=-，
，，，，，． ……9分 因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA BC ⊥． 由已知可得AB BC ⊥且EA
AB A =，
所以BC ⊥平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量． 设平面DFB 的一个法向量是()n x,y,z =． 由0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得440,320,x y x z -+=⎧⎨-=⎩即32
y x,z x,=⎧⎪
⎨=⎪⎩
令2x =，则(2,2,3)n =． 所以217
cos <,17BC n BC n BC n
⋅>=
=
⋅
由题意知二面角A FB D --锐角，故二面角A FB D --217
……14分 18．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：()f x 的定义域为{|0}x x >． ()()2
2210a a f x x x x
'=-+>．
根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=， 解得1a =-或3
2
a =
． ……3分 （Ⅱ）解：()()222222
22()(2)
10a a x ax a x a x a f x x x x x x
+--+'=-+==>． （1）当0a >时，因为0x >，
由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<．
所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减． （2）当0a <时，因为0x >，
由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-．
所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增． ……9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，
且2
2()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a
=-=-+-=---． 2
()ln(2)3ln(2)22g a a a a a
-'=-+⋅-=---，
令()0g a '=，得2
1e 2
a =-． 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：
a
21(,e )2
-∞-
21e 2- 21
(e ,0)2
- ()g a '
+
-
()g a
极大值
21
e 2
-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点． 所以()2222
1111(e )e ln[2(e )]3(e )2222
g a g =-=--⨯---最大值
2222131
e ln e e e 222
=-+=．
所以，当(,0)a ∈-∞时，2
1()e 2
g a ≤成立． ……14分
19．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y 1
222
x x =-+-，
整理得2
21(2)2
x y x +=≠．
所以动点E 的轨迹C 的方程为2
21(2)2
x y x +=≠±． ………5分
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0． ………6分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．
将(1)y k x =-代入2
212
x y +=并整理得，
2222(21)4220k x k x k +-+-=． 2880k ∆=+>．
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 212222
21
k x x k -=+．
设MN 的中点为Q ，则2
2221
Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+，
所以22
22(,)2121
k k
Q k k -++． ………9分 由题意可知0k ≠，
又直线MN 的垂直平分线的方程为2
2
212()2121
k
k y x k k k +=--++． 令0x =，解得
21121
2P k y k k k
=
=
++
． ．………10分
当0k >时，因为1222k k +
≥2022P y <≤= 当0k <时，因为1222k k +≤-2
022
P y >≥=． ．………12分
综上所述，点P 纵坐标的取值范围是22
[． ．………13分 20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有：
（1）0,1,2,1,0.此时5()=4S A ；（2）0,1,0,1,0.此时5()=2S A ； （3）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（4）0,1,2,1,0.---此时5()=4S A -； （5）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（6）0,1,0,1,0.--此时5()=2S A -； 所以，5()S A 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分 （Ⅱ）解：由21()1k k a a --=，
可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（2k n ≤≤，*k ∈N ）， 因为11n n n a a c ---=，所以11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++ 11221n n a c c c c --=
=+++
++．
因为10n a a ==，所以1210n c c c -++
+=，且n 为奇数，121,,
,n c c c -是由
12n -个1和1
2
n -个1-构成的数列． 所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++
1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．
则当121,,
,n c c c -的前
12n -项取1，后1
2
n -项取1-时()n S A 最大， 此时()n S A 11
(1)(2)(21)22
n n n n +-=-+-++-+++2
(1)4
n -=．
证明如下： 假设121,,,n c c c -的前
1
2
n -项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则
121,,
,n c c c -的后
1
2
n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中1
12
n t -≤≤
， 112i n m -≤≤
，
1
12
i n n n -<≤-，1,2,,i t =．
所以()n S A 12112122
11
(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++
++++
11(1)(2)(21)22
n n n n +-=-+-+
+
-+++
122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-+
+-
22
1
(1)(1)2()44t
i i i n n n m =--=--<∑． 所以()n S A 的最大值为2
(1)4
n -． ……9分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前1
2
n -项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，
121,,,n c c c -的后1
2n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，
则 21
(1)()2()4t
n i i i n S A n m =-=--∑，若2
(3)()4n n S A -=，则1
22()t
i i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2n -是奇数，而
1
2()t
i i i n m =-∑是偶数，因此不存在数列n A ，使得2
(3)()4n n S A -=． ……13分
北京市朝阳区高三二模试卷 数学（理科）选填解析
一、 选择题 1．【答案】B 【解析】解：
210x x >⇒>，{}|0A x x ∴=>，
()()23404104x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-
{}|14U B x x ∴=-≤≤，所以{}|04U
A B x x =<≤．
故选B ．
2．【答案】B
【解析】解：由题可知i i 2i 2i 12i 2i 2i 4
z +-=
=⋅=--+， 复数z 在复平面内对应的点为11,42⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，故在第二象限．
故选B ．
3．【答案】C
【解析】解：由题可知抛物线212y x =的焦点为()3,0， 故双曲线中的3c =，所以25954m c =-=-=， 故离心率32
c e a m ===． 故选C ．
4．【答案】C
【解析】解：由题可知
0cos 0AB AC AB AC BAC ⋅<⇒⋅⋅∠<，
故BAC ∠为钝角，因为313sin 222
ABC S AB AC BAC =
⇒⋅∠=△， 即131
23sin sin 222
BAC BAC ⨯⨯⨯∠=⇒∠=， 综上，150BAC ∠=． 故选C ．
5．【答案】B
B
C
A
【解析】解：可知直线:40l x y -+=，
2π2
2
2424ρθρρθθ⎫
⎛
⎫
=+⇒=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 即曲线()()2
2
:228C x y -+-=， 所以圆心为()2,2，半径22r = 圆心到直线的距离2242211
d r -+===+．
故选B ．
6．【答案】D 【解析】解：
()44sin cos f x x x =-
()()2222sin cos sin cos x x x x =+⋅-
22sin cos cos2x x x =-=-，
2π
π2
T ∴=
=，命题p 正确； ()21,1λλ+=-+a b ，()2110λλ∴+⇒=-++=∥a b c ，
即0λ=或1λ=-，故(+)//a b c 的是1λ=-的必要不充分条件， 命题q 错误； 1
1
1
ln ln 1e a
a dx x a a x
===⇒=⎰
，
命题r 正确． 故选D ．
7．【答案】A
【解析】解：由图可知，函数242y x x =++，2y = 分别与函数y x =由两个和一个公共点，
直线3与函数23
的图象恰有三个公共点，只需m 取值在
()1,1B --，()2,2C 两点的横坐标之间， 易验证当1m =-时，满足题意；
当2m =时，只有,A B 两个公共点，不满足题意． 故选A ．
C (2,2)
B (-1,-1)A (-2,-2)
y
x
y=x
y=x 2+4x+2
y=2
8．【答案】D
【解析】解：因为是按任意方向正投影， 可以让面（设为桌面）定下来，正方体在动； 因此可以想象当正方体体对交线垂直于桌面时， 其在桌面上的投影是个正六边形，此时面积最大； 223
3
=
，
223
，
其面积可以看成623
的正三角形
的面积和：232
6(33
= 故选D ．
二、 填空题 9．【答案】1
【解析】解：由二项式的定理可知 ()
5105252
15
5C C k
k k
k
k k k T ax
x
a x ---+==， 当4k =，为展开式的常数项4
55
C 51T a a ==⇒=． 故答案为1．
10．【答案】13
【解析】解：可列表
x
1 1 2
3 5 循环结束
y
1 2
3 5 8 z
2
3
5
8
13
故13z =． 故答案为13．
11．【答案】
1
2
【解析】解：由题可知满足题意得不等式区域
y=x+1
y
为如图所示的阴影区域，
设22z x y =+；已知当圆与直线相切与点A 时， z 取得最小值，2
20011
212z AO ⎛-+⎫=== ⎪+⎝⎭
．
故答案为1
2
．
12．【答案】3，
23
3
【解析】解：由垂径定理可知2CD BD AD =⋅，
即2
2222339
AB AB CD AB =
⋅⇒=，所以3AB =； 在直角CDE △中，222213CE CD DE CE =+⇒=+=， 由相交弦定理可知1223
3
3
CE EF AE EB EF ⨯⋅=⋅⇒==
． 故答案为3，23
3
．
13．【答案】2*
*
32100,020,,
160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩
N N ，16 【解析】解：由题可知
当20x ≤时，223310032100y x x x x x =---=-+- 当20x >时，260100160y x x =--=-； 当20x ≤时，函数在32
162
x =-
=，取得max 256y = 当20x >时，函数在21x =，取得max 139y =， 综上当产量为16时，所得年利润最大．
故答案为2**
32100,020,,
160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩
N N ，16．
14．【答案】16，121n n a n -=++
【解析】解：对于第一空，
依题意：5,34,25,23,14,14,15,1()()3+4+4+5=16a a a a a a a =+=+++=； 对于第二空，
依题意：3,2,13,12,1112,1n n n n n n n n n b a a a a b b b a ------==+=+⇒-=，
从表格中可以看出：2
2,11,1121(2)n n n a a n ---=+=+≥，
所以112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+
230(21)(21)(21)3n n --=+++++++
230(222)13n n n --=++
++-+121n n -=++．
故答案为16，121n n a n -=++．。